Başka Boyutlar Arayışı-1:

Başka Boyutlar Arayışı-1: Kaluza-Klein Teorilerinin Kısa Bir Tarihçesi ve Ekstra Boyutlu Modellere Giriş K. O. Ozansoy, Ankara Üniversitesi Fizik Bölümü

İçerik 1. Kaluza-Klein teorilerinin kısa bir tarihçesi Nordström birleştirme teorisi Kaluza-Klein teorisi 2. Modern Kaluza-Klein Teorilerine Giriş-Temel Kavramlar Kompaktlaştırma süreci ve yüksek boyutlarda skaler alan Orbifold kompaktlaştırması 3. Ekstra Boyutlu Modeller için Bir Sınıflandırma Evrensel ekstra boyutlar, ADD modeli, RS modelleri 4. Ekstra Boyutların Gözlenebilirliği Yüksek enerji sınırları, Ters-kare kuvvet yasası, Kozmolojik sınırlar 5. Tartışma Ankara YEF Seminerleri-07 2

1. Kaluza-Klein Teorilerinin Kısa Bir Tarihçesi 1900 lerin lerin başlarında doğada bilinen iki iki temel etkileşme kütleçekimi (gravitasyon) ve ve elektromagnetizma ve ve idi. idi. Ankara YEF Seminerleri-07 3

Newton un un Gravitasyon Teorisi Teorisi 1 ). E = 4πρ r r q F g Isaac Newton(1643-1727) 2 = r φ, φ = 4πGρ m J. C. Maxwell (1831-1879) Maxwell in Elektromagnetizma Denklemleri Maxwell in Elektromagnetizma Denklemleri r r r r B r 2) E + = 0 t r r r 1 E 4π r 3) B = J 2 2 c t c 4 ) r. B r = 0 Ankara YEF Seminerleri-07 4

1905 te Einstein, Maxwell in elektromagnetizma teorisi ile uyumlu olan özel görelilik teorisini kurduktan sonra gravitasyonun da özel görelilikle uyumlu bir teorisinin kurulması için çalışmalar başladı. Albert Einstein(1879-1955) Einstein, Abraham, Nordström, Mie, Einstein ve Grossman, Einstein ve Fokker, Ankara YEF Seminerleri-07 5

İlk defa özel görelilik teorisi ile uyumlu bir gravitasyon teorisi, Finlandiyalı fizikçi Gunnar Nordström tarafından 1913 te kurulan skaler gravitasyon(*) teorisidir. Gunnar Nordström (1884-1923) Einstein ın genel görelilik teorisi 1915 yılında kurulduktan sonra, özellikle Merkür ün enberi presesyonu ve ışığın bir gravitasyon alanından bükülmesine ilişkin başarılı öngörülerinden sonra Nordström ün gravitasyon teorisi uzun yıllar dikkate alınmamıştır. (*) G. Nordström, Physik. Zeitschr. 13 1126,1912; Ann. d Phys. 40, 872, 1913; 42,533,1913 Ankara YEF Seminerleri-07 6

Nordström, kendi skaler gravitasyon teorisini kurduktan sonra, tüm doğa olaylarını, yani elektromagnetik ve gravitasyon etkileşmelerini, bir arada açıklayabilecek bir birleşik teori kurmaya çalıştı(*). Böyle bir teoriyi oluştururken şu gözlemlerden yararlandı: Özel görelilik teorisi 3-boyutlu uzay + 1-boyutlu zaman = 4-boyutlu uzay-zaman Maxwell in Elektromagnetizma Teorisi 3 lü vektör potansiyeli + skaler potansiyel = 4 lü vektör potansiyeli A x, A y, A + z φ = A µ αβ α 1 ) β F = 4πJ Fµν = µ Aν ν Aµ 2 ) F + F + F = 0 (*) G. Nordström, On the possibility of a unification of the electromagnetic and gravitation fields, Ankara YEF Seminerleri-07 7 Phys. Zeitsch. 15, 504 (1914) γ αβ α βγ β γα

Nordström ün ün Maxwell in in elektromagnetizma teorisi ile ile kendi skaler gravitasyon teorisini birleştirmek için için temel düşüncesi şu şu şekilde ifade edilebilir: Özel görelilik teorisine göre, 3-uzay boyutu ile 1-zaman boyutunun birleşimi, Maxwell in elektromagnetizma teorisindeki 1-boyutlu elektrostatik potansiyel ile 3- boyutlu vektör potansiyelinin birleşimine karşılık geliyorsa; 1-boyutlu bir skaler alanla ifade edilecek gravitasyonun, elektromagnetizma ile birleşimi için 4- boyutlu uzay zamana bir boyut eklenmesi gerekir. 5- boyutlu uzay-zaman Ankara YEF Seminerleri-07 8

t, x, y, z φ, A x, A y, A z Özel görelilikte 4-boyutlu Uzay-zaman koordinatları 4. Uzay koordinatı Elektromagnetik potansiyel Skaler gravitasyon alanı x 0 x1, x2, x3, x5 φ, A1, A2, A3,, A 5 5-boyutlu uzay-zaman 5-li vektör potansiyeli Ankara YEF Seminerleri-07 9

A = r ( φ, A, A ) 5 5-boyutlu potansiyel Elektrostatik potansiyel Skaler gravitasyon potansiyeli Magnetik vektör potansiyeli F MN = M A N N A M ; Genelleştirilmiş Stres-Enerji tensörü N F MN = k c M, 5-boyutta Genelleştirilmiş Maxwell Denklemleri 4-boyutta Maxwell denklemleri L F MN + M F NL + N F LN = 0, + 4-boyutta Skaler Gravitasyon denklemleri w F MN = 0 Nordström kabulü: Silindir koşulu(kaluza) Ankara YEF Seminerleri-07 10

1.2. Kaluza-Klein Birleştirme Teorisi Einstein genel görelilik teorisini kurduktan sonra Nordström ün hem skaler gravitasyon teorisi hem de birleştirme teorisi önemini kaybetmişti. Theodor Kaluza(1885-1954) Polonyalı Matematikçi ve Fizikçi Oskar Klein(1894-1977), İsveçli Fizikçi Ankara YEF Seminerleri-07 11

Polonyalı matematikçi ve fizikçi Th. Kaluza, 1919 da Einstein a gönderdiği makalesinde, Maxwell in elektromagnetizma teorisi ile Einstein ın genel görelilik teorisini, evrenin 5-boyutlu bir manifold olarak ele alındığı teorisinde birleştirdi. Daha sonra bu çalışma Einstein tarafından 1921 de sunuldu. Th. Kaluza, On the unity problem of physics, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Phys. Math. Klasse 966(1921) Bu çalışma, Einstein ın genel görelilik teorisini Maxwell in elektromagnetizma Teorisi ile 5. bir boyutun varlığını öngörerek birleştiren ilk çalışmadır. Oskar Klein, 1926 da Kaluza nın makalesini dikkate alarak özel göreliliğin 5-boyutlu teorisi ve kuantum teorisi üzerine makalesini yayınladı. O. Klein, Quantum theory and five dimensional theory of relativity, Z. F. Physik 37, 895(1926) Klein, elektrik yükünün kuantizasyonuna dikkat çekti ve kuantum teorisinin altındaki teorinin Kaluza nın teorisi olabileceğini önerdi. Schrödinger denkleminin özel göreliliğe uygun genelleştirmesi birbirinden bağımsız Olarak Schrödinger, Klein, Gordon, Fock, de Donder, vd.. tarafından kuruldu Ankara YEF Seminerleri-07 12 Klein-Gordon denklemi

Elektromagnetik alan tensörü ve Maxwell denklemleri Einstein alan denklemleri F µν 1) 2) = { α βγ } β F F µ αβ A ν = 0 = J α ν A µ Rµν 1 2 gµν R 8π = T 2 µν c ( g + g ) ρ 1 ρλ Γµν = g µ νλ ν µλ λ gµν 2 A µ = r ( φ, A) Elektromagnetik vektör potansiyeli 4-serbestlik derecesi g µν Uzay-zaman metriği 10 serbestlik derecesi g MN 5-boyutta metrik 15-serbestlik derecesi Ankara YEF Seminerleri-07 13

Ankara YEF Seminerleri-07 14

Kaluza birleştirme teorisi: 5-boyutlu dinamik, 4-boyutlu Einstein-Hilbert eyleminin 5-boyutlu bir genellemesi ile ifade edilir: 1 I5 = det( gmn ) R5d 16πG 5 5 x 5-boyutlu metrik 5-boyutta evrensel çekim sabiti 5-boyutta Ricci skaleri Silindir Koşulu (Nordström & Kaluza) Tüm dinamik değişkenlerin y koordinatına göre türevleri sıfır olsun. Örnek: ( x, y) = y 0; F A µ µν ( x, y y) = 0,... Einstein alan denklemleri + Maxwell denklemleri Az sonra Ankara YEF Seminerleri-07 15

Klein, 5. boyutun gözlenebilir olmayışını açıklamak için bu boyutun 1-küre(=çember) gibi kompakt bir uzay olduğunu ve yarıçapının çok küçük olduğunu önerdi: R=0.000000000000000000000000000000001m?! M 1 5 = M 4 S ( 0 1 2 x3 t, x, y, z) = ( x, x, x, ) x = y 5 Bilinen 4-boyutlu uzay-zaman koordinatları 5. boyut koordinat değişkeni Ankara YEF Seminerleri-07 16

5-boyutlu tüm dinamik alanlar için Fourier seri açılımı, n= ( n) F ( x, y) = F ( x) e iny R Kompakt uzayın yarıçapı Örnekler n= ( n) µν g ( x, y) = g ( x) e µν n= ( n) µ A ( x, y) = A ( x) e µ n= ( n ) φ ( x, y) = φ ( x) e iny R iny R iny R Sonsuz tane alan terimi! Ankara YEF Seminerleri-07 17

Silindir Koşulu n 0 için tüm alan bileşenleri sıfır: g ( n 0) µν, A ( n 0) µ, φ ( n 0) = 0 g A φ µν µ ( x, ( x, ( x, y) = y) = y) = g φ A (0) (0) (0) µ ( x) µν ( x), ( x), Ankara YEF Seminerleri-07 18

Einstein-Maxwell Eylemi I 5-boyutlu eylem integrali y-üzerinden integral alınırsa: 2πR 1 5 1 4 = det( g MN R5d x I 5 = 16πG dy det( g MN ) R5d x 16 G 5 ) 5 π 5 0 I 4 2 2 (0) (0) 1 e κ (0) (0) µρ (0) νσ (0) = det( g ) det( ) µν φ R + φ g g Fµν Fρσ 16πG 16πG (0) d 4 x Sabit Φ için Einstein-Maxwell eylemi elde edilir G = G 5, 2πR F (0) µν = µ A (0) ν ν A (0) µ Ankara YEF Seminerleri-07 19

Kaluza-Klein teorisi üzerine kurulu bazı önemli çalışmalar 1. 60-70 ler Kaluza-Klein teorilerinin diğer etkileşmeleri de içerecek biçimde abelyen olmayan ayar simetrilerine genişletilmesi, de Witt vd. 2. 80ler Green, Schwarz, Witten, vd sicim teorileri - Bozonik sicim teorisi 26-boyut - Süpersicim teorileri 10-boyut - Süpergravite teorisi 11-boyut 3. 90lar M-teorisi: sicim teorilerinin 11-boyutta birleştirilmesi 4. 99dan sonra büyük ekstra boyutlar: - ADD modeli - RS modelleri, Ankara YEF Seminerleri-07 20

2. Modern Kaluza-Klein Teorilerine Giriş- Temel Kavramlar 2.1. Kompaktlaştırma Süreci ve Yüksek Boyutlarda Skaler Alan Ankara YEF Seminerleri-07 21

3-boyuttaki bir dönen küpün gölgesi 4-boyutlu bir hiper küpün gölgesi Ankara YEF Seminerleri-07 22

6-ekstra boyut Calabi-Yau manifoldları 2-ekstra boyut= Küre yüzeyi Ankara YEF Seminerleri-07 23

Bazı Hatırlatmalar: Ankara YEF Seminerleri-07 24

Peryodik sınır koşulları: x x+2πr R R yarıçaplı çember üzerinde hareket eden bir parçacığın Momentumu P n = n/r E 2 = (p x c) 2 + (p y c) 2 + (p z c) 2 +(mc 2 ) 2 4-boyutta m kütleli bir parçacığın enerjisi 5-boyutta m kütleli parçacığın enerjisi E 2 = (p x c) 2 + (p y c) 2 + (p z c) 2 + (p n c) 2 + (mc 2 ) 2 4- boyutta kütle M = m + n R Ankara YEF Seminerleri-07 26

Kompleks Klein-Gordon Alanı-Çembersel Ekstra Boyut Silindir koşulu yok! Ankara YEF Seminerleri-07 28

Taban durumu Ankara YEF Seminerleri-07 29

Bazı sonuçlar Her bir alan için sonsuz bir Kaluza-Klein kulesi var: Elektronun Kaluza- Klein kulesi Fotonun Kaluza- Klein Kulesi Kuarkların Kaluza- Klein kulesi, Bilinen parçacıklar bu kulelerin taban durumlarına karşılık geliyorlar! Kuledeki her bir durum taban durumu ile aynı kuantum sayılarına sahip kütle özdurumları dejenere! Ankara YEF Seminerleri-07 30

2.2 Orbifold Kompaktlaştırması 1-küre: çember 2-küre: küre yüzeyi 2- torus Manifold köşe noktası-uç noktası yok, Sonlu doğrusal aralık 2-tane sonlu doğrusal aralık 1-küre x sonlu aralık Köşe noktaları-uç noktaları var orbifold Ankara YEF Seminerleri-07 31

Matematiksel olarak bir orbifoldun kuruluşu: - Bir M manifoldu al, - M nin üzerinde bir Γ kesikli simetrisi tanımla, -M/ Γ bölüm uzayı bir orbifoldtur. Ankara YEF Seminerleri-07 32

Özdeş noktalar! Ankara YEF Seminerleri-07 33

Ankara YEF Seminerleri-07 34 - Orbifoldun sabit noktaları olmadan geri kalan uzay bir manifolddur, - Orbifoldun hacmi genelde manifoldun hacminden küçüktür.

Güncel terminolojide bazı kavramlar: Bulk: İçinde yaşadığımız 4-boyutlu uzayzaman ile birlikte bunlara dik Olarak öngörülen d-ekstra boyutun birlikte oluşturdukları (4+d)-boyutlu büyük evren Zar(brane): Bulk içindeki alt uzaylar; Örnek: Bulk 5-boyutlu uzay-zaman ise içinde yaşadığımız 3-boyutlu uzay bir 3-zar olarak ele alınır Ankara YEF Seminerleri-07 37

3. Ekstra Boyutların bir Sınıflandırması 1. Şimdiye kadar ele alınan ekstra boyutlarda tüm kuvvetler ve parçacıklar ifade edilebiliyorlardı: bu türden ekstra boyutlar Kaluza ve Klein ın orijinal olarak öngördükleri evrensel ekstra boyutlardır Evrensel ekstra boyutlarda tüm parçacıkların uyarılmış Kaluza-Klein durumları vardır. 2. Bilinen parçacıkların ve ayar kuvvetlerinin ekstra boyutlara kaçmalarına izin verilmeyen sadece gravitasyonun ekstra boyutlara geçmesine izin verilen sadece-gravitasyon türü ekstra boyutlar ADD türü ekstra boyutlar RS türü kıvrılmış ekstra boyutlar 5-boyutlu uzay-zaman için S 5 = d 4 x dy {L bulk + L zar δ(y)} Bilinen dünya y=0 3-zarında Ankara YEF Seminerleri-07 38

Bizim evrenimiz Ankara YEF Seminerleri-07 39

4. Ekstra Boyutların Sınırları Şu an için ekstra boyutlar hakkındaki en önemli deneysel gerçeklik: Herhangi bir türden herhangi bir ekstra boyuta dair bir kanıt henüz yok! Güncel hızlandırıcılarda 10-18 m~1tev mertebesine kadar duyarlı ölçümler yapılıyor. ADD ve RS türü büyük ekstra boyutlar varsa 1TeV in üzerindeki enerjilerde gözlenebilir Bilinen parçacıklar ve ayar kuvvetleri bir 3-zara hapsedilmişse ve bulkun tümünde hareket edilmesine izin verilen tek alan graviton ise o zaman gravitasyon deneyleri ekstra boyutların araştırılmasında daha önemli olabilir. Böyle deneylerde, Newton un ters kare kuvvet yasası doğrudan(cavendish türü deneylerle) test edilebilir veya astrofizik ya da kozmoloji gözlemlerinden yararlanılabilir. Ankara YEF Seminerleri-07 40

Cavendish türü deneyler Ters-kare kuvvet yasasından 4-boyutlu gravitasyon alanı(graviton) sorumlu kütleli gravitonların katkısı Ankara YEF Seminerleri-07 41

Bu bölge %95 Güvenilirlik Seviyesinde deneysel olarak dışarlanmış! g 1 Ankara YEF Seminerleri-07 42

Hızlandırıcı Deneyleri Hızlandırıcılarda iki türlü ekstra boyut etkisi gözlenebilir: İlki, soldaki şekildeki gibi bir graviton 3-boyutlu dünya üzerinden ekstra boyutlara(megaevrene) kaçar ve ortada 3-boyutlu dünyada bir kayıp enerji gözlenir. Sağdaki etkileşmede graviton kısa süreliğine dünyayı terkeder ve hemen sonra iki fotona bozunarak dünyaya geri döner(d0 koloborasyonu) Ankara YEF Seminerleri-07 43

Tartışma-1: Ekstra Boyutların olası sonuçları: Kuvvetleri birleştirebilir Newton yasası: kısa ve uzun mesafede değişebilir, gravitasyonun Neden zayıf olduğunu açıklayabilir. EWSB: Higgs ile, veya Higgs olmadan, parçacıkların kütle kazanma mekanizması hakkında fikir verebilir. Fermion kütleleri: Yukawa bağlaşımları ν kütleleri/karışımlar: bulk neutrinoları GUT: SUSY GUT: yeni kozmoloji-karanlık madde adayları kozmolojikl sabit. Dvali et al. Cheng et al.; Luty et al.; Hall et al.; Ignatius et al.; Z. Chacko and A. Nelson C. Csaki et al. kmirabelli and Schmaltz; Arkani-Hamed et al. Mohapatra, Nandi, Perez-Lorenzana; Dienes et al.; Dimopoulos et al. Dienes, Dudas, Gherghetta; Dumitru and Nandi. Hall and Nomura; Hebecker and March-Russell et al. Binetruy et al.; Kaloper et al.; Csaki et al.; Flanagan et al.; Cline et al.; Kanti et al.; Mohapatra et al. Arkani-Hamed et al.; Silverstein et Ankara al.; Luty YEF et Seminerleri-07 al. 44

Bazı Kaynaklar 1. G. Nordström, On the possibility of a unification of the electromagnetic and gravitation fields, Phys. Zeitsch. 15, 504 (1914) 2. Th. Kaluza, On the unity problem of physics, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Phys. Math. Klasse 966(1921) 3. O. Klein, Quantum theory and five dimensional theory of relativity, Z. F. Physik 37, 895(1926) 4. L. Randall and R. Sundrum, Phys. Rev. Lett. 83, 3370 (1999) hep-ph/9905221; Phys. Rev. Lett. 83, 4690 (1999) hep-th/9906064 5. T. Appelquist, et al. Modern Kaluza-Klein Theories, 1987 5. K. Dienes, 2002 TASI Lectures, 6. T. Rizzo, hep-ph/0409309 7. J. Hewett, 2006 Summer School on Particle Physics at ICTP Lecture Notes 8. Tao Han, Univ. of Arizona, Oct. 29, 2004, lecture notes Teşekkürler! Ankara YEF Seminerleri-07 46