16 Van Hiele Geometrik Düşünme Düzeyleri Asuman Duatepe Paksu Pamukkale Üniversitesi Özet Bu bölümde geometri eğitiminde dünyada önemli bir yere sahip olan van Hiele geometri düşünme düzeyleri tanıtılacaktır. İlk kısımda modelin nerede ve ne zaman ortaya çıktığı ve nasıl yaygınlaştığı anlatılacaktır. İkinci kısımda van Hiele modelinin önerdiği düşünme düzeyleri tanıtılacak, her düzeydeki algılama biçimlerine örnekler sunulacaktır. Üçüncü kısımda düzeylerin özellikleri, dördüncü kısımda ise van Hiele geometri düşünme modeline yönelik eleştiriler anlatılacaktır. Son kısımda ise van Hiele geometri düşünme modeli ışığında öğrenme ve öğretmeye ilişkin çıkarımlar verilecektir.
Asuman Duatepe Paksu Van Hiele Teorisinin Ortaya Çıkışı Van Hiele geometri düşünme modeli bireylerin geometriyi nasıl algıladıklarını açıklayan bir modeld ir. Bu model farklı düzeyler boyunca öğrencilerin genel olarak geometrik kavramları nasıl algıladıklarını ortaya koyar. Modelin temelleri Hollandalı çift Dina van Hiele-Geldof ve Pierre van Hiele tarafından atılmıştır. Matematik öğretmeni olan bu çift öğrencilerin geometri öğrenirken zorlandıklarını gözlemlemiş, geometrideki zorlukların nedenleri ve nasıl ortadan kaldırılabileceğine ilişkin çalışmalarda bulunmuştur. Her ikisi de 1957 yılında Utrecht Üniversitesi nde geometri öğrenimi üzerine çalışmalarını tamamlamışlardır. Doktora tezini tamamlamasından çok kısa bir süre sonra gerçekleşen Dina Van Hiele-Geldof`un ölümünün ardından Pierre van Hiele her ikisinin çalışmalarını ilerletmiş ve geometri düşünme modeline son halini vermiştir. 1960 lı yıllarda Sovyetler Birliği müfredatlarında bu model dikkate alınmıştır. 1970 li yılların sonlarında da model Amerikalı araştırmacıların ilgisini çekmiştir. Modelin değişik yönlerini incelemek üzere 3 büyük proje yapılmıştır (Burger, 1986; Fuys, Geddes ve Tischler, 1985; Usiskin, 1982). Bu projelerden biri kapsamında van Hiele çiftinin tezleri 1984 yılında İngilizceye çevrilmiştir (Fuys, Geddes ve Tischler 1984). Bunun ardından Pierre van Hiele 1986 yılında İngilizce olarak yayınlanan Yapı ve İçgörü (Structure and Insight) kitabında farklı matematik konularının yanı sıra geometrik düşünme modelini de irdelemiş ve bu kitapla modeli kendi kaleminden uluslararası literatüre tanıtmıştır. Bu tarihlerden sonra van Hiele geometri düşünme modeli öğrencilerin geometriyi nasıl anladıklarını açıklamada genel bir kabul görmüştür. Teori, orijinalinde düzlem geometrisine ilişkin olsa da üç boyutlu cisimlerde de uygulamaları yapılmıştır (Gray, 1999; Guillen, 1996; Gutierrez, 1992; Lawrie, Pegg ve Gutierrez, 2000, 2002; Owens, 1999; Saads ve Davis, 1997). Van Hiele Geometri Düşünme Modeli Modele göre öğrenciler geometri öğrenirken görsel, betimsel, basit çıkarım, çıkarım ve sistematik düşünme olarak adlandırılabilecek beş düzeyden geçerler. Düzeyler öğrencilerin kavrama biçimleri bakımından birbirinden ayrılmaktadır. Modelde yer alan ardışık düzeyler bütünsel bir algıdan parçaları analiz etmeye, daha sonra soyut matematiksel çıkarımlarda bulunmaya doğru ilerlemektedir. Bu beş düzey van Hiele çiftinin kendi çalışmalarında ve bunu takip eden literatürdeki bazı çalışmalarda 0-4 olarak numaralandırılırken son bölümde açıklanacak gerekçelerle bazı araştırmalarda 1-5 olarak numaralandırılmıştır. Burada 1-5 numaralandırılması kullanılacak olup, ilk düzey düzey 1 ve diğer düzeyler ise sırasıyla düzey 2, 3, 4 ve 5 olarak numaralandırılacaktır. Bunun yanı sıra Türkçe literatürde yer alan farklı kaynaklarda düzeylerin adlarının farklı biçimlerde çevrildiği görülebilir. Van Hiele in Yapı ve İçgörü adlı kitabında (1986, s.53) düzeylere verdiği adlar parantez içinde verilmiştir. Van Hiele bu kitaptan daha sonra yayınlanan bir makalesinde (1999, s.311) üçüncü düzeyi farklı bir şekil- 266
Van Hiele Geometrik Düşünme Düzeyleri de adlandırmıştır. Bu farklı adlandırma da üçüncü düzey için parantez içinde verilmiştir. Bu bölümdeki Türkçe adlandırmalarda bu kaynaklarda verilen adlandırmanın yanı sıra düzeylerin ifade ettiği özellikleri yansıtıyor olması düşünülerek hareket edilmiştir. Düzey 1: Görsel Düzey (The Visual Level) Öğrenciler başlangıçta geometrik şekilleri bütün olarak algılarlar. Diğer bir değişle parçalardan oluştuğunu fark edemezler ve dolayısıyla elemanlarının/bileşenlerinin (dikdörtgenin iç açıları vs. gibi) özelliklerini algılayamazlar. Bu düzeyde geometrik şekiller yalnızca görünümlerine göre değerlendirilir. Bu nedenle tanımlanan özellikleri değil, büyüklük, sayfada duruş yönü, konum gibi özellikleri öğrenci için anlamlıdır. Bir geometrik şekil gösterilip adı söylendiğinde, öğrenci bir sonraki görüşünde (eğer aynı pozisyon ve şekilde verilmişse) bu geometrik şekli tanıyabilir. Bu düzeyde öğrenciye sınıfta yer alan ve dikey kenarları yatay kenarlarından uzun olan Atatürk portresi dikdörtgene örnek olarak tanıtılmışsa, öğrenci yine dikey kenarları yatay kenarlarından uzun olan kapının dikdörtgen olduğunu söyleyebilir. Bununla birlikte yatay kenarları dikey kenarlarından uzun olan sınıfın tahtasının dikdörtgen olduğunu fark etmekte zorlanır. Bu örnekteki durumda öğrenciye kapının neden dikdörtgen olduğu sorulduğunda ya hiçbir açıklama yapamaz ya da Atatürk portresine benzediği için dikdörtgen olduğunu ifade edebilir. Başka bir ifadeyle öğrenci şekillere bütünsel yaklaştığından benzemeye göre karşılaştırma yapmakta ve şekillerin bileşenlerine ilişkin yorumda bulunamamaktadır. Öğrenci için verilen bir nesne bir kare olduğunu bildiği bir kutuya benzediği için kare başka bir nesne de kapıya benzediği için dikdörtgendir. Düzey 1 deki bir öğrenci, dikdörtgeni açılarının dik ve karşılıklı kenarlarının eş olması özelliklerinden değil daha önce gördüğü ve dikdörtgen adıyla eşleştirdiği şekle benzemesinden dolayı tanımaktadır. Bu düzeydeki bir öğrenciye dikdörtgen kavramı Şekil 1a üzerinden tanıtılmış ise öğrenciye Şekil 1b ve 1c gösterilip bu şekillerin adları sorulduğunda öğrenci Şekil 1b yi ince bir dikdörtgen olarak adlandırabilir. Duruşu Şekil 1a dan farklı olduğu için öğrenci Şekil 1c de yer alan şeklin bir dikdörtgen olduğunu düşünemez. Şekil 1a. Şekil 1b. Şekil 1c. Hatta bu düzeyde yer alan bir öğrenciye dikey olarak tutulan bir A4 kâğıdı dikdörtgen olarak tanıtıldığında, aynı A4 kâğıdı öğrencinin gözü önünde yatay hale getirilip yeni şeklin ne olduğu sorulduğunda bile öğrenci dikdörtgen cevabını veremez. Kare şekli kenarları çizili olduğu kitabın kenarlarına paralel olmayacak biçimde verildiğinde bunun bir kare olmadığını ve hatta eşkenar dörtgen olduğunu söyleyen bir öğrenci de yine görsel düzeyin özelliklerini taşımaktadır. Bu algı düzeyinde olan bir öğrenci Şekil 2a ya kare derken aynı şekil döndürülüp Şekil 2b haline getirildiğinde 267
Asuman Duatepe Paksu şeklin eşkenar dörtgen olduğunu söylemektedir. Öğrenci için bu düzeyde bir dörtgen kare ise aynı zamanda eşkenar dörtgen olamaz. Diğer bir deyişle bu düzeyde şekiller öğrencinin zihninde ayrık gruplardadır. Şekil 3a. Şekil 3b. Şekil 3c. Şekil 3d. Şekil 2a. Şekil 2b. Üçgen tanıtılırken yalnızca Şekil 3a da yer alan en özel üçgen tipi olan eşkenar üçgen örneğiyle karşılaşan birinci düzeyde bir öğrencinin kafasında üçgen sadece bu prototip şekilden ibaret kalacaktır. Üçgen ve dörtgenler konusunda düzeylerin gözlemlenmesine yönelik anaokulundan yüksekokula kadar geniş bir öğrenim düzeyindeki öğrencilerle gerçekleştirilen bir projede (Shaughnessy ve Burger, 1985) birinci düzeyde algıya sahip öğrencilerin 3a, 3b ve 3c şekillerini üçgen olarak nitelendirdikleri, fakat 3d, 3e ve 3f de verilen şekilleri üçgen olarak kabul etmedikleri görülmüştür. Bazı öğrenciler Şekil 3d yi çok sivri bir üçgen, bıçak ya da füze, olarak adlandırırken, Şekil 3e yi ise ters üçgen olarak nitelendirmiştir. Diğer bir değişle Şekil 3a öğrenciler için üçgen iken döndürülmüş hali olan Şekil 3e ters üçgen adında başka bir şekildir. Öğrenciler üçgeni buradaki farklı gösteriminden dolayı tanıyamamış ve üçgen olarak adlandıramamışlardır. Şekil 3e. Şekil 3f. Şekil 3. Farklı üç kenarlı şekiller (Shaughnessy ve Burger (1985) den uyarlanmıştır). Çalışmaya katılan birinci düzeydeki bir öğrenci Şekil 3f yi kafasındaki eşkenar üçgen prototipiyle (Şekil 3g) karşılaştırıp, Şekil 3f nin üçgenin yarısı olduğunu, Şekil 3g. sağ kısmının eksik olduğunu söylemiştir (Shaughnessy ve Burger, 1985). Bu düzeydeki öğrenci algılarının değişebilmesi ve sonraki dönemlere doğru ilerleyebilmesi için öğrencilerin geometrik şekillere dair deneyim kazanması gerekmektedir (van de Walle, 2013). Bu nedenle bu düzeydeki öğrencilere farklı geometrik 268
Van Hiele Geometrik Düşünme Düzeyleri şekillerdeki eşyalarla oynama ve bu eşyalar ve özellikleriyle ilgili gözlem yapma olanağı sağlanabilir. Şekiller tanıtılırken yalnızca tek ve en özel örnekle sınırlı kalmamak ve tek örnek vermekten kaçınmak gibi durumlara da dikkat etmek gerekir. Ayrıca bir şekil tanıtılırken yalnızca çizildiği tahtanın ya da defterin kenarlarına paralel olan kenarlara sahip örnekler vermekle sınırlı kalınmamalıdır. Duruşları ve büyüklüklüleri farklı şekillere yer verilmelidir. Düzey 2: Betimsel Düzey (The Descriptive Level) Bu düzeyde öğrenciler geometrik şekillerin parçalardan oluştuğunu ve bu parçaların bazı özelliklere sahip olduğunu fark edebilirler. Bir önceki düzeyde gerçekleşemeyen geometrik şekilleri parçalarının ve özelliklerinin informel analizi yoluyla kavrama işi artık gerçekleşebilir. Bu nedenle van Hiele düzeylerini anlatan bazı yerli ve yabancı kaynaklar bu dönemi analiz dönemi olarak adlandırmaktadırlar. Öğrenci için artık şeklin özellikleri görünümünden daha önemlidir. Eğer öğretmen tahtaya bir dörtgen çizip bu dörtgenin eş kenar ve eş açılara sahip olduğunu söylerse şeklin kenarları tahtanın kenarlarına paralel olmasa, ifade edilen eşitlikler tam olarak çizilememiş olsa bile öğrenci bunu kare olarak kabul edebilir. Çünkü öğrenci için ifade edilen özellikler görünümünün önüne geçmiştir ve daha önemlidir. Örneğin Şekil 3a, 3b, 3c, 3d, 3e, 3f ve 3h deki şekilleri değerlendirirken (başlangıçta genel bir bakışla da olsa) bu düzeydeki öğrenciler şekillerin açılarının ve kenarlarının özelliklerini dikka- Şekil 3h. te alabilirler. Öğrencilerin Şekil 3b ve 3c nin kenarları düz değil/dümdüz gitmiyor, Şekil 3h nin kenarı kapanmamış, Şekil 3d nin açısı incecik gibi ifadeleri üçgenin parçalarının özelliklerine ilişkin ifadeler içermekte olup uygun terminoloji kullanılmamış olsa bile öğrencinin görsel düzeyden çıkmakta olduğunu göstermektedir. Parçalara ilişkin bu farkındalığın üzerine, doğru terminoloji verildiğinde öğrenciler şekillere ait özellikleri açıklarken uygun terminolojiyi kullanabilirler. Örneğin köşesi/açısı incecik ifadesini kullanan öğrenci dar açı ifadesini kullanmaya hazır görünmektedir. Öğrenciler bu düzeyde doğru terminolojiyi uygun olarak kullanabilmeleri için desteklenmelidir. Bu düzeydeki bireyler bir sınıftaki şekillerin her birinin özelliklerini analiz edebilir, şekilleri sınıflandırabilir (kare grubu, dikdörtgen grubu gibi) ancak bu şekiller arasındaki bağıntıyı kuramaz, sınıflar arası hiyerarşik ilişkiyi göremezler. Diğer bir deyişle bu düzeyde öğrenciler şekilleri sınıflar halinde anlamlandırabilmelerine rağmen bir diğer şekil sınıfının parçası olarak göremezler. Örneğin eşkenar üçgenin ikizkenar üçgenin tüm özelliklerini taşıdığını yani aynı zamanda ikizkenar üçgen olduğunu, karenin aslında özel bir dikdörtgen olduğunu vb. fark edemezler. Benzer şekilde bir şeklin özellikleri arasındaki ilişkileri kavrayamazlar. Örneğin öğrenci paralelkenarda karşılıklı kenar çiftlerinin eş ve paralel olduğunu bilir ancak karşılıklı kenarların eş olması ile paralel olmasının birbiriyle ilişkisini anlayamaz. Diğer bir ifadeyle dışbükey bir dörtgenin karşılıklı kenarları eş ise karşılıklı kenarlarının paralel olacağını kavrayamaz. Özellikler 269
Asuman Duatepe Paksu arasındaki ilişkiyi göremediklerinden dolayı bir şekle ait gerek ve yeter şartı içeren kısa ve öz tanımı yapamazlar. Onun yerine şekli tanımlamaları istendiğinde şeklin özelliklerini içeren uzun bir cümle söylerler. Örneğin bu düzeydeki öğrenciler paralelkenarı tanımlamaları istendiğinde karşılıklı kenarları eşit, karşılıklı kenarları paralel, karşılıklı açıları eşit, dört kenarlı, dört açılı... gibi birbirinden çıkarılabilecek gereğinden fazla özellik listelerler. Yine bununla ilgili olarak öğrenciye bu kavramların tanımları sunulsa bile tanımda yer alan ve tanımdan çıkabilecek özellikleri kavrayamazlar. Şekil 4. Paralelkenarda karşılıklı açıların eşitliğini göstermeye yarayan bir etkinlik (Fuys, Geddes, Tischler ( 1988) çalışmasından uyarlanmıştır). Bu düzeyde öğrencilere şekillerin kenar, açı ve köşegenlerini ölçme, tanımlama, şekli bozarak başka bir şekle dönüştürme ve sınıflandırma etkinlikleri yaptırılabilir. Örneğin Şekil 4 deki gibi paralelkenarlardan oluşan bir ızgara verilip aynı büyüklükteki açıların boyanması etkinlikleriyle paralelkenarın karşılıklı açılarının eşit olduğu düşüncesine ulaşması sağlanabilir. Sonrasında bu etkinliğin paralelkenarın alt sınıfı olan kare, eşkenar dörtgen ve dikdörtgenle yapılması da paralelkenarın özelliklerini başka dörtgenlerin de sağladığını görmelerine yardımcı olacaktır (Fuys, Geddes, Tischler, 1988). Böylece öğrenci paralelkenarın alt sınıflarıyla olan ilgisini görecektir. Düzey 3: Basit Çıkarım Düzeyi (The Theoretical Level/The Informal Deduction Level) Öğrenciler bu dönemde şekil sınıfları arasında ilişki kurmaya başlarlar ve sınıflar arası hiyerarşiyi anlarlar. Öğrenci artık karenin özel bir dikdörtgen olduğunu çünkü karenin dikdörtgenin tüm özelliklerini sağladığını fakat her dikdörtgenin bir kare olmadığını anlayabilir. Aynı zamanda bir şeklin hem kare hem de eşkenar dörtgen olabileceğini, karenin hem dikdörtgenin hem de eşkenar dörtgenin özelliklerini sağladığını kavrayabilir. Bu düzeydeki öğrenciye bir üçgenin tepe noktasından indirilen dikmenin hem açıortay hem de kenarortay olduğunu söylediğinizde, öğrenci bu üçgenin eşkenar üçgen dahası ikizkenar üçgen olduğunu fark edebilir. Ayrıca bu düzeydeki öğrenciler bir şeklin kendi özellikleri arasında da ilişki kurmaya başlarlar. Örneğin öğrenciler dışbükey bir dörtgenin karşılıklı kenarları eş ise karşılıklı kenarlarının paralel olduğunu ve ayrıca bu ifadenin tersinin de doğru olduğunu kavrayabilirler. Bir dörtgenin karşılıklı kenarları paralel olduğunda karşılıklı açılarının da eş olacağı sonucunu çıkarabilirler. Bu düzeydeki öğrenciler özellikler arası ilişkileri görebildikleri için, bir kavramı tanımlamak için gereken yeterli ve gerekli özellikleri söyleyebilirler. Böylece öğrenciler bir şekli anlatmak için uzun bir özellikler listesi yapmak yerine gerek ve yeter şartlar ifade ederek kısa ve öz bir tanım yapabilirler. Aynı şeklin birden fazla tanımının yapılabileceğini anlarlar. Paralelkenar için yapılan karşılıklı kenar çiftleri paralel olan dörtgen ile karşılıklı kenar çiftleri eşit ve paralel, iç açıları toplamı 360 ve karşılıklı açıları eş dörtgen tanımlarının 270
Van Hiele Geometrik Düşünme Düzeyleri birbirinden farkını anlayabilirler. Çünkü bu düzeydeki öğrenciler birinci tanımda verilen karşılıklı kenarları paralel olan dörtgen ifadesinden yola çıkarak bu şekle ait hangi özelliklere ulaşabileceğini artık anlamaktadırlar. Bu düzeydeki öğrenciler tanımların rolünü ve anlamını kavramaya başlarlar. İnformel ifadeler kullanarak bildikleri ilişkilerden diğer ilişkileri çıkarabilirler. Ayrıca ispatları takip edebilir, informel çıkarımlarda bulunabilir ve bunları anlayabilirler. Ancak matematiksel anlamda tümdengelimli bir çıkarımda bulunamazlar ve dolayısıyla bu anlamda kendileri ispat yapamazlar. c Şekil 5. Karşılıklı açıların neden eş olduğunun araştırıldığı bir paralelkenar modeli (Fuys, Geddes, Tischler (1988) çalışmasından uyarlanmıştır). Bu düzeyde öğrencilere Şekil 5 teki gibi bir paralelkenar verilip karşılıklı açıların neden eşit olduğunu söylemeleri istenebilir (Fuys, Geddes, Tischler, 1988). Farklı şekiller ve onların özelliklerine ilişkin fikir üretmelerini ve tartışmalarını sağlayacak etkinlikler öğrencilerin ilişkileri düşünme ve buradan hareketle çıkarımlarda bulunmalarına katkıda bulunacaktır. Böylece ispat yapmaya bir alt yapı hazırlanmış olacaktır. a b Düzey 4: Çıkarım Düzeyi (Formal Logic) Bu düzeyde olan öğrenciler bir matematiksel sistem içinde akıl yürütebilir ve ispat yapabilirler. Aksiyomları anlayabilir, ispatları oluşturabilirler. Örneğin bu seviyedeki bir öğrenci bütün açıları ve kenarları eşit dışbükey dörtgen ve bütün açıları dik ve ardışık kenarları eşit dışbükey dörtgen şeklinde verilen karenin iki ayrı tanımının birbirine eşit olduğunu gösterebilir. Bu düzeydeki öğrenciler daha önce kanıtlanmış teoremlerden ve aksiyomlardan yararlanarak tümdengelimle başka teoremleri ispatlarlar. Ayrıca öğrenciler tümevarım yoluyla akıl yürütme süreçlerini kavrayabilirler. Bunların yanında bu düzeyde öğrenciler çıkarımın önemini kavramaya başladığı gibi aksiyom, teorem ve ispatın da rolünü anlayabilirler. Bu düzeyde dışbükey bir dörtgenin karşılıklı kenarları eş ise karşılıklı kenarlarının paralel olduğunu ve ayrıca bu ifadenin tersinin de doğru olduğunu ispatlayabilirler. Aynı şekilde bir önceki düzeyde kavramış oldukları bir dörtgenin karşılıklı kenarları paralel olduğunda karşılıklı açılarının da eş olacağı ifadesinin doğruluğunu gösterebilirler. Ayrıca, bu düzeye gelmiş öğrenciler Öklid geometrisinde tanımsız terim, aksiyom, teorem ve postulat arasındaki ilişkileri açıklayabilirler. Ancak aksiyom ve tanımları keyfi değil sabit olarak algıladıklarından Öklid dışı geometrileri kavrayamazlar. Düzey 5: Sistematik Düşünme Düzeyi (The nature of logical laws) Bu düzey matematikle bir bilim olarak uğraşan bireylerin ulaşabildiği düzeydir. Bu düzeye çıkabilen öğrenciler artık bir matematikçi olarak geometri çalışabilirler. Bu 271
Asuman Duatepe Paksu düzeydeki öğrenciler çeşitli aksiyomatik sistemleri fark edebilir ve farklı aksiyomlar üzerine kurulmuş sistemleri karşılaştırabilirler. Öğrenciler tanımların keyfi olduğunu anlar ve farklı aksiyomatik sistemlerde teoremler ve tanımlar oluşturabilirler. Bu dönemde Öklid dışı geometriyi de yorumlayabilir, Öklid dışı sistemlerde teorem oluşturabilirler. Örneğin Öklid in bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnızca bir paralel doğru çizilebilir olarak ifade edilebilecek beşinci postulatı yerine Riemann ın Bir doğruya dışındaki bir noktadan paralel çizilemez ve Lobatchevski nin Bir doğruya, dışındaki bir noktadan pek çok paralel çizilebilir. önermeleri ile ulaştıkları geometrileri kavrayabilirler. Bu düzeye çıkan öğrenciler Öklid geometrisinde çizilen bir üçgenin iç açıları ölçüleri toplamı 180 iken Riemann ve Lobatchevski geometrilerinde neden 180 den farklı olduğunu anlayabilir. Ayrıca birden fazla geometri sisteminin varlığının bu sistemlerden yalnızca birinin doğru olması gerektiği anlamına gelmeyeceğini ve hangi geometrinin nerede kullanılabileceğini kavrayabilirler. Düzeyleri kısaca özetlemek gerekirse öğrenciler ilk düzeyde şekilleri bütün olarak algılar ve parçalarının özelliklerini fark edemezler. Düzey 2 de şekillerin parçalarının özelliklerini kavrarlar, ancak bu düzeyde şekiller arasındaki ilişkileri göremezler. Düzey 3 te ilişkiler ve sınıflandırmalar anlaşılır hale gelir. Düzey 4 te ispat yapabilir ve teoremler oluşturulabilirler. Son düzeyde ise Öklit dışı geometrileri de anlayabilirler. Crowley (1990, s.15) düzeyleri aynı örnekle karşılaştırabilmek için dikdörtgen üzerinden her seviyedeki öğrencilerin söyleyebileceklerini şu şekilde örneklendirmiştir: Düzey 1: Bu şekil dikdörtgen çünkü dikdörtgene benziyor, Çünkü kapıya benziyor (görsel anlatım) Düzey 2: Dörtkenarlı; kapalı; iki uzun kenar, iki kısa kenarı var, karşılıklı kenarları paralel, dört dik açısı var. (Özellikler listelenir, gereksiz tekrar olduğu fark edilmez) Düzey 3: Dik açılı paralelkenardır. (Öğrenci minimum özellik verme eğilimindedir. Karşılıklı kenarların eş olacağını söylemenin gereksizliğinin farkındadır) Düzey 4: Şeklin paralelkenar olduğu biliniyorsa ve sadece bir açısının ölçüsü verilmiş ve o açı 90 ise o şeklin dikdörtgen olduğunu ispatlayabilir. Literatüre paralel olarak düzeyler anlatılırken verilen örnekler ve açıklamaların ilk düzeyden son düzeye doğru azaldığı görülecektir. Yukarıda da belirtildiği üzere 5. düzeye oldukça gelişmiş bireylerin çıkabileceği düşünüldüğünde literatürde ilk düzeylere ilişkin örneklerin daha fazla olmasının nedeni anlaşılabilir. Yapılan çalışmalarda ilk düzeylerde bireylere daha çok rastlandığından bu düzeyler daha fazla gözlenebilmiş, üst düzeylere göre ilk düzeyler için anlatılanlar daha zengin olmuştur. Düzeylerin Özellikleri Düzeylerin en temel özelliklerinden biri sıralı olmasıdır. Yukarıda düzeyleri belirtilen van Hiele Geometrik Düşünme modeline göre, insanlar geometri öğrenirken düzeylerden ardışık bir sırayla geçerler. Bir kişinin bir düzeyde olabilmesi için daha önceki düzeylerden mutlaka geçmiş olması gereklidir. Düzeyler arasında ilerleme yaşa ve gelişime değil, öğretime ve geometri deneyimine bağlıdır. Örneğin üniversite öğren- 272
Van Hiele Geometrik Düşünme Düzeyleri cileri arasında bile ilk düzeyde yer alan öğrenciler olabileceği gibi doğru bir öğrenme süreci yardımıyla lise yıllarında üçüncü düzeyde düşünebilen öğrenciler bulunabilir. Eğer öğretimin düzeyi öğrencinin düzeyine uygun dil ve örnekleri içermiyorsa istenen öğrenme gerçekleşmez. Bu durumda öğrenci anlamadan ezberlediği ifadelerle sanki bir sonraki düzeyin özelliklerine sahip gibi görünse de sorgulandığında aslında olduğu varsayılan düzeye çıkamadığı görülebilir. Örnek vermek gerekirse `kare bir dikdörtgendir` cümlesini gerekçesini anlamadan ezbere söyleyen bir öğrencinin 3. düzeye ulaştığı söylenemez. Van Hiele Geometri Düşünme Modeline Yönelik Eleştiriler Van Hiele geometri düşünme modeli öğrencilerin geometriyi nasıl anladıklarını açıklamada genel kabul görmüş bir modeldir. Dünyada birçok çalışma modelin öğrencilerin geometri anlamalarını değerlendirmede doğruluğunu desteklemiştir (Burger 1986; Burger ve Shaughnessy 1986; Fuys, Geddes, ve Tischler, 1985; Shaughnessy and Burger 1985; Usiskin 1982). Diğer taraftan Van Hiele in çalışmaları erken çocukluk ya da okul çağının ilk yıllarıyla ilgili değildir. Teorinin çıkış noktasındaki doktora çalışması ve sonrasındaki çalışmalar genellikle ortaokul ve üstü öğrencilerle ilgilidir. Bu nedenle model, hayatın her alanında daha çok görsel yaklaşımlar sergileyen erken çocukluk dönemindeki geometri algısı konusunda çok fazla bir şey söylememektedir. Bu dönem üzerine yapılan çalışmalar van Hiele teorisinin küçük yaş grubu çocukların tepkilerini tam da kapsayamadığı, bu dönem çocukların farklı görsel yaklaşımlara sahip olduğunu ortaya koymuştur (Clements, Battista, Sarama, ve Swaminathan, 1997; Lehrer, Jenkins, ve Osana, 1998). Bu nedenle Clements ve Battista (1992), van Hiele in beş düzeyinden önce biliş-öncesi (precognition) düzey olduğunu öne sürmüştür. Bu düzeyde öğrenci bazı şekilleri görsel özelliklerine göre adlandırabilir fakat birçok şekli adlandıramayabilir, görsel özellikleri içerisinden ancak bazılarını fark edebilir veya aynı şekil sınıfındaki şekillerle karıştırabilir (Clements, Swaminathan, Hannibal ve Sarama, 1999). Bu çalışmalar Van Hiele in önerdiği ilk düzeyden önce gelen bu temel düzeyi düzey 0 olarak nitelendirmişlerdir. Bu nedenle bu bölümde de, van Hiele in Düzey 0 olarak adlandırdığı ilk düzeyin Düzey 1 olarak nitelendirilmesi uygun görülmüştür. Van Hiele Geometri Düşünme Modeli Işığında Öğrenme ve Öğretmeye İlişkin Çıkarımlar Geometrik düşüncenin gelişimini açıklayan Van Hiele düzeyleri teorisinden geometri öğrenme ortamlarının nasıl olması gerektiğine ilişkin önemli çıkarımlarda bulunulabilir. Yukarıda da ifade edildiği gibi van Hiele modelinde ilerleme yaşa değil öğrencinin içinde bulunduğu öğrenme ortamına bağlıdır. Bu nedenle öğrencilerin geometrik düşünme düzeylerinin gelişiminde sınıf içi uygulamaların nasıl düzenlendiği oldukça önemlidir. Öğrencilerin karşılaşacağı örnekler, sınıf içinde kullanılacak dil öğrencinin üst düzeye çıkmasında önemli katkıda bulunacaktır. Öğrencilerin hangi düzeyde olduğunun belirlenmesi onlara uygun düzeyde öğrenme ortamları sunmak açısından önemlidir. Çıkarımda bulunmak için yeterince geo- 273
Asuman Duatepe Paksu metri deneyimine sahip olmayan öğrenciye düzey 3 ve üstü bir öğrenme ortamı sunmak öğrencinin yalnızca ezberlemesine yol açabilir, etkin öğrenme gerçekleşemez. Van Hiele nin (1999, s.316) ifade ettiği geometri oynamayla başlar sözü unutulmamalı, öğrencilere geometri kavramlarıyla oynayabileceği öğrenme ortamları sunulmalıdır. Kaynaklar Burger, W. F. (1986). Assessing children s intellectual growth in geometry (Final Report of the Assessing Children s Intellectual Growth in Geometry Project). Corvallis: Oregon State University, Burger, W. F., & Shaughnessy, J. M. (1986). Characterizing the van Hiele Levels of Development in Geometry. Journal for Research in Mathematics Education, 17, 31-48. Clements, D. H., & Battista, M. T. (1992). Geometry and spatial reasoning. In D. A. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (s. 420-464). New York: Macmillan Clements, D. H., Battista, M. T., Sarama, J., ve Swaminathan, S. (1997). Development of students spatial thinking in a unit on geometric motions and area. The Elementary School Journal, 98(2), 171-186. Clements, D. H., Swaminathan, S., Hannibal, M. A. Z., & Sarama, J. (1999). Young children s concepts of shape. Journal for Research in Mathematics Education, 30(2), 192 212. Crowley, M. L. (1987). The van Hiele model of the development of geometry thought. In M. M. Lindquist (Ed.), Learning and Teaching Geometry K-12-1987 Yearbook of the National Council of Teachers of Mathematics (pp.1-16). Reston, VA.: National Council of Teachers of Mathematics. Fuys, D., Geddes, D., & Tischler, R. (1984). English translation of selected writings of Dina van Hiele-Geldof and Pierre M. van Hiele. Brooklyn: Brooklyn College. (ERIC Document Reproduction Service No. ED 287 697). Fuys, D., Geddes, D., & Tischler, R. (1985). An investigation of the van Hiele model of thinking in geometry: Final report. Brooklyn: Brooklyn College. Fuys, D., Geddes, D., & Tischler, R. (1988). The van Hiele model of thinking in geometry among adolescents (Monograph Number 3). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, Inc. Gray, E. (1999). Spatial strategies and visualization. In O. Zaslavsky (Ed.), Proceedings of the 23rd PME Conference (Vol. 1, pp.235-242). Haifa, Israel: Israel Institute of Technology. Guillen, G. (1996). Identification of Van Hiele levels of reasoning in three-dimensional geometry. In O. Puig & L. Gutierrez, (Eds.), Proceedings of 20th PME International Conference (Vol.3, pp.43-50). Valencia, Spain: University of Valencia. Gutierrez, A. (1992). Exploring the links between Van Hiele Levels and 3-dimensional geometry. Structural Topology 18, 31-48. Lawrie, C., Pegg, J., & Gutierrez, A. (2000). Coding the nature of thinking displayed in responses on nets of solids. In T. Nakahara & M. Koyama (Eds.), Proceedings of the 24th PME Conference (Vol.3, pp.215-222). Hiroshima, Japan: Hiroshima University. Lawrie, C., Pegg, J., & Gutierrez, A. (2002). Unpacking students meaning of cross-sections: A frame for curriculum development. In Cockburn, A. D., Nardi, E. (Edt.) Proceedings of the 26th PME Conference (Vol.3, pp.289-296). Columbus, OH: ERIC. Lehrer, R., Jenkins, M., ve Osana, H. (1998). Longitudinal study of children s reasoning about space and geometry. In R. Lehrer & D. Chazan (Edt.), Designing learning environments for developing understanding of geometry and space. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum. Owens, K. (1999). The role of visualization in young students learning. In O. Zaslavsky (Eds.), Proceedings of the 23rd PME Conference (Vol.1, 220-234). Haifa, Israel: Israel Institute of Technology. Saads, S., & Davis, G. (1997). Spatial abilities, van Hiele levels and language use in three dimensional geometry. In Erkki Pehkonen (Edt.), Proceedings of the 21th PME Conference (Vol.1, pp.104-111). Lahti, Finland: University of Helsinki. Shaughnessy, J. M., & Burger, W.F. (1985). Spadework prior to deduction in geometry. Mathematics Teacher, 78, 419-428. 274
Van Hiele Geometrik Düşünme Düzeyleri Usiskin, Z. (1982). Van Hiele levels and achievement in secondary school geometry (Final report of the Cognitive Development and Achievement in Secondary School Geometry Project). Chicago: University of Chicago, Department of Education. Van Hiele, P. M. (1986). Structure and insight. New York: Academic Press Van Hiele, P. (1999). Developing geometric thinking through activities that begin with play. Teaching Children Mathematics. February 1999, 310-316. Van de Walle, J. A., Karp, K. S., ve Bay-Williams, J. M. (2013). İlkokul ve ortaokul matematiği (Çev. Edit.: Soner Durmuş). Nobel Akademik Yayıncılık: Ankara. 275