Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Transkript

1 Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir. Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Bu doğrulara koordinat eksenleri denir. ve x-ekseni, y-ekseni ve z-ekseni olarak adlandırılır. Genellikle x- ve y-eksenleri yatay, z-ekseni ise düşey olarak düşünülür ve yönlerini Şekil 1 deki gibi belirleriz. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 1/ 172 Şekil 1: Koordinat sistemleri Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 2/ 172 Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Bu üç koordinat ekseni Şekil 2 da gösterildiği gibi, üç tane koordinat düzlemi belirler. x- ve y-eksenlerinin içeren düzleme xy düzlemi, y- ve z-eksenlerinin içeren düzleme yz düzlemi, x- ve z-eksenlerinin içeren düzleme xz düzlemi adı verilir. Şekil 2: Koordinat düzlemleri Bu üç koordinat düzlemi uzayı, bölge adı verilen, sekiz parçaya böler. Birinci bölge pozitif eksenlerle belirlenen bölgedir. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 3/ 172 Şekil 3: Koordinat düzlemleri Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 4/ 172

2 Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzaydaki bir P noktası için a, yz-düzleminde olan (yönlendirilmiş uzaklık), b, xz-düzlemine olan uzaklık ve c, xy-düzlemine olan uzaklık olsun. Bu durumda P noktasını (a, b, c) sıralı gerçel sayı üçlüsü ile temsil eder ve a, b, c ye P nin koordinatları deriz; a x-koordinatı, b, y-koordinatı, c, z-koordinatıdır. Dolayısıyla (a, b, c) noktasını bulmak için, Şekil 4 de görüldüğü gibi O başlangıç noktasından başlayıp x-eksenin yönünde a birim, sonra y-eksenine paralel olarak b birim ve son olarak z-eksenine paralel olarak c birim hareket ederiz. Şekil 4: Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 5/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 6/ 172 Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Şekil 5 te görüldüğü gibi P (a, b, c) noktası bir dikdörtgenler prizması belirler. P noktasından xy-düzlemine dikme indirerek elde edeceğimiz, koordinatları (a, b, 0) olan Q noktasına P noktasının xy-düzlemindeki izdüşümü denir. : (3, 2, 6) noktası Benzer şekilde R(0, b, c) ve S(a, 0, c) noktaları da P nin yz-düzlemi ve xz-düzlemindeki izdüşümleridir. Şekil 5: Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 7/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 8/ 172

3 Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Sıralı gerçel sayı üçlülerinden oluşan R R R = {(x, y, z) x, y, z R} kartezyen çarpımı R 3 ile gösterilir. Uzaydaki P noktaları ile, R 3 deki (a, b, c) sıralı gerçel sayı üçlüleri arasında birebir bir ilişki kurmuştuk. İki boyutlu analitik geometride x ve y yi içeren bir denklemin grafiği R 2 de bir eğridir. Üç boyutlu analitik geometride de x, y, z yi içeren bir denklemin grafiği R 3 de bir yüzeydir. Buna üç boyutlu Kartezyen koordinat sistemi adı verilir. Birinci bölgenin, koordinatları pozitif sayılardan oluşan noktaların kümesi olduğuna dikkat ediniz. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 9/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 10/ 172 : Aşağıdaki denklemler R 3 deki hangi yüzeyleri belirler? (a) z = 3 (b) y = 5 Çözüm (a) z = 3 denklemi R 3 deki z-koordinatı 3 olan noktaların kümesi olan {(x, y, z) z = 3} dir. Bu Şekil 6 da görüldüğü gibi, xy-düzlemine paralel olan ve ondan üç birim yukarıda bulunan yatay düzlemdir. Şekil 6: Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 11/ (b) y = 5 denklemi R 3 deki y-koordinatı 5 olan tüm noktaların kümesini temsil etmektedir. Bu Şekil 6 da görüldüğü gibi, xz düzlemine paralel, ondan beş birim sağda bulunan dik düzlemdir. Şekil 7: Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 12/ 172

4 Not NOT: Bir denklem verildiğinde, bunun R 2 de bir eğriyi mi yoksa R 3 de bir yüzeyimi temsil ettiğinin konudan anlayabilmemiz gerekir. y = 5 örnekte, R 3 te bir düzlemi temsil ederken, iki boyutlu analitik geometri ile ilgilendiğimizde, R 2 de bir doğruyu temsil etmektedir. : R 3 de y = x denklemi ile verilen yüzeyi betimleyerek çiziniz. Çözüm Denklem R 3 deki x ve y koordinatları eşit olan noktaları, bir diğer deyişle {(x, x, z) x, z R} kümesini temsil etmektedir. Bu, xy-düzlemini y = x, z = 0 doğrultusunda kesen düzlemdir. Bu düzlemin birinci bölgede kalan kısmı Şekil 9 de çizilmiştir. Şekil 9: y = x düzlemi Şekil 8: y = 5, R 2 de bir doğru Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 13/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 14/ 172 Üç Boyutta Uzaklık Formülü P 1 (x 1, y 1, z 1 ) ve P 2 (x 2, y 2, z 2 ) noktaları arasındaki P 1 P 2 uzaklığı, : P (2, 1, 7) ile Q(1, 3, 5) noktaları arasındaki uzaklık P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2 P Q = (1 2) 2 + ( 3 + 1) 2 + (5 7) 2 = = 3 dir tür. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 15/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 16/ 172

5 Kürenin Denklemi Merkezi C(h, k, l) ve yarıçapı r olan kürenin denklemi (x h) 2 + (y k) 2 + (z l) 2 = r 2 dir. Merkezin O noktasında olması özel durumunda bu denklem x 2 + y 2 + z 2 = r 2 biçimine dönüşür. : x 2 + y 2 + z 2 + 4x 6y + 2z + 6 = 0 ın bir küre denklemi olduğunu gösteriniz ve bu kürenin merkezi ile yarıçapını bulunuz. Çözüm Kareye tamamlayarak verilen denklemi bir küre denklemi biçiminde yeniden yazalım: (x 2 + 4x + 4) + (y 2 6y + 9) + (z 2 + 2z + 1) = (x + 2) 2 + (y 3) 2 + (z + 1) 2 = 8 Bu denklemi genel denklemle karşılaştırdığımızda bunun, merkezi ( 2, 3, 1) olan 8 = 2 2 yarıçaplı kürenin denklemi olduğunu görürüz. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 17/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 18/ 172 : 1 x 2 + y 2 + z 2 4, z 0 eşitsizliklerinin R 3 de tanımladığı bölgeyi bulunuz.... z 0 olduğu da verildiğinden, bu noktalar xy düzleminin üzerinde ya da altında kalır. Dolayısıyla verilen eşitsizlikler x 2 + y 2 + z 2 = 1 ile x 2 + y 2 + z 2 = 4 kürelerinin arasında yada üzerinde kalan ve xy düzleminin altında ya da üzerinde kalan noktaları belirlemektedir. Çözüm Verilen 1 x 2 + y 2 + z 2 4 eşitsizliği, 1 x 2 + y 2 + z 2 2 şeklinde yazılırsa, bunun başlangıç noktasından en az 1 ve en çok 2 brim uzakta olan noktaları temsil ettiği görülür. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 19/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 20/ 172

6 Vektörler Bilim insanları vektör terimini, büyüklük ve yönü olan (yer değiştirme, hız ya da kuvvet gibi) çokluklar için kullanırlar. Vektörler Vektörler genelde bir ok ya da yönlü bir doğru parçasıyla temsil edilir. Okun işaret ettiği yön, vektörün yönünü, uzunluğu ise vektörün büyüklüğünü temsil eder. Biz vektörü üstüne bir ok koyarak ( v) ile göstereceğiz. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 21/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 22/ 172 Vektörler Vektörler A noktasından B noktasına bir doğru boyunca haraket eden parçacığı ele alalım. Şekil de gösterilen, yer değiştirme vektörü v nin başlama noktası (okun kuyruğu) A ve bitiş noktası (uç) B olduğundan vektör v = AB biçiminde gösterilir. u = CD vektörününde konumu farklı olmasına karşın aynı yön ve aynı büyüklüğe sahip olduğuna dikkat ediniz. Bu yüzden u ve v vektörlerine denk (ya da eşit) denir ve u = v yazılır. 0 ile gösterilen sıfır vektörünün uzunluğu sıfırdır ve belli bir yönü olmayan tek vektördür. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 23/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 24/ 172

7 Vektörleri Birleştirme Bir parçacık Şekil 10 da görüldüğü gibi, önce A dan B ye, dolayısıyla AB yer değiştirme vektörüyle, sonra yön değiştirerek BC yer değiştirme vektörüyle B den C ye gitsin. Vektörleri Birleştirme Bu iki yer değiştirme işleminin sonucu olarak parçacık A dan C ye gitmiştir. Bu sonucu veren AC yer değiştirme vektörüne AB ve BC vektörlerinin toplamı denir ve AC = AB + BC yazılır. Şekil 10: Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 25/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 26/ 172 Vektörlerin Toplamı Skaler Çarpma u ve v vektörleri v nin başlama noktası ve u nun bitiş noktası aynı olacak şekilde verilsin. Bu durumda u + v toplam vektörü u nun başlama noktasından v nin bitiş noktasına giden vektördür. Vektörleri bir c sayısı ile çarpmakda olanaklıdır. (Vektörlerle karıştırmamak için bu bağlamda c gerçel sayısına skaler diyeceğiz.) Örneğin 2 v vektörünün yönü v nin yönü ile aynı olan ve uzunluğu v nin uzunluğunun iki katı olan v + v ile aynı olmasını isteriz. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 27/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 28/ 172

8 Skaler Çarpma Vektörler Özelde v = ( 1) v vektörü v ile aynı uzunlukta ancak ters yönlüdür. Bu vektöre v nin negatifi deriz. c skaleri ile v vektörünün c v skaler çarpımı, uzunluğu v nin uzunluğunun c katı, yönü ise c > 0 için v nin yönünün aynısı c < 0 için tersi olan vektör olarak tanımlanır. c = 0 ya da v = 0 durumunda c v = 0 dır. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 29/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 30/ 172 Vektörler Vektörler - Bileşenler İki vektörün u v farkından vektörünü anlıyoruz. u v = u + ( v) Bazen koordinat sistemini kullanarak vektörleri cebirsel olarak ele almak en uygun yöntemdir. a vektörünü kartezyen koordinat sisteminin başlangıç noktasından başlatırsak, bitiş noktasının koordinatları, iki boyutlu koordinat sisteminde (a 1, a 2 ), üç boyutlu koordinat sisteminde (a 1, a 2, a 3 ) olur. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 31/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 32/ 172

9 Vektörler - Bileşenler Bu koordinatlara a nın bileşenleri denir ve a = a 1, a 2 ya da a = a 1, a 2, a 3 biçiminde gösterilir. Düzlemde bir noktaya karşılık gelen (a 1, a 2 ) sıralı ikilisi ile karıştırmamak için vektörlerde a 1, a 2 gösterimini kullanırız. Vektörler - Bileşenler Örneğin, Şekil 11 deki vektörlerin hepsi bitiş noktası P (3, 2) olan OP = 3, 2 vektörüne denktir. Hepsinin ortak özelliği başladıkları noktadan üç birim sağa ve sonra iki birim yukarıya gidilince bitiş noktalarına erişilmesidir. Bu vektörlerin her birini, a = 3, 2 cebirsel vektörünün, birer temsili olarak düşünebiliriz. Başlangıç noktasından başlayıp P noktasına giden OP temsiline P noktasının konum vektörü adı verilir. Şekil 11: Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 33/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 34/ 172 Vektörler - Bileşenler Verilen A(x 1, y 1, z 1 ) ve B(x 2, y 2, z 2 ) noktaları için, AB ile temsil edilen a vektörü a = (x 2 x 1 ), (y 2 y 1 ), (z 2 z 1 ) (1) dir. : A(2, 3, 4) noktasından B( 2, 1, 1) noktasına giden yönlü doğru parçasının temsil ettiği vektörü bulunuz. Çözüm: (1) den AB ile temsil edilen vektör a = 2 2, 1 ( 3), 1 4 = 4, 4, 3 dür. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 35/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 36/ 172

10 Vektörler - Bileşenler Vektörler - Bileşenler v vektörünün uzunluğu ya da büyüklüğü, onun herhangi bir temsilinin uzunluğu olarak tanımlanır ve v ya da v ile gösterilir. OP doğru parçasının uzunluğunu bulmak için uzaklık formülünü kullanarak aşağıdaki formülleri elde ederiz. İki boyutlu a = a 1, a 2 vektörünün uzunluğu a = a a2 2 dir. Üç boyutlu a = a 1, a 2, a 3 vektörünün uzunluğu a = a a2 2 + a2 3 dir. a = a 1, a 2 ve b = b 1, b 2 ise a + b = a 1 + b 1, a 2 + b 2 a b = a 1 b 1, a 2 b 2 c a = ca 1, ca 2 dir. Benzer Şekilde üç boyutlu vektörler için a 1, a 2, a 3 + b 1, b 2, b 3 = a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 a 1, a 2, a 3 b 1, b 2, b 3 = a 1 b 1, a 2 b 2, a 3 b 3 c a 1, a 2, a 3 = ca 1, ca 2, ca 3 olur. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 37/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 38/ 172 : a = 4, 0, 3 ve b = 2, 1, 5 için a yı ve a + b, a b, 3 b ve 2 a + 5 b vektörlerini bulunuz. Çözüm: a = = 25 = 5 a + b = 4, 0, 3 + 2, 1, 5 = 4 2, 0 + 1, = 2, 1, 8 a b = 4, 0, 3 2, 1, 5 = 4 + 2, 0 1, 3 5 = 6, 1, 2 3 b = 3 2, 1, 5 = 3.( 2), 3.1, 3.5 = 6, 3, 15 2 a + 5 b = 2 4, 0, , 1, 5 = 8, 0, , 5, 25 = 2, 5, 31 Vektörler - Bileşenler V 2 ile tüm iki boyutlu vektörlerin, V 3 ile de tüm üç boyutlu vektörlerin kümesini göstereceğiz. Daha sonra, genel olarak, tüm n boyutlu vektörlerden oluşan V n kümesini ele alacağız. a vektörünün bileşenleri denilen a 1, a 2,..., a n gerçel sayılar olmak üzere, a = a 1, a 2,..., a n sıralı n lisine n-boyutlu vektör denir. n = 2 ve n = 3 de olduğu gibi V n de de toplama ve çıkarma işlemleri bileşenler cinsinden tanımlanır. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 39/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 40/ 172

11 Vektörlerin Özellikleri a, b ve c, V n de vektörler ve c, d skaler olmak üzere aşağıdaki özellikler sağlanır: 1. a + b = b + a 2. a + ( b + c) = ( a + b) + c Standart Baz Vektörler V 3 de özel olan üç vektör vardır. Bunlar i = 1, 0, 0, j = 0, 1, 0, k = 0, 0, 1 vektörlerdir. Buradan i, j ve k vektörlerinin pozitif x-, y- ve z- eksenleri yönünde ve 1 uzunluğunda olduğunu görürüz. Benzer Şekilde, iki boyutta, i = 1, 0, j = 0, 1 olarak tanımlanır. 3. a + 0 = a 4. a + ( a) = 0 5. c( a + b) = c a + c b 6. (c + d) a = c a + d a 7. (cd) a = c(d a) 8. 1 a = a Şekil 12: Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 41/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 42/ 172 Standart Baz Vektörler a = a 1, a 2, a 3 vektörünü a = a 1, a 2, a 3 = a 1, 0, 0 + 0, a 2, 0 + 0, 0, a 3 = a 1 1, 0, 0 + a 2 0, 1, 0 + a 3 0, 0, 1 a = a 1 i + a 2 j + a 3 k. biçiminde yazabiliriz. Dolayısıyla V 3 deki her vektör i, j, k standart baz vektörleri cinsinden yazılabilir. Örneğin, : a = i + 2 j 3 k ve b = 4 i + 7 k vektörleri için 2 a + 3 b yi i, j ve k cinsinden yazınız. Çözüm: Özellik 1,2,5,6 ve 7 den 2 a + 3 b = 2( i + 2 j 3 k) + 3(4 i + 7 k) elde ederiz. = 2 i + 4 j 6 k + 12 i + 21 k = 14 i + 4 j + 15 k 1, 2, 6 = i 2 j + 6 k olur. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 43/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 44/ 172

12 Birim Vektör Boyu 1 olan vektörlere birim vektör denir. Örneğin, i, j ve k vektörleri birim vektörlerdir. Genel olarak, a 0 için a ile aynı yönde olan birim vektör u = 1 a a = a a (2) : 2 i j 2 k vektörüyle aynı yönde olan birim vektörü bulunuz. Çözüm: Verilen vektörün uzunluğu 2 i j 2 k = ( 1) 2 + ( 2) 2 = 9 = 3 dolayısıyla denklem 2 den, aynı yöndeki birim vektör olarak bulunur. 1 3 (2 i j 2 k) = 2 3 i 1 3 j 2 3 k Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 45/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 46/ 172 İş ve İç çarpım İş ve İç çarpım Fizik ve mühendislikte iki vektörün işin içine girdiği durumlardan biri, bir kuvvetin yaptığı işi hesaplarken ortaya çıkar. Şekil 13 deki gibi, sabit F = P R kuvvetinin yerdeğiştirme vektöründen farklı bir yönü olan bir vektör olduğu durumunu ele alalım. Kuvvet, parçacığı P den Q ye götürüyorsa, D = P Q vektörüne yer değiştirme vektörü denir. Şekil 13: Bu durumda ortada iki vektör vardır: F vektörüyle D yer değiştirme vektörü. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 47/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 48/ 172

13 İş ve İç çarpım İş ve İç çarpım Dolayısıyla, F kuvvetinin yaptığı iş olarak tanımlanır. W = D ( F cos θ) = F D cos θ (3) İşin skaler bir nicelik olduğuna dikkat ediniz; kendisinin yönü yoktur. F kuvvetinin yaptığı iş D vektörünün D uzunluğu ile F kuvvetinin hareket yönündeki bileşeninin büyüklüğünün çarpımıyla tanımlanır. Bu bileşen Şekil 13 den dir. P S = F cos θ Ancak değeri, kuvvet ile yer değiştirme vektörünün arasındaki açıya bağlıdır. Denklem 3 in ifadesini, kuvvet ve yer değiştirme vektörleri olmasalar dahi, iki vektörün iç çarpımını tanımlamak için kullanacağız. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 49/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 50/ 172 İç çarpım Sıfırdan farklı a ve b vektörlerinin iç çarpımı, θ açısı, a ile b arasındaki 0 θ < π koşulunu sağlayan açı olmak üzere, a b = a b cos θ sayısı olarak tanımlanır. Eğer a ve b vektörü sıfır ise a b sıfırdır. a b iç çarpımının sonucu bir vektör değildir. Bu bir gerçel sayı, başka bir değişle, bir skalerdir. Bu yüzden, iç çarpımına skaler çarpımda denir. : Aralarında π/3 açısı olan 4 ve 6 büyüklüğündeki a ve b vektörleri için a b yı bulunuz. Çözüm: Tanımdan bulunur. a b = a b cos(π/3) = = 12 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 51/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 52/ 172

14 İç çarpım Bileşenleri Cinsinden İç Çarpım Sıfırdan farklı iki a ve b vektörüne, aralarındaki açı θ = π/2 ise, dik ya da ortogonal denir. Böyle vektörler için dır. a b = a b cos(π/2) = 0 Diğer yandan a b = 0 ise cos θ = 0, bir diğer değişle θ = π/2 olur. 0 vektörü tüm vektörlere dik kabul edilir. Bileşenleri cinsinden verilen iki vektörü ele alalım a = a 1, a 2, a 3 ve b = b 1, b 2, b 3. a ve b nin iç çarpımı dür. a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 Dolayısıyla, iki a ve b vektörünün dik olmasının gerek ve yeter koşulu a b = 0 olmasıdır. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 53/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 54/ 172 : 2, 4 3, 1 = 2(3) + 4( 1) = 2 1, 7, 4 6, 2, 1 2 = ( 1)6 + 7(2) + 4( 1 2 ) = 6 ( i + 2 j 3 k) (2 j k) = 1(0) + 2(2) + ( 3)( 1) = 7 : 2 i + 2 j k vektörünün 5 i 4 j + 2 k vektörüne dik olduğunu gösteriniz. Çözüm: (2 i + 2 j k) (5 i 4 j + 2 k) = 2(5) + 2( 4) + ( 1)2 = 0 olduğundan bu vektörler diktir. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 55/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 56/ 172

15 İç Çarpımın Özellikleri Vektörel Çarpım a, b ve c V 3 de vektörler ve k skaler olmak üzere aşağıdaki özellikler sağlanır: 1. a a = a 2 2. a b = b a 3. 0 a = 0 4. (k a) b = k( a b) = a (k b) 5. a ( b + c) = a b + a c a ve b vektörlerinin a b vektör çarpımı, iç çarpımın aksine, bir vektördür. Bu yüzden vektörel çarpım olarak adlandırılır. a ve b nin her ikisine de dik olduğu için a b nin geometride oldukça kullanışlı olduğunu göstereceğiz. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 57/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 58/ 172 Vektörel Çarpım Vektörel Çarpım Sıfırdan farklı üç boyutlu a ve b vektörlerinin vektörel çarpımı, Sağ el kuralında sağ elinizin parmaklarını a dan b ye doğru θ açısı kadar döndürdüğünüzde baş parmağınız n nin yönünü gösterir. θ açısı, a ile b arasındaki 0 θ < π koşulunu sağlayan açı, n, a ve b nin ikisine birden dik olan ve yönü Sağ el kuralı ile belirlenmiş birim vektör olmak üzere, olarak tanımlanır. a b = ( a b sin θ) n Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 59/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 60/ 172

16 Vektörel Çarpım a nın ya da b nin sıfır olduğu durumda a b sıfır vektörü olarak tanımlanır. a b vektörü n ile aynı doğrultudadır ve dolayısıyla a b vektörü a ve b nin her ikisine de ortogonaldir. Sıfırdan farklı a ve b vektörleri ancak ve ancak aralarındaki açı 0 ya da π iken paraleldir. Her iki durumda da sin θ = 0 dır ve buradan a b = 0 elde edilir. Sıfırdan farklı a ve b vektörleri ancak ve ancak a b = 0 ise paraleldir. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 61/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 62/ : i j ve j i vektörlerini bulunuz. Çözüm: Standart baz vektörleri olan i ve j nin uzunlukları 1 ve aralarındaki açı π/2 dir. Sağ el kuralına göre i ve j ye dik olan birim vektör k dır. Dolayısıyla, i j = ( i j sin(π/2) k) = k dır. Diğer yandan sağ el kuralını j ve i vektörlerine (bu sıra ile) uygularsak n vektörünün aşağıya doğru, n = k olduğunu görürüz. Dolayısıyla, j i = k dır. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 63/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 64/ 172

17 Vektörel Çarpım Vektörel Çarpım Yukarıdaki örnekten i j j i olduğunu görüyoruz, dolayısıyla vektörel çarpım değişmeli değildir. Benzer şekilde olduğu gösterilebilir. j k = i k i = j k j = i i k = j Genel olarak sağ el kuralından elde edilir. b a = a b Vektörel çarpımın sağlamadığı bir diğer cebirsel özellik ise çarpma için birleşme özelliğidir; genelde ( a b) c a ( b c) dir. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 65/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 66/ 172 Vektörel Çarpımın Özellikleri Bileşenleri Cinsinden Vektörel çarpım a, b ve c V 3 de vektörler ve c skaler olmak üzere 1. a b = b a a b bileşenleri cinsinden veren ifadeyi kolay anımsayabilmek için determinant gösterimini kullanariz. dir. 2. (c a) b = c( a b) = a (c b) 3. a ( b + c) = a b + a c 4. ( a + b) c) = a c + b c a = a 1 i + a 2 j + a 3 k ile b = b1 i + b 2 j + b 3 k vektörel çarpımını a i j k b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 şeklinde yazarız. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 67/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 68/ 172

18 Bileşenleri Cinsinden Vektörel çarpım Bileşenleri Cinsinden Vektörel çarpım Üçüncü dereceden determinant a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 şeklinde tanımlanır. = a 1 b 2 b 3 c 2 c 3 a 2 b 1 b 3 c 1 c 3 + a 3 b 1 b 2 c 1 c 2 İkinci dereceden determinant a b c d olarak tanımlanır. = ad bc Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 69/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 70/ 172 Doğru Denklemi : a = 1, 3, 4 ve b = 2, 7, 5 ise a b = i j k = i j k xy-düzleminde bir doğru, üzerindeki bir nokta ile yönü (eğimi ya da eğim açısı) verildiğinde belirlenir. Bunlardan, doğrunun denkleminin nokta-eğim biçimi yazılabilir. dır. ( 15 28) i ( 5 8) j + (7 6) k = 43 i + 13 j + k Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 71/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 72/ 172

19 Doğru Denklemi Doğru Denklemi Benzer şekilde üç boyutlu uzayda bir L doğrusu, üzerindeki bir P 0 (x 0, y 0, z 0 ) noktası ve yönü ile belirlenir. Üç boyutta bir doğrunun yönü en kolay bir vektörle belirlenir, dolayısıyla v yi L doğrusuna paralel bir vektör alalım. L nin vektör denklemi r = r 0 + t v, t R (4) t parametresinin her değeri L üzerindeki bir noktanın konum vektörünü verir. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 73/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 74/ 172 Doğru Denklemi Doğru Denklemi Bir diğer deyişle, t değiştikçe L doğrusu r vektörünün ucu ile taranır. L nin yönünü veren v vektörünü bileşenleri cinsinden v = a, b, c olarak yazarsak, t v = ta, tb, tc olur. r = x, y, z ve r 0 = x 0, y 0, z 0 alınırsa vektör denklemi (4) x, y, z = x 0 + ta, y 0 + tb, z 0 + tc, t R Şekil 14: Şekil 14 de görüldüğü gibi, L üzerindeki noktaların P 0 ın bir yanındakiler t nin pozitif değerlerine, diğer yanındakiler ise t nin negatif değerlerine karşılık gelir. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 75/ 172 biçimine dönüşür. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 76/ 172

20 Doğru Denklemi x, y, z = x 0 + ta, y 0 + tb, z 0 + tc, t R İki vektör ancak karşı gelen bileşenleri eşit ise eşittir. Dolayısıyla t R olmak üzere, üç tane skaler denklem elde ederiz: x = x 0 + at y = y 0 + bt z = z 0 + ct (5) : (a) (5, 1, 3) noktasından geçen ve i + 4 j 2 k vektörüne paralel olan doğrunun vektör ve parametrik denklemlerini bulunuz. (b) Bu doğru üzerinde iki farklı nokta daha bulunuz. Çözüm: (a) Burada r 0 = 5, 1, 3 = 5 i + j + 3 k ve v = i + 4 j 2 k olduğundan vektör denklemi (4) Bu denklemlere P 0 (x 0, y 0, z 0 ) noktasından geçen ve v = a, b, c vektörüne paralel olan L doğrusunun parametrik denklemleri denir. t parametresinin her değeri L üzerinde bir (x, y, z) noktası verir. ya da dir. r = (5 i + j + 3 k) + t( i + 4 j 2 k) r = (5 + t) i + (1 + 4t) j + (3 2t) k Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 77/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 78/ Doğru Denklemi Parametrik denklemler ise dir. x = 5 + t y = 1 + 4t z = 3 2t (b) Parametreyi t = 1 seçersek x = 6, y = 5 ve z = 1 olur, bu da doğru üzerindeki (6,5,1) noktasını verir. Benzer şekilde t = 1 için (4,-3,5) noktası bulunur. Bir doğrunun vektör denklemi ya da parametrik denklemleri tek değildir. Eğer noktayı ya da parametreyi değiştirirsek, veya başka bir paralel vektör seçersek, denklemler değişir. Örneğin, örnekte (5,1,3) noktası yerine (6,5,1) noktasını alırsak doğrunun parametrik denklemi olur. x = 6 + t y = 5 + 4t z = 1 2t Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 79/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 80/ 172

21 Doğru Denklemi Doğru Denklemi Ya da (5,1,3) noktasını değiştirmez de 2 i + 8 j 4 k yi paralel vektör olarak alırsak elde ederiz. x = 5 + 2t y = 1 + 8t z = 3 4t L doğrusunu belirlemenin bir diğer yolu da Denklem (5) den t parametresini yok etmektir. a, b ve c nin hiç biri 0 değilse, her bir denklemi t için çözüp, sonuçları birbirine eşitlersek x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c elde ederiz. Bu denklemlere L nin simetrik denklemleri denir. (6) Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 81/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 82/ 172 Doğru Denklemi Denklem (6) de, paydada bulunan a, b, c sayılarının L nin yön sayıları, bir diğer deyişle L ye paralel bir vektörün bileşenleri olduğuna dikkat ediniz. a, b ve c den birinin 0 olduğu durumda da t yi yok edebiliriz. Örneğin a = 0 durumunda denklemi biçiminde yazabiliriz. x = x 0 ; y y 0 b = z z 0 c Bu, L doğrusunun x = x 0 düşey düzleminde olduğu anlamına gelir. : (a) A(2, 4, 3) ve B(3, 1, 1) noktalarından geçen doğrunun parametrik ve simetrik denklemlerini bulunuz. (b) Bu doğrunun xy-düzlemini kestiği noktayı bulunuz. Çözüm : (a) Doğruya paralel olan bir vektör açık olarak verilmemiş olsa da, AB ile temsil edilen v vektörünün doğruya paralel olduğunu gözlemleyiniz: v = AB = 3 2, 1 4, 1 ( 3) v = 1, 5, 4 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 83/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 84/ 172

22 Bu durumda yön sayıları a = 1, b = 5 ve c = 4 dür. P 0 olarak (2, 4, 3) noktasını alırsak parametrik denklemler (5) x = 2 + t y = 4 5t z = 3 + 4t ve simetrik denklemler (6) olarak bulunur. x 2 1 = y 4 5 = z (b) Doğru, xy-düzlemini z = 0 iken keseceği için simetrik denklemde z = 0 alır ve elde ederiz. Bu, x = 11 4 x 2 1 = y 4 5 = 3 4 ve y = 1 4 verir. Dolayısıyla doğru, xy-düzlemini ( 11 4, 1 4, 0) noktasında keser. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 85/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 86/ : x = 1 + t y = 2 + 3t z = 4 t x = 2s y = 3 + s z = 3 + 4s parametrik denklemleri ile verilen L 1 ve L 2 doğrularının aykırı doğrular olduğunu, başka bir deyişle, kesişmediklerini ve paralel olmadıklarını (dolayısıyla da aynı düzlemde bulunmadıklarını) gösteriniz. Çözüm : 1, 3, 1 ve 2, 1, 4 vektörleri(bileşenleri orantılı olmadığından) paralel olmadığı için doğrular da paralel değildir. L 1 ve L 2 doğrularının kesiştikleri noktada aşağıdaki denklemlerin t ve s çözümü olması gerekir. 1 + t = 2s 2 + 3t = 3 + s 4 t = 3 + 4s Ancak ilk iki denklemden t = 11 5 ve s = 8 5 elde ederiz ve bunlar üçüncü denklemi sağlamaz. Dolayısıyla üç denklemi birden sağlayan t ve s değerleri olmadığından L 1 ve L 2 kesişmezler. Bu da L 1 ve L 2 nin aykırı doğrular olduğunu gösterir. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 87/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 88/ 172

23 Düzlemler Uzaydaki bir düzlem, üzerinde bulunan bir P 0 (x 0, y 0, z 0 ) noktası ile düzleme ortagonal bir n vektörü ile belirlenir. n ortogonal vektörüne normal vektör denir. P 0 (x 0, y 0, z 0 ) noktasından geçen ve normal vektörü n = a, b, c olan düzlemin skaler denklemi: dir. a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0 (7) : (2, 4, 1) noktasından geçen ve normal vektörü n = 2, 3, 4 olan düzlemin bir denklemini bulunuz. Kesenlerini bularak düzlemi çiziniz. Çözüm : Denklem (7) de a = 2, b = 3, c = 4, x 0 = 2, y 0 = 4 ve z 0 = 1 alarak, düzlemin bir denklemini olarak elde ederiz. 2(x 2) + 3(y 4) + 4(z + 1) = 0 2x + 3y + 4z = 12 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 89/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 90/ 172 Düzlemler x- kesenini bulmak için bu denklemde y = z = 0 alırsak, x = 6 çıkar. Benzer şekilde y- keseni olarak 4 ve z-keseni olarak 3 bulunur. Bu bilgi düzlemin birinci bölgede kalan kısmını çizmemizi sağlar. Denklem (7) deki terimleri düzenleyerek, düzlemin denklemini, ax + by + cz + d = 0 (8) biçiminde yeniden yazabiliriz. Denklem (8) e x, y ve z ye göre doğrusal denklem denir. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 91/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 92/ 172

24 : P (1, 3, 2), Q(3, 1, 6) ve R(5, 2, 0) noktalarından geçen düzlemin denklemini bulunuz. Çözüm : dir. P Q ve P R ye karşılık gelen a ve b vektörleri a = 2, 4, 4 b = 4, 1, 2 a ve b nin her ikisi de düzlemde olduğundan onların a b vektörel çarpımı düzleme diktir ve düzlemin normal vektörü olarak alınabilir.... Buradan n = a b = i j k = 12 i + 20 j + 14 k bulunur. P (1, 3, 2) noktası ve n normal vektörünü kullanarak düzlemin denklemi olarak bulunur. 12(x 1) + 20(y 3) + 14(z 2) = 0 6x + 10y + 7z = 50 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 93/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 94/ 172 : (a) x + y + z = 1 ve x 2y + 3z = 1 düzlemleri arasındaki açıyı bulunuz. (b) Bu iki düzlemin kesişme doğrusunun simetrik denklemlerini bulunuz. Çözüm : (a) Verilen düzlemlerin normal vektörleri n 1 = 1, 1, 1 n 2 = 1, 2, 3 olduğundan düzlemlerin arasındaki θ açısı, cos θ = n 1 n 2 1(1) + 1( 2) + 1(3) = = 2 n 1 n (b) Önce L üzerinde bir nokta bulmamız gerekir. Örneğin iki düzlemin denklemlerinde z = 0 alarak doğrunun xy-düzlemini kestiği noktayı bulabiliriz. Bu, x + y = 1 ve x 2y = 1 denklemlerini verir ve çözümü x = 1, y = 0 dır. Dolayısıyla (1, 0, 0) noktası L doğrusu üzerindedir. θ = cos 1 ( 2 42 ) 72 o olarak bulunur. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 95/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 96/ 172

25 Şimdi, L doğrusunun her iki düzlemin de üzerinde olduğundan her iki normal vektöre de dik olduğunu gözlemleriz. Dolayısıyla L doğrusuna paralel olan bir v vektörü i j k v = n 1 n 2 = = 5 i 2 j 3 k vektörel çarpımıyla verilir ve dolayısıyla L doğrusunun simetrik denklemi x 1 = y 5 2 = z 3 olarak yazılabilir. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 97/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 98/ 172 Nokta-Düzlem Arası Uzaklık P (x 0, y 0, z 0 ) noktasından ax + by + cz + d = 0 düzlemine olan D uzaklığını veren formül: D = ax 0 + by 0 + cz 0 + d a 2 + b 2 + c 2 (9) Fonksiyonlar ve Yüzeyler biçiminde yazılabilir. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 99/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 100/ 172

26 İki Değişkenli Fonksiyonlar İki Değişkenli Fonksiyonlar Dairesel silindirin V hacmi, r yarıçapına ve h yüksekliğine bağlıdır. Aslında, V = πr 2 h olduğunu biliyoruz. V ye r ve h nin fonksiyonu deriz ve V (r, h) = πr 2 h yazarız. iki değişkenli f fonksiyonu, D kümesinden her bir sıralı (x, y) gerçel sayı ikilisine, f(x, y) ile gösterilen tek bir gerçel sayı karşılık getiren kuraldır. D, f nin tanım kümesidir ve f nin aldığı değerlerin {f(x, y) (x, y) D} kümesine de görüntü kümesi denir. f nin genel bir (x, y) noktasında aldığı değeri sıklıkla z = f(x, y) ile gösteririz. x ve y bağımsız değişkenler, z ise bağımlı değişkendir. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 101/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 102/ 172 İki Değişkenli Fonksiyonlar Tanım kümesi, R 2 nin, xy-düzleminin, bir alt kümesidir. Tanım kümesini mümkün olan tüm girdilerin kümesi, görüntü kümesini de çıktıların kümesi olarak düşünebiliriz. Fonksiyon, tanım kümesi belirtilmeden, bir formül ile verildiğinde tanım kümesi olarak, verilen ifadenin iyi tanımlı gerçel sayı değerleri ürettiği tüm (x, y) ikililerinin kümesi alınır. : f(x, y) = 4x 2 + y 2 ifadesiyle verilen f(x, y) fonksiyonu tüm (x, y) sıralı gerçel sayı ikilileri için tanımlı olduğundan tanım kümesi R 2, tüm xy-düzlemidir. Görüntü kümesi ise tüm negatif olmayan gerçel sayılar, [0, ) dur. [x 2 0 ve y 2 0 olduğundan tüm x ve y ler için f(x, y) 0 olduğuna dikkat ediniz.] Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 103/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 104/ 172

27 ... : Aşağıdaki fonksiyonların tanım kümelerini bulunuz ve f(3, 2) yi hesaplayınız. x + y + 1 (a) f(x, y) = (b) f(x, y) = x ln(y 2 x) x 1 x + y ya da y x 1 eşitsizliği y = x 1 doğrusunun üzerinde ya da üstündeki noktaları verir. x 1 ise x = 1 doğrusunun üzerindeki noktaların alınmaması gerektiğini söyler Çözüm : (a) f(3, 2) = = f için verilen ifade, paydanın 0 olmadığı ve karekökün içindeki terimin negatif olmadığı durumda anlamlıdır. Bu yüzden tanım kümesi D = {(x, y) x + y + 1 0, x 1} dir. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 105/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 106/ Grafikler (b) f(x, y) = x ln(y 2 x) f(3, 2) = 3 ln(2 2 3) = 3 ln 1 = 0 ln(y 2 x) yalnızca y 2 x > 0, ya da x < y 2 iken tanımlı olduğu için, tanım kümesi D = {(x, y) x < y 2 } dir. Bu, x = y 2 parabolünün solundaki noktaların kümesidir. Tanım kümesi D olan iki değişkenli bir f fonksiyonunun grafiği, D deki (x, y) ler için z = f(x, y) koşulunu sağlayan R 3 deki (x, y, z) noktalarının kümesidir. Bir değişkenli f fonksiyonunun grafiği y = f(x) denklemi ile verilen C eğrisi olduğu gibi, iki değişkenli f fonksiyonunun grafiği de z = f(x, y) denklemiyle verilen S yüzeyidir. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 107/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 108/ 172

28 Grafikler f nin S grafiğini xy-düzlemindeki D tanım kümesinin tam üstünde ya da altında görebiliriz. : f(x, y) = 6 3x 2y fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm : f nin grafiği z = 6 3x 2y ya da 3x + 2y + z = 6 denklemi ile verilir ve bu bir düzlemi temsil eder. Kesenleri bularak grafiğin birinci bölgede kalan kısmını Şekil 15 de çiziyoruz. Şekil 15: Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 109/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 110/ 172 Grafikler teki fonksiyon f(x, y) = ax + by + c biçiminde olan ve doğrusal fonksiyon adı verilen fonksiyonların özel bir durumudur. : f(x, y) = x 2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm : y ye hangi değeri verirsek verelim f(x, y) nin değerinin x 2 olduğuna dikkat ediniz. Bu fonksiyonların grafikleri z = ax + by + c ya da ax + by z + c = 0 denklemi ile verildikleri için birer düzlemdir. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 111/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 112/ 172

29 ... Grafiği veren z = x 2 denklemi y yi içermemektedir. Bu, denklemi y = k olan her düşey (xz-düzlemine paralel) düzlemin, grafiği, z = x 2 denklemi ile verilen parabol boyunca kesmesi demektir. Şekil 16: Şekil 16 de grafiğin xz-düzleminde alınan z = x 2 parabolünün y ekseni boyunca kaydırılırak oluşturulması gösterilmektedir. Dolayısıyla grafik, parabolik silindir adı verilen ve aynı parabolün sonsuz tane kaydırılmış kopyasından oluşan bir yüzeydir. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 113/ 172 Grafikler Kesitlerin (dilimlerin) şekillerini belirleyerek başlamak genelde iki değişkenli fonksiyonların grafiğini çizmeyi kolaylaştırır. Örneğin, x i, x = k (bir sabit) olarak sabitlersek ve y yi değiştirirsek sonuç tek değişkenli z = f(x, y) fonksiyonudur ve grafiği z = f(x, y) denklemi ile verilen yüzeyin x = k düşey düzlemi ile kesişimidir. Benzer şekilde yüzeyi y = k düşey düzlemiyle dilimleyip z = f(x, k) eğrilerine bakabilir, ya da z = k yatay düzlemleri ile dilimleyebiliriz. Tüm bu eğrilere z = f(x, y) yüzeyinin izleri (ya da kesitleri) denir. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 114/ 172 : İzlerini kullanarak f(x, y) = 4x 2 + y 2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm : Grafiğin denklemi z = 4x 2 + y 2 dir. x = 0 alırsak z = y 2 çıkar.... Benzer şekilde y = k alırsak, z = 4x 2 + k 2 izleri yukarıya doğru açılan parabollerdir. z = k alırsak bir elips ailesi olan, 4x 2 + y 2 = k yatay izleri elde ederiz. Dolayısıyla yz-düzleminin, grafikle kesişimi bir paraboldür. x = k (bir sabit) alırsak z = 4k 2 + y 2 çıkar. Bu, grafiği yz-düzlemine paralel düzlemlerle kestiğimizde yukarıya doğru açılan paraboller elde edeceğimiz anlamına gelir. İzlerin şekillerini belirledikten sonra Şekil 17 sa gösterildiği gibi grafiği çizebiliriz. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 115/ 172 Şekil 17: Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 116/ 172 Eliptik ve parabolik izlerden dolayı z = 4x 2 + y 2 yüzeyine eliptik

30 : f(x, y) = y 2 x 2 nin grafiğini çiziniz. Çözüm : x = k düşey düzlemlerindeki izler yukarıya doğru açılan z = y 2 k 2 parabolleridir.... y = k daki izler ise aşağıya doğru açılan z = x 2 + k 2 parabolleridir. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 117/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 118/ Yatay izler, y 2 x 2 = k ile verilen hiperbol ailesidir.... İzler bir araya getirilerek bir hiperbolik paraboloit olan z = y 2 x 2 yüzeyi çizilmiştir. Yüzeyin başlangıç noktasına yakın bölümünün bir eyere benzediğine dikkat ediniz. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 119/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 120/ 172

31 İkinci Dereceden Yüzeyler : x 2 + y2 9 + z2 4 = 1 denklemi ile verilen ikinci dereceden yüzeyi çiziniz. x, y ve z cinsinden ikinci dereceden denklemlerin grafiklerine ikinci dereceden yüzey denir. Çözüm : xy-düzlemindeki (z = 0) iz, x 2 + y 2 /9 = 1 denklemi ile verilen elipstir. Genelde, z = k düzlemindeki yatay izler x 2 + y2 9 = 1 k2 4 z = k denklemi ile verilir. Bu izler, k 2 < 4 ya da 2 < k < 2 koşulu altında, elipstir. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 121/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 122/ Benzer şekilde düşey izler de elipstir:... Şekil 18, çizilmiş birkaç izin yüzeyin şeklini nasıl belirttiğini göstermektedir. Tüm izleri elips olduğu için, bu yüzeye elipsoit denir. Yüzeyin koordinat düzlemlerinin her birine göre simetrik olduğuna dikkat ediniz: bu, denklemin x, y ve z nin yalnızca çift kuvvetlerinden oluşmasının bir sonucudur. y z2 4 = 1 k2 x = k ( 1 < k < 1 ise) x 2 + z2 4 = 1 k2 9 y = k ( 3 < k < 3 ise) Şekil 18: Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 123/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 124/ 172

32 teki elipsoit, (z-ekseni gibi) bazı düşey doğruların onu birden fazla kez kestiğinden dolayı, bir fonksiyonun grafiği değildir. Ancak şeklin üst ya da alt yarısı bir fonksiyonun grafiğidir. Elipsoidin denklemini z için çözersek ) z 2 = 4 (1 x 2 y2 z = ±2 1 x 9 2 y2 9 Bu yüzden f(x, y) = 2 1 x 2 y2 9 ve g(x, y) = 2 fonksiyonlarının grafikleri elipsoidin üst ve alt yarısıdır. 1 x 2 y2 9 elde ederiz. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 125/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 126/ Bazı Standart İkincinci Dereceden Yüzeyler f ve g nin ikisininde tanım kümeleri 1 x 2 y2 9 0 x2 + y2 9 1 eşitsizliğini sağlayan tüm (x, y) noktalarından, başka bir deyişle x 2 + y 2 /9 = 1 elipsinin üzerinde ya da içinde olan tüm noktalardan oluşur. Standart biçimdeki altı temel ikinci dereceden yüzeyin bilgisayar tarafından çizilmiş grafiklerini görelim. Tüm bu yüzeyler z-eksenine göre simetriktir. Bir ikinci dereceden yüzey diğer bir eksene göre simetrik ise, denklemi de ona uygun olarak değişir. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 127/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 128/ 172

33 Bazı Standart İkincinci Dereceden Yüzeyler Bazı Standart İkincinci Dereceden Yüzeyler Elipsoit x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1 Tüm kesitler elipsdir. Eğer a = b = c ise küredir. Koni x 2 a 2 + y2 b 2 = z2 c 2 Yatay kesitler elipsdir. Düşey kesitler x = k ve y = k (k R, k 0) hiperboldür. k = 0 için ikişer adet doğrudur. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 129/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 130/ 172 Bazı Standart İkincinci Dereceden Yüzeyler Bazı Standart İkincinci Dereceden Yüzeyler Eliptik Paraboloit Tek Parçalı Hiperboloit x 2 a 2 + y2 b 2 = z c Yatay kesitler elipsdir. Düşey kesitler paraboldür. x 2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 1 Yatay kesitler elipsdir. Düşey kesitler hiperboldür. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 131/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 132/ 172

34 Bazı Standart İkincinci Dereceden Yüzeyler Bazı Standart İkincinci Dereceden Yüzeyler Hiperbolik Paraboloit İki parçalı hiperboloit x 2 a 2 y2 b 2 = z c Yatay kesitler hiperboldür Düşey kesitler paraboldür. x2 a 2 y2 b 2 + z2 c 2 = 1 k < c ve ya k > c için yatay kesitler elipstir Düşey kesitler hiperboldür. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 133/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 134/ : x 2 + 2z 2 6x y + 10 = 0 ikinci dereceden yüzeyini sınıflandırınız. Çözüm : Denklemi kareye tamamlayarak yeniden yazarsak y 1 = (x 3) 2 + 2z 2 elde ederiz. Bu denklemin bir eliptik paraboloit olduğunu görürüz. Ancak, paraboloidin ekseni y-eksenine paraleldir ve grafik, köşesi (3, 1, 0) noktasında olacak şekilde kaydırılmıştır. y = k (k > 1) düzlemindeki izler (x 3) 2 + 2z 2 = k 1 y = k elipsleridir. xy-düzlemindeki iz ise y = 1 + (x 3) 2, z = 0 denklemleri ile verilen paraboldür. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 135/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 136/ 172

35 ... Vektör Fonksiyonları Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 137/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 138/ 172 Vektör fonksiyonları ve uzay eğrileri Vektör fonksiyonları ve uzay eğrileri Genel olarak, bir fonksiyon, tanım kümesindeki her elemanı görüntü kümesindeki bir elemanla eşleyen bir kuraldır. Vektör değerli fonksiyon, ya da vektör fonksiyonu da basitçe tanım kümesi bir gerçel sayılar kümesi, görüntü kümesi ise bir vektör kümesi olan bir fonksiyondur. Biz en çok görüntü kümesi üç boyutlu vektörler olan r vektör fonksiyonlarıyla ilgileneceğiz. Bunun anlamı, r nin tanım kümesindeki her t için,v 3 de r(t) ile gösterilen tek bir vektör olmasıdır. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 139/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 140/ 172

36 Vektör fonksiyonları ve uzay eğrileri r(t) vektör fonksiyonunun bileşenlerini f(t), g(t) ve h(t) ile gösterirsek, f, g ve h, r nin bileşen fonksiyonları denilen, gerçel değerli fonksiyonlardır ve r(t) = f(t), g(t), h(t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k : ise bileşen fonksiyonları r(t) = t 3, ln(3 t), t yazabiliriz. Vektör fonksiyonlarının çoğu uygulamasında zamanı gösterdiği için, bağımsız değişkeni t harfi ile gösteririz. dir. f(t) = t 3, g(t) = ln(3 t), h(t) = t Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 141/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 142/ Vektör fonksiyonları ve uzay eğrileri Genelde yaptığımız gibi, r nin tanın kümesinin r(t) nin tanımlı olduğu tüm t değerlerinden oluştuğunu varsayıyoruz. t 3, ln(3 t) ve t ifadelerinin hepsi de 3 t > 0 ve t 0 için tanımlıdır. r vektör fonksiyonunun limiti bileşen fonksiyonlarının limitleri olarak aşağıda tanımlanmıştır: r(t) = f(t), g(t), h(t) ve bileşen fonksiyonların limiti varsa, lim r(t) = lim f(t), lim g(t), lim h(t) t a t a t a t a dir. (10) Bu yüzden r nin tanım kümesi [0, 3) aralığıdır. Not: lim r(t) = L ise bu tanım r(t) nin boyunun ve yönünün t a L nin boyu ve yönüne yaklaşmasına denktir. Vektör fonksiyonlarının limitleri de gerçel değerli fonksiyonların limitlerinin sağladığı kuralları sağlar. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 143/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 144/ 172

37 Vektör fonksiyonları ve uzay eğrileri : r(t) = (1 + t 3 ) i + te t j + sin t k ise lim r(t) limitini t t 0 bulunuz. Çözüm: Tanım 10 den r nin limitinin bileşenleri, r nin bileşenlerinin limitleridir: [ lim r(t) = lim (1 + t 3 ) ] [ i + lim te t ] [ ] sin t j + lim k = i + t 0 t 0 t 0 t 0 t k lim r(t) = r(a) t a ise, r vektör fonksiyonuna a noktasında süreklidir denir. Tanım 10 den, r fonksiyonunun ancak ve ancak f, g ve h bileşen fonksiyonları a da sürekli olduğunda sürekli olacağını görürüz. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 145/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 146/ 172 Vektör fonksiyonları ve uzay eğrileri Vektör fonksiyonları ve uzay eğrileri Sürekli vektör fonksiyonları ile uzay eğrileri arasında yakın bir ilişki vardır. f, g ve h fonksiyonları I aralığında gerçel değerli sürekli fonksiyonlar olsun. Bu durumda, t değişkeni I aralığıdaki değerleri alarak değiştikçe x = f(t) y = g(t) z = h(t) (11) olmak üzere, uzaydaki (x, y, z) noktalarının C kümesine uzay eğrisi denir. (11) deki denklemlere C nin parametrik denklemleri, t ye de parametre denir. C yi, t zamanındaki konumu (f(t), g(t), h(t)) olan hareket halindeki bir parçacığın izlediği yol olarak düşünebiliriz. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 147/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 148/ 172

38 Vektör fonksiyonları ve uzay eğrileri r(t) = f(t), g(t), h(t) vektör fonksiyonunu ele alırsak, r(t), C üzerindeki P (f(t), g(t), h(t)) noktasının konum vektörü olur. Dolayısıyla, sürekli olan her r vektör fonksiyonu Şekil 19 de gösterildiği gibi, hareket eden r(t) vektörünün ucunun taradığı bir C uzay eğrisi tanımlar. : r(t) = 1 + t, 2 + 5t, 1 + 6t vektör fonksiyonunun tanımladığı eğriyi betimleyiniz. Çözüm: Karşıgelen parametrik denklemler x = 1 + t y = 2 + 5t z = 1 + 6t olup bunu (1, 2, 1) noktasından geçen ve 1, 5, 6 vektörüne paralel olan doğrunun parametrik denklemi olarak algılıyoruz. Şekil 19: Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 149/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 150/ : Vektör denklemi Ya da, r 0 = 1, 2, 1 ve v = 1, 5, 6 olmak üzere, fonksiyonu r = r 0 + t v biçiminde yazabilir ve bunun bir doğrunun vektör denklemi olduğunu gözlemleyebiliriz. r(t) = cos t i + sin t j + t k olan eğriyi çiziniz. Çözüm: Bu eğrinin parametrik denklemleri x = cos t y = sin t z = t dir. x 2 + y 2 = cos 2 t + sin 2 t = 1 olduğundan, eğri x 2 + y 2 = 1 çembersel silindirin üzerindedir. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 151/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 152/ 172

39 ... Vektör Fonksiyonlarının Türevi (x, y, z) noktası, xy-düzleminde saat yönünün tersi yönde hareket eden, (x, y, 0) noktasının tam üstündedir. z = t olduğundan z arttıkça eğri silindirin üstünde dönerek yükselmektedir. Şekil 20 de gösterilen bu eğriye helis denir. Şekil 21: Şekil 20: Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 153/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 154/ 172 Vektör Fonksiyonlarının Türevi Vektör Fonksiyonlarının Türevi Teorem: f, g, h türevlenebilir fonksiyonlar olmak üzere, r(t) = f(t), g(t), h(t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k ise r (t) = f (t), g (t), h (t) = f (t) i + g (t) j + h (t) k dir. (12) r (t) vektörüne, r (t) tanımlı ve r (t) 0 olduğunda, r nin tanımladığı eğrinin P noktasındaki teğet vektörü denir. P den geçen ve r (t) teğet vektörüne paralel olan doğruya C nin P noktasındaki teğet doğrusu adı verilir. Bazı durumlarda T (t) = r (t) r (t) formülü ile tanımlanan birim teğet vektörünü de kullanacağız. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 155/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 156/ 172

40 : (a) r(t) = (1 + t 3 ) i + te t j + sin 2t k fonksiyonunun türevini bulunuz. (b) t = 0 a karşılık gelen noktadaki birim teğet vektörünü bulunuz. Çözüm: (a) Teoremden r nin her bir bileşeninin türevini alalım: Vektör Fonksiyonlarının Türevi I aralığında tanımlı r(t) vektör fonksiyonu ile verilen eğriye, r (t) sürekli ve (yalnızca belki I nın uc noktaları dışında) r (t) 0 ise, düzgün denir. Örneğin Şekil 22 teki helis, r (t) hiçbir zaman 0 olmadığı için düzgündür. r (t) = 3t 2 i + (1 t)e t j + 2 cos 2t k (b) r(0) = i ve r (0) = j + 2 k olduğundan (1, 0, 0) noktasındaki birim teğet vektörü olarak bulunur. T (0) = r (0) r (0) = j + 2 k = 1 5 j k Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 157/ 172 Şekil 22: Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 158/ 172 Türev Kuralları Vektör Fonksiyonlarının İntegrali Theorem: u ve v türevlenebilir vektör fonksiyonları, c bir skaler ve f bir gerçel değerli fonksiyon olmak üzere d 1 dt [ u(t) + v(t)] = u (t) + v (t) d 2 dt [c u(t)] = c u (t) d 3 dt [f(t) u(t)] = f (t) u(t) + f(t) u (t) d 4 dt [ u(t) v(t)] = u (t) v(t) + u(t) v (t) d 5 dt [ u(t) v(t)] = u (t) v(t) + u(t) v (t) d 6 dt [ u(f(t))] = f (t) u (f(t)) (zincir kuralı) dir. r(t) sürekli vektör fonksiyonunun belirli integrali de, sonucun bir vektör olması dışında, gerçel değerli fonksiyonlarınki gibi tanımlanır. Dolayısıyla r nin integralini f, g ve h bileşen fonksiyonlarının integralleri cinsinden ifade edebiliriz. b a ( b r(t)dt = a ) ( b ) ( b ) f(t)dt i + g(t)dt j + h(t)dt k a a Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 159/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 160/ 172

41 Yay Uzunluğu ve Eğrilik : r(t) = 2 cos t i + sin t j + 2t k ise, C sabit bir vektör olmak üzere ( ) ( ) ( ) r(t) dt = 2 cos t dt i + sin t dt j + 2t dt k Eğri, f, g ve h sürekli olmak üzere, r(t) = f(t), g(t), h(t), a t b dir. π 2 0 = 2 sin t i cos t j + t 2 k + C ] π r(t) dt = [2 sin t i cos t j + t 2 2 k = 2 i + j + π2 0 4 k vektör denklemiyle, ya da eşdeğer olarak x = f(t), y = g(t), z = h(t) parametrik denklemleri ile verilmiş olsun. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 161/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 162/ 172 Yay Uzunluğu ve Eğrilik Yay Uzunluğu ve Eğrilik Eğer t parametresi a dan b ye artarken, eğri tam bir kez taranıyor ise uzunluğu L = = b a b a [f (t)] 2 + [g (t)] 2 + [h (t)] 2 dt (dx ) 2 + dt ( ) dy 2 + dt ( ) dz 2 dt dt (13) Bu formülün daha kısa olarak L = b a biçiminde yazılabileceğine dikkat ediniz. r (t) dt (14) ile gösterilebilir. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 163/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 164/ 172

42 Parametrik Yüzeyler : r(t) = cos t i + sin t j + t k vektör denklemi ile verilen çembersel helisin (1, 0, 0) noktasından (1, 0, 2π) noktasına kadar olan uzunluğunu bulunuz. Çözüm: r (t) = sin t i + cos t j + k olduğundan r (t) = ( sin t) 2 + cos 2 t + 1 = 2 dir. (1, 0, 0) dan (1, 0, 2π) ye olan yay parçası 0 t 2π parametre aralığı ile belirlenir ve dolayısıyla formül 14 den Tek bir t parametresine bağlı r(t) vektör fonksiyonları ile uzay eğrilerini betimlediğimiz gibi, benzer şekilde u ve v gibi iki parametreye bağlı r(u, v) vektör fonksiyonları ile yüzeyleri betimleyebiliriz. L = 2π 0 r (t) dt = 2π 0 2 dt = 2 2π elde ederiz. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 165/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 166/ 172 Parametrik Yüzeyler Parametrik Yüzeyler r(u, v) = x(u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k (15) uv-düzlemindeki bir D bölgesinde tanımlı vektör değerli bir fonksiyon olsun. Bir diğer deyişle, (u, v), D bölgesini tarayacak şekilde değiştikçe, r(u, v) vektörünün ucu da S yüzeyini tarar. Burada r nin bileşenleri olan x, y ve z, D ye bölgesindeki u ve v ye bağlı iki değişkenli fonksiyonlardır. R 3 de x = x(u, v) y = y(u, v) z = z(u, v) (16) şeklinde verilen tüm (x, y, z) noktalarına, (u, v), D kümesinde değişmek üzere, S, parametrik yüzeyi ve Denklem 16 ye de S nin parametrik denklemleri denir. Her u ve v seçimi S de bir nokta verir; tüm seçimleri yaparak S nin tamamını elde ederiz. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 167/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 168/ 172

43 : r(u, v) = 2 cos u i + v j + 2 sin u k vektör denklemi ile verilen yüzey silindir belirtir. Parametrik Yüzeyler te u ve v üzerinde hiçbir kısıtlama koymadığımız için silindirin tamamını elde ettik. Ancak, örneğin, u ve v üzerine 0 u π/2 0 v 3 kısıtlamasını koyarsak, x 0, z 0, 0 y 3 olur ve şekilde gösterilen uzunluğu 3 olan çeyrek silindiri elde ederiz. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 169/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 170/ 172 : x 2 + y 2 + z 2 = a 2 küresinin parametrik temsili dir. x = a sin φ cos θ y = a sin φ sin θ z = a cos φ : x 2 + y 2 = 4 0 z 1 silindirinin parametrik gösterimi, 0 θ 2π ve 0 z 1 olmak üzere x = 2 cos θ y = 2 sin θ z = z dir. Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 171/ 172 Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 172/ 172