MKM 308 Makina Dinamiği

Transkript

1 MKM 308 Lagrange Denklemleri Mühenislik Fakültesi Makine Mühenisliği Bölümü

2 E k E k = Q k n: Serbestlik Derecesi Lagrange Denklemleri Mühenislik Fakültesi Makine Mühenisliği Bölümü k = 1,, 3,.., n E k : Sistemin Kinetik Enerjisi E k = 1 q k : Genelleştirilmiş Koorinat p i=1 m i ri Q k : Genelleştirilmiş Kuvvet Q k = δa(k) δq k q k koorinatına δq k eğişimi verilip iğer genelleştirilmiş koorinatlar sabit tutularak; tüm aktif kuvvetlerin yaptığı iş δa, virtüel yer eğişimi δq k ya oranlanırsa Genelleştirilmiş Kuvvet Q k bulunur.

3 Lagrange Denklemleri Hareket enklemlerinin bu yöntemle ele eilmesinin avantajları; 1. E k kinetik enerjisinin skaler bir büyüklük olması ve içerisine yüksek mertebeen türev olmayan hız ifaelerini bulunurması,. Q k genelleştirilmiş kuvvetlerin hesabına saece aktif kuvvetler ikkate alınığı için bağ kuvvetlerine ihtiyaç uyulmaması. 3. Dinamik eşeğer olarak maesel noktalar sistemine inirgemeye gerek yoktur, n-tane G.K. seçilikten sonra sabit mukayese sistemine göre E k kinetik enerjisi hesaplanır. Mühenislik Fakültesi Makine Mühenisliği Bölümü

4 Potansiyel Fonksiyonun Varlığına Lagrange Denklemleri F x = E p x, F y = E p y, F z = E p z olacak şekile bir E p =E p (x,y,z,t) fonksiyonu bulmak mümkünse, buna potansiyel fonksiyon veya bu kuvvet alanına hareket een maesel noktanın potansiyel enerjisi enir. Bu uruma, Q k = δe p δq k (k = 1,,, n) olur. Bu uruma Lagrange enklemleri; E k E k = E p Mühenislik Fakültesi Makine Mühenisliği Bölümü

5 Potansiyel Fonksiyonun Varlığına Lagrange Denklemleri L = E k E p olmak üzere (L: Lagrange fonk. veya Kinetik Potansiyel) = 0 E k E k + E p = 0 Bazı urumlara kuvvetlerin bir kısım için potansiyel fonk. varır. Bu uruma; Q k = Q k + Q k = Q k Mühenislik Fakültesi Makine Mühenisliği Bölümü

6 Dissipasyon Fonksiyonu Varlığına Lagrange Denklemleri = Q k E k E k + E p = Q k (k = 1,,, n) Sisteme sönümleyici bulunması urumuna issipasyon fonksiyonu Lagrange Denklemlerine ahil eilir. E k E k + E p + D = Q k (k = 1,,, n) Mühenislik Fakültesi Makine Mühenisliği Bölümü

7 UYGULAMA-1: Lagrange Denklemleri Şekile verilen serbestlik ereceli sistemin hareket enklemlerini bulunuz. x ve y: Esas Genelleştirilmiş Koorinat, Serbestlik Dereceli Mühenislik Fakültesi Makine Mühenisliği Bölümü

8 Lagrange Denklemleri UYGULAMA-1: E k = 1 mx + 1 my = 1 m x + y E p = 1 kx + 1 ky + 1 k y x = k x + y xy L = E k E p L = 1 m x + y k x + y xy = 0 x y = mx, = my, x y = k x y mx + k x y = 0 = k y x my + k y x = 0 Mühenislik Fakültesi Makine Mühenisliği Bölümü

9 Lagrange Denklemleri UYGULAMA-: Yatay bir üzlem üzerine bulunan kütlesi m olan bir blok, k yayı ile kütlesi M, uzunluğu L olan uniform homojen bir çubuğa bağlanmıştır. Bloğun üzgün hareketini inceleyiniz. (Yatay üzlem sürtünmesizir.) x ve : Esas Genelleştirilmiş Koorinat, Serbestlik Dereceli Mühenislik Fakültesi Makine Mühenisliği Bölümü

10 UYGULAMA-: Lagrange Denklemleri = Q k E k = 1 mx + 1 Iθ E p = 1 k x Lθ + Mga 1 cos θ Q x = F 0 sin ωt L = E k E p = 1 mx + 1 Iθ 1 k x Lθ Mga 1 cos θ = Q k mx + kx klθ = F 0 sin ωt Iθ + kl + Mga θ kxl = 0 Mühenislik Fakültesi Makine Mühenisliği Bölümü a-a.cosθ

11 UYGULAMA-3: Lagrange Denklemleri Şekile verilen serbestlik ereceli sistemin hareket enklemlerini bulunuz. q 1 ve q : Esas Genelleştirilmiş Koorinat, Serbestlik Dereceli Mühenislik Fakültesi Makine Mühenisliği Bölümü

12 Lagrange Denklemleri UYGULAMA-3: q 1 ve q : Esas Genelleştirilmiş Koorinat, Serbestlik Dereceli E k = 1 m 1q m q E p = 1 k 1q k q q 1 D = 1 r 1q r q q 1 Q k = 0 E k E k + E p + D = Q k Mühenislik Fakültesi Makine Mühenisliği Bölümü

13 UYGULAMA-4: Lagrange Denklemleri m kütlesi, yarıçapı R ve kütlesi M olan bir iske sarılmış uzamayan bir ip ile asılmıştır. Disk merkezinen r mesafesineki bir noktaya bağlanmış yay ile gerilmiştir. Bu konuma engee bulunan sistemin, iskin küçük bir ϕ açısı kaar önürülüp keni haline bırakılması urumuna yapacağı titreşimlere ait if. enk. çıkarınız. ϕ: Esas Genelleştirilmiş Koorinat, 1 Serbestlik Dereceli Mühenislik Fakültesi Makine Mühenisliği Bölümü

14 Lagrange Denklemleri UYGULAMA-4: φ φ = 0 E k = 1 J 0φ + 1 m Rφ E p = 1 k rφ L = E k E p = 1 J 0φ + 1 m Rφ 1 k rφ φ = J 0 φ + mr φ φ = J 0 φ + mr φ = 1 mr φ + mr φ = M + m R φ φ = kr φ φ φ = 0 M + m R φ kr φ = 0 Mühenislik Fakültesi Makine Mühenisliği Bölümü