DİNAMİK Ders_6 Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIR DEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü Ders notları için: http://kisi.deu.edu.tr/serkan.misir/ 2017-2018 GÜZ LİNEER İMPULS VE MOMENTUM PRENSİBİ Bugünün Hedefleri: 1. Bir parçacığın lineer momentumunun ve bir kuvvetin lineer impulsunun hesaplanması, 2. Lineer impuls ve momentum prensibinin uygulanması. Sınıf Etkinliği: Sözel Yoklama Uygulamalar Lineer Momentum ve İmpuls Lineer Momentum ve İmpuls Prensibi Kavramsal Yoklama Örnek Problem Çözümü Dikkat Yoklaması Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-2 / 78 1
SÖZEL YOKLAMA 1. Lineer impuls ve momentum denklemi nin zamana göre integre edilmesiyle elde edilir. A) sürtünme kuvveti B) hareket denklemi C) kinetik enerji D) potansiyel enerji 2. Lineer impuls ve momentum denklemi hangi parametreyi içermez? A) Hız B) Ötelenme C) Zaman D) Kuvvet Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-3 / 78 UYGULAMALAR (devam) İmpulsa güzel bir örnek, bir beysbol sopası ile topa vurma eylemidir. İmpuls, sopa tarafından uygulanan ortalama kuvvet ve sopayla topun temas halinde olduğu zamanın çarpımıdır. İmpuls bir vektör müdür? İmpuls, uygulanan kuvvetle aynı yönde midir? Bir topa vurulmasıyla ilgili bir problem verildiğinde, topun bileşke hareketini nasıl tahmin edebiliriz? Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-4 / 78 2
UYGULAMALAR (devam) Balyoz ile bir kazığa vurulduğunda, kazığa büyük bir impuls kuvveti aktarılır ve bu da onu zemine doğru çakar. Eğer balyozun vurma öncesi hızını ve darbenin süresini biliyorsak, kazığa iletilen impulsif kuvveti nasıl hesaplarız? Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-5 / 78 LİNEER İMPULS VE MOMENTUM PRENSİBİ (Bölüm 15.1) Parçacık kinetiği problemlerini çözmek için kullandığımız diğer bir yöntem, hareket denklemi zamana göre integre edilerek elde edilir (yerdeğiştirmeye göre integre edilirse=>iş ve Enerji Prensibi). Elde edilen denklem, impuls ve momentum prensibi olarak adlandırılır. Hem lineer (doğrusal) hem de açısal hareketler içeren problemlere uygulanabilir. Bu prensip, kuvvet, hız ve zaman içeren problemlerin çözümü için çok kullanışlıdır. Ayrıca darbe mekaniğinin incelenmesi için kullanılır (bu ders kapsamında yer almayacak) Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-6 / 78 3
LİNEER İMPULS VE MOMENTUM PRENSİBİ (devam) Lineer impuls ve momentum prensibi, hareket denkleminin zamana göre integre edilmesiyle elde edilir. Hareket denklemi aşağıdaki şekilde yazılabilir; F = m a = m (dv/dt) Değişken dönüştürülür ve t = t 1 de v = v 1 ve t = t 2 de v = v 2 limitleri arasında integre edilirse t 2 v 2 F dt = m dv t 1 = v 1 mv 2 mv 1 Bu denklem lineer impuls ve momentumun eşitliğini ifade eder. Parçacığın sonuç hızı (v 2 ) ve başlangıç hızı (v 1 ) ile parçacığa etkiyen kuvvet (zamanın bir fonksiyonu) arasında bir ilişki kurar. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-7 / 78 LİNEER İMPULS VE MOMENTUM PRENSİBİ (devam) Lineer momentum: mv vektörü lineer momentum olarak adlandırılır ve L ile gösterilir. Bu vektör v ile aynı yöne sahiptir. Lineer momentum vektörü (kg m)/s birimindedir. Lineer impulse: F dt integrali lineer impuls dur ve I ile gösterilir. Hareket süresince kuvvetin toplam etkisini veren vektörel bir büyüklüktür. I, F kuvveti ile aynı yönde etkir ve birimi N s dir. İmpuls, doğrudan integrasyonla bulunabilir. Grafiksel olarak, kuvvet-zaman eğrisinin altındaki alana eşittir. Eğer F sabitse, bu durumda; I = F (t 2 t 1 ) olur. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-8 / 78 4
Başlangıç momentum diyagramı LİNEER İMPULS VE MOMENTUM PRENSİBİ (devam) + = İmpuls diyagramı Son momentum diyagramı Lineer momentum ve impuls prensibi vektörel olarak aşağıdaki gibi gösterilir. t1 mv 1 + F dt = mv 2 Parçacığın başlangıç momentumu artı t 1 den ve t 2 ye kadarki zaman aralığında etkiyen tüm impulsların toplamı eşittir parçacığın son momentumu. İki momentum diyagramı parçacığın başlangıç ve son momentumunun (mv 1 ve mv 2 ) büyüklüğünü ve yönünü belirtir. İmpuls diyagramı, serbest cisim diyagramına (SCD) benzer fakat parçacığa etkiyen kuvvetlerin zaman aralığı bilgisini de içerir. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-9 / 78 t 2 İMPULS VE MOMENTUM: SKALER DENKLEMLER Lineer impuls ve momentum prensibi bir vektörel denklem olduğundan, x,y ve z bileşenleri olarak skaler denklemlere t ayrılabilir: 2 m(v x ) 1 + F x dt = m(v x ) 2 m(v y ) 1 + F y dt = m(v y ) 2 m(v z ) 1 + F z dt = m(v z ) 2 Hız ve kuvvet vektörleri bir kez x,y ve z bileşenlerine ayrıldığında, skaler denklemler lineer impuls ve momentum prensibinin uygulanması için çok anlamlı bir araca dönüşür. t 1 t 2 t 1 t 2 t 1 Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-10 / 78 5
x, y, z koordinat sistemini kur. PROBLEM ÇÖZÜMÜ Parçacığın impuls ve momentum diyagramlarını çizerken, parçacığın serbest cisim diyagramını çiz ve ayrıca başlangıç ve son hızlarının yönlerini yerleştir. Lineer momentumlarını ve kuvvetlerin impuls vektörlerini göster. Kuvvet ve hız (veya impuls ve momentum) vektörlerini x, y ve z bileşenlerine ayır, skaler formları kullanarak impuls ve momentum prensibini uygula. İmpulsların elde edilmesi için zamanın bir fonksiyonu olan kuvvetlerin integre edilmesi gerekir. Eğer kuvvet sabitse, bu kuvvetin impulsu, kuvvetin büyüklüğü ile parçacığa etkidiği zaman aralığının çarpımına eşittir. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-11 / 78 ÖRNEK 1 Verilen: 0.5 kg lık top sert bir zemine çarpmış ve şekilde görülen hız ile sekmiştir (zeminle temas halinde olduğu süre boyunca topun ağırlığı ihmal edilecek). İstenen: Topa etkiyen impulsif kuvvetin büyüklüğü. Plan: 1) Zemine vurduğu an için topun momentum ve impuls diyagramlarını çizin. 2) İmpulsif kuvveti bulmak için impuls ve momentum prensibini uygulayın. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-12 / 78 6
ÖRNEK 1 (devam) Çözüm: 1) İmpuls ve momentum diyagramları aşağıdaki şekilde çizilebilir: W dt 0 mv 2 45 mv 1 + = F dt N dt 0 Zeminden kaynaklı impulsa kıyasla şiddetleri çok küçük olduğundan, topun ağırlığı ve N normal kuvveti sebebiyle oluşan impuls ihmal edilebilir. 30 Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-13 / 78 2) Hareketin yönü boyunca impuls ve momentum prensibi uygulanabilir: t1 ÖRNEK 1 (devam) t 2 mv 1 + F dt = mv 2 0.5 (25 cos 45 i 25 sin 45 j) + F dt = 0.5 (10 cos 30 i + 10 sin 30 j) Bu durumda impulsif kuvvet vektörü: t 2 t 1 45 + y x mv 1 W dt 0 I = t1 t 2 F dt = (-4.509 i + 11.34 j ) N s Büyüklüğü ise : I = 4.509 2 + 11.34 2 = 12.2 N s olur. Ağırlığın impulsu: 0.5 kg * 9.81 m/s2 * 0.01 s 0.05 N.s F dt II N dt 0 mv 2 30 Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-14 / 78 7
ÖRNEK 2 Verilen: 1500 kg lık arabanın tekerleri grafikten görüldüğü gibi araca F çekiş kuvveti sağlamaktadır. İstenen: Eğer başlangıçta durağansa, t = 6 s anında arabanın sürati. Plan: 1) Arabanın momentum ve impuls diyagramlarını çiz. 2) Sürati bulmak için impuls ve momentum prensibini uygula. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-15 / 78 Çözüm: ÖRNEK 2 (devam) 1) İmpuls ve momentum diyagramları aşağıdaki gibi olur: mv 1 = 0 W dt + = F dt N dt mv 2 F çekiş kuvveti neden sağa doğru etkiyecek şekilde çizildi? Arabanın W ağırlığı ve N normal kuvvetinin etkisi ihmal edilebildi. Neden? Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-16 / 78 8
ÖRNEK 2 (devam) 2) İmpuls ve momentum prensibi hareket yönü boyunca uygulanabilir: + t 2 mv 1 + F dt = mv t1 2 (1500 kg) (0 m/s) + 1/2 (6000 N) (2 s) + (6000 N) (4 s) = (1500 kg) (v 2 m/s) v 2 = 20 m/s Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-17 / 78 KAVRAMSAL YOKLAMA 1. Kuvvetten kaynaklı impulsu hesaplayın. A) 20 kg m/s B) 10 kg m/s C) 5 N s D) 15 N s 10 N F Kuvvet eğrisi 2. Sabit bir F kuvveti, parçacığın hızını v 1 den v 2 ye değiştirmek için 2 s boyunca etkimiştir. Eğer parçacığın kütlesi 2 kg ise, F kuvvetini hesaplayın. A) (17.3 j) N B) ( 10 i +17.3 j) N v 2 =20 m/s C) (20 i +17.3 j) N D) ( 10 i +17.3 j) N 60 2 s v 1 =10 m/s t Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-18 / 78 9
ÖRNEK 3 Verilen: 40 kg lık kasa, 10 m/s ile aşağı doğru hareket ediyor. M motoru ise, grafikte görüldüğü gibi büyüklüğü değişken bir F kuvveti ile kabloyu çekiyor. İstenen: t = 6 s anında kasanın sürati. Plan: 1) Kasanın momentum ve impuls diyagramlarını çiz. 2) Sürat, bulmak için impuls ve momentum prensibini uygula. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-19 / 78 ÖRNEK 3 (devam) Çözüm: 1) İmpuls ve momentum diyagramları mv 1 2F dt + = W dt mv 2 Kablo kuvveti sebebiyle oluşan impuls: 6 + 2 F dt = 2 [0.5 ( 150 + 450 ) 6 ] = 3600 N s 0 Ağırlık sebebiyle oluşan impuls: 6 + ( W) dt = 40 (9.81) (6) = 2354 N s 0 Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-20 / 78 10
ÖRNEK 3 (devam) 2) Sürati bulmak için impuls ve momentum prensibini uygula. t 2 mv 1 + F dt = mv t1 2 6 0 + mv 1 W dt + 2F dt = mv 2 40 (-10) 2354 + 3600 = 40 v 2 v 2 = 21.1 m/s 0 6 Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-21 / 78 DİKKAT YOKLAMASI 1. 100 Mg VTOL uçağının jet motorları, uçak havada durduğu sırada sabit 981 kn luk düşey bir kuvvet uygulamaktadır. t = 10 s boyunca uçak üzerindeki net impuls nedir? A) -981 kn s B) 0 kn s C) 981 kn s D) 9810 kn s 2. 1000 N luk bir dolap düzgün bir yüzey üzerine konulmuştur. Eğer dolaba 2 s boyunca 1000 N luk bir kuvvet uygulanırsa, bu süre boyunca dolaba etkiyen net impuls nedir? A) 0 N s B) 1000 N s C) 2000 N s D) 3000 N s 30 Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-22 / 78 11
ÖRNEK 4 (ders dışında incelenecektir) 1 m/s 250 N luk kutuya P=100 t şiddetinde değişken bir kuvvet etkimektedir (t s cinsinden). P nin etkidiği iki saniyenin sonunda kutunun hızını bulunuz. Başlangıçtaki hız v 1 = 1 m/s dir ve kinetik sürtünme katsayısı μk = 0.3 dür. 6-23 / 78 ÖRNEK 4 (devam) 6-24 / 78 12
ÖRNEK 4 (devam) 6-25 / 78 ÖRNEK 5 (ders dışında incelenecektir) Şekildeki grafik ayak-yer etkileşimden dolayı oluşan reaktif kuvvet grafiğidir. İlk maksimum değer topuğa, ve ikinci maksimum değer de ayağın ön yüzüne etkimektedir. Bu etkileşimden dolayı oluşan maksimum impuls değerini bulunuz. 6-26 / 78 13
ÖRNEK 5 (devam) Toplam impuls F-t grafiğinin altında kalan alandır: I = 0.2625 Ns olarak bulunur. 6-27 / 78 ÖDEV 1 1500 kg lık dört çeker jip her biri 500 kg lık iki kasayı itmekte kullanılıyor. Tekerleklerle yer arasındaki statik sürtünme katsayısı 0.6 ise, aracın 5 sn sonra tekerlekleri kaymadan ulaşabileceği maksimum hızını hesaplayınız? Kasalar ve yer arasındaki kinetik sürtünme katsayısı 0.3 tür ve başlangıçta jip durağan haldedir. 6-28 / 78 14
Serbest cisim diyagramları: ÖDEV 1 (devam) Burada F D = maksimum itme kuvvetidir! Tekerlek dönme hareketi yapmaktadır, bu nedenle sürtünme kuvveti ile karıştırmayınız! Cevap: 11.77 m/s 6-29 / 78 PARÇACIK SİSTEMLERİ İÇİN LİNEER İMPULS VE MOMENTUM PRENSİBİ VE LİNEER MOMENTUMUN KORUNUMU PRENSİBİ Bugünün Hedefleri: 1. Lineer impuls ve momentum prensibinin bir parçacık sistemine uygulanması, 2. Momentumun korunumuna ait koşulların anlaşılması. Sınıf Etkinliği: Sözel Yoklama Uygulamalar Parçacık Sistemleri için Lineer İmpuls ve Momentum Lineer Momentumun Korunumu Kavramsal Yoklama Örnek problem Çözümü Dikkat Yoklaması Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-30 / 78 15
SÖZEL YOKLAMA 1. Bir parçacık sistemine etkiyen iç impulslar her zaman. A) dış impulslara eşittir B) sıfıra eşittir C) ağırlığın impulsuna eşittir D) Hiçbiri. 2. Eğer bir impuls-momentum analizi, resimde görüldüğü gibi çok kısa bir etkileşim süresi için yapılıyorsa, ağırlık bir. A) impulsif kuvvettir. B) explosif kuvvettir. C) impulsif olmayan kuvvettir. D) iç kuvvettir. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-31 / 78 UYGULAMALAR Bu fırlatma makinasının tekerleri dönerken, topa sürtünme impulsları uygulamakta ve böylece ona F dt ve F dt yönlerinde bir lineer momentum kazandırmaktadır. Topun tekerlerle temas ettiği zaman aralığı çok kısa olduğundan W t ağırlık impulsu çok küçük olacaktır. Topun fırlatılma hızı, topun kütlesine bağlı mıdır? Dikkat edilirse, normal kuvvetler iş yapmasalar bile impuls (itki) oluşturmaktadırlar. (F.dt) impulsu ile (F.ds) işi karıştırılmamalıdır! Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-32 / 78 16
UYGULAMALAR (devam) Bu büyük vinçe tutturulmuş tokmak (şahmerdan) zemine kazık çakmak için kullanılmaktadır. Tokmağın tekrar yukarıya sekmediğini varsayarak ve momentumun korunumunu kullanarak, kazığın hemen çarpma sonrasındaki hızını bulabiliriz. Eğer tokmak geri sekerse, tokmağın geri sekmediği duruma göre farklı bir kazık hızı bulur muyuz? Neden? İmpuls-momentum analizinde, tokmağın ve kazığın ağırlıklarını ve ayrıca direnç kuvvetini hesaba katmamız gerekir mi? Niye ya da niye değil? Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-33 / 78 PARÇACIK SİSTEMLERİ İÇİN LİNEER İMPULS VE MOMENTUM PRENSİBİ (Bölüm 15.2) Şekilde görülen parçacık sisteminde, parçacıklar arasındaki f i iç kuvvetleri her zaman eşit büyüklükte ve zıt yönlerde çiftler şeklinde oluşur. Bu sebeple iç impulsların toplamı sıfırdır. Bu sistemin lineer impuls ve momentum denklemi sadece dış kuvvetlerin impulslarını içerir: F i t 1 t 2 m i (v i ) 1 dt m i (v i ) 2 Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-34 / 78 17
KÜTLE MERKEZİNİN HAREKETİ Bir parçacık sisteminde, topaklanmış kütleyi temsil eden m tot için fiktif (kurgusal) bir kütle merkezi tanımlayabiliriz, burada m tot tüm parçacıkların toplam kütlesidir ( m i ). Bu durumda, bu parçacık sisteminin topaklanmış halinin hızı v G = ( m i v i ) / m tot olur. Bu fiktif kütlenin hareketi, sistemin kütle merkezinin hareketine bağlıdır. Konum vektörü, r G = ( m i r i ) / m tot kütle merkezinin hareketini tanımlar. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-35 / 78 PARÇACIK SİSTEMLERİ İÇİN LİNEER MOMENTUMUN KORUNUMU PRENSİBİ (Bölüm 15.3) Eğer, bir parçacık sistemine etkiyen dış impulsların toplamı sıfırsa, lineer impuls-momentum denklemi aşağıdaki denkleme sadeleşir; m i (v i ) 1 = m i (v i ) 2 Bu denkleme, lineer momentumun korunumu adı verilir. Lineer momentumun korunumu genellikle çarpışan veya etkileşen parçacıklar için uygulanır. Parçacıklar çarpıştığında, sadece impulsif kuvvetler lineer momentumda bir değişime neden olur. Balyoz, kazığa impulsif bir kuvvet uygulamaktadır. Balyozun uyguladığı kuvvete kıyasla kazığın ağırlığının ihmal edilebilir olduğu veya impulsif bir kuvvet olmadığı kabul edilmiştir. Ayrıca, kazığın yumuşak zemin içine küçük bir dirençle çakılabildiği, kazığa uygulanan zemin direncinin de impulsif olmadığı varsayılmıştır. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-36 / 78 18
ÖRNEK 6 Verilen: Yay sabiti k = 10 kn/m, m A = 15 kg, v A = 0 m/s, m B = 10 kg, v B = 15 m/s Bloklar çarpışma anında birbirine kenetleniyor. İstenen: Yaydaki en büyük sıkışma. Plan: 1) Her iki bloğu tek bir sistem olarak düşünebiliriz ve yay henüz sıkışmadan önceki hızı, lineer momentumun korunumunu kullanarak bulabiliriz. 2) Sonra yaydaki sıkışmayı bulmak için enerjinin korunumunu kullanabiliriz. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-37 / 78 ÖRNEK 6 (devam) Çözüm: 1) Lineer momentumun korunumu + m i (v i ) 0 = m i (v i ) 1 10 ( 15 i) = (15+10) (v i ) v = 6 m/s = 6 m/s 2) Enerjinin korunumu denklemi T 1 + V 1 = T 2 + V 2 ½ (15+10) (-6) 2 + 0 = 0 + ½ (10000) (s max ) 2 Dolayısıyla yaydaki en büyük sıkışma: s max = 0.3 m. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-38 / 78 19
ÖRNEK 7 Verilen: m A = 20 Mg ve m B = 15 Mg olan iki vagonun hızları şekildeki gibidir. İstenen: Eğer vagonlar çarpışır ve B vagonu sağa doğru 2 m/s süratle geri sekerse, çarpışmadan sonra A vagonunun sürati ne olur. Ayrıca, eğer çarpışma 0.5 s içinde olmuşsa, ortalama impulsif kuvveti bulun. Plan: Çarpışmadan sonra A vagonunun hızını bulmak için lineer momentumun korunumunu kullan (tüm iç impulslar ihmal). Sonra, sadece tek bir vagona bakarak impulsif kuvveti bulmak için impuls-momentum prensibini kullan. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-39 / 78 Çözüm: ÖRNEK 7 (devam) Lineer momentumun korunumu (x-yönü): m A (v A1 ) + m B (v B1 ) = m A (v A2 )+ m B (v B2 ) 20,000 (3) + 15,000 (-1.5) = (20,000) v A2 + 15,000 (2) v A2 = 0.375 m/s A vagonundaki impuls-momentum (x-yönü): m A (v A1 )+ F dt = m A (v A2 ) 20,000 (3) F dt = 20,000 (0.375) F dt = 52,500 N s => impuls Ortalama impulsif kuvvet: F dt = 52,500 N s = F ort (0.5 sec); F ort = 105 kn Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-40 / 78 20
KAVRAMSAL YOKLAMA 1) Bir oyuncunun servis vuruşu sırasında, tenis topunun rakete çarptığı kısa zaman aralığında topun ağırlığının varsayılabilir. A) impulsif olmadığı B) impulsif olduğu C) Newton un ikinci hareket kanununa tabi olmadığı D) Hem A hem de C. 2) Bir maden sahasında, sert kayaların içerisine patlayıcı yerleştirebilmek için havalı çekiç ve bir delgi çubuğu kullanılmaktadır. Delme işlemi sırasında delgi çubuğuna kaç adet impulsif kuvvet etkimektedir? A) Hiç. B) Bir C) İki D) Üç Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-41 / 78 ÖRNEK 8 Verilen: Serbestçe dönen tekerlere sahip rampanın kütlesi 40 kg dır. 10 kg lık A kasası başlangıçta durağanken 3.5 m sonraki B noktasına doğru kaymaktadır (rampanın düzgün bir yüzeye sahip olduğu kabul edilecek ve tekerleklerin kütlesi ihmal edilecektir. İstenen: Kasa B ye ulaştığında rampanın sürati. Plan: Rampanın süratini bulmak için enerjinin korunumu denklemini veya lineer momentumun korunumu ve göreli hız denklemini kullanabilirsiniz. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-42 / 78 21
v r v C ÖRNEK 8 (devam) Çözüm: v C ve v r arasındaki ilişkiyi bulabilmek için lineer momentumun korunumunu kullan: + 0 = (40) ( v r ) + (10) v Cx v Cx = 4 v r (1) v C = v r + v C/r olduğundan v Cx i v Cy j = v r i +v C/r (cos30 i sin30 j) v Cx = v r + v C/r cos 30 (2) v Cy = v C/r sin 30 (3) Denk.(2) ve (3) den v C/r sadeleştirilerek, ve Denk.(1) de yerine konulduğunda v Cy = 8.660 v r bulunur. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-43 / 78 ÖRNEK 8 (devam) Sonra, enerjinin korunumu denklemi yazılabilir ; T 1 + V 1 = T 2 + V 2 0 + 10 (9.81) (3.5 sin30) = ½ (10) (v C ) 2 + ½ (40) (v r ) 2 0 + 10 (9.81) (3.5 sin30) = ½ (10) [ (v Cx ) 2 + (v Cy ) 2 ] + ½ (40) (v r ) 2 = ½ (10) [ (4.0 v r ) 2 + (8.660 v r ) 2 ] + ½ (40) (v r ) 2 171.7 = 475.0 (v r ) 2 v r = 0.601 m/s Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-44 / 78 22
ÖRNEK 9 Verilen: m A = 30 Mg ve m B = 15 Mg olan iki vagonun hızları şekildeki gibidir. İstenen: A vagonuna bağlı yaydaki en büyük sıkışma miktarı. Plan: Vagonların çarpışmadan sonraki hızlarını bulmak için lineer momentumun korunumunu kullan. Sonra yaydaki sıkışmayı bulmak için enerjinin korunumu denklemini kullan. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-45 / 78 ÖRNEK 9 (devam) Çözüm: v 2 x ekseni boyunca lineer momentumun korunumu: m A (v A1 ) + m B (v B1 ) = ( m A + m B ) v 2 burada v A1 = 20 km/h = 5.556 m/s, v B1 = -10 km/h = -2.778 m/s 30,000 (5.556) + 15,000 (-2.778) = (30,000 + 15000 ) v 2 v 2 = 2.778 m/s Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-46 / 78 23
ÖRNEK 9 (devam) Sonra yaydaki en büyük sıkışmayı bulmak için enerjinin korunumu denklemini kullan ; T 1 + V 1 = T 2 + V 2 [½ (30000) (5.556) 2 + ½ (15000) (-2.778) 2 ] + 0 = ½ (45000) (2.778) 2 + ½ (3 10 6 ) (s max ) 2 Yaydaki en büyük sıkışma: s max = 0.4811 m = 481 mm Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-47 / 78 DİKKAT YOKLAMASI 1. 20 g lık mermi yatay olarak 1200 m/s hız ile düzgün bir yüzey üzerinde durmakta olan 300 g lık bloğa ateşleniyor. Eğer mermi bloğa saplanıyorsa, bloğun çarpışmadan hemen sonraki hızı nedir. A) 1125 m/s B) 80 m/s C) 1200 m/s D) 75 m/s 2. 200 g lık beysbol topu, 47 m/s hızı olan 900 g lık bir beysbol sopası ile vurulduğunda 30 m/s lik yatay bir hıza sahipti. Topun son hızını bulmak için, sopa ile vurulma sırasında öneme sahip kaç adet impuls kullanmak gerekir? A) Sıfır B) Bir C) İki D) Üç 1200 m/s SOPA v sopa v top Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-48 / 78 24
ÖRNEK 10 (ders dışında incelenecek) 800 kg lık rijit kazık 300 kg lık çekice sahip şahmerdan vasıtasıyla kum zemine çakılmaktadır. Çekiç durağan durumdayken y 0 = 0.5 m yükseklikten düşürülmektedir. Kazığın çekice uyguladığı impuls (I) değerini bulunuz. Çekicin kazık üzerine düştükten sonra zıplamadığı (sekmediği) kabul edilmektedir. 6-49 / 78 ÖRNEK 10 (devam) Şekiller 6-50 / 78 25
ÖRNEK 10 (devam) Enerjinin korunumu: Çekicin kazığa vurduğu andaki hızı enerjinin korunumundan bulunabilir: 6-51 / 78 ÖRNEK 10 (devam) 6-52 / 78 26
ÖRNEK 10 (devam) W h = 0 6-53 / 78 ÖDEV 2 +x B C 20 kg lık blok (B bloğu), 40 kg rampa (C rampası) üzerinde M motoru vasıtası ile yukarı çekilmektedir. Eğer motor kabloyu 5 m/s sabit hızla yukarı doğru çekiyorsa (rampaya göre rölatif hız), s = 2 m olduğunda, rampanın ne kadar yol kat edeceğini bulunuz. Blok ve rampa s = 0 durumunda hareketsizdir ve tüm yüzeylerde sürtünme ihmal edilmiştir. İpucu: (1) x doğrultusunda blok + rampa sisteminin lineer momentumu korunur! (2) (Vb) x = Vc + (Vb/c) x (rölatif hızlar), Vb/c = 5 m/s! 6-54 / 78 27
AÇISAL MOMENTUM, BİR KUVVETİN MOMENTİ VE AÇISAL İMPULS VE MOMENTUM PRENSİBİ Bugünün Hedefleri: 1. Bir parçacığın açısal momentumunu hesaplama, açısal impuls ve momentum prensibini uygulama, 2. Problemlerin çözümünde açısal momentumun korunumunu kullanma Sınıf Etkinliği: Sözel Yoklama Uygulamalar Açısal Momentum Açısal İmpuls ve Momentum Prensibi Açısal Momentumun Korunumu Kavramsal Yoklama Örnek Problem Dikkat Yoklaması Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-55 / 78 SÖZEL YOKLAMA 1. Bir parçacığın bir nokta etrafındaki açısal momentumu için doğru ifadeyi seçiniz. A) r v B) r (m v) C) v r D) (m v) r 2. Bir parçacığa etkiyen tüm dış kuvvetlerin momentlerinin toplamı eşittir. A) parçacığın açısal momentumuna B) parçacığın lineer momentumuna C) açısal momentumun zamanla değişimine D) lineer momentumun zamanla değişimine Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-56 / 78 28
UYGULAMALAR Gezegenler ve uyduların çoğu eliptik bir yörünge etrafında hareket ederler. Bu harekete yerçekimsel kuvvetler sebep olur. Bu kuvvetler bir çift şeklinde etki ettiğinden, sistem üzerine etkiyen kuvvetlerin momentlerinin toplamı sıfır olacaktır. Bu açısal momentumun korunduğu anlamına gelir. Eğer açısal momentum sabitse, bu lineer momentumun da sabit olduğu anlamına gelir mi? Niye veya Niye değil? Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-57 / 78 UYGULAMALAR (devam) Eğlence parkında dönme dolap üzerindeki yolcular dönme ekseni (z ekseni) etrafında açısal momentumun korunumunu deneyimler. Serbest cisim diyagramında görüldüğü gibi, N normal kuvvetinin etki çizgisi z eksenini keser, ağırlığın etki çizgisi ise z eksenine paraleldir. Bu sebeple, bu kuvvetlerin z ekseni etrafındaki momentleri sıfırdır, toplamları da sıfırdır. Eğer yolcular z ekseninden uzaklaşıyorsa, hızları artar mı azalır mı? Neden? Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-58 / 78 29
AÇISAL MOMENTUM (Bölüm 15.5) Bir parçacığın O noktası etrafındaki açısal momentumu, parçacığın lineer momentumunun O ekseni etrafındaki momenti olarak tanımlanır. i j k H o = r mv = r x r y r z mv x mv y mv z H o ın büyüklüğü: (H o ) z = mv d birimi: (kg.m 2 )/s dir. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-59 / 78 BİR KUVVETİN MOMENTİ İLE AÇISAL MOMENTUM ARASINDAKİ İLİŞKİ (Bölüm 15.6) Parçacığa etkiyen bileşke kuvvet, parçacığın lineer momentumunun zamana göre değişimine eşittir. Nokta ile simgelenen zamana bağlı türevi kullanarak, denklem aşağıdaki şekilde ifade edilir; F = L = mv Parçacığa O noktası etrafında etkiyen bileşke moment de, parçacığa O noktası etrafında etkiyen açısal momentumun zamana göre değişimine eşittir; M o = r F = H o Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-60 / 78 30
ÖRNEK 11 Şekilde görülen kutu m kütlesine sahiptir ve r yarıçaplı sürtünmesiz dairesel bir yörüngede aşağı doğru kaymaktadır. Düşeyle tam θ açısı yaptığı anda sürati v dir. Kutunun O noktasına göre açısal momentumu ve ivmesini bulunuz. 6-61 / 78 ÖRNEK 11 (devam) 6-62 / 78 31
BİR PARÇACIK SİSTEMİNİN MOMENTİ VE AÇISAL MOMENTUMU Parçacık sistemleri için de ilgili denklem aynı şekil türetilebilir. Sistemin i inci parçacığına etkiyen kuvvetler, bir F i bileşke dış kuvvetinden ve bir de f i bileşke iç kuvvetinden ibarettir. Bu sebeple, parçacık üzerindeki bu kuvvetlerin momentleri şu şekilde yazılabilir; ) + ) = ( ) İç kuvvetler eşit büyüklükte ve zıt yönde çiftler şeklindedir, bu sebeple ikinci terim sıfırdır, böylece; ) ( ) = 0 Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-63 / 78 AÇISAL İMPULS VE MOMENTUM PRENSİBİ (Bölüm 15.7) Moment ile açısal momentumun zamana göre değişimi arasındaki ilişki dikkate alınarak, M o = H o = dh o /dt t 1 t 2 zaman aralığı boyunca integre edilerek, dt veya dt Bu denklem açısal impuls ve momentum prensibi olarak isimlendirilir. Sol taraftaki ikinci terim de, M o dt, açısal impuls olarak isimlendirilir. 2D hareket durumunda, z ekseni etrafındaki bileşenler kullanılarak skaler denklem olarak kullanılabilir. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-64 / 78 32
AÇISAL MOMENTUMUN KORUNUMU Bir parçacık veya parçacık sistemi üzerine t 1 -t 2 zaman aralığında etkiyen açısal impulsların toplamı sıfır ise, açısal momentum korunmuştur. Böylece, (H O ) 1 = (H O ) 2 Bir parçacık üzerine sadece merkezcil kuvvetlerin etkimesi durumu buna bir örnek olarak verilebilir. Şekilde, F kuvveti her zaman O noktasına doğru yönelmiştir. Bu sebeple, F kuvvetinin O noktası etrafındaki açısal impulsu her zaman sıfırdır ve parçacığın O noktası etrafındaki açısal momentumu korunmaktadır. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-65 / 78 Verilen: 10 kg lık eş özellikte iki küre, sayfa düzleminde dönen bir çubuğa bağlanmıştır. Kürelere P = 10 N luk teğetsel kuvvetler etkimektedir ve çubuğa M = (8 t) N m lik bir moment etkimektedir. Burada t s cinsindedir. İstenen: Eğer sistem başlangıçta durağan haldeyse t = 4 s anında kürelerin sürati. Plan: ÖRNEK 12 Sistem için enerjinin korunumu prensibini veya sistemin açısal momentumunun korunumunu kullanın. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-66 / 78 33
Çözüm: Açısal momentumun korunumu: 0 8t dt Yukarıdaki denklem, O noktası etrafındaki dönme ekseni için (z ekseni) uygulanırsa: 2 10 0.5 dt 4 4 2 5 4 10 104 = 10 v v = 10.4 m/s ÖRNEK 12 (devam) 2 10 0.5 Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-67 / 78 KAVRAMSAL YOKLAMA 1. Eğer bir parçacık x-y düzleminde hareket ediyorsa, onun açısal momentum vektörü. A) x yönündedir B) y yönündedir C) z yönündedir D) x - y yönündedir 2. Eğer parçacık üzerine etkiyen dış impuls sıfırsa A) sadece lineer momentum korunur. B) sadece açısal momentum korunur C) hem lineer momentum hem de açısal momentum korunur D) ne lineer momentum ne de açısal momentum korunur Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-68 / 78 34
ÖRNEK 13 Verilen: 10 kg lık iki top ağırlığı ihmal edilen bir çubuğun iki ucuna bağlanmıştır. Şekilde görüldüğü gibi M = (t 2 + 2) N m. lik bir moment etkimektedir. t s cinsinde. İstenen: Eğer başlangıçta (t = 0) her bir topun hızı 2 m/s ise 3 saniye sonra her bir topun hızı. Plan: Dönme ekseni etrafında (z ekseni) açısal impuls ve momentum prensibini uygulayın. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-69 / 78 Çözüm: Açısal momentum: ÖRNEK 13 (devam) Açısal impuls: t t 2 M dt = 2 3 (t 2 + 2) dt = [(1/3) t 3 + 2 t] = 15 N m s t t 1 1 0 Açısal impuls ve momentum denklemini uygula. (H o + M o dt (H o ) 2 ) 1 t 2 t 1 H Z = r mv skaler bir denkleme indirgenir (H Z ) 1 = 2 {0.5 (10) 2} = 20 (kg m 2 /s) ve (H Z ) 2 = 2 {0.5 (10) v} = 10 v (kg m 2 /s) 20 + 15 = 10 v v = 3.5 m/s Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-70 / 78 35
DİKKAT YOKLAMASI 1. Bir top düzgün bir yüzey üzerinde, 3 ft yarıçaplı bir çember üzerinde 6 ft/s süratle hareket etmektedir. Eğer parçacığa bağlı olan ip 2 ft/s sabit hızla aşağı doğru çekilirse, r = 2 ft olması durumunda topun hızını bulmak için aşağıdaki prensiplerden hangisi kullanılabilir? A) Enerjinin korunumu B) Açısal momentumun korunumu C) Lineer momentumun korunumu D) Kütlenin korunumu 2. Eğer bir parçacık z y düzleminde hareket ediyorsa, bunun açısal momentum vektörü A) x yönündedir. B) y yönündedir. C) z yönündedir. D) z - y yönündedir. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 6-71 / 78 ÖRNEK 14 (ders dışında incelenecek) Başlangıç boyu 2 kg lık disk sürtünmesiz yatay yüzeyde, k c = 20 N/m rijitliğe sahip ve başlangıçta gerilmemiş haldeki elastik lastiğe bağlıdır. Diskin lastiğe dik doğrultuda 1.5 m/s lik bir ilk hızı varsa, lastik 0.2 m uzadığında lastiğin hangi oranda gerildiğini (uzama hızını) ve diskin hızının bu anda ne olduğunu bulunuz? 6-72 / 78 36
Şekiller: ÖRNEK 14 (devam) (1) (2) Açısal momentum oluşturan hız bileşenleri! (1) ve (2) konumlarında, açısal momentum korunur, (kuvvetler açısal itki oluşturmuyor)! 6-73 / 78 ÖRNEK 14 (devam) 6-74 / 78 37
ÖRNEK 14 (devam) 6-75 / 78 ÖRNEK 14 (devam) 6-76 / 78 38
ÖRNEK 15 (ders dışında incelenecek) Şekil de gösterilen arabaya, kol vasıtasıyla M = 30t 2 Nm lik bir moment ve arabanın motoru tarafından da tekerleklere F = 15t N luk itme kuvveti uygulanmaktadır, t burada sn birimindedir. Çubuğun kütlesi ihmal edilmiş ise, t = 5 sn anında arabanın hızını bulunuz. Araba başlangıçta durağan haldedir ve toplam kütlesi 150 kg dır. Arabanın boyutlarını ihmal ediniz. 6-77 / 78 ÖRNEK 15 (devam) O M s ve F s reaksiyonlarının ve N ve W kuvvetlerinin z-ekseni etrafında açısal momentum oluşturmadığı görülmektedir. Z ekseni etrafında açısal momentum oluşturan kuvvetlere açısal impuls-momentum prensibi uygulanarak soru çözülür. 6-78 / 78 39