BÖLÜM 1 DAİRESEL HAREKET 1. DAİRESEL HAREKET 1.1. Kaı Cisimlerin Dairesel Harekei Açısal Yer Değişim: Bir eksen erafında dönmeke olan bir cismin (eker ezgah mili, volan vb.) dönme ekisi ile bir iş yapılır. Dönen cismin açısal yer değişimini hesaplamak için dönüş sayısı ölçülmelidir. Şekil 1.1 de görülen dönen diskin açısal yer değişim mikarını anımlamak için, cismin A nokasının B nokasına kadar döndüğü kabul edildiğinde, dönme eksenine göre θ kadar yol alınmış olur. Dönüş açısını ölçmek için çeşili yönemler vardır. En çok kullanılan ölçüm birimi radyandır. Bunun yanında devir ve açı da açısal yer değişimi ölçümünde kullanılmakadır. 1 devir = 360 = 2 Π radyan Uluslararası sisemde; cisimlerin almış oldukları açısal yol birimi radyan olup, θ ile göserilmekedir. Bir radyan (1 rad) bir daire üzerinde yarıçapa eşi yay uzunluğunu gören merkezi açı olarak anımlanır. 1
Şekil 1.1: Açısal Yer Değişimi Dönme açısını radyan olarak hesaplamak için aşağıdaki eşilik kullanılır. θ = S R θ = Açısal Yer Değişim Mikarı (rad) Şekil 1.2: Açısal Yer Değişimin Ölçüm ve Birimlerin Karşılaşırılması 2
1.2. AÇISAL YER DEĞİŞİMİNİN ÖLÇÜMÜ VE BİRİMLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI Bir dairenin çevresi 2ΠR eşiliği ile bulunur. R yayını gören merkez açı ise 1 radyana eşi olduğundan açısal yer değişim mikarı (θ) radyan olarak aşağıdaki gibi bulunur. 2. Π. R θ = = 2 Π rad. R 1 dev = 360 = 2 Π rad. Soru 1.1 Dönen bir diskin yarıçapı 8 m dir. Disk üzerindeki A nokası 37 lik bir dönüş yapmışır. A nokasının aldığı çizgisel yolu (yay) hesaplayınız? S θ = R 360 2 Π radyan olduğuna göre; 37 = θ rad.? θ = 0.65 rad. S = 0.65 (rad). 8 (m) S = 5.2 m. 3
1.3 AÇISAL HIZ Dairesel harekee birim zamanda alınan yola açısal hız denir ve ω ile göserilir. Dairesel cisim üzerinde bir noka zamanında θ yolu aldığında, harekeli nokanın açısal hızı; θ (rad) ω = ω =( ) s ω (omega) oralama açısal hızı gösermekedir. Açısal hız dakikadaki dönüş sayısı veya saniyedeki dönüş sayısı olarak da ifade edilir. Saniyedeki dönüş sayısı olarak açısal hız; ω = 2 Π f ω = rad/s Dakikadaki dönüş sayısı olarak açısal hız; f = 1/s veya frekans (Hz) 2 Π N Π N ω = ω = 60 30 N = rev/min ω = rad/s. Soru 1.2 Dakikada 45 devir yapan bir plağın oralama açısal hızını hesaplayınız? Π N ω = 30 4
Π. 45 ω = 30 ω = 4,7 rad/s. 1.4 AÇISAL ivme Doğrusal harekee olduğu gibi açısal harekee düzgün değişir veya sabi hareke edebilir. Dönme hızının değişimi dairesel hareke yapan cisme ekiyen döndürme momenine (ork) bağlıdır. Mesela ilk açısal hızı ωo son açısal hızı ωf geçen süre olarak alındığında harekein oralama açısal ivmesi aşağıdaki gibi bulunur. ωf - ωo α = α (alfa) harfi açısal ivmeyi göserir. Bu eşiliğin en kullanışlı şekli ise; ωf = ωo + α Düzgün değişen açısal harekelerde alınan açısal yolun hesabında doğrusal harekee olduğu gibi oralama hız dikkae alınır. ωf + ωo ω = Açısal yolun bulunmasında oralama açısal hız aşağıdaki gibi kullanılır. Soru: 1.3 2 θ = ω. 5
Bir volan 8 s. içinde hızını düzgün şekilde 6 rev/s den 12 rev/s ye arırmakadır. Harekein açısal ivmesini hesaplayınız. ωf - ωo α = ωo = 2 Π. 6 = 12 Π rad/s ωf = 2 Π. 12 = 24 Π rad/s Açısal ivme ωf - ωo α = = (24 Π - 12 Π) rad/s (8) s α = 1,5 Π rad/s 2 = 4,71 rad/s 2 Soru 1.4 İlk hızı 6 rad/s olan aşlama diski, 2 rad/s 2 lik ivme ile düzgün şekilde hızlanmakadır. (a) 3 s. sonra diskin alacağı açısal yolu, (b) Diskin 3 s. sonra açısal hızını hesaplayınız? (a) Diskin 3 s. de aldığı açısal yol; θ = ωo + ½ α 2 = (6 rad/s) (3 s) + ½ (2 rad/s 2 ) (3 s) 2 = 18 rad + (1 rad/s 2 ) (9 s 2 ) = 27 rad (b) Diskin 3 saniye sonra açısal hızı 6
ωf = ωo + α ω f = 6 (rad/s) + 2 (rad/s 2 ). 3 (s) ω f = 12 (rad/s) 1.5. AÇISAL VE ÇİZGİSEL HIZ ARASINDAKİ ilişki Dairesel hareke yapan bir cismin dönme ekseni; dönme boyunca sabi kalan ha olarak anımlanabilir. Dönme ekseninden uzaklaşıkça dönen cismin çizgisel hızı arar. En dış nokada ise en yüksek değere ulaşır. V = 2 Π f R Buradaki f dairesel harekein frekansıdır. Benzeri bir eşilik açısal hız ifadesine bağlı olarak üreilebilir. Daha önce dairesel harekee yay ve dönme açısı arasındaki ilişki anlaılmışı. S = θ. R Alınan çizgisel yol zamana bağlı olarak incelendiğinde herhangi bir parçacığın doğrusal hızı aşağıdaki gibi olur. S V = θ. R = θ / = ω olduğundan dolayı doğrusal hız açısal hızın bir fonksiyonu olarak aşağıdaki gibi göserilir. V = ω. r 7
Şekil 1.3: Açısal Hız ve Çizgisel Hız Arasındaki İlişki Soru 1.5 Bir makine milinin açısal hızı 60 rad/s dir. Mil ucuna bağlı olan volanın dönme ekseninden kaç cm dış nokada çizgisel hızı 400 cm/s olur. V 400 cm/s R = = = 6,67 cm. ω 60 rad/s 1.6 DAİRESEL HAREKETTE İŞ VE GÜÇ İş, kuvve ekisi ile cismin yer değişim mikarı olarak anımlanır. Dairesel harekee yapılan iş; dairesel hareke yapan cismin döndürme ekisi ile dairesel yer değişim mikarı olarak ifade edilir. 8
Şekil 1.4 de görüldüğü gibi bir r yarıçaplı makaraya F kuvvei ekilemeke ve makara S yayına karşılık gelen θ açısı kadar yol almakadır. Alınan S yolu; F kuvvei ile yapılan iş ise; İş = W S = r. θ = F. S = F. r. θ olacakır. Şekil 1.4: Dairesel Harekee İş ve Güç Eşilikeki F. r değerine döndürme momeni (ork) denir ve T ile göserilir; birimi ise Nm dir. Yapılan iş; W = T. θ θ açısı radyan, iş ise uluslararası sisemde Nm veya Joule olarak göserilir. Mekanik enerji dairesel iş şeklinde hesaplanır. Mesela moorların çıkış güçleri hakkında konuşulduğunda dairesel hareke ile yapılan bir iş söz konusudur. Dairesel harekee harcanan güç; yapılan işin harcanan zamana bölümü ile elde edilir. 9
İş W T θ Güç = = = Zaman Oralama açısal hız ω, θ/ olduğundan; Güç = Tork. Açısal Hız P = T. ω Benzeri bir eşilik P = F. V eşiliğinden elde edilebilir. P = F. ω. r T = F. r P = T. ω olur. Soru 1.6 Çapı 2 m olan bir ekere 2 N luk sabi döndürme kuvvei uygulanmakadır. Durmaka olan eker 4 saniye içinde hızını 600 rpm çıkarmakadır. Bu işlem için harcanan gücü HP olarak hesaplayınız? T = F. r T = 2. 1 = 2 Nm. Tekerin başlangıçaki açısal hızı ωo = 0 Tekerin 4 saniye sonra açısal hızı ωf ωf = 2 Π f = 2 Π (600 rev/min) (1min/60s) = 62,8 rad/s. Harekein oralama açısal hızı; ωo + ωf 0 + 62,8 ω = = = 31,4 rad/s. 2 2 10
Harcanan oralama güç; Güç = T. ω P = 2. 31,4 rad/s P = 62,7 Wa 1 HP = 0,736 kw olduğundan, P = 0,085 HP dir. 1.7 DAİRESEL HAREKETTE SÜRTÜNME VE KAYIPLAR Hareke halindeki birbiri ile emas eden yüzeyler arasındaki sürünme enerji kaybına neden olur. Sürünme ile enerji kaybını sıfırlamak mümkün olmayıp, en al seviyeye indirilebilir. Dairesel harekee sürünme kayıpları doğrusal harekeeki kayıplar ile benzerlik göserir. Ff = N. μ μ N = Yüzeyler arasındaki sürünme kuvvei = Sürünmeye neden olan normal kuvveir. Yaay düzlemde bulunan W ağırlığındaki bir cismin normal kuvvei kendisine eşiir. Yani W = N dir. Eğimli yüzeylerdeki normal kuvve eğim açısına bağlı olarak değişmekedir. Şekil 1.5 de dairesel harekee meydana gelen sürünme kuvvei görülmekedir. 11
Şekil 1.5: Dairesel Harekee Sürünme Doğrusal harekee; Sürünme kuvvei ile oluşan enerji kaybı = μ. W. S Sürünme ile oluşan güç kaybı = μ. W. V Dairesel harekee sürünme Torku = μ. W. r = μ W d/2 Dairesel harekee sürünme ile oluşan güç kaybı = μ. W. r. ω = Tf. ω Sürünmede kullanılmayan enerji yok olmamaka, ısı enerjisine dönüşmekedir. İyi bir asarım ve yağlama ile enerji kayıpları en al düzeyde uulabilir. 12
1.8. ELEKTRİKLİ MOTORLARDA ENERJİ KAYIPLARI Mekanik sisemlerin ahrikinde kullanılan elekrikli moorlar enerjilerini amamen işe çevirmezler. Moorun verimine bağlı olarak enerjilerinin bir kısmı ısı enerjisine dönüşür. Mekanik iş ve güç hesaplarında moorun gerilim farkı ve çekiği akıma bağlı olarak kullanılan sisemde harcanan enerji ve güç hesaplanır. Elekrike iş ve güç; E = W = V. I. V. I. P = = V. I veya I 2. R dir. Soru: 1.7 İş mili açısal hızı 100 rad/s olan DC moorlu kaldırma mekanizmasında yükün kaldırılması sırasında çekilen akım 0,4 Amper moorun çalışma gerilimi 12 Vol ur. DC moorun çıkışında redükör bağlıdır. Redükörlü kaldırma mekanizmasında 1000 gr yük 1,5 saniyede 50 cm yüksekliğe çıkarılmışır. a) DC moorun giriş gücünü, b) DC moorun milinin döndürme momenini, c) Kaldırma mekanizmasının verimini hesaplayınız? (Moorun verimi %100 kabul edilmekedir.) a) DC moorun giriş gücü; Pi = I. V P = O, 4. 12 Pi = 4,8 Wa. 13
b) DC moor milinin döndürme momeni Pi = T. ω 4,8 = T. 100 T = 0,048 Nm T = 4,8 N cm. c) Kaldırma mekanizmasının verimi Po Yükün kaldırma gücü Verim = Verim = Pi Moorun gücü W Po = (m g). h Po = 1 (kg) 10 (m/s 2 ). 0,5 (m) Po = Po = 3,33 W. 1,5 (s) 3,33 Verim = η = 0,69 veya %69 4,8 Soru 1.8 Tekerlerinin çapı 1,2 mere olan bir araç durmaka iken 3 dakikada 72 km/h lik hıza ulaşmaka ve 1 km yol almakadır. Aracın ekerlerine ekiyen güç 80 HP olduğuna göre (kayıplar ihmal ediliyor); a) Aracın ekerlerinin oralama açısal hızını, b) Aracın aldığı açısal yolu, c) Aracın ekerlerine ekiyen döndürme momenini hesaplayınız? 14
ωo - ωf a) ω = ωo = 0 2 Vf = 72 km/h Vf = 20 m/s olur. Vf (20 (m/s) ωf = ωf = ωf = 33,3 rad/s r 0,6 (m) 0 + 33,3 ω = ω = 16,6 rad/s 2 b) θ = ωor. θ = 16,6. (3. 60) θ = 2997 rad. θ = 171715 derece c) P = T. ωor. 1 kw = 1,36 BG P = 58,8 kw 58800 (W) T = 16,6 (rad/s) T = 3543 Nm T = 3,5 k Nm 15
Soru: 1.9 500 V gerilim farkı ile beslenen d.c. elekrik mooru mili 1000 r/min. açısal hızı ile dönmeke, 15 A lik akım çekmekedir. Kayıpları ihmal ederek, moor giriş gücünü ve moor milinden elde edilecek döndürme momenini hesaplayınız? DC moorun giriş gücü; Pi = V I = 500. 15 = 7500 W veya 7,5 kw Moor milinden elde edilecek döndürme momeni P = T. ω 2Π 7500 = T. 1000. 60 T = 7500. 60 1000. 2Π T = 71,6 N m SORULAR 1. Bir elekrik mooru 1450 r/min ile dönmekedir. Moorun verimi %80 kabul edilmekedir. Moor; iş için 2 kw güç harcadığına göre moor milinden elde edilen döndürme momenini hesaplayınız? (Cevap: 10,5 Nm) 16
2. 110 mm çapındaki bir iş parçası orna ezgahında işlenmekedir. Torna ayna milinin açısal hızı 110 r/min., kesici akıma ekiyen kuvve 1,5 kn dır. Kesme işleminde harcanan gücü hesaplayınız? (Cevap: 950 W) 3. Bir makineyi çalışırmak için bir devirde kademeli olarak uygulanacak döndürme momeni değerleri aşağıdaki gibidir. Birinci 100 için gerekli döndürme momeni 50 Nm olup sabiir. Daha sonraki 100 lik kademede uygulanan döndürme momeni düzgün şekilde 350 Nm ye çıkmakadır. Son olarak kalan 160 lik kademede döndürme momeni düzgün şekilde 50 Nm ye düşürülmekedir. Harekein döndürme momeni açısal yol grafiğini çizerek, bir devirde yapılan işi hesaplayınız? (Cevap: 995 J) 4. 400 V gerilim farkında çalışan DC moorun açısal hızı 1500 r/min olup, çekiği akım 7,5 Amperdir. Kayıpları ihmal ederek dc moorun giriş gücünü ve dc moor milinden elde edilecek çıkış momenini hesaplayınız? (Cevap: 3 kw, 19,1 Nm) 5. Hızı 6:1 oranında düşüren redükör moor miline bağlıdır. Çıkış milinden elde edilen döndürme momeni 35 Nm dir. Moor mili hızı 2000 r/min olduğuna göre redükörün girişindeki gücü ve redükörde %10 kayıp olduğu kabul edildiğine göre redükör çıkışındaki milden elde edilecek döndürme momenini hesaplayınız? (Cevap: 7,33 kw, 189 Nm) 17