İstatistikçiler Dergisi

Transkript

1 İstatistiçiler Dergisi (008) İstatistiçiler Dergisi BAĞIMLI RİSKLER İÇİ TOPLAM HASAR MİKTARII DAĞILIMI Mehmet PIRILDAK Hacettepe Üniversitesi Fen Faültesi, Atüerya Bilimleri Bölümü, 06800, Beytepe, Anara, Türiye Ömer ESESOY Hacettepe Üniversitesi Fen Faültesi, Atüerya Bilimleri Bölümü, 06800, Beytepe, Anara, Türiye ÖZET Bu çalışmada, farlı sigorta ollarına ait poliçelerden oluşan bir portföyde sigorta ollarının bağımlı olması durumu ele alınmıştır. Sigorta şiretleri portföylerinde farlı sigorta ollarına ait poliçeler bulundurmatadır. Ris uramıyla ilgili atüeryal çalışmalarda genellile sigorta ollarının bağımsız olduğu varsayımı yapılır. Anca bu varsayım çoğu zaman gerçeçi bir varsayım değildir. Çalışmada farlı sigorta ollarına ait poliçelerden oluşan bir portföyde, hasar sayılarının bağımlı olması durumu genel eti modeliyle incelenmiş ve toplam hasar mitarının dağılımı hızlı Fourier dönüşümü ullanılara bulunmuştur. Anahtar Sözcüler: Bağımlı Risler, Hasar Dağılımları. ABSTRACT AGGREGATE CLAIM DISTRIBUTIO OF DEPEDET RISKS This wor is concerned with the portfolio consisting of dependent classes of business. In the portfolio of an insurance company, there exist policies from different classes of business. In most actuarial literature related to ris theory, it is assumed that classes of business are independent. However, there are practical situations for which this assumption is not appropriate. The number of claims for a portfolio consisting of different classes of business is assumed to be dependent and studied by means of common shoc models and the aggregate loss distribution is calculated by fast Fourier transform (FFT). Key Words: Dependent Riss, Loss Distributions.. GİRİŞ Sigortacılıta belirli bir zaman aralığında gerçeleşen hasar ya da ayıplara yapılan ödeme mitarlarının toplamı, toplam hasar mitarı olara adlandırılır. Toplam hasar mitarının dağılımı, hasar sayısı ve hasar mitarının dağılımları temel alınara hesaplanır. Literatürde toplam hasar mitarının dağılımının hesaplanması için değişi yöntemler geliştirilmiştir. Konvulüsyon yöntemi, Panjer in geriye doğru özyineli (recursive) algoritması, hızlı Fourier dönüşümü (Fast Fourier Transformation, FFT) bunlardan biraç tanesidir. Gelenesel olara atüeryal çalışmalarda portföyde yer alan poliçelerin birbirinden bağımsız olduları varsayımı yapılır. Anca bu varsayım ço gerçeçi bir varsayım olmamatadır ve son yıllarda yapılan çalışmalarda rislerin bağımlı olması durumu ele alınmatadır. Genel olara bağımlı hasarların bileşi dağılımlarının bulunabilmesi için rislerin marjinal dağılımların bilinmesi yeterli olmayacatır.

2 M. Pırılda, Ö. Esensoy / İstatistiçiler Dergisi (008) Bu nedenle bağımlılı modelinin seçimi bağımlılığı yaratan meanizmaya bağlı olara yapılmalıdır. Bu çalışmada farlı sigorta ollarından oluşan bir sigorta portföyünde, sigorta olları arasında bağımlılı olduğu durumlar için toplam hasar mitarının dağılımı FFT yöntemi hesaplanacatır. Çalışmada öncelile toplam hasar mitarının hesaplanması ve ris modelleri haında bilgi verilecetir.. Toplam Hasar Mitarının Dağılımı Oluşan sayıda hasar için yapılan i ödemelerinin toplamı, toplam hasar mitarı S S = () olara tanımlanır. raslantı değişenin olasılı fonsiyonu f ( i) = P( = i) biçiminde esili olara tanımlanmıştır. Burada in aldığı değerler hasar mitarı için seçilen uygun bir birim ve bunun atları biçimindedir. S nin olasılı fonsiyonu: f S ( s) = P( S = s) = n= 0 P ( = n) P( S = s = n) () ile gösterilir. Eşitli () de verilen toplam, arateristi fonsiyonlar türünden aşağıdai biçimde yazılabilir: φ ( t) = E e S it( S ) it( [ ] E [ E[ e + + ) = ]] [ φ ( t) ] = P ( φ ( t)) = E. (3) Burada P hasar sayısı nin olasılı çıaran (probability generating function) fonsiyonudur [4], [3]... Hızlı Fourier Dönüşümü Karateristi fonsiyonların hızlı Fourier dönüşümü (FFT) ullanılara ters fonsiyonunun bulunmasıyla esili raslantı değişenlerinin yoğunlu fonsiyonları elde edilir. Tanım (): Herhangi bir f(x) süreli olasılı fonsiyonunun Fourier Dönüşümü ~ itx f ( t) = f ( x) e dx ile tanımlanır. Orjinal fonsiyon ise endi Fourier dönüşümünden itx f ( x) = ~ f ( t) e dt π (4) (5)

3 M. Pırılda, Ö. Esensoy / İstatistiçiler Dergisi (008) fonsiyonu ile yeniden elde edilebilir [3]. Tanımda verilen f(x) olasılı yoğunlu fonsiyonu ~ olduğunda, f ( t ) onun arateristi fonsiyonu olur. f(x) fonsiyonu esili olduğunda Tanım(), Tanım() dei gibi genelleştirilebilir. Tanım (): Eğer f x x in, n dönem boyunca periyodi olan, tüm tamsayı değerleri için tanımlanmış bir fonsiyon ise (tüm f x değerleri için; f x+n = f x ); ( f0, f,, f n ) vetörünün Kesili Fourier t Dönüşümü, x =,,0,,, için ~ f = f x n j= 0 f j π i exp n j =-,0,, (6) ~ ile tanımlanır. Buna e olara f da ayrıca n dönem boyunca periyoditir. f ters dönüşümü ile orjinal fonsiyon yeniden aşağıdai gibi elde edilebilir: f n j = n = 0 ~ fonsiyonunun ~ π i f exp j, j=-,0,, (7) n (3) eşitliği ullanılara toplam hasar mitarının dağılımı FFT yöntemi ile bulunabilir. FFT yöntemi ile toplam hasar mitarının dağılımının bulunmasında ullanılaca algoritma aşağıdai gibi verilmiştir: Hasar mitarlarının dağılım fonsiyonu F (x), r tamsayı olma üzere m= r olaca biçimde esili hale getirilir. Burada m, toplam hasar mitarının dağılımında (f S (x)) istenilen nota sayısını verece biçimde seçilmelidir (Eğer hasar mitarları dağılımdai nota sayısı m= r den az ise dağılım vetörünün sonuna, vetörün uzunluğu n oluncaya adar sıfır eleme geremetedir). Öncei adımda elde edilen hasar mitarlarının dağılımına FFT uygulanır ve böylece in arateristi fonsiyonu elde edilir. Buradai sonuç m= r uzunluğunda bir vetör olacatır. (3) eşitliği ullanılara toplam hasar mitarı S nin arateristi fonsiyonu elde edilir. Öncei adımda elde edilen S nin arateristi fonsiyonuna ters (Inverse) FFT (IFFT) uygulanara toplam hasar dağılımı elde edilmiş olur [4],[6]. 3. Farlı Sigorta Kollarının Birleştirilmesi ve K gibi bağımsız ii raslantı değişeninin toplamı arateristi fonsiyonlar cinsinden it( + K ) it itk it itk φ + K ( t) = E[ e ] = E[ e. e ] = E[ e ]. E[ e ] = φ ( t). φk ( t) (8) biçiminde yazılabilir. İi farlı sigorta olunun birleştirildiği varsayıldığında: o Birinci sigorta olunun hasar sayısı ve hasar mitarı, o İinci sigorta olunun hasar sayısı K ve hasar mitarı Y olsun. o,, K ve Y birbirinden bağımsız olduğu varsayılsın. Bu durumda ii sigorta olunun birleşimi Z = + + ) + ( Y + + Y ) ( K olara tanımlanır ve Eşitli (3) ile Eşitli (8) yardımıyla arateristi fonsiyonlar cinsinden

4 M. Pırılda, Ö. Esensoy / İstatistiçiler Dergisi (008) φ ( t) = P ( φ ( t)). P ( φ ( t)) (9) Z K Y şelinde yazılabilir. Karateristi fonsiyonlar arasındai ilişi ve bir öncei bölümde verilen hızlı Fourier dönüşümü algoritması ullanılara toplam hasar mitarının dağılımı elde edilebilir [6]. 3.. Bağımlı Değişenlerin (Rislerin) Toplamı Poliçeler arasında bağımlılı olduğu varsayıldığında, bağımlı değişenlerin bileşi olasılı çıaran fonsiyonları aşağıda verilen Teorem yarımıyla bulunabilir. Teorem: Herhangi bir değeri için,,, bağımlı değişenlerinin bileşi olasılı çıaran fonsiyonu P,, ve bileşi arateristi fonsiyonu φ,, ise; S = toplamının olasılı çıaran fonsiyonu ve arateristi fonsiyonu aşağıdai gibi yazılabilir [6]: P t) = P ( t,, t), φ ( t) = φ ( t,, ). S (,, S,, t Benzer bir eşitli S nin arateristi fonsiyonunu elde etme için de yazılabilir. S nin arateristi fonsiyonu elde edilditen sonra ters Fourier dönüşümü uygulanara S nin olasılı fonsiyonu elde edilir Hasar Sayıları Bağımlı Sigorta Kollarının Toplamı Hasar sayıları bağımlı olan ii portföy için; : Birinci Portfoyün hasar sayısını, K: İinci Portföyün hasar sayısını, : Birinci Portfoyün hasar mitarını, Y: İinci Portföyün hasar mitarını göstersin. ve K hasar sayılarının bağımlı olduğu, hasar sayılarının hasar mitarından bağımsız ve i ve Y j raslantı değişenlerinin birbirinden bağımsız olduğu varsayıldığında ii portföyün toplam hasar dağılımı, S = + + ) + ( Y + + Y ) (0) ( K olara yazılabilir. Bu durumda toplam hasarın olasılı çıaran fonsiyonu S ( + + ( ) ) + ( Y + + YK P t = E t = E t ) S = E [ ] [ ] ( + + n ) + ( Y + + Ym ), K E [ t = n, K m ] K [ P ( t) P ( t ] = = E ) = P )), K Y, K ( P ( t), PY ( t olara, arateristi fonsiyonlar cinsinden ise φ ( t) = P, ( φ ( t), φ ( t)) () S K biçiminde yazılır [6]. Y

5 M. Pırılda, Ö. Esensoy / İstatistiçiler Dergisi (008) Genel Etili Poisson Modeli Farlı sigorta ollarının birleştirilmesinde temel Poisson Modeli için farlı sigorta olunun birleştirildiği varsayılsın. j=,,,, olma üzere j inci sigorta olunun hasar sayısı λ j parametresi ile Poisson dağılıma sahip olsun. Hasar mitarlarının dağılım fonsiyonu da F j olsun. Burada farlı sigorta ollarından gelen hasar mitarlarının birbirinden bağımsız olduğu varsayılsın. Bu durumda toplam hasar mitarı için arateristi fonsiyonlar ullanılara, φ ( t) = S = j= j= e P j ( φ j λ j ( φ ( t ) ) j ( t)) λ ( φ ( t ) ) = e yazılabilir. Burada λ = λ + + λ ve λ λ φ ( t) = φ ( t) + + φ ( t) λ λ dir. Dolayısıyla farlı sigorta olunun birleştirilmiş toplam hasar mitarının hasar sayısının dağılımı λ = λ + + λ parametreli Poisson dağılımı, hasar mitarının dağılımı λ λ λ ( ) F x = F ( x) + F ( x) + + F ( x ) () λ λ λ olur. Bireysel risler, hasarı yaratan meanizmaya ya da genel eonomi yasal değişililere bağımlı olabilir. Bireysel risler arasındai etileşimin bir dış etiye bağlı olduğu durumların modellenmesi gereir. Yüse afet risi olan bölgelerde, afetin yarattığı genel eti (common shoc), sigorta olları arasındai bağımlılığın artmasına neden olabilir. Genel etili Poisson modeli Wang (998), Wu ve Yuen (003) ile Cossette ve Marceau (000) tarafından yapılan çalışmalarda da ele alınmıştır. Bağımlı ii birleşi Poisson dağılımının toplamı ele alındığında;. Portföy için: Hasar sayısı, λ parametresi ile Poisson dağılımına ve hasar mitarı ise f (x) olasılı dağılımına sahip olsun.. Portföy için: Hasar sayısı, λ parametresi ile Poisson dağılımına ve hasar mitarı Y ise f (y) olasılı dağılımına sahip olsun. ve Y nin birbirinden ve (, ) den bağımsız olduğu, anca ve nin genel eti modeliyle bağımlı olduğu varsayılsın. = 0 b, = 0 b. Burada 0 ~Poisson(λ 0 ), b ~Poisson(λ -λ 0 ) ve b ~Poisson(λ -λ 0 ) olur. Modelde ve arasındai bağımlılı 0 dan aynalanmatadır. Genel eti modelinde (, ) nin bileşi olasılı çıaran fonsiyonu Cov[, ] = Var[ 0 ] = λ0 ien P (t,t ) = E t, [, t ] = ile gösterilebilir. İi ris portföyünün toplamı ise [ λ (t ) + λ (t ) + λ (t )(t ) ] exp 0 S = ( + + ) + (Y Y ) + + ile gösterilir ve toplam hasar mitarı,

6 M. Pırılda, Ö. Esensoy / İstatistiçiler Dergisi (008) λ λ0 λ λ0 λ0 f(x) = f(x) + f(x) + f* (x) (3) λ + λ λ0 λ + λ λ0 λ + λ λ0 biçiminde tanımlanmış Birleşi Poisson (λ +λ λ 0 ) dağılımına sahip olur. Burada f * : f ve f nin onvulüsyonunu göstermetedir. Böylece Genel Etili Poisson Modeli için hasar sayısı ve mitarının dağılımları elde edilir [6] Genel Etili egatif Binom Modeli egatif Binom dağılımı α n α + n P( n) λ = =, α + λ + λ α, λ > 0, n = 0,,, (4) biçiminde verilmiş olsun. Bu durumda egatif Binom için olasılı çıaran fonsiyon; P (t) = [ λ(t ) ] (5) olara yazılabilir. Hasar sayısının dağılımına baılmasızın genel bir ilişi yazılması durumunda, toplam hasar sayısının ortalaması her sigorta olunun hasar sayılarının ortalamalarının toplamına eşittir: E[ agg ] = E[ ]+ E[ ]++ E[ ] (6) Toplam hasar sayısının ortalaması ise, Var[ agg ] = Var i = Var[ i ] + Cov[ i, j ] i= i= i< j eşitliği ile hesaplanır. Burada Cov[ i,j] ρij i j (7) = olara tanımlanır. Farlı sigorta ollarının toplamının incelendiği modelde toplam hasar sayısının dağılımının belirlenmesinde sade ve diret bir yalaşım hasar sayılarının egatif Binom dağılımlı olduğunun varsayılmasıdır. Bu durumda egatif Binom un parametreleri Eşitli (6) ve (7) de verilen E[ agg ] ve Var[ agg ] ile tahmin edilebilir. Sigorta ollarının bileşiminin hasar mitarı ise yine her bir sigorta olunun bireysel hasar mitarlarının ağırlılılandırılmış ortalamasıyla bulunur: [ ] [ ] ( [ agg ] [ agg ] [ ] E E E F x) = F ( x) + F ( x) + + F ( x). (8) E E E [ ] agg ris portföyünün hasar sayılarının marjinal dağılımları ~egatif Binom(α,λ ),, ~egatif Binom(α,λ ) olara verilsin. α 0 min{α,,α } olma üzere her j, (j=,,) j = ja jb, ja ~B(α 0,λ j ), jb ~B(α j - α 0,λ j ) biçiminde birimlere ayrılsın. jb lerin bağımsız olduğu varsayıldığında (,, ) için bileşi olasılı çıaran fonsiyon P,, (t,,t ) = α0 { λ(t ) λ (t ) } { λ j(t j ) } j= α0 α j olur [5]. egatif Binom için de j inci sigorta oluna ait toplam hasar sayısı ii raslantı değişeninin toplamıyla bulunmatadır. j = jj + j0 (9) Burada, jj : j inci sigorta oluna ait bağımsız hasarların sayısını, j0 : bağımlı hasarların sayısını, j : j inci sigorta oluna ait toplam hasar sayısını

7 M. Pırılda, Ö. Esensoy / İstatistiçiler Dergisi (008) ifade etmetedir. ~ B( α, λ ) (j j j j j j =,) ~ B( α, λ ) (j,) (0) j 0 0 j = n adet bağımsız ve ( α i, λ) parametreli egatif Binom raslantı değişeninin toplamı α i, λ i= 0 parametresiyle egatif Binom dağılır []. Bu durumda α0 Cov[ i,j ] = α0λiλ j = E[ i ] E[ j ] () α α olur. i j Genel Etili egatif Binom modeli nde bağımlı değişenlerin bileşi olasılı dağılım fonsiyonu 0 0 [ E[ t t Θ] ] = M [ λ (t ) + λ (t ) ] P, (t,t ) = E Θ 0 0 α0 [ λ (t ) λ (t ) ] = olur. Bu nedenle, nin bileşi olasılı çıaran fonsiyonu P, (t,t ) = E t = E t (+ 0 ) ( + 0 ) [ t ] 0 0 [ ] E[ t ] E[ t ] t α j j [ λ j(t j ) ] P, (t,t ) 0 0 j= eşitliği ile yazılabilir. = () n 4. SAYISAL ÖREK Genel Etili Poisson Modeli ve Genel Etili egatif Binom Modeliyle bağımlı sigorta ollarının toplam hasar mitarı dağılımları öncei bölümde verilenler yardımıyla bulunabilir. Toplam hasar dağılımının esili olara hızlı Fourier dönüşümü yöntemiyle bulunabilmesi için farlı bilgisayar programlarını ullanma mümündür. Hasar mitarı dağılımlarını esilileştirebilme amacıyla, ullanılan yuvarlama yönteminde, adım sayısı olara n= r oşulunu sağlayan değişi n değerleri denenmiştir. Hesaplamalarda Microsoft Excel programında Fourier dönüşümü için destelenen en yüse adım sayısı olan 4096 değeri ullanılmıştır. Ayrıca esilileştirme işleminde ullanılaca olan h aralığı, seçilen adım sayısının yüseliği göz önüne alınara ve hasar mitarlarının dağılım fosiyonundai değişimini en düşü seviyede tutma için h= olaca biçimde seçilmiştir. 4.. Genel Etili Poisson Modeli Örneği Genel etili Poisson modelinde sigorta ollarının aşağıda verilen dağılımlara sahip olduğu varsayılmıştır. Birinci Sigorta olu için: ~Üstel (0,5) ~Poisson(5) İinci Sigorta olu için: ~Pareto (3;4) ~Poisson(5)

8 M. Pırılda, Ö. Esensoy / İstatistiçiler Dergisi (008) Genel etili Poisson modeli, bu ii sigorta olu için aşağıdai şeilde yazılabilir: = + = +. Burada, ve raslantı değişenleri λ, λ ve λ parametreli bağımsız Poisson dağılımlı raslantı değişenleridir: ~Poisson(λ +λ ) ve ~Poisson(λ +λ ) olur. Bu durumda ve arasındai bağımlılı her ii değişen için orta birim olan den aynalanmatadır ve ile arasındai ovaryans; Cov[, ] = λ ile gösterilir. Toplam hasar mitarı S nin ortalaması ve varyansı ise sırasıyla E[S] = (λ +λ )E[ ] + (λ +λ )E[ ], Var [ S] = ( λ + λ )E[ ] + ( λ + λ )E[ ] + λ E[ ] E[ ] olur. Farlı orelasyon atsayıları için λ nin aldığı değerler Çizelge de verilmiştir. Toplam Hasar mitarının dağılımı esili olara elde edilmiş ve Çizelge de verilmiştir. Çizelge. Genel Etili Poisson modeli için orelasyon atsayıları ρ(, )=0 ρ(, )=0,4 ρ(, )=0,8 λ 0 4 Cov[, ] 0 4

9 M. Pırılda, Ö. Esensoy / İstatistiçiler Dergisi (008) Çizelge. Genel Etili Poisson Modeline Göre Hesaplanmış Toplam Hasar Mitarı Dağılımları ρ(, )=0 ρ(, )=0,4 ρ(, )=0,8 s f(s) F(s) f(s) F(s) f(s) F(s) 0 0,0006 0,0006 0,008 0,008 0,0054 0,0054 0,0090 0,0050 0, , , ,030 0, , , ,069 0,004 0, , ,0336 0,0034 0,0303 0,0376 0, ,0045 0,038 0,049 0,037 0,0738 0, ,0457 0, ,084 0, ,0097 0, ,0903 0,0574 0,03 0, ,0443 0, ,0359 0,0800 0,064 0,040 0,0764 0,67 8 0,0804 0,0904 0,0988 0,3389 0,0305 0, ,039 0,43 0,033 0,670 0, ,90 0 0, ,77 0, ,089 0, ,57 0, ,60 0,0380 0,4099 0, ,69 0,0444 0,5754 0, ,8075 0, , ,0430 0, , ,360 0, , ,0447 0,3450 0,0440 0, , , , , ,0445 0, ,0386 0, , ,4345 0,0405 0, ,0385 0, ,0437 0, ,0404 0, , , ,0450 0,5036 0, ,548 0, , , ,566 0, ,5647 0, , , ,6005 0, , ,0336 0, ,0045 0, ,0079 0, ,00 0, ,009 0, ,0059 0,9856 0,0088 0, ,004 0,9890 0,004 0, ,0068 0, ,000 0, ,006 0, ,005 0, , , ,00 0, ,0035 0, , ,9973 0,0000 0, ,00 0, ,0007 0,9944 0, , ,0008 0, , , , ,9966 0, , , , ,0007 0,9938 0, , ,0005 0,9947 0, ,9930 0, , , , , , , ,9944

10 M. Pırılda, Ö. Esensoy / İstatistiçiler Dergisi (008) Genel Etili egatif Binom Modeli Örneği Genel etili Poisson modeline benzer şeilde ii sigorta olunun aşağıda verilen dağılımlara sahip olduğu varsayılsın. Birinci Sigorta olu için: ~Üstel (0,5) ~egatif Binom (;5) İinci Sigorta olu için: ~Pareto (3;4) ~ egatif Binom (;5) Genel etili egatif Binom modeli, bu ii sigorta olu için aşağıdai şeilde yazılabilir: = + 0 = + 0 olara yazılır. jj ~B(α jj,λ j ) ve j0 ~B(α 0,λ j ) tanımlamaları geçerlidir. Poisson modelinden farlı olara burada bağımlılı için α 0 değerini bulma gerelidir. Cov[, ] ve Eşitli (0) yardımıyla α 0 değeri bulunabilir. Toplam hasar mitarı S nin ortalaması ve varyansı; E[S] = (α + α 0 )E[ ] + (α + α 0 ) E[ ] Var[S]= α λ E[ ] + α λ ( E[ ]) + α λ E[ ] + α λ E[ ] olara yazılır. ( ) + α λ λ E[ ] E[ ] 0 Genel etili egatif Binom modeli için belenen farlı orelasyon atsayıları için ovaryans değerleri ve α 0 değerleri Çizelge 3 te ve Genel Etili egatif Binom Modeline göre esili olara elde edilen Toplam Hasar mitarının dağılımı Çizelge 4 te verilmiştir. Çizelge 3. Genel Etili egatif Binom modeli için orelasyon atsayıları ρ(, )=0 ρ(, )=0,4 ρ(, )=0,8 α 0 0 0,48 0,96 Cov[, ] 0 4

11 M. Pırılda, Ö. Esensoy / İstatistiçiler Dergisi (008) Çizelge 4. Genel Etili egatif Binom Modeline Göre Hesaplanmış Toplam Hasar Mitarı Dağılımları ρ(, )=0 ρ(, )=0,4 ρ(, )=0,8 s f(s) F(s) f(s) F(s) f(s) F(s) 0 0,0459 0,0459 0,0700 0,0700 0,446 0,446 0,030 0,0754 0, ,0973 0, ,5830 0,035 0,0667 0, ,4649 0,0407 0, ,034 0,3880 0,0360 0,85 0, , ,0369 0,750 0,0354 0,775 0, ,75 5 0,0394 0,0443 0, ,5 0, , ,039 0,3735 0,0334 0,8554 0,0385 0, ,0367 0,700 0,0339 0,3793 0,0306 0, ,034 0,305 0,033 0,3495 0,0877 0, ,0366 0,3339 0,030 0, ,0737 0, , , ,090 0, ,0606 0, ,0307 0, ,0798 0, ,048 0,4749 0,0930 0,4433 0,0686 0,4634 0,0364 0, ,0837 0,457 0,0575 0,4896 0,053 0, ,074 0,480 0,0466 0,538 0,048 0, ,064 0, ,0359 0,5374 0,0048 0, ,054 0,5396 0,055 0, ,0953 0, ,044 0, ,054 0,585 0,0863 0, ,0340 0, ,0056 0,6008 0,0777 0, ,040 0,607 0,096 0,669 0,0696 0, ,04 0,6358 0,0870 0, ,068 0, , , , ,970 0,004 0, , ,9470 0, ,9653 0, , , ,9454 0, ,9306 0, , ,0033 0, , ,9336 0, , ,003 0,9568 0,0038 0, , , ,0093 0,9546 0,003 0, ,0039 0, ,0076 0, ,0095 0,9495 0,0035 0, ,0059 0, ,0080 0, ,0030 0, ,0043 0,9639 0,0066 0,9484 0,0088 0, ,008 0, ,0053 0, ,0075 0, ,005 0, ,0040 0, ,0063 0,947

12 M. Pırılda, Ö. Esensoy / İstatistiçiler Dergisi (008) SOUÇ Farlı sigorta ollarına ait poliçelerden oluşan bir portföyde sigorta ollarına ait hasar sayılarının bağımlı olması durumunda toplam hasar mitarının hızlı Fourier dönüşümü yöntemiyle hesaplanması ele alınmıştır. Farlı sigorta ollarının birleştirilmesi işlemi için arateristi fonsiyonlar yardımıyla onvulüsyon metodu ullanılmıştır. Bileşi arateristi fonsiyonların elde edilmesi, bileşi dağılım fonsiyonların elde edilmesine göre daha olay olduğundan toplam hasar mitarının bulunmasında arateristi fonsiyonlar ullanılmıştır. Toplam hasar mitarının dağılımının elde edilebilmesi için belirlenen dağılımların esili dağılım biçimine getirilmesi geremetedir. Çalışmada dağılımları esili biçime getirme için Klugman ve diğerleri (998) de verilen yuvarlama yöntemi ullanılmıştır. Kesilileştirme işlemi için adım sayısı olara m= r oşulunu sağlayan değişi m değerleri ullanılmıştır. Çalışmada sunulan değerler ise m=4096 için bulunan değerlerdir. Değişi m değerleri için yapılan hesaplamalarda hızlı Fourier yönteminin m değerine duyarlı olduğu ve buna göre m değeri üçüldüçe sonuçlarda sapma olduğu gözlemlenmiştir. Ayrıca çalışmada bağımlı hasar sayısının bulunması için sigorta ollarının hasar sayıları arasındai ovaryanstan yararlanılmıştır. Seçilen orelasyon atsayıları için bulunan ovaryanslar yardımıyla bağımlı hasar sayısına ilişin parametreler bulunmuştur. Bulunan bağımlı hasar sayıları ullanılara toplam hasar mitarı hesaplanmıştır. Elde edilen sonuçlar Çizelge 3 ve Çizelge 4 te sunulmuştur. KAYAKLAR: [] Cossette, H., Marceau, E., 000, The discrete-time ris model with correlated classes of business, Insurance: Mathematics and Economics 6(), [] Dayin, C., Pentaiainen, T., Pesonen, M., (994). Parctical Ris Theory for Actuaries, London, Chapman & Hall. [3] Kaas, R., Goovaerts, M., Dhaene, J., (00). Modern Actuarial Ris Theory, Boston, Kluwer Academic Publishers. [4] Klugman, S. A., Panjer, H. H., Willmot, G. E., (998). Loss Models: From Data to Decisions, ew Yor, John Wiley & Sons, Inc. [5] Panjer, H. H., (98). Recursive Evaluation of a Family of Compound Distributions, ASTI Bulletin, -6. [6] Wang, S., (998). Aggregation of Correlated Ris Portfolios: Models and Algorithms, Proceedings of the Casualty Actuarial Society, [7] Wu,., Yuen, K.C., 003, A discrete-time ris model with interaction between classes of business. Insurance: Mathematics and Economics 33(), 7-33.