Şartlı Olasılık Bir olayın (A ) olma olsılığı, başka bir olayın (A 2 ) gerçekleştiğinin bilinmesine bağlıysa; Pr[A A 2 Pr A A Pr A A = Pr[A A 2 2 2 Pr[A Pr[A 2 2 A A 2 S Pr[A A 2 A 2 verildiğinde (gerçekleştiğinde) A in olasılığı şeklinde okunur Eğer A ve A 2 bağımsız ise Pr[A A Pr[A Pr[A Pr A A Pr[A 2 2 Pr A A = Pr[A A 2 Pr[A = Pr[A 2 2 2 = Pr[A Pr[A Pr[A 2 Pr[A 2 Pr[A 2 2
2 Örnek: Rastgele oluşmuş 3 lü binary sayı dizilerinin kümesini ele alalım. Örnek uzay: S = {000, 00, 00, 0, 00, 0, 0, } İlk bitin olması durumunda 0 dan çok olma olasılığı nedir? iki olayı tanımlayalım: A = {0 dan çok olması} = {0, 0, 0, } A 2 = {ilk bit } = {00, 0, 0, } kesişim: A A 2 = {0, 0, }
3 Örnek devam: Ağaç diyagramı 0.5 0.5 0.5 0.5 0 0 0 0.5 0 0 0.5 0 0 Örnek uzayı 0 0 00 0 00 00 000 Örnek uzaydaki 8 olay da /8 olasılığına sahip, öyleyse 4 4 3 Pr[A Pr[A 3 2 2= and ve Pr[A Pr[A A 8 A 2= 8 2 8= 8 Şartlı olasılık şu şekilde elde edilir: Pr[A A A = A A 2 2 3 3/8 8 3 3 Pr A A2 = = Pr[A 2 4 48 / 8 4 4 2
4 Toplam Olasılık Prensibi (tekrar) A, A 2,, A n karşılıklı kapsamayan ve birlikte tamamlayan olaylar kümesi olsun. B, S içinde bir olay olsun. A A n B BA 2 Burdan A 2 Pr[B = Pr[BA + Pr[BA 2 2 + + Pr[BA n n = = Pr Pr[B A B APr[A Pr[A + Pr[B A + BnPr[A A n n Pr[A n n n = Pr[B A = Pr B AiPr[A i Pr[A i i i i =
5 Örnek: Binary İletişim Hattı Verici kanal Alıcı Pr[0 A 0 G = 0.95 0 G 0 A Pr[0 S = 0.5 Pr[0 0.5 gönderilmesi Pr[ 0.5 gönderilmesi Pr[ S = 0.5 Pr[ A G = 0.90 G Pr[0 A G = 0.0 Pr[ A 0 G = 0.05 A
6 şartlı önsel G 0.0 0 A G 0 A (hata) 0.050 G 0 G hata 0.5 0.90 A G A 0.450 0.5 0.05 A 0 G A (hata) 0.025 Pr[hata G = Pr[0 A G = 0.0 0.95 Pr[hata 0 G = Pr[ A 0 G = 0.05 0 G 0 G 0 G 0 A 0 S 0 R 0 0.475 A Pr[hata = Pr[hata G Pr[ G + Pr[hata 0 G Pr[0 G = 0.0 0.50 + 0.05 0.50 = 0.075
7 Şartlı Olasılık (devam) Şartlı olasılığın tanımından, Pr A A = Pr[A A 2 Pr A 2 or Pr[A 2 = A A A 2 veya Pr[A A 2 Pr[A A 2 2 Pr[A 2 Pr[A Pr A A = Pr[A 2 Pr[A 2 A 2 PrA or Pr[A 2 = A A Pr[A 2 2 A veya Pr[A A 2 Pr[A 2 A Pr[A Pr[A Pr Pr[A A A A 2 Pr[A 2 = Pr Pr[A A 2 A A Pr[A 2 2 2 buradan Pr[A A Pr[A Pr[A = Pr A A 2 Pr[A 2 2 2 Pr[A A 2 A A Pr[A
8 Bayes Kuralı (Teoremi) A, A 2,, A n karşılıklı kapsamayan ve birlikte tamamlayan olaylar kümesi olsun. Bu durumda, Pr A j B = Pr[B j A Pr[A j j j j Pr[B Pr[A B veya, toplam olasılık prensibini uygularsak Buna Bayes kuralı denir. Pr[ B A Pr[A Pr[ B Pr[ Pr A B = Pr[B B A A j Pr[A Pr[A j Pr[A j B n j j j Pr[ B A k Pr[A k Pr[B A k Pr[A k n k k =
9 Örnek: Binary Haberleşme Kanalı Verici Alıcı Pr[0 A 0 G = 0.95 0 0 Pr[0 S = 0.5 Pr[0 0.5 gönderilmesi Pr[0 R S = 0.0 Pr[ S = gönderilmesi 0.5 Pr[0 0.5 Pr[ A G = 0.90 Pr[ R 0 S = 0.05 Ters olasılık, P[ G A nedir?.
0 Pr [ S R = Pr[ Pr[ A Pr[ G Pr[ G Pr[ G A R S S Pr[ A Pr[ R Pr[ R = = Pr[ A Pr[ G Pr[ G Pr[ Pr[ S S Pr[ R A S GPr[ S + G Pr[ 0 Pr[0 Pr[ R A0 S Pr[ G 0 S G 0.45 0.45 = = = 0.9474 09474 0.45 0.45 + 0.025 0.025
Örnek: Elimizde 3 kutu entegre devre (ED) olsun:.kutuda 500 ED vardır ve %0 u bozuktur; 2.kutuda 2000 ED vardır ve %20 si bozuktur; ve 3.kutuda 3000 ED vardır ve %6 sı bozuktur. Bu 3 kutudan birini rastgele seçiniz ve seçtiğiniz bu kutudan rastgele bir ED seçiniz. (a) seçilen ED nin bozuk olma olasılığı nedir?
2 (a) seçilen ED nin bozuk olma olasılığı nedir? B 3 B B 2 B 3 Tanım: A = seçilen ED bozuk, A B i = ED i. kutudan Toplam olasılık prensibinden Pr[A Pr[A B Pr[A = Pr A B Pr[B + Pr[A B Pr A B 2Pr[B 2 Pr[B 2 Pr[A B + 2 Pr A 3Pr[B B 3 3 Pr[B 3 = 0.0 = 0.0 0.20 0.6 0.533 0.46 + 3 0.20 3 + 0.6 3 = = 0.533 3 3 3 3
3 (b) Seçilen ED bozuksa bunun 3. kutudan gelmiş olma olasılığı nedir? Bayes teoreminden Pr[A B Pr B 3 A = Pr[A 3Pr[B B 3 Pr[B Pr[B 3 A 3 3 Pr[A Pr[A 0.6 = 0.6 3 0.6 = 3 0.6 0.3478 0.46 0.46 = = 0.3478 3 0.46 0.46 3 (c) Bütün ED ler tek bir kutuda karışmış olarak bulunuyorsa, rastgele seçilen bir ED nin bozuk olma ihtimali nedir?
4 Binom Olasılık Kanunu n elemanlı binary dizisi olsun values: Pr[ = p, Pr[0 = - p = q. Tanım: A = {n elemanlı dizide r tane in olması} n elemanlı dizide r tane in oluşma sayısı binom katsayısı ile bulunur n C r bütün bu dizilerde r tane ve n r tane 0 vardır. Bu dizilerin gerçekleşme olasılığı p r q n-r dir. Bu durumda A olayının olma olasılığı: n r Pr[A pq r nr
5 Örnek: Kanal bit hata oranı p = 0 2 olan bir modem bağlantısı olsun. Datanın 00 bit lik paketler halinde gittiğini biliyorsak (a) bit in hatalı olma olasılığı nedir? (b) 3 bit in hatalı olma olasılığı nedir? 00 00 99 (a) Pr[ bit hatalı in error = 0.0 0.99 0.0 0.3697 0.99 99 = 0.3697 00 00 3 97 (b) Pr[3 3 bits hatalı in error = 0.0 0.99 0.0 0.060999 3 0.99 97 = 0.060999 3 3
6 Örnek: Kanal bit hata oranı p = 0 3 olan bir sistem olsun. Verici her bir biti 3 kez gönderiyor ve alıcı 3 defada en çok kendine ulaşan biti almış kabul ediyor. Bu durumda bit hatası nedir? (a) her bir iletim n = 3 olan bir Bernoulli denemesidir. Tanım: A = {3 denemede 2 veya daha fazla bit hatası} P Pr[hata r[erro r = Pr[A P A = Pr[ P rr[ r 2 2 3 2 = p 2 3 ( p ) + 3 3 p 3 = p ( p) p 2 2 3 3 6 3 9 6 = 30 ( 0 ) 0 30 = 3 0 6 ( 0 3 ) + 0 9 3 0 6
7 (b) n = 5 olması durumunda sonuç ne olur? Tanım: A = {5 denemede 3 veya daha fazla bit hatası} Pr[error Pr[hata = Pr[A = Pr[ Pr[r r 3 3 5 3 = 3 2 5 ( p ) 5 2 4 5 p + 4 ( p ) + 55 = p 5 p ( p) p ( p) p 3 4 5 3 4 5 9 9.9850 9.985 0 9
8 Örnek: 0 basamaklı binary sayı dizisinde Pr[ = 0.52 olsun. (a) bu binary sayıda 8 veya daha fazla olması olasığı nedir? Tanım: A = {0 bitlik dizide 8 veya daha fazla olması} 0 0 0 0 8 0 0 = 0.52 8 2 0.48 2 9 + 0.52 9 Pr[A 0.52 0.48 0.52 0.48 0.48 + 0.52 0.52 0 8 9 9 0 0 = 45 0.52 8 0.48 2 +0 0.52 9 0.48 + 0.52 0 0.07026458426 (b) 6 tane olması olasılığı nedir? Tanım: A = {0 bitlik dizide 6 tane olması} 0 0 Pr[A = 0.52 6 6 0.48 4 4 = 20 6 4 Pr[A 0.52 0.48 200.52 0.48 4 0.220396303407 6 6
9 Geometrik Olasılık Kanunu Bir alt deneyde A istenen olay olsun ve Pr[A = p, Pr[A C = p şeklinde tanımlansın. Alt deneyi A gerçekleşinceye kadar tekrarlayalım. A nın k. denemede gerçekleştiğini varsayalım: A C A C A C A C A C A 2 3 4 k- k istenmeyen istenen A nın k. denemede gerçekleşme olasılığı: Pr[A nın occurs k. denemede in k th gerçekleşmesi trial = ( p)( (- p)(- p)(- p p)( )(- p) p)" (- ( p p) p = ( p) k = ( p ) k p k sonuçsuz deneme k uneventful trials p
20 Örnek: Bir bilgisayardan bilgisayara modem hattında alıcı bilgisayar hata tespit algoritmasına sahiptir. Bu bilgisayar hata tespit ederse paketin tekrar gönderilmesini talep etmektedir. Basitlik açısından paket uzunluğunun 8 bit olduğunu varsayalım. Kanal hatasını olasılığı Pr[hata = 0. ise (a) hatanın paketteki 5. bit ten sonra oluşması olasılığı nedir? Pr[ k > 5 = Pr[ k = 6 + Pr[ k = 7 + Pr[ k = 8 = 0.9 5 0. + 0.9 6 0. + 0.9 7 0. = 0.6002279
2 (b) paketin iki kere yeniden gönderilmesi olasılığı nedir? 8 bit ten herhangi biri hatalıysa paket en azından kez yeniden gönderilir. yeniden gönderilen 8 bit in herhangi biri hatalıysa paket tekrar yeniden gönderilir. Pr[ yeniden gönderme Pr[ k Pr[ k i 0.5695 Pr[2 yeniden gönderme Pr[ yeniden gönderme 0.3244 8 i 2