MATERIALS. Basit Eğilme. Third Edition. Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf. Lecture Notes: J. Walt Oler Texas Tech University

Transkript

1 CHAPTER BÖLÜM MECHANICS MUKAVEMET OF I MATERIALS Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf Basit Eğilme Lecture Notes: J. Walt Oler Teas Tech Universit Düzenleen: Era Arslan 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

2 Basit Eğilme 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 4-3

3 Third MUKAVEMET I MECHANICS OF MATERIALS Basit Eğilme 400 N 400 N 300 mm RC = 400 N M = 120 Nm 900 mm 300 mm RD = 400 N M = 120 Nm Basit Eğilme: Anı bouna düzlemde etkien kuvvet çiftlerinin medana getirdiği g ğ durum. (CD elemanında kesme oluşmaz, sadece eğilme momenti var) 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 4-4

4 Diğer Yükleme Çeşitleri Eksantrik Yükleme: Ugulanan kuvvet incelenecek kesitin geometrik merkezinden geçmiorsa, kuvvet bu kesitte eksenel ük ve eğilme momenti aratır. Eksene Dik Yükleme: Tekil a da eksene dik ükler kesitte kesme kuvveti ve eğilme momentine eşdeğer iç kuvvetler aratır. Süperpozison İlkesi: Eksenel ük ve eğilme momenti ile oluşan normal gerilmeler cisimdeki toplam normal gerilmei belirlerler The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 4-5

5 Simetrik Elemanlarda Basit Eğilme 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Basit eğilmee mağruz simetrik bir elemanın herhangi bir kesitindeki iç kuvvetler bir kuvvet çiftine denktir. Bu kuvvet çiftinin M momenti eğilme momenti olarak adlandırılır. Statikten, bir M kuvvet çiftinin eşit ve zıt önlü kuvvet çiftinden oluştuğunu bilioruz. Bu kuvvetlerin herhangi bir doğrultudaki bileşenlerinin toplamı sıfırdır. Bu kuvvet çiftinin düzlemine dik herhangi bir eksene göre momenti anıdır ve düzlemi normalinde olan eksene göre momenti sıfırdır. Statik ardımıla denge denklemleri aşağıdaki denklemleri verir. F da 0 Negatif çünkü önleri farklı M z da 0 M z da M Diğer denge denklemlerini l i kullanmak k bize sadece kama gerilmesi içeren denklemler verir. 4-6

6 Basit Eğilmede Oluşan Deformason Kesitteki gerilme dağılımı statik ardımıla belirlenemez, bu nedenle problem statikçe belirsizdir ve deformason analizi gereklidir. Simetri düzlemine sahip elemana simetri düzleminde M ve M kuvvet çiftleri etki ettiğinde: eleman simetrik kalmaa devam eder, eleman düzgün bir şekilde eğilir ve bir a oluşturur, kesit düzlemleri aın merkezini dik keser ve düzlem olarak kalır, bu durumda kama gerilmesi ve kama şekil değiştirmesi oluşmaz, Bouna, düşe kesit (simetri düzlemi) z 0, z 0, Bouna, ata kesit üst tarafın uzunluğu azalır ve alt tarafın ki artar, alt ve üst üzelere paralel bir tarafsız üze oluşur ve bu üzein bou değişmez, ani normal gerilme ve şekil değiştirme burada sıfırdır. ( 0, 0) tarafsız üzein üst tarafında gerilmeler ve şekil değiştirmeler negatif (basma) ve üst tarafında pozitiftir (çekme) The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 4-7

7 Eğilmeden Dolaı Oluşan Şekil Değiştirme L uzunluğunda bir kiriş düşünelim. Burada DE eğrilik tarafsız üzei kesen bir a olsun. z düzlemindeki kesitte tarafsız üzei kesen eksene Tarafsız Eksen (TE) denir. Tarafsız üzein arıçapı Tarafsız Eksen (T.E.) TE e en uzak mesafe Yüklemeden sonra tarafsız üzein uzunluğu L olarak kalacaktır. Bu üzee kadar uzaklıktaki bir a için L L L L m c m c vea ρ c Hala TE nin erini tespit edemioruz! Bunun için gerilme analizine bakalım. m Şkildği Şekil değiştirmenin i i ekseni ibounca değişimi lineerdir The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 4-8

8 Eğilmeden Dolaı Oluşan Gerilme Lineer elastik malzeme için, E E m c m c Gerilme de lineer değişior! Statik denge ardımıla, F 0 0 c m da da c m da Kesitin birinci atalet momenti (Q) Kesitin birinci atalet momenti sıfır olmalı. Bu üzden tarafsız üze kesitin geometrik merkezinden geçmeli. Statikten Hatırlatma! Eğer kesit alanının geometrik merkezi, koordinat eksenlerinden biri üzerinde ise bu eksene göre birinci atalet momenti sıfırdır. Tarafsız üze Statik denge ardımıla, M da m da c m 2 mi M da c c Kesitin ikinci atalet momenti (I) Mc M m I S denklem kullanılırsa m c M TE e olan uzaklık I Kesitin T.E. e göre ikinci atalet momenti Basma a da çekme olmasına karar verir 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 4-9

9 Geometrik Merkez ve Atalet Momenti 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 4-10

10 Örnek Problem 4.1 (Geometrik Merkez ve Atalet Momenti) Aşağıdaki kesitin geometrik merkezinin alt kenara olan uzaklığını ve geometrik merkezden geçen ata eksene göre ikinci atalet momentini hesaplaınız The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 4-11

11 Örnek Problem 4.1 (Çözüm) A 2 Y I I Ad A 1 2 Alan, mm 2, mm A, mm A 3000 A Y I A A mm I Ad 1 bh Ad I mm m 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 4-12

12 Gerilme Denklemi Üzerine Analiz Momentin ugulanış önü ve koordinat sistemi belirlior! z ekseni etrafında ugulanan moment M I z I z Kesite pralel T.E. e dik eksen z eksenine göre kesitin ikinci atalet momenti! Eğer böle bir koordinat sistemi kullanılırsa! 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 4-13

13 Farklı Yönlerdeki Moment Ugulamaları (1) M z I z (2) M I z (3) M z I z 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 4-14

14 Örnek Problem 4.2 Şekildeki kirişte oluşan maksimum gerilmei ve ekseni bounca kirişte oluşacak gerilme dağılımını hesaplaınız. M M z 2 cm M = 12 kn.cm 1 cm 2-18 kn/cm T.E. M z 2 18 kn/cm 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 4-15

15 Elastik Kesit Modülü h 12 mm b 8mm 2 A 96mm b 6mm (a) Standart (S) (b) Geniş (W) I profilleri h 16 mm T.E. Malzemenin büük kısmı T.E. den uzak tutulursa I ve S değerleri artar. Maksimum normal gerilme, Mc M I S I kesitin atalet momenti m S I kesit modülü c Kirişin kesit modülü küçük ise maksimum normal gerilme azalır. Dikdörtgen kesitli bir kiriş için, 1 12 I bh 3 S 1 bh 1 c h Ah Anı kesit alanına sahip kirişlerde h üksekliği büük olan kirişin eğilmee karşı daanımı daha üksek olur. Yapısal çelikle üksek kesit modülüne sahip olacak şekilde tasarlanır The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 4-16

16 Third MUKAVEMET I MECHANICS OF MATERIALS Standart Kesit Özellikleri 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 4-17

17 Standart Kesitler I - profil L - profil T - profil C - profil Köşebent U - profil Dairesel ouk sütun Dikdörtgen ouk sütun Dikdörtgen sütun Z - profil Dairesel sütun Kanak: The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 4-18

18 Tarafsız Eksenin (T.E.) Eğriliği M eğilme momentinin elemanda oluşturacağı deformason T.E. nin eğriliği ile ölçülür. Tarafsız Yüze Tarafsız Eksen T.E. ma c ma ma E 1 ma Ec 1 M EI 1 Ec Mc I 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 4-19

19 Örnek Problem 4.3 Aşağıda -z önünde moment ugulanmış bir borunun kesiti verilmiştir. Boru malzemesinin kopma normal gerilmesi 30 MPa dır. Emniet katsaısı 2.5 olduğuna göre borua ugulanabilecek en üksek k eğilme momenti ne kd kadar olmalıdır? Arıca, bu moment ugulandığında boruda oluşacak eğrilik arıçapını hesaplaınız. (E = 70 GPa) 10 cm cm 20 Mz z 0.75 m 1.5 m 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 4-20

20 Örnek Problem 4.4 Üstteki şekilde kesiti verilen tüp aşağıdaki şekilde verilen M eğilme momentine mağruz kalmaktadır. Tüp kopma normal gerilmesi 300 MPa, elastisite modülü 70 GPa olan alüminumdan imal edilmiştir. (a) Emniet katsaısı 3 olması durumunda maksimum M eğilme momenti ne olmalıdır? (b) Bu ük altındatüpte oluşacak eğrilik arıçapını hesaplaınız. 80 mm 8 mm 120 mm G M 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 4-21

21 Örnek Problem 4.5 Şekildeki dökme demir (E=165 MPa) makine parçasına 300 N luk eksene dik kuvvet şekildeki gibi ugulanmaktadır. Kirişte oluşacak (a) Maksimum çekme ve basma gerilmelerini, (b) Eğrilik arıçapını hesaplaınız The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 4-22

22 Kompozit Kirişlerde Eğilme M I 1 2 n Elastisite modülleri E 1 and E 2 olan iki malzemeden oluşan kompozit bir kiriş düşünelim. Normal şekil değiştirme bileşeni lineer olarak değişir. Normal gerilmenin dağılımı iki lineer parçaa bölünür. E E E E2 T.E. Artık bu kesitin geometrik merkezinden geçmez. Kesitteki bir eleman üzerindeki kuvvetler: df E E da 1 da df2 2 da da Dönüştürülmüş (homojen) bir kesit oluşturulabilir ne 1 E1 E df da n da n The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved E 1

23 Dönüştürülmüş Kesitin Özellikleri 1. E 2 > E 1 ise n > 1olur ve kesit genişler. 2. E 2 <E 1 ise n <1olur ve kesit daralır. 3. Kesit dönüşümü T.E. e paralel gerçekleştirilmelidir. Bölece, her kesit elemanının T.E. e olan uzaklığı aı kalmış olur. 4. Kompozit kiriş ile dönüştürülmüş kesitin eğilmee karşı direnci anı kalır. 5. T.E. Dönüştürülmüş kesit elde edildikten sonra belirlenmelidir. 6. Eğrilik arı çapı dönüştürülmüş kesitte hesaplanabilir The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 4-27

24 Örnek Problem 4.6 Şekilde kesiti verilen çubuk, elastisite modülleri sırası ile 200 GPa ve 100 GPa olan çelik ve pirinç malzemelerinin apıştırılması ile üretilmiştir. Yata doğrultuda d ugulanan 2 knm lik eğilme momenti altında çelik ve pirinçte ii oluşacak maksimum gerilmeleri hesaplaınız The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 4-28

25 Gerilme Yığılması m K Mc I 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 4-34