Ordu Üniv. il. Tek. Derg. Cilt: Sayı: 046-60/Ordu Univ. J. Sci. Tech. Vol: No:046-60 SMARANDACHE EĞRİLERİNE AİT İR UYGULAMA Süleyman ŞENYURT * Selin SİVAS Ordu Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik ölümü ÖZET u çalışmada bir eğrisinin Frenet vektörleri T N ve birim Darboux vektörü C olmak üzere -Smarandache eğrisi tanımlanarak bu eğri ile birlikte N vetn -Smarandache eğrilerinin eğrilik ve torsiyonu hesaplanmıştır. Key wor: Smarandache Curves Mathematics Subject Classification (00) 5A04. AN APPLICATION OF SMARANDACHE CURVE ASTRACT In this paper Firstly we define -Smarandache curve then we calculate the curvature and torsion of N and TN- Smarandache curves together with -Smarandache curve. Here T N and are Frenet vectors of a curve α and vector C is unit Darboux vector. Key wor: Smarandache Curves Mathematics Subject Classification (00) 5A04. * Sorumlu yazar: senyurtsuleyman@hotmail.com 46
Süleyman ŞENYURT & Selin SİVAS.GİRİŞ Eğrilerin diferansiyel geometrisi üzerinde birçok çalışmalar mevcuttur. 008 de M. Turgut ve S. Yılmaz tarafından yapılan Smarandache Curves in Minkowski Space-time isimli çalışmada Smarandache eğrileri tanımlanmıştır []. Daha sonra bu eğriler farklı uzaylarda farklı çatılar ele alınarak incelenmiş ve yeni sonuçlar elde edilmiştir [456].. GENEL İLGİLER : I IR E s s s s eğrisinin Frenet -ayaklısı regüler birim hızlı bir eğri olsun. s s s T s N s s T s N s. dır. Eğrinin eğriliği s torsiyonu s ile gösterilirse s s s. olur. u durumda Frenet formülleri T s s N s N s s T s s s s s N s. şeklinde verilir [7]. eğrisinin T N vektörünün binormal vektörü ile yaptığı açı ile gösterilirse Frenet çatısına bağlı olarak oluşan W Darboux 47
Smarandache Eğrilerine Ait ir Uygulama sin cos W olur ve buradan birim Darboux vektörü şeklinde bulunur. W.4.5 C sint cos Tanım.:Konum vektörü herhangi bir eğrisinin Frenet çatıları tarafından oluşturulan ve bu vektör tarafından çizilen regüler eğriye Smarandache eğrisi denir[]. Tanım.: : I E T N olsun. birim hızlı regüler eğrinin Frenet çatısı s TN T N s N N s TN T N eğrisinetn -Smarandache eğrisi.6 eğrisine N -Smarandache eğrisi.7 eğrisinetn -Smarandache eğrisi denir []..8 TN -Smarandache eğrisinin eğriliği TN ve torsiyonu TN gösterilirse TN.9 bulunur. urada TN.0 48
Süleyman ŞENYURT & Selin SİVAS ( dır []..Smarandache Eğrilerinin Uygulamaları : I E birim hızlı regüler eğrinin Frenet çatısı T N olsun. Konum vektörü s a s b s c s a s T s b s N s c s s. olan vektörün çizdiği regüler eğriye Smarandache eğrisi denilmektedir.urada a sin s b c cos s alınırsa. ifadesi sin cos s st s s s N s olur..5 bağıntısı burada yerine yazılırsa elde edilen yeni eğri s C s N s. olur ve bu eğri -Smarandache eğrisi olarak isimlendirilir. s ile gösterilirse eğrisinin yay parametresi d cos T sin. 49
Smarandache Eğrilerine Ait ir Uygulama olur. Norm alınırsa vektörü W W bulunur. uradan eğrisinin teğet T s cos T sin W W.4 şeklinde olur. u ifadenin tekrar türevi alınırsa 4 cos cos sin cos sin sin sin sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin sin cos cos cos cos 4 sin cos 4 sin sin sin sin 4 cos sin sin cos sin cos cos cos cos sin cos cos cos sin sin cos sin olmak üzere T s T N W W.5 bulunur. eğrisinin eğriliği ile gösterilirse W W.6 50
Süleyman ŞENYURT & Selin SİVAS olur. Diğer yandan N T T s s olduğundan asli normal vektör T N N.7 olur. T N ifadesinden de binormal vektör W W sin T. sin cos N cos şeklinde bulunur. eğrisinin ikinci ve üçüncü türevleri sırasıyla cos sin T cos sin N sin cos cos sin cos cos sin cos sin cos sin sin cos cos sin.8.9 olmak üzere 5
Smarandache Eğrilerine Ait ir Uygulama T N.0 olur.. bağıntısında torsiyonu..9 ve.0 ifadeleri yerine yazılırsa eğrisinin. şeklinde bulunur. urada sin cos sin sin cos sin cos sin cos sin. Sonuç.: : I E eğrisinin Frenet çatısı T N -Smarandache eğrisinin eğriliği ve torsiyonu sırasıyla eğriliği ve torsiyonu olsun. W W şeklinde verilir..7 bağıntısında N -Smarandache eğrisinin yay parametresi s ile gösterilirse 5
Süleyman ŞENYURT & Selin SİVAS d N T N. olur ve norm alınırsa bulunur. uradan N eğrisinin teğet vektörü T N T N s. şeklinde olur. u ifadenin tekrar türev alınırsa ve olmak üzere T N s T N.4 bulunur. Eğrilik tanımından N eğrisinin N eğriliği N.5 şeklinde olur. Diğer yandan N N T N T N s s olduğundan asli normal vektör T N N N.6 5
Smarandache Eğrilerine Ait ir Uygulama olur. T N ifadesinden de binormal vektör N N N N T N.7 şeklinde bulunur. N eğrisinin ikinci ve üçüncü türevleri sırasıyla N T N.8 olmak üzere T N N.9 olur.. bağıntısında torsiyonu N şeklinde bulunur. Sonuç.:..8 ve.9 ifadeleri yerine yazılırsa N eğrisinin N : I E eğrisinin FrenetçatısıT N N -Smarandache eğrisinin N eğriliği ve N torsiyonu sırasıyla.0 eğriliği ve torsiyonu olsun. 54
Süleyman ŞENYURT & Selin SİVAS N N şeklinde verilir..8 bağıntısındatn -Smarandache eğrisinin yay parametresi s ile gösterilirse d TN T N. olur ve norm alınırsa vektörü 6 bulunur. uradan TN eğrisinin teğet T TN s T N. şeklinde olur. u ifadenin tekrar türev alınırsa 4 4 4 4 olmak üzere T TN s 4 T N. bulunur. Eğrilik tanımından TN eğrisinin TN eğriliği 55
Smarandache Eğrilerine Ait ir Uygulama TN 4 şeklinde olur. Diğer yandan N TN T TN T TN s s olduğundan asli normal vektör.4 T N N TN.5 olur. T N ifadesinden de binormal vektör TN TN TN TN T N.6 şeklinde bulunur. TN eğrisinin ikinci ve üçüncü türevleri alınırsa sırasıyla TN T N.7 olmak üzere T N TN.8 bulunur.. bağıntısında TN torsiyonu..7 ve.8 ifadeleri yerine yazılırsa TN eğrisinin 56
Süleyman ŞENYURT & Selin SİVAS TN şeklinde bulunur. urada.9 Sonuç.:. : I E eğrisinin FrenetçatısıT N TN -Smarandache eğrisinin TN eğriliği ve TN eğriliği ve torsiyonu olsun. torsiyonu sırasıyla TN 4 TN şeklinde verilir. 9 9 6 Örnek.: s sin6s sin 6 s cos6s cos 6 s sin0s 08 7 08 7 65 eğrisinin Frenet vektörleri [] ve birim Darboux vektörü 9 4 9 4 T s cos6s cos 6 s sin6s sin 6 s cos0s 5 N s cos 6 s sin 6 s 9 4 4 9 s sin6s sin 6 s cos 6s cos6 s sin0s 5 5 C s cos 6 s sin 6 s şeklinde bulunur ( Şekil ). u eğriye ait -Smarandache eğrisi 57
Smarandache Eğrilerine Ait ir Uygulama olur (Şekil ). 7 7 7 s cos 6 sin 6 s s Şekil : eğrisi Darboux vektörü Şekil : Örnek.: s cos sin Smarandache eğrisi s s s helis eğrisinin Frenet vektörleri ve birim 58
Süleyman ŞENYURT & Selin SİVAS s s T s sin cos s s N s cos sin 0 s s s sin cos C s 00 şeklinde bulunur (Şekil ). TN N TN ve -Smarandache eğrileri sırasıyla TN N s s s s s s sin cos cos sin s s s s cos sin sin cos TN s s s s 6 cos sin s s cos sin olur ( Şekil 4). y 0.0 0.5.0 0.5 x 0.0 0.5.0 0.5.0 4 z 0 Şekil : eğrisi 59
Smarandache Eğrilerine Ait ir Uygulama Şekil 4: TN N TN ve Smarandache eğrileri KAYNAKLAR [] TurgutM.YılmazS.008. Smarandache Curves in Minkowski space-time International Journal of Mathematical Combinatorics Vol. pp.5-55. [] Ali A. T. 00. Special Smarandache Curves in the Euclidean Space International Journal of Mathematical Combinatorics Vol. pp.0-6. [] Çetin M. Tuncer Y. and Karacan M. K. 0. Smarandache Curves According to ishop Frame in Euclidean - Space arxiv: 06. 0 v [math. DG]. [4] ektaş Ö.Yüce S. 0. Special Smarandache Curves According to Darboux Frame in Euclidean - Space Romanian Journal of Mathematics and Computer science vol:ıssue:pp:48-59. [5] ayrak N. ektaş Ö. and Yüce S.0. Special Smarandache Curves in [math.ho]. E arxiv:04.566v [6] Taşköprü K. Tosun M.04. Smarandache Curves on S oletim da Sociedade paranaense de Matemtica srie. vol: no: pp.5-59 ıssn-0 07-87. [7] Hacısalioğlu H.H.98. Diferensiyel Geometri. İnönü Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Yayınları Mat. no.7 Malatya. 60