Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Jurnal f the Facult f Engineering and Architecture f Gazi Universit Cilt 8, N, 3-9, 03 Vl 8, N, 3-9, 03 FDFD(4) YÖNTEMİ İLE RASTGELE ŞEKİLLİ CİSİMLERDEN ELEKTROMANYETİK SAÇILMA DEĞERLERİNİN ESAPLANMASI Lkman KUZU *, Orhan ŞENGÜL ** ve Erdem DEMİRCİOĞLU *** * Türksat Udu aberleşme Kabl TV ve İşletme AŞ, Ar-Ge ve Udu Tasarım Direktörlüğü, Gölbaşı, ANKARA ** TUBİTAK Uza Teknljileri Araştırma Enstitüsü, ODTÜ Yerleşkesi, 0653, ANKARA *** Ankara Üniversitesi, Elektrik - Elektrnik Mühendisliği Bölümü, Tandğan, ANKARA lkuzu@turksat.cm.tr,drrhansengul@gmail.cm, demirciglu@ankara.edu.tr (Geliş/Received: 06.03.03; Kabul/Accepted: 08.04.03) ÖZET Günümüzde nümerik prblemler için hesaplama gücü düzenli larak artsa da, elektriksel larak büük prblemlerin bu öntemleri kullanarak çözülmesi hala ppüler bir araştırma knusu larak çalışılmaktadır. Snlu fark teknikleri bir çk elektrmanetik prblemlerin çözümünde kullanılmıştır. Bu öntemler hesaplama alanını arıklaştırmak için Yee hücresini kullanır. Snlu farklar frekans uzaı (Finite Difference Frequenc Dmain, FDFD) önteminde kullanılan standart Yee öntemi sadece ikinci dereceden dğruluğa sahiptir. Bu çalışmada, dördüncü dereceden (FDFD(4)) ve altıncı dereceden (FDFD(6)) dğruluğa sahip FDFD öntemleri sunulmuştur. Bu öntemlerde her bir hücre diğerlerinden bağımsız elektriksel dielektrik sabitesine, geçirgenlik değerine ve malzeme özelliklerine sahiptir. Bölece hmjen lmaan rtam ve malzemeler için klaca ugulanabilir esnekliğe ulaşılmıştır. Sunulan öntemin temel perfrmans kriterleri dğruluk ve hafıza ihtiacı larak belirlenerek bu kriterler çklu çözünürlük frekans uzaı (Multi-reslutin frequenc dmain, MRFD), standart FDFD öntemleri, analitik çözümler ve nümerik örneklerle karşılaştırmalı larak verilmiştir. FDFD(4) öntemi MRFD ve FDFD() öntemlerine göre sırasıla %63 ve %9 ranında bellek ve işlem süresi kazancı sağlamıştır. Arıca dairesel dielektrik silindir için %0,0094, kare dielektrik silindir için de %0,03 matris dldurma ranı elde edilmiştir. Anahtar kelimeler: Yüksek-dereceli FDFD öntemi, Çklu çözünürlük frekans uzaı, Yee hücresi ELECTROMAGNETIC SCATTERING COMPUTATION FROM ARBITRAY OBJECTS USING FDFD(4) METOD ABSTRACT In nwadas, it is still a challenge t slve electricall large prblems using numerical methds, althugh the cmputing pwer is increasing cntinuusl. Finite difference techniques have been widel used t slve man electrmagnetic prblems. These methds utilize the Yee cell t discretize the cmputatinal dmain. The standard Yee scheme used in Finite Difference Frequenc Dmain (FDFD) methd is nl secnd-rder accurate. In this stud, furth-and sith-rder accurate FDFD schemes are prpsed. One f the mst imprtant aspects f FDFD methds is fleibilit. Each cell can have a permittivit, permeabilit and ther material parameters independent f thers. Therefre it is eas t appl t nn-unifrm media. The fundamental perfrmances f the prpsed methds such as accurac and memr requirement are presented and cmpared t the multireslutin frequenc dmain (MRFD), standard FDFD schemes and analtical slutins thrugh several numerical eamples. FDFD(4) methd prvides 63% and 9% efficienc cmpared t MRFD and FDFD() respectivel. The matri fill rati fr circular and square clinder samples are achieved as 0.0094% and 0.03% crrespndingl. Kewrds: igher-rder FDFD scheme, Multireslutin frequenc dmain, Yee cell
L. Kuzu ve ark. FDFD(4) Yöntemi İle Rastgele Şekilli Cisimlerden Elektrmanetik. GİRİŞ (INTRODUCTION) FDFD ve MRFD öntemleri Mawell denklemlerinin çözümünde ugulanan matematiksel larak basit fakat kararlı öntemlerdir. Bu üzden bu öntemler ama anten dizilerinin [] ve eş-düzlemsel dalga klavuzlarının [] analizi, kiral şekillerden [3-5] ve genel kılavuzlu dalga apılarından saçılma prblemleri [6, 7] ve elektrik makinelerinin tasarımı [8] gibi pek çk elektrmanetik prblemin çözümünde başarıla ugulanmıştır. esaplamalar sırasında gereken bilgisaar hafızasının azaltılabilmesi amacıla uzabasamaklı FDFD öntemi [9] önerilmiştir, ancak bu öntemin uza-basamaklama algritmasının snlu farklar zaman uzaı (Finite Difference Time Dmain, FDTD) önteminde kullanılan zaman-basamaklama algritması şeklinde ugulanmasından kanaklı kararlılık prblemleri rtaa çıkmıştır. Tüm bu öntemlerde merkezi fark değeri, Mawell denlemlerindeki türeve aklaşmak amacıla kullanılmıştır. Bu üzden standart FDFD (FDFD()) öntemleri sadece ikinci dereceden dğruluk sağlamaktadır. Arıca elektriksel larak büük prblemlerde ızgara ebadına göre daha ince örgü parçalarına (mesh) ihtiaç duulduğundan dlaı üksek miktarda hesaplama kanağı gereksinimi rtaa çıkmaktadır. Bu türde elektrmanetik prblemlerin çözülebilmesi amacıla dördüncü (FDFD(4)) ve altıncı dereceden (FDFD(6)) FDFD öntemleri ugulanabilir. FDFD önteminin en önemli özelliklerinden biri de esnek apısıdır. Bu öntemde her bir hücre diğerlerinden bağımsız elektriksel dielektrik sabitesine, geçirgenlik değerine ve malzeme özelliklerine sahiptir. Bu üzden hmjen lmaan rtam ve malzemeler için bu öntem klaca ugulanabilir. Snlu farklar öntemlerinde Mawell denklemleri Yee hücresi kullanılarak arıklaştırılmaktadır [0]. Bu hücrede elektrik ve manetik vektörlerin knumları farklıdır ve birbirlerine göre arım hücre bu kadar ötelenmiştir. er bir hücrede elektrik alan bileşenleri hücre kenarlarının rtasında knumlanmışken, manetik alan bileşenleri hücrenin üzelerine dik larak erleştirilmiştir. ücrenin köşelerinde herhangi bir alan bileşeni bulunmamaktadır. Bu çalışmada, üksek dereceli FDFD öntemleri geliştirilerek, geliştirilen öntemlere saçılma alan frmülasnları [] ve Berenger'in mükemmel uumlu tabakası [] (Perfectl Matched Laer, PML) ugulanmıştır. esaplama alanının kısıtlı lması sebebile, akın alandan uzak alana taşıma işlemi ugulanarak uzak alan saçılma parametreleri hesaplanmıştır [4, 3]. Farklı ugulama örnekleri için elde edilen saçılma değerleri MRFD ve FDFD() öntemlerile karşılaştırılarak sunulan öntemin dğruluk ve hafıza kullanımı önünden üstünlükleri rtaa knmuştur.. MATERYAL VE YÖNTEMLER (MATERIAL AND METODS) Yee hücresinin alan bileşenlerinin çakışmaacak şekilde düzenlenmesi snucu f() için Talr serisi arı ızgara nktalarına açılabilmektedir. Bu saede üksek dereceli FDFD öntemlerinin elektrmanetik prblemlerine ugulanması daha kla hale gelmiştir... Yüksek Dereceli FDFD Yöntemlerinin Türetilmesi (Derivatin f higher-rder FDFD schemes) FDFD(4) önteminin çıkarılması için Talr serisi fnksinu f()'in aşağıda verilen iki farklı örnek nktasında açılması gerekmektedir. h f(+h)=f()+h f'()+ f''()! () 3 4 5 h h h (5) + f'''()+ f''''()+ f ()+... 3! 4! 5! 9h f(+3h)=f()+3h f'()+ f''()! 3 4 7h 8h + f'''()+ f''''()+... 3! 4! () Benzer şekilde f(), -h ve -3h nktarında açılıp,tüm bu açılan ifadeler rastgele sabiteler lan c, c, c 3 ve c 4 ile çarpılmıştır. Snrasında benzer terimler tekrardan gruplanıp gerekli sadeleştirme apıldığında eşitlik 3 elde edilmiştir. c f(+h)+c f(-h)+c f(+3h)+c f(-3h)=(c +c +c +c )f() 3 4 3 4 h +hf'()(+c -c +3c -3c )+ f''() c +c +9c +9c! ( ) 3 4 3 4 3 h + f'''() +c -c +7c -7c +ma(c,c,c,c ) O h 3! ( ) [ 4 ] 3 4 3 4 (3) c, c, c 3 ve c 4 sabiteleri, c f(+h) + c f(-h) + c 3 f(+3h) + c 4 f(-3h) fksinlarının dğrusal kmbinasnunun nktasında f'() değeri için ii bir akınsama vermesile bulunabilir. Bunun için eşitlik 3 de verilen şartlar ugulanarak sadece f'() değeri bırakılmıştır. c+c+c+c=0 3 4 c-c+3c-3c = 3 4 h c+c+9c+9c=0 3 4 c-c+7c-7c=0 3 4 (4) Bu eşitlikler matris frmunda da azılabilir. 4 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cilt 8, N, 03
FDFD(4) Yöntemi İle Rastgele Şekilli Cisimlerden Elektrmanetik L. Kuzu ve ark. c 0-3 -3 c = h 9 9 c 3 0-7 -7 c 4 0 Bu dğrusal sistemin çözülmesile eşitlik 6 elde edilir. (5) 3 5Δ 5 3Δ f'()= f(+ )- f(+ ) 640Δ 384Δ 75 Δ 75 Δ + f(+ )- f(- ) 64Δ 64Δ 5 3Δ 3 5Δ 6 + f(- )- f(- )+O[(Δ) ] 384Δ 640Δ (8) 7-7 - c=,c =,c=,c =, 3 4 48h 48h 48h 48h (6) (, i j+ ) Δ Burada h ızgara ebadının arısını ( h = ) göstermektedir. Buradan FDFD(4) öntemi şu şekilde elde edilebilir. 3Δ 7 Δ f'()=- f(+ )+ f(+ )- 4Δ 4Δ 7 Δ 3Δ 4 f(- )+ f(- )+O[(Δ) ] 4Δ 4Δ (7) Dördüncü dereceden FDFD için türevin aklaşık 4 değerinde hata terimi larak O[( Δ ) ], kullanılmıştır. Bu aklaşımda alan bileşenlerinin hesaplanması için kullanılan elektrmanetik alan düğümlerinin saısı ikinci dereceden öntemden daha fazladır. Şekil ve Şekil 'de Ez (, i j )'nin hesaplanması için kullanılan alan düğümleri iki butlu larak gösterilmektedir. Benzer ugulama ile çıkarılan altıncı dereceden FDFD eşitlik 7 verilmiştir. z ( i, j) Ez (, ) i j Şekil. FDFD() için alan bileşenlerin knumunun Yee hücresi üzerinde gösterimi(psitins f the field cmpnents invlved in the cmputatin f Ez in tw dimensinal Yee s cell fr the FDFD() scheme) (, i j ) Şekil. FDFD(4) için alan bileşenlerin knumunun Yee hücresi üzerinde gösterimi (Psitins f the field cmpnents invlved in the cmputatin f Ez in tw dimensinal Yee s cell fr the FDFD(4) scheme).. İki Butlu Elektrmanetik Prblemlerin Frmülasnu (Frmulatin fr D electrmagnetic scattering prblems) Bu çalışmada sunulan frmülasnun geliştirilmesi saçılan alan bileşenlerinin frmüle edilmesine bağlıdır. Tplam alan giden ve saçılan alan bileşenlerinin tplanmasıla elde edilebilir. Z- önünde hiçbir değişim lmadığı farz edilerek, PML kullanılan iki-butlu Mawell denklemlerinin buklesi (curl) TM z için frekans uzaında şöle ifade edilebilir [4]. E scat, + scat, z jωε z jωε z ( ε ε ) scat, zi = ε zi E ( μ μ ) inc, z scat, z i + = scat, inc, jωμ E Ez (, ) i j ( i, j) ( i, j) ( i+, j) z (, i j ) μ (, i j ) i (9) (0) Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cilt 8, N, 03 5
L. Kuzu ve ark. FDFD(4) Yöntemi İle Rastgele Şekilli Cisimlerden Elektrmanetik E = jωμ ( μ μ ) scat, z scat, inc, μ. () 7 ve 8 numaralı eşitliklerde verilen snlu farklar tanımları elektrmanetik prblemlerin Mawell eşitlikleri ile çözümü için kullanılabilir. Şekil 'de verilen iki butlu Yee hücresi için 9, 0 ve numaralı eşitlikler FDFD(4) kullanılarak aşağıda gösterilen frmülasn ile arıklaştırılabilir. [5]. Şekil 3'de gösterilen bir butlu Yee hücresinde E( i ) = E( i+ ) ve ( i ) = ( i) sırasıla hesaplama uzaının dışında kalan elektrik ve manetik alan düğümlerini göstermektedir. esaplama uzaı içerisinde iki malzeme arasında kalan ara üzde materal parametrelerinin rtalama değerleri kullanılmıştır. + (i-,j) scat, -7 (i-,j) scat, E (i,j)- + jω4δε (i,j) +7 (i,j) z scat, - (i+,j) scat, + (i,j-) scat, -7 (i,j-) scat, ( ε -ε (i,j) zi ) = E jω4δε (i,j) +7 (i,j) z scat, ε (i,j) zi - (i,j+) scat, scat, ( μ -μ (i,j) ) i = (i,j), inc, scat, i +E (i,j-) j -7E (i,j) (i,j)- ω4δμ (i,j) +7E (i,j+) μ (i,j) ( μ -μ (i,j) ) i = (i,j) inc, i -E (i,j+) +E (i-,j) j -7E (i,j) (i,j)+ ω4δμ (i,j) +7E (i+,j) μ (i,j) -E (i+,j) inc,z (i,j), () (3) (4) Şekil 3. Bir-butlu Yee hücresi ve üzerindeki alan bileşenleri (One-dimensinal Yee s grid and field cmpnents) Çıkartılan frmülasn ve apılan varsaımlar snucu luşturulan öntem, Şekil 4'de gösterilen kaıpsız dielektrik levhada düzlemsel dalganın aılımını nümerik larak analiz etmek için kullanılmıştır. Şekil 4. Dielektrik levhanın gemetrisi (Gemetr f a dielectric slab) Akabinde Şekil 5'de verilen dairesel ve kare silindirlerden ansıan düzlemsel dalgaların analiz edilmesinde ugulanmıştır. i E z E i i k r k μ, ε 30 cm L = φ z μ, ε r r L = 5 cm μ, ε φ k r i E z.3. Sınır Kşullarının Değerlendirilmesi (Treatment f the Bundar Cnditins) Sınır bölgelerindeki alan bileşenlerinin hesaplanması özel sınır kşullarının göz önüne alınmasıla apılmalıdır. Mükemmel elektriksel iletkenlik (Perfect Electric Cnductr, PEC) gösteren sınırlarda teğet elektrik alan bileşeni ve üzee dik açılı manetik alan bileşenleri sıfırdır. Buna rağmen sınır civarındaki düğümler için azılan eşitliklerde hesaplama uzaının dışındaki alan bileşenleri de dahil edilmiştir. Burada imaj kuralı (image principle) bu düğüm değerlerinin hesaplanmasına ugulanmıştır (a) (b) Şekil 5. TM z düzlemsel dalganın ansıdığı: a)dairesel, b) kare silindirler (D dielectric clinders illuminated b TM z plane wave: a) circular clinder, b) square clinder.) 3. NÜMERİK SONUÇLAR VE TARTIŞMA (NUMERICAL RESULTS AND DISCUSSION) Bu çalışma kapsamında ugulanan öntemlerin verimliliğini göstermek için bazı nümerik snuçlar sunulmuştur. Dielektrik levhadan ansıan düzlemsel dalga snuçları verilmiştir. İki butlu dairesel ve kare silindirlerden ansıma prblemleri çözülmüştür. 6 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cilt 8, N, 03
FDFD(4) Yöntemi İle Rastgele Şekilli Cisimlerden Elektrmanetik L. Kuzu ve ark. Sunulan öntemin bistatik ek genişliği için nümerik snuçları FDFD() ve MRFD ile karşılaştırılmalı larak verilmiştir. Simülasnlar MATLAB prgramıla,.9 Gz işlemci ve GB RAM içeren bir bilgisaar üzerinde apılmıştır. 3.. Dielektrik Levha (Dielectric slab) 0.6 0.5 0.4 0.3 Analtic FDFD() FDFD(4) FDFD(6) Reflectin Cefficient, Γ Öncelikle düzlemsel dalganın kaıpsız dielektrik levhada aılımı incelenmiştir. Levha içinde ilerleen dalga için ansıma ve iletim katsaıları hesaplanmıştır [6]. Tüm nümerik öntemlerden elde edilen snuçlar analiz edilmiş ve analitik snuçlar ile karşılaştırılmıştır. Bir butlu durum için apı içerisinde z ve önlerinde ve anı öndeki alan bileşenleri arasında bir değişiklik lmadığı düşünülmüştür. -önünde ilerleen dğrusal plarize halde bir dalganın Şekil 4'de gösterildiği üzere sadece E z ve bileşenleri vardır. Yüksek dereceli FDFD öntemleri, bir butlu uza için de Mawell denklemlerine ugulanabilir. FDFD(), FDFD(4) ve FDFD(6) için de dielektrik levha içeren serbest uzada alan bileşenleri hesaplanmıştır. esaplama uzaı PML ve PEC ile sınırlandırılmıştır. Frekans aralığı - 8 Gz arasında lacak şekilde seçilmiştir. Levha kalınlığı 0 cm ve relatif dielektrik sabitesi, ε r,. larak alınmıştır. Gz'de levha içindeki bir dalga bunda 4 nkta düşmekteken, 8 Gz için bu aklaşık 5 nktadır. Şekil 6'da gösterildiği üzere üksek dereceli FDFD snuçları çalışma frekansı aralığı içinde analitik snuçlarla uumlu snuçlar verirken, standart FDFD snuçları ciddi sapmalar göstermektedir. Şekil 7'de iletim katsaılarının analizinde - 4 Gz arasındaki frekans bölgesi için tüm öntemlerin benzer snuçlar verdiği görülürken, 4 Gz ve üzeri bölgede nümerik snuçlarda sapmalar luşmaktadır. Transmissin Cefficient, T 0.95 Analtic 0.9 FDFD() FDFD(4) FDFD(6) 0.85 3 4 5 6 Frequenc in Gz 7 8 Şekil 6. Dieletrik levha içerisinde ilerleen düzlemsel dalgaa ait iletim katsaısı (Transmissin cefficient f a plane wave incident upn a dielectric slab) 0. 0. 0 3 4 5 6 7 8 Frequenc in Gz Şekil 7. Dieletrik levha içerisinde ilerleen düzlemsel dalgaa ait ansıma katsaısı (Reflectin cefficient f a plane wave incident upn a dielectric slab) 3.. Dairesel ve Kare Silindir (Circular and square clinders) Bu bölümde geliştirilen öntemin dairesel ve kare silindirlerden ansıan düzlemsel dalgalar için ugulamaları verilmiştir. Uzak alandaki elektrik ve manetik alan bileşenleri sunulmuştur. er bir simülasn için elde edilen snuçlar MRFD ve FDFD() ile karşılaştırmalı larak verilmiştir. Dielektrik sabitesi, ε r, 4 lan dairesel ve kare silindirlerden ansıma prblemi Şekil 5'de sunulmuştur. TM z düzlemsel dalga 3 Gz'de - eksenine 80 0 açı ile silindire gelmiştir. Silindirden ansıan uzak alanın bistatik ek genişliği Şekil 8'de sunulmuştur. FDFD(), FDFD(4), FDFD(6) ve MRFD snuçları arasında uum lduğu görülmektedir. erbir örnek için FDFD(), FDFD(4), FDFD(6) ve MRFD öntemlerinin perfrmans değerleri hesaplanmıştır. Tabl 'de simülasn süreleri ve matris dldurma ranları hücre ebatlarıla birlikte sunulmuştur. Tüm öntemler benzer snuçlar vermesine rağmen MRFD ve FDFD() öntemlerile karşılaştırıldığında FDFD(4) sırasıla %63 ve %9 ranına bellek ve işlem süresi kazancı sağlamaktadır. σ/λ [db] 0 0 0-0 -0 FDFD() FDFD(4) FDFD(6) MRFD -30 0 60 0 80 φ (degrees) Şekil 8. TM z düzlemsel dalganın dairesel silindirdiri adınlatan eş-plarize bistatik ek genişliği (C- Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cilt 8, N, 03 7
L. Kuzu ve ark. FDFD(4) Yöntemi İle Rastgele Şekilli Cisimlerden Elektrmanetik plarized bistatic ech width f the circular clinder illuminated b a TM z plane wave) İkinci örnekte dielektrik sabitesi, ε r, 4 ve kare genişliği 5 cm larak verilen kare silindirden ansıma prblemi ele alınmıştır. Silindir 3Gz'de - ekseni ile 0 gelen açısı apan TM z düzlemsel dalga ile adınlatılmıştır. Yansıan eş-plarize uzak alan değeleri, bisatik ek genişlikleri, Şekil 9'da verilmiştir. σ/λ [db] 0 0-0 -0-30 0 60 0 80 φ (degrees) Şekil 9. TM z düzlemsel dalganın kare silindirdiri adınlatan eş-plarize bistatik ek genişliği (Cplarized bistatic ech width f the square clinder illuminated b a TM z plane wave) Tüm öntemler benzer snuçlar üretmesine rağmen FDFD()'nin ansıtıcı içerisindeki ızgara ebadı FDFD(4)'ün /3'ü kadardır. Ne kadar küçük hücre butu seçilirse simülasn süresi gemetrik larak artmaktadır. Tabl. Simülasn parametrelerinin karşılaştırılması (Cmparisn f simulatin parameters) Dairesel Dielektrik Silindir Kare Dielektrik Silindir FDFD() FDFD(4) FDFD(6) MRFD ücre Butu [mm] Simulasn süresi [sec] Matris Dluluk Oranı (%) FDFD() 60 0,00 FDFD(4) 5 468 0,0093 FDFD(6) 5 66 0,03 MRFD 5 37 0,033 FDFD() 303 0,006 FDFD(4) 5 3 0,03 FDFD(6) 5 60 0,077 MRFD 5 567 0,077 4. SONUÇLAR (CONCLUSION) Nümerik hesaplama öntemlerinin elektrmanetik analiz prblemlerine ugulanmasıla, radar saçılma parametrelerinin hesaplanması, anten ışıma diagramlarının luşturulması ve mikrdalga cihazlarına ait ansıma ve iletim değerlerinin tespit edilmesi gibi pek çk endüstriel prbleme çözüm getirilmiştir. Önerilen öntem başta lmak üzere tüm nümerik hesaplama öntemlerinin ana hedefi endüstrinin ihtiacı lan üksek dğruluklu elektrmanetik hesaplamaları en hızlı şekilde gerçekleştirebilmektir. Bu çalışmada, üksek dereceli FDFD öntemleri geliştirilerek elektrmagnetik dalganın rastgele şekilli cisimler üzerindeki ansımaları incelenmiştir. Önerilen öntemlerin verimliliğini göstermek amacıla bir ve iki butlu nümerik örnekler analiz edilmiş ve elde edilen snuçlar MRFD ve standart FDFD öntemlerile kıaslanmıştır. Elde edilen nümerik snuçlar, FDFD(4) öntemi kullanılarak MRFD öntemine kıasla anı dğruluk değerlerinin çk daha az simülasn zamanı ve hesaplama kanakları ile elde edilebileceğini göstermiştir. KAYNAKLAR (REFERENCES). Kai L. ve Wei, Analsis Of Patch Arras Based On FDFD Methd, Micrwave Cnference Prceedings,APMC 97., Asia- Pacific, Cilt, 65-68, 997.. Klingbeil., Beilenhff K. ve artnagel. L., FDFD Full-Wave Analsis and Mdeling f Dielectric and Metallic Lsses f CPW Shrt Circuits, IEEE Transactins n Micrwave Ther and Techniques, Cilt 44, N 3, 485-487, 996. 3. Kuzu L., DemirV., Elsherbeni A. Z., ve Arvas E., "Electrmagnetic Scattering Frm Chiral Media Using The Finite Difference Frequenc Dmain Technique," Mississippi Academ f Sciences Annual Meeting, Vicksburg, MS, 006. 4. Kuzu L., Demir V., Elsherbeni A. Z., ve Arvas E., Electrmagnetic Scattering Frm Arbitraril Shaped Chiral Objects Using The Finite Difference Frequenc Dmain Methd, Prgress in Electrmagnetics Research, Cilt 67, -4, 007. 5. Alkan E., Demir V., Elsherbeni A. Z., ve Arvas E., "Dual-Grid Finite-Difference Frequenc- Dmain Methd fr Mdeling Chiral Medium," IEEE Transactins n Antennas and Prpagatin, Cilt 58, N 3, -7, 00. 6. Gökten M., Elsherbeni A. Z., ve Arvas E., "The Multireslutin Frequenc Dmain Methd Fr General Guided Wave Structures," Prgress in Electrmagnetics Research, Cilt 69, 55-66, 007. 7. Gökten M., Elsherbeni A. Z., ve Arvas E., "Electrmagnetic Scattering Analsis Using The Tw-Dimensinal MRFD Frmulatin," Prgress In Electrmagnetics Research,Cilt 79, 387-399, 008. 8. Tpalğlu I. ve Gürdal O., "A Secnd Order Sensitivit Analsis Based Numerical Apprach Develped fr Dimensin Optimizatin, in Electric Machine Design b Electrmagnetic Design Sftware", Jurnal f the Facult f 8 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cilt 8, N, 03
FDFD(4) Yöntemi İle Rastgele Şekilli Cisimlerden Elektrmanetik L. Kuzu ve ark. Engineering and Architecture f Gazi Universit, Cilt 5, N, 363-369, 00. 9. Yağlı A.F., Gökten M., Imeci S. T., ve Kuzu L., Scattering frm Grtrpic Bdies Using FDFD Methd, Internatinal Jurnal f RF and Micrwave Cmputer-Aided Engineering, Cilt, 77-84, 0. 0. Ma J., Jiang L. ve Lu S., A Nvel Space- Stepping Finite-Difference Frequenc-Dmain Methd fr Full Wave Electrmagnetic Field Mdeling f Passive Micrwave Devices, Applied Cmputatinal Electrmagnetics Sciet (ACES) Jurnal, Cilt 4, N 3, 59-67, 009.. Kunz K. ve Luebbers R., The Finite Difference Time Dmain Methd fr Electrmagnetics, CRC Press LLC, Bca Ratn.. Berenger J., A Perfectl Matched Laer fr the Absrptin f Electrmagnetic Waves, Jurnal f Cmputatinal Phsics, Cilt 4, 85-00, 994. 3. Yee K. S., Numerical Slutin f Initial Bundar Value Prblems Invlving Mawell s Equatins In Istrpic Media, IEEE Transactinsn Antennas and Prpagatin, Cilt AP-4, 30-307, 966. 4. Kuzu L., Electrmagnetic Scattering frm Chiral Materials Using the FDFD Methd, Ph.D. Dissertatin, Department f Electrical Engineering, Sracuse Universit, Sracuse, NY, 006. 5. Krumphlz M. ve Katehi L. P. B., MRTD: New Time-Dmain Schemes Based n Multireslutin Analsis, IEEE Transactins n Micrwave Ther and Techniques, Cilt 44, N 4, 555-57, 996. 6. Bassiri S., Pappas C.., ve Engheta N., Electrmagnetic Wave Prpagatin Thrugh a Dielectric-Chiral Interface and Thrugh a Chiral Slab, Jurnal f Optical Sciet f America A, Cilt 5, N 9, 450 459, 988. Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cilt 8, N, 03 9