SAB 101 OLASILIK DERS NOTLARI Prof.Dr. Fatih TANK Ankara Üniversitesi Uygulamalı Bilimler Fakültesi Sigortacılık ve Aktüerya Bilimleri Bölümü Prof.Dr. Fatih TANK - Olasılık Ders Notları- Sayfa : 1/7
Haftalık öğrenim kazanımları 1 Geometrik dağılım, 2 Negatif Binom dağılımı, Prof.Dr. Fatih TANK - Olasılık Ders Notları- Sayfa : 2/7
Geometrik Dağılım Tanım (Geometrik Dağılım) Basarı olasılığı p olan bir Bernoulli denemesi, aynı sartlar altında, bağımsız olarak bir basarı elde edinceye kadar tekrarlansın. Yapılan deneme sayısı X rasgele değiskeni olsun. olmak üzere X rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu f (x) P(X x) P( BB...B B) P B P B...P B P {z } (B) q x 1 p, (x 1, 2,...) {z } n 1 tane n 1 tane F (x) P (X x) x q j 1 p 1 q x, (x 1, 2,...) j1 M X (t) E e tx x e tx f (x)... E(X) dm X(t) dt pet 1 qe t, qe t < 1, t < ln q... 1 t0 p, E(X2 ) d2 M X (t) t0 dt 2... 1+q Var (X) E X 2 (EX) 2 q olmaktadır. Prof.Dr. Fatih TANK - Olasılık Ders Notları- Sayfa : /7
Geometrik Dağılım Örnek Bir atıcı için belli bir hedefi vurması olasılığının p0,75 olduğu bilinsin. Atıcı, hedef bir isabet alıncaya kadar atıs yapmaya kararlıdır. a) Hedefi 4 atıstan önce vurması olasılığı? b) En az atış yapması olasılığı nedir? c) 10 atış yaptığı bilindiğinde bundan sonra en az atış yapması olasılığı nedir? d) Amacına yanında bulunan 2 mermi ile ulaşması olasılığı nedir? e) Hedefin değeri 200 TL ve bir atışın maliyeti 100 TL olduğuna göre, böyle bir oyunda kazancın beklenen değeri nedir? Kazancın olasılık dağılımı nedir? f) Oyunun dürüst olması için hedefin değeri ne olmalıdır? Çözüm Hedef bir isabet alıncaya kadar yapılan atıs sayısı X rasgele değiskeni olsun. X Geometrik Dağılıma sahiptir. f (x) q x 1 p 1 4 x 1 4, x 1, 2,... a) Hedefi 4 atıştan önce vurması olasılığı: P (X < 4) f (1) + f (2) + f () b) En az atış yapması olasılığı: 1 0 4 4 + 1 1 4 4 + 1 2 4 4 6 64 P (X ) 1 P (X < ) 1 f (1) f (2) 1 P (X ) 1 P (X 2) 1 F (2) 1 1 1 4 4 4 1 16! 1 2 1 4 16 Prof.Dr. Fatih TANK - Olasılık Ders Notları- Sayfa : 4/7
Geometrik Dağılım Çözüm c) 10 atış yaptığı bilindiğinde bundan sonra en az atış yapması olasılığı P (X 1jX > 10) d) Amacına yanında bulunan 2 mermi ile ulaşması olasılığı e) Kazanç K 200 100X P (X 1) P (X 12) P (X > 10) P (X 10) 1 F (12) 1 F (10) q12 q 10 q2 1 16 P (X 2) f (1) + f (2) 4 + 1 4 4 15 16 E(K) 200 E(X) 200 100. 4 200 k 100 0 100 200 00... f (k) /4 /16 /64 /256 /1024... f) Oyunun dürüst olması için kazancın beklenen değeri 0 olmalıdır. K a 100X den E(K) 0 olmalı 0 a 100E(x) a 400 ) a 400 Prof.Dr. Fatih TANK - Olasılık Ders Notları- Sayfa : 5/7
Negatif Binom Tanım (Negatif Binom ) Başarı olasılığı p olan bir Bernoulli denemesinin aynı şartlar altında bağımsız olarak k başarı elde edinceye kadar yapılması deneyini göz önüne alınsın. X rasgele değişkeni, k başarı elde edilinceye kadar yapılan denemelerin sayısının dağılımı Negatif Binom dır. x 1 f (x) k 1 q x k p k, (x k, k + 1, k + 2,...) M X (t) E e tx e tx x 1 xk k 1 E(X) dm X(t) dt... k t0 p, E(X2 ) d2 M X (t) dt 2 q x k p k... pe t k 1 qe, t < ln q t t0... k(k+q) Var (X) E X 2 (EX) 2 kq Örnek Bir atıcı için belli bir hedefi vurması olasılığının p0,75 olduğu bilinsin. Atıcı, hedef isabet alıncaya kadar atış yapmaya kararlıdır. a) Hedefi 4 atıstan önce vurması olasılığı? b) En az atış yapması olasılığı nedir? c) 10 atış yaptığı bilindiğinde bundan sonra en az atış yapması olasılığı nedir? d) Amacına yanında bulunan 2 mermi ile ulaşması olasılığı nedir? e) Hedefin değeri 200 TL ve bir atışın maliyeti 100 TL olduğuna göre, böyle bir oyunda kazancın beklenen değeri nedir? Kazancın olasılık dağılımı nedir? f) Oyunun dürüst olması için hedefin değeri ne olmalıdır? Prof.Dr. Fatih TANK - Olasılık Ders Notları- Sayfa : 6/7
Çözüm Hedef isabet alıncaya kadar yapılan atıs sayısı X rasgele değiskeni olsun. X Negatif Binom na sahiptir. 4 1 1 4 a) P (X 4) 1 4 4 81 256 b) P (X 4) f () + f (4) 4 1 4 + 1 1 4 4 4 189 256 c) P (X 4) 1 P (X < 4) 1 f () 1 4 148 256 d) P (X 5)... 459 512 e) K 200 100X ) E(K) 200 100E(X) 600 100.4 200 k 200 100 0 100 200... f (k) 108/256 81/256 81/512 15/2048 567/1684... f) K a 100X ) 0 a 100E(X) ) a 400 Prof.Dr. Fatih TANK - Olasılık Ders Notları- Sayfa : 7/7