4.SUNUM
Deney çalışmamızda manipüle ettiğimiz değişkenlerden olmayıp bağımlı değişken üzerinde etkisi olduğunu düşündüğümüz sürekli değişkenlere ortak değişken/kontrol değişkeni/etki karışımı değişkeni (covariate; control; confounding) deriz. Bu değişkeni ANOVA ya bağımsız değişken olarak eklediğimizde ANCOVA elde ederiz.
ANCOVA da yapmaya çalıştığımız şey regresyon ile ANOVA yı birleştirmektir. Başka bir deyişle ANOVA yaparken ortak değişkenin (covariate) etkisini kontrol ediyoruz yani dışarıda tutuyoruz. İlk olarak bağımlı değişken ile bağımsız değişken arasında bir regresyon yaparak artık (residual) değerleri hesaplıyoruz. Daha sonra da bu artık değerleri ve grup değişkenini kullanarak ANOVA yapıyoruz. Bunu yapmamızın iki nedeni vardır: Grup-içi hata varyansını azaltmak: ANOVA da bağımlı değişkendeki varyasyon iki kısıma ayrılmaktadır (Bağımsız değişkenden kaynaklanan ve açıklanamayan hata varyansı).hata varyansı genelde açıklanamayan hatalara addedilir. Eğer biz bu açıklanamayan varyansın birazını da olsa bildiğimiz bir değişkene atfedersek açıklanamayan hata varyansını azaltmış oluruz. Eğer bildiğimiz bir ortak etki değişkeni varsa o değişkenin etkisini bulmak.
ANOVA ya covariate eklememizin iki nedeni vardır: Grup-içi hata varyansını azaltmak: ANOVA da bağımlı değişkendeki varyasyon iki kısıma ayrılmaktaydı (Bağımsız değişkenden kaynaklanan varyans ve açıklanamayan hata varyansı). Hata varyansı genelde açıklanamayan hatalara addedilir. Eğer biz bu açıklanamayan varyansın birazını da olsa bildiğimiz bir değişkene (covariate) atfedersek açıklanamayan hata varyansını azaltmış oluruz. Eğer bildiğimiz bir ortak etki değişkeni varsa o değişkenin etkisini bulmak da araştırmacı için istenen bir şeydir.
ANCOVA da bağımlı değişken içerisindeki varyasyon (değişim) gruplardan kaynaklanan varyans ve hata varyansının yanında ortak değişken (cov) vasıtasıyla açıklanır. Bu sayede açıklanamayan varyans düşürülmüş olur. ANCOVA ANOVA ya göre daha güçlü bir analiz olarak görülmektedir (more power:)
Ortak değişkeni (covariate) kontrol ettikten sonra, bağımlı değişken puanları arasında gruplar açısından bir fark var mıdır? H0: Ortak değişkeni kontrol ettikten sonra bağımlı değişken açısından gruplar arasında anlamlı bir fark yoktur. Ha: Ortak değişkeni kontrol ettikten sonra bağımlı değişken açısından gruplar arasında anlamlı bir fark vardır.
ANOVA da olduğu gibi sıfır hipotezini reddedip reddedemeyeceğimize F-testi kullanarak karar vereceğiz. Eğer F-testinden elde edilen p-değeri 0.05 ten küçük çıkarsa sıfır hipotezini reddederek alternatif hipotezi yani Ortak değişkeni kontrol ettikten sonra bağımlı değişken açısından gruplar arasında anlamlı bir fark vardır diyeceğiz. Bu durumda orijinal ve ayarlanmış ortalamaları karşılaştırarak ortak değişkenin etkisini görebiliriz. ANCOVA nın varsayımları ANOVA nın varsayımlarını içermekle beraber aşağıdaki 2 varsayımı da içermektedir: (1) Ortak değişken ve deney etkisinin bağımsızlığı (independence of the covariate and treatment effect) (2) Regresyon eğrilerinin homojenliği (homogeneity of regression slopes)
ANOVA da F testini kullandığımız için bu testin sonuçlarının geçerli olabilmesi için diğer parametrik testlerde olduğu gibi bazı varsayımların yerine gelmesi gerekmektedir. Varyansların homojenliği (homojenlik) Verilerin bağımsız olması (bağımsızlık) Bağımlı değişkenin en az eşit aralıklı ölçek olması Grup içi dağılımların normal olması (within group normality) (normallik) Bir grup değişkenine (categorical) sahip olunmalıdır. Verimizde her han ANOVA bu varsayımların ihlaline dirençli bir yöntemdir. Özellikle grup büyüklükleri eşit (n1=n2=n3) olduğunda ANOVA normallik ve grup varyans homojenliği varsayımı ihlallerine dirençlidir. Bu varsayımlar ANCOVA da da geçerlidir. 8
ANOVA varsayımlarını bir önceki sunumda nasıl test edeceğimizi göstermiştik. Burada karşımıza çıkan iki yeni varsayımı nasıl test/kontrol edeceğimizi gösterilmektedir.
(1) Ortak değişken ve deney etkisinin bağımsızlığı: Ortak değişken eklememizin sebeplerinden biri de açıklanamayan grup içi varyansın birazını ortak değişken vasıtasıyla açıklamaya çalışmak olduğunu söylemiştik. Bunun doğru olabilmesi için ortak etki değişkeninin deney etkisinden bağımsız olması gerekmektedir. Bunu sağlayabilmek için katılımcıları deney gruplarına rastgele (seçkisiz) bir şekilde atamak gerekmektedir. Bu durumu kontrol edebilmek için ortak değişken değerinin gruplar arasında değişip değişmediğini göstermek gerekir. Eğer gruplar anlamlı farklılıklar göstermiyorsa (t-testi ya da ANOVA ile bakılabilir) o zaman ortak değişkeni (covariate) ANCOVA da kullanabiliriz.
Daha önce de belirttiğimiz gibi ANCOVA regresyon ve ANOVA nın birleşiminden meydana gelmektedir. ANCOVA da bağımlı değişken ve ortak değişken arasındaki genel ilişkiye bakarken tüm gruplar için ortak bir regresyon eğrisi (çizgisi) çizeriz. Bu genel ilişkinin tüm gruplar için doğru olduğunu varsayarız. Örneğin ortak değişken ve bağımlı değişken arasında grup1 için pozitif bir ilişki varsa diğer gruplar için de pozitif bir ilişki olduğunu varsayarız. Fakat bu ilişki her grup için de aynı olmazsa tüm gruplar için tek bir genel ilişkiden bahseden regresyon modeli yanlış olur. Bu varsayıma Regresyon eğrilerinin homojenliği (homogeneity of regression slopes) varsayımı diyoruz. Bu varsayımı kontrol etmek için bağımlı değişken ve ortak değişken arasındaki ilişkiyi her bir grup için ayrı ayrı gösteren saçılım grafikleri (scatter plots) çizmek gerekecektir. Her bir grup için b katsayısı değerinin eşit olması ya da saçılım grafiklerinin aşağı yukarı birbirine benzemesi beklenmektedir. (Bu konuyu regresyon sunumunda detaylı bir şekilde göstereceğiz)
ANCOVA yapabilmek için üç değişkene ihtiyacımız vardır: 1) Bağımlı değişken (örnek: son test) 2) Bağımsız değişken (grup değişkeni) 3) Ortak değişken (örnek: ön test)
Bu sunumda ANCOVA analizleri için yandaki veri kullanılmıştır. Bu veride 1 den 500 e kadar numara (ID) verilen öğrencilerin matematik testi puanı (BAĞIMLI DEĞİŞKEN) ve MOSAIC testi puanı (ORTAK DEİŞKEN) ile babalarının eğitim düzeylerini içeren BabaEgitim (1 = Ortaokul ve altı, 2 = Lise Mezunu, 3 = Yüksek okul, and 4 = Üniversite ve üzeri) değişkenleri kullanılmıştır.
SPSS programında ANCOVA yapabilmek için yandaki menüleri kullanabiliriz.
Açılan Univariate ekranında ANCOVA analizleri için ANOVA da olduğu gibi bir bağımlı değişken (dependent) ve bir de grup değişkeni (fixed factor) girmemiz gerekmektedir. ANCOVA da ANOVA ya ek olarak covariate (ortak değişken) girmemiz gerekiyor.
Yandaki resimde görüldüğü üzere Bağımlı değişkene MatematikPuanı grup değişkenine BabaEgitim ve Ortak değişken kısmına da MosaicTestPuanı giriliyor.
Ortak değişkeni (MOSAIC test puanını) kontrol ettikten sonra, matematik puanları açısından baba eğitim düzeyi farklı olan öğrenciler (gruplar) arasında bir fark var mıdır? H0: MOSAIC test puanını kontrol ettikten sonra, matematik puanları açısından baba eğitim düzeyi farklı olan öğrenciler (gruplar) arasında anlamlı bir fark yoktur. Ha: MOSAIC test puanını kontrol ettikten sonra, matematik puanları açısından baba eğitim düzeyi farklı olan öğrenciler (gruplar) arasında anlamlı bir fark vardır.
SPSS te Compare Means menüsünden eldeki veriyle aşağıdaki ANOVA tablosunu elde ederiz. SPSS te General Linear Model menüsüne covariate eklemediğimiz zaman ANOVA elde ederiz. Görüldüğü üzere içerisinde covariate/ortak değişken olmayan ANCOVA ANOVA ya eşittir.
ANOVA da çoklu karşılaştırma yapabilmemiz için post hoc testleri vardı. ANCOVA da post hoc testleri ortak değişken için yapılamamaktadır. Karşılaştırmalar yapabilmek için post hoc yerine SPSS teki contrast menüsü kullanılmaktadır.
Simple contrastını seçerseniz referans olarak seçtiğiniz grup ile diğer grupların ikişerli karşılaştırmasını elde edersiniz. Referans grubunuz en küçük değere sahip olan mı (first) yoksa en büyük değere sahip olan mı (last) onu burada belirtmelisiniz.
Karşılşatırma yapmak istemezseniz None seçeneğini seçebilirsiniz.
Post hoc karşılaştırma yapmanın başka bir yolu da options menüsü içerisinde estimated marginal means kısmını kullanarak düzeltilmiş ( adjustment kısmında) post hoc testine (LSD, Bonferoni, Sidak) karar vermek.
SPSS te otomatik olarak seçilen LSD (düzeltilmemiş) yani Tukey LSD post hoc testinin uygulanmasıdır (tavsiye edilmez). İkinci seçenek Bonferroni düzeltmesi (tavsiye edilir). Üçüncü seçenek de Sidak düzeltmesidir bu da Bonferroni düzeltmesinden daha az tutucudur (less conservative). Eğer Bonferroni yöntemindeki güç kaybını yaşamak istemiyorsanız bu yöntemi seçebilirsiniz.
Ayrıca options menüsünden betimleyici istatistikler, homojenlik testi ve parametre tahmini gibi bulgular da elde edilebilir.
Yanda verilenler her bir grup için hesaplanan düzeltilmemiş ortalama değerleridir (MatematikPuanı).
Aşağıdaki Levene s test sonucuna göre gruplar arası varyans homojenliği varsayımının sağlandığını söyleyebiliriz. F(3, 496) = 1.102, p =.348. Yani, p (.348) > α (.05).
ANCOVA sonuçlarını yorumlamadan önce regresyon eğrilerinin homojenliğini test etmemiz gerekmektedir. Bunu test etmenin bir yolu da grup değişkeni ile ortak değişken arasındaki etkileşime (interaction) bakmaktır. Etkileşim değişkeninin anlamlı çıkması ANCOVA sonuçlarını anlamsız kılacaktır. Eğer etkileşim değişkenimiz istatistiksel olarak anlamlı çıkmazsa o zaman regresyon eğrilerinin homojenliğinin sağlandığı söylenebilir. Bizim verimizde etkileşim değişkeni Model menüsünde babegitim*mosaic şeklinde girilir.
Yandaki tablodaki sonuçlar etkileşim değişkeninin anlamlı çıkmadığını ( F(3, 492) =.645, p =.587). Yani, p (.587) > (.05). Bu sonuca göre eldeki veri ile ANCOVA yapılabileceğini söyleyebiliriz.
Varsayımlar sağlandığına dair kanıtlarımızı elde ettikten sonra asıl ANCOVA analizlerine geçebiliriz.
Aşağıdaki Tabloda öncelikli olarak bakmamız gereken yer ortak değişkenin (MOSAIC testpuanı) anlamlı çıkıp çıkmadığıdır. Eğer ortak değişken anlamlı ise ortak değişkenin bağımlı değişken üzerinde etkisi olduğu söylenir. Eğer ortak değişken anlamlı çıkmazsa bu ortak değişkene ihtiyacımız olup olmadığı sorusunu sormamız gerekebilir. Bizim verimizde MosaicTesPuanı (ortak değişken) anlamlı çıktığı için mosaictestpuanı ile MatematikTestPuanı arasında anlamlı bir ilişkiden söz edebiliriz.
ANCOVA Tablosunda ikinci bakmamız gereken yer de ANOVA da yaptığımız gibi grup değişkeninin anlamlı çıkıp çıkmadığıdır. Önceki slayttaki tabloya bakarsak BabaEgitim düzeyi değişkeninin anlamlı çıktığını söyleyebiliriz (F(3, 495) = 12.338, p <.05). Bu test değeri bizi araştırmamızdaki sıfır hipotezini reddeden bir sonuca götürür. Bu test grupların düzeltilmiş ortalama değerleri (Estimated Marginal Means kutusunda rapor edilen) arasındaki farklılığı test etmektedir: 11.170 (ortaokul ve öncesi), 12.386 (lise mezunu), 13.196 (yüksekokul), and 15.606 (üniversite ve üzeri).
Bir önceki slayttaki test aşağıda verilen tahmin edilen marjinal ortalamaların (Estimated Marginal Means) gruplar arasında farklılaşıp farklılaşmadığını göstermektedir.
Burada tüm gruplar birbirleriyle karşılaştırılmıştır. Daha önce yorumladığımız gibi eğer p değeri 0.05 ten küçük ise karşılaştırılan iki grup arasında anlamlı bir fark bulunmaktadır diyebiliriz.
Aşağıdaki tabloda ANCOVA nın regresyon kısmına ait analiz sonuçlarını görmektesiniz. Bu bulgular regresyon konusu işlendikten sonra daha iyi anlaşılacaktır.
Yorumu: Verideki dört BabaEğitim Düzeyinin (mosaic test puanı kontrol edildikten sonra) bağımlı değişkendeki yani matematik test puanındaki varyasyonun/çeşitliliğin %6 sını açıkladığını söyleyebiliriz.
Sonuçlara göre ortak değişken kontrol edildikten sonra ana etki (main effect) değişkeni anlamlı bulunmuştur. APA formatına göre aşağıdaki şekilde rapor edebiliriz:
ANCOVA Varsayımları Sağlanmazsa t-testinde ve ANOVA daki gibi SPSS te kolayca uygulanabilen nonparametrik verisyonlar bulunmamaktadır. Robust metotlar dediğimiz daha dirençli analizleri tercih edebiliriz. Bu yöntemlerin uygulanması uygulamacılar için kolay olmamaktadır. ANCOVA yı da regresyonun bir versiyonu olarak düşünürsek Robust Regresyon yaparak bu problemi çözebiliriz.