BAKLAVA ŞEKİLLİ ÇERÇEVELERİN TİTREŞİM,STATİK VE DİNAMİK KARARLILIK ANALİZİ

Uluslararası Katılımlı 7. Makina Teorisi Sempozyumu, İzmir, 4-7 Haziran 25 BAKLAVA ŞEKİLLİ ÇERÇEVELERİN TİTREŞİM,STATİK VE DİNAMİK KARARLILIK ANALİZİ Funa Özil a Hasan Öztürk b Mustafa Sabuncu c Dokuz Eylül Üniversitesi Dokuz Eylül Üniversitesi Dokuz Eylül Üniversitesi İzmir İzmir İzmir Özet Birçok yapıa kullanılan baklava şekilli çerçeve yapılar, statik ve inamik yüklere maruz kalırlar. Bunun sonucuna, burkulma ve inamik kararsızlık problemleri ortaya çıkar. Bu çalışmaa, baklava şekilli çerçeve bir yapının periyoik eksenel yük altınaki üzlem içi statik ve inamik kararlılığı araştırılmıştır. Çerçeve, Euler çubuk kabul eilerek, Sonlu Elemanlar Metou ile moellenmiştir. Dinamik karasız bölgelerinin bulunması için Bolotin yaklaşımı kullanılmıştır. Moelin oğruluğu için, bulunan burkulma ve oğal frekanslar ANSYS programı sonuçları ile karşılaştırılmıştır. Baklava şeklin açısal eğişimin, statik ve inamik yük katsayısının inamik kararsız bölgelere olan etkileri incelenmiştir. Anahtar Kelimeler: Baklava çerçeveler, Burkulma, Dinamik kararlık, Serbest titreşim, Sonlu elemanlar. Abstract Diamon beam shape frames are use in many structures an subjecte to static an ynamic loas. Therfore, ynamic an static stability occurs. In this stuy,in-plane ynamic an static stabilities of iamon beam structures uner the perioic loa are investigate. The iamon shape structure is assume to be an Euler beam an moele by using the Finite Element Metho. Bolotin approach is use for fining the ynamic instable regions. Calculete frequencies an static stability results are compare with ANSYS proggramme results. The effect of angular positon of the iamon shape, static an ynamic loa parameters on the unstable regions are investigate. Keywors: Diamon beam, Buckling, Dynamic stability, Free vibration, Finite element. I. Giriş Çerçeve yapılar, özellikle inşaat mühenisliği alanına yaygın olarak sanayi yapılar, köprüler, gökelenler gibi yapıların iskeleti olarak kullanılmaktaır. Ayrıca inşaat sektörünün yanı sıra türbinlere, otomotiv, havacılık ve çeşitli makine enüstrilerine e çerçeve yapıların kullanımı yaygınır. Çerçeve yapılar çalışma esnasına, çalışma koşullarına göre statik ve inamik yüklere maruz a funaozil.9@gmail.com b hasan.ozturk@eu.eu.tr c mustafa.sabuncu@eu.eu.tr kalırlar ve sonuçta kararsızlık urumları ortaya çıkar. Bu neenle, çerçeve yapılara burkulma(statik kararlılık) ve inamik kararlılık özellikleri ile ilgili birçok araştırma yapılmıştır. Titreşim analizi ise bu araştırmaların en önemli basamağıır.bolotin [], Bernoulli-Euler çubuğunu, oğal frekans ve burkulma(statik karalılık) yüklerini veren iferansiyel enklemleri çözerek incelemiştir. Ayrıca inamik kararsızlık sınırlarını a hesaplamıştır. Park ve Gao [2], Bernouli-Euler çubuğunu, minimum potansiyel enerji prensibini kullanarak çift stres teorisine ayalı olarak moellemişlerir. Falsone ve Settineri [3], Timoshenko teorisine bağlı çubuk için yeni bir sonlu elemanlar yaklaşımı kullanarak çözüm geliştirmiştir. Bernouli-Euler teorisine benzer şekile bir sonlu elemanlar yöntemi kullanmışlar, ancak tek bir örüncü ereceen iferansiyel enklemin Timoshenko kirişin engesini belirleyici olarak kabul eilmesiyle hesap gerçekleştirilmiştir.briseghella, Majorana ve Pellegrino [4], sonlu elemanlar metounu kiriş ve çerçevelerin inamik kararlılık bölgelerini bulmak için kullanmışlarır. Sabuncu ve Şakar [5], homojen rayal periyoik kuvvete maruz simetrik iki kanatlı pervanenin statik ve inamik kararlılığını sonlu elemanlar yöntemini kullanarak incelemiştir. Boyut, kanat açısı, önme hızı gibi çeşitli parametrelerin kararlılığa etkisi sunulmuştur.girgin, Ozmen ve Orakogen [6], üzenli ve üzensiz çerçeve yapılara burkulma yükünün yaklaşık eğerini belirlemek için basitleştirilmiş bir yöntem geliştirmiştir. Bu yönteme çerçevelerin yanal yük analizinen yararlanılmış ve sonuçlar kabul eilebilir %5 lik bir hatayla hesaplanmıştır. Zaslavsky [7], hareketli yük etkisi altınaki ana kiriş ve menteşe ve/veya sabit sütunlaran oluşan kapı çerçevesinin elastik kararlılığını incelemiştir. Thomas ve Belek [8], kanatların serbest titreşim özelliklerini sonlu elemanlar yöntemi kullanarak incelemiştir. Şakar, Öztürk ve Sabuncu [9], periyoik yük altınaki çok bölmeli çerçevelerin üzlem içi inamik kararlılığını sonlu elemanlar yöntemini kullanarak incelemişlerir. Lin ve Ro [] sonlu elemanlar yöntemi ve iğer analitik yöntemlere kullanılan matris boyutlarını azaltmayı amaçlayıp seri üzlem çerçevelerin titreşim analizini gerçekleştirmişlerir. Kawashima [] çerçeve yapılar a elemanlar arasına yarı-katı bağlantılar tanımlayarak titreşim analizini gerçekleştirmiştir.

Uluslararası Katılımlı 7. Makina Teorisi Sempozyumu, İzmir, 4-7 Haziran 25 Baklava şekilli çerçeveler ise çelik binalara ve özellikle iki tekerlekli araçlara kullanılmaktaır. Peterson, Lonry [2] ve Covill, Begg, Elton, Milne, Morris, Katz [3] bisikletlerin baklava ilimi şeklineki göve çerçevelerinin sonlu elemanlar yöntemiyle analizini gerçekleştirmişlerir. Jenkins, Seitz ve Przemieniecki [4], baklava şekilli çerçevelerin büyük yer eğiştirmeleri için oğrusal olmayan çözümlerini yapmıştır. Ayrıca basınç kuvveti altına küçük ve büyük yer eğiştirmeler için kararlılık analizini gerçekleştirmişlerir. Bu bilirie baklava şekli çerçevelerin oğal frekans, burkulma(statik kararlılık) ve inamik kararlılık analizleri Sonlu Elemanlar Yöntemi kullanılarak yapılmıştır. II. Sonlu Elemanlar Formülleri ve Moelin Oluşturulması [5], [6] P(t) h Şekil. Baklava Şekilli Çerçeve Yapı b h=5mm b=2mm L=2mm(boy) A. Boyuna titreşim urumu için elastik irengenlik ve kütle matrisinin bulunması Yer eğiştirme enklemi w(x,t)=[f]{a} () Buraa, [F]=[ x] ve {a}={a a } T sin(wt) (2) Sonlu Elemanın genelleştirilmiş yer eğişme vektörü, {w e }={w w 2 } ve {w e }=[C]{a } (3) şekline yazılır. [C] matrisi Ek e verilmiştir. E() en, w=[f][c] - {w e } (4) eşitliği ele eilir. Bulunan bu yer eğiştirme enklemi Ek e boyuna urum için verilen elastik potansiyel ve kinetik enerji enklemlerine yerine yazılırsa kütle ve elastik irengenlik matrisleri hesaplanabilir. B. Enine titreşim urumu için elastik irengenlik ve kütle matrisinin bulunması Enine titreşim urumu için yer eğiştirme enklemi; u(x,t)=[f]{a}(5) buraa, Şekil baklava şekilli çerçeve yapıyı göstermekteir. Çevreyi moelleme e birbiriyle aynı özelliğe sahip ört aet Euler çubuk kullanılmış ve moel Sonlu Elemanlar Yöntemiyle oluşturulmuştur. Malzeme olarak ise çelik seçilmiştir. Euler çubuk için Sonlu Elemanlar Yöntemine, Şekil 2 e verilen iki üğüm noktalı sonlu eleman ele alınmıştır. Elemanın her bir üğüm noktasına enine ve boyuna yer eğiştirmeler ve önmeler ikkate alınmıştır. u ı (t) u (t) w (t) w(x,t) w 2 (t) x u(x,t) u 2 (t) u 2 ı (t) [F]=[ x x 2 x 3 ] ve {a}={a a a 2 a 3 } T sin(wt) (6) Sonlu Elemanın genelleştirilmiş yer eğiştirme vektörü, {u e }={u u ı u 2 u 2 }, u ı =u/x ve {u e }=[B]{a}(7) şekline yazılır. [B] matrisi Ek e verilmiştir. E() en, u=[f][b] - {u e } (8) E(8) e yer eğiştirme enklemi bulunur. Bu eşitlik Ek e enine urum için verilen elastik potansiyel enerji ve kinetik enerji enklemlerine yerine yazılırsa enine irengenlik ve kütle matrisleri hesaplanır. Boyuna ve enine irengenlik ve kütle matrisleri {w u u ı w 2 u 2 u ı 2} yereğiştirme vektörleri oluşacak şekile üzenlenerek birleştirilirler. C. Geometrik kütle matrisinin bulunması Lineer urum için geometrik matrisin boyuna titreşim ile ilgili terimleri sıfır eğerini alır. Şekil 2. Altı Serbestlik Dereceli Sonlu Eleman(Düzlem içi) 2 [k] boyuna =[] () Enine titreşim urumu için geometrik matris hesabına ise E(8) e verilen yer eğiştirme enklemi

Uluslararası Katılımlı 7. Makina Teorisi Sempozyumu, İzmir, 4-7 Haziran 25 kullanılır. Ek e verilen eksenel kuvvetin yaptığı iş enklemine yer eğiştirme ifaesi yerine yazılarak geometrik matris hesabı yapılır. Boyuna ve enine geometrik matrisleri {w u u ı w 2 u 2 u ı 2} yer eğiştirme vektörleri oluşacak şekile üzenlenerek birleştirilirler ve altı serbestlik ereceli eleman için matris hesabı tamamlanır. [m e ]=[T] T [m e ][T][k e ]=[T] T [k e ][T] [k g ]=[T] T [k g ][T] (2) E(2) matrislerin global koorinat sistemine göre ifae eilişini göstermekteir. Buraa T matrisi transformasyon matrisiir ve Ek e verilmiştir. Enerji enklemleri kullanılarak Lagrange yöntemiyle hareket enklemi yazılırsa; [M e ]{q } + [[K e ] P(t)[K g ]] {q} = (3) P(t)=P o +P t cos(γt) (4) E(3) ele eilir ve Mathieu-Hill iferansiyel enklemi olarak alanırılır. Buraa [K e ], [K g ] ve [M e ] tüm sistem için sonlu elemanlar algoritmasına göre oluşturulmuş global elastik/geometrik irengenlik ve kütle matrisleriir. E(4) ise uygulanan periyoik yükü göstermekteir. Buraa γ uygulanan eksenel periyoik kuvvetin çalışma frekansıır. Kuvvetin statik ve zamana bağlı bileşeni kritik burkulma yükü (P cr ) cinsinen ifae eilebilir. P(t)=αP cr +βp cr cos(γt) (4) E(4) e α statik yük parametresi, β inamik yük parametresiir. Bu enklemeki periyoik kuvvet hareket enklemine yerine yazılırsa, [M e ]{q } + [[K e ] (αpcr + βpcrcos(γt))[k g ]] {q} = (5) E(5) Mathieu-Hill tipineki periyoik sabitlere sahip iferansiyel enklemi göstermekteir. Dinamik kararsız bölgenin sınırları, [[K e ] (α ± β) P 2 cr[k g ] γ2 [M 4 e ]] {q} = (6) (iii) [[K e ]-P cr [K g ]]{q}= (8) Dinamik kararlılık urumu [[K e ] (α ± 2 β) P cr[k g ] γ2 4 [M e ]] {q} = III. Sayısal Uygulama ve Sonuçlar Baklava şekilli çerçevelerin çeşitli açı konumları ve sınır şartı(şekil 3 ve 4) içinoğal frekans, burkulma(statik kararlılık) ve inamik kararlılık analizleri gerçekleştirilmiştir.doğal frekans ve burkulma analizleri aynı moel için ANSYS programına a yapılmış ve sonuçlar karşılaştırılmıştır. A. Doğal frekans analizi Baklava şekilli çerçeve yapının serbest titreşim urumu için şekile gösterilen açısının eğişimine bağlı olarak Sonlu Elemanlar Yöntemi ile analizler gerçekleştirilmiş ve ilk üç oğal frekans eğeriverilmiştir. y SABİT NOKTA Şekil 3. Baklava Şekilli Çerçeve x x= SABİT NOKTA Şekil 4. İlgili Düğüm Noktasınan Sınır Şartı Uygulanmış Gösterimi Serbest titreşim analizi şekil 3 ve şekil 4 e gösterilen iki çerçeve yapı içine yapılmıştır. x= enklemi ile hesaplanır. Bu enklem üç farklı urum için çözülebilir. (i) Serbest titreşim urumu P cr = ve w=γ/2 [[K e ]-w 2 [M e ]]{q}= (7) (ii) Statik kararlılık(burkulma) α=, β= ve γ= 3

Uluslararası Katılımlı 7. Makina Teorisi Sempozyumu, İzmir, 4-7 Haziran 25 Tablo. Şekil 3 eki çerçeve yapı için ilk üç frekans eğeri karşılaştırması Doğal Frekans (Hz) Şekil 4 için mo şekillerinin incelenmesi, Açı f f 2 f 3 Ansys Matlab Ansys Matlab Ansys Matlab 5 66.32 66.365 89.88 89.97 392.3 392.834 3 53.246 53.276 97.5 97.29 346.3 346.686 Şekil 8. Şekil 4 İçinBirinci Mo Şekli 45 43.557 43.579.44.546 353.88 354.442 6 37.724 37.742 3.99 3.97 386.52 387.85 75 34.662 34.677 55.27 55.426 49.2 49.948 Şekil 3 için mo şekillerinin incelenmesi, Şekil 9. Şekil 4 İçinİkinci Mo Şekli Şekil 5. Şekil 3 İçinBirinci Mo Şekli Şekil 6. Şekil 3 İçinİkinci Mo Şekli Şekil. Şekil 4 İçinÜçüncü Mo Şekli Her iki baklava şekilli çerçeve yapı içine hesaplanan oğal frekans eğerleri karşılaştırmalı olarak tablolar a verilmiştir. Sonuçların iyi bir uyum içerisine oluğu görülmekteir. B. Statik kararlılık (burkulma) analizi Baklava şekilli çerçeve yapı için şekile gösterilen açısının eğişimine bağlı olarak kritik burkulma yükü Sonlu Elemanlar Yöntemi ile hesaplanmış ve sonuçlar ANSYS programı sonuçları ile karşılaştırmalı olarak tablolar haline verilmiştir. Sonuçlaran görüleceği gibi gerçekleştirilen program iyi neticeler vermekteir. P Şekil 7. Şekil 3 İçinÜçüncü Mo Şekli Tablo 2. Şekil 4 eki çerçeve yapı için ilk üç frekans eğeri karşılaştırması Açı Doğal Frekans (Hz) f f 2 f 3 Ansys Matlab Ansys Matlab Ansys Matlab 5 34.69 342.98 426.98 439.39 59.3 595.47 3 344.6 344.867 453.76 457.5 594. 596.34 45 344.6 344.87 458.76 46.79 594.45 595.42 6 344.6 343.724 46.42 46.88 594. 59.873 75 34.69 337. 46.7 462.38 59.3 569.542 4 Şekil. Baklava Şekilli Çerçeve

Uluslararası Katılımlı 7. Makina Teorisi Sempozyumu, İzmir, 4-7 Haziran 25 P y x P x= x= Şekil 2. İlgili Düğüm Noktasınan Sınır Şartı Uygulanmış Gösterimi Burkulma analizi şekil ve şekil 2 e gösterilen her iki çerçeve için yapılmış ve kritik burkulma yükleri hesaplanmıştır. Tablo 3. Şekil eki çerçeve yapı için hesaplanan kritik burkulma yükleri karşılaştırması Burkulma Yükü (N) Açı Ansys Matlab 5 3224 324.243 3 6846.3 6852.833 45 484.8 4852.799 6 395.3 3954.739 75 3535.9 3545.8675 P Şekil 4. Şekil 2 İçinBirinci Mo Şekli C. Dinamik kararlılık analizi P(t) Şekil 5. Periyoik Kuvvet Etkisi Altınaki Baklava Şekilli Çerçeve y P(t) x x= x= Şekil 6. Periyoik Kuvvet Etkisi Altınaki ve İlgili Noktasınan Sınır Şartı Uygulanmış Baklava Şekilli Çerçeve Şekil 3. Şekil İçinBirinci Mo Şekli Tablo 4. Şekil 2 eki çerçeve yapı için hesaplanan kritik burkulma yükleri karşılaştırması Burkulma Yükü (N) Açı Ansys Matlab 5 728.6 7233.745 3 3972 3977.5 45 9734 9769.9 6 2457 2422.4 75 2693 274.48 Şekil 5 ve Şekil 6 a periyoik yük etkisi altınaki baklava şekilli çerçeve yapı gösterilmiştir. E(4) e verilen enkleme göre statik(α) ve inamik yük katsayılarının(β) inamik karalılığa etkileri incelenmiştir. Analizler eğişik açıları ve inamik yük katsayıları(β) için α= ve α=.5 eğerleri ikkate alınarak yapılmıştır. Analizler Sonlu Elemanlar Yöntemi kullanılarak gerçekleştirilmiştir. 5

=45 o =6 o =45 o =6 o Uluslararası Katılımlı 7. Makina Teorisi Sempozyumu, İzmir, 4-7 Haziran 25 =5 o γ(hz) =3 o =45 o =6 o =75 o γ(hz) Kararsız Bölge β Şekil 7.Şekil 5 Durumunaα=.5 İçin Dinamik Kararsız Bölge Gösterimi =5 o =3 o γ(hz) =5 o =3 o =45 o =6 o =75 o =75 o β Şekil 9. Şekil 6 Durumunaα=.5 İçin Dinamik Kararsız Bölge Gösterimi β Şekil 8. Şekil 5 Durumunaα= İçin Dinamik Kararsız Bölge Gösterimi Şekil 7 ve 8'e verilen grafikler şekil 5 e gösterilen çerçeve yapı için hesaplanmıştır. Şekil 6 aki yapı için ise analizler şekil 9 ve 2 eki grafikler şekline verilmiştir. Buralaran a görüleceği gibi ilgili noktaa x yönüneki yer eğiştirmenin engellenmesi farklı açıları için inamik kararsız bölgeeçok küçük eğişiklikler meyana getirmiştir. γ(hz) =5 o =3 o Kararsız Bölge =75 o β Şekil 2. Şekil 6 Durumunaα= İçin Dinamik Kararsız Bölge Gösterimi Son iki grafik Şekil 6 aki yapı için tüm açı eğerlerine kararsız bölgelereki çok küçük eğişimleri göstermekteir. 6

Uluslararası Katılımlı 7. Makina Teorisi Sempozyumu, İzmir, 4-7 Haziran 25 IV. Sonuçlar Bu çalışmaa baklava şekilli çerçeve yapılar için şekil e gösterilen açısının eğişimine bağlı oğal frekans, burkulma ve inamik karalılık analizi yapılmıştır. Ayrıca şekil 4 e gösteriliği gibi ilgili noktalarının x yönüneki hareketi engellenip aynı analizler tekrarlanmıştır. Doğal frekans analizine şekil 3 e gösterilen açısının artışıbirinci titreşim mou için frekans eğerini azaltmakta, ikinci mourumu için ise artırmaktaır. Yani açının artması birinci titreşim biçimine yapının rijitliğini azaltırken ikinci titreşim biçimine rijitliği artırmaktaır. Şekil 4 e gösterilen sabitleme sonrasına açının eğişimi ile oğal frekans eğerlerinin. ve 3. molarına fazla bir eğişiklik gözlenmez iken 2. moa bu eğişim fark eilecek ereceeir. Şekil e gösterilen çerçeve için açının eğişimine bağlı kritik burkulma yükü kararlılığını azaltmıştır. Şekil 2 e ilgili noktanın x yönüneki hareketi engellenip burkulma analizi tekrarlanığına açı artışının burkulma yükünü artırığı gözlemlenmiştir. Şekil 5 e gösterilen periyoik yük etkisi altınaki baklava şekilli çerçeve yapının açısının eğişimine bağlı olarak kararsız bölgeleri belirlenmiştir. Şekil 7 statik yük katsayısının.5 oluğu urum için verilmiştir. Şekile açısının artışının kararsız bölgeyi orjine yaklaştırığı görülmekteir. Dinamik yük katsayısı ise ve arasına eğişim göstermekteir. Şekil 8 statik yük katsayısının oluğu urumu göstermekteir. Statik yük katsayısının olarak alınması bir önceki uruma göre frekans eğerini artırmıştır. açısının artması ise kararsız bölgeyi orjine yaklaştırmıştır. Statik yük katsayısının oluğu urum için ise inamik yük katsayısı ve 2 aralığına eğişim göstermekteir. Şekil 9 a,ilgili noktanın x yönüneki hareketi engellenikten sonra açısının eğişiminin şekil 6 aki baklava şekilli çerçeve yapının kararsız bölgelerine etkisi gösterilmiştir. Şekil 9 statik yük katsayısının.5 oluğu an için oluşturulmuştur ve bu uruma inamik yük katsayısı - aralığına eğişim göstermekteir. açısının artışının karasız bölgee az a olsa eğişimlere neen oluğu gözlemlenebilmekteir. Değişik açı eğerlerine karasız bölge orjine yaklaşmış yaa uzaklaşmıştır. Şekil 2 ise statik yük katsayısının urumu için gösterilmiştir ve inamik yük katsayısı -2 aralığına eğişmekteir. Açının eğişimi α= urumu içine kararsız bölgee küçük e olsa bir eğişime neen olmaktaır. Şekil 9 a oluğu gibi buraa a açının artışı kararsız bölgeyi orjine yaklaştırmış ya a uzaklaştırmıştır. Kaynakça [] Bolotin, V.V. Dynamic Stability of Elastic Systems. Holen Day, San Francisco, 964. [2] Park, S.K., Gao, X-L. Bernoulli-Euler Beam Moel Base on a Moifie Couple Stress Theory.Journal of Micromechanics an Microengineering, 26. [3] Falsone, G., Settineri, D. A Euler-Bernoulli-Like Finite Element Metho for Timoshenko Beams. Mechanis Research Communications 38:2-6,2. [4] Briseghella, L., Majorana, C.E., Pellegrino, C. Dynamic Stability of Elastic Structures: A Finite Element Approach. Computers an Structures 69-25,998. [5] Şakar, G., Sabuncu, M. Dynamic Stability Analysis of Rotating Asymmetric cross-section Blae Packets. International Journal of Mechanical Sciences 48:39-49,26. [6] Girgin, K., Özmen, G., Oraköğen, E. Buckling Lengths of Irregular Frame Columns. Journal of Constructional Steel Research 62: 65-63,26. [7] Zavlavsky, A., Stability of Portal Frames With Hinge Girers Uner a Moving Loa. Engineering Structures vol:3, p.p. 69-4,April 98. [8] Thomas, J., Belek, H.T. Free Vibration of Blae Packets. Journal Mechanical Engineering Sicience vol: 9, p.p. 3-2,977. [9] Şakar, G., Öztürk, H., Sabuncu, M. Dynamic Stability of Multi- Span Frames Subjecte to Perioic Loaing. Journal of Constructional Steel Research 7 : 65-7, 22. [] Lin, H.P., Ro, J. Vibration Analysis of Planar Serial-Frame Structures. Journal of Soun an Vibration 262: 3-3, 23. [] Kawashima, S. Vibration Analysis of Frames With Semi-Rigi Connections. Computers an Structures vol: 9,, p.p. 85-92, 984. [2] Peterson, L.A., Lonry, K.L. Finite-Element Structural Analysis: A New Tool for Bicycle Frame Design. Bike Tech, Bicycling Magazine s Newsletter for the Technical Enthusiast vol:5, 986. [3] Covill, D., Begg, S., Elton, E., Milne, M., Morris, R., Katz, T. Parametric Finite Element Analysis of Bicycle Frame Geometries. Proceia Engineering 72:44-446,24. [4] Jenkins, J.A., Seitz, T.B., Przemieniecki, J.S. Large Deflections of Diamon-Shape Frames. J. Solis Structures, vol:2, p.p. 59-63,966. [5] Meirovitch, L., Element of Vibration Analysis.McGraww-Hill Book Company;975. [6] McGuire, W., Gallagher, R.H., Ziemian, R.D. Matrix Structural Analysis. John Wiley & Sons Book Company; 2. EK : [C] = [ ], Boyuna titreşim urumu: Elastik potansiyel enerji; U = E A(w 2 x )2 x B ^2 2 ^3 3 ^2 7

Uluslararası Katılımlı 7. Makina Teorisi Sempozyumu, İzmir, 4-7 Haziran 25 Elastik kinetik enerji; T = ρ A(w 2 t )2 x Enine titreşim urumu: Elastik potansiyel enerji; U = 2 E u I(2 x 2)2 x Elastik kinetik enerji; T = ρ A(u 2 t )2 x Eksenel kuvvetin yaptığı iş; V = P(t) (u 2 x )2 x Transformasyon matrisi; cos( ) sin( ) [ T ] sin( ) cos( ) cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) EK 2: Semboller b:çubuğun genişliği h :Çubuğun kalınlığı L :Çubuğun boyu :Tek bir sonlu elemanın boyu A :Çubuğun Kesit Alanı E :Elastisite moülü I :Alan atalet momenti ρ :Yoğunluk [K e ] :Çubuğun elastik irengenlik matrisi [K g ] :Çubuğun geometrik irengenlik matrisi [M e ] :Çubuğun kütle matrisi [T] :Transformasyon matrisi P cr :Kritik burkulma yükü α :Statik yük katsayısı β:dinamik yük katsayısı 8