itüdergisi/d ühendislik Cilt:5, Sayı:2, Kısı:1, 69-80 Nisan 2006 Dalgacık dönüşü tekniği kullanılarak hidrolojik akı serilerinin odellenesi Murat KÜÇÜK, Necati AĞIRALİOĞLU * İTÜ İnşaat Fakültesi, İnşaat Mühendisliği Bölüü, 34469, Ayazağa, İstanbul Özet Çalışada işaret işlee sahasında kullanılan dalgacık dönüşüü tekniği hidrolojik akı serilerinin tahininde kullanılıştır. İlk olarak sürekli dalgacık dönüşüü ve global spektru yardıı ile ölçü serileri analiz ediliştir. İki ayrı ölçü istasyonuna ait akarsu akı serileri ayrık dalgacık dönüşüü uygulanarak bileşenlerine ayrılıştır. Elde edilen bileşenler geliştirilen regresyon tipi bir odel yardıı odelleniştir. Modelde tahin eden ve tahin ettirici değişkenler yerine akı serilerinin ayrık dalgacık dönüşüü bileşenleri kullanılıştır. Elde edilen sonuçlar farklı hata kriterleri ile değerlendiriliştir. Modellee sonuçlarında bölgenin ikli karakteristiğine uygun bileşenler arasında kurulan odellerin diğer odellere göre bir çok hata kriteri bakıından daha başarılı olduğu görülüştür. Anahtar Kelieler: Akarsu akı serilerinin odellenesi, dalgacık dönüşüü. Modelling of streaflow series using wavelet transfor technique Abstract Even though earth science phenoena have nonstationary characteristics, they actually include any different secret periodic events occurred in different tie periods. Wavelet transfor gives better results than forer techniques for analyzing these phenoena. In this study, a new odelling technique using discrete wavelet transfor, which is a special type of wavelet transfor, is presented to increase prediction perforance of streaflow tie series odelling as an earth science phenoena and to provide physical interpretation. Different periodic coponents of a streaflow series are always obtained using discrete wavelet transfor. The present study differs in that discrete wavelet transfor is firstly presented as a odelling technique with application on streaflow process. Instead of response and explanatory easured streaflow series in a linear regression odel, discrete wavelet coponents of such series are used in this study. First of all, discrete wavelet coponents of streaflow series are analysed by continuous wavelet transfor and global wavelet spectru. Secondly, energy variation of each coponent of both easured series is calculated. If appropriate coponents obtained by discrete wavelet transfor are used, the perforance of streaflow odels can be increased. This technique is applied to regression odels, because they are siple and widely used in practical applications. Energy variation, correlation coefficients and error values of the constituted odels are copared with each other. This new technique offers good advantage in streaflow odelling. Keywords: Modelling of streaflow series, wavelet transfor. * Yazışaların yapılacağı yazar: Necati AĞIRALİOĞLU. necati@itu.edu.tr; Tel: (212) 285 37 22. Bu akale, birinci yazar tarafından İTÜ İnşaat Fakültesi'nde taalanış olan "Dalgacık dönüşü tekniği kullanılarak akı serilerinin odellenesi" adlı doktora tezinden hazırlanıştır. Makale etni 03.09.2004 tarihinde dergiye ulaşış, 21.09.2004 tarihinde bası kararı alınıştır. Makale ile ilgili tartışalar 30.09.2006 tarihine kadar dergiye gönderilelidir.
M. Küçük, N. Ağıralioğlu Giriş Su kaynaklarının planlaa, tasarı ve işletesinde akarsu akılarının ölçülesi ve analizi önelidir. Analiz edilen veriler geçişteki akıların davranışları hakkında bilgi verdiği gibi gelecekte uhteel olabilecek akılar konusunda da öneli ipuçları sağlarlar. Hidrolojik çalışalarda akı gözlelerinin eksikliği veya ölçü yapılaayan yerlerdeki akıların uygun odellerle tahin edilesi çokça araştırılan bir konudur. Akı ölçülerinde kullanılan alzeelerin arazi koşullarına yeteri kadar uyu göstereeesinden kaynaklanan arızaların yanında teçhizat noksanlığı veya istasyon kurulaayacak şartlara sahip olunası duruunda nehir akılarının belirlenesinde değişik teknikler kullanılış ve hidrolojik odeller ortaya atılıştır. Genel olarak akı tahinleri için yağış akış ilişkileri kullanılış veya yakın istasyonların akıları kullanılarak istenilen yerdeki akıların tahin edilesine çalışılıştır. Gerek dünyada gerekse yurduuzda ikanların el verediği bölgelerde yapılacak çalışalara yardıcı olası aksadı ile, akı tahinlerinde oluşturulan odellerin başarısının arttırılası ve daha iyi tahinler elde edilesi, he ekonoik olarak bir kazanç sağlayacak he de kullanı açısından pratiklik getirecektir. Bu çalışada dalgacık dönüşüleri, veri analizlerinin çok öneli olduğu ve kararlı olayan verilerin sıklıkla kullanıldığı bir saha olan nehir akıları olaylarının incelenesinde kullanılıştır. İlk defa nehir akılarının odellenesinde bu çalışa ile dalgacık dönüşüü teknikleri, kullanılıştır. Su kaynakları sahasında işaret işlee yöntelerinin kullanıı oldukça yenidir. Bunlardan biri olan dalgacık dönüşüü tekniği ise son yıllarda daha yaygın bir şekilde uygulanaktadır. Su kaynakları alanında dalgacık dönüşüü tekniğinin ilk kullanıldığı çalışalardan biri Kuar ve Foufoula-Georgiou (1993) tarafından yapılıştır. Çalışada yağış verileri çok çözünürlüklü analiz ile bileşenlerine ayrılış ve her bileşen analiz ediliştir. Daha sonra uydu görüntülerinden bu yönte kullanılarak yağış için analizler yapılıştır. 1996 yılında yapılan diğer bir çalışada, (Venugopal ve Foufoula-Georgiou 1996) saatlik yağış şiddeti ölçülerinin enerji bileşenleri ve şiddetli yağışların zaan-frekans ortaındaki analizleri yapılıştır. Torrence ve Copo (1998), atosfer olaylarının analizinde bu teknikten yararlanışlardır. Çalışada deniz su seviyesi değişileri ve su düzeyi sıcaklığı verileri dalgacık dönüşüü yardııyla analiz ediliş ve El-nino olayları ile ilişkileri inceleniştir. Bu alanda nehir akıları ile ilgili ilklerden sayılabilecek bir çalışada, Sith ve diğerleri (1998) saatlik ve günlük akı verilerini ayrık dalgacık dönüşüü yardııyla bileşenlerine ayırarak bileşenleri enerji seviyelerine göre analiz edip karşılaştırışlardır. Sith ve arkadaşlarının çalışasının da referans gösterildiği bir diğer çalışada Saco ve Kuar (2000), Aerika Birleşik Devletleri genelinde 197 günlük akı verisini analiz etiş ve bileşenlerin enerji seviyelerine göre 29 değişik havzada, iklisel sınıflaa yapaya çalışışlardır. Labat ve diğerleri (2000) karstik bir bölgedeki akı ve yağış verilerini dalgacık dönüşüü yardııyla analiz etiş ve frekans bileşenlerini inceleişlerdir. Drago ve Boxall (2002) hidroeteorolojik verilerin ayrık dalgacık dönüşüleri üzerine çalışıştır. Drago ve Boxall yaptıkları çalışada deniz seviye değişii verileri ile atosfer basıncı ölçülerini ayrık dalgacık dönüşüü kullanarak bileşenlerine ayırıştır. Çalışada bu bileşenler arasındaki ilişki analiz ediliştir. Nason ve Sapatinas tarafından rüzgar hızı odelleesi çalışası odellee çalışalarından ilki sayılabilir (Nason ve Sapatinas, 2002). Çalışa, bir açıklayıcı zaan serisi {X t } t Z ile bir cevap zaan serisi {Y t } t Z arasındaki ilişkiyi odellee üzerinedir. Burada X t zaan serisinin farklı ölçek ve frekans değerlerinde analiz edilesi sonucu elde edilen dalgacık paket bileşenleri yardııyla Y t serisi odelleeye çalışılıştır. Çalışada saatlik rüzgar hızı verileri kullanılıştır. Modelin öneli tarafı ise evcut odellere göre fiziksel olarak anlalı oluşudur. Metot, bir rüzgar istasyonundaki rüzgar aktivitelerinden hangisinin diğer istasyon rüzgar hızı tahinlerinde etkili olduğunu ortaya 70
Hidrolojik akı serilerinin odellenesi koyaktadır. Bu sayede X t ve Y t gibi iki durağan olayan yapıya sahip zaan serisine durağan olayan yapıları dikkate alınadan klasik etotların uygulanası yerine olayın fiziksel karakteri dikkate alınarak uygulanıştır. Çalışada önerilen etot her iki zaan serisi arasında doğrudan bir odellee yerine X t zaan serisine ait örnek sayısını azaltayan dalgacık paket dönüşüü (Nondeciated Wavelet Packet Transfor, NWPT) bileşenleri kullanılarak odelleeye gidilesidir. Gaucherel (2002), Güney Aerika daki Fransız Guyane bölgesindeki havzalara ait akı verilerine dalgacık dönüşüü uygulaış ve değişik istatistiki paraetrelerle havza özelliklerini inceleiştir. Lafreniere ve Sharp (2003), Alberta bölgesindeki bir göle gelen nehir akılarının analizinde dalgacık dönüşüünü kullanışlardır. Bu çalışada incelenen gölü besleyen bir buzul ve bir nehir akıı bulunaktadır. Bu akılara ait zaan serileri ile hava sıcaklığı arasındaki ilişki dalgacık dönüşüü yardııyla analiz ediliştir. Hidroloji alanındaki bir diğer çalışada ise Bayazıt ve Aksoy (2001), dalgacık dönüşüünü, akı serilerini odelleede kullanılan sentetik serilerin üretiinde kullanışlardır. Bu çalışada aaç birbirine yakın nehir akı ölçü istasyonları arasında eksik verilerin taalanası veya tahini aacı ile sıklıkla kullanılan regresyon tipi odellerin yerine dalgacık dönüşüü tekniğinden yararlanarak elde edilen akı serilerinin periyodik bileşenleri ile tahin odelleri oluşturaktır. Bu aaçla öncelikle istasyonlardan birine ait akı serisi sürekli dalgacık dönüşüü yardıı ile analiz ediliştir. Daha sonra global spektrular yardııyla bölgenin genel karakteri değerlendirileye çalışılıştır. İki istasyon arasındaki akı serileri ayrık dalgacık dönüşüü uygulanarak bileşenlerine ayrılıştır. Bu ayrıştıra işlei ayrık dalgacık dönüşüünü kullanan çok çözünürlüklü analiz etodu yardııyla gerçekleştiriliştir. Daha sonra bileşenlerin enerji spektruları hesaplanıştır. Modellee sırasında ayrık dalgacık dönüşüü yardııyla elde edilen bu bileşenler kullanılıştır. Bileşenlere ayrılan iki istasyon ait akı serilerinin aynı seviyedeki bileşenler arasında odeller oluşturuluştur. Elde edilen odel sonuçları farklı hata ve karşılaştıra kriterler ile değerlendiriliştir. Modellee sonuçlarında yüksek enerjili ve bölgenin ikli karakteristiğine uygun bileşenler arasında oluşturulan odellerin diğer odellere göre bir çok hata kriteri bakıından daha başarılı olduğu görülüştür. Ayrıca iki istasyona ait ölçü serileri arasında da odel oluşturuluştur. Sonuçlar bu odelle de karşılaştırılıştır. Model sonucunda elde edilen tahin serilerinin dağılıları inceleniş ve ölçü serisi dağılıı ile karşılaştırılarak test ediliştir. Modellee sonuçları analizler sonuçları ile de uyu gösteriştir. Analiz sonucunda bölgenin iklisel karakteristiği ile uyu gösteren bileşenlerin oluşturduğu odeller hesaplaalar sonucunda daha az hata üretişlerdir. Kullanılan yönte Dalgacık fonksiyonları ve Sürekli Dalgacık Dönüşüü (SDD) Dalgacık fonksiyonları ve dönüşüü, ilk olarak, kuvantu ekaniği ve istatistiksel ekanik alanlarında kullanılıştır. Dalgacık analizinin uygulaalı ateatik alanında kullanıı 1980 li senelerde başlaıştır. Grossan ve Morlet (1984), sisik işaretleri, dalgacık wavelet adı verilen sonlu süreli ve titreşili bir işaretin çeşitli zaan bazındaki uygun şekilleriyle birleştirerek odelleeye çalışışlar ve sürekli dalgacık dönüşüünü (SDD) uygulaa alanına geçirişlerdir. Dalgacık dönüşüünün ilk uygulaa alanları, fonksiyonel gösteriler, kuvantu ekaniği ve işaret işlee oluştur. Dönüşüün işaret işlee alanında uygulaaları, Daubechies (1988) ile başlaıştır. Araştıracı, dalgacık ayrıştırası konusunda bir çok teori geliştirerek ayrık dalgacık dönüşüünün teelini atıştır. Dalgacık dönüşüünden önce kullanılan kısa süreli Fourier dönüşüündeki pencere fonksiyonunun, taraa sırasında sabit genişlikte olası, işaretin hızlı değişen yüksek frekanslı değişilerinin zaan ortaında ta olarak bölgelendirileeesine neden oluştur. Bu soruna çözü olarak, sabit genişlikteki pencereler yerine, işaretteki yavaş değişileri yakalaak üzere geniş pencere fonksiyonları ve hızlı değişile- 71
M. Küçük, N. Ağıralioğlu rin olduğu yerlerde ise dar pencere fonksiyonlarının kullanıı düşünülüş ve sonuçta, dalgacık dönüşüü analizi konusu ortaya çıkıştır (Polikar, 1999). Dalgacık, dalganın küçük bir parçası olarak tanılanabilir. Dalgacık, süresi sınırlı bir titreşi işaretidir ve bu nedenle zaanda bölgeleşeye sahiptir. İşaret, Kısa süreli Fourier dönüşüünde (KSFD) sabit genişlikteki bir pencere fonksiyonuyla çarpılırken, dalgacık dönüşüünde dalgacık adı verilen, zaanda ötelenebilen, genişliği değiştirilebilen bir fonksiyonla çarpılır. SDD, fonksiyonu aşağıdaki gibi gösterilir: SDD ψ 1 * t τ ( τ, s) = ψ x ( τ, s) = x( t) ψ ( dt (1) s s ψ x ) 1 t τ ψ τ, s = ψ (2) s s Burada SDD, τ (ötelee) ve s (ölçek) paraetrelerinin bir fonksiyonudur. ψ(t), dönüşü fonksiyonudur ve ana dalgacık fonksiyonu olarak adlandırılır. x(t) ise analiz edilecek işarettir. Ayrık Dalgacık Dönüşüü (ADD) ve çok çözünürlüklü analiz Dalgacık katsayılarının ölçek değerlerinde hesaplanası çok iktarda katsayının oluşasına ve işle yüküne neden olduğundan dolayı, katsayılar yalnızca seçilen ölçekler ve zaan dilileri için hesaplanası bir çok avantajlar sağlar. En çok kullanılan ölçek adıı ikilik ölçek ve zaan adııdır. Seçiliş yeni ölçek değerleri ile yeniden ifade edilen ve ayrık dalgacık dönüşüü için kullanılan dalgacık fonksiyonu, aşağıdaki bağıntıda veriliştir. t τ / 2 t nτ 0s0 ψ =, n s0 ψ (3) s s0 Burada ve n tasayı olarak dalgacığın sırası ile ölçek ve zaan eksenindeki ötelene paraetreleridir. s 0, sabit bir ötelene adıını ifade eder ve değeri 1 den büyüktür, τ 0 zaan ekse- nindeki ötelene aralığı değeridir. Yukarıdaki denklede zaan eksenindeki ötelene adıının s 0 değerine bağlı olarak nτ 0s0 şeklinde ifade edilebilir. En sık kullanılan s 0 ve τ 0 değerleri 2 ve 1 (Mallat, 1989). İkinin katları kullanılarak oluşturulan dalgacık fonksiyonu aşağıdaki gibi tanılanabilir. / 2 ( t) = 2 ψ (2 t ) ψ (4), n n Bir i ayrık zaan adıına sahip x t zaan serisi için, ayrık dalgacık dönüşüü aşağıdaki şekilde ifade edilebilir: N 1 / 2 W, n = 2 xiψ (2 i n) (5) Burada i= 0 W, n, s = 2 ölçek ve τ = 2 n zaan değerlerine sahip dalgacık dönüşüü katsayılarıdır. Mallat ın (1989) çalışasında önerdiği algorita yardııyla orijinal sinyal x(t) yaklaşık ve detay olarak adlandırılabilecek iki ayrı seriye ayrılır. İşaret öncelikle yaklaşıklık ve onunla aynı seviyeden bir detay serisine bölünür. Ardından işle yaklaşıklık serisinin diğer filtreden geçirilesi ile deva eder. Sonuçta işaret bir çok alt çözünürlük seviyesinde bileşenlerine ayrılış olur. Bu olaya çok çözünürlüklü analiz denilir. Burada yaklaşıklık serisi işaretin yüksek ölçekli veya düşük frekanslı bileşenini, detay serisi ise düşük ölçek ve yüksek frekanslı bileşenini tesil eder. Düşük ölçekler, sıkıştırılış bir dalgacık yardııyla elde edilir ve işaretteki hızlı değişilere sahip yüksek frekanslı bileşenleri gösterir. Yüksek ölçekler ise genişletiliş bir dalgacık fonksiyonu yardııyla elde edilir ve işaretteki yavaş değişileri, trend veya düşük frekanslı evsisel değişileri belirtir. Bileşenlere ayıra işlei ardışık tekrar ederek sinyali istenilen çözünürlük seviyesinde bileşenlere ayırak ükün olaktadır (Misiti vd., 1997). Ardışık tekrarlaa işlei Şekil 1 de gösteriliştir. 72
Hidrolojik akı serilerinin odellenesi Orijinal x(q) işareti önce yüksek geçirgen g(q) filtresinden ve alçak geçirgen h(q) filtresinden geçirilir. Burada zaan (t) ta sayı şeklinde alınır ve q şeklinde gösteriliştir. Bu bir seviyeli bir ayrıştıra işleidir ve ateatiksel olarak şöyle ifade edilebilir (Korürek, 2000). yüksek ( k) = x( q) g( k q) y. 2 (6) alçak n ( k) = x( q) h( k q) y. 2 (7) n Şekil 1. Ardışık ayrışa Burada y yüksek (k) ve y alçak (k), 2 ile altörnekleenin ardından sırasıyla yüksek geçirgen ve alçak geçirgen filtre çıkışlarıdır. k ise filtre seviyesidir. Bir çok işaret için en öneli kısı düşük frekanslı bileşenlerdir. Bu su kaynakları alanında evsisel değişiler veya bölgenin iklisel karakterini ortaya koyan dönesel değişileri ifade eder. Düşük periyotlu yüksek frekanslı bileşenler ise daha çok ani değişen taşkın gibi karakterleri yansıtır. İstasyonlar arası odellee Bitişik istasyonlar arasındaki odellee çalışalarında regresyon odelleri pratik ve yararlı sonuçlar verektedir (Bayazıt, 1996; 1998). Bu çalışada dalgacık dönüşüü kullanılarak istasyonlar arası akı tahinlerinde yeni bir odellee tekniği uygulanıştır. Çalışada ayrık dalgacık dönüşüü (ADD) kullanılarak yapılan çok çözünürlüklü analiz ile akı serileri farklı ölçeklerdeki bileşenlerine ayrılıştır. Modellerde girdi olarak bir ölçü istasyonuna ait akı serilerinin ayrık dalgacık dönüşüü bileşenleri, çıktı olarak da bir başka ölçü istasyonu akı serisinin ayrık dalgacık dönüşüü bileşenleri kullanılıştır. Modellee bu iki ölçü serisi bileşenleri arasında yapılıştır. Ayrıca ölçülüş seriler arasında da bir odel oluşturuluştur. Model oluşturulup iki istasyon arasındaki ilişki fonksiyonel olarak belirlendikten sonra, odel oluşturulası sırasında kullanılayan akı serileri kullanılarak odeller test ediliştir. Sonuçta oluşturulan odeller farklı hata kriterleri yardııyla birbirileri ile ve gözlenen akı serileri arasında kurulan odelle karşılaştırılıştır. Oluşturulan odeller aşağıdaki şekilde ifade edilebilir: Y ( AD ) A X ( AD ) B (8) t t + Eşitlikteki ( ) t AD Y, ( ) X terileri sırası t AD ile girdi ve çıktı akılarının. seviyeden ayrık dalgacık dönüşüü bileşenlerini ifade eder. A ve B ise odel paraetreleridir. Bileşenler arası oluşturulan regresyon tipi odelden elde edilir. Modellerin güvenilirlikleri Modelin tahin kapasitesi çeşitli hata kriterleri yardııyla belirleniştir. Çalışada kullanılan tekniğin tahindeki başarısını ölçek için ortalaa karesel hata (OKH) ve topla utlak hata (TMH) kriterleri kullanılıştır. Ortalaa karesel hatanın ifadesi aşağıda verildiği gibidir: 1 OKH = N N ( Y i ( ölçü) Yi (odel) ) i= 1 2 (9) Burada Y i(ölçül) gerçek ölçü değerlerini, Y i(odel) odel yardııyla tahin edilen değerleri ifade eder. N ise ölçü sayısını belirtir. Ortalaa karesel hata odelin hatalarına karşın karesel olarak artış gösterektedir. Oluşan topla hata örnek sayısına bölünse de pik değerlerde hata değeri üstsel olarak artaktadır. Düşük değerlerde ise üstsel olarak azalaktadır. Bu nedenle bir başka hata kriteri olarak topla 73
M. Küçük, N. Ağıralioğlu utlak hata (TMH) kriteri test aşaasında kullanılıştır. TMH test aşaasında kullanılan veriler ile odel sonucunda oluşan tahinler arasında oluşan farkın utlak değerce toplaının örnek sayısına bölüü şeklinde ifade edilebilir. TMH aşağıdaki bağıntı ile belirtiliştir: 1 TMH = N N i= 1 Y i Y (odel) i( ölçü) (10) Bölge ve veriler Arkansas nehrinin Syracuse, ölçü istasyonunda ölçülen günlük akı verileri bağıntı (10) da ifade edilen odel için girdi (X t ) olarak kullanılıştır. Bu istasyon 37 57'58" enle, 101 45'23" boylaında bulunaktadır. Bulunduğu bölge Aerika Birleşik Devletlerindeki Kansas eyaletidir. İstasyon nuarası USGS 07138000 dir. Arkansas Nehri nin Kendall, ölçü istasyonunda ölçülen günlük akı verileri odel için çıktı (Y t ) olarak kullanılıştır. Bu istasyon 37 55'48" enle, 101 32'56" boylaında bulunaktadır. İstasyon nuarası USGS 07138020 dir. Bölge ve istasyonlara ait harita Şekil 2 de veriliştir. Syracuse Kendall USGS İstasyon no: 7138000 USGS İstasyon no: 7138020 Şekil 2. Bölge ve istasyonların konuu 11 Eylül 2001 ve 10 Eylül 2003 tarihleri arsındaki 730 günlük akı serisi odellee için kullanılıştır. Model oluşturula aşaasında 512 günlük akı değeri kullanılıştır. 217 günlük akı değeri ise odel oluşturulduktan sonraki test için kullanılıştır. Akı serisinin sürekli dalgacık dönüşüü ve global spektrula analizi Kararsız yapının çok daha iyi incelenesi ve öneli bileşenlerin seçilesi için akı serisinin sürekli dalgacık dönüşüü ve global dalgacık spektruu hesaplanıştır. Bu sayede odelleede etkin bileşenlerin seçii daha ayrıntılı yapılabiliştir. Ölçü serisine sürekli dalgacık dönüşüü uygulanası ile içindeki olayların değişilerinin zaana bağlı olarak incelenesi ükün oluştur. Ortogonal olayan karaşık Morlet dalgacığı kullanılarak Kendall ölçü istasyonuna ait 512 günlük akı serisinin sürekli dalgacık dönüşüü görüntüsü elde ediliştir. Elde edilen zaan-ölçek-genlik uzayındaki görüntü, yarı logaritik olarak Şekil 3 te ve bu şekle ait global spektru Şekil 4 te gösteriliştir. Şekil 3 te yatay eksen zaanı gün cinsinden gösterektedir. Düşey eksen ise logaritik olarak ölçek veya periyot eksenini ifade eder ve değerleri gün olarak gösterektedir. Şekildeki parlak kısılar her ölçek seviyesi için ayrı ayrı hesaplanan dalgacık dönüşüü katsayılarının değerleridir. Parlaklığın yüksek oluşu katsayının yüksek olduğunu ifade eder. Bu duruun ateatiksel anlaı sürekli dalgacık dönüşüü yapılırken kullanılan dalgacık fonksiyonu ile ölçü serisi arasında belirtilen ölçek seviyelerinde ve zaan aralığında güçlü bir uyuun olduğudur. Bu duru zaan serisinde o uzunlukta bir olayın ne zaan başlayıp ne zaan bittiği hakkında fikir verir. Şekil 3 te 200. gün ile 400. gün arasında değişik periyotlara sahip olaylar görülektedir. Bunlardan en uzun süreli ve periyodu en yüksek olan olay 57 günlük periyodun heen altından başlayıp 169 günlük periyoda kadar sürektedir. Bu olayın zaan olarak başlangıcı 200. güne ve bitişi de 400. güne karşı gelir. Zaan ekseninde 300. günün heen altında ve 350. gün civarında oluşan iki ayrı bölge de 30 günden daha düşük periyoda sahip ve 200-400. günler içerisinde 74
Hidrolojik akı serilerinin odellenesi 512 169 Ölçek (s), gün 57 18 6 0 Zaan (τ), gün Şekil 3. Sürekli dalgacık dönüşüü sonuçları oluşan iki anı olayı ifade eder ki bu olaylar 200. ve 400. gün arasında oluşan iki taşkın pikine karşılık gelir. Şekil 3 ten bölge karakteri gereği iki aylık (60 gün) ve üzeri bileşenlerin daha belirleyici bir karakter olduğu anlaşılır. Sürekli dalgacık dönüşüü spektruunun zaana bağlı verdiği bilgi zaan ekseni boyunca ortalanarak düşey eksen üzerinde gösterilesi ile global spektru elde edilir(şekil 4). Bu spektru tü zaan boyunca katsayıların genliğinin ölçek seviyesi ile değişiini ifade eder. Şekil 4 te yatay eksen Şekil 3 teki düşey eksen gibi ölçek seviyesini gösterir ve logaritiktir. Düşey eksen ise katsayıların genliğini ifade eder. Şekil den görüleceği üzere tü zaan boyunca ortalanış bir değer olarak 45-110 günlük periyoda sahip olaylar diğer olaylardan anlalı derecede farklı görülektedir. Bu spektruda sürekli dalgacık spektruu gibi 60 gün civarında periyoda sahip olayların bölgede baskın olduğunu ifade eder. Katsayılar (W,n) 80 60 40 20 0 2 3 6 9 15 24 39 64 104 169 Ölçek (s), gün Şekil 4. Global dalgacık spektruu Bileşenlerin hesabı ve enerji spektrularının incelenesi İstasyonlar arası odelleeye geçeden önce iki ölçü istasyonundan elde edilen günlük akı serileri ayrık dalgacık dönüşüü kullanılarak 7 bileşene ayrılıştır. Bileşen sayısının tes- 75
M. Küçük, N. Ağıralioğlu piti Nyquistic kriterine göre veri sayısının yarısı kadar örneği ifade eden 2 nin üst değerine eşittir. Dönüşü Daubechies ortonoral tabanlı dalgacıklar yardıı ile gerçekleştiriliştir. Ayrık dalgacık dönüşüü sonucunda oluşan akı serilerine ait bileşenler Şekil 5 te gösteriliştir. Şekildeki en üst sırada yer alan seriler iki istasyona ait ölçülüş akı serilerini gösterir. Daha sonra sırasıyla 1. seviyedeki detay bileşeninden (AD1) başlayarak 7. seviyedeki detay bileşenine (AD7) kadar her iki istasyonun akı serisi bileşenleri gösteriliştir. En altta ise 7. seviyedeki yaklaşıklık bileşeni serisi gösterilektedir. Şekil 5 e dikkat edilirse en düşük frekansa sahip bileşenler en alttaki yaklaşık serileridir. Bu seri ler ayrıca iki istasyon ölçü serilerinin en teel bileşenlerini ifade eder. Diğer bileşenler ise sırasıyla 2, 4, 8, 16, 32, 64 ve 128 günlük ölçeklere sahip bileşenleri ifade eder. Bu yönte yardııyla belirtilen ölçeklerdeki frekanslara sahip zaan serileri ayrı ayrı birer zaan serisi olarak ele alınabilektedir. Bu duru bölgenin iklisel karakterinde hangi periyotların haki olduğu konusunda öneli bilgiler verir (Sith vd., 1998; Saco ve Kuar, 2000). Yüksek periyot veya ölçek seviyesindeki bileşenlerde enerjinin yüksekliği evsisel salınılardan fazlaca etkileneyen daha kurak iklilere sahip bir bölgeyi ifade ederken, düşük ölçek seviyesine sahip bileşenlerin enerjilerindeki yükseklik daha değişken ve yağışlı bölge karakterini ortaya koyar (Küçük vd., 2004; Küçük ve Ağıralioğlu, 2004). Ölçü serisi AD1 AD2 AD3 AD4 AD5 AD6 AD7 Yaklaşık a) b) Şekil 5. Kendall (a) ve Syracuse (b) akı serilerinin ÇÇA den elde edilen bileşenleri 76
Hidrolojik akı serilerinin odellenesi Enerji, E (10 5 ) Şekil 5 te AD1 bileşeni ölçü serisindeki 2 günlük ani değişilerin zaana bağlı değişiini ifade eder. Bu bileşende ani değişi gösteren kısılar ölçü serisinin taşkın zaanları olan 300 ve 350. gün civarında görülektedir. Bunun haricinde genelde sakin bir seyir izler. AD4, 5 ve 6 yani sırası ile 16, 32 ve 64 gün periyoda sahip bileşenlerde 200. ve 400. günler arasında oluşan şekiller benzerlik gösterektedir. Bölgenin karakteristiğini yansıtan en baskın karakterlerde bu bileşenler olduğu Şekil 3 ve 4 te görülüştür. Çalışada bileşenler arası bir karşılaştıra elde etek aacı ile akı serisindeki detay bileşenlerinin enerji spektruları hesaplanıştır. Bileşenlerin sahip olduğu enerji hesabında aşağıdaki bağıntı kullanılıştır. 2 E = w, n, (11) n Burada E, seviyesindeki bileşenin enerjisini ifade etektedir. W,n ise seviyesinde ve n zaan adıındaki bileşenin ayrık dalgacık dönüşüü katsayısıdır ve bağıntı (5) de veriliştir. Her bir bileşene ait topla enerji değeri bağıntı (11) yardıı ile hesaplanıştır ve Şekil 6 da gösteriliştir. Şekil 6 da sürekli çizgi ( ) Kendall ölçü serisine ait. seviyedeki detay bileşenin enerjisini gösterektedir. Kesikli çizgi (---) ise Syracuse ölçü serisine ait bileşenlerin enerji değerlerini gösterektedir. 50 40 30 20 10 0 KENDALL SYRACUSE 1 2 3 4 5 6 7 Bileşen nuarası () Şekil 6. İki ölçü serisinin bileşenlerine ait enerji spektruları Şekilden anlaşılacağı üzere her iki ölçü serisine ait 6. detay bileşeni ve nispeten 4. detay bileşeninin enerjileri diğer bileşenlerden yüksek görünektedir. Bu detay bileşenlerine karşı gelen periyot değerleri ise 2 6 =64 gün ve 2 4 =16 gündür. Ayrık dönüşü sonucunda elde edilen bileşenlere ait enerji diyagraları sürekli dönüşü sonucunda elde edilen Şekil 3 ve Şekil 4 te yüksek enerji gösteren bileşenler ile uyu gösterektedir. Ayrık dalgacık dönüşüü hesaplaaları bir istatistik hesap ve grafik prograı olan R nin Rwave odülü yardııyla gerçekleştiriliştir (http://www.r-project.org/). Model sonuçları Bağıntı (8) kullanılarak 8 adet odel oluşturuluştur. Modellere ait OKH, TMH ve bileşenlerin kendi aralarındaki korelasyon katsayıları Tablo 1 de veriliştir. Tablodan da anlaşılacağı üzere OKH değerleri en düşük olan odeller sırası ile 6, 5, 4 ve 7. seviye detay bileşenleri arasında oluşturulan odellerdir. Bu duru Şekil 5 teki enerji dağılıına da uyu gösterektedir. 6. seviye detay bileşeni içerisinde dönüş aralığı 2 6 =64 gün olan akı olaylarını barındıraktadır. Bu duru yağışlı bölgelerde oluşan günlük ve haftalık değişiin tersine daha uzun bir periyodu ifade eder ve yukarıda açıklandığı gibi bölgenin kurak karakterli ikli özelliğinden kaynaklanaktadır. Model 6 nın OKH 0.744 ve TMH değeri ise 6.41 ft 3 /s oluştur. Model 5 in OKH değeri 0.96 ve TMH 10.96 ft 3 /s oluştur. Bunların yanında Model 7 nin OKH değeri 1.011 iken TMH değeri 7.98 ft 3 /s oluştur. Tablo 1 den AD6 bileşenleri arasında oluşturulan odelin en iyi tahini yaptığı görülesinin yanında, Model 4, 5, 6, ve 7 nin diğer düşük ölçekli bileşenler kullanılarak oluşturulan odellerden daha iyi tahinler verdiği görülektedir. Bu çalışanın aaçlarından birisi de eksik veri taalanası ve bir istasyondan diğer istasyonun verilerinin tahini çalışalarında oluşturulan regresyon tipi odellerin tahin gücünün arttırılasıdır. Çalışada fiziki olarak bölgenin ikli karakteristiğini yansıtan bileşenler arasında oluşturulan odellerin diğer bileşenler ile oluşturulan odellere göre daha iyi sonuçlar verdiği tespit ediliştir. 77
M. Küçük, N. Ağıralioğlu Tablo 1. Oluşturulan 8 odel için OKH, TMH ve korelasyon katsayıları Model Nuarası Kendall ve Syracuse arasında kurulan odellerin adları OKH TMH Korelasyon Katsayıları Model 0 Ölçü serileri arasındaki odel 1.01 12.90 0.91 Model 1 AD1 bileşenleri arasındaki odel 1.38 22.85 0.75 Model 2 AD2 bileşenleri arasındaki odel 1.44 24.87 0.43 Model 3 AD3 bileşenleri arasındaki odel 1.23 18.05 0.93 Model 4 AD4 bileşenleri arasındaki odel 0.99 11.34 0.97 Model 5 AD5 bileşenleri arasındaki odel 0.96 10.69 0.98 Model 6 AD6 bileşenleri arasındaki odel 0.86 6.41 0.98 Model 7 AD7 bileşenleri arasındaki odel 1.01 7.98 0.98 Tablo 2. Oluşturulan 8 odel tahin dağılılarının Ki-kare istatistiği MODEL0 MODEL1 MODEL2 MODEL3 MODEL4 MODEL5 MODEL6 MODEL7 YAKLAŞIKLIK Kİ-KARE 219 210 218 151 137 132 43 85 135 Tahin dağılılarının karşılaştırılası Modellee sonucunda elde edilen serilerin ölçü serilerine benzerliği sıklık dağılıları bakıından da inceleniştir. Sonuçlar ki-kare (χ 2 ) testi ile sınanarak dağılıların benzerlik duruları ortaya konuluştur. Oluşturulan 8 odelden Model 1, Model 6 ve Model 0 ile yapılan tahin sonuçlarının ölçü değerleri ile sıklık diyagraları karşılaştırılıştır. Karşılaştıra sonucunda ölçü serisi sıklık dağılıı ile Model 6 tahinlerinin sıklık dağılıları birbirlerine benzeekte oldukları görülüştür. Model 6 nın enerji spektruu dağılıı yukarıda anlatıldığı üzere en yüksek enerjiye sahiptir. Bölgenin iklisel yapısını da en iyi karakterize eden detay bileşeni 6. seviyedeki bileşendir. Tablo 2 den görüldüğü gibi en düşük Kikare değeri Model 6 için gerçekleşiştir. Buradan ölçü serisi sıklık diyagraına benzerlik açısından en iyi odelin Model 6 olduğu görülektedir. Ölçü serisi ÇÇA ile elde edilen bileşenlerin toplaından oluştuğu için küçük ölçek değerine sahip detay bileşenleri ölçü serileri arasında oluşturulan odeli etkileektedir. Küçük ölçekli detay bileşenleri ile oluşturulan odellerin test için kullanılan ölçü serileri ile korelasyonları da çok düşüktür. Bu duru ölçü serileri arasında oluşturulan odelin başarıını düşürektedir. Küçük ölçeğe sahip detay bileşenlerinin etkisinden arındırılış daha yüksek ölçek seviyesinde ki bileşenlerle oluşturulan odeller iki istasyonda ölçülüş akı serilerinin davranışlarını daha iyi yansıttıklarından dolayı daha yüksek ölçek seviyesinde oluşturulan odeller daha az hata üretişlerdir. Bu duru bölgenin ikli karakteristiğine bağlı olarak değişiklik gösterebilir. Daha kurak bölgelerde Saco ve Kuar ın (2000) çalışasında görüldüğü gibi ölçek seviyesi yüksek olan bileşenler daha etkili iken, yağışlı bölgelerde düşük ölçek seviyesindeki bileşenler ölçü serilerinin genel karakteristiğini daha iyi yansıtaktadırlar. 78
Hidrolojik akı serilerinin odellenesi Sonuçlar ve tartışa Sonuç olarak ilk defa bu çalışada dalgacık dönüşüü tekniği, akarsu akı odelleelerinde kullanılış ve başarılı sonuçlar elde ediliştir. Tekniğin analiz gücü ve çok çözünürlüklü analiz yardııyla serinin değişik periyottaki bileşenlerinin elde edilesi, odelleede yüksek bir başarı elde edilebilesini sağlaıştır. Birbirine yakın akı ölçü istasyonları arasında oluşturulacak bir odelde sözü edilen periyodik bileşenlerden öneli olanları, diğer tü istasyonlar içinde öneli olacaktır. Dolayısıyla bölgenin iklisel davranışını en iyi tesil eden bileşen veya bileşenler arasında oluşturulan odeller, bir istasyon ölçüleri kullanılarak diğer istasyondaki veriyi tahin etek için kullanılış ve başarılı sonuçlar elde ediliştir. Su kaynakları alanında, dalgacık dönüşüü tekniği kullanıının çok daha yararlı olabileceği yapılan çalışa ile ortaya konuluştur. Seboller ψ SDD x ( τ, s) :Sürekli dalgacık dönüşüü katsayıları τ :Zaanda ötelee paraetresi s :Ölçek paraetresi ψ(t) :Dönüşü fonksiyonu (ana dalgacık), n :Tasayı olarak ölçek ve zaan eksenindeki ötelene paraetreleridir s 0 :Sabit bir ötelene adıı τ :Zaan eksenindeki ötelene aralığı 0 W, n :Dalgacık dönüşüü katsayıları x(q) :Orijinal işaret q :Ta sayı şeklinde t zaan g(q) :Yüksek geçiren filtre h(q) :Alçak geçiren filtre y yüksek (k):yüksek geçiren filtre çıkışı y alçak (k) :Alçak geçiren filtre çıkışı k :Filtre seviyesi Kaynaklar Addison, P., S., Murray, K., B., Watson, J., N., (2001). Wavelet transfor analysis of open channel wake flows, Journal of Engineering Mechanics, 127, 1, 58-70. Bayazıt, M., Aksoy, H., (2001). Using wavelets for data generation, Journal of Applied Statistics, 28, 2, 157-166. Bayazıt, M., (1996). İnşaat Mühendisliğinde Olasılık Yönteleri, İTÜ İnşaat Fakültesi Matbaası, İstanbul. Bayazıt, M., (1998). Hidrolojik odeller, İTÜ İnşaat Fakültesi Matbaası, İstanbul. Daubechies, I., (1988). Orthonoral bases of copactly supported wavelets, Counications on Pure and Applied Matheatics. XLI, 909-996. Drago, A., F., Boxall, S., R., (2002). Use of the wavelet transfor on hydro-eteorological data, Physics and Cheistry of the Earth, 27, 1387-1399. Gaucherel, C., (2002). Use of wavelet transfor for teporal characterisation of reote watersheds, Journal of Hydrology, 269, 101-121. Grossan, A., Morlet, J., (1984). Decoposition of Hardy functions into square integrable wavelets of constant shape, SIAM Journal of Matheatical Analaysis, 15, 723-736. Korürek, M., (2000). Biyoedikal Mühendisliğinde Özel Konular, İTÜ, Elektrik-Elektronik Fakültesi ders notları, İstanbul. Kuar, P., Foufoula-Georgiou, E., (1993). A ulticoponent Decoposition of Spatial Rainfall Fields 1. Segregation of Large- and Sall-Scale Features Using Wavelet Transfors, Water Resources Research, 29, 8, 2515-2532. Küçük, M., Tiğli, E., Ağıralioğlu, N., (2004). Wavelet transfor analysis for nonstationary rainfall-runoff-teperature processes, Conference on Water Observation and Inforation Syste for Decision Support, 25-29 May, Ohrid, FY Republic of Macedonia. Küçük, M., Ağıralioğlu, N., (2004). Kısa süreli Fourier ve sürekli dalgacık dönüşüü yardııyla günlük akı verilerinin analizi, IV ulusal hidroloji kongresi ve Hidrolojide yeni teknikler seineri. 21-25 Haziran, İstanbul, Türkiye. Labat, D., Ababou, R., Mangin, A., (2000). Rainfallrunoff relations for karstic springs. Part II: continuous wavelet and discrete orthogonal ultiresolution analyses, Journal of Hydrology, 238, 149-178. Lafreniere, M., Sharp, M., (2003). Wavelet analysis of inter-annual variability in the runoff regies of glacial and nival strea catchents, Bow Lake, Alberta, Hydrological Processes, 17, 1093-1118. Mallat, S., G., (1989). A theory for ultiresoluion signal decoposition: The wavelet representation, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 11, 7, 674-693. 79
M. Küçük, N. Ağıralioğlu Misiti, M., Misiti, Y., Oppenhei, G., Poggi, J., (1997). Wavelet Toolbox User s Guide, The MathWorks, Inc. Nason, G., Sapatinas, T., (2002). Wavelet packet transfer function odelling of nonstationary tie series, Statistics and Coputing, 12, 45-56. Polikar, R., (1999). The story of wavelets, Mastorakis, N. Physics and Modern Topics in Mechanical and Electrical Engineering, 192-197. World Scientific and Eng. Society Press. Saco, P., Kuar, P., (2000). Coherent odes in ultiscale variability of streaflow over the United States, Water Resources Research, 36, 4, 1049-1067. Sith, L., C., Turcotte, D., L., Isacks, B., (1998). Strea flow characterization and feature detection using a discrete wavelet transfor, Hydrological Processes, 12, 233-249. Torrence, C., Copo, G., P., (1998). A practical guide to wavelet analysis, Bulletin of The Aerican Meteorology Society, 79, No. 1. Venugopal, V., Foufoula-Georgiou, E., (1996). Energy decoposition of rainfall in the tiefrequency-scale doain using wavelet packets. Journal of Hydrology, 187, 3-27. 80