KESİR DERECELİ TÜREVİN YENİ YAKLAŞIMININ ÖZELLİKLERİ

Gzi Üi. Müh. Mim. Fk. Der. Jourl o he Fculy o Egieerig d Archiecure o Gzi Uiersiy Cil, No, 487-5, 5 Vol, No, 487-5, 5 KESİR DERECELİ TÜREVİN YENİ YAKLAŞIMININ ÖZELLİKLERİ Ali KARCI İöü Üiersiesi, Mühedislik Fkülesi, Bilgisyr Mühedisliği Bölümü, 448, Blgzi, Mly li.krci@iou.edu.r Geliş/Receied: 7..4; Kbul/Acceped: 9.6.5 ÖZET Türe krmı yklşık yıllık bir geçmişi ol koudur. Türei kesir dereceli olı d uzu bir geçmişi ol koudur e üzeride çok zl syıd çlışm ypılmışır. Buu sebebi ise, iziksel sisemleri kesir dereceli üre ile dh iyi ide edilebileceği; klsik ürei yerel modellemeye yrdığıı, kesir dereceli ürei ise, globl modellemeye yrdığıı ory koulmsıdır. Fk lierürde yer l kesir dereceli üre yöemlerii eksiklikleri bulumkdır. Bu eksiklikler bu çlışmd kısc göserildike sor Krcı rıd yılıd kesir dereceli üre içi ypıl yei ım erilecekir. Od sor bu yei ımı klsik üre ile ol ilişkisi ory koulduk sor üre içi erile yei ımı bzı öemli özellikleri üzeride durulckır. Türe işlemii soucu ekörel büyüklük e krmşık syılr d ekörel büyüklükler olduklrıd bu iki krm rsıd bir ilişkii olmsı gerekir. Bu çlışmd bu ilişki deylı olrk ory koulckır. Ahr Keeler: Türe, kesirli rimeik, kesir dereceli üre THE PROPERTIES OF NEW APPROACH OF FRACTIONAL ORDER DERIVATIVE ABSTRACT Deriie cocep hs go bou -yers hisory. The rciol order deriie cocep lso hs go logerm hisory d here re my sudies o his cocep. The reso or hese sudies is he belie o beer modellig he physicl sysems wih rciol order deriie; he clssicl deriie is beeicil o model he physicl sysems loclly d he rciol order deriie is beeicil o model physicl sysems globlly. Howeer, he rciol order deriie mehods i lierure he deiciecies. I his sudy, hese deiciecies were briely demosred d he ew pproch or rciol order deriie which ws deeloped by Krcı i, will be gie. Aer h, he relioships bewee clssicl deriie d his ew pproch will be illusred d he some properies o his ew deiiio will be gie. There mus be relioship bewee resuls o deriie process d comple umbers sice he resul o deriie is ecoril mgiude d comple umbers re lso ecoril mgiudes. This relioship will be gie i deil i his sudy. Keywords: Deriie, rciol clculus, rciol order deriie. GİRİŞ INTRODUCTION Fiziksel sisemleri memiksel modelii oluşurulmsı, çoğu zm üre krmı ihiyç duyr, çükü sisemlerdeki değişimleri ide edebilmek içi bu krm ihiyç rdır. Eğer bir sisemde değişim söz kousu değilse, o sisemle ilgili çok bir şey ypmy gerek olmyckır. Alizi e liz souçlrı öemli ol sisemler dimik sisemlerdir. Bu sisemler çoğu zm kedisii hâlihzırdki durumu e değişimi ile berber ide edilebilir. Bu mçl ilk çlışmlr Newo,

A. Krcı Kesir Dereceli Türei Yei Yklşımıı Özellikleri L Hospil, Abel, Euler, Riem,.b. rıd ypılmışır. Kısc sisemleri modelii oluşur bğıılrı/oksiyolrı simpoik drışlrıı icelemek içi bğımsız değişkelerde meyd gele e küçük değişikliklere bğııı/oksiyou epkisii icelemişlerdir [], [], [], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [], [], [], []. Türe krmıı ilk kull bi dmı Newo dur. Isc Newo, klsik mekiği emellerii sir ederke bğımsız prmerelerde meyd gele değişikliklere krşılık bğımlı prmerei cebıı icelemek içi ilk olrk üre krmı bşur bi dmlrıd biridir []. Newo bu çlışmlrıı Philosophiæ Nurlis Pricipi Mhemic dlı kip oplmışır e bu kip Newo u geomerik isplrı, yerçekimi kuei kuu e küle çekimi kueleri ile ilgili koulr bulumkdır. Newo d sor bşk bi dmlrı d üre krmı ile ilgilemişlerdir. L Hospil diersiyel rimeike e diersiyel geomeride öemli çlışmlr ypmış bir bi dmıdır [], []. L'Hôpil, Newo u çlışmlrıı değişim rimeiği riio o clculus olrk geelleşirmişir. Leibiz de bu l ilgi duy öemli bi dmı olup yı zmd diersiyel rimeik e sosuz rimeik ile de ilgilemişir [4]. Sdece Newo, L Hospil e Leibiz ürele ilgilememişler; bulrd bşk bi dmlrı d bu ll ilgilemişler [5] e iki prmeredeki değişimi orıı çıklmy çlışmışlr e bu durum bğıılrı/oksiyolrı simpoik drışlrıı icelemede öemli bir yere shipir. Foksiyolrı simpoik drışlrıı icelemek içi bğımsız prmerelerde meyd gele çok küçük değişimleri bğımlı değişkede oksiyod meyd gele değişimi icelemesi gerekir. Türe krmı iziksel lm olrk hreke lmı gelebilir e buu soucud üre krmı ile okı, doğruu e düzlemi hrekeii geomerisi üzerie çlışmlr ypılmışır [6]. Türe krmı yklşık üçyüz yıldır üzeride çlışıl bir koudur. Newo, L Hospil e Leibiz üre krmı ile ilgileirke üre işlemide dereceyi olrk lmışlrdır. Bu kou birçok bi dmıı dikkii çekmişir e ürei derecesii de rklı olbileceği üzeride durulmuşur. Bu şekilde çlışm yp ülü bzı memikçiler Newo, L Hospil, Leibiz, Euler, Abel, Cpuo, Riem, Grüwld, Miller, Ross,.b. [7], [9], [8], [4]. Bu koud ypıl çok syıd çlışmd sor kesir dereceli üre krmı meyd geldi, k güümüzde kesir dereceli üre krmıı büü problemleri heüz m olrk çözülmemişir. Buul birlike bu ld ypılmış çok syıd çlışm bulumkdır; bulrd bzılrı kesirli rimik [5], [6], kesir dereceli iegrl e üre [7], [8], geelleşirilmiş kesirli rimeik [9], kesir dereceli iegrl e posiyel [], kesirli osilör e Mig-Leler oksiyolrı [], kesirli gelişim süreçleride Mig-Leler oksiyolrıı kullımı [], kesirli rimeik e dlglr [], kesir dereceli diersiyel deklemler [4], kesirli dereceli iegrl e ürei iziksel lmı [5], kesirli rimeike yrık doğrud yöemler [6], Riem-Liouille kesirli rimeiği [7], kesirli rimeik içi kesirli kue yklşımı [8], kesir dereceli diersiyel deklemler [9], kesirli rimeik içi lgorimlr [], kesirli rimeik e kesir dereceli diersiyel deklemler içi umerik yöemler [] e kesir dereceli koik sisemler üzeride ypıl çlışmlr []. Foksiyolrı simpoik drışı oksiyolrd bğımlı değişkei değişimii bğımsız değişkedeki değişime ol orı - üre sisem modeli hkkıd deylı bilgi ermekedir e bu mçl güümüze kdr ypıl çlışmlr soucud kesir dereceli üre krmıı gelişmesi sğlmışır. Bud dolyı kesir dereceli üre krmıı çıkış oksı iki husus izh edilebilir. Belli bir dım kdr klsik yoll üre ldık sor od sorki dımd üre derecesii reel syı kbul edilmesi b bir oksiyo olmk üzere bu oksiyou [,b],,br, rlığıd sürekli olduğu rsyılsı. << e R + içi oksiyou =b+ oksıd sürekli değildir. Süreklilik bölgesii geişleilmesi mcıyl oksiyouu =b+ oksıd sürekli olduğu rsyılır. Od sor oksiyouu =b+ oksıd d sürekli olduğu rsyılır. Bu şekilde dem edilerek oksiyou =b+, >>, R + oksıd d sürekli olduğu rsyılır. Bu şekilde süreklilik kousud bir seri elde edilmiş Lierürde kullıl kesir dereceli üre ımlrı bu süreklilik geişlemesii kullmkdırlr. Türe derecesii msyı olduğu kbul edildike sor üre işlemii belli bir dım kdr ilerleike sor dereceyi reel kbul emek belli bşlı eksikliler e hlr geirmekedir. Bu eksiklikleri gidermek mcıyl bzı çlışmlr ypılmışır [], [4], [5], [6]. 488 Gzi Üi. Müh. Mim. Fk. Der. Cil, No, 5

Kesir Dereceli Türei Yei Yklşımıı Özellikleri A. Krcı Bir oksiyou değişimii bğıısı, bir kykçıı rmp üzerideki hrekeie ey bir horumd zyikli suyu horumd çıkrke gösermiş olduğu hreke, bğıı/oksiyod meyd gele değişime bezerdir. Bu sebeplerde dolyı bu çlışmd kesir dereceli üre içi yei bir yklşım ory kouldu. Od sor bu yei ımı yklşımı klsik üre ile ol ilişkisi ory koulduk sor üre krmıı krmşık syılrl ol ilişkisi ory kouldu, çükü hem üre işlemii soucu e hem de krmşık syılr ekörel büyüklüklerdir, bud dolyı ikisi rsıd bir ilişki olmlıdır. So olrk bu yei yöemi özellikleri üzeride duruldu. Bu mklei ypısı şu şekildedir. İkici bölümde kesir dereceli üre yöemleri üzeride duruldu. Üçücü bölümde kesir dereceli üre içi yei bir ım ory kouldu e dördücü bölümde bu yei yklşımı özellikleri ory kouldu. So olrk bu çlışm beşici bölüm ile souçldırıldı.. KESİR DERECELİ TÜREV YÖNTEMLERİ FRACTIONAL ORDER DERIVATIVE METHODS Lierür icelediğide kesirli derecede ürelerle ilgili olrk çok syıd çlışm ypılmış olduğuu e çlışmlrı güümüzde de yoğu bir şekilde dem eiğii görmekeyiz. Kesirli ürele ilgili 7 lu yıllrd güümüze kdr rklı şekillerde ımlr ypılmışır. Ypıl ımlr e yklşımlr kısc değiilecek olurs; L.Euler 7 ımı: d d m m m m... m ormülüü gmm oksiyouu kullrk d d m m m m şeklide bir ım ypmışır. Gmm oksiyou ımı şğıdki deklem erilmişir. z z e d şeklidedir. b Riem-Liouille ımı: d d D d şeklide ımlmışır. c Cpuo 967 ımı: 4 C d D şeklidedir. 5 Yukrıd sözü edile kesirli derecede üre ımlrıı eksikleri y d yeersizlikleri =, =si, =cos e =c, cr, oksiyolrı iceleerek doğrud göserilebilir. Bir birim oksiyo içi bğımlı değişkede meyd gele değişimi bğımsız değişkede meyd gele değişime orı üre derecesi e olurs olsu olmlıdır, k lierürde erile kesir dereceli üre yöemlerie göre Şekil de görüldüğü gibi bu durumu geçerli olmdığı görülmekedir. Bu çlışmd öerilecek ol kesir dereceli üre yöemi ile bu iddiı doğruluğu ory koulckır. Şekil de = oksiyou e ou Riem-Liouille kesirli derecede ürelerie i grikler erilmişir. Şekil de ise = oksiyou Riem-Liouille yöemie göre kesir dereceli üreleri görülmekedir. Bu şekilde de görüleceği gibi sbi oksiyou üreleri değişkee bğlı çıkmkdır; k şu d bir gerçekir ki sbi oksiyod hiçbir zm değişim olmz, eğer olsydı sbi oksiyo deilmezdi. Bu çlışmd öerile kesir dereceli yöem ile üre derecesi e olurs olsu sıır olduğu göserilecekir. Ele lı örekler e yöemler gösermekedir ki lierürdeki kesir dereceli üre yöemlerii öemli eksiklikleri bulumkdır. Bulrı e briz olı oksiyou sıır oklrı ile ürei sıır oklrıı yı olmsı e değişmemesidir. Belli bşlı oksiyolrd ol cos e si oksiyolrıı Riem-Liouille meodu ile elde edilmiş kesir dereceli üreleri sırsı ile Şekil e Şekil 4 de görülmekedir. Her iki grike de görüldüğü gibi oksiyolrı sıır oksıdki değerleri ile ürelerii sıır oksıdki değerleri yı olmkdır; k bilie bir gerçek rdır ki si oksiyou ürei cos olup bu oksiyolr sıır oksıd yı değeri ermemekedirler, oksiyolr birbirlerie göre y / derece öde y d / derece geride olmkdırlr. Şekil e cos oksiyou Riem-Liouille yöemi ile kesir dereceli üreleri görülmekedir. Grik icelediğide, bir üre işlemi olmk ziyde oksiyou gelik olrk rıp/zldığı görülmekedir. Ayı durum Şekil 4 de erile =si oksiyou içi de geçerlidir. Burd d si oksiyou gelik olrk rıp/zldığı görülmekedir. Bud dolyı Riem-Liouille yöemi ile elde edile souçlr bir üre lm işlemi olmyıp eğri uydurm y d eğri yklşımı olrk sir edilmelidir. Souç olrk kesir dereceli üre içi yei bir ımlmy y d yklşım ihiyç duyulmkdır. Gzi Üi. Müh. Mim. Fk. Der. Cil, No, 5 489

A. Krcı Kesir Dereceli Türei Yei Yklşımıı Özellikleri Şekil. = oksiyou Riem-Liouille kesir dereceli üreleri Riem-Liouille rciol order deriies o ucio =. Şekil. = oksiyou Riem-Liouille kesir dereceli üreleri Riem-Liouille rciol order deriies o ucio =. 49 Gzi Üi. Müh. Mim. Fk. Der. Cil, No, 5

Kesir Dereceli Türei Yei Yklşımıı Özellikleri A. Krcı Şekil. =cos oksiyou Riem-Liouille meodu ile kesir dereceli üreleri Riem-Liouille rciol order deriies o ucio =cos. Şekil 4. =si oksiyou Riem-Liouille meodu ile kesir dereceli üreleri Riem-Liouille rciol order deriies o ucio =si. Gzi Üi. Müh. Mim. Fk. Der. Cil, No, 5 49

A. Krcı Kesir Dereceli Türei Yei Yklşımıı Özellikleri 49 Gzi Üi. Müh. Mim. Fk. Der. Cil, No, 5 Bu yöemleri sbi e birim oksiyolr içi liik souçlrı d gösermekedir ki bu yöemleri ursızlıklr içermekedirler. = e olrk lııp e = olduğud Euler ımı göre: d d m m d d m m 6 Riem-Liouille ımı göre cd d d D d d d D 7 Cpuo ımı göre: C d d D 8 olduklrı görülmekedir. Deklem, e görüldüğü gibi Euler e Riem-Liouille ursız yöemler olup Cpuo ımıı ise urlı olduğu söyleebilir. Ayı işlemler birim oksiyo içi de ypılck olurs: Euler ımı göre: 4 d d Riem-Liouille ımı göre: 4 9 4 d d d d d d D d d d D Cpuo ımı göre: d d D C olduklrı görülmekedir. Bu souçlrd hrekele üç yöemi de = oksiyou içi ursız e iki yöemi de = içi Euler, Riem-Liouille ursız souç ermelerii kyğıı üre işlemideki ksyı e kue prmerelerie yoğulşılmış olmlrıd kykldığıı söyleyebiliriz. Diğer bir öemli ok d, ypıl üre işlemleride ksyı kısmı msyı olrk kbul edilip o şekilde bir ormül elde edilmekedir. Sorsıd ise iseile bir okd ürei kesirli olduğu kbul edilmekedir. Bu şekilde elde edile bğıılrı, kesirli ürede çok, eğri uydurm bğıısı olrk kbul edilmesi dh doğru olckır. Bir sorki bölümde kesir dereceli üre işlemi içi yei bir ımlm e yöemi deylrı erilecekir.. FONKSİYONLARIN DEĞİŞİM ORANININ KESİR KUVVETLERİ KESİR DERECELİ TÜREV FRACTIONAL POWERS OF RATIOS OF FUNCTIONS CHANGES FRACTIONAL ORDER DERIVATIVE Foksiyolrı, bğımsız değişkelerde meyd gele değişime epkisii biliiyor olmsı, o oksiyo ile modellee bir sisemi drışıı hmi ememizi kolylşırır. Türe geel olrk bğımlı değişkedeki değişimi bğımsız değişkeleri biride meyd gele değişime ol orı olrk ımlmışır. Bu or işlemi gerçekleşirilirke hem oksiyou rklı değerlerii kueleri e hem de bğımsız değişkei kueleri olrk lımkdır. Şekil 5 de bir kykçıı rmp üzeride hız eğrisii kbc şeklii sıl olcğı erilmişir. Kykçıı hız eğrisie bkılırs, her okdki hız değişimi yı olmdığı gibi eşi zm rlıklrıd lmış olduğu yol mikrlrı d yı değildir. Öemli ol bir ok r; o d bu hız değişimii erelerde sıır e erelerde mksimum ulşığıı biesi durumudur. Hız eğriside miimum e mksimum oklrd hız değişimi sıırdır e eğrii döüm oksıd ise, değişim mksimum değere ulşmkdır. Bud dolyı üre derecesi e olurs olsu, bu değişimleri korumsı gerekir.

Kesir Dereceli Türei Yei Yklşımıı Özellikleri A. Krcı Şekil 5. Kykçıı lm rmpsı üzerideki hızıı eğrisi The moeme o hlee o he ski-jump rmp Türe krmıı klsik ımı h h h şeklide olup +h,, +h e erimlerii kueleri olrk erilmişir. Bu durum Krcı Krcı b rıd rkedilmiş e şğıd deyı erile mık ile kesir dereceli üre içi yei ım ypılmışır. Burd Krcı rıd ypıl yei ım erildike sor griksel lmı üzeride durulckır. Kesir dereceli üre içi iki rklı yöem ory koulbilir Krcı, b çlışmsıd olduğu gibi. Birici yöem: h h h ' şeklide Bu souç bilie ürei α kueidir. İkici yöem ise, +h,, +h e erimlerii kuelerii yrı-yrı α olmsı durumudur Krcı, b çlışmsıd olduğu gibi. Krcı ı b çlışmsıdki kesir dereceli üre içi yei yklşımıı ımı burd erilebilir. Tım : Krcı, b :R R bir oksiyo, αr e L. L Hospil işlemii emsil emek üzere oksiyou kesirli ürei h L h h d h dh h d h dh şeklide ımlır. ' Kesir dereceli üre içi erile bu ımd üre derecesi herhgi bir değer olbilir. H üre derecesi α krmşık syı bile olbilir. Bu şekilde lı bir üre işlemide operör rık doğrusl değildir e doğrusl olmy bir operör durumu gelmekedir. Ayı zmd klsik üre işlemide kullıl birici üre, ikici üre,,.b. ideler kullılmyckır, çükü α= olmsı ikici üre lmı gelmiyor. Öreği = olmk üzere d e d d olduğud olckır. d Bu yei ım göre kesir dereceli ürelere kesirli üreler grikler üzeride bkılbilir. Bir oksiyou üre oksiyou ürei lı oksiyou döüm oklrıd mksimum/miimum oklrı ship olckır. Bu mçl grik souçlrı lıck ol oksiyolr cos e si şeklidedir. Şekil 6 e Şekil 7 de görüleceği gibi cos oksiyouu döüm oklrıd üre oksiyolrı derecei e olduğu öemli değil mksimum/miimum oklr shipir. Bu durum kesirli üre içi ypıl yei ımı doğruluğuu gösermekedir. Diğer bir öemli ok, yei ımd d ürei derecesi olduğu durumd klsik üre ile yı souçlrı ermekedir. Şekil 6 e Şekil 7 de görüle griklerde küçük kırmızı çemberler döüm oksıı e küçük siyh elms şekli ise miimum/mksimum oklrı gösermekedir. Gzi Üi. Müh. Mim. Fk. Der. Cil, No, 5 49

A. Krcı Kesir Dereceli Türei Yei Yklşımıı Özellikleri Şekil 6. cos oksiyou kesir dereceli.6,.7,.8 üreleri e mksimum/miimum oklrı Frciol order.6,.7,.8 deriies o cos d is mimum/miimum pois Şekil 7. cos oksiyou kesir dereceli.9,.95, üreleri e mksimum/miimum oklrı Frciol order.9,.95, deriies o cos d is mimum/miimum pois =si rigoomerik oksiyou içi ise, derecei e yklşmsı durumud üreleri miimum/mksimum oklrıı sıl değişiği göserilebilir. Döüm oklrıd üre oksiyolrı mksimum/miimum değerleri lmkdır e bu oklrı değerleri üre derecesie göre değişmekedir. Bu durum gösermekedir ki ypıl ımlm doğru bir ımlm olup üre derecesi olduğu zm kesir dereceli üre soucu klsik üre ile yı olmkdır. Şekil 8 e Şekil 9 d bu durumlr görülmekedir. 494 Gzi Üi. Müh. Mim. Fk. Der. Cil, No, 5

Kesir Dereceli Türei Yei Yklşımıı Özellikleri A. Krcı Şekil 8. si oksiyou kesir dereceli.7,.75,.8 e.85 üreleri e mksimum/miimum oklrı Frciol order.7,.75,.8 d.85 deriies o si d is mimum/miimum pois Şekil 9. si oksiyou kesir dereceli.9,.94,.98 e üreleri e mksimum/miimum oklrı Frciol order.9,.94,.98 d deriies o si d is mimum/miimum pois Gzi Üi. Müh. Mim. Fk. Der. Cil, No, 5 495

A. Krcı Kesir Dereceli Türei Yei Yklşımıı Özellikleri Şekil. =si içi üre decelerii.97,.98,.99 e içi ol souçlrı Deriie resuls or orders.97,.98,.99 d o =si. Türe krmı içi gelişirile yei ım göre Deklem üre derecesi e yklşıkç souç klsik lmdki üre soucu yklşmkdır. Bu durum Şekil d rhlıkl görülmekedir. Türe derecesii.97 olduğu d =si döüm oksıd bir miimum ok görülmekedir. Ayı durum üre derecelerii,98,.99 e olduğu durumlrd görülmekedir = olduğu durum. Şekil dki griklerde de çıkç görülebileceği gibi.97 şeklidedir..98.99 Kısc ' ' 4. KESİR DERECELİ TÜREVİN ÖZELLİKLERİ - YENİ YAKLAŞIM PROPERTIES OF FRACTIONAL ORDER DERIVATIVE NEW APPAROACH Deklem e erile ürei geel ımıd yol çıkrk bzı özellikleri ory koulbilir. Bu yei üre ımıd üre derecesi rsyoel ey irrsyoel olbilir. Teorem. oksiyou birim ey sbi oksiyo olmk üzere Eğer birim oksiyo ise, αr, α =. b Eğer sbi oksiyo ise, αr, α =. İsp: Bu eoremi ispı bsi bir şekilde şğıdki gibi ypılbilir. = ise, ' b =c, cr sbi oksiyo ise, c '. Teorem. :RR,,,Z e durumd şğıdki özellikler sğlır. = içi b =e içi c =si içi d =l içi e e cos dir. si dir. dir. l dir.. Bu İsp: =, bğıısı Deklem e yerie yzılırs ' h h idesi elde edilir. h h 496 Gzi Üi. Müh. Mim. Fk. Der. Cil, No, 5

Kesir Dereceli Türei Yei Yklşımıı Özellikleri A. Krcı h h... h olduğud d h d h h dh h h h... h h dh h e = b =e bğıısı Deklem e yerie yzılırs h de e dh h h h e e e h h h h e e c =si bğıısı Deklem e yerie yzılırs, dsi h si h dh h h cos h si h h h cos si d =l bğıısı bezer şekilde Deklem e yerie yzılırs l h h h h dl h l h dh h h l l Teorem. :RR, R içi α oksiyou krmşık kompleks oksiyodur. İsp: e içi isp lı şr lıd ypılckır. i Eğer R içi e R + {} ise, α oksiyou sdece reel gerçel değerlere ship bir oksiyo olur, çükü ' ' ' Bu durumd üre işlemii soucu reel olckır çükü kök idesii içerisi poziiir. ii Eğer R içi, R - e - ise, α oksiyou içi ' ' e Bu durumd üre işlemii soucu reel olckır çükü kök idesii içerisi poziiir. iii Eğer R içi, R - e -< ise, α oksiyou içi ' ' e Bu durumd üre işlemii soucu içi kök idesii içerisi egi olduğud eğer ek ise souç reel olckır; eğer çi ise, souç krmşık kompleks olckır. e i Eğer R içi <, R - oksiyou içi ' ',,, ise, α Gzi Üi. Müh. Mim. Fk. Der. Cil, No, 5 497

A. Krcı Kesir Dereceli Türei Yei Yklşımıı Özellikleri e Bu durumd üre işlemii soucu içi kök idesii içerisi pozii olduğud souç reel olckır. Eğer R içi <, e R + {} ise, α oksiyou içi d d. d Bu iki idei orlmsıd sor değeri elde edilirse, ideler eşi lmı gelir; eğer elde edilmezse, bu ideler eşi değildir. ' ' Eğer - ek ise, kök idesii içerisi egi Bu durumd eğer ek ise üre işlemii soucu reel olckır. Eğer çi ise, kök idesii içerisi egi olduğud üre işlemii soucu krmşık i Eğer R içi <, e R + {} ise, α oksiyou içi, içi d d d d ideler birbirie eşi. ' ', e Türe işlemii rklı kueler ile yrı-yrı gerçekleşirilmesi ile kueleri oplmsı ile elde edile kuee göre üre lımsı eşi olmyckır. Eğer - çi ise, kök idesii Bu durumd üre işlemii soucu reel Teorem 4: :RR, α, R olmk üzere şğıdki durumlr sğlır. Eğer α ise, α. b Eğer α= ise, α =. c. İsp: Teoremde erile iddilrı ispı şğıdki gibi b d e d d. d Bu iki idei orlmsıd sor değeri elde edilirse, ideler eşi lmı gelir; eğer elde edilmezse, bu ideler eşi değildir. c d e d d e d d d Toplm göre üre olckır. Bu durumd d d d d d d d d d d d d d d 498 Gzi Üi. Müh. Mim. Fk. Der. Cil, No, 5

Kesir Dereceli Türei Yei Yklşımıı Özellikleri A. Krcı Teorem 5: :RR, αr olmk üzere eğer α= ise, α d İsp: oksiyou ikici ürei olur e d d d d d d d Bu durumd d d Teorem 6: :RR, αr e α>, e, psisleri oksiyou opimum oklrı olduğu kbul edilsi. Bu durumd kesir dereceli üre ile ilgili iki durum söz kousudur. Eğer mksimum e miimum e, döüm oksı ise, b, içi α α b b Eğer miimum e mksimum e, döüm oksı ise, b, içi α α b İsp: α, R e << olsu. Türe işlemii derecesi α olsu. h h h Bu durumd b = + içi b = + içi +=, b = +- e Z + içi olur e, rlığı içi eşilik doğrudur. b Türe işlemii derecesi α olsu. b = + içi +=, b =+-, e Z+ içi 5. SONUÇLAR CONCLUSIONS Güümüze kdr ypıl kesir dereceli üre ımlrı e yklşımlrı ürei ımı ol msyı ürei dem eirilmesi çbsı soucud eksik ey hlı souç ere yöemler ory çıkmsı sebep olmuşur. Bu sebepe dolyı ypıl kesir dereceli üre ımlrıı hepsi kesir dereceli üre olmyıp eğri uydurm işlemi olduğu kesidir. Eğer böyle olmsydı, lierürde kullıl yöemleri bşıd gele Euler, Riem-Liouille e Cpuo yöemlerii eksiklikleri bu mkle çlışmsıd ory koulmzdı. Bu çlışmı soucud lierürdeki kesir dereceli üre ımlrıı üre ımı olmyıp eğri uydurm işlemi olduğu kesidir. Çükü üre ımıd i olrk bğımlı değişkei değişim orıı bğımsız değişkei değişim orı ol orıdır. Gzi Üi. Müh. Mim. Fk. Der. Cil, No, 5 499

A. Krcı Kesir Dereceli Türei Yei Yklşımıı Özellikleri Bu mkle çlışmsıd kesir dereceli üre içi ım ory koymk, diğer kesir dereceli üre ımlrıı eksikliklerii ory koymk e od sor kesir dereceli ürei özellikleri ory koymk olrk özeleebilir. Kesir dereceli üre içi ypıl yei ımd üre derecesi yklşıkç klsik ürei özelliklerii ory koyr; diğer durumd klsik ürede rklı özellikler ory koymkdır, çükü gelişirile yei ım soucud doğrusl olmy bir üre ımı ory çıkı. Kesir dereceli ürede derece oluc operör doğrusl olmkdır; ksi hlde doğrusl olmy bir üre operörü KAYNAKLAR REFERENCES. Newo, I., Philosophiæ Nurlis Pricipi Mhemic, 687.. L'Hôpil, G., Alyse des Iiime Peis pour l'ielligece des Liges Courbes "Iiiesiml clculus wih pplicios o cured lies", Pris, 696.. L'Hôpil, G., Alyse des iieme peis, Pris 75. 4. Goldebum,U., Jesseph,D., Iiiesiml Diereces: Coroersies bewee Leibiz d his Coemporries, New York, 8. 5. Bro, M.E., The Origi o he Iiiesiml Clculus, New York, 969. 6. Wre, F.L., Grre, J.A., The Deelopme o he Fudmel Coceps o Iiiesiml Alysis, The Americ Mhemicl Mohly, Cil 4, No 5, 69-9, 9. 7. Bliss, G.A., The Eoluio o Problems o he Clculus o Vriios,The Americ Mhemicl Mohly,Cil 4, No, 598-69, 96. 8. Tylor, A.E., L Hospil Rule, The Americ Mhemicl Mohly, Cil 59, No, -4, 95. 9. Sewr, J.K., Aoher Vriio o Newo's Mehod, The Americ Mhemicl Mohly, Cil 58, No 5, -4, 95.. Mulligs, M.E., The Roiol Deriie d Some Applicios, The Americ Mhemicl Mohly, Cil 4, 4-47, 97.. Dushik, B., A Geerlizio o he Deriie o Fucio, The Americ Mhemicl Mohly, Cil 4, 44-49, 95.. Newsom, C.V., O he Deriie o w/siw k w=, The Americ Mhemicl Mohly, Cil 8, 5-54, 9.. McKier, M., O he h Deriie o Composie Fucios, The Americ Mhemicl Mohly, Cil 6, -, 956. 4. Ds, S., Fuciol Frciol Clculus, Spriger-Verlg Berli Heidelberg,. 5. Herrm, R., Frciol Clculus: A Iroducio or physiciss, World Scieiic, GigHedro, Germy,. 6. Oldhm, K.B., Spier, J.,The Frciol Clculus, Acdemic Press, New York, 974. 7. Smko, S.G., Ross, B., Iegrio d Diereiio o Vrible Frciol Order, Iegrl Trsorms d Specil Fucios, Cil, No 4, 77, 99. 8. Smko, S.G., Kilbs, A.A., Mriche, O.I., Frciol Iegrls d Deriies, Trsled rom he 987 Russi Origil, Gordo d Brech, Yerdo, 99. 9. Kiryko, V.S.,Geerlized Frciol Clculus d Applicios, Logm Pim Res. Noes i Mh. Ser., Hrlow; co-publ.: J. Wiley d Sos, New York, 994.. Rubi, B., Frciol Iegrls d Poeils, Pim Moogrphs d Sureys i Pure d Applied Mhemics, ol. 8, Logm, Hrlow, 996.. Gorelo, R., Mirdi, F., Frciol Oscillios d Mig-Leler Fucios, i: Proceedigs o RAAM 996, Kuwi Uiersiy, 9 96, 996.. Mirdi, F., Gorelo, R., O Mig-Lelerype ucios i rciol eoluio processes, J. Compu. Appl. Mh. Cil 8, No -, 8 99,.. Mirdi, F., Frciol clculus d wes i lier iscoelsiciy: A iroducio o mhemicl models, World Scieiic, Sigpore,. 4. Podluby, I., Frciol diereil equios, Acdemic Press, New York, 999. 5. Podluby, I., Geomeric d physicl ierpreio o rciol iegrio d rciol diereiio, Frciol Clculus d Applied Alysis, Cil 5, No 4, 67 86,. 6. Pooseh, S., Almeid, R., Torres, D.F.M., Discree direc mehods i he rciol clculus o riios, Compuers d Mhemics wih Applicios, Cil 66, No 5, 668-676,. 7. Mireski, S.P., Boydjie, L., Scherer, R., O he Riem-Liouille Frciol Clculus, g- Jcobi Fucios d F.Guss Fucios, Applied Mhemics d Compuio, Cil 87, 5-5, 7. 8. Schioe, S.E., Lmb, W., A Frciol Power Approch o Frciol Clculus, Jourl o Mhemicl Alysis d Applicios, Cil 49, 77-4, 99. 9. Bieh, A.S., Alomri, A.K., Noori, M.S.M., Hshim, I., Nzr, R., Series Soluios o Sysems o Nolier Frciol Diereil 5 Gzi Üi. Müh. Mim. Fk. Der. Cil, No, 5

Kesir Dereceli Türei Yei Yklşımıı Özellikleri A. Krcı Equios, Ac Applied Mhemics, Cil 5, 89-98, 9.. Diehelm, K., Ford, N.J., Freed, A.D., Luchko, Y., Algorihms or he Frciol Clculus: A Selecio o Numericl Mehods, Compuer Mehods i Applied Mechics d Egieerig, Cil 94, 74-77, 5.. Li, C., Che, A., Ye,J., Numericl Approches o Frciol Clculus d Frciol Ordiry Diereil Equio, Jourl o Compuiol Physics, Cil, 5-68,.. A Ö., Türk M., Kesir Dereceli Koik Duig Sisemii Hr Dlgcık Yöemiyle Alizi, Elekrik-Elekroik e Bilgisyr Sempozyumu, Elzığ, Ekim.. Krcı, A., Kesirli Türe içi Ypıl Tımlmlrı Eksiklikleri e Yei Yklşım, TOK- Turkish Auomic Corol Niol Meeig d Ehibiio, Mly/Turkey, s:4-45, Sep.6-8,. 4. Krcı, A., A New Approch or Frciol Order Deriie d Is Applicios, Uiersl Jourl o Egieerig Scieces, Cil, sno, -7,. 5. Krcı, A., Krdoğ, A., Frciol Order Deriie d Relioship bewee Deriie d Comple Fucios, IECMSA- :d Ieriol Eursi Coerece o Mhemicl Scieces d Applicios,Srjeo, Bosi d Herzogoi, 55-56, Aug. 6-9,. 6. Krcı, A., Krdoğ, A., Frciol Order Deriie d Relioship bewee Deriie d Comple Fucios, Mhemicl Scieces d Applicios E- Noes, Cil, No, 44-54, 4. Gzi Üi. Müh. Mim. Fk. Der. Cil, No, 5 5