PROJE RAPORU TANJANT Q_MATR S

Transkript

1 PROJE RAPORU TANJANT Q_MATR S 1

2 Ç NDEK LER Ç NDEK LER çindekiler 1 G R Projenin Amac YÖNTEM 3.1 Fibonacci Saylar Altn Oran ve Altn Matris Genelle³tirilmi³ Fibonacci Saylar ve Pell Denklemleri BULGULAR tan(nα) Açlmnn Genelle³tirilmi³ Fibonacci Denklemlerine Benzetilmesi tan(nα) için Q_Matris Destekleyici Örnekler SONUÇ VE TARTI MA 8 5 ÖNER LER 8 6 KAYNAKÇA 8

3 YÖNTEM 1 G R Matematikte trigonometriyle oldukça fazla kar³la³maktayz. Alan hesaplamalar, e im, türev, limit, integral gibi konular akla ilk gelenler. Mühendisli in uygulama alanlarnda fazlaca kar³la³lan matemati in mihenk ta³larndan olan trigonometri ö rencilerin oldukça zorland konularnda ba³nda gelmektedir. Bu kadar fazla kar³mza çkmasna ra men trigonometride sadece bilinen özel açlarn de erleri ile hesap yaplabilmekte bunun d³na pek çklmamaktadr. Trigonometrideki tanjant fonksiyonu özellikle e im hesaplamalarnda kullanlan bir fonksiyondur. Ancak çok fazla formül içeren trigonometride tanjant fonksiyonu yeterince karma³k ve bazen zor olabilecek formüller içermektedir. Buna kar³lk gene matemati in bir konusu olan ve trigonometriye göre daha kolay i³lem yaplan matrisler üzerinde i³lem yapmak trigonometrik i³lemlere göre daha kolaydr. Bu do rultuda Tanjant fonksiyonunun bonacci dizisinin özel bir geni³lemesi olan pell denklemlerine benzetilerek bonacci dizilerinde ki altn matris veya Q Matris olarak bilinen matris formatna dönü³türülmesi amaçlanm³ ve tanjant fonksiyonunun daha kolay i³lemler ile hesaplanabilece i gösterilmek istenmi³tir. 1.1 Projenin Amac Pell denklemlerinin genelle³tirilmi³ bir formuna dönü³türülen tan(nx) açlm, bonaccinin altn matrisi veya di er adyla Q matris olarak bilinen matrisin özel bir formu elde edilerek matris kuvvetlerinin hesaplanmas gibi daha kolay bir yol ile tan(x) in kuvvetlerinin toplamlar ³eklinde yazlabile i gösterilmi³tir. YÖNTEM.1 Fibonacci Saylar talyan Matematikçi Leonardo de Pisa M.S. yakla³k 1175 tarihinde Pisa ³ehrinde do du. [1] Bu bilim adam Filius Bonacci'nin (Bonaccinin o lu) ksaltlm³ ³ekli olan Fibonacci olarak bilinir. Fibonacci e itimini berberi müslümanlardan alm³tr. Bu nedenle arap say sistemi ile e itim alan Fibonacci bu say sitemine kafa yormu³ 13. yüzyln ba³larnda talya'ya dönerek Liber Abaci adl kitabn yaynlam³tr. Bu kitabnda arap say sistemini Avrupa'ya tantan bonacci Fibonacci dizisinin temeli olan tav³an problemini anlatyordu. Ancak 19. yüzyln sonlarna do ru Edouard Lucas Fibonacci dizisini yeniden ke³fetmi³ ve Fibonacci dizisi büyük bir ivme kazanm³tr. Fibonacci'nin kitabndaki tav³an problemi ³öyledir: Bir çift yeti³kin tav³an her ay yeni bir çift tav³an yavrulamaktadr. Bu yavrular, bir ayn sonunda eri³kin hale gelmekte ve sonraki her ay yeni bir çift yavru yapmaktadr. Herhangi bir ay sonunda yavrularn ve yeti³kin tav³anlarn saysn bulunuz. Bu süre zarfnda tav³anlarn hiçbirinin ölmedi i var saylacaktr. Bu problem matematiksel olarak ³öyle ifade edilmektedir. Ba³langçtan itibaren kaçnc ay oldu u n tamsays ile gösterilmek üzere n. aydaki tav³an saysn F n belirtsin. Bu durumda { F 1 1, F 1 ve n 3 olmak üzere F n F n 1 + F n 3

4 . Altn Oran ve Altn Matris 3 BULGULAR. Altn Oran ve Altn Matris Fibonacci dizisinin bir terimi öncekine bölündü ünde n için bölümün altn oran denen ve irrasyonel bir say olan (1 + 5)/ 1, saysna yaknsad görülmektedir. Bu say oyun kartlarnn biçiminden Msr'daki piramitlere kadar birçok yapnn matematiksel temelini olu³turmaktadr. [] Fibonacci saylar üzerine yaplan çal³malardan biri olan ve literatürde Fibonacci Q-matrisi veya Altn Matris olarak bilinen [ ] 1 1 Q 1 0 matrisi ile klasik bonacci say dizisi {F n } n 0 arasnda [ ] Q n Fn+1 F n F n F n 1 (1) ³eklinde bir ili³ki sunulmakta ve daha sonra matris metodlarnn kullanlmas ile de Fibonacci saylar için çe³itli özde³likler verilmektedir. [3].3 Genelle³tirilmi³ Fibonacci Saylar ve Pell Denklemleri G 1 a, G b ve n 3 olmak üzere G n ag n 1 +bg n ³eklinde tanmlanm³ diziye Genelle³tirilmi³ Fibonacci say dizisi denir. [] Bu say dizisinin elemanlar a, b, a + b, a + b, a + 3b, 3a + 5b,... ³eklindedir. Burada a ve b'nin katsaylarnn Fibonacci saylar oldu u görülür. P 0 0, P 1 1 ve n için P n P n 1 + P n ³eklinde tanmlanm³ {P n } n 0 say dizisine Pell say dizisi denir. Bu say dizisinin elemanlarna, Pell saylar denir. [3] Dikkat edildi i üzere Pell say dizisi Genelle³tirilmi³ Fibonacci dizisinde G 1 a ve G b 1 olarak alnd nda elde edilen özel bir Fibonacci say dizisidir. Dolaysyla Pell say dizisi Genelle³tirilmi³ Fibonacci dizisinin bütün özelliklerine sahiptir. 3 BULGULAR 3.1 tan(nα) Açlmnn Genelle³tirilmi³ Fibonacci Denklemlerine Benzetilmesi Lise Ders kitaplarndan da bildi imiz üzere [4] ve tan(α + β) tan(α) tan(α) + tan(β) 1 tan(α)tan(β) tan(α) 1 tan (α) dr. 3 e³itli inde tan(α) x dönü³ümü yaplrsa tan(α) () (3) x 1 x (4) 4

5 3.1 tan(nα) Açlmnn Genelle³tirilmi³ Fibonacci Denklemlerine 3 BULGULAR Benzetilmesi e³itli i elde edilir. Burada bir genelle³tirme yaplrsa n pozitif bir tam say olmak üzere; tan(nα) S n(x) (5) C n (x) e³itli i elde edilebilir. 5 e³itli inde geçen S n (x) ve C n (x) ifadeleri x e ba l birer polinomdur. tan(3α) tan(α + α) 3tan(α) tan3 (α) 1 3tan (6) (α) denklemini ve 45 denklemlerini göz önünde bulundurursak; ve S 1 (x) x, S (x) x, S 3 (x) 3x x 3,... (7) C 1 (x) 1, C (x) 1 x, C 3 (x) 1 3x,... (8) e³itlikleri elde edilebilir. 5 denklemi kullanlarak ve tan(α) x dönü³ümü göz önüne alnarak tan ((n + 1)α) tan(nα + α) S n (x) C n (x) + x 1 x S n(x) C n (x) S n(x) + xc n (x) C n (x) xs n (x) (9) e³itli i elde edilebilir. Yine 5 e³itli inden biliyoruz ki tan ((n + 1)α) S n+1(x) C n+1 (x) (10) yazlabilir. 9 ve 10 deki denklemleri göz önüne ald mzda, ve e³itliklerini yazabiliriz. 11 denklemini kullanarak S n+1 (x) S n (x) + xc n (x) (11) C n+1 (x) C n (x) xs n (x) (1) S n+1 (x) S n (x) + xc n (x) S n (x) S n 1 (x) + xc n 1 (x) (13) e³itliklerini elde ederiz. 13 de ki iki e³itli i taraf tarafa çkarrsak S n+1 (x) S n (x) S n (x) S n 1 (x) + x (C n (x) C n 1 (x)) (14) elde edilir. Benzer ³ekilde 1 denklemi kullanlarak C n+1 (x) C n (x) xs n (x) C n (x) C n 1 (x) xs n 1 (x) (15) e³itliklerini elde ederiz. 15 e³itliklerini taraf tarafa çkard mzda C n+1 (x) C n (x) C n (x) C n 1 (x) x (S n (x) S n 1 (x)) (16) 5

6 3. tan(nα) için Q_Matris 3 BULGULAR elde edilir.14 ve 16 de 11 ve 1 da ki e³itlikleri kullanrsak; S n+1 (x) S n (x) S n (x) S n 1 (x) x S n 1 (x) S n+1 (x) S n (x) S n 1 (x) x S n 1 (x) + S n (x) S n (x) S n 1 (x) (1 + x )S n (x) (17) ve C n+1 (x) C n (x) C n (x) C n 1 (x) x C n 1 (x) C n+1 (x) C n (x) C n 1 (x) x C n 1 (x) + C n (x) C n (x) C n 1 (x) (1 + x )C n 1 (x) (18) e³itlikleri elde edilir. 17 ve 18 e³itliklerinde elde edilen denklemler genelle³tirilmi³ birer Pell denklemleridir. Dolaysyla her iki denklem de bire Genelle³tirilmi³ Fibonacci denklemidir ve Genelle³tirilmi³ Fibonacci denlemlerinin bütün özelliklerini sa lar. Buradan sonra aklmza gelen ilk soru ise genelle³tirilmi³ Fibonacci dizilerinin özelliklerini sa layan 17 ve 18 denklemleri için bir Altn matris veya Q matrisi bulunabilir mi? 3. tan(nα) için Q_Matris 11 ve 1 e³itliklerini toparlarsak, tan(α) x olmak üzere; S n+1 S n + xc n C n+1 C n x.s n (19) denklem sistemini elde ederiz. Bu denklem sisteminin matris çözümü ; [ ] [ ] [ ] Sn+1 1 x Sn x 1 C n+1 C n (0) denklemi elde edilir. 0 denkleminden 19 de ki denklemler için bir altn matris veya Q matris tanmlam³ oluruz ki bu Q matris [ ] 1 x (1) x 1 dir. Q matrisi 19 denklemleri Genelle³tirilmi³ Fibonacci dizileri oldu undan Fibonacci dzilerinin Altn matrisinin özelli ini sa lamaldr. Bundan dolay [ ] [ ] n [ ] Sn+1 1 x S1 () x 1 C n+1 ³eklinde hasaplanabilir. e³itli inde 7 ve 8 daki e³itlikleri kullanarak düzenleme yapld nda ise [ ] [ ] n [ ] Sn+1 1 x x (3) x 1 1 C n+1 matris e³itli i elde edilir. 5 e³itli ini matris denklem sisteminden çözdü ümüzde ise tan(nα) nn hesaplanabilmesi için sadece tan(α) türünden iki polinomun birbirine bölümü yeterli olacaktr. C 1 6

7 3.3 Destekleyici Örnekler 3 BULGULAR 3.3 Destekleyici Örnekler Örnek 1. tan(5α) fonksiyonunu buldu umuz yöntem ile tan(α) türünden yazalm. tan(5α) S 5(x) C 5 (x) ³eklinde yazlabilir. 3 e³itli inden; [ S5 C 5 ], elde edilir. Buradan ise; e³itli i elde edilir. [ 4 [ ] 1 x x [ ] [ x ] [ 1] 1 ] [ [ ] 1 x 1 x 1 x 1 x x x [ 1 x 1] [ x 1 x ] 1] [ ] 1 1 x x 1 x x x x[ 1 x x ] [ 1 x] 1 1 x x 3x x 3 x [ 1 x 1 ] 3x x 5 10x 3 + 5x 1 + 5x 4 10x tan(5α) tan5 (α) 10tan 3 (α) + 5tan(α) 1 + 5tan 4 (α) 10tan (α) Örnek. tan(6α) fonksiyonunu buldu umuz yöntem ile tan(α) türünden yazalm. tan(6α) S 6(x) C 6 (x) ³eklinde yazlabilir. 3 e³itli inden; [ S6 C 6 ] elde edilir. Buradan ise; e³itli i elde edilir. [ ] 5 [ ] 1 x x [ ] [ ] [ x 1 ] [ 1 ] [ [ ] 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x x [ 1 x 1 ] [ x 1 x ] 1 [ x 1] [ ] 1 1 x x 1 x x 1 x x x [ 1 x x 1 x ] [ x 1] ] 1 1 6x + x 4 4x 4x 3 x 4x 3 [ 4x 1 6x + x 4 ] 1 x 6x 0x 3 + 6x 5 15x 4 15x x tan(6α) 6tan5 (α) 0tan 3 (α) + 6tan(α) tan 4 (α) 15tan (α) tan 6 (α) 7

8 KAYNAKLAR 4 SONUÇ VE TARTI MA 1. tan(nα) fonksiyonu iki tane Genelle³tirilmi³ Fibonacci dizisi ³eklinde tanmlanarak Fibonacci dizisinin özelliklerini sa layabilece i görülmü³tür.. Altn matris veya Q matris denilen Fibonacci dizileri için tanmlanm³ özel bir matrisin genelle³tirilmi³ bir formülü tan(nα) de eri için elde edilmi³tir. 3. tan(nα) fonksiyonu tanmlanm³ olan Q matrisi yardm ile tan(α) cinsinden iki polinomun bölümü ³eklinde daha kolay bir ³ekilde yazlabilece i gösterilmi³tir. 4. Bulunan formül örneklerle desteklenerek geçerlili inin sa lanmas amaçlanm³tr. 5 ÖNER LER 1. tan(nα) için bulunan Q matrisi benzer yöntemler kullanlarak trigonometrinin geneline yaygnla³trlabilir.. Bulunan denklem sistemi olimpiyat sorular hazrlanmasnda ve bunlarn çözümlenmesinde kullanlabilir. 3. E im hesaplamalarnda tek bir aç üzerinden bütün de erler rahatlkla hesaplanarak karma³k i³lemler daha da basite indirgenebilir. 6 KAYNAKÇA Kaynaklar [1] A. Dunlap, Richard; Altn Oran ve Fibonacci Saylar; Tübitak Popüler Bilim Kitaplar; 011 [] Toy, Memnune; Fibonacci ve Lucas Saylarnn Bölünebilme Özellikleri; Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü; Yüksek Lisans Tezi; 009 [3] Civciv, Hac; Fibonacci ve Lucas Matris Dizileri ve Özellikleri; Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü; Doktora Tezi; 009 [4] ALTUNTAS, A., (015). LYS Matematik Konu Anlatml Soru Bankas; Birey Yaynlar [5] ASMA,N., BIYIK, H.; (015). LYS Matematik Konu Anlatml; EsenYaynlar [6] []Güleç,Hasan Hüseyin; Fibonacci Dizileri ve Fibonacci Matrislerinin Determinantlar, Normlar Üzerine Bir Çal³ma; Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü; Yüksek Lisans Tezi; 007 [7] Ku³aksz, Zi³an; Euclid Algoritmas ve Pell Saylar Üzerine; Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü; Yüksek Lisans Tezi; 014 8