( t) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Transkript

1 İİ DDDDD IIII NN NN A MM MM KKK KK DD DD II NNN NN AAA MMM MMM İİİİ KK KK DD DD II NNNN NN AA AA MMMMMMM İİ KK KK DD DD II NNNNNNN AA AA MMMMMMM İİ KK KK DD DD II NN NNNN AA AA MM M MM İİ KKKK DD DD II NN NNN AAAAAAA MM MM İİ KKKK DD DD II NN NN AA AA MM MM İİ KK KK DD DD II NN NN AA AA MM MM İİ KK KK DD DD II NN NN AA AA MM MM İİ KK KK DDDDD IIII NN NN AA AA MM MM İİİİ KKK KK DDDDD EEEEEEE RRRRRR SSSSS NN NN OOOOO TTTTTT LLLL A RRRRRR IIII DD DD EE EE RR RR SS SS NNN NN OO OO TTTTTT LL AAA RR RR II DD DD EE E RR RR SS SS NNNN NN OO OO T TT T LL AA AA RR RR II DD DD EE E RR RR SS NNNNNNN OO OO TT LL AA AA RR RR II DD DD EEEE RRRRR SSS NN NNNN OO OO TT LL AA AA RRRRR II DD DD EE E RR RR SS NN NNN OO OO TT LL AAAAAAA RR RR II DD DD EE RR RR SS NN NN OO OO TT LL AA AA RR RR II DD DD EE E RR RR SS SS NN NN OO OO TT LL L AA AA RR RR II DD DD EE EE RR RR SS SS NN NN OO OO TT LL LL AA AA RR RR II DDDDD EEEEEEE RRR RR SSSSS NN NN OOOOO TTTT LLLLLLL AA AA RRR RR IIII İİ MM MM EEEEEEE HH HH MM MM EEEEEEE TTTTTT RRRRRR EEEEEEE NN NN MMM MMM EE EE HH HH MMM MMM EE EE TTTTTT İİİİ RR RR EE EE NNN NN MMMMMMM EE E HH HH MMMMMMM EE E T TT T İİ İ İ RR RR EE E NNNN NN MMMMMMM EE E HH HH MMMMMMM EE E TT İİ RR RR EE E NNNNNNN MM M MM EEEE HHHHHHH MM M MM EEEE TT İİ RRRRR EEEE NN NNNN MM MM EE E HH HH MM MM EE E TT İİ RR RR EE E NN NNN MM MM EE HH HH MM MM EE TT İİ RR RR EE NN NN MM MM EE E HH HH MM MM EE E TT İİ RR RR EE E NN NN MM MM EE EE HH HH MM MM EE EE E E TT İİ RR RR EE EE NN NN MM MM EEEEEEE HH HH MM MM EEEEEEE TTTT İİİİ RRR RR EEEEEEE NN NN

2 1 BÖLÜM 1 1 MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1 HAREKETİN VERİLMESİ. Yörünge. Hareket halinde bulunan bir maddesel noktanın belirli bir zaman aralığı içinde uzayda işgal ettiği noktaların geometrik yeridir. P maddesel noktası E yörüngesi üzerinde bir A noktasından, bir B noktasına hareket ederken herhangi bir anda bulunduğu mevki kartezyen eksen takımında ve t1 t t zaman aralığında, x = x t y = yt z = zt 1-1 şeklinde tanımlanır. Bu aynı zamanda yörüngenin kartezyen eksenlerdeki parametrik denklemidir. P maddesel noktasının bulunduğu mevki yarı kutupsal eksen takımında ve t1 t t zaman aralığında, ( t) r = rt θ = θ z = zt 1- şeklinde tanımlanır. Bu aynı zamanda yörüngenin yarı kutupsal veya silindirik eksen takımındaki parametrik denklemidir. P maddesel noktasının bulunduğu mevki küresel eksen takımında ve t, t1 t t zaman aralığında,

3 ( t ) ( t ) R = Rt θ = θ ϕ = ϕ 1-3 şeklinde tanımlanır. Bu aynı zamanda yörüngenin küresel eksenlerdeki parametrik denklemidir. Yukarıda koordinatları verilen P maddesel noktasının yer vektörü OP kartezyen eksen takımında, OP = xt i + yt j + z t k 1-4 yarı kutupsal eksen takımında, OP = OM + MP OP = rte + zt e r z 1-5 şeklinde yazılabilir. Burada i, jk, kartezyen eksen takımının birim vektörleri ve er, ez = k yarı kutupsal eksen takımının veya silindirik eksen takımının birim vektörleridir. Her iki ifade de aynı yer vektörünü tanımlar ve her iki ifade de yörüngenin vektörel ifadesidir. Eğer yörünge belirli ise, yörünge üzerinde tespit edilecek bir başlangıç noktasından olan uzaklık ya da noktanın mevkii zamana bağlı olarak, s = st 1-6 şeklinde de tanımlanabilir s st = eğrisine yol diyagramı denir. Şekil 1.

4 3 1. MADDESEL NOKTANIN HIZI VE İVMESİ. Herhangi bir t anında P de olan maddesel nokta t kadar zaman sonra P 1 de olsun. PP 1 yayı maddesel noktanın t zaman zarfında aldığı yoldur. Zaman aralığı çok küçük olduğundan PP1 vektörünün uzunluğu da, yani bu yaya ait kirişin uzunluğu da çok yaklaşık olarak bu yayın uzunluğuna eşittir. O halde hız vektörü, PP lim = vt 1 t 0 t olarak yazılır. Şimdi PP1 vektörünü hesaplayalım PP1 = OP1 OP PP1 = rt + t rt PP1 = rt + rt rt PP = rt 1 ( ) olarak hesaplanır. Şimdi, PP rt 1 drt lim = = = vt t t t 0 olarak yazılabilir. t sıfıra yaklaştıkça P 1 noktası P noktasına yaklaşır. Bu esnada rt veya drt vektörü de yörünge eğrisine P noktasından çizilen teğete doğrusuna paralel hale gelir. t veya skaler bir büyüklük olduğuna ve bir vektörün bir skalere bölünmesiyle bölünen vektöre paralel başka bir vektör elde edileceğine göre hız vektörü de P noktasından yörünge eğrisine çizilen teğet doğrusuna paralel olur. Sonuç olarak şunu söyleriz. Hız vektörü daima yörüngeye teğettir. Demek k,. hareketin tanımlı olduğu zaman aralığında maddesel noktanın hızı, maddesel noktanın yer vektörünün zamana göre birinci türevine denir. Bu ifade matematiksel olarak, vt d OP = 1-7

5 4 şeklinde ifade edilir. 1.3 KARTEZYEN KOORDİNATLARDA ARDA MADDESEL NOKTANIN HIZI VE İVMESİ. Kartezyen eksen takımında ise hız, d ( OP ) dx ( t ) dyt dzt vt = = i + j + k 1-8 ya da, vt vi v j vk = x + y + z 1-9 olur. Burada, v x, hız vektörünün x ekseni üzerindeki iz düşümü v, hız vektörünün y ekseni üzerindeki iz düşümü y v z, hız vektörünün z ekseni üzerindeki iz düşümüdür. ÖRNEK. Bir maddesel noktanın hareketi parametrik koordinatlarda, π x = acos t π y = bsin t z = 0 olarak verilmektedir. a- Yörüngenin kartezyen denklemini, b- Maddesel noktanın hızını, c- Maddesel noktanın ivmesini, d- Maddesel noktanın bulunduğu noktadan yörüngeye çizilen teğet doğrusu ile yani hız vektörü ile ivme vektörü arasındaki açıyı hesaplayınız.

6 5 a- Yörüngenin kartezyen denklemi, x a y b π = cos t π = sin t π π + = cos t + sin t = x y a b z = 0 1 x y 1 a + = b z = 0 Yörünge z = 0 düzleminde bir elipstir. b- Maddesel noktanın hızı, dx π π = a sin t dy π π = b cos t dx t dyt vt = i + j π π π π vt = a sin t i + b cos t j vt dxt dyt = + vt π asin π t b π cos π = t + c- Maddesel noktanın ivmesi,

7 6 dx dy π π π = a cos t x = π π π = b sin t y = dx t dyt at = i + j π π π π at = a cos t i b sin t j π π at = xi yj π π at = xi + yj = OP at π = OP İvme vektörü orijinden geçer ve yer vektörüne paraleldir d- Maddesel noktanın bulunduğu noktadan yörüngeye çizilen teğet doğrusu ile yani hız vektörü ile ivme vektörü arasındaki açı. vt at vt at θ = cos π π π π π π π π a sin t i b cos t j a cos t i b sin t j + = π π π π π π π π a sin t b cos t a cos t b sin t + + cosθ 3 π π π π π π π π π a b cos t sin t a sin t b cos t a cos t b sin t cosθ = + + π π π π π cos sin sin cos sin co = s a b t t a b t t ab t 4 π t cosθ

8 7 cosθ = π π a b cos tsin t ( ) π π π π a + b sin t cos t + ab sin t + cos t olarak elde edilir. ÖRNEK: Şekildeki piston krank biyel mekanizmasında piston hızı ve ivmesini krank merkez açısı-kma-θ ya bağlı olarak hesaplayınız. r = 10 cm, L = 60 cm, n = 3000 d/d saatin aksi yönünde dönmekte iken θ = 60 için pistonun hızını ve ivmesini hesaplayınız θ = 0, 360, 18 için pistonun x = x( θ) şeklinde yol grafiğini çiziniz θ = 0, 360, 18 için pistonun v v( θ) θ = 0, 360, 18 için pistonun a a( θ) = şeklinde hız grafiğini çiziniz. = şeklinde hız grafiğini çiziniz. Pistonun yeri:x x = r cosθ + L cosϕ L sinϕ = r sinθ r sinϕ = sinθ = λ sinθ L cos ϕ = 1 λ sin θ x = r cos + L θ 1 λ sin θ

9 8 dx dxd d vb = = = r + L w d θ cosθ 1 λ sin θ θ w vb = r sinθ + L 1 λ sin θ λ sinθcosθ w r λ = < 1 L ve r λ = 1 L sinθ 1 sin θ = 1 olduğundan λ sin θ 1 in yanında ihmâl edilerek, λ vb = wr sinθ + sin θ bulunur. Maksimum hıza tekabül eden krank merkez açısı için, dvb d λ = wr sinθ sin θ 0 + = wr + = 0 ( cosθ λ cos θ) ( cos θ ) wr cosθ λ 1 + = 0 λ θ + θ λ = cos cos 0 ( cosθ) 1, λ = 4λ cosθ 1 olması gerektiğine göre, λ cosθ = 4λ elde edilir. λ = rl = 1 6 olduğundan cos θ = = θ = olarak elde edilir.

10 9 a B dvb d λ = = wr sinθ sin θ + dw λ d λ ab = r sinθ sin θ w r sinθ sin θ + + w λ ab = wr sinθ + sin θ wr ( cosθ + λ cos θ) Bu denklemlerde görünen w krankın açısal hızı ve ẇ krankın açısal ivmesidir. Hızın maksimum olduğu konumlarda ivme sıfırdır. cosθ ve cos θ için alınabilecek en büyük ve en küçük değerler 1 olduğuna göre, sabit açısal hız için, 0 θ = 0 amaks = wr ( + 1+ λ) 1 0 θ = π amaks = wr ( 1+ λ) olarak elde edilir. Bu alt ölü nokta ile üst ölü noktalara tekabül eder. w KMA KMA PİSTONUN ORİJİNDEN PİSTON HIZI PİSTON İVMESİ (derece) (radyan) UZAKLIĞI (cm) (cm/sn) (cm/sn )

11 10 7 PİSTONUN YAPTIĞI DEPLASMAN (cm) KRANK MERKEZ AÇISI (derece) PİSTON HIZI (cm/s) KRANK MERKEZ AÇISI (derece)

12 11 1e PİSTON İVMESİ (cm/sn) e6-1.4e KRANK MERKEZ AÇISI (derece) İVMENİN KONUMA BAĞLI OLARAK İFADESİ ir silindir içinde bulunan yağ içinde hareket eden pistonun ivmesi, a = k x ile verilmektedir. Buna göre pistonun hızını ve konumunu veren bir ifade elde ediniz. x = 0 v = 0 t = 0 x = 1 dv dv dx dv a = = = v = k x dx dx vdv = k xdx vdv = k xdx 1 k v = ( x + C1 )

13 1 x = 0 0 v = k x + C 1 v = 0 v k ( 0 C1 ) = = + C 1 = 0 v = kx dx = dx = x kx k lnx = k t + C t = 0 x = 1 ln1 = k 0 + C C = 0 lnx = k t x = e kt elde edilir. Bu sonuç hız ve ivme ifadesinde yerine yazılırsa, v = ke a = ke kt kt bulunur. 1.4 YARI KUTUPSAL-SİLİNDİRİK SİLİNDİRİK KOORDİNATLARDA MADDESEL NOKTANIN HIZI VE İVMESİ. Yarı kutupsal koordinatlarda hız, yer vektörünün yarı kutupsal koordinatlardaki ifadesi olan (1.5) denkleminin zamana göre birinci türevi alınarak elde edilir. Öyleyse yarı kutupsal koordinatlarda hız, d( OP ) drt d ( er ) dzt d e vt = = er + rt + ez + z ( t) ( z ) 1-10 olarak hesaplanır. ez = k d sabit olduğundan ( e z ) ne olduğudur. Bunun için önce e r yi yazalım. = 0 dır. Burada hesaplanması gereken d e r nin

14 13 e = cos i + j r ( θ) sin( θ) olup, d ( er ) d ( er ) = = sin( θ) i + cos( θ) j = sin( θ) i + cos( θ) j w d ( er ) = eθ = ew θ eθ eθ olur. Burada köşeli parantez içindeki vektör bir birim vektördür. Bu vektöre e θ diyelim. er e θ = 0 demektir ki, er e θ ve e = θ //( Oxy) dir. Buna göre (1.10) ifadesi neticede, dır. Bu d ( OP ) drt dzt vt = = er + rt eθ + ez vt = ve + ve + ve r r θ θ z z 1-11 haline gelir. v r : Hızın radyal bileşeni v θ : Hızın açısal bileşeni v z : Hızın z ekseni üzerindeki bileşenidir. w = : Açısal hız 11 denkleminde ayrıca e = θ e z er yazılacak olursa, d ( OP ) drt dzt vt = = er + ez rte r + ez d ( OP ) drt dz ( t ) vt = = er + w rte r + ez 1-1 elde edilir. Bu demektir ki açısal hız vektörü silindirik koordinatlarda z eksenine paraleldir. Açısal hız ile hızın açısal bileşeni farklı kavramlardır.

15 14 olarak elde edilir. Hızın zaman göre birinci türevini alarak, dvt d ( OP ) drt drt de dr r ( t) d θ de dzt θ at = = = e r + + eθ + rt e r θ + ( t) + e z d e ( r ) = sin( θ) i + cos( θ) j = sin( θ) i + cos( θ) j w eθ d ( er ) = eθ = ew θ eθ d ( e ) d sin ( e d ) ( θ) i cos( θ) j θ θ + = = = cos( θ) i sin( θ) j w d e ( θ ) ew = er = r e r yerlerine yazılarak, dvt d ( OP ) drt d θ drt dzt at = = = rt e r rt e e z + + θ + dvt d ( OP ) at = = = ae r r + ae θ θ + ae z z 1-13 elde edilir. bu denklemde, a r : İvmenin radyal bileşeni a θ : İvmenin açısal bileşeni a z : İvmenin z ekseni üzerindeki bileşenidir. dw d θ = : Açısal ivme Açısal ivme ile ivmenin açısal bileşeni farklı kavramlardır.

16 15 ÖRNEK. Bir P bloğu OA kolu üzerinde kayabilmektedir. OA kolu için θ = πt rad. ve bloğun kol 3 üzerindeki yeri r = 3t + t cm bağıntısı ile 1 verilmektedir. t = 4. s de, a- Maddesel noktanın yerini, b- Hızını ve hızının şiddetini c- ivmesini ve ivmesinin şiddetini hesaplayınız. π θ = πt 1 = rad. t= cm t= 4 r 1 = t + t = + = + = t= d ( OP ) drt dzt vt = = er + rt eθ + ez dr 1 t = = 6t + 6t 1 = 6 6 t = = 4 16 dr 1 = 6 + 1t 1 = = 9 t= s t = 4 rad. = π s d θ rad. = 0 s cm cm s vt 1 = er + π eθ t = 4 cm/s vt 1 t= = + π cm/s dvt d ( OP ) drt d θ drt at = = = rt er + rt + e θ

17 at = 9 ( π) e e π 15π at = er + eθ cm/s 64 r π θ cm/s at π 15π = + 64 cm/s ÖRNEK:. Çapları eşit olan iki dişli çarktan numaralı dişli çark sabit olan 1 numaralı dişli çark üzerinde yuvarlanmaktadır. Yuvarlanan numaralı dişli çarkın üzerindeki P noktasının yörüngesine ait denklem r = R + acosθ olup bu yörünge şekilde görülmektedir. Yörünge denkleminde r OP nün uzunluğu, R dişlilerin yuvarlanma dairesi yarıçapı, R OA kolunun uzunluğu, a dişli çarkların yarıçapı, θ ise OA kolunun x ekseni ile yaptığı açıdır ve θ = πt ile verilmektedir. Başlangıçta numaralı dişli çarkın merkezi x ekseni üzerinde olup P noktası da x ekseni üzerindedir. P maddesel noktasının hızı ve ivmesini hesaplayınız. π θ = rad a = 5. 5 cm için sayısal sonuç bulunuz R = cm r = R + acosθ = π d θ = 0 ( + cosθ) dr dr d R a = = π = asinθ π = 4πa sinθ

18 17 a= 5. 5 π θ= dr d dr d dr dr d θ = = + ( acosθ) d dr dr d θ = + d = ( asinθ) ( π) + ( a sinθ) 0 = 4π dr = 8πacos d ( OP ) drt vt = = er + rt eθ vt = 4πa θ e + R + a θ πe sin r ( cos ) π π vt R= = 4π 5. 5sin er cos πe θ θ θ vt = er eθ cm/s R= a= 5. 5 π θ= dvt d ( OP ) drt d θ drt at = = = rt er rt e + + θ at = 8πacosθ ( R + acosθ) ( π) er + ( 4πasinθ) π eθ π π π at = 8π 5. 5 cos cos ( π) er + 4π 5. 5sin π e at R= = π er + 4π 5. 5 πeθ { } [ ] [ ] a= 5. 5 π θ= { } θ at e eθ R= = r cm/s a= 5. 5 π θ=

19 FRENET EKSEN TAKIMINDA MADDESEL NOKTANIN HIZI VE İVMESİ. Hız vektörü yörünge eğrisine daima teğet olduğuna ve teğet birim vektörü u t olduğuna göre P maddesel noktasının hız, ds v = vu t = ut şeklinde yazılabilir. P maddesel noktasının ivmesi ise, dv dv dut dv dut ds = ut + v = ut + v ds v diferansiyel yay uzunluğu olan ds,

20 19 ds = ρ yazılarak, = u + ρ dv dv v dut t 1-14 elde edilir. Şimdi, dut yı hesaplayalım. a = a : sabit aa = a daa + ada = 0 ada = 0 a 0 da 0 olduğundan işlem sonucunun sıfır olabilmesi için, a da olmalıdır. Şiddeti sabit olan bir vektörün türevi daima kendisine dik bir vektördür.

21 0 dut = ut dut = 1 dut = 1 olduğundan türev sonucu elde edilen vektör ayni zamanda birim vektördür. bu vektör yörünge eğrisinin iç bükey tarafına yönlenmiş olup normal birim vektör adını alır ve n ile gösterilir. Sonuç olarak, dv dv v = + ρ dv = + ρ ut n v at ut n 1-15 elde edilir. Burada ivmeyi- ifade eder. ( u, ) t n a t, teğetsel ivme bileşenini, birim vektörlerinin tanımladığı düzleme oskülatör düzlem denir, v ρ ise ivmenin normal bileşenini merkezkaç işlemiyle elde b = ut n edilen vektör binormal birim vektör adını alır ve bu vektör oskülatör düzleme dik bir birim vektördür. 1.6 EĞRİSEL BİR YÖRÜNGENİN EĞRİLİK YARIÇAPININ HESABI. 3 3 v v v v a = vut au t + n = ut n = b ρ ρ ρ 3 v v a = b ρ 1 ρ = 3 v 1-16 v a şeklinde yörüngenin eğrilik yarıçapı hesaplanır. Buradan çıkan sonuçlar 1. İvme vektörü daima oskülatör düzlem içindedir.. Eğrisel bir yörüngede ivme vektörü daima yörüngenin içbükey tarafına yönlenmiştir. 3. Bir maddesel noktanın hızı ve ivmesi biliniyor ise yörüngenin eğrilik yarıçapı hesaplanabilir.

22 1 4. Eğrisel bir yörünge üzerinde sabit bir hızla hareket eden maddesel noktanın ivmesi daima sıfırdan farklıdır. ÖRNEK. Bir maddesel noktanın hareketi parametrik koordinatlarda, π x = acos t π y = bsin t z = 0 olarak verilmektedir. Yörüngenin A ve B noktalarındaki eğrilik yarıçapını bulunuz. vt a π sin π t i b π cos π = + tj at a π cos π t i b π sin π = tj vt π asin π t bcos π = t + i j k 3 3 π π π π π π π π vt at = a sin t b cos t 0 ab sin t cos t k ab k = + = 1 π π π π a cos t b sin t π π π π π asin t bcos t asin t bcos t 3 v + + ρ = = = 3 v a π ab ab B noktasında t = 0 olacağı için b ρ = a

23 A noktasında t = 1 olacağı için olarak elde edilir. a ρ = b Hareketin türünü yörünge tayin ettiğine göre, yörünge de bir eğri olduğuna göre dairesel hareket yerine çembersel hareket terimini kullanmak daha doğrudur. r = sabit ve hareket düzlemsel olduğundan ve e e e yazılarak, θ = z r 1.7 ÇEMBERSEL HAREKET: d ( OP ) drt dzt vt = = er + rt eθ + ez 0 0 d ( OP ) vt = = w rte r = w OP 1-17 Düzlemsel bir harekette açısal hız vektörü daima hareket düzlemine diktir. 1.8 HARMONİK HAREKET: Çembersel hareket yapan bir maddesel noktanın çemberin çaplarından herhangi birisi üzerindeki iz düşümünün yaptığı harekete harmonik hareket denir. Harmonik hareket periyodik bir harekettir. Periyot: Kapalı bir yörünge üzerinde hareket eden bir maddesel noktanın, yörünge üzerindeki herhangi bir noktadan art arda ve ayni yönde yaptığı iki geçiş arasındaki süredir. P noktasının x ekseni üzerindeki iz düşümü M noktası olsun. Bu M noktasının orijine uzaklığı x ise,

24 3 x = r cosθ dx v = = r sinθ = rw sinθ dv dw dw a = = r sinθ rw cosθ = r sinθ wx elde edilir. Eğer açısal hız sabitse hareket basit harmonik hareket adını alır. x = r cosθ dx v = = r sinθ = rw sinθ dv a = = rw cosθ = wx 1-18 elde edilir. İvme önündeki eksi işareti ivmenin yönünün daima orijine doğru olduğunu ifade eder. 1.9 ALAN HIZI: Hareket halinde olan bir maddesel noktanın yer vektörünün birim zamanda süpürdüğü alan miktarıdır. Hareket halinde olan bir maddesel nokta t anında P de t + kadar zaman sonra P 1 de olsun. t zaman zarfında yer vektörü tarafından süpürülen alan şekildeki taralı alandır da = OP OP = r r + dr = + = ÖRNEK: r r r dr ( r dr) 1 0 da 1 dr 1 = A = r = ( r v) da 1 dr = A = re r er + r eθ 0 Bir maddesel noktanın hareketi parametrik koordinatlarda, da 1 = A = r ez 1-19

25 4 olarak verilmektedir. Maddesel noktanın alan hızını hesaplayınız. OP = r = x ( t ) i + yt j π π π OP = r = acos t i + b sin t j π π π π vt = a sin ti + b cos tj π x = acos t π y = bsin t z = 0 da 1 dr 1 = A = r ( r v) = da 1 π π π π π π π = A = a cos t i b sin t j a sin t i b cos t j + + π π π cos sin da 1 A ab t = = + t da π = A = ab 4 olarak elde edilir.