DECISION THEORY AND ANALYSIS DECISION TREES

DECISION THEORY AND ANALYSIS DECISION TREES

Decision Tree a 1 a 2 1 2 m 1 2.. p(a 1, 2 ) p(a 1, m ) p(a 2, 1 ) p(a 1, 1 ) a n. m.. 1 2 p(a 2, 2 ) p(a 2, m ) p(a n, 1 ) : Decision Node Choose best branch : Chance Node Find Expected Value m.. p(a n, 2 ) p(a n, m ) : Result

Karar Ağacı Karar Ağaçları, karar vericiye sunulan seçenekler ile şansa bağlı seçimleri bir arada aşama sırasına göre görsel olarak ortaya koyan bir modelleme yöntemidir. Karar probleminin grafik olarak gösterilmesi karar ağacı denilen bir şekil veya şema kullanmak suretiyle yapılır (Şekil 1). Bu gösteriliş biçimi karar verme işini oldukça kolaylaştırmaktadır. Şekilde de görüleceği gibi karar ağacının iki tür düğüm noktası vardır. Kare ( ) bir karar noktasını, daire ise (O) bir şans olayını göstermektedir. Beklenen Değeri Karar Düğümü Şans Düğümü Karar Seçeneği-1 Karar Seçeneği-2 Şans durumu-1 (0.40) Şans durumu-2 (0.60)

QUESTION 14: Dante Deve opment Corporation is considering bidding on a contract for a new office building complex. Figure 14.14 shows the decision tree prepared by one of Dante's analysts. At node 1, the company must decide whether to bid on the contract. The cost of preparing the bid is 200,000. The upper branch from node 2 shows that the company has a 0,8 probability of winning the contract if it submits a bid. lf the company wins the bid, it will have to pay 2,000,000 to become a partner in the project. Node 3 shows that the company will then consider doing a market research study to forecast demand for the office units prior to beginning construction. The cost of this study is 150000. Node 4 is a chance node showing the possible outcomes of the market research study. Nodes 5, 6 and 7 are similar in that they are the decision nodes for Dante to either build the office complex or Sell the rights in the project to another developer. The decision to build the complex will result in an income of 5,000,000 if demand is high and 3,000,000 if demand is moderate. İf dante chooses to sell its rights in the project to another developer, income from the sale is estimated to be 3,500,000 The probabilities shown at nodes 4, 8 and 9 are based on the projected outcomes of the market research study. a) verify Dante's profit projections shown at the ending branches of the decision three by calculating the payoffs of 2,650,000 and 650,000 for the first two outcomes. b) What is the optimal decision Strategy for Dante, and what is the expected profit for this project? c) what would the cost of the market research study have to be before Dante would change its decision about market research study?

QUESTION 14: a) verify Dante's profit projections shown at the ending branches of the decision three by calculating the payoffs of 2,650,000 and 650,000 for the first two outcomes. b) What is the optimal decision Strategy for Dante, and what is the expected profit for this project? c) what would the cost of the market research study have to be before Dante would change its decision about market research study? SOLUTION: Bid = 200,000 Partner = 2,000,000 Market Research =150,000 Dem.High Complex = 5,000,000 Dem.Mod. Complex = 3,000,000 Sells = 3,500,000 a) 2650=5000-150-2000-200 650=3000-2000-150-200

Bir markette ekmeğe olan günlük talepler ve olasılıkları aşağıdaki şekilde olmaktadır. Günlük talep 100 120 130 Olasılıklar 0,2 0,3 0,5 Bir ekmeğin satış fiyatı 105 kuruş, Ekmeklerin alış fiyatı 60 kuruş, o gün satılmayan ekmekler 55 kuruştan elden çıkarılmaktadır. Buna göre optimum stok seviyesini karar ağacıyla belirleyiniz. Önce karar düğümündeki alternatifler belirlenir. Bunlar sırasıyla 100 ekmek stoklama durumu, 120 ekmek stoklama durumu ve 130 ekmek stoklama durumu şeklindedir. Daha sonra 100 ekmek stoklandığında talep 100 ekmek olursa, talep 120 ekmek olursa yada 130 ekmek olursa şeklindeki olası durumlar şans düğümü olarak eklenir. Bu her üç seçenek için tekrarlanarak ağaç yapısı hazırlanır. Ağacın hazırlanışı soldan sağa doğru ilerlerken ağaç üzerindeki hesaplamalar sağdan sola doğru ilerleyerek yapılır

0,2 100 SATILMASI 100 4500 0,3 100 EKMEK ALINMASI 120 SATILMASI 0 4500 100 4500 0,5 130 SATILMASI 100 4500 0,2 100 SATILMASI 100 4400 100 100 100 100 0,3 120 EKMEK ALINMASI 120 SATILMASI 3 120 5400 0 5200 120 5400 0,5 130 SATILMASI 120 5400 0,2 100 SATILMASI 100 4350 0,3 130 EKMEK ALINMASI 120 SATILMASI 0 5400 120 5350 0,5 130 SATILMASI 130 5850 120 100 120 130

Hesaplamalar ve kararın verilmesi En sondan, şans düğümlerinden hesaplamaya başlanır. Önce her bir düğümün beklenen değerleri belirlenip düğüm üzerine yazılır. En üsteki düğümün beklenen değeri şu şekildedir; 100*45=4500 BD=4500*0.2+4500*0.3+4500*0.5=4500 Diğer alternatifler içinde aynı hesaplamalar yapılır. 120 ekmek alınıp talebin 100 olması durumunda, (20 ekmek 5 kuruş zararla elden çıkarılmaktadır.) 45*100-20*5=4400 ve diğer durum içim 45*120=5400 Şans düğümleri karar çizgileriyle bağlantılı olduğu için bu düğümler üzerindeki en büyük beklenen değere sahip çizgi seçilerek diğer çizgiler kesilir. Yani bu değerler içerisinden e3n büyük değere sahip olan dal seçilmiş olur. Seçilen bu değer karar düğümünün üzerine yazılır. Böylece optimum stok seviyesi 130 ekmek/gün olarak belirlenmiş olur. 0,2 0,3 0,5 BD 4500 4500 4500 4500 4400 5400 5400 5200 4350 5350 5850 5400

REVİZE OLMUŞ SORU Bir markette ekmeğe olan günlük talepler ve olasılıkları aşağıdaki şekilde olmaktadır. Günlük talep 100 150 200 Olasılıklar 0,3 0,2 0,5 Bir ekmeğin satış fiyatı 120 kuruş, Ekmeklerin alış fiyatı 70 kuruş, o gün satılmayan ekmekler 40 kuruştan elden çıkarılmaktadır. Müşteri memnuniyetsizliği ekmek başına 15 kuruş ise Buna göre karar ağacını çiziniz, optimum stok seviyesini karar ağacıyla belirleyiniz ve Tam bilginin beklenen değerini bulunuz.

Örnek Bir otomobil fabrikasına yedek parça (spare part) sağlayan bir yan kuruluşun(subsidiary) üretim müdürüne, Nisan 2004 de yeni model bir otomobilin bazı parçalarının üretilmesi konusunda bir teklif gelmiştir. Sipariş edilecek parça miktarı belli değildir. Ancak ya 20 birim ya da 40 birim olacaktır. Kesin rakam ise 7 ay sonra Kasım 2004 de belli olacaktır. Parçalar otomobil fabrikasına Ocak 2005 te teslim edilecektir. Parçaların birim fiyatı 10.000 TL dir. Üretim müdürü bu siparişi üretip üretmeyecekleri konusunda bu hafta içerisinde karar verme durumundadır. Üretim departmanı yetkilileri bu parçayı üretmek için iki üretim yöntemi belirlediler. Bunlar Proses-1 ve Proses-2 dir. Proses-1 eğer başarılı olursa üretim daha ucuza gerçekleşecektir. Fakat başarısız olması da söz konusudur. Proses-2 de üretim daha pahalı olacak fakat kesinlikle başarılı olacaktır. Eğer Proses-1 kullanılırsa başarılı olup olmayacağı Temmuz 2004 te belli olacaktır. Başarısız olması durumunda hala Proses-2 yi kullanabilme imkanı vardır. Yada tekliften vazgeçilmektedir. Bu verilere göre hangi üretim prosesinin kullanılacağına karar vermek için problem Karar Ağacı ve Beklenen Değer Metodu kullanılarak nasıl çözüldüğü ayrıntılı olarak aşağıda açıklanmaktadır. Proses-1 in başarılı olma ihtimali 0.50 dir. Sipariş miktarının 40 birim olma olasılığı 0.40 dır. 20 birim olma olasılığı ise 0.60 dır. Maliyet verileri : Proses-1 için; Test etme maliyeti: 20.000, Başarılı olma durumunda Birim üretim maliyeti=4.000 TL. Proses-2 için; Birim üretim maliyeti=6.000 Kabuller: Eğer 20 birim üretilir de 40 birim talep olursa, geri kalan parçalar 9.000TL den dışardan alınacaktır. Eğer 40 birim üretilir de 20 birim talep olursa fazla olan parçalar 2.000TL den elden çıkarılacaktır. Karar ağacı Şekil 5 de görüldüğü şekilde hazırlanmıştır.

124 D 40 br üretilmesi 20 br üretilmesi 124 G 108 Talebin 40 br olması(0,4) Talebin 20 br olması (0,6) Talebin 40 br olması(0,4) 220 60 120 A Proses-1 Proses-2 96 B Başarılı(0,5) Başarısız (0,5) 68 E Proses-2 68 F H İptal 40 br üretilmesi 20 br. Üretilmesi 44 I 68 J Talebin 20 br olması (0,6) Talebin 40 br olması(0,4) Talebin 20 br olması (0,6) Talebin 40 br olması(0,4) Talebin 20 br olması (0,6) 100-20 140-20 80 60 64 Talebin 40 br olması(0,4) 160 88 C K 88 Talebin 20 br olması (0,6) Talebin 40 br olması(0,4) 0 100 L Talebin 20 br olması (0,6) 80 Şekil 5 Otomotiv yedek parça üretimiyle ilgili karar probleminin karar ağacı yapısı

Karar ağacındaki her bir düğüm için yapılan hesaplamalar aşağıda gösterilmektedir. 1-) Proses-1 başarılı ve 40 birim üretilip, 40 birim talebin olması durumunda net kâr; Satış geliri= 40*10.000 = 400.000 TL Maliyetler: Üretim maliyeti= 40*4.000 =160.000 Test maliyeti = 20.000 Toplam maliyet =180.000 TL Net Kâr = 400.000-180.000 = 220.000 2-) Proses-1 başarılı 40 birim üretilip, 20 birim talep edilirse: Satış geliri = 20*10.000 = 200.000 Üretilen diğer 20 birimi 2000TL den elden çıkarmadan dolayı elde edilen gelir 20*2.000 = 40.000 TL. Toplam gelir = 240.000 Maliyetler: Üretim maliyeti= 40*4.000 =160.000 Test maliyeti = 20.000 Toplam maliyet =180.000 TL. Net Kâr = 240.000-180.000 = 60.000 TL. 3-) Proses-1 başarılı, 20 birim üretilip 40 birim talep olursa; Gelirler: 20*10.000 = 200.000 Diğer 20 birimi dışardan 9.000TL den alıyoruz. Birim başına yalnızca 1.000TL kâr kalıyor (10.000-9.000 = 1.000) 1.000*20 = 20.000TL Toplam gelir = 200.000 + 20.000 = 220.000 Maliyetler: Üretim maliyeti= 20*4.000 = 80.000 Test maliyeti = 20.000 Toplam maliyet =100.000 TL Net Kâr = 220.000-100.000 = 120.000 TL.

4-) Proses-1 başarılı, 20 birim üretilip, 20 birim talep durumu: Gelir: 20*10.000 = 200.000 TL. Maliyetler: Üretim maliyeti= 20*4.000 = 80.000 Test maliyeti = 20.000 Toplam maliyet =100.000 TL Net Kâr = 200.000 100.000 = 100.000 TL. 5-) Proses-1 başarısız ve anlaşma iptal edilirse = -20.000 TL. 6-) Proses-1 başarısız ve Proses-2 uygulanırsa ve 40 birim üretilip 40 birim talep olması durumunda: Satış geliri: 40*10.000 = 400.000 Maliyetler: Üretim mal. =40*6.000 =240.000 Test mal. =20.000 Toplam maliyet =260.000 Net Kâr = 400.000 260.000 = 140.000TL 7-) Proses-1 başarısız ve Proses-2 uygulanması ve 40 birim üretilip 20 birim talep olması durumunda; Gelirler: 20*10.000 = 200.000 Diğer 20 birimi elden çıkan: 20*2.000 = 40.000 Toplam =240.000 Maliyetler: Üretim mal. 40*6.000 = 240.000 Test mal. = 20.000 Toplam maliyet = 260.000 Net Kâr = 240.000 260.000 = - 20.000

8-) Proses-1 Başarısız, Proses-2, 20 birim üretilip 40 birim talep varsa; Gelirler: 40*10.000 = 400.000 180.000 = 220.000 (20 birimi dışardan 9.000TL den aldığımızda 20*9.000 = 180.000 dir) Maliyetler: Üretim mal. 20*6.000 = 120.000 Test mal. = 20.000 Toplam maliyet =140.000 Net Kâr = 220.000 140.000 = 80.000 TL. 9-) Proses-1 Başarısız, Proses-2 ve 20 birim üretilip 20 birim talep durumunda; Gelirler 20*10.000 = 200.000 Maliyetler: Üretim mal. 20*6.000 =120.000 Test mal. = 20.000 Toplam maliyet = 140.000 Net Kâr = 200.000 140.000 = 60.000 TL. 10-) Proses-2 uygulanması ve 40 birim üretilip 40 birim talep olması durumu: Gelirler 40*10.000 = 400.000 Maliyetler 40*6.000 = 240.000 Net Kâr = 400.000 240.000 =160.000 TL 11-) Proses-2 uygulanması ve 40 birim üretilip 20 birim talep olması durumu: Gelirler 20*10.000 = 200.000 2.000*20 = 40.000 Toplam = 240.000TL Maliyetler 40*6.000 = 240.000 Net Kâr = 240.000 240.000 = 0 TL

12-) Proses-2 uygulanması ve 20 birim üretilip 40 birim talep olması durumu: Gelirler 40*10.000 = 400.000 180.000 = 220.000 (20 birimin dışardan alınması 9.000*20 = 180.000) Maliyet 20*6.000 = 120.000 Net Kâr = 220.000 120.000 = 100.000 TL 13-) Proses-2 uygulanması ve 20 birim üretilip 20 birim talep olması durumu: Gelirler 20*10.000 =200.000 Maliyet 20*6.000 =120.000 Net Kâr = 20.000 120.000 = 80.000 TL Düğümlerin Beklenen Değerleri Proses-1 başarılı ve 40 birim üretilmesi durumu G için 220.000*0.4 + 60.000*0.6 = 124.000 TL Proses-1 başarılı ve 20 birim üretilmesi H için 120.000*0.4 + 100.000*0.6 = 108.000 TL Sonuç: 40 birim üretilmesi daha kârlıdır. I için; Proses-1 başarısız, Proses-2 kullanılmakta ve 40 birim üretilmesi durumu; B.D. = 140.000*0.4 + (-20.000*0.6) = 44.000 TL. J için; 20 birim üretilmesi B.D. = 80.000*0.4 + 60.000*0.6 = 68.000 TL. Sonuç: 20 birim üretilsin. Diğer Beklenen Değerler Şekil üzerinde görülmektedir. En son dallardaki değerlerde; Proses-1= 96.000 TL,proses-2 ise 88.000 TL. değerlerine sahiptir. Bu iki sonucun karşılaştırılması sonunda geirisi daha büyük olduğu için, Proses-1 seçilir. Diğer aşamalı kararlar ise şöyledir; Proses başarılı olması durumunda 40 birimlik üretim kararı verilmel. Eğer Proses-1 başarısız olursa, Proses 2 seçilmeli ve ardından da 20 birim üretilmeli kararı verilmelidir.

Örnek Bir şirket şu anda tam kapasiteli büyük bir fabrika kurmak veya önce küçük bir fabrika kurup, talep durumuna göre (yüksek talep olursa) ileride daha sonra bunu genişletme imkanına sahiptir. Karar problemi için zaman ufku 10 yıldır. Şirket gelecek 10 yılın yüksek ve düşük talep olasılıklarını sırasıyla 0,75 ve 0,25 olarak tahmin etmektedir. Hemen şimdi büyük bir tesisin kurulması $5 milyona, ve küçük bir tesisin kurulması $1 milyon a mâl olmaktadır. İki yıl sonra genişletilmesi durumundaki maliyeti ise $4.2 milyona mâl olacaktır. İşletmenin 10 yıl boyunca geliri aşağıdaki tabloda verilmiştir: Alternatif Yüksek talep Düşük talep Büyük tesisin şimdi kurulması 1000 300 Küçük çaplı tesisin şimdi kurulması 250 200 Tesisi 2 yıl sonra büyütme durumunda 900 200 İşletmenin iki yıl sonra tesisi genişletebileceğini veya genişletmeyeceğini de göz önünde bulundurarak karar ağacını geliştiriniz. Karar ağacı üzerinde beklenen değer kriterine göre verilecek karar ne olmalıdır. 22

3.250.000 Yüksek talep 0,75 2 Düşük talep 0,25 1.000.000 300.000 Büyük fabrika kurma Yüksek talep 0,75 3.250.000 1.600.000 900.000 1 5 Genişleme yapılıyor 200.000 1.900.000 Düşük talep 0,25 Küçük fabrika kurma 4 0,75 Yüksek talep Yüksek talep 0,75 Genişleme yok 1.300.000 1.900.000 250.000 3 6 200.000 Düşük talep 0,25 200.000 Düşük talep 0,25 1.kademe 2 yıl 2.kademe 8 yıl 23

Hesaplamar Hesaplamalar kademe 2 de başlayıp geriye doğru kademe 1 e gidecektir. Bu sebeple son sekiz yıl için 4 düğümündeki alternatifleri şöyle değerlendirebiliriz: E(net kar/genişleme var)=(900.000*0.75+200.000*0.25)*8 4.200.000 =1.600.000 E(net kar/genişleme yok)=(250.000*0.75+200.000*0.25)*8=1.900.000 Bu duruma göre 4 düğümündeki karar genişleme olmaması şeklindedir. Beklenen net kar 1.900.000 $ dır. Buna göre, 4 düğümünden çıkan bütün düğümleri bir tek düğümle değiştirebilir veya bunun gelirini 1.900.000 $ olarak son sekiz yıl için göz önüne alabiliriz. Şimdi birinci kademe hesaplarını yapabiliriz (birinci düğümle ilgili). E(Net kar/büyük Fabrika)=(1.000.000*0.75+300.000*0.25)*10-5.000.000 =3.250.000 E(Net kar/küçük Fabrika)=1.900.000*0.75+250.000*2*0.75+200.000*10*0.25-1.000.000 =1.300.000 Bu duruma göre 1 düğümündeki optimum karar şimdi Büyük bir fabrika kurulmasıdır. Başlangıçta bu kararın verilmesi böylece 4 düğümündeki alternatifleri göz önüne alma gereğini ortadan kaldıracak. 24