Bir-Yönlü ANOVA (Tamamen Rasgele Tasarm)

Bir-Yönlü ANOVA (Tamamen Rasgele Tasarm) Birdal eno lu ükrü Acta³

çindekiler 1 Giri³ Giri³ 2 3 4 LS Tahmin Edicilerinin Özellikleri 5 Genel Kareler Toplamnn Parçalan³ ndirgenmi³ Model-Tam Model Yakla³m 6 7 Beklenen Deneme Kareler Ortalamas Beklenen Hata Kareler Ortalamas 8 9

Varyans analizi, üç ya da daha fazla grup ortalamas arasnda istatistiksel olarak farkllk olup olmad n test etmek amacyla kullanlan bir yöntemdir. Grup ortalamalarnn kar³la³trlmas, deneyin sonunda ba ml de i³kende meydana gelen de i³kenli in ne kadarnn faktör(ler)den, ne kadarnn hatadan, v.b. kaynakland nn belirlenmesi, bir ba³ka deyi³le toplam varyansn bile³enlerine ayrlmas yardmyla yaplr. Bir-yönlü ANOVA (one-way ANOVA), ANOVA nn özel bir halidir ve tasarmlar içinde en basit olandr. Etkisi ara³trlmak istenen yalnz "bir" tane faktör (ba msz de i³ken) oldu unda kullanld ndan dolay, bir-faktörlü ANOVA (one-factor ANOVA) olarak da adlandrlr.

Bir-yönlü ANOVA, deney birimleri homojen oldu unda kullanlmas önerilen en uygun tasarmdr. Buradaki homojen sözcü ü "mümkün oldu unca benzer" anlamnda kullanlmaktadr, çünkü do ada ayn/özde³ deney birimleri bulunmaz, bkz. Hinkelmann & Kempthorne (1994). Deney birimleri arasndaki bu küçük farkllklar "rasgele" farkllklar olarak adlandrlr. Deney birimleri homojen olarak kabul edildi i için rasgelele³tirme üzerinde hiçbir kst yoktur. Bu nedenle birçok kaynakta bu tasarma tamamen rasgele tasarm (completely randomized design) ad da verilir.

Bir-yönlü ANOVA da rasgelele³tirme i³lemi iki a³amada gerçekle³tirilir. lk a³amada parsellere 1 den 15 e kadar numara verilir, ikinci a³amada S1, S2 ve S3 denemeleri rasgele olarak bu parsellere atanr/uygulanr. Rasgelele³tirme i³lemi sonucu a³a daki tabloya benzer bir sonuç elde edilebilir. S1(1) S1(2) S3(3) S2(4) S2(5) S3(6) S3(7) S2(8) S1(9) S3(10) S2(11) S2(12) S1(13) S1(14) S3(15) Bu tablodan da anla³laca gibi S1 denemesi 1, 2, 9, 13, 14 numaral, S2 denemesi 4, 5, 8, 11, 12 numaral ve S3 denemesi de 3, 6, 7, 10 ve 15 numaral parsellere atanm³tr/uygulanm³tr.

Bir-yönlü ANOVA için matematiksel model y ij = µ + τ i + ε ij, i = 1, 2,, a; j = 1, 2, n (1) ³eklinde ifade edilir. Burada, y ij, i inci denemedeki j inci gözlem de erini, µ, genel ortalamay, τ i, i inci denemenin etkisini ve ε ij, rasgele hata terimlerini gösterir. (1) modeli sabit etkili bir modeldir, bir ba³ka deyi³le varsaylr. τ i = 0 oldu u i=1

Bir-Yönlü ANOVA modeli için veri yaps a³a da gösterildi i gibidir. Gözlemler Denemeler 1 2 n Toplam Ortalama 1 y 11 y 12 y 1n y 1 ȳ 1 2 y 21 y 22 y 2n y 2 ȳ 2... a y a1 y a2 y an y a ȳ a.. y. ȳ

Burada, y i = n j=1 y ij ve ȳ i = y i n, i = 1, 2,, a (2) srasyla i inci denemedeki gözlemlerin toplamn ve ortalamasn gösterir. Ayrca, N = an toplam gözlem saysn göstermek üzere; y = n y ij ve ȳ = y N (3) srasyla tüm gözlemlerin toplam ve tüm gözlemlerin ortalamas olarak tanmlanr.

ANOVA tekni i kullanlarak yaplan analizler baz temel varsaymlara dayanr. Bu varsaymlar a³a da açklanm³tr. 1. Varsaym ε ij hata terimleri 0 ortalama ve σ 2 varyans ile normal da lma sahiptir. 2. Varsaym Hata terimlerinin varyanslar homojendir. 3. Varsaym Hata terimleri birbirinden ba mszdr. Bu üç varsaym ksaca ε ij NID(0, σ 2 ) (4) ³eklinde gösterilir.

LS Tahmin Edicilerinin Özellikleri Bir parametrenin LS tahmin edicisi, modeldeki hata terimlerin kareleri toplamn bu parametreye göre minimum yapan de erdir. (1) modeli için hata kareler toplam S ile gösterilsin; bir ba³ka ifade ile S = n ε 2 ij = n (y ij µ τ i ) 2 (5) olsun. Bu durumda, model parametrelerinin LS tahmin edicileri S µ = ( 2) S τ i = ( 2) n (y ij µ τ i ) = 0, n (y ij µ τ i ) = 0 j=1 (6) denklem sisteminin çözümüdür.

LS Tahmin Edicilerinin Özellikleri (1) modelinin, sabit etkili bir model oldu u göz önüne alnarak, (6) denklem sistemi çözülürse, µ ve τ i parametrelerinin LS tahmin edicileri, srasyla olur. µ = ȳ (7) τ i = ȳ i ȳ (8)

LS Tahmin Edicilerinin Özellikleri Hatann varyans σ 2 nin LS tahmin edicisi, σ 2 = = = n (y ij µ τ i ) 2 N n (y ij ȳ ȳ i + ȳ ) 2 N n (y ij ȳ i ) 2 N (9) (10) (11) dir.

LS Tahmin Edicilerinin Özellikleri (11) denkleminde verilen LS tahmin edicisi yanldr. Gerekli yan düzeltmesi yaplrsa olur. σ 2 = n (y ij ȳ i ) 2 N a (12)

LS Tahmin Edicilerinin Özellikleri Not Benzer sonuçlar en çok olabilirlik (Maximum Likelihood-ML) yöntemi kullanlarak da elde edilebilir. Bir parametrenin ML tahmin edicisi, olabilirlik fonksiyonunu bu parametreye göre maksimum yapan de erdir. Normallik varsaym altnda, LS ve ML tahmin edicileri ayn sonucu verdi inden, ML tahmin edicilerine bu bölümde ayrca de inilmemi³tir. Ancak, belirtmek gerekir ki; σ 2 nin ML tahmin edicisi de yanldr ve gerekli yan düzeltmesi yapld nda bu tahmin edici (12) denklemindeki gibi ifade edilir.

LS Tahmin Edicilerinin Özellikleri (1) modeli, yeniden parametrelendirme yaplarak y ij = µ i + ε ij, i = 1, 2,, a; j = 1, 2, n (13) olarak da ifade edilebilir. Burada µ i = µ + τ i dir. (13) modeli, ortalamalar modeli olarak isimlendirilmektedir (Montgomery, 2001). (13) modeli için Fisher bilgi matrisi (Fisher Information matrix-i ) I = olarak tanmlanr. ( ) 2 ln L E ( µ 2 i ) 2 ln L E σ 2 µ i ( ) 2 ln L E ( µ i σ 2 ) 2 ln L (14) E (σ 2 ) 2

LS Tahmin Edicilerinin Özellikleri Gerekli i³lemler yapld nda, (bkz., sayfa 15-17.) I = n σ 2 0 N 0 2σ 4 (15) olur. Fisher bilgi matrisinin tersi alnarak bulunur. I 1 = σ 2 n 0 0 2σ 4 N (16)

LS Tahmin Edicilerinin Özellikleri Teorem (13) modelinde, µ i = µ + τ i olarak tanmlanan µ i parametresinin LS tahmin edicisi µ i, µ i nin yansz bir tahmin edicisidir. Teorem (13) modelinde, (i) µ i = µ + τ i parametresi için RCLB σ 2 /n dir. (ii) σ 2 parametresi için RCLB 2σ 4 /N dir. Teorem (13) modelinde, µ i parametresinin LS (ML) tahmin edicisi µ i nn varyans, σ2 n dir.

LS Tahmin Edicilerinin Özellikleri Tanm Varyans RCLB ye e³it olan yansz tahmin ediciye, minimum varyans snr (Minimum Variance Bound-MVB) tahmin edicisi denir. Bu tanmn bir sonucu olarak, oldu undan µ i bir MVB tahmin edicisidir. Sonuç Var( µ i ) = RCLB(µ i ) µ i, µ i ortalama ve σ 2 /n varyans ile normal da lma sahiptir.

LS Tahmin Edicilerinin Özellikleri Teorem X 1, X 2,, X n, olaslk (yo unluk) fonksiyonu f (x θ) olan bir da lmdan alnan örneklem ve bu örneklemin olabilirlik fonksiyonu L(θ x) = n f (x i θ) 1 olsun. T (X ) tahmin edicisinin, beklenen de eri ρ(θ) ve varyans olan bir MVB m(θ) tahmin edicisi olmas için gerekli ve yeterli ko³ul; log-olabilirlik fonksiyonunun ilgili parametreye göre ksmi türevinin ³eklinde yazlabilmesidir. ln L θ i=1 Teoremin kant için baknz Kendall & Stuart (1967). = m(θ) (T (X ) ρ(θ)) (17)

LS Tahmin Edicilerinin Özellikleri Teorem (13) modelinde, µ i parametresinin LS tahmin edicisi µ i = ȳ i, beklenen de eri µ i ve varyans σ 2 /n olan bir MVB tahmin edicisidir.

Genel Kareler Toplamnn Parçalan³ ndirgenmi³ Model-Tam Model Yakla³m (1) modelinde, amaç denemeler arasnda anlaml bir farkllk olup olmad n snamaktr. Bu durum için sfr hipotezi, üç farkl ³ekilde ifade edilebilir; (i) H 0 : Denemeler arasnda anlaml bir fark yoktur (ii) H 0 : τ 1 = τ 2 = = τ a = 0 (iii) H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ a = µ. (18) Açktr ki, (i), (ii) ve (iii) hipotezleri birbirine denktir.

Genel Kareler Toplamnn Parçalan³ ndirgenmi³ Model-Tam Model Yakla³m (18) hipotezini snamak için kullanlan test istatisti i iki farkl yolla elde edilebilir: 1 Genel Kareler Toplamnn Parçalan³ 2 ndirgenmi³ Model-Tam Model Yakla³m

Genel Kareler Toplamnn Parçalan³ ndirgenmi³ Model-Tam Model Yakla³m Deneme ortalamalarnn birbirine e³it oldu unu ifade eden (18) hipotezi n (y ij ȳ ) 2 (19) genel kareler toplamnn, deneme kareler toplam ve hata kareler toplam olarak bile³enlerine ayrlmasyla elde edilen test istatisti i yardmyla snanr. (19) ifadesine ȳ i terimi bir eklenip bir çkartld nda, bir ba³ka deyi³le olarak yazld nda toplamn de eri de i³mez. n (y ij ȳ i + ȳ i ȳ ) 2 (20)

Genel Kareler Toplamnn Parçalan³ ndirgenmi³ Model-Tam Model Yakla³m (20) ifadesinde parantez içi y ij ȳ i ve ȳ i ȳ olmak üzere iki gruba ayrlr ve karesel ifade açlrsa elde edilir. n (y ij ȳ ) 2 = n (ȳ i ȳ ) 2 + n (y ij ȳ i ) 2 (21)

Genel Kareler Toplamnn Parçalan³ ndirgenmi³ Model-Tam Model Yakla³m E er, SS Toplam = SS Deneme = SS Hata = n (y ij ȳ ) 2 n n (ȳ i ȳ ) 2 = n (ȳ i ȳ ) 2 n (y ij ȳ i ) 2 j=1 (22) denirse, (21) ifadesi ksaca

Genel Kareler Toplamnn Parçalan³ ndirgenmi³ Model-Tam Model Yakla³m SS Toplam = SS Deneme + SS Hata (23) olarak ifade edilir. Dikkat edilirse, SS Toplam, SS Deneme ve SS Hata srasyla gözlemlere, denemelere ve hata terimlerine ait varyanslarn paylarn ifade eder. SS de erleri, ilgili serbestlik derecelerine bölündü ünde varyanslar elde edilir.

Genel Kareler Toplamnn Parçalan³ ndirgenmi³ Model-Tam Model Yakla³m Test statisti i (1) modelinde, (18) hipotezini snamak için SS Deneme /(a 1) F Deneme = SS Hata /(N a) = MS Deneme MS Hata (24) test istatisti i kullanlr. Teorem (1) modelinde, H 0 hipotezi altnda, F Deneme test istatisti i, a 1 ve N a serbestlik dereceli merkezi F da lmna sahiptir.

Genel Kareler Toplamnn Parçalan³ ndirgenmi³ Model-Tam Model Yakla³m Teoremin kant a³a da ifade edilen ve do rusal modeller teorisinde önemli bir yere sahip olan Cochran Teoremi yardmyla yaplr.

Genel Kareler Toplamnn Parçalan³ ndirgenmi³ Model-Tam Model Yakla³m Theorem (Cochran Teoremi) Y 1, Y 2,, Y n iid N(0, 1) da lmna sahip rasgele de i³kenler olsun. Q i ler, Y i lerin do rusal kombinasyonlarnn kareler toplamlarn göstermek üzere n i=1 Y 2 i = Q 1 + Q 2 + + Q k, k n e³itli i yazlabilsin ve r i, Q i (i = 1, 2,, k) rasgele de i³kenlerinin serbestlik derecelerini göstersin. Bu durumda, a³a daki ifadelerden herhangi ikisinin do ru olmas üçüncü ifadenin de do ru olmasn gerektir. (i) (ii) n = r 1 + r 2 + + r k Q 1, Q 2,, Q k rasgele de i³kenleri ba mszdr. (iii) Q i, (i = 1, 2,, k) rasgele de i³kenleri χ 2 r i da lmna sahiptir. bkz. Cochran (1934).

Genel Kareler Toplamnn Parçalan³ ndirgenmi³ Model-Tam Model Yakla³m Karar F Deneme test istatisti inin de eri, α anlam düzeyinde a 1 ve N a serbestlik dereceli F tablo de erinden daha büyükse sfr hipotezi reddedilir. Bir ba³ka deyi³le, F Deneme > F α;a 1;N a ise "Denemeler arasnda anlaml bir farkllk vardr " denir.

ndirgenmi³ Model Genel Kareler Toplamnn Parçalan³ ndirgenmi³ Model-Tam Model Yakla³m (18) hipotezi altnda, (1) modeli y ij = µ + ε ij, i = 1, 2,, a; j = 1, 2,, n (25) ³eklinde ifade edilir. (25) modeline indirgenmi³ model denir. ndirgenmi³ modelin hata kareler toplam SS(R) ile gösterilir ve olarak ifade edilir. SS(R) = (N 1) σ 2 = n (y ij ȳ ) 2 (26)

Genel Kareler Toplamnn Parçalan³ ndirgenmi³ Model-Tam Model Yakla³m Teorem (26) de verilen SS(R), indirgenmi³ model hata kareler toplam olmak üzere, normallik varsaym altnda (N 1) σ 2 σ 2 = n (y ij ȳ ) 2 σ 2 = SS(R) σ 2 (27) ifadesi N 1 serbestlik dereceli ki-kare da lmna sahiptir.

Tam Model Giri³ Genel Kareler Toplamnn Parçalan³ ndirgenmi³ Model-Tam Model Yakla³m Tam model, (1) modelidir. Dolaysyla SS(F ) ile gösterilen tam modelin hata kareler toplam SS(F ) = n (y ij µ τ i ) 2 = n (y ij ȳ i ) 2 (28) dir. Dikkat edilirse, SS(F ) ile SS Hata birbirine denk iki gösterimdir.

Genel Kareler Toplamnn Parçalan³ ndirgenmi³ Model-Tam Model Yakla³m Teorem (28) de verilen SS(F ), tam modelin hata kareler toplam olmak üzere, normallik varsaym altnda (N a) σ 2 σ 2 = n (y ij ȳ i ) 2 σ 2 = SS(F ) σ 2 (29) ifadesi N a serbestlik dereceli ki-kare da lmna sahiptir.

Genel Kareler Toplamnn Parçalan³ ndirgenmi³ Model-Tam Model Yakla³m Test statisti i (1) modelinde, (18) hipotezini snamak için / [SS(R) SS(F )] (a 1) F Deneme = / SS(F ) (N a) (30) test istatisti i kullanlr. Teorem (1) modelinde, H 0 hipotezi altnda, F Deneme test istatisti i, a 1 ve N a serbestlik dereceli merkezi F da lmna sahiptir.

Genel Kareler Toplamnn Parçalan³ ndirgenmi³ Model-Tam Model Yakla³m Yorum Sfr hipotezinin do rulu u kst altnda yazlan SS(R) ifadesi ile herhangi bir kst olmakszn yazlan SS(F ) ifadesi arasndaki fark, denemeler arasnda anlaml bir farkllk olup olmad n gösterir. SS(R) SS(F ) fark küçük ise denemeler arasnda anlaml bir farkllk yoktur; SS(R) SS(F ) fark büyük ise denemeler arasnda anlaml bir farkllk vardr, denir.

Yukarda elde edilen bilgiler ³ nda bir-yönlü ANOVA tablosu, a³a da gösterildi i gibi olu³turulur. Bir-yönlü ANOVA tablosu Kaynak df SS MS F Denemeler a 1 SS Deneme MS Deneme F Deneme Hata N a SS Hata MS Hata Genel N 1 SS Toplam

Beklenen Deneme Kareler Ortalamas Beklenen Hata Kareler Ortalamas Deneme kareler ortalamas, dir. Burada, (1) modeli kullanlarak MS Deneme = SS Deneme a 1 n (ȳ i ȳ ) 2 i =1 = a 1 (31) n y ij ȳ i = j=1 n (32) = n (µ + τ i + ε ij ) j=1 n (33) n nµ + nτ i + ε ij = j=1 n (34) = µ + τ i + ε i (35) ve

Beklenen Deneme Kareler Ortalamas Beklenen Hata Kareler Ortalamas n ȳ = y ij (36) N n (µ + τ i + ε ij ) = (37) N = µ + ε (38) bulunur.

Beklenen Deneme Kareler Ortalamas Beklenen Hata Kareler Ortalamas (35) ve (38) e³itlikleri (31) de yerlerine yazlarak MS Deneme = = = = n a 1 n a 1 (ȳ i ȳ ) 2 i=1 (µ + τ i + ε i µ ε ) 2 i=1 n [τ i + ( ε i ε )] 2 a 1 i=1 [ ] n τi 2 + ( ε i ε ) 2 + 2 τ i ( ε i ε ) a 1 i=1 i=1 i=1 elde edilir.

Beklenen Deneme Kareler Ortalamas Beklenen Hata Kareler Ortalamas Son ifadede beklenen de er alnrsa, E(MS Deneme ) = n τi 2 + E( ε i ε ) 2 +2 τ i E( ε i ε ) (39) a 1 }{{}}{{} i=1 i=1 i=1 Var( ε i ε ) 0 olur. Burada, dir. ε ij N(0, σ 2 ) (40) ε i N(0, σ 2 /n) (41) ε N(0, σ 2 /N) (42) (43)

Beklenen Deneme Kareler Ortalamas Beklenen Hata Kareler Ortalamas Bunlarn bir sonucu olarak, ve E( ε i ε ) = 0 (44) Var( ε i ε ) = Var( ε i ) + Var( ε ) 2cov( ε i, ε ) (45) bulunur. = σ2 n + σ2 N 2 a Var( ε i ) (46) = σ2 n + σ2 N 2 a = (a 1)σ2 N σ 2 n (47) (48)

Beklenen Deneme Kareler Ortalamas Beklenen Hata Kareler Ortalamas Böylece, E(MS Deneme ) = = n a 1 n a 1 = σ 2 + [ n i=1 i=1 i=1 a 1 τ 2 i + ] (a 1)σ 2 i=1 N τi 2 + n (a 1)σ2 a a 1 N τ 2 i (49) (50) (51) elde edilir. (51) denkleminden görülmektedir ki, sfr hipotezinin do ru olmas halinde MS Deneme, σ 2 nin yansz bir tahmin edicisidir.

Beklenen Deneme Kareler Ortalamas Beklenen Hata Kareler Ortalamas Hata kareler ortalamas, MS Hata = SS Hata N a = n (y ij ȳ i ) 2 N a (52) ifadesinde, y ij = µ + τ i + ε ij ve ȳ i = µ + τ i + ε i ifadeleri yerlerine yazld nda MS Hata = = 1 N a 1 N a n (µ + τ i + ε ij µ τ i ε i ) 2 (53) n (ε ij ε i ) 2 (54) olur.

Beklenen Deneme Kareler Ortalamas Beklenen Hata Kareler Ortalamas Beklenen de er alnd nda, E(MS Hata ) = 1 N a n E(ε ij ε i ) 2 }{{} Var(ε ij ε i ) (55) dir. Burada, oldu u hatrlanrsa ε ij N(0, σ 2 ) ε i N(0, σ 2 /n) Var(ε ij ε i ) = Var(ε ij ) + Var( ε i ) 2cov(ε ij, ε i ) (56) bulunur. = σ 2 + σ2 n 2 n Var(ε ij ) (57) = σ 2 + σ2 n 2σ2 n (n 1)σ2 = n (58) (59)

Beklenen Deneme Kareler Ortalamas Beklenen Hata Kareler Ortalamas Dolaysyla, E(MS Hata ) = = = 1 N a 1 N a n (n 1)σ 2 N (n 1)σ2 n n 1 (n 1)σ2 an a(n 1) n (60) (61) (62) = σ 2 (63) elde edilir. (63) e³itli inden görülmektedir ki, MS Hata, σ 2 nin yansz bir tahmin edicisidir.

En az bir denemedeki gözlem says di erlerinden farkl ise bu tasarma dengeli olmayan tasarm denir. Bu tanma göre dengeli olmayan bir-yönlü ANOVA nn matematiksel modeli, y ij = µ + τ i + ε ij, i = 1, 2,, a; j = 1, 2,, n i (64) ³eklinde ifade edilir. Parametrelerin yorumlar (1) modelinde oldu u gibidir. Bu modelde tek fark, i inci denemede n i gözlem olmasdr. (64) modelinde n i τ i = 0 (65) oldu u varsaylr. i=1

(64) modelinde, parametrelerin LS tahmin edicileri ve denemeler arasnda anlaml bir farkllk olup olmad hipotezini snamak için gerekli test istatisti i dengeli tasarmda oldu u gibi bulunur. Formüller tamamen ayn olup gözlem saylarnn n i olmasndan dolay küçük nüans farklar vardr.

LS tahmin edicileri olup, burada j=1 µ = ȳ τ i = ȳ i ȳ n i y i = y ij, ȳ i = y i, i = 1, 2,, a n i ve N = n i toplam gözlem saysn göstermek üzere i=1 y = n i y ij, ȳ = y N dir.

Denemeler arasnda anlaml bir farkllk olup olmad n snamak için test istati i kullanlr. Burada, SS Deneme /(a 1) F Deneme = SS Hata /(N a) = MS Deneme MS Hata SS Toplam = SS Deneme = SS Hata = n i (y ij ȳ ) 2 n i (ȳ i ȳ ) 2 = n i (y ij ȳ i ) 2 n i (ȳ i ȳ ) 2 i=1 dir. Dengeli tasarm için verilen di er notasyonlar, yukardakine benzer ³ekilde dengeli olmayan tasarm için de yazlabilir.

(1) modelinde, çe³itli nedenlerden dolay bir ya da birden fazla gözlem, kaybolmu³ olabilir veya gözlemlenemeyebilir. Böyle bir durumda deneme etkilerinin toplam, bir ba³ka deyi³le, i=1 toplam sfra e³it olmayaca ndan genel kareler toplam, deneme kareler toplam ve hata kareler toplam olarak bile³enlerine ayrlamaz (Hicks & Turner, 1999). τ i

(1) modelinde, i inci denemedeki, j inci gözlemin (y ij ) kayp oldu unu varsayalm. Bu kayp gözlem m ile gösterilsin. Bu durumda veri yaps, a³a da gösterilen tablodaki gibi olur. Gözlemler Denemeler 1 2 j n Toplam 1 y 11 y 12 y 1n y 1 2 y 21 y 22 y 2n y 2..... i.. m. yi + m..... a y a1 y a2 y an y a

(1) modelinde, kayp gözlem(ler) oldu unda öncelikle bu kayp gözlem(ler) LS yöntemi ile tahmin edilir, daha sonra bu tahmin edici(ler)den yararlanlarak denemelerin anlamll snanr. Kayp gözlem m nin LS tahmin edicisi, gerekli i³lemler yapld nda m = y i n 1 (66) bulunur. Burada, yij, y i, m d³ndaki di er gözlemleri i inci denemedeki m d³ndaki di er gözlemlerin toplamn gösterir.

Bilinmeyen y ij gözleminin yerine m tahmin edicisi yazlr ve (22) e³itliklerinde verilen kareler toplamlar hesaplanr. Daha sonra kareler ortalamalar da bulunarak ANOVA tamamlanr. Burada dikkat edilmesi gereken en önemli husus, hatann serbestlik derecesinin N a 1 oldu udur; çünkü bir tane bilinmeyen gözlem vardr. Belirtmek gerekir ki, k tane kayp gözlem oldu unda bir-yönlü ANOVA tablosunda hataya ait serbestlik derecesi df = N a k olur.

Bu durumda ANOVA tablosu, a³a da gösterildi i gibi olu³turulur. Bir tane kayp gözlem oldu unda bir-yönlü ANOVA tablosu. Kaynak df SS MS F Denemeler a 1 SS Deneme MS Deneme F Deneme Hata N a 1 SS Hata MS Hata Genel N 2 SS Toplam