Erciyes Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt 33, Sayı, 7 Erciyes University Journal of Natural and Applied Sciences Volume 33, Issue, 7 Çolu Unutma Fatörleri ile Uyarlı Kalman Filtresi İçin İyileştirme Cener Biçer *, Levent Özbe Kırıale Üniversitesi Fen Edb. Fa. İstatisti Bölümü Anara Üniversitesi Fen Faültesi İstatisti Bölümü (Alınış / Received: 3..6, Kabul / Accepted:.3.7, Online Yayınlanma / Published Online:.4.7) Anahtar Kelimeler Dinami Sistemler, Durum ahmini, Kalman Filtresi, Unutma Fatörü, Uyarlı Kalman Filtresi Öz: Kalman filtresi dinami sistemlerde durum tahmin probleminin çözümü için ullanılan popüler bir tahmin yöntemidir. Fen, mühendisli, eonomi, aseri vb. olma üzere birço alandan probleme olayca uygulanabilir. Sistem arateristileri doğru olara bilindiği sürece Kalman filtresi en iyi tahmin performansı ile çalışır. Anca sistem arateristilerinin ısmen bilindiği durumlarda veya yanlış bilindiği durumlarda filtrenin tahmin performansında ciddi ayıplar olması açınılmazdır. Kalman filtresindei performans aybı probleminin üstesinden gelebilme için şu ana adar ço sayıda çalışma yayınlanmıştır. Bir ısım araştırmacı tarafından Sistem arateristilerinin ısmen veya tamamen hatalı bilinmesi durumunda, filtrelemede bazı güçlendirmelerin yapılmasını sağlayaca unutma fatörü ile uyarlanmış Kalman Filtresi tanıtılmıştır. Adaptive estimation of multiple fading factors in Kalman filter for navigation applications (AEMFFKF) bu çalışmalardan bir tanesidir. Bu çalışmada, çolu unutma fatörüyle uyarlı Kalman filtresi incelenmiş ve AEMFFKF yönteminde belirlenemeyen unutma fatörlerini belirleyebilme için adaptif bir tahmin algoritması önerilmiştir. Ayrıca yapılan simülasyon çalışmasıyla Kalman filtresinin performansı ile uyarlı filtrenin tahmin performansı arşılaştırılmıştır. Improvement for the Adaptive Kalman Filter with Multiple Fading Factors Keywords Dynamical Systems, State Estimation, Kalman Filter, Fading Factors, Adaptive Kalman Filter Abstract: hekalman filter is most popular estimation technique for solving state estimation problems of dynamical systems and it has been the most frequently used algorithm in applications from different areas such as science, military and economics etc. he Kalman filter wors best with predictive performance as long as system characteristics are nown correctly. However, the performance of the Kalman filter will dramatically decrease when system characteristics are either unnown or partially nown. Numerous studies have been published so far to get over the problem of performance loss in the Kalman filter. Some researchers introduced a fading factor to improve the performance of the Kalman filter under unnown or partially nown initial information. Adaptive estimation of multiple fading factors in Kalman filter for navigation applications (AEMFFKF) is one of these studies. In this paper, adaptive fading Kalman filter with the multiple forgetting factors is considered and an adaptive estimation algorithm is proposed to determine forgetting factors which can not be determined in the AEMFFKF. In addition, A Monte Carlo simulation is performed to compare the estimation performances of the Kalman filter with the adaptive filters. cbicer@u.edu.tr 4
Çolu Unutma Fatörleri ile Uyarlı Kalman Filtresi için İyileştirme. Giriş Kalman filtresi; fen, mühendisli, eonomi, aseri vb. birço alandan dinami sistemin durum tahmin probleminde sılıla ullanılan bir yöntemdir. Filtreleme problemi oluşturuluren sistem gürültü süreçlerinin ovaryans matrislerinin ve modelde yer alan matrislerin tam olara bilindiği varsayımı yapılır. Bu matrisler tam olara bilindiğinde Kalman Filtresi en iyi sonucu verir [,]. Anca uygulamada bu matrisler tam olara bilinmez. Bu durum filtrenin başarımını olumsuz yönde etileyebilir ve filtre tahminlerinde ırasama meydana gelebilir [3]. Bu sorunun üstesinden gelebilme için çeşitli uyarlı filtrelerin önerildiği ço sayıda çalışma yapılmıştır. Yapılan bu çalışmalara örne Yang vd. [4], Ding vd. [5], Yang vd. [6], Jwo ve Weng [7], Geng ve Wang [8], Biçer [9], Biçer vd. [], Özbe ve Efe[5] şelinde verilebilir. Önerilen bu uyarlama yöntemlerinden bir tanesi filtrenin bir unutma fatörüyle uyarlanmasıdır. Fagin [] tarafından yeni gözlemlerin esi gözlemlere göre daha ço bilgi içerdiğini göz önünde bulundurara gözlemlerin üstel olara ağırlılandırılabileceği bildirilmiştir. Xia vd. [], Fagin [] in önerdiği bu yöntemi dinami sistemlere uyarlayara, modelin hatalı veya esi bilgiyle oluşturulması durumunda filtre tahminlerinde bazı güçlendirmelerin yapılmasını sağlayaca, saler unutma fatörünün hesaplanması için çeşitli algoritmalar önermiştir. Kalman filtresinin unutma fatörü ullanılara uyarlanmasında amaç hata ovaryansının unutma fatörü aracılığıyla yeniden ölçelenmesiyle filtrenin gelen veri ile uyum içinde çalışmasını sağlamatır. Böylece filtre esi bilgiyle çalıştırıldığında veya sistem parametrelerinde bilinmeyen bir değişimle arşılaşıldığı anlarda unutma fatörü hata ovaryansını yeniden ölçelendirece ve tahmin ırasamasının önüne geçilebilecetir. Unutma fatörü ullanılara uyarlanan Kalman filtresinin en iyi başarımla çalışması, unutma fatörünün en iyi olara belirlenmesine bağlıdır. Her ne adar Kalman filtresinin saler bir unutma fatörüyle uyarlanması te değişenli sistemler için bir başarım artışı sağlasada, ço değişenli ve daha armaşı sistemlerde modelleme hatası her değişen için farlı oranlarda olabileceğinden, saler unutma fatörü yerine çolu unutma fatörü ullanılması daha uygun görünmetedir. Geng ve Wang [8] bu durumu göz önünde bulundurara, hata ovaryansını çolu unutma fatörüyle ölçelendiren ve filtreleme aşamasında hesaplanan inovasyon sürecini Normal dağılımlı olaca şeilde ayarlayan AEMFFKF yöntemini önermişlerdir. Anca, AEMFFKF yönteminde sadece üzerinden gözlem alınabilen durum değişenlerine arşılı gelen unutma fatörleri hesaplanabilmetedir. Her ne adar AEMFFKF saler unutma fatörüyle uyarlanmış filtre tahminlerine göre bir başarım artışı sağlasada, ço değişenli sistemlerde en iyi filtre tahminlerine ulaşabilme için bütün durum değişenlerine arşılı gelen unutma fatörlerinin belirlenmesi daha uygun olacatır. Çünü arşı arşıya alınan bilgi esiliği, sistem parametrelerindei değişim veya hata bütün değişenler için söz onusu olabilir ve etileri bertaraf edilmelidir. Bu çalışmada, ço değişenli sistemlerde farlı nedenlerden aynalanabilece ırasama probleminin üstesinden gelebilme için Kalman filtresinin çolu unutma fatörüyle uyarlanması ele alınmıştır. Bu amaç doğrultusunda çalışmanın iinci bölümünde Kalman filtresi ile birlite AEMFFKF yöntemi ısaca açılanmıştır. 3. bölümde AEMFFKF yönteminde belirlenemeyen unutma fatörlerini belirleyebilme için yeni bir tahmin algoritması önerilmiştir. Ayrıca yine üçüncü bölümde, Kalman filtresi, AEMFFKF ve önerilen adaptif yöntemin tahmin performanslarını arşılaştırma için bir ompartman modeli üzerinde yapılan simülasyon çalışması ve çalışma neticesinde elde edilen sonuçlar üzerinde durulmuştur.. Materyal ve Metot.. Kalman Filtresi ve Kalman Filtresinde Çolu Unutma Fatörlerinin Adaptif ahmini Bir lineer dinami sistem olara x x w () / z H x v () alınsın. Burada n x durum vetörü y m gözlem vetörü, nn durum geçiş matrisi, n m gözlem tasarım matrisi w ve v ilişisiz ve sırasıyla Q, R ovaryans matrislerine sahip beyaz gürültü süreçleridir. Bu gösterimler altında Kalman filtresi, xˆ xˆ (3) / / H mn
Çolu Unutma Fatörleri ile Uyarlı Kalman Filtresi için İyileştirme P P Q (4) / / / K P / H H P H R / / xˆ xˆ K z H xˆ (6) / P I KH P (7) eşitlileri ile verilir [9]. Burada xˆ durum vetörünün bir öngörüsünü, P durum öngörüsüne ait hata ovaryans matrisini, K Kalman azancını, ˆ göstermetedir. Ayrıca inovasyon süreci x durum tahminini ve (5) P tahmine ait hata ovaryans matrisini v ˆ z H x / (8) dır [,3]. Eğer w ve v gürültü terimleri normal dağılımlı beyaz gürültü süreçleri ve filtre ararlı durumda ise H P H R (8) eşitliği ile verilen inovasyon süreci sıfır ortalamalı ve / ovaryanslı Normal dağılımlı beyaz gürültü süreci olur. Yani, v N, H P / H R (9) Ayrıca, (7) eşitliğinin ullanılmasıyla inovasyon sürecine ait ovaryans / / Cov v H P Q H R () olara yazılabilir. Geng and Wang [8] filtrenin uyarlanıp uyarlanmamasına arar verebilme için, uyarlama işleminin il aşamasında, inovasyon sürecinin sıfır ortalma ve H P / H R ovaryans ile Normal dağılıma sahip olup olamadığının test edilmesi geretiğini belirtmiş ve bir test istatistiği olara araştırmacılar tarafından / v H P Q H R v m () önerilmiştir. est için arar uralı ise test red () test abul (3) şelindedir. Burada m, anında gözlemlenebilir olan değişenlerin sayısı, test istatistiği için bir ölçe, istenen güven düzeyindei Ki-are dağılımına ait riti değerdir. Eğer test reddedilememiş ise (9) eşitliği ile verilen varsayım doğrudur, asi tadirde (9) varsayımı sağlanmamış demetir. Bu durumda (9) varsayımının sağlanabilmesi için Geng ve Wang [8], (4) ile verilen öngörü hata ovaryans matrisinin yerine P S / P / S Q (4) alınması ile Kalman filtresinin uyarlanmasını önermiştir. Burada S ösegen s, s,..., s biçiminde çolu unutma fatörüdür ve filtre en iyi tahminleri üretece şeilde S çolu unutma fatörünün belirlenmesi gereir. Geng ve Wang [8] tarafından sadece ölçe fatörlerinin hesaplanmasında ullanılaca ve n H, mm m n m nm mn (5) 43
Çolu Unutma Fatörleri ile Uyarlı Kalman Filtresi için İyileştirme oşulunu sağlayaca şeilde yeni bir gözlem matrisi göz önüne alınmıştır. Burada ösegen,, dır. (4) ve (5) eşitlilerinden () ile verilen aresel form, mm m / / v H S P S Q H R v m (6) biçiminde yazılabilir. Ayrıca A H S P S H (7) / / B H Q H R (8) J P (9) / / biçiminde tanımlanırsa,,..., a s j i m () ii i i ii aii ve ii eşitliği sağlanır. Burada j sırasıyla A ve fatörüdür. Eğer filtre en iyi tahminleri üretiyor ise inovasyon süreci eşitliği sağlanır [4]. J matrislerinin i. ve j. elemanı, si ise i. unutma v (9) ile verilen dağılıma uyar ve () i ii vi a b ii () burada düzenlenirse bii, (8) eşitliği ile tanımlanan B matrisinin i. öşegen elemanıdır. () ile verilen eşitli ii vi a b ii i () elde edilir. Burada unutma fatörü vi, v nın i. elemanı ve i, r dir. () eşitliğinin () de ullanılmasıyla. andai s i vi max, bii vi bii, ii jii i jii ii jii i jii vi bii ii jii i jii (3) biçiminde seçilebilir. Geng ve Wang [8] tarafından geliştirilen bu yalaşım ile sadece üzerinden gözlem alınabilen durum değişenlerine arşılı gelen unutma fatörleri elde edilebilir. Üzerinden gözlem alınamayan durumlara arşılı gelen unutma fatörleri ise olara ayarlanır. Böylece. andai çolu unutma fatörü S diag s, s... s,,..., (4) olur [8]. m.. Belirlenemeyen Unutma Fatörlerinin Adaptif ahmini Bu ısımda AEMFFKF yöntemindei belirlenemeyen unutma fatörlerinin belirlenebilmesi üzerinde durulmatadır. 44
Çolu Unutma Fatörleri ile Uyarlı Kalman Filtresi için İyileştirme İl olara, belirlenemeyen unutma fatörlerinin belirlenebilmesi için (8) eşitliği ile verilen inovasyon süreci göz önüne alınsın. Optimal filtrede inovasyon süreci bir beyaz gürültü sürecidir ve P H K C (5) / z eşitliği sağlanır []. (5) eşitliğinin sağlanmadığı anlarda ise inovasyon süreci beyaz gürültü süreci özelliğini sağlamaz, yani filtre tahminleri optimal değildir ve filtre uyarlanmalıdır. Bu özelli göz önünde bulundurulara AEMFFKF yöntemindei belirlenemeyen unutma fatörleri belirlenebilir. Belirlenemeyen unutma fatörlerini tahmin etme sürecinin il aşamasında unutma fatörlerini S ösegen s, s... s, s, s..., s m m m n (6) s, s... s m (4) eşitliği ile tahmin edilen unutma fatörleridir. s, s..., s olara düşünelim. Burada m m n ise n mtane bilinmeyen unutma fatörüdür. (4) ve (6) eşitlileri (5) eşitliğinde yerine yazılırsa; z S P S Q H K C (7) olur. Burada Cˆ z z z j j j C z ovaryans matrisi gözlenmiş verilerden ardışı biçimde eşitliği ullanılara tahmin edilebilir. S matrisinin bilinmeyen n m tane elemanı tahmin etme için,,,, F s s s m m n ij, i j n m (8) fonsiyonunu tanımlayalım. Burada ij, (7) eşitliğinin sol tarafı olara tanımlanan z S P S Q H K C (9) matrisinin i, j. elemanıdır. (8) eşitliği ile tanımlanan F sm, sm,, sn, adar üçü olursa filtre en iyi tahmine o adar yalaşır. F sm, sm,, sn, filtre en iyi tahmini verir. Böylece en iyi matris unutma fatörü S, F s, s,, s, minimize edece biçimde, l l fonsiyonunun değeri ne nın mutla minimumunda ise m m n fonsiyonunu F l,,, (3) iteratif yöntemi ullanılara hesaplanabilir. Bu yöntem gradient yöntemi olara bilinir. Burada sm, sm,, sn ve 45
F sm, sm,, sn, sm F sm, sm,, sn, F sm F s, s,, sn, sn Çolu Unutma Fatörleri ile Uyarlı Kalman Filtresi için İyileştirme, l, anındai iterasyon indisi, ise gradiyent metodundai adım uzunluğudur. Ayrıca her anındai başlangıç değeri olara,,, değeri için, F l l F değeri seçilebilir. İterasyon işlemi yeterince üçü bir (3) şartı sağlandığında durdurulur. Böylece anındai i. i,, n unutma fatörü s i,, s l i, i, (3) olara seçilebilir. Burada, anındai l i, l. iterasyon sonucunda elde edilen. tahminidir. anındai en iyi matris unutma fatörü ise (3) eşitliğinden i unutma fatörünün S s, s, sq, (33) olara elde edilir [9]. 3. Bulgular Bu ısımda, bir öncei ısımda önerilen uyarlı yöntemin başarımını standart Kalman filtresi ve Geng ve Wang [8] tarafından önerilen uyarlı yönteme arşı değerlendirebilme amacı ile bir simülasyon çalışması yapılmıştır. Bu amaç doğrultusunda x x, c x, w x c c x,, y x v (34) (35) eşitlileri ile verilen ompartman modeli göz önüne alınsın. Burada x ve x sırasıyla bir ilacın sindirim sistemindei mitarı ve an dolaşım sistemindei mitarı olara tanımlansın. Sindirim sistemine verilen ilaç belli bir oranda azalara an dolaşım sistemine geçer. Aynı şeilde an dolaşım sistemine geçen ilaç mitarı da belli oranda metabolizmaya geçer veya boşaltım süreci yoluyla aybolur. Burada c sindirim sistemini araterize eden, c ise metaboli ve boşaltım sürecini araterize eden pozitif sabitlerdir. Çıtı değişeni bireyin an dolaşım sistemindei ilaç mitarıdır [9,]. Simülasyon çalışması ablo de verilen başlangıç değerleri ullanılara terarlı olara işletilmiş ve elde edilen sonuçlar şeil -5 de verilmiştir. 46 y
Çolu Unutma Fatörleri ile Uyarlı Kalman Filtresi için İyileştirme Değişenler ablo. Simülasyon çalışmasında ullanılan başlangıç değerleri. Sayıların üretilmesinde ullanılan Filtrelerin işletilmesinde ullanılan başlangıç başlangıç değerleri değerleri x, 7 x, 7 c c 37 c.9 37 c.6 37 c. 37 c.4 I 9 5 Q I.7.3 I I 6 R Ayrıca simülasyon çalışmasında örneleme zaman aralığı. ve n m ˆ i, j i, j HK x x i j olara alınmıştır. Şeillerde verilen KF: Kalman filtresi, Filtre : AEMFFKF, Filtre : Kısım. önerilen adaptif yöntem ile hesaplanan unutma fatörlerinin ullanılmasıyla oluşturulan uyarlı Kalman filtresi anlamındadır. Şeil. ve Şeil. filtrelerin sırasıyla birinci ve iinci ompartmanda yaptıları tahmin hatalarını göstermetedir. 3. Kompartman KF Filtre Filtre ahmin Hatası(x ) - - -3-4 3 4 5 6 7 8 9 Zaman () Şeil. Birinci ompartmandai tahmin hatası. 47
Çolu Unutma Fatörleri ile Uyarlı Kalman Filtresi için İyileştirme.5. Kompartman KF Filtre Filtre ahmin Hatası(x ).5 -.5 - -.5 3 4 5 6 7 8 9 Zaman () Şeil. İinci ompartmandai tahmin hatası. Büyü başlangıç tahmin hataları ile durum tahminine başlayan filtrelerde gözlenen tahmin hataları aynı oranda yüse olmala birlite uyarlı filtrelerin güncel durumlara daha hızlı yaınsadığı görülmetedir. Gerçe durumlara en hızlı yaınsayan filtre ise Kısım. de önerilen yöntemle unutma fatörlerinin hesaplandığı Filtre olmuştur bnz. Şeil-. Şeil3. ve Şeil4. de Filtre ve Filtre tarafından hesaplanan unutma fatörleri görülmetedir..5.5 3 4 5 6 7 8 9 Zaman ().5.5 3 4 5 6 7 8 9 Zaman () Şeil 3. Filtre tarafından hesaplanan unutma fatörleri. 48
Çolu Unutma Fatörleri ile Uyarlı Kalman Filtresi için İyileştirme.8.6.4. 3 4 5 6 7 8 9 Zaman () 4 3 3 4 5 6 7 8 9 Zaman () Şeil 4. Filtre tarafından hesaplanan unutma fatörleri. Büyü tahmin hatası ile tahmine başlayan uyarlı filtreler, optimal filtre tahminlerine ulaşma için başlangıç anından itibaren gereli unutma fatörlerini hesaplamaya başlamışlardır. Anca ullanılan modelde birinci durum değişeni üzerinden gözlem alınamadığından Filtre için birinci unutma fatörü hesaplanamamatadır ve olara seçilmetedir bnz. Şeil3. Bununla birlite Filtre inovasyon sürecini bir beyaz gürültü süreci olaca şeilde ayarlayan unutma fatörlerini hesaplamıştır bnz. Şeil4. Özellile başlangıç tahmin hatasının ve parametrelerin değişim anının olduğu ısımlarda değişim gösteren unutma fatörleri (bnz. Şeil3-4.) filtrenin gerçe durumlara daha hızlı yaınsamasını sağlamıştır bnz. Şeil -. Ayrıca simülasyon çalışmasında elde edilen en üçü hata areler toplamının Filtre ye ait olduğu görülmetedir bnz. Şeil5. 4 Hata Kareler oplamı 35 3 KF Filtre Filtre 5 5 5 4. artışma ve Sonuç 3 4 5 6 7 8 9 Zaman (s) Şeil 5. Filtre tahminlerine ait hata areler toplamı. Bu çalışmada lineer dinami sistemlerdei tahmin problemlerinde ullanılan Kalman filtresi ve Kalman filtresinde arşılaşılan ırasama problemi üzerinde duruldu. Irasama probleminin önüne geçebilme için Geng ve Wang [8] tarafından önerilen uyarlama yöntemi açılanmış, uyarlı filtrenin güçlendirilmesi için üzerinden gözlem alınamayan değişenlere arşılı gelen ve belirlenmemiş unutma fatörlerinin belirlenmesi için bir tahmin algoritması önerilmiştir. Önerilen yöntem ile elde edilen unutma fatörlerinin tahmin performansına atısı ise yapılan teni bir simülasyon çalışması ile değerlendirilmiştir. Simülasyon çalışması sonuçları göstermiştir i; önerilen yöntemle elde edilen unutma fatörlerinin ullanılmasıyla uyarlanan filtre gerçe 49
Çolu Unutma Fatörleri ile Uyarlı Kalman Filtresi için İyileştirme durumlara diğer filtrelerden daha hızlı yaınsamatadır ve filtre daha iyi bir tahmin performansı ile çalışmatadır. Kaynaça [] Anderson B. D. O., Moore J. B. 979.Optimal Filtering, Prentice Hall. Englewood Cliffs, NJ., 367s. [] Bar-Shalom Y., Li X. R., Kirubarajan.. Estimation with Applications to racing and Navigation: heory Algorithms and Software, John Wiley & Sons, Inc. USA, 584s. [3] Mehra, R.K. 97. Approaches to Adaptive Filtering. IEEE rans. Auto. Control, 7(97), 693 698. [4] Yang J. N., Lin S., Huang H., Zhou L. 6. An Adaptive Extended Kalman Filter for Structural Damage Identification, Struct. Control And Health Monit. 3(6), 849-867. [5] Ding, W., Wang, J., Rizos, C., & Kinlyside, D. 7. Improving adaptive Kalman estimation in GPS/INS integration. Journal of Navigation, 6(7), 57-59. [6] Yang J. N., Pan S., Huang H. 7. An Adaptive Extended Kalman Filter for Structural Damage Identification II: Unnown Inputs, Struct. Control And Health Monit. 4(7), 497-5. [7] Jwo D., Weng. 8. An Adaptive Sensor Fusion Method with Applications in Integrated Navigation, he Journal of Navigation, 6(8), 75-7. [8] Geng, Y., & Wang, J. 8. Adaptive estimation of multiple fading factors in Kalman filter for navigation applications. GPS Solutions, (8), 73-79. [9] Biçer, C.. Uyarlı Kalman Filtresinin Başarım ve Kararlılı Analizi, Anara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Dotora ezi, 67s, Anara. [] Bicer, C., Babacan, E. K., & Özbe, L.. Stability of the adaptive fading extended Kalman filter with the matrix forgetting factor, urish Journal of Electrical Engineering & Computer Sciences, (), 89-833. [] Fagin S. L. 964. Recursive linear regression theory: optimal filter theory and error analysis. IEEE Int Conv Rec.,(964), 6 4. [] Xia Q., Rao M., Ying Y., Shen X. 994. Adaptive Fading Kalman Filter with an Application, Automatica, 3(994), 333-338. [3] Grewal S., Andrews A. P. 8. Kalman Filtering heory and Practice Using Matlab, John Wiley & Sons Inc. USA, 59s. [4] Da R. 994. Failure detection of dynamical systems with the state Chi-square test, J Guid Control Dyn., 7(994), 7 77 [5] Ozbe, L., & Efe, M. 4. An adaptive extended Kalman filter with application to compartment models, Communications in Statistics-Simulation and Computation, 33(4), 45-58. 5