ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ SONLU FARKLAR YÖNTEMİ İLE ÇOK YÜKSEK FREKANSLI ELEKTROMANYETİK DALGA ALANI HESABI Azu KOÇASLAN JEOFİZİK MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI ANKARA 2008 He Hakkı Saklıdı

TEZ ONAYI Azu KOÇASLAN taafından hazılanan Sonlu Fakla Yöntemi İle Çok Yüksek Fekanslı Elektomanyetik Dalga Alanı Hesabı adlı tez çalışması 08/10/2008 taihinde aşağıdaki jüi taafından oy biliği ile Ankaa Ünivesitesi Fen Bilimlei Enstitüsü Jeofizik Mühendisliği Anabilim Dalı nda YÜKSEK LİSANS TEZİ olaak kabul edilmişti. Danışman: Yd. Doç.D Selma KADIOĞLU Jüi Üyelei: Başkan : Pof. D. Ahmet Tuğul BAŞOKUR Ankaa Ünivesitesi Jeofizik Mühendisliği Anabilim Dalı Üye : Yd. Doç. D. Muat Hüsnü SAZLI Ankaa Ünivesitesi Elektonik Mühendisliği Anabilim Dalı Üye : Yd. Doç. D. Selma KADIOĞLU Ankaa Ünivesitesi Jeofizik Mühendisliği Anabilim Dalı Yukaıdaki sonucu onaylaım. Pof. D. Ohan ATAKOL Enstitü Müdüü

ÖZET Yüksek Lisans Tezi SONLU FARKLAR YÖNTEMİ İLE ÇOK YÜKSEK FREKANSLI ELEKTROMANYETİK DALGA ALANI HESABI Azu KOÇASLAN Ankaa Ünivesitesi Fen Bilimlei Enstitüsü Jeofizik Mühendisliği Anabilim Dalı Danışman: Yd. Doç. D. Selma KADIOĞLU Tezin amacı, üç boyutlu (3B) gömülü geometik şekilli modelle üzeinde çok yüksek fekanslı elektomanyetik (EM) dalga alanını hesaplayan bi bilgisaya pogamı geliştimekti. Aynı zamanda laboatua şatlaında geçekleştiilen, fiziksel bi model üzeinde toplanan ada veilei ile geliştiilen pogamdan elde edilen dalga alanı veileini de kaşılaştıaak uygulanan yöntemin duyalılığını otaya çıkamaktı. Modelleme geçek veilele teoik bi ye modelinden elde edilen sonuçlaın kaşılaştıılmasını sağlayan bi yöntemdi. Çalışmada ye adaı (GPR) yönteminde gömülü nesnelein bulunmasına katkı sağlayabilmesi amacıyla 3B zaman bölgesinde sonlu fakla (FDTD) yaklaşımı kullanaak çok yüksek fekanslı EM dalga alanı modelleme geçekleştiilmişti. Amaca uygun olaak öncelikle teoik gelişmele, FDTD yöntemi ve Mawell denklemleinin bu yöntem ile ifadelei tanımlanmıştı. Ye adaı yöntemine uygun kaynak tanımı ve sını şatlaı ayıntılı olaak idelenmişti. Tez amacına uygun olaak gömülü küe, silindi gibi geometik şekilli modelle için geliştiilen bilgisaya pogamı ile elde edilen 3B EM dalga alanı veilei 3B blok ve iki boyutlu (2B) kesitlei ile sunulmuştu. Ayıca teoik bi modele ait hesaplanan EM dalga alanı veilei ile Ankaa Ünivesitesi Jeofizik Mühendisliği Bölümü Kayaç Fiziği Laboatuaında geçek bi model üzeinde RAMAC CU II sistem ve 1.6 GHz kapalı sistem kullanılaak toplanmış EM dalga alanı veilei kaşılaştıılaak geliştiilen pogam ve FDTD yönteminin duyalılığı tatışılmıştı. Ekim 2008, 255 sayfa Anahta Kelimele: Ye Radaı (GPR), Zaman Bölgesinde Sonlu Fakla Yöntemi (FDTD), Çok Yüksek Fekanslı Elektomanyetik Dalga Alanı Hesabı i

ABSTRACT Maste Thesis VERY HIGH FREQUENCY ELECTROMAGNETIC WAVEFIELD COMPUTATION WITH FINITE DIFFERENCE METHOD Azu KOÇASLAN Ankaa Univesity Gaduate School of Natual and Applied Sciences Depatment of Geophysical Engineeing Supeviso: Yd. Doç. D. Selma KADIOĞLU The aim of this thesis is to develop a compute pogam in which vey high fequency electomagnetic (EM) wave field can be computed on the thee dimensional (3D) buied geometical shaped models. In addition, sensitivity of the applied method is to be evealed even by compaing with a eal data acquied on the physical model ealized in laboatoy condition and the data obtained by the compute pogam esults of the theoetical model which is the same with physical model. Modeling is a method which supplies compaing of the esults obtained by a theoetical eath model eal data. In the study, vey high fequency EM wave field modeling has been ealized by using 3D finite diffeence time domain (FDTD) method to contibute to detemination of the buied objects in gound penetating (GPR) method. Fist, theoetical developments, FDTD method and epessions of Mawell equations with this method have been defined. Souce definition appopiate to GPR method and bounday conditions have been eseached in detail. 3D EM wave field data obtained by developed compute pogam fo models of buied sphee, cylinde etc. have been figued out with 3B blocks and two dimensional (2D) sections of it as elevant of the thesis. In addition developed compute pogam and sensitivity of the FDTD method have been discussed by compaing with computed EM wave field data elating to a theoetical model and EM wave field data acquied on a eal model, which is the same with theoetical model, in the laboatoy of ock physics in Ankaa Univesity Geophysical Engineeing Depatment by using RAMAC CU II system and 1.6 GHz shielded antenna. Octobe 2008, 255 pages Key Wods: Gound Penetating Rada (GPR), Finite Diffeence Time Domain (FDTD), Vey High Fequency Electomagnetic Wavefield Computation ii

TEŞEKKÜR Çalışmamın he aşamasında bana yadımcı olan, bilgi ve desteğini benden esigemeyen, tezin oluşumunda önemli katkılada bulunan danışman hocam Sayın Yd. Doç. D. Selma KADIOĞLU na teşekküleimi sunaım. Tezin he aşamasında yanımda olan ve göüşleini aldığım Sayın Aaş Gö. Ezgi Esa EKİNCİOĞLU a, Sayın Aaş. Gö. İsmail AKKAYA ya, ayıca akadaşım Büşa Bihte KURT a teşekküleimi sunaım. Tüm bu süe içeisinde beni destekleyen ve daima yanımda olaak başaıya ulaşmamı sağlayan Ailem e sonsuz teşekküleimi sunaım. Azu KOÇASLAN Ankaa, Ekim 2008 iii

İÇİNDEKİLER ÖZET.... i ABSTRACT.....ii TEŞEKKÜR.......iii SİMGELER DİZİNİ... vi ŞEKİLLER DİZİNİ.......i ÇİZELGELER DİZİNİ...vi 1. GİRİŞ....... 1 2. YER RADARI YÖNTEMİ....4 2.1 Tanım.....4 2.2 Ye Radaının Çalışma Pensibi....5 2.3 Ye Radaı Yöntemi Taihçesi...6 2.4 Ye Radaı Kullanım Alanlaı.......8 2.4.1 Jeoteknik ve jeolojik aaştımala...9 2.4.1.1 Yüzeydeki gevşek zonun tespiti......9 2.4.1.2 Ana kaya (Temel kaya. deinliğinin saptanması......9 2.4.1.3 Zemindeki yanal ve düşey süeksizliklein saptanması....10 2.4.1.4 Zemindeki yanal ve düşey süeksizliklein saptanması 10 2.4.1.5 Otoyol, tünel ve demiyolu güzegah çalışmalaı..10 2.4.1.6 Boşluklaın saptanması 10 2.4.1.7 Su tablasının belilenmesi..9 2.4.2 Maden aaştımalaı, maden ocağı sınılaının belilenmesi......11 2.4.3 Kablo ve bou güzegahı belileme çalışmalaı... 11 2.4.4 Otoyol asfalt ve dolgulaındaki defomasyonlaın izlenmesi..12 2.4.5 Akeoloji aama çalışmalaı...12 2.4.6 Güvenlik ve kiminal amaçlı kullanım..12 2.5 Ye Radaı Yöntemini Etkileyen Faktöle.13 2.6 Aaştıma Deinliği 14 2.7 Yeiçi İletkenlik ve Dielektik Sabiti Etkisi.15 2.8 Su Otamı 17 2.9 Anten Fekansı...18 2.10 Çeve Koşullaı.19 2.11 Çözünülük...19 2.12 Kalibasyon...19 2.13 Hassasiyet ve Sapmala...20 2.14 Anten Seçimi..20 2.15 Ölçüm Aalığının ve Antenle Aası Ayım Aalığının Seçilmesi...22 2.16 Zaman Önekleme Aalığının ve Kayıt Zamanının Belilenmesi 23 2.17 Pofil Yönünün ve Pofil Aalığının Seçimi...24 2.18 Mekez Fekansı ve Band Genişliği 24 2.19 Anten Düzeneğinden Kaynaklanan Yayınma Kaybı 24 2.20 Saçılma Yüzeylei.25 2.21 Yöntemin Üstünlük ve Zayıflıklaı. 25 2.22 Ölçü Alım Tekniklei ve Sistem Duyalılığı...27 2.22.1 Mono-statik ve Bi-statik anten..27 iv

2.22.2 Ölçü alım tekniklei...27 2.22.3 Çeşitli anten açılımlaı...30 2.23 Geometik Optik...31 3. ZAMAN BÖLGESİNDE SONLU FARKLAR YÖNTEMİ..34 3.1 Bi Boyutlu (1-B ) Sonlu Fakla Yöntemi...41 3.2 İki Boyutlu (2-B ) Sonlu Fakla Yöntemi 43 3.3 Üç Boyutlu (3-B ) Sonlu Fakla Yöntemi 56 3.3.1 Manyetik alan denklemlei...57 3.3.1.1 X yönündeki manyetik alan bileşeni...57 3.3.1.2 Y yönündeki manyetik alan bileşeni...58 3.3.1.3 Z yönündeki manyetik alan bileşeni...59 3.3.2 Elektik Alan Denklemlei.....60 3.3.2.1 X yönündeki manyetik alan bileşeni...61 3.3.2.2 Y yönündeki manyetik alan bileşeni...62 3.3.2.3 Z yönündeki manyetik alan bileşeni...63 3.4 Yinelemeli Denklemlede Kaalılık Kitei...67 3.5 FDTD Yönteminde Sayısal Dispesiyon...68 3.6 FDTD Yönteminde Paamete Seçimi.74 3.7 FDTD Yönteminde Uyama..78 3.8 Zamanda Ayıklaştıma ve Hata Analizi.79 3.9 FDTD Sistem Geeksinimlei 80 4. ORTAM MODELLEME VE SINIR KOŞULLARI...82 4.1 Otam Modelleme..81 4.2 Yutucu Sını Koşullaı.....82 4.3 Tek Yönlü Dalga Denklemlei..83 4.4 Mu Tipi Abc.89 5. UYGULAMALAR..91 5.1 Fdtd Algoitması.....91 5.2 Küp Modeli.....95 5.3 Küe Modeli...103 5.4 Dikdötgen Pizma Modeli 117 5.5 Sİlindi Modeli. 125 5. 5.1 Bou Modeli.. 143 5.6 Faklı Büyüklükteki Boula Üzeinde Toplanan Geçek Veile ile FDTD Modellein Kaşılaştıılması......156 6.TARTIŞMA ve SONUÇLAR....162 KAYNAKLAR.... 172 EKLER....179 EK 1 Elektomanyetik Dalgala...180 EK 2 Ye Radaı Polaizasyon ve Antenle.217 ÖZGEÇMİŞ 255 v

SİMGELER DİZİNİ 1B Bi Boyutlu 2B İki Boyutlu 3B Üç Boyutlu Ei Gelen Elektik alan Es Saçılan Elektik Alan f Fekans µ 0 Boşluğun manyetik geçigenliği ε 0 z 0 k E H λ k V I c J R t P Boşluğun dielektik sabiti Boşluğun empedansı Dalga yayınım doğultusu vektöü Elektik Alan Vektöü Manyetik Alan Vektöü Dalga Boyu Dalga Sayısı Geilim Akım Işık Hızı Akım Yoğunluğu Rada hedef aası mesafe Zaman Gözlem noktası Gözlem noktası ye vektöü Kaynak noktası ye vektöü ˆ Ye vektöü nomali n Zaman adımı n ~ Zaman adımı ( n~ = n +1 2. H Manyetik alan -bileşeni H y Manyetik alan y-bileşeni H z Manyetik alan z-bileşeni vi

E z Elektik alan -bileşeni E y Elektik alan y-bileşeni E z Elektik alan z-bileşeni N FDTD hüce sayısı i, j, k FDTD, y, z deki konum adımlaı t Zaman adımı α Zayıflama sabiti β Faz sabiti γ Yayılma sabiti µ Manyetik geçigenlik f Fekans c Işık hızı Z 0 Kaakteistik empedans Г ε ε e Yansıma katsayısı Bağıl dielektik sabiti Etkin dielektik sabiti vii

KISALTMALAR FDTD GPR FT FFT TLM PE MoM RSY EM FD EMC EMI Zamanda Sonlu Fakla Yöntemi Ye Radaı Fouie Tansfomu Fast Fouie Tansfomu İletim Hattı Matisi Paabolik Denklem Moment Yöntemi Rada Saçılma Yüzeyi Elektomanyetik Dalgala Sonlu Fakla Elektomanyetik Uyumluluk Elektomanyetik Giişim viii

ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil 2.1 Ye adaı sistemi ve EM dalgala. 1 havadan doğudan gelen EM dalgası 2 yüzeyden doğudan gelen EM dalgası, 3 ve 4 aayüzeyden yansıyan EM dalgalaı ( Last ve Smol, 2001..3 Şekil 2.2 Ye adaı yönteminde zaman-uzaklık diyagamı ve dalga modlaı..4 Şekil 2.3 Pofille boyunca elde edilen adagam göüntüsü...5 Şekil 2.4 Kumlu bi alanda su tablasının Ye Radaı kesitindeki göünümü (Stickley, Noon,Cheniakov ve Longstaff, 2000....15 Şekil 2.5 Fekans, ayımlılık ve deinlik asındaki ilişki (Last ve Smol, 2001....18 Şekil 2.6a. Mono-statik, b. Bi-statik anten...25 Şekil 2.7 Ye adaı sisteminin ana bileşenleinin blok diyagam şeklinde gösteimi (Annan 1992. 26 Şekil 2.8 Sabit açıklık pofili dizilimi..27 Şekil 2.9 Çoklu katlama dizilimi 28 Şekil 2.10 Paalel ve uzun kena bakışımlı..29 Şekil 2.11 Paalel ve kısa kena bakışımlı...29 Şekil 2.12 Dik ve uzun kena bakışımlı...30 Şekil 2.13 Dik ve kısa kena bakışımlı...30 Şekil 2.14 Dalga cephesi ve ışınla aasındaki ilişkile (Stutzman,1962....31 Şekil 3.1 Yıllaa göe yayın sayısı...33 Şekil 3.2 a. kae gid, b.skew gid, c. üçgen gid, d. daiesel gid...34 Şekil 3.3 İlei, gei ve mekezcil faklaı kullanaak P noktasındaki f(. in tüevi için kullanılan şematik A ve B noktalaı...35 Şekil 3.4 İki bağımsız ve t değişkeni için sonlu fak ağı...35 Şekil 3.5 Atlamalı FDTD ayıklaştıması....37 Şekil 3.6 Sonlu fakla ağı...38 Şekil 3.7 Hücelein değişen (i,j. lee göe numaalandıılması işlemi. 38 Şekil 3.8 TM modu..41 Şekil 3.9. E z, H y ve H bileşenleinin hüce içeisindeki konumlaı.....43 Şekil 3.10 Bi önceki zamanda hesaplanan değelein kullanılmasıyla bi sonaki zamana ait değelein hesaplanması...45 Şekil 3.11. TE modu 46 Şekil 3.12 E, E y ve H z bileşenleinin hüce içeisindeki konumlaı...47 Şekil 3.13 3D Yee biim hücesi...50 Şekil 3.14 H yönündeki manyetik alan hesabında kullanılan komşu alanla...51 Şekil 3.15 Hy yönündeki manyetik alan hesabında kullanılan komşu alanla 52 Şekil 3.16 Hz yönündeki manyetik alan hesabında kullanılan komşu alanla 53 Şekil 3.17 E yönündeki elektik alan hesabında kullanılan komşu alanla...54 Şekil 3.18 Ey yönündeki elektik alan hesabında kullanılan komşu alanla...56 Şekil 3.19 Ez yönündeki elektik alan hesabında kullanılan komşu alanla...57 Şekil 3.20 Sayısal dispesiyonun fiziksel youmu.63 i

Şekil 3.21 Sayısal faz hızının 2D otamda yayılım açısına bağlı değişimi...65 Şekil 3.22 3B sayısal dispesiyon (Gedney, 1993. 66 Şekil 3.23 Gauss tipi kaynak (Gedney, 1993. 68 Şekil 3.24 Gauss dabesinin zaman ve fekans davanışı....72 Şekil 5.1 FDTD akış diyagamı...84 Şekil 5.2 FDTD algoitmasında kullanılan ana pogam ve alt pogamla...86 Şekil 5.3 FDTD modelinde kullanılan küp modeli....87 Şekil 5.4 Küp modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei...88 Şekil 5.5 10 10 10 cm boyutundaki küp modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei....89 Şekil 5.6 50 50 50 cm boyutundaki küp modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei....90 Şekil 5.7 50 50 50 cm boyutundaki küp modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei....91 Şekil 5. 8 100 100 100 cm boyutundaki küp modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 92 Şekil 5.9 Küp modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 93 Şekil 5.11 FDTD modelinde kullanılan küe modeli 95 Şekil 5.12 1 cm boyutundaki küe modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 96 Şekil 5.13 1 cm boyutundaki küe modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei.. 97 Şekil 5.14 4 cm boyutundaki küe modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 98 Şekil 5.15 4 cm boyutundaki küe modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei..99 Şekil 5.16 8 cm boyutundaki küe modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei....100 Şekil 5.17 8 cm boyutundaki küe modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei....101 Şekil 5.18 10 cm boyutundaki küe modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei.102 Şekil 5.19 10 cm boyutundaki küe modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei...103 Şekil 5.20 50 cm boyutundaki küe modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei...104 Şekil 5.21 50 cm boyutundaki küe modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 105 Şekil 5.23 FDTD modelinde kullanılan faklı çaplaa sahip küe modeli.106 Şekil 5.24 a. 50 50 50 cm boyutundaki küe modeline, b. 10 10 10 cm boyutundaki küe modeline c. 1 1 1 cm boyutundaki küe modeline ait, doğultusuna ait ada kesitlei..107 Şekil 5.26 FDTD modelinde kullanılan kae pizma modeli.108 Şekil 5.27 200 200 20 cm boyutundaki pizma modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei.....109 Şekil 5.28 200 200 20 cm boyutundaki pizma modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei. 110

Şekil 5.29 100 100 20 cm boyutundaki pizma modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei. 111 Şekil 5.30 100 100 20 cm boyutundaki pizma modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei. 112 Şekil 5.31 100 100 20 cm boyutundaki ve ε = 80 ve σ=0.063 S/m pizma modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei..113 Şekil 5.33 100 100 20 cm boyutundaki ve ε = 80 ve σ=0.063 S/m pizma modeline ait,y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei..114 Şekil 5.35 FDTD modelinde kullanılan silindi modeli..115 Şekil 5.36 100 cm boyunda ve 20 cm çapındaki 15 0 deece eğimli silindi modeline ait, doğultusuna ait ada kesitlei 116 Şekil 5.37 100 cm boyunda ve 20 cm çapındaki 15 0 deece eğimli silindi modeline ait,y doğultusuna ait ada kesitlei 117 Şekil 5.38 100 cm boyunda ve 20 cm çapındaki 30 0 deece eğimli silindi modeline ait, doğultusuna ait ada kesitlei..118 Şekil 5.39 100 cm boyunda ve 20 cm çapındaki 30 0 deece eğimli silindi modeline ait, y doğultusuna ait ada kesitlei...119 Şekil 5.40 100 cm boyunda ve 20 cm çapındaki 45 0 deece eğimli silindi modeline ait, doğultusuna ait ada kesitlei...120 Şekil 5.41 100 cm boyunda ve 20 cm çapındaki 45 0 deece eğimli silindi modeline ait, y doğultusuna ait ada kesitlei...121 Şekil 5.42 100 cm boyunda ve 20 cm çapındaki 60 0 deece eğimli silindi modeline ait, doğultusuna ait ada kesitlei...122 Şekil 5.43 100 cm boyunda ve 20 cm çapındaki 60 0 deece eğimli silindi modeline ait, y doğultusuna ait ada kesitlei...123 Şekil 5.44 100 cm boyunda ve 20 cm çapındaki 90 0 deece eğimli silindi modeline ait, doğultusuna ait ada kesitlei..124 Şekil 5.45 100 cm boyunda ve 20 cm çapındaki 90 0 deece eğimli silindi modeline ait, y doğultusuna ait ada kesitlei..125 Şekil 5.46 a. faklı açılı silindi modeline ait, doğultusuna ait ada kesitlei. b. faklı açılı silindi modeline ait, y doğultusuna ait ada kesitlei.126 Şekil 5.47 15 o, 30 o, 45 o, 60 o, 90 o eğimli silindi modeline ait ölçüm düzeneği..127 Şekil 5.48 FDTD modelinde kullanılan bou modeli 127 Şekil 5.49 ε = 1.0 ve σ=0 S/m bou modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei.128 Şekil 5.50 ε = 1.0 ve σ=0 S/m bou modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei.129 Şekil 5.51 ε = 80.0 ve σ=0 S/m bou modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei.130 Şekil 5.52 ε = 80.0 ve σ=0 S/m bou modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei.131 Şekil 5.53 ε = 80.0 ve σ=0.063 S/m bou modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei....132 Şekil 5.54 ε = 80.0 ve σ=0.063 S/m bou modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei....133 Şekil 5.55 30cm çapında ve 150 cm boyunda bou modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 134 i

Şekil 5.56 30cm çapında ve 150 cm boyunda bou modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei....135 Şekil 5.57 10cm çapında ve 50 cm boyunda bou modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei....136 Şekil 5.58 10cm çapında ve 50 cm boyunda bou modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei...137 Şekil 5.59 20cm çapında ve 100 cm boyunda bou modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei...138 Şekil 5.60 20cm çapında ve 100 cm boyunda bou modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei...140 Şekil 5.61 FDTD algoitmasında ve deneylede kullanılan kasa ve,y,z boyutlaı 141 Şekil 5.62 Deneylede kullanılan kasa üzeindeki pofille ve doğultulaı.142 Şekil 5.63 a. Faklı çaptaki demi boulaın kasa içindeki yaı gömülü göüntülei, b. Demi boulaın kasa içinde -z konumlaı, c. Kasa içinde -y konumlaı 143 Şekil 5.64 Faklı çapladaki demi bounun ekseni yönünde a. FDTD ve b. deneyle sonuçlaından elde edilen kesitlei.... 144 Şekil 5.65 a.aynı çaptaki demi ve plastik boulaın kasa içindeki yaı gömülü göüntülei, b. Demi, plastik boulaın kasa içinde -z konumlaı, c. Kasa içinde -y konumlaı.....145 Şekil 5.66 Faklı çapladaki plastik bounun FDTD ve deneyle sonuçlaından elde edilen adagam kesitlei...146 Şekil 5.67 a. Aynı çaptaki demi ve plastik boulaın kasa içindeki yaı gömülü göüntülei, b. Demi, plastik boulaın kasa içinde -z konumlaı, c. Kasa içinde -y konumlaı.147 Şekil 5.68 Demi ve plastik bou modelinin FDTD algoitmasından ve deneyleden elde edilen ada kesitlei... 148 ii

ÇİZELGELER DİZİNİ Çizelge 2.1 Ye adaı yöntemi aaştıma alanlaı www.deu.edu.t/same)...12 Çizelge 2.2 Bazı jeolojik biimlee ait dielektik, iletkenlik, hız ve soğulma değelei (Wilchek, 2000)...15 Çizelge 2.3 Ye adaı paametelei (dielektik sabit, elektik iletkenliği ve anten fekansı) aasındaki ilişki (Takahashi, 2004)...18 Çizelge 2.4 Deinliğe bağlı önek fekans seçimlei (Kadıoğlu, 2004)... 20 Çizelge 2.5 Fekansa bağlı önek maksimum ölçüm aalıklaı ((Kadıoğlu, 2004).21 Çizelge 2.6 Fekansa bağlı minimum anten aalığı öneklei (Kadıoğlu, 2004).22 iii

1. GİRİŞ Bu tez çalışmasının ana konusu zaman bölgesinde sonlu fakla yöntemi (FDTD) kullanılaak yüksek fekanslı elektomanyetik (EM) dalga modellemesidi. Yüksek fekanslı elektomanyetik yöntemlede FDTD, Mawell denklemleinin doğudan zamanda ve konumda yinelemeli olaak ayıklaştıılıp adım adım çözülmesine dayanmaktadı. Çalışmada yüksek fekanslı EM yöntem olaak ye adaı (GPR) yöntemi ele alınmakta ve FDTD ile üç boyutlu modelleme yapılmaktadı. FDTD yöntemi FD olaak kısaltılan sonlu-fakla yönteminin 1966 yılında Yee taafından Mawell denklemleine uyacak şekilde zaman bölgesi için genişletilmesiyle bilikte otaya atılmış, özellikle 1980 lein otalaında bilgisayalaın hız ve kapasiteleindeki hızlı atışla bilikte EM dalga poblemlei, için en çok kullanılan yöntemleden bii haline gelmişti. FDTD yöntemi 30 yılı aşkın bi süedi va olmasına ağmen, bilgisayalaın hız ve kapasitelei attığı süece yöntemin popüleitesi atmaya devam edecekti. Ayıca yöntemin geliştiilmesine yönelik yayınlaın atması da yöntemin çekiciliğini atımaktadı. FDTD ile ilgili aaştıma faaliyetleinin çok fazla olmasından dolayı FDTD liteatüünün izlenmesi zodu. Yutucu sını koşullaı (Engquist-Majda 1977, Bayliss- Tukel 1980, Liao et al. 1980, Scientia Sinica 1984, Benge 1994), sayısal dispesiyon (Schneide ve Wagne 1999, Kumpholz ve Katehi 1996, Q.H.Liu 1997 ), sayısal kaalılık (Taflove & Bodwin 1975, Namiki 1999, Zheng et al. 2000, De aedt et al. 2003), gid biçimlendime (Taflove- Umashanka 1977, Shanka et al. ve Madsen ve Ziolkowski 1990, Rylande ve Bondeson 2000), mikoşeit hatlı deve analizi, açık veya kapalı dalga kılavuzlaında dalga iletimi ve süeksizle (Choi & Hoefe 1982), ada saçılma yüzeyi (RSY) modelleme (Taflove- Umashanka 1977), anten ve anten dizi tasaımlaı ve sentezi (Maloney et al. 1991, Katz et al. 1991, Tikas ve Balanis 1991), biyolojik dokulada elektomanyetik tutulma hesaplaı (Sullivan et al. 1987, Zhang et al. 1987). Mikodalga fıın benzetimi EMC/EMI (elektomanyetik uyumluluk ve giişim) modelleme (Sui et al. 1991) bazı uygulama alanlaıdı. Günümüzde GPR modellenmesinde en çok kullanılan sayısal yöntemleden bii de FDTD yöntemidi (Robets ve Daniels 1997, Xu ve McMechan 1997, Begmann 1

vd.,1998). Sonlu fakla ağının hücesel özelliği nedeniyle, bu yöntemle yapılan çözümlemede basit yealtı yapılaının yanı sıa, kamaşık yealtı yapılaına ait model yanıtlaı da uzun süe geektimeden hesaplanabilmektedi. Ayıca bu teknik, diğe hesaplama tekniklei ile yapılamayan ve ada kuamında önemli bi yei olan ada anteninin yakın alanındaki gömülü hedefleden oluşan saçılmalaın modellenebilmesine de olanak vemektedi (Robets and Daniels, 1997). Çalışmanın ikinci bölümde ye adaı hakkında temel bilgile ve dayandığı temel fiziksel ve matematiksel tanımla veilmişti. Çalışmanın üçüncü bölümünde FDTD ayıntılı olaak ele alınmıştı. Bu yöntemin dayandığı matematiksel ve fiziksel özellikle anlatılmıştı. Sayısal analiz için geekli denklemle oluştuulmuştu. FDTD yönteminin kaalılık koşullaı hakkında nelee dikkat edilmesi geektiği, kaynak uyamasının ne şekilde yapılacağı, paamete seçimi ve sayısal dispesiyon gibi yöntemlele ilgili önemli kavamla açıklanmıştı. Dödüncü bölümde, ayıntılı olaak incelenen yutucu sını koşullaının matematiksel özelliklei veilmiş ve hangi sını koşulunun hangi yapılada ve ne tü poblemlede daha etkili olacağı belitilmişti. Güncel aaştıma mekezleinde en çok kullanılan biinci ve ikinci-deece Mu (Mu 1963), Higdon (Higdon 1987), Liao (Lio et al. 1984) ve DBC (dispesive bounday condition) tüü sını koşullaı ile aalaındaki faklılıkla ve benzelikle anlatılmaktadı. 1994 yılında Benge (Beenge 1994), taafından otaya atılan ve Mükemmel Uyumlu Tabaka (Pefectly Matched Laye, PML) olaak adlandıılan yutucu sını koşulu ele alınmıştı. İki boyutlu ve üç boyutlu FDTD uzayına nasıl uygulanacağı anlatılmıştı. Beşinci bölümde, FDTD yönteminde kullanılan faklı sını koşullaı uygulamalaı yadımıyla üç boyutlu (3B) yüksek fekans elektomanyetik dalga modellemesi yapılmış ve kaşılaştıılmıştı. Ayıca, Ankaa Ünivesitesi Jeofizik Mühendisliği Bölümü kayaç fiziği laboatuaında ahşap hazne içeisinde aynı uzunluklada, faklı çaplada içi boş demi ve 2

plastik boula ayı ayı ve bi büyük çaplı demi ve plastik boula kuma gömüleek, yüksek fekanslı RAMAC CU II maka ada sistemi ve 1.6 GHz mekez fekanslı kapalı anten ile 0.0044 m aalıklala ölçümle alınmıştı. Bu çalışmadaki amaç, aynı şekilli faklı özellikteki cisimlein göstediği faklılıklaı işlenmiş adagamla ve FDTD yönteminden elde edilen adagamlala kaşılaştımaktı. Son bölümde yapılan modelleme ve uygulama sonuçlaı tatışılmıştı. Eklede ise, EM dalgala teoisinin matematiksel bağıntılaı, GPR antenle ve polaizasyon kavamlaı, yakın-uzak alan denkleminde kullanılan Fesnel denklemle ve Taylo seisi anlatılmıştı. 3

2. YER RADARI YÖNTEMİ 2.1 Tanım Ye adaı (GPR), yüzeye yakın yealtı özellikleinin belilenmesinde kullanılan yüksek fekanslı ayım gücü yüksek elektomanyetik, jeofizik yöntemdi (Giffin and Pippet 2002). GPR ölçüm sistemi, kontol sistemi, veici anten, alıcı anten ve kayıtçıdan oluşmaktadı (Şekil 2.1). Yöntemde kaynak olaak yüksek fekanslı elektomanyetik dalgala kullanılmaktadı. Ye adaı, düşük maliyeti, hızlı kullanımı ve çeveye hehangi bi tahibat vememesi dolayısıyla biçok alanlada kullanılmaktadı. Şekil 2.1 Ye adaı sistemi ve EM dalgala( Last and Smol 2001) 1 havadan doğudan gelen EM dalgası, (2) yüzeyden doğudan gelen EM dalgası, (3) ve(4) aayüzeyden yansıyan EM dalgalaı 4

2.2 Ye Radaının Çalışma Pensibi Ye adaı, kaynak olaak kullanılan yüksek fekanslı EM dalgalaın veici anten kullanılaak yealtına göndeilmesi ve bu dalgalaın bi kısmının kaşılaştıklaı faklı cisimlein veya faklı jeolojik yapılaın yüzeyleinden yansıyaak alıcı anten taafından işlem ünitesine iletilmesi şeklinde çalışmaktadı (Şekil 2.2). Bütün bu işlemle saniyenin milyonda bii zamanda geçekleşmektedi (Çataklı 2003). Veici anten taafından yealtına göndeilen EM dalgalaın ye içinde ileleme hızı, ilelediği otamın dielektik sabitine ve manyetik geçigenliğine; dalganın ulaşabileceği maksimum deinlik ise, dalganın fekansına ve ilelediği otamın elektik iletkenliğine bağlıdı (Weeds 1994). Şekil 2.2 Ye adaı yönteminde zaman-uzaklık diyagamı ve dalga modlaı Ölçümle genellikle bi pofil üzeinde, önceden belilenmiş ölçüm noktalaında alınıla. ölçüm noktalaındaki izle yan yana getiileek adagam adı veilen ada kesitlei elde edili (Şekil 2.3). 5

Şekil 2.3 Pofille boyunca elde edilen adagam göüntüsü Ye adaı sistemlei geniş bantlı antenle kullanı. Yaklaşık olaak 10 MHz den 1000 MHz e kada geniş fekans aalıklaı kullanılı. 3 ile 10 nanosaniye (1 saniye=10 9 ns) impuls kaynaklı bi veici anten yaklaşık 50-1000 geilim (V) kullanıken, alıcı antende 0.1-0.001 geilim oluşu (Roges 1994). Bu geilimleden (2.1) bağıntısı ile veilen db cinsinden yansıma gücü hesaplanı.. =10log (2.1) Buada; ; db biiminden göeceli yansıma gücü, v o ; yansıma genliği (V), v ; efeans genliği (V) di. 6

2.3 Ye Radaı Yöntemi Taihçesi Ye adaı yöntemi sismik, gavite, düşük fekanslı elektomanyetik yöntemle, elektik yöntemle ve IP gibi jeofizik yöntemlele kaşılaştııldığında oldukça yeni bi yöntemdi. Rada, II. Dünya Savaşı sıasında silah sistemleinin gelişmesi ile ada teknolojisinin olağanüstü gelişmesine yol açtı ve özellikle buna bağlı olaak hava savunma sistemlei kuulmaya başlandı. Savaş sonasında NATO ve Vaşova Paktı üyesi ülkelein otak sınılaında biçok ada sistemi yeleştiildi. İkinci Dünya Savaşından sona ada yöntemi baışçıl kullanım olaak adlandıılan bi yönde kullanılmaya başlandı. Günümüzde ada günlük hayatta çok sık kullanılmaktadı. 1865 İngiliz fizikçi James Clek Mawell elektomanyetik dalgalaı ve bunlaın yayılmasını açıklayan elektomanyetik ışık kuamını otaya attı. 1886 Alman fizikçi Heinich Rudolf Hetz elektomanyetik dalgalaı keşfetti ve Mawell'in kuamını kanıtladı. 1904 Alman yüksek fekans teknisyeni Chistian Hülsmeye su üzeinde ki tafiği denetlemek için telemobiloskopu icat etti. Bu alet metal bi nesneden çapaak dönen elektomanyetik dalgalaın süesini ölçüyo ve böylece menzil hesaplanabiliyodu. Bu ilk patik ada denemesi için Hülsmeye patent başvuusunda bulundu. 1921 Albet Wallace Hull taafından güçlü göndeici tüpü magneton icat edildi. 1922 ABD Donanma Aaştıma Laboatuaından A. H. Taylo ve L.C.Young ilk kez bi tahtadan gemiyi algılamayı başadıla. 1921 Albet Wallace Hull taafından güçlü göndeici tüpü magneton icat edildi. 1922 ABD Donanma Aaştıma Laboatuaından A. H. Taylo ve L.C.Young ilk kez bi tahtadan gemiyi algılamayı başadıla. 1930 Yine ABD Donanma Laboatuaından L. A. Hyland bi uçağı algıladı. 7

1931 Bi gemiye ada takıldı. Alıcı ve veici anteni olaak boynuz ışın yayıcı bulunan paabolik anten kullanıldı. 1936 Metcalf ve Hahn taafından yükselteç veya osilatö olaak kullanılan kliston bulundu. 1939 İngiltee Bimingham Ünivesitesinden John Randall ve Heny Boot adlı iki fizikçi hafif fakat güçlü mikodalga adaını geliştidile ve bu ada B-17 bombadıman uçaklaına takıldı. Bu denizaltı savaşlaında bi dönüm noktası oldu. 1940 ABD, Rusya, Almanya ve Japonya'da muhtelif ada tesislei geliştiildi. 1940 Yealtındaki nesnelein belilenmesine yönelik ilk uygulama yapılmıştı. 1976 İlk uygulama don altında kalan topak tabakasında Annan ve Davis taafından geçekleştiildi. 1989 1936 Uygulama alanlaının 1989 da Annan ve Davis taafından genişletilmesi ile yöntemin zayıf noktalaı ve güçlü yanlaı anlaşılmıştı (Annan 1992). 2000 İnsan kalıntılaının aanması (Hammon III et al. 2000), ye altı su seviyeleinin belilenmesinde (Bano et al. 2000, Dannowski ve Yaamancı, 1999, Aspion ve Aigne, 1999; Haai 1996, Benson 1995). 2.4 Ye Radaı Kullanım Alanlaı Ye adaı ilk uygulaması 1929 yılında Avustuya da buz kalınlığının ölçülmesi amacıyla geçekleştiilmiş (Sten 1929,1930) ve sonaki yıllada çok çeşitli sığ aaştımalada geniş kullanım alanlaı kazanmıştı. Başlıca uygulama alanlaı aşağıda kısaca sunulmaktadı. Bununla bilikte Çizelge 2.1 de adaın uygulama alanlaı sıalanmıştı. 8

2.4.1 Jeoteknik ve jeolojik aaştımala Jeoteknik aaştımala genelde yüzeyden itibaen 1 20 mete deinliklee kada olan bölüm ile ilgilenmekte, nadien büyük yapıla için bu deinlik 20 60 meteye kada ulaşmaktadı. Ye adaı ile jeoteknik aaştımala da bazı alt başlıklada değelendiilmektedi (Daniels 2004). 2.4.1.1 Yüzeydeki gevşek zonun tespiti Zeminin en üst tabakası olaak adlandıılan ve he tülü yapılaşma için mutlaka alttaki set zemin bulununcaya kada kazılması geeken bu tabakanın kalınlığı he yede faklıdı. Malzemenin cinsine de bağlı olaak bazen onlaca meteyi bulmaktadı. Yapılaşmanın pogamlandığı sahalada bu biimin saptanması amacı ile elektik ya da sismik yöntemlele jeofizik etütle yapılmakta veya sondajlala saha test edilmektedi. Ye adaı uygulamalaı, aynı çalışmalaın bu yöntem ile çok daha kısa süede ve daha az maliyet ve insan gücü ile yapılabileceğini kanıtlamıştı. Genelde yüzeydeki gevşek zon alttaki nispeten pekişmiş zon ile iyi bi dielektik sabit fakı oluştumaktadı. Ye adaı uygulamalaında kullanılan elektomanyetik dalgala için iyi bi kontast oluştuan bu sını kayıtlada kolaylıkla gözlenebilmektedi (Daniels 1989). 2.4.1.2 Ana kaya (Temel kaya) deinliğinin saptanması Ana kaya yüzeyi elektomanyetik dalgala için iyi bi yansıma yüzeyi olup deinliği 40 50 meteyi geçmeyen temel kaya deinliklei ye adaı yöntemi ile kolaylıkla bulunabilmektedi. Köpü ayaklaı, viyadükle, bazı yapılaın temeline itibatlandıılan foe kazıklaı et ale bazı mühendislik uygulamalaı için temel kaya deinliğinin saptanması geekli olmakta, ye adaı yöntemi ile bu çalışmala başaı ile yapılmaktadı (Robets 1992). 9

2.4.1.3 Zemindeki yanal ve düşey süeksizliklein saptanması Zemin içeisinde bulunan gevşek biimle, yanal ve düşey fomasyon değişimlei homojen zemin özelliğini bozabilmektedi. Bu zeminlein aaştıılması yapılmadan üzeine inşa edilecek he tülü yapıda bi süe sona defomasyon başlayacaktı. Bunun önüne geçmek için sahada önceden yapılacak olan bi ye adaı etüdü, bu tü gevşek biimlei bütün detaylaı ile otaya çıkaacaktı (Haeni 1995). 2.4.1.4 Otoyol, tünel ve demiyolu güzegah çalışmalaı Yapılması planlanan otoyol ve ten yolu zeminleinin aaştıılması ile tünel açılması planlanan kaya otamlaındaki tünel güzegahı boyunca kayalık zemindeki mevcut süeksizlik veya çatlaklaın aaştıılması, ye adaı ile başaıyla yapılmaktadı. Kayalık otamla düşük dielektik sabiti ve elektik iletkenlik nedeniyle elektomanyetik dalgalaın kaya otamı içeisindeki kolay yayınımı ve süeksizlikleden yansıma elde edilmesi bu yöntemin uygulamasını yaygınlaştımıştı (Koppenjan 1993). 2.4.1.5 Boşluklaın saptanması Özellikle kastik sahalada büyük çaplı hava boşluklaı zeminde ciddi tehlikele oluştumaktadı. Bu boşluklaın belilenmesinde elektik ve sismik yöntemle bazen yetesiz kalabilmektedile. Ye adaı yöntemi ise bu konuda büyük avantajla sağlamaktadı. Hava, elektomanyetik dalganın yayılması için ideal bi otamdı. Kayaçla ise, dielektik sabitleine, manyetik geçigenlikleine, manyetik süseptibiliteleine, içediklei su miktaına ve buna bağlı olaak atan elektik iletkenlikleine bağlı olaak elektomanyetik dalga yayınımına dienç göstemektedi. Ancak bi hava boşluğu ile kaşılaşan elektomanyetik dalgala aniden hızlanmakta ve bu yeni otamın aa yüzeyinden kuvvetli yansımala göndemektedi. Bu nedenle hava boşluklaının ye adaı yöntemi ile saptanması mümkündü. 10

2.4.1.6 Su tablasının belilenmesi Zeminde bulunan su tablasının seviyesi ve mevsimsel haeketlei üzeine inşaa edilecek yapıla için çok önemlidi. Elektomanyetik dalgalaın, su içeen fomasyon içeisinde, yüksek elektik iletkenliği nedeniyle yayınımı güçtü. Dolayısıyla su tablası sınıı elektomanyetik dalgala için çok kuvvetli bi yansıma yüzeyidi. Bu yöntem kullanılaak zemindeki su tablası seviyesinin dağılımı büyük bi duyalılıkla çıkaılabilmektedi (Robets 1994). 2.4.2 Maden aaştımalaı, maden ocağı sınılaının belilenmesi Madenlein saptanması ve işletmeye alınacak madenlein ocak sınılaının tespiti, ye adaı uygulama deinliklei içeisinde ye aldığından bu yöntem ile saptanabilmektedi. Yüzeye sokulum yapan volkanik ve metamofik kayaçladaki elektomanyetik dalga yayınımı, civaındaki ayışmış yüzey çökelleinden faklı olduğundan dokunaklada iyi yansıma yüzeylei oluşmaktadı. Meme işletmeciliğinde kalınlık ve süeksizliklein değişiminin otaya konulmasında en yaygın olaak kullanılan yöntemdi. 2.4.3 Kablo ve bou güzegahı belileme çalışmalaı Su, kanalizasyon, akayakıt ve doğal gaz bou hatlaı ile elektik ve habeleşme kablolaı bi lokasyondan diğeine ulaştıılıken yealtına gömülmektedi. Gömme opeasyonu öncesi ise uygun zeminin belilenmesi amacıyla aaştıma yapılmaktadı. Ye adaı yöntemi ile yapılan zemin incelemelei bou hattı ve kablo döşenmesine en uygun zemini süatli bi şekilde belilemektedi (Robets 1994). 11

2.4.4 Otoyol asfalt ve dolgulaındaki defomasyonlaın izlenmesi Otoyolla yapıldıktan sona bazı kesimlede gözle göülen defomasyonla otaya çıkabilmektedi. Geek doğal afetle geekse beklenenin üzeindeki yükle otoyollada kısmi bozukluklaa neden olmakta, önlemi alınmazsa daha büyük defomasyonlaı beabeinde getimektedi. Defomasyon belitileinin otaya çıkmasından sona bölgede yapılan ye adaı ölçümlei bu sahada defomasyona neden olan kaynağı otaya çıkamakta büyük yaa sağlamaktadı. Asfalt üzeinde yapılan ye adaı çalışmalaı uygun zemin nedeniyle son deece hızlıdı. Elde edilen kayıtladan defomasyonun asfalt kaplama veya altındaki dolgu malzemesindeki miktaı da belilenmektedi (Daniels, 1989). 2.4.5 Akeolojik aama çalışmalaı Günümüzde biçok eski medeniyete ait taihi kalıntıla yein altında keşfedilmeyi beklemektedi. Topak altında bulunan eski yapılaın jeofizik yöntemlele saptanaak tahip edilmeden kazılması için akeologla ile jeofizikçile aasında uzun yılladı otak çalışmala yüütülmektedi. Ye adaı tekniğinin uygulanmaya başlamasından sona jeofizikçile akeologlaa en kesin ve en tahibatsız sonuçlaı vemeye başlamışla, akeologla da ye adaı sonuçlaını kullanaak kazılaını tahibatsız yapmaya başlamışladı. Ye adaı ile özellikle topak altında kalan eski yapıla ve meza boşluklaı başaılı bi şekilde göüntülenebilmektedi (Daniels, 1989). 2.4.6 Güvenlik ve kiminal amaçlı kullanım Güvenlik açısından, cezaevi çevesinde peiyodik ye adaı ölçümlei ile cezaevi dışına doğu kazılacak tünelle tespit edilebilmektedi. Ayıca hüce evi olaak ele geçiilen yasadışı ögüt baınaklaında ve çevesindeki gizli bölmelede gizlenen silah, cephane ve ezak tespitinde de ye adaı uygulamalaından yaalanılmaktadı. Ayıca aazide gömülü olan ceset veya toplu mezalaın aanmasında da ye adaı kesin sonuçla vemektedi. 12

Çizelge 2.1 Ye adaı yöntemi aaştıma alanlaı(www.deu.edu.t/same) 2.5 Ye adaı Yöntemini Etkileyen Faktöle Ye adaı, yüksek çözünülük ile yüzeysel deinlik aaştımalaında kullanılan bi yöntemdi. Ye adaı yöntemi ölçümün yapılacağı çeveye oldukça duyalıdı. En önemli iki faktö, elektomanyetik kaynakla ile metalik yapılaın valığıdı. Ayıca, diğe önemli faktöde aaştıma alanının koşullaıdı. Çalışmanın yapılacağı alanda ekipmanla güvenli ve ekonomik bi biçimde çalışmanın yapılıp yapılmayacağı da önemli bi konudu. Eğe otamda sıcaklık, soğukluk, kililik gibi olağan dışı koşulla ya da tehlikele mevcut ise bunlaa dikkat edilmeli ve çalışma esnasında not alınmalıdı. Vei-işlem ve youm aşamasında bu notlaa dikkat edileek işlemle yapılmalıdı (Annan, 1999). 13

2.6 Aaştıma Deinliği Ölçümlede kullanılacak fekansla, antenlein aalığı, ölçüm aalığı, kayıt uzunluğu, önekleme aalığı, yealtı suyu seviyesi, ötü katmanın tüü ve özdienci aaştıma amacına göe belilenmesi geeken büyüklükle veya değişkenledi. Öneğin, inceleme alanında bikaç noktada düşey elektik sondaj ölçümü yapılaak deinliğin fonksiyonu olaak özdienç bulunaak otamda oluşacak sönüm miktaı hesaplanabili. Bu duumda ölçümlede ulaşılabilecek en yüksek aaştıma deinliği; 30 veya α 35 (2.2) σ ile hesaplanabili. Buada sönüm katsayısının (α ) biimi db/m,iletkenliği biimi ms/m di. Aaştımada çözünülüğü istenen deinlik d ve otamın sahip olduğu pemitivite değei ε ise, ölçümlein yapılması için uygun fekans; f 150 = (2.3) d ε ile bulunu. Eğe sabit ölçüm aalıklı pofillede iki ölçüm aası uzaklık, dalga boyunun ¼ ün den büyük ise kuamsal olaak aaştıılmak istenen hedefle belilenemez. Bu koşul yaklaşık olaak biimi mete olan ölçüm aalığı D 75 = (2.4) f ε ile veilebili (Giffin and Pipet 2002). Diğe bi yaklaşımla, he iki işlemden D in aaştıma deinliğinin en fazla 1/8 i kada veya daha az olması geektiği göülebili. Anten dizilimlei genelde yan yana olaak yapılmasına ağmen uç uca dizgelede kullanılmaktadı. Jeolojik uzanımın veya aaştıma hedefinin bilindiği duumlada antenle yapıya koşut 14

tutulmalıdı. Uygulamalada anten aalığının aaştıma deinliğinin 1/5 i veya daha küçük alındığında iyi sonuç vediği göülmüştü. Deinliğe bağlı olaak anten aalığı D anten (m) için ampiik bağıntı; D anten 2* deinlik = ε 1 (2.5) ile veili (Giffin and Pipet 2002). 2.7 Yeiçi İletkenlik ve Dielektik Sabiti Etkisi İletkenlik ve dielektik sabiti, yüzeysel özelliklein bulunmasını etkilemektedi (Uliksen 1982). Bu iki paamete sudan önemli bi şekilde etkilenmektedi. Bundan dolayı suyun ye adaının başaısı üzeinde büyük etkisi bulunmaktadı (Giffin and Pipet 2002). Çizelge 2.2 de bazı jeolojik malzemelee ait dielektik sabit, iletkenlik, yayılma hızı ve soğulma değelei veilmişti. 15

Çizelge 2.2 Bazı jeolojik biimlee ait dielektik, iletkenlik, hız ve soğulma değelei (Wilchek 2000) Yüksek iletkenlik ada çalışmalaını sınılayan en önemli faktöleden biidi. Yüksek iletkenli zemin (yüksek kil içeikli zemin) düşük iletkenli zeminden (kuu kum) daha fazla eneji soğuu (Giffin et al. 2002). Yüksek iletkenli otamla, iletilen sinyalin soğuulmasına ve deinliğin azalmasına neden olmaktadı. Bu nedenle ye adaı çalışmalaında çalışılan otamın iletkenliğinin düşük olması isteni. Zemin dokusu, zemin yoğunluğu, zemin hacimsel su içeiği ve zemin tuz miktaı içindeki değişiklikle ada sinyalleini etkilemektedi (Bistow and Jol 2003). Otamın dielektik sabiti elektomanyetik dalganın yayılma hızını belilemektedi. Yayılma hızı ile dielektik sabiti aasında tes oantı vadı. Yealtına göndeilen elektomanyetik 16

dalgalaın hızı, ani bi dielektik sabit düşmesi sonucunda atmaktadı. Bu otam değişikliği sınıı bi yansıma yüzeyi oluştuduğundan ileleyen dalganın bi kısmı gei dönmekte ve alıcı antene ulaşmaktadı. Dielektik sabitin attığı otamlada (Kil gibi su içeiğinin yüksek olduğu otamla), dalga hızı azalmakta ve eneji kaybına uğamaktadı. 2.8 Su Otamı Su sahip olduğu yüksek polaizetibilite nedeniyle en yüksek dielektik sabitine sahipti (Weeds 1994). Bu nedenle elektomanyetik dalgalaın bu dienç kaşısında ilelemesi oldukça zodu. Diğe yandan, su tablası sınıı, ye adaı çalışmalaında elektomanyetik dalgala için iyi bi yansıma yüzeyi oluştumaktadı ve bu sını kolay bi şekilde tespit edilebilmektedi (Şekil 2.4). Şekil 2.4 Kumlu bi alanda su tablasının Ye Radaı kesitindeki göünümü (Stickley et al. 2000). 17

2.9 Anten Fekansı Ye adaı çalışma pefomansına etki eden diğe bi faktöde kullanılan anten fekansıdı. Uygulamalada kullanılan anten fekanslaı 25 MHz ile 2000 MHz aasında değişmektedi. Bu fekans uygulama deinliğine bağlı olaak değişmektedi. Antenin fiziksel boyutu iletilen dalgalaın fekansını etkile (Giffin et al. 2002). Elektomanyetik dalgalaının deinliği ve çözünülülüğü kullanılan anten fekansına bağlıdı (çizelge 2.3) (Takahashi 2004). Yüksek fekanslı elektomanyetik dalgala düşük fekanslı elektomanyetik dalgalaa göe daha fazla detay ve yüksek ayımlılık elde edilmesine olanak sağla, fakat yüksek fekansla çok hızlı emildiği için penetasyon deinliklei düşük fekansla kada iyil değildi (Giffin and Pipet 2002). Kısacası, fekans ile ayım aasında doğusal oantı; fekans ile deinlik asında tes oantı vadı. Şekil 2.5 de fekans, ayımlılık ve deinlik aasındaki ilişki veilmişti. Çizelge 2.3 Ye adaı paametelei (dielektik sabit, elektik iletkenliği ve anten fekansı) aasındaki ilişki (Takahashi 2004) Şekil 2.5 Fekans, ayımlılık ve deinlik asındaki ilişki (Last and Smol 2001). 18

Anten fekansı seçimi yapılıken bilinmesi geeken koşulla vadı (Takahashi 2004). Bunla; 1) Hedef aaştımanın boyutu, deinliği, mateyal tüü, 2) Hedefin gömülü olduğu zemin ve kayanın özelliklei, 3) GPR penetasyonunu etkileyen nem ve kil içeiği, 4) Alanın yüzey engebelei ve bitki ötüsüdü. 2.10 Çeve Koşullaı Ye Radaı yöntemi ölçümün yapılacağı çeveye oldukça duyalıdı. En önemli iki faktö, elektomanyetik kaynakla ile metalik yapılaın valığıdı. Ayıca, diğe önemli faktöde aaştıma alanının koşullaıdı. Çalışmanın yapılacağı alanda ekipmanla güvenli ve ekonomik bi biçimde çalışmanın yapılıp yapılmayacağı da önemli bi konudu. Eğe otamda sıcaklık, soğukluk, kililik gibi olağan dışı koşulla ya da tehlikele mevcut ise bunlaa dikkat edilmeli ve çalışma esnasında not alınmalıdı. Vei-işlem ve youm aşamasında bu notlaa dikkat edileek işlemle yapılmalıdı (Anan 1999). 2.11 Çözünülük Çözünülük kullanılan antene bağlıdı. Geeksinim duyulan deinlik ve çözünülüğe göe 10-1800 MHz aasında antenle vadı. Düşük fekanslı anten kullanımında deinlee inme imkanı ata. Deinliğin atması ise, çözünülükte azalma anlamına geli. Bu duum yüksek fekans içinde geçelidi. Yüksek fekanslı anten kullanımında deinlik azalıken çözünülük ata. Yüksek fekanslaın yüzeye yakın kesimlede emilmesi fazla olacağından deinlik bakımından fazla bilgi alınamaz. 19

2.12 Aya Ye adaı sistemi üeticisinin yapacağı aya ve standatlaştıma önemlidi. Bi pojeye başlamadan önce mutlaka cihazlaın ayalaı yapılmalıdı. Eğe ölçü alımı bibiini takip eden günle içindeyse gene he gün aya yapılmalıdı. Cihazlaın temel bakımlaı aksatılmamalı, vasa bozucu etkile uzaklaştıılmalıdı. 2.13 Hassasiyet ve Sapmala Hassasiyet, yapılan ölçümlein tekalanabililiği ve antenin uygun ve doğu şekilde kullanımıyla ayıca doğu anten tüü seçimiyle bağlantılıdı. Alınan veiden emin olunamadığında ölçüyü teka almak hassasiyeti atııken fiyatlandımada ise atışa sebep olabili. Ölçü alanının sadece kum içediği va sayılısa he tekalanan ölçüde aynı veinin elde edilmesi geeklidi. Faklı veide hata oluşuyosa ölçümde hata yada kalibasyon hatası olduğu kolayca anlaşılabili. Bu duum, faklı litoloji içeen alanlada yapılan ölçüm çalışmalaında da aynı mantık içinde yapılı. Sapmala ise kaydediciden kaynaklanan hataladı. Gidiş geliş zamanlaında hatala ya da ölçü alımı sıasında alıcının uygun şekilde kullanılamaması hesap hatalaı, pofili takip edememe ve nedeni bilinmeyen ada hızındaki ani değişiklikle olaak tanımlayabiliiz. Ye adaı yönteminde kullanılan başlıca ana pogamla SIR SYSTEM / PATHFİNDER, RAMAC / GPR SYSTEM, PULSEEKKO / NOGGIN SYSTEM di. 2.14 Anten Seçimi Anten seçiminde önemli olan hangi deinliğin gözlemlenmek istendiğidi. Yüksek fekansla yüksek çözünülük sunaken deinlee indikçe soğuulmaktadıla. Düşük fekansla ise daha deinlee ahatça nüfuz edebilmektedile. 20

Çizelge 2.4 Deinliğe bağlı önek fekans seçimlei (Kadıoğlu 2004) Mekez Fekans (MHz) Düşey Ayımlılık (m) Maksimum Penetasyon (m) 25 1 50 50 0.5 40 100 0.25 25 200 0.125 12 500 0.05 6 800 0.03 2.5 1000 0.025 1.5 1600 0.0125 1 2.15 Ölçüm Aalığının ve Antenle Aası Ayım Aalığının Seçilmesi Seçilen antenin ayımlılık gücüne yani mekez fekansına uygun bi ölçüm aalığı belilenmeli. Nyquist önekleme aalığını geçmemelidi. Bu da dalga boyunun dötte biidi. 21

Çizelge 2.5 Fekansa bağlı önek maksimum ölçüm aalıklaı ((Kadıoğlu 2004) Fekans Maksimum Ölçüm Aalığı (m) 12.5 2.0 25 1.0 50 0.5 100 0.25 200 0.10 450 0.05 900 0.02 Antenle açık tüü ve ayı duumda isele he bi mekez fekansı için antenle aası minimum aalık kounmalıdı. Minimum anten aalığı, anten boyuna eşitti. Seçilmesi geeken aalıktan daha küçük seçilise alıcı doygunluğu (satuation) oluşabili ve kesilmeden dolayı vei kaybolabili. 22

Çizelge 2.6 Fekansa bağlı minimum anten aalığı öneklei (Kadıoğlu 2004) Fekans Minimum Anten Aalığı (m) 12.5 8 25 4 50 2 100 1 200 0.5 450 0.25 900 0.17 2.16 Zaman Önekleme Aalığının ve Kayıt Zamanının Belilenmesi Diğe önemli bi paamete de zaman önekleme aalığı seçimidi. Bi iz üzeindeki noktala aası zaman aalığıdı. Mekez fekansı büyüdükçe veinin toplanmasında daha küçük önekleme aalığı seçilmelidi. Zaman önekleme aalığı ile mekez fekansı aasındaki ilişki, t = 1000 / ( 6F ) (2.6) şeklindedi. Maksimum kayıt zamanının doğu seçilmesi önemlidi. Geeğinden az seçilmesi duumunda hedef deinliğe ulaşmadan kayıt bite, geeğinden fazla seçilmesi duumunda vei hacmi ata ve geeksiz şekilde kayıt sistemi hafızası dolduulu. Buna göe jeolojik çalışmala için otalama 0.1 m/ns hız alınısa; 23

T = 1.3 (2d) / V (2.7) Olaak ampiik bi bağıntı ile hesaplanabili (Annan, 2000). d = maksimum deinlik, V = minimum hız. 2.17 Pofil Yönünün ve Pofil Aalığının Seçimi - Hedefin uzun ekseni biliniyosa, pofil yönü buna dik yön boyunca olmaktadı. - Hedefin yönü hakkında bilgi yoksa deneme pofille yadımı ile pofil yönü belilenebili. - 3B ye adaı çalışmalaında başlangıç noktalaı ve bitiş noktalaı aynı olan önekleme kuamına göe düzenlenmiş paalel pofille ile ölçüm alanı taanmalıdı. 2.18 Mekez Fekansı ve Band Genişliği Sistemin band genişliği sistemin minimum cevap zamanını tanımla. Fekans otamında düşük band genişliği zaman otamında mekez fekansı ile kaakteize edilen geniş bi dalgacığı tanımla. 2.19 Anten Düzeneğinden Kaynaklanan Yayınma Kaybı Ye adaı yönteminde genlik değelei desibel (db) ile yani kazanç sönüm işlemlei ile tanımlanıla. db=10 log 10 (kazanç/sönüm) (2.8) 24

2.20 Saçılma Yüzeylei Ye adaında saçılma yüzeylei etkili bi paametedi. Hedeflein tanımlanmasında saçılma yüzeyleinden yaalanılı. En etkili olana yansımaladı. Yüzeylein eğilik yaıçaplaının gelen dalga boyuna göe çok büyük olduğu duumlada geçeli olu. Snell yasalaına uyala. Diğei ise kıınımladı. Uç ve kena süeksizlik gösteen yüzeyleden olan saçılmaladı. Temel ışın-optik yöntemle yeine kıınım teimleini içeen geometik kıınım teoisi ve fiziksel kıınım teoisi kullanılı. Yüzey dalgası teimi, pek çok dalga tipini içeen ve bi gövde boyunca yol alan akımı ifade ede. Yüzey dalgalaı, iç bükey yüzeylede yüzeyi yalayaak gelen dalgaladı. Bu dalgala dış bükey yüzeylede zayıflayaak yol alıla ve bunlaa süünen dalgala deni. 2.21 Yöntemin Üstünlük ve Zayıflıklaı Sığ ye aaştımalaında oldukça yaygın kullanılmaya başlanılan ye adaı yöntemi, diğe jeofizik yöntemlele kaşılaştııldığında önemli atıla ve eksilee sahipti. Bu atıla ve eksile yöntemin kullanılacağı çalışmada mutlaka göz önüne alınmalıdı. Ye adaı yönteminde, yüksek fekanslı kaynak kullanılması aaştıma deinliği çözünülüğünü yükselti. Ayıca yığma yapabilme olanağı da aaştıma deinliği çözünülüğünü pozitif yönde etkilemektedi. Aaştıma çözünülüğü deinliği, ölçümlein yapıldığı istasyonla aası uzaklığa da bağlıdı. İstasyonla aası uzaklık, hedeflenen yapının elektiksel iletkenliğine bağlı olaak seçilen elektomanyetik dalganın dalga boyu ile ilişkilidi. 25

Aaştıma da hedeflenen yapının deinliği, yapının elektiksel özellikleine, otamın jeolojik özellikleine ve seçilen elektomanyetik dalganın mekezi fekansına bağlı olaak duyalı bi şekilde hesaplanabili. Bu önemli bi avantajdı. Çalışma sıasında, insanla taafından oluştuulan istenmeyen olayla diğe bi deyişle güültüle, vei işlem tekniklei ile kolayca ayıklanabili. Ayıca, kullanılan ekipmanla bakımından, otamın topogafyasına da bağlıdı, uygulanması oldukça kolay ve hızlıdı. Kullanılan elektomanyetik dalganın mekezi fekansının yüksek fekanslı olması aaştıma deinliği, çözünülüğünü attısa da, aaştıma deinliğini azaltmaktadı. Etki tepki sounu da, yüksek fekansın diğe bi eksi yönüdü. Ye adaı yöntemi nemli otamlada istenildiği gibi çalışmamaktadı. İletkenlik attıkça, kesitle kalitesizleşmektedi. Çok yüksek iletkenliklede aa yüzeylede eneji yayılıken keskin yansıma sinyallei yaatabili ve bilgi alınması zolaşabili. Yealtı su seviyesine yaklaştıkça oluşan ani iletkenlik atışı da elektomanyetik dalganın genliği ve yüksek fekansında önemli bi soğuulmaya neden olacaktı. Bu da kesiti kalitesizleştimektedi. Radyo veicilei, güültü yaatıla ve ölçülen sinyallei de kayıt aygıtının belilenen ölçüm aalığı dışına taşıabilile. Aaştıma yapılan bölgede bulunabilecek metalik nesnele, çok keskin yansımalaa neden olaak kesiti bozucu etki yaatabilile. 26

2.22 Ölçüm Tekniklei ve Sistem Duyalılığı 2.22.1 Mono-statik ve Bi-statik Anten Alıcı ve veicini antenlein tek bi düzenekte olmasına mono-statik ayı ayı düzenekte olmasına bi-statik anten deni (Şekil 2.6). Şekil 2.6 a. Mono-statik, b. Bi-statik anten 2.21.2 Ölçüm tekniklei Aazi çalışmalaında ye adaı dizgesi, veici-alıcı antenle, bilgisaya, kontol ve kayıt biimleinden oluşan kayıt aygıtı (CRU) üniteleinden meydana gelmektedi (Şekil 2.7). 27

Göüntü Şekil 2.7 Ye adaı sisteminin ana bileşenleinin blok diyagam şeklinde gösteimi (Annan 1992) Kayıt aygıtı yadımıyla, kullanılan fekans, ölçümün yapılacağı süe, yığma yapılacak iz sayısı gibi koşulla ayalanabili. Kayıt süelei 32-2448 nanosaniye aasında değişebiliken, 2049 ize kada yığma yapılabili. Aazide ölçüm, seçilen hat boyunca yapılı. Bibiinden belli uzaklıkta tutulan veici ve alıcı antenle hat boyunca ileletili ve belilenen istasyon noktalaında ölçümle alını. Antenle aası mesafe kullanılan fekans, çeve koşullaı ve anten boyutlaına bağlı olaak seçilmelidi. Bağıl geçiimlilik, yani K, deinlee doğu atmaktadı. Bu duum, elektomanyetik dalganın hızının gideek azalmasına ve Snell kanununa bağlı olaak elektomanyetik ışının gideek nomale yaklaşmasına neden olacaktı. Bu, sismik yöntemlede kaşılaşılanın tesi bi duumdu. Deinliklee doğu hız atımı, sismik kıılma yönteminin temelini 28

oluştumaktadı. Ancak elektomanyetik dalga hızı gideek azaldığından, ye adaı kıılma yönteminin kullanılma şansını azaltmaktadı. Bu nedenle çoğu ye adaı aaştımalaında sabit anten aalığı kullanılı ve sabit açıklık pofili dizilimi olaak tanımlanı (Şekil 2.8). D D anten Şekil 2.8 Sabit açıklık pofili dizilimi Diğe bi dizilim şekli ise, ota nokta sabit kalacak şekilde faklı anten aalığı kullanaak, çoklu katlama tekniğidi (Şekil 2.9) Şekil 2.9 Çoklu katlama dizilimi 29

2.21.3. Çeşitli anten açılımlaı Veici ve alıcı antenlein hatlaa göe konumlaını, jeolojik yapı ve topoğafya etkilemektedi. Jeolojik uzanımın bilindiği çalışmalada genelde yapıya paalel anten açılımı seçili. Hat Şekil 2.10 Paalel ve uzun kena bakışımlı Hat Şekil 2.11 Paalel ve kısa kena bakışımlı Hat Şekil 2.12 Dik ve uzun kena bakışımlı 30

Hat Şekil 2.13 Dik ve kısa kena bakışımlı Aynı yede yapılan ye adaı uygulamalaında faklı anten açılımlaı kullanıldığında faklı ye adaı kesitlei elde edilmektedi (Annan 1992). 2.23 Geometik Optik Geometik optikte (GO), saçılan alanın hesaplanmasında elektomanyetik enejinin izlediği yolla ışınlala modelleni. Bu yolla diekt, yansımış ve kıınıma uğamış teimle içeebilile. GO, diekt yolladan başka yansıyan ışın yollaı içei ve kıınım teimleini içemez. Homojen otamda, eneji ışın yolu boyunca düz bi hatta ilele. Bu ışın nomal olan yüzeyle eş faz yüzeyle olaak adlandıılı. Şekil 2.14 de gösteilen homojen otamdaki düzlem dalga için, eş faz yüzeyle ışın yollaına dik olan düzlemleden oluşla. Küesel kaynak için ise yine küesel düzlemleden oluşan eş faz yüzeyle ışın yollaına diktile. 31

Şekil 2.14 Dalga cephesi ve ışınla aasındaki ilişkile (Stutzman 1962) S 0 dσ 0 =Sdσ (2.9) yazılabili. Yansıma katsayılaı R II =+1 R =-1 olaak alınıp, bu gösteim Fesnel yansıma katsayılaı olaak adlandıılmaktadı. Fensel yansıma katsayılaı, ancak gelen dalganın düzlem dalga ve yine yansıtıcı yüzeylein düzlemsel olduğu duumlada kullanılabilmektedi. Yüksek fekanslada bu sınılamaladan yola çıkaak, GO yansımasının yeel bi olay olduğunu ve bu yüzden gelen dalganın yansıtıcı noktada düzlem dalga olması geektiğini söyleyebiliiz. 32

GO yöntemini, kaynak ve yansıma noktalaının sabit olduğu poblemlee uygulandığımızda yansıma kuallaına göe belilenmek zoundadı. Bu nedenle GO yönteminde yansıyan alan hakkında sadece tek bi doğultuda bilgi toplanabili. Ancak geçek hedeflede yansımala çok faklı açısal bölgelede geçekleşebili. 33

3. ZAMAN BÖLGESİNDE SONLU FARKLAR YÖNTEMİ Sonlu-fakla yöntemi, ilk olaak, doğusal olmayan hidodinamik eşitliklei çözmek için kaele yöntemi adı altında 1920 lede A. Thom taafından geliştiilmişti. O zamandan bei, yöntem faklı alan poblemleini çözmede kullanılmıştı. Sayısal yöntemlein uygulanmasında en çok dikkat edilmesi geeken noktala, benzetim süesi, bellek (RAM), işlemci (CPU) hızı yeteliliği, modellemede kullanılan üst seviyeli pogamlama dilleinin ve sonuçlaı uygun fomatta işleyebilecek gelişmiş gafik çizim pogamlaının seçimi olaak sıalanabili.bu nedenle kullanılan sayısal yöntemin ve poblemin geektidiği tüm sistem ihtiyaçlaı iyi belilenmeli ve bi optimizasyon yapılmalıdı. Zaman Otamında Sonlu-Fakla (Finite Diffeence Time Domain) yöntemi, elektomanyetik poblemlein çözümünde kullanılan en popüle sayısal yöntemleden biidi. FDTD yöntemi 30 yılı aşkın bi süedi va olmasına ağmen, bilgisayalaın hız ve kapasitelei attığı süece yöntemin popülaitesi atmaya devam edecekti.ayıca yöntemin geliştiilmesine yönelik yayınlaın atması da yöntemin çekiciliğini atımaktadı. İlk defa 1966 da Yee taafından otaya atılan FDTD yöntemi, Mawell denklemleinin difeansiyel fomunu ayıklaştımaya yaayan sade ve sık bi yöntemdi.fdtd ile ilgili aaştıma faaliyetleinin çok fazla olmasından dolayı FDTD liteatüünün izlenmesi zo bi işti. Bu yöntemle ilgili yayın sayısı aşağıda göüldüğü gibi süekli olaak atmaktadı. FDTD yöntemi FD olaak bilinen sonlu fakla yönteminin 1966 yılında Yee (Yee 1966) taafından Mawell denklemleine uyacak şekilde zaman bölgesi için genişletilmesiyle bilikte otaya atılmış, özellikle 1980 lein otalaında bilgisayalaın hız ve kapasiteleindeki hızlı atışla bilikte elektomanyetik dalga poblemle için en çok kullanılan yöntemleden bii haline gelmişti). FDTD yöntemi 30 yılı aşkın bi süedi va olmasına ağmen, bilgisayalaın hız ve kapasitelei attığı süece yöntemin popülaitesi atmaya devam edecekti. Ayıca yöntemin geliştiilmesine yönelik yayınlaın atması da yöntemin çekiciliğini atımaktadı. FDTD ile ilgili aaştıma faaliyetleinin çok fazla olmasından dolayı FDTD liteatüünün izlenmesi zodu. Yutucu sını koşullaı (Engquist- 34

Majda 1977, Bayliss- Tukel 1980, Liao et al. Scientia -Sinica 1984, Benge 1994), Sayısal dispesiyon (Schneide and Wagne 1999, Kumpholz and Katehi 1996, Liu 1997 ), Sayısal kaalılık (Taflove and Bodwin 1975, Namiki 1999, Zheng et al. 2000, De aedt et al.2003), gid biçimlendime (Taflove-Umashanka 1977, Shanka et al. 1990, Rylande and Bondeson 2000), Mikoşeit hatlı deve analizi, Açık veya kapalı dalga kılavuzlaında dalga iletimi ve süeksizle (Choi and Hoefe 1982), ada saçılma yüzeyi (RSY) modelleme (Taflove-Umashanka 1977), anten ve anten dizi tasaımlaı ve sentezi (Maloney et al. Katz et al. 1991), Biyolojik dokulada elektomanyetik tutulma hesaplaı (Sullivan et al. Zhang et al. 1987). Mikodalga fıın benzetimi EMC/EMI (elektomanyetik uyumluluk ve giişim) modelleme (Sui et al. 1991) vb. çalışmalada kullanılan en popüle sayısal yöntemleden biidi. Günümüzde GPR modellenmesinde en çok kullanılan sayısal yöntemleden bii de FDTD yöntemidi (Robets and Daniels 1997, Xu and McMechan 1997, Begmann et al. 1998). Sonlu fakla ağının hücesel özelliği nedeniyle, bu yöntemle yapılan çözümlemede basit yealtı yapılaının yanı sıa, kamaşık ye altı yapılaına ait model yanıtlaı da uzun süe geektimeden hesaplanabilmektedi. Ayıca bu teknik, diğe hesaplama tekniklei ile yapılamayan ve ada kuamında önemli bi yei olan ada anteninin yakın alanındaki gömülü hedefleden oluşan saçılmalaın modellenebilmesine de olanak vemektedi (Robets and Daniels 1997). 35

Şekil 3.1 Yıllaa göe yayın sayısı Sonlu fakla tekniklei, difeansiyel eşitliklei fak eşitlikleiyle değiştimeye izin veen, tahminlee dayanı. Bu sonlu fak tahminlei biçimsel olaak sayısaldı; çözüm bölgesindeki bi noktadaki bağlı değişkenin değeini, bazı komşu noktaladaki değelele ilişkilendiile. Böylece, sonlu fak çözümü temel olaak üç adımı kapsa: 1. Çözüm bölgesini, düğümleden oluşan gid e bölmek, 2. Veilen difeansiyel denklemi, çözüm bölgesindeki bi noktadaki bağlı değişkeni komşu noktaladaki değeleiyle ilişkilendien sonlu fakla eşiti ile yaklaşık olaak hesaplamak, 3. Sını koşullaı ve/veya başlangıç koşullaına bağlı olaak fak eşitlikleini çözmek. Üç adımda alınan çözümün nasıl yapılacağı çözülecek poblemin doğası, çözüm bölgesi ve sını koşullaı ile belileni. İki boyutlu poblemle için genellikle en çok kullanılan gidleme tülei Şekil 3.2 de gösteilmişti. 36

Şekil 3.2. a. kae gid, b.skew gid, c. üçgen gid, d. daiesel gid Şimdi veilen bi difeansiyel eşitlikten sonlu fak tahmini hesaplaının nasıl yapıldığına bakalım. Bu aslında tüevlei nümeik olaak tahmini hesaplamayı içemektedi. Şekil 3.3 İlei, gei ve mekezcil faklaı kullanaak P noktasındaki f() in tüevi için kullanılan şematik A ve B noktalaı 37

38 Şekil 3.3 de gösteilen bi f() fonksiyonunun P noktasındaki tüevini, eğimini veya tanjantını, ilei-fak fomülünü veen PB yayının eğimi ile, f f f o + ) ( ) ( ) '( 0 (3.1) veya gei-fak fomülünü veen AP yayının eğimi ile, f f f o ) ( ) ( ) '( 0 (3.2) ve mekezcil- fak fomülü ile sonuçlanan AB yayının eğimi ile, f f f o + 2 ) ( ) ( ) '( 0 (3.3) yaklaşık olaak hesaplayabiliiz. P deki f() in ikinci tüevini de, (3.4) şeklinde yaklaşık olaak hesaplanabili. Ayık bi noktala kümesindeki değele cinsinden 2 0 0 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) '( ' ) ( ) ( ) ( 2) / ( 1 2) / ( ' 2) / '( ) '( ' f f f f f f f f f f f o o o o o o o o o + + + = + (3.5)...... ) ( ' ' ' ) ( 3! 1 ) ( ' ' ) ( 2! 1 ) ( ' ) ( ) ( 0 3 0 2 0 0 0 + + + + = + f f f f f (3.6)... ) ''( ' ) ( 3! 1 ) ( '' ) ( 2! 1 ) '( ) ( ) ( 0 3 0 2 0 0 0 + + + = f f f f f (3.7) ) ( ) '( ' ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 4 0 2 0 0 0 O f f f f + + = = +

bi tüevin yaklaşık olaak hesaplanması, sonlu fak hesabı olaak adlandıılı. Daha genel bi yaklaşım için Taylo seilei kullanılmaktı. O( ) 4 kesme hatasıdı. Bu hata ( ) 4 metebesinde hatadı. Mekezi Fakla Yönteminde hata bağıntısı diğe iki yöntemden daha küçüktü. Tüev açılımında daha fazla nokta kullanılaak hata istenilen metebeye indiilebili, fakat bu duumda bilgisayadaki hesaplama süesi ve bellek geeksimi atacaktı. Daha yüksek metebe sonlu fak yaklaşık hesaplamalaı, Taylo seisi açılımında daha çok teim almakla elde edilebili. Eğe sonsuz Taylo seisi alınmış olsaydı, poblem için tam bi çözüm olduğu fakına vaılıdı. Bununla bilikte, patiklik için, sonsuz sei genellikle ikincimetebe teimden sona kesili. Bu bütün sonlu fak çözümleinde va olan bi hatayı göstei. Bi Φ(,t) fonksiyonunun çözümünü bulmaya fak yöntemini uygulamak için -t düzlemindeki çözüm bölgesini Şekil 3.3 deki gibi eşit kaelee veya ve t kenalı ağlaa böleiz. Tipik bi gid noktasının veya düğümün (,t) koodinatlaı, =i i=0,1,2, (3.9) t=j t j=0,1,2, olsun ve P deki Φ değei, Φ =Φ( i, j t) = Φ( i, j) (3.10) P 39

Şekil 3.4 İki bağımsız ve t değişkeni için sonlu fak ağı olsun. Bu notasyon ile, i ve j. N. düğümdeki Φ nin tüevleinin mekezsel fak yaklaşık hesaplamalaı, şeklindedi (N.O.Sadiku 1992). 40

Sonlu fakla yöntemi uzun zamandı bilinmesine ağmen zaman bölgesinde Mawell denklemlei için kullanımı ilk kez 1966 yılında Kano Yee taafından otaya atılmıştı. Bunun sonucunda, elektomanyetik dalga yayılımını modelleyen Mawell denklemleinin sonlu fakla ile yazılması ve zamana göe tüevleinde sayısallaştıılaak genelleştiilmesi yöntemi Zamanda Sonlu Fakla Yöntemi (FDTD) adıyla özel olaak adlandıılmıştı. FDTD yöntemi Mawell denklemleindeki difeansiyel opeatölein zamanda ve konumda ayıklaştıılmasına dayanı. 3.1 Bi Boyutlu (1-B) Sonlu Fakla Yöntemi Homojen otamda zamana bağlı Mawell denklemlei eşitlik (3.11) ile ifade edili (Bkz Ek A). (3.11) (3.12) Buada E ve H üç boyutlu yöneyledi. (3.11) ve (3.12) denklemlei he üç yöney bileşenini de ifade ede. Buada E ve H y nin kullanıldığı bi boyutlu duum ele alınmıştı. (3.13) (3.14) 41

42 Bu denklemle, elektik alanı, manyetik alanı y doğultusunda yönlendiilmiş ve z yönünde ileleyen bi düzlemsel dalgayı temsil ede. Geçici ve uzaysal tüevlein he ikisi ile beabe mekezi fakla yaklaşımı kullanılaak aşağıdaki denklemle elde edili. Buada, n zamanı beliti. Bu yinelemeli denklemle ile zamanda ve konumda ayık adımlala dalga yayılım modellenmektedi. Yinelemeli çözümle daima koşullu kaalı çözümledi ve kaalılık şatı sağlanamazsa çözümle geçesiz kalı. Kaalılık şatı zaman ve konum adımlaının bibiinden bağımsız seçilemeyeceğini gösteen bi paametedi. Şekil 3.5 Atlamalı FDTD ayıklaştıması (3.16) 1)) ( 1) ( ( ) ( ) ( (3.15) 1)) ( 1) ( ( ) ( ) ( 0 1 0 1 + = + = k E k E z t k H k H k H k H z t k E k E n n n y n y n y n y n n µ ε

3.2 İki Boyutlu (2B) Sonlu Fakla Yöntemi Homojen, tekdüze bi otamda EM dalga yayılımı ye adaı (GPR) sistemi için 10 MHz den 1 GHz e kada değişen bi mekez fekansı ile aşağıda (3.17) denkleminde veilen Mawell denklemleinden elde edilen EM dalga denklemi ile ifade edili (Bkz. Ek A). 2 2 E E E = µε + µσ 2 t t 2 2 H H H = µε + µσ 2 t t (3.17) σ = 0 kabul edildiğinde (1) denklemi aşağıdaki gibi veili (Bkz. Ek A); 2 2 E E = µε 2 t 2 2 H H = µε 2 t (3.18) denklemleindeki ifadele; (3.18) E : Elektik alan H : Manyetik alan ε : Dielektik sabiti (pemittivity) µ : manyetik geçigenlik (pemeability) σ : Elektiksel iletkenlik (conductivity) di. (3.8) denklemleinin son hali; 2 2 E E + 2 2 y 2 E = µ 0ε (3.19) 2 t 43

44 2 2 0 2 2 2 2 t H y H H = + ε µ (3.20) şeklindedi. Bu dalga denklemleinin çözümünde Mawell denklemleinden elde edilen Faaday ve Ampe kanunlaını veen ifadele ((3.23)-(3.24) denklemlei) kullanılı. Yani ye adaı yönteminde kullanılan EM dalga denklemi çifti paabolik tipte bi dalga denklemleidi ve modellemede sonlu fakla yöntemi kullanılaak bu denklem çifti çözülü. Buadan yola çıkılısa; t H E = 0 1 µ Faaday Kanunu (3.21) t E H = ε 1 Ampe Kanunu (3.22) Ampe Kanununu veen ifadeden yaalanaak denklemi katezyen koodinatla için yazasak; + + = + + y H H z H z H y z H y H z t E y t E t E X Y Z X Y Z Z Y X ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ε (3.23) Bu denklemi he bi koodinat ekseni için yazasak; = z H y H t E Y Z X ε 1 = H z H t E Z X Y ε 1 (3.24) = y H H t E X Y Z ε 1 Faaday Kanununu veen ifadeden yaalanaak denklemi katezyen koodinatla için yazasak; + + = + + y E E z E z E y z E y E z t H y t H t H X Y Z X Y Z Z Y X ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ µ 0 (3.25)

45 Bu denklemi he bi koodinat ekseni için yazasak; = y E z E t H Z Y X 0 1 µ = z E E t H X Z Y 0 1 µ (3.26) = E y E t H Y X Z 0 1 µ Veilen bi model için hesaplamala yapılıken, öncelikle sonlu fakla ağı oluştuulu (Şekil 3.5) ve bu ağ üzeinde hücelee ait düğüm noktalaı kullanılaak elektik alan değelelei hesaplanmaya çalışılı (Şekil 3.6). Şekil 3.6 Sonlu fakla ağı

Şekil 3.7 Hücelein değişen (i,j) lee göe numaalandıılması işlemi He düğüm noktasına elektik alan değei, manyetik alan değei, µ 0 ve ε değelei atanı. TE ve TM modu için ayı ayı hesaplama yapılı. Elektomanyetik dalga denklemi çözümünde EM dalganın TM ve TE modlaı ayı ayı inceleni. Bu modlaı ayı ayı ele alıp, elektik alanın ye değiştimesi hesaplanı. İlk olaak TM modunu ele alalım. TM modu: Bu mod da hesaplanması geeken manyetik alan ve elektik alan bileşenlei vaken, aynı zamanda hesaplanmayan manyetik alan ve elektik alan bileşenlei de vadı ve bunla sıfı olaak kabul edili. y Hy Ez H z 46

Şekil 3.8 TM modu Yukaıdaki şekil TM modu için gösteilmektedi (Şekil 3.8). Buna göe; H X H Y E Z 0 ve E E = H = 0 olu. X = Y Z Elektik ve manyetik alan bileşenlei yukaıdaki gibi veili. İki boyutta hesaplama yapaken ve bi pofil üzeinde ileleken, tek bi yatay eksen değei için belili deinliklede ve belili zaman değeleinde hesaplama yapılı. Zaman biimi için değişkenimiz n olsun. Buna göe, n ~ = n + 1 2 yaım zaman aalığı sonaki zaman değei olaak veilmiş olsun. TM modu için, zamanın tam katlaında elektik alan, zamanın kesili katlaında ise manyetik alan değei hesaplanı. TE modu içinse, zamanın tam katlaında manyetik alan, zamanın kesili katlaında ise elektik alan değelei hesaplanı. Yee (1996) ye göe, bi hüce içeisinde, 3 elektik alan ve 3 manyetik alan bileşeni vadı. Fakat bunlaın hüce içeisindeki konumlaı faklıdı. Bu nedenle manyetik ve elektik alan bileşeni aasında t / 2 lik bi fak vadı. Buna göe; TM modu için, t = 0, t, 3 t, zamanlaında E t = t / 2, 3 t / 2, zamanlaında H 47

alan bileşenlei hesaplanı. Hehangi bi noktadaki elektik alan diğe hüceleden etkileni. Hüce oluştuulduktan sona; 1) He hücede 3 elektik ve 3 manyetik alan vadı ve hücelee ait düğüm noktalaı numaalandıılıken (i,j) şeklinde adlandıılı. 2) (i,j) hücesinde elektik alanın bileşeni E z (i,j) ve manyetik alanın y bileşeni H y (i,j) aynı indisli olmalaına kaşın hüce içeisindeki konumlaı faklıdı (Şekil 3.9). E z (i,j- 1) H (i,j- 1/2) E z (i-1,j) H y (i-1/2,j) E z (i,j) H y (i+1/2,j) E z (i+1,j) H (i,j+1/ 2) E z (i,j+ 1) Şekil 3.9 E z, H y ve H bileşenleinin hüce içeisindeki konumlaı 48

49 3) Hüce içeisinde faklı konumda faklı konumda olmalaının yanı sıa elektik ve manyetik alan bileşenlei aasında zamanda da 2 / t kada fak vadı. 4) 3 manyetik alanın hesabında kullanılan 0 µ ve 3 elektik alanın hesabında kullanılan ε, ilgili alanlaın bileşenleinin tanımlandığı noktada veilmelidi. Yukaıdaki şekil TM modu için yapılan hesaplamayı göstemektedi. Bu şekle bakaak, mekezcil fakla yadımıyla düğüm noktalaındaki faklı zaman değelei için elektik alan ve manyetik alan değei hesaplanı. TM modu için katezyen koodinatlada yazılan ifadele 0 = = = Z Y X H E E olmasından dolayı denklemle; = y H H t E X Y Z ε 1 E t H Z Y = 0 1 µ (3.27) y E t H Z X = 0 1 µ haline geli. Buadan mekezcil fakla yadımı ile yapılan hesapla sonucu + + = + + + + + y j i H j i H j i H j i H t j i E j i E n X n X n Y n Y n Z n Z 1/2) (, 1/2) (, ) 1/2, ( ) 1/2, ( 1 ) (, ) (, 1/2 1/2 1/2 1/2 1 ε (3.28) bulunabili. Buadan ), ( 1 j i E n Z + çekili; + + + = + + + + + y j i H j i H j i H j i H t j i E j i E n X n X n Y n Y n Z n Z 1/2) (, 1/2) (, ) 1/2, ( ) 1/2, ( ) (, ) (, 1/2 1/2 1/2 1/2 1 ε (3.29)

50 + = + + + y j i E j i E t j i H j i H n Z n Z n X n X ), ( 1), ( 1 2) 1/, ( 2) 1/, ( 0 2 1/ 2 1/ µ (3.30) Buadan ) 2 1/, ( 2 1/ + + j i H n X çekilise + + = + + y j i E j i E t j i H j i H n Z n Z n X n X ), ( 1), ( 2) 1/, ( 2) 1/, ( 0 2 1/ 2 1/ µ (3.31) + = + + + j i E j i E t j i H j i H n Z n Z n Y n Y ), ( ) 1, ( 1 ) 2, 1/ ( ) 2, 1/ ( 0 2 1/ 2 1/ µ (3.32) elde edili. Buadan ) 2, 1/ ( 2 1/ j i H n Y + + çekilise; + + + = + + j i E j i E t j i H j i H n Z n Z n Y n Y ), ( ) 1, ( ) 2, 1/ ( ) 2, 1/ ( 0 2 1/ 2 1/ µ (3.33) = + y j i E j i E t j i H j i H n Z n Z n X n X 1), ( ), ( 1 2) 1/, ( 2) 1/, ( 0 2 1/ 2 1/ µ (3.34) Buadan ) 2 1/, ( 2 1/ + j i H n X çekilise; = + y j i E j i E t j i H j i H n Z n Z n X n X 1), ( ), ( 2) 1/, ( 2) 1/, ( 0 2 1/ 2 1/ µ (3.35) = + j i E j i E t j i H j i H n Z n Z n Y n Y ) 1, ( ), ( 1 ) 2, 1/ ( ) 2, 1/ ( 0 2 1/ 2 1/ µ (3.36) Buadan ) 2, 1/ ( 2 1/ j i H n Y + çekilise; + = + j i E j i E t j i H j i H n Z n Z n Y n Y ) 1, ( ), ( ) 2, 1/ ( ) 2, 1/ ( 0 2 1/ 2 1/ µ (3.37) elde edili. Yukaıdaki denklemlee bakıldığında, başlangıç koşulu olaak n inci zamana ait he (i,j) düğüm noktasındaki elektik alanın z bileşenlei sıfı kabul edili. Ayıca, n- 1/2 inci zamana ait ) 2 1/, ( 2 1/ + j i H n X, ) 2, 1/ ( 2 1/ j i H n Y +, ) 2 1/, ( 2 1/ j i H n X ve ) 2, 1/ ( 2 1/ j i H n Y manyetik alan bileşenleinin değelei de sıfı kabul edili. Bu değeleden yaalanaak ve yukaıda veilen denklemle kullanılaak, n+1/2 inci zamana

+ ait H n 1/ 2 X ( i, j+ 1/ 2), H n + 1/ 2 + Y ( i+ 1/ 2, j), H n 1/ 2 + X ( i, j 1/ 2) ve 1/ 2 ( i 1/ 2, j) H n Y değelei + hesaplanaak bi sonaki zamana ait yani n+1 inci zamana ait 1 ( i, j) E n Z değei hesaplanı. + n+1 zamanına ait ve he (i,j) noktası için bulunan 1 ( i, j) E n Z değelei kullanılaak bi sonaki zaman ait değele hesaplanı ve bu işlem hesaplanmak istenen zaman değeine kada südüülü (Şekil 3.10). Şekil 3.10 Bi önceki zamanda hesaplanan değelein kullanılmasıyla bi sonaki zaman ait değelein hesaplanması 51

TE modu: TE modu ele alındığında ise benze işlemle yapılı. Bu moda da hesaplanması geeken manyetik alan ve elektik alan bileşenlei vaken, aynı zamanda hesaplanmayan manyetik alan ve elektik alan bileşenlei de vadı ve bunla TM modunda da yapıldığı gibi sıfı olaak kabul edili. y H z E y E z Şekil 3.11 TE modu Yukaıdaki şekil TE modu için gösteilmektedi (Şekil 3.10). Buna göe; E ve X E Y H Z 0 H H = E = 0 olu. X = Y Z TM modu için, zamanın tam katlaında elektik alan, zamanın kesili katlaında ise manyetik alan değei hesaplandığı TM modunu açıklanıken belitilmişti. TE modu için de, zamanın tam katlaında manyetik alan, zamanın kesili katlaında ise elektik alan değelei hesaplanı. TE modu için, t = 0, t, 3 t, zamanlaında H 52

t = t / 2, 3 t / 2, zamanlaında E alan bileşenlei hesaplanı. Hüce oluştuulduktan sona TM modu anlatılıken veilen adımla bu mod için de yapılı. TE modundaki 3 manyetik alan bileşeninin hesabında kullanılan µ 0 ve 3 elektik alan bileşeninin hesabında kullanılan ε, TM modunda olduğu gibi ilgili alanlaın bileşenleinin tanımlandığı noktada veilmelidi. H z (i,j-1) E (i,j-1/2) H z (i-1,j) E y (i-1/2,j) H z (i,j) H z (i+1,j) E y (i+1/2,j) E (i,j+1/2) H z (i,j+1) Şekil 3.12 E, E y ve H z bileşenleinin hüce içeisindeki konumlaı Yukaıdaki Şekil 3.12 de TE modu için yapılan hesaplamayı göstemektedi. Bu şekle bakaak, mekezi fakla yadımıyla düğüm noktalaındaki faklı zaman değelei için elektik alan ve manyetik alan değei hesaplanı. TE modu için katezyen koodinatlada yazılan ifadele H H = E = 0 olmasından dolayı denklemle; X = Y Z H t E t Y E t Z X 1 EY = µ 0 1 H = ε 1 H = ε y Z Z E + y X haline geli. Buadan mekezi fakla yadımı ile yapılan hesapla; (3.38) 53

54 ( (3.39) Buadan ), ( 1 j i H n Z + çekili; ( (3.40) + = + + + y j i H j i H t j i E j i E n Z n Z n X n X ), ( 1), ( 1 2) 1/, ( 2) 1/, ( 2 1/ 2 1/ ε (3.41) Buadan ) 2 1/, ( 2 1/ + + j i E n X çekilise; + + + = + + y j i H j i H t j i E j i E n Z n Z n X n X ), ( 1), ( 2) 1/, ( 2) 1/, ( 2 1/ 2 1/ ε (3.42) + = + + + j i H j i H t j i E j i E n Z n Z n Y n Y ), ( ) 1, ( 1 ) 2, 1/ ( ) 2, 1/ ( 2 1/ 2 1/ ε (3.43) Buadan ) 2, 1/ ( 2 1/ j i E n Y + + çekilise; + + = + + j i H j i H t j i E j i E n Z n Z n Y n Y ), ( ) 1, ( ) 2, 1/ ( ) 2, 1/ ( 2 1/ 2 1/ ε (3.44) = + y j i H j i H t j i E j i E n Z n Z n X n X ) 1, ( ), ( 1 2) 1/, ( 2) 1/, ( 2 1/ 2 1/ ε (3.45) Buadan ) 2 1/, ( 2 1/ + j i E n X çekilise; + = + y j i H j i H t j i E j i E n Z n Z n X n X 1), ( ), ( 2) 1/, ( 2) 1/, ( 2 1/ 2 1/ ε (3.46) + + + = + + + + + y j i E j i E j i E j i E t j i H j i H n X n X n Y n Y n Z n Z 1/2) (, 1/2) (, ) 1/2, ( ) 1/2, ( 1 ) (, ) (, 1/2 1/2 1/2 1/2 0 1 µ + + + = + + + + + y j i E j i E j i E j i E t j i H j i H n X n X n Y n Y n Z n Z 1/2) (, 1/2) (, ) 1/2, ( ) 1/2, ( ) (, ) (, 1/2 1/2 1/2 1/2 0 1 µ

n+ 1/ 2 n 1/ 2 n n E Y ( i 1/ 2, j) EY ( i 1/ 2, j) 1 H Z ( i, j) H Z ( i 1, j) = t ε (3.47) + Buadan 1/ 2 ( i 1/ 2, j) E n Y çekilise; E n+ 1/ 2 Y ( i 1/ 2, j) = E n 1/ 2 Y t H ( i 1/ 2, j) ε n Z ( i, j) H n Z ( i 1, j) (3.48) Yukaıdaki denklemlee bakıldığında, yine TM moduna benze şekilde, başlangıç koşulu olaak n inci zamana ait he (i,j) düğüm noktasındaki elektik alanın z bileşenlei sıfı kabul edili. Ayıca, n-1/2 inci zamana ait E n 1/ 2 X ( i, j+ 1/ 2), E n 1/ 2 Y ( i+ 1/ 2, j), 1/ 2 ( i, j 1/ 2) E n X ve 1/ 2 ( i 1/ 2, j) E n Y manyetik alan bileşenleinin değelei de sıfı kabul edili. Bu değeleden yaalanaak ve yukaıda veilen denklemle kullanılaak, n+1/2 inci zamana + ait E n 1/ 2 X ( i, j+ 1/ 2), E n + 1/ 2 + Y ( i+ 1/ 2, j), E n 1/ 2 + X ( i, j 1/ 2) ve 1/ 2 ( i 1/ 2, j) E n Y değelei + hesaplanaak bi sonaki zamana ait yani n+1 inci zamana ait 1 ( i, j) H n Z değei hesaplanı. + n+1 zamanına ait ve he (i,j) noktası için bulunan 1 ( i, j) H n Z değelei kullanılaak bi sonaki zaman ait değele hesaplanı ve bu işlem hesaplanmak istenen zaman değeine kada südüülü. 3.3 Üç Boyutlu (3B) FDTD Yöntemi Üç boyutlu (3B) poblemlede uzaydaki ayıklaştıma, Şekil 3.13 de gösteildiği gibi Yee (Yee 1966) taafından öneilen biim hüce kullanılaak geçekleştiilmişti. 55

Şekil 3.13 3D Yee biim hücesi 3.3.1 Manyetik Alan Denklemlei, y ve z yönünde olmak üzee 3 adet manyetik alan bileşeni hesaplanı. Temel denklem (3.51) denklemidi. H E= µ t (3.49) 3.3.1.1 yönündeki manyetik alan bileşeni (H) 56

k+ 1 Ey i. yüzey k+ 1/2 Ez H Ez k j Ey j+ 1 j+ 1/2 Şekil 3.14 yönündeki manyetik alan hesabında kullanılan komşu alanla n n n H 1 E y E z H 1 Ey E z = = t µ z y t µ z y n n (, 1/ 2, 1/ 2 ) 1 Ey( i, j+ 1/ 2, k+ 1/ 2) (, 1/ 2, 1/ 2) n H i j+ k+ Ez i j+ k+ = t µ z y (3.50) (3.51) a) b) c) a), b), c) eşitliklei mekezi faklaa göe yazılısa; 1 t n+ a) ( 1/ 2 n = H (, 1/ 2, 1/ 2) 1/ 2 i j+ k+ H ( i, j+ 1/ 2, k+ 1/ 2) ) 1 z b) ( n n = Ey ( i, j+ 1/ 2, k+ 1) Ey ( i, j+ 1/ 2, k) ) 1 y c) ( n n = Ez ( i, j+ 1, k+ 1/ 2) Ez ( i, j, k+ 1/ 2) ) (3.52) (3.53) (3.54) 3.54-3.56 denklemlei 3.53 denkleminde yeine yazılı ve manyetik alanın yönündeki bileşeni çekilise; H ( i, j+ 1/ 2, k+ 1/ 2) = H ( i, j+ 1/ 2, k+ 1/ 2) + n+ 1/ 2 n 1/ 2 δt µ ( i, j+ 1/ 2, k+ 1/ 2) δ n n n n Ey ( i, j+ 1/ 2, k+ 1) Ey ( i, j+ 1/ 2, k) + Ez ( i, j, k+ 1/ 2) Ez ( i, j+ 1, k+ 1/ 2) 3.57 eşitliği elde edili. (3.55) 57

3.3.1.2 y yönündeki manyetik alan bileşeni (Hy) k+ 1 E j. yüzey k+ 1/2 Ez Hy Ez k i E i+ 1 i+ 1/2 Şekil 3.15 y yönündeki manyetik alan hesabında kullanılan komşu alanla n n n H y 1 Ez E H y 1 Ez E = = t µ z t µ z ( 1/ 2,, 1/ 2) 1 ( 1/ 2,, 1/ 2) ( 1/ 2,, 1/ 2) n n n H y i+ j k+ Ez i+ j k+ E i+ j k+ = t µ z (3.56) (3.57) a) b) c) a), b), c) eşitliklei mekezi faklaa göe yazılısa; 1 t n+ a) ( 1/ 2 n = H ( 1/ 2,, 1/ 2) 1/ 2 y i+ j k+ H y ( i+ 1/ 2, j, k+ 1/ 2) ) 1 b) ( n n = Ez ( i+ 1, j, k+ 1/ 2) Ez ( i, j, k+ 1/ 2) ) 1 z c) ( n n = E ( i+ 1/ 2, j, k+ 1) E ( i+ 1/ 2, j, k) ) (3.58) (3.59) (3.60) 3.60, 3.61 ve 3.62 denklemlei 3.59 denkleminde yeine yazılı ve manyetik alanın y yönündeki bileşeni çekilise; H ( i+ 1/ 2, j, k+ 1/ 2) = H ( i+ 1/ 2, j, k+ 1/ 2) + n+ 1/ 2 n 1/ 2 y y δt µ ( i+ 1/ 2, j, k+ 1/ 2) δ n n n n Ez ( i+ 1, j, k+ 1/ 2) Ez ( i, j, k+ 1/ 2) + E ( i+ 1/ 2, j, k) E ( i+ 1/ 2, j, k+ 1) (3.61) 58

3.63 eşitliği elde edili. 3.3.1.3 z yönündeki manyetik alan bileşeni (Hz) j+ 1 E k. yüzey j+ 1/2 Ez Hz Ez kj i E i+ 1 i+ 1/2 Şekil 3.16 z yönündeki manyetik alan hesabında kullanılan komşu alanla n n n H 1 z E E y H z 1 E E y = = t µ y t µ y n n ( 1/ 2, 1/ 2, ) 1 ( 1/ 2, 1/ 2, ) y( + 1/ 2, + 1/ 2, ) n H E i j k z i+ j+ k E i+ j+ k = t µ y a) b) c) a), b), c) eşitliklei mekezi faklaa göe yazılısa; 1 t n+ a) ( 1/ 2 n = H ( 1/ 2, 1/ 2, ) 1/ 2 z i+ j+ k H z ( i+ 1/ 2, j+ 1/ 2, k) ) 1 y b) ( n n = E ( i+ 1/ 2, j+ 1, k) E ( i+ 1/ 2, j, k) ) 1 c) ( n n = Ey ( i+ 1, j+ 1/ 2, k) Ey ( i, j+ 1/ 2, k) ) (3.62) (3.63) (3.64) (3.65) (3.66) 3.66, 3.67 ve 3.68 denklemlei 3.65 denkleminde yeine yazılı ve manyetik alanın z yönündeki bileşeni çekilise; 59

H ( i+ 1/ 2, j, k+ 1/ 2) = H ( i+ 1/ 2, j, k+ 1/ 2) + n+ 1/ 2 n 1/ 2 y y δt µ ( i+ 1/ 2, j, k+ 1/ 2) δ n n n n Ez ( i+ 1, j, k+ 1/ 2) Ez ( i, j, k+ 1/ 2) + E ( i+ 1/ 2, j, k) E ( i+ 1/ 2, j, k+ 1) (3.67) 3.69 eşitliği elde edili. 3.3.2 Elektik alan denklemlei, y ve z yönünde olmak üzee 3 adet manyetik alan bileşeni hesaplanı. E H= σ E+ ε t (3.68) 3.3.2.1 yönündeki elektik alan bileşeni (E) k+ 1/2 Hy k Hz i+ 1/2. yüzey E Hz k-1/2 j-1/2 Hy j j+ 1/2 60

Şekil 3.17 yönündeki elektik alan hesabında kullanılan komşu alanla E 1 H H Z y = σ E t ε y z X n+ 1/ 2 n+ 1/ 2 n+ 1/ 2 E ( 1/ 2,, ) 1 ( 1/ 2,, ) H y ( i 1/ 2, j, k) i+ j k H z i+ j k + = σ E t ε y z X (3.69) (3.70) a) b) c) a), b), c) eşitliklei mekezi faklaa göe yazılısa; 1 t n+ 1 n a) = ( E ( i+ 1/ 2, j, k) E ( i+ 1/ 2, j, k) ) 1 y n+ b) ( 1/ 2 n+ = H ( 1/ 2, 1/ 2, ) 1/ 2 z i+ j+ k H z ( i+ 1/ 2, j 1/ 2, k) ) 1 z n+ c) ( 1/ 2 n+ = H ( 1/ 2,, 1/ 2) 1/ 2 y i+ j k+ H y ( i+ 1/ 2, j, k 1/ 2) ) (3.71) (3.72) (3.73) 3.73, 3.74 ve 3.75 denklemlei 3.72 denkleminde yeine yazılı ve elektik alanın yönündeki bileşeni çekilise; n+ 1 σ( i+ 1/ 2, j, k) δt n δt E ( i+ 1/ 2, j, k) = 1 E ( i+ 1/ 2, j, k) + ε( i+ 1/ 2, j, k) ε( i+ 1/ 2, j, k) δ n+ 1/ 2 n+ 1/ 2 n+ 1/2 n+ 1/2 Hz ( i+ 1/ 2, j+ 1/ 2, k) Hz ( i+ 1/ 2, j 1/ 2, k) + Hy ( i+ 1/ 2, j, k 1/ 2) Hy ( i+ 1/ 2, j, k+ 1/ 2) (3.74) 3.76 eşitliği elde edili. 3.3.2.2 y yönündeki elektik alan bileşeni (Ey) 61

k+ 1/2 H j+ 1/2. yüzey k Hz Ey Hz k-1/2 i-1/2 H i+ 1/2 i Şekil 3.18 y yönündeki elektik alan hesabında kullanılan komşu alanla Ey 1 H H z = σ Ey t ε z n + 1/ 2 1/ 2 1/ 2 (, 1/ 2, ) 1 n + (, 1/ 2, ) n + Ey i j+ k H i j+ k H z ( i, j+ 1/ 2, k) = σ Ey t ε z a) c) b) a), b), c) eşitliklei mekezi faklaa göe yazılısa; 1 t n+ 1 n a) = ( Ey ( i, j+ 1/ 2, k) Ey ( i, j+ 1/ 2, k) ) 1 y n+ b) ( 1/ 2 n+ = H (, 1/ 2, 1/ 2) 1/ 2 i j+ k+ H ( i, j+ 1/ 2, k 1/ 2) ) 1 z n+ c) ( 1/ 2 n+ = H ( 1/ 2, 1/ 2, ) 1/ 2 z i+ j+ k H z ( i 1/ 2, j+ 1/ 2, k) ) (3.75) (3.76) (3.77) (3.78) (3.79) 3.79, 3.80 ve 3.81 denklemlei 3.78 denkleminde yeine yazılı ve elektik alanın y yönündeki bileşeni çekilise; n+ 1 σ ( i, j+ 1/ 2, k) δt n δt Ey ( i, j+ 1/ 2, k) = 1 Ey ( i, j+ 1/ 2, k) + ε ( i, j+ 1/ 2, k) ε ( i, j+ 1/ 2, k) δ n+ 1/ 2 n+ 1/ 2 n+ 1/ 2 n+ 1/ 2 H ( i, j+ 1/ 2, k+ 1/ 2) H ( i, j+ 1/ 2, k 1/ 2) + H z ( i 1/ 2, j+ 1/ 2, k) H z ( i+ 1/ 2, j+ 1/ 2, k) (3.80) 62

3.82 eşitliği elde edili. 3.3.2.3 z yönündeki elektik alan bileşeni (Ez) j+ 1/2 H j Hy k+ 1/2. yüzey Ez Hy j-1/2 i+ 1/2 H i-1/2 i Şekil 3.19 z yönündeki elektik alan hesabında kullanılan komşu alanla Ez 1 H y H = σ Ez t ε y n+ 1/ 2 n+ 1/ 2 n+ 1/ 2 E (,, 1/ 2) 1 y (,, 1/ 2) z i j k+ H i j k+ H ( i, j, k+ 1/ 2) = σ Ez t ε y (3.81) (3.82) a) b) c) a), b), c) eşitliklei mekezi faklaa göe yazılısa; 1 t n+ 1 n a) = ( Ez ( i, j, k+ 1/ 2) Ez ( i, j, k+ 1/ 2) ) 1 n+ b) ( 1/ 2 n+ = H ( 1/ 2,, 1/ 2) 1/ 2 y i+ j k+ H y ( i 1/ 2, j, k+ 1/ 2) ) 1 y n+ c) ( 1/ 2 n+ = H (, 1/ 2, 1/ 2) 1/ 2 i j+ k+ H ( i, j 1/ 2, k+ 1/ 2) ) (3.83) (3.84) (3.85) 3.85, 3.86 ve 3.87 denklemlei 3.84 denkleminde yeine yazılı ve elektik alanın y yönündeki bileşeni çekilise; 63

n+ 1 σ ( i, j, k+ 1/ 2) δt n δt Ez ( i, j, k+ 1/ 2) = 1 Ez ( i, j, k+ 1/ 2) + ε ( i, j, k+ 1/ 2) ε ( i, j, k+ 1/ 2) δ n+ 1/ 2 n+ 1/ 2 n+ 1/ 2 n+ 1/ 2 H y ( i+ 1/ 2, j, k+ 1/ 2) H y ( i 1/ 2, j, k+ 1/ 2) + H ( i, j 1/ 2, k+ 1/ 2) H ( i, j+ 1/ 2, k+ 1/ 2) eşitliği elde edili. (3.86) Yee hüce yapısı incelendiğinde şu noktalaa dikkat edilmesi geeki: He biim Yee hücesinde üç elektik ve üç manyetik alan bileşeni bulunu. He hüce (i,j,k) etiketi ile anılı. Bunla sıasıyla,y ve z deki hüce indisleidi. Zamanda ve konumda ayıklaştıma adımlaı t ve, y, z ti. Yani hehangi bi alan bileşeni için (3.87) anlamına gelmektedi (buada zaman indisi kaışıklığa neden olmaması için n gösteilmemişti. Aslında n zaman adımındaki alan bileşenlei, öneğin - bileşeni E =E şeklindedi.) He ne kada bi hüce içeisindeki altı bileşen de aynı (i,j,k) etiketi ile gösteilse de Şekil 3,1 den göüldüğü gibi, bu bileşenlein hüce yeleşimi faklıdı. Öneğin E (i,j,k) hücenin - kena otasında iken, H z (i,j,k) hücenin y-yüzey otasında bulunu. Yani elektik alanla hüce kenalaında, manyetik alanla hüce yüzeyleindedi. Aynı hücede, elektik ve manyetik alanlaın yeleşimlei gibi, hesaplandıklaı zaman adımlaı da faklıdı. Elektik ve manyetik alanla bibiinden t/2 kada faklı zamanlada hesaplanıla. Elektik alan bileşenlei t=0, t, 2 t, 3 t, vb. adımlaında hesaplanıken, manyetik alanla t= t/2,3 t/2,5 t/2, vb. adımlada hesaplanmaktadı. Böylece, hesaplama bi elektik alanla bi manyetik alanla şeklinde yinelemeli olaak südüülü. 64

Aynı hücede belli bi noktada elektik ve manyetik alanlaından söz edebilmek için konumda ve zamanda otalama almak yetelidi. Öneğin alan bileşenleini hüce mekezine ötelemek için manyetik alan bileşeni ] (3.88) lidi. Ancak elektik alan bileşenlei için komşu döt bileşene geek vadı (3.89) Yinelemeli FDTD denklemleinde (Yee,1966), hehangi bi otam üç otam paametesi ile temsil edili. Bunla, dielektik sabiti ε, manyetik geçigenlik µ, ısıl kayıplaı temsil eden iletkenlik σ, dı. Bunladan ε ve σ, elektik alan bileşenleinin hesaplandığı denklemlede, µ ise manyetik alan bileşenleinin hesaplandığı denklemlede göünmektedi. Hücede elektik ve manyetik alan bileşenlei için faklı otam paametelei (ε, σ ve µ) belileneek faklı cisimle modellenebilmektedi. Hacmi içeisinde yüzbinlece hücede, zaman yinelemeli boyunca (V/m) olaak elektik ve (A/m) olaak manyetik alan değelei hesaplanı. Hehangi bi noktada istenilen alan bileşenlei biiktiileek E(t) ve H(t) zaman değişimi elde edilebili. Bu sayede, yapının hem geçici hem de süekli zaman davanışı gözlenebilmektedi. Zaman davanışından da Fouie dönüşümü ile E(f) ve/ veya H(f) fekans davanışı çıkaılabili. FDTD ile hacmi içinde kaynak uygulama poblemi oldukça kolay şekilde çözümlenebilmektedi. Modellenen yapıya ve geçekleştilmek istenen analize bağımlı olaak kaynağın faklı noktalaa ve faklı şekillede uygulanması geekebili. Kaynak tek bi noktada tek bi bileşene uygulanabileceği gibi, biden fazla noktada ve/veya bikaç bileşene de uygulanabili. Kaynak olaak hem sinüzoidal ve dabesel kaynakla kullanılabili. 65

FDTD hacmi içindeki tüm hücelede elektik ve manyetik alan bileşenlei hesaplandığı için, yapının hehangi bi noktasındaki geilim veya akım değeini hesaplamak mümkündü. FDTD hesap uzayı üç boyutlu Katezyen koodinat sisteminde X min,, Y min, Z min ile X ma,, Y ma, Z ma düzlemlei aasında kalan dikdötgen uzayı N N y N z adet Yee hücesine bölüneek işe başlanı. Ye adaı modellemesi yapılıken uzak- yakın alan değelei geektiğinden ayıca önlem alınması geeki. FDTD ile modellenen bütün elektomanyetik poblemleinde ele alınan yapı etafında ancak 3-5 dalga boyu mesafe kalı. Yani, FDTD hesap uzayı içeisinde Mawell denklemlei kullanılaak ancak yakın alanla benzeşimi edilebili. Oysa GPR veya anten ışıma diyagamı hesaplaında yapıdan çok uzakladaki (sonsuzdaki) alan davanışlaı geeki. FDTD simülasyonu kada, benzeşimle edilen yakın alanladan- elektomanyetik teoide geçeli eşdeğelilikle kullanılaak uzak alanlaın elde edilmesi de önemlidi. FDTD simülasyonunda yakın alanladen uzak alanlaın elde edilmesi için fekans (Taflove, 1995) ve zaman (Luebbes, 1993) bölgesinde Huygen s eşdeğelik yasası kullanmıştı. Bu yönteme göe FDTD hesap uzayında cismi çeveleyen kapalı sanal bi yüzey üzeinde he hücenin belitilen doğultuda uzak alan katkısı hesaplanı. Bu kapalı sanal yüzeye yakın alan- uzak alan dönüşüm yüzeyi adı veili. Bilgisaya kapasitesine bağlı olaak FDTD hesap uzayı sonlu sayıda hüceden oluşu. Bu sayı bikaç bin olabileceği gibi, bikaç milyon hüce de olabili. Sayı ne olusa olsun he eksende bi maksimum hüce sayısı söz konusudu. Yinelemeli FDTD alan denklemleine bakıldığında bi hücedeki elektik alan bileşenleinin hesabında komşu manyetik alanla ile aynı noktada bi önceki elektik alan değeinin kullanıldığı göülü. Benze duum, manyetik alan bileşenlei içinde geçelidi. Yani (i,j,k) hücesindeki önceki zamanda hesaplanan değele için yine (i+1,j,k), (i,j+1,k),(i,j,k+1),. hüceleindeki değele kullanılmaktadı. 66

FDTD algoitmasının, ayıklaştıılması ve kısmi tüevlei sonlu fakla eşdeğeleiyle değiştiilmiş Mawell denklemleinin yinelemeli çözümüne dayanı. Hehangi bi kısmi tüevli denklem sisteminin iki tip çözümü bulunabili. Bunla kapalı ve açık çözümle olaak isimlendiili. Kapalı çözümle, ele alınan poblemdeki bilinmeyen sayısı kada bağımsız denklem kuup poblemi dizey sistemi şeklinde ele almaya dayanı. Sistemin sol taafında bilinmeyenle yöneyi, sağ taafta ise katsayıla dizeyi ve bilinen fonksiyonla bulunu. Katsayıla dizeyinin tesi alınaak denklem sistemi çözülü. Dizey tesinin olması için geek ve yete koşul oluştuulan denklemlein bibiinden linee ağımsız olmasıdı. Bu duumda kapalı çözümle he zaman kaalıdıla. Açık çözümlede yineleme denklemle şeklinde otaya çıka. Dizey tesi geektimediğinden daha kolay ve hızlı hesaplanabili ancak çözümlein kaalı olması bazı koşullaa bağlıdı. 3.4 Yinelemeli Denklemlede Kaalılık Kitei Ayıklaştıılıp sayısallaştıılmış 3.78-86 denklemlei elektik (manyetik) alan bileşenleini kendileinin bi önceki anda bulunan değelei ve komşu hüceledeki manyetik (elektik) alan bileşenlei cinsinden yineleme biçimde hesaplanmasına olanak sağla. Yineleme denklemle açık denklem sistemi oluştuulduğundan he zaman sonlu çözümü gaanti etmezle. Veilen 3.80-88 denklemlei için konum (, y, z) ve zaman t boyutlaı keyfi seçilmez. Yineleme denklemlein kaalı (sonsuza gitmeyen) sayısal çözümlei gaantilemesi için bu hüce boyutlaı aasında önemli bi ilişki sağlanmalıdı. Couant kaalılık kitei (Taflove 1995 ) denilen bu bağıntı zaman ve konum adımlaı aasında sağlanması geeken ilişkiyi belilemektedi. FDTD yönteminde veilen denklemlein kaalılığı için matematiksel olaak ispat edilmesi oldukça uzun ve kamaşık olan Couant kaalılık şatı tek boyutlu FDTD için (3.90) 67

şeklinde tanımlanmaktadı (Taflove 1995 ). Bu denklemden, fiziksel olaak dalganın biim içinde en fazla bi düğüm kada ilelemesi geektiği anlaşılmaktadı. Homojen olmayan otamlada en kötü hal analizi için ışık hızını (c=3.10 8 m/sn) kullanmak yetelidi. Benze şekilde 3D-FDTD için Couant kaalılık kitei; (3.91) olaak belilenmektedi (Taflove 1995). Buada Couant koşulunun sadece kaalılığı sağladığı ancak doğuluğu gaanti etmediğini belitmek geeki. 3.5 FDTD Yönteminde Sayısal Dispesiyon Hüce içindeki elektomanyetik dalgalaın faz hızlaı boşluktaki c hızından faklı değele almaktadı. Bu faklılık fekansa, hüce boyutlaına ve dalga ileleme yönüne göe değişmektedi. Sayısal dispesiyon, FDTD analizinin en önemli konulaından biidi. Özellikle geniş bandlı analizle yapılıken sayısal dispesiyonun etkilei doğuluğa, simulasyonun güveniliğine etkileinin iyi anlaşılması geekmektedi. İletiminde dispesiyon olamaktdı. Basitlik olması açısından iki boyutlu TM tipi poblem üzeinde düzlem dalga iletimine ait aitlik ve sayısal dispesiyon bağıntılaı çıkaılmış ve üç boyutlu dispesiyon bağıntısı ele alınan paametelee bağlı olaak şekillele idelenmişti. Sayısal dispesiyon; benzeşimi edilen sinyal içeisinde en küçük dalga boylu (en yüksek fekansa) bileşenin konumda kaç hüce ile önekleneceğine bağlı bi tanımdı. Zaman-fekans ilişikisi içeisinde bilinenshanon önekleem teoemine çok benzeyen bi tanımdı.shanon teoemine göe bi sinyalin bilgi kaybı olmadan teka elde edilebilmesi için zamanda önekleme hızının içediği en yüksek fekansın iki katı olamsı geeki. Benze 68

şekilde FDTD yönteminde sayısal dispesiyon minimum dalga boyu sinyalin kaç konum öneği ile önekleneceğine bağlıdı. Şekil 3.19 da a şıkkında λ min =2 b şıkkında ise λ min =8 ile öneklenmişti. Bu duumda b şıkkında FDTD nin λ min bileşeninin dalga yayılımını daha iyi benzeşim edeceği açıktı. Şekil 3.20 Sayısal dispesiyonun fiziksel youmu İki boyutlu TM tipi poblemde kayıpsız otamda Mawell denklemlei H t X 1 E = µ y 0 Z (3.92a) H t Y 1 = µ 0 E Z (3.92b) E t Z 1 H = ε şeklindedi. Y H y X (3.92c) FDTD yöntemine göe ayıklaştıılan (3.78-86) denklemleinde yeleine konulup geekli düzenlemele yapılısa (3.93) eşitliği elde edilmektedi. (3.93) bağıntısı, TM modu için FDTD algoitmasına ait iki boyutlu sayısal dispesiyon eşitliğidi (Taflove 1995). 69

Benze yaklaşımla üç boyutlu FDTD için sayısal dispesiyon bağıntısı (3.94) şeklinde bulunmaktadı (Taflove 1995). Bi düzlem dalga için üç boyutlu kayıpsız otamdaki analitik dispesiyon bağıntısı ise + (3.95) olaak belitilmektedi. (3.92) denkleminde t,, y ve z sıfıa doğu yaklaştıkça (3.92) ve (3.95) bağıntılaı bibiine denk hale gelmektedi. Buna göe eğe zamanda ve konumda FDTD öneklemesi uygun boyutlada yapılısa, sayısal dispesiyonun etkisi istenilen deeceye indiilebili. Eğe değei boşluktaki dalga boyuna göe nomalize edili ve iteasyon sıasında 2π, yani ilgili modun boş uzaydaki dalga sayısı ilk değe olaak alınısa sayısal faz v p için = (3.96) eşitliği elde edili. Buada k final iteasyon sonucunda bulunan değedi. Şekil 3.20 da iki boyutlu FDTD uzayında faklı hüce ezolüsyonalı için sayısal faz hızının α yayılım açısıyla değişim gaiklei göülmektedi (Taflove 1995). Buada sayısal faz hızının he zaman c ışık hızından düşük olduğu ancak dalga boyunu modelleyen FDTD hüce sayısı attıkça v p nin ışık hızına yaklaştığı ve α değeleine daha az bağımlı olduğu göülmektedi. 70

Şekil 3.21 Sayısal faz hızının 2D otamda yayılım açısına bağlı değişimi 71

Şekil 3.22 3B sayısal dispesiyon (Gedney 1993) 3.6 FDTD Yönteminde Paamete Seçimi FDTD yönteminde önemli unsuladan biisi de uygun paametelein seçilmesidi. Yöntemde bibiini doğudan etkileyen bi çok paamete sözkonusudu. Ele alınan yapıya, geçeklenmek istenen simulasyona ve beklenen sonuçlaa göe bu paametelein adım adım optimize edilmesi geeki. 72

Bi çok elektomanyetik poblemde fekans bölgesinde çözümleiyle ilgilenili. FDTD ile edilen zaman bölgesi davanışından Fouie dönüşümü ile fekans davaşı elde edili. Bu nedenle, özellikle Fouie dönüşümünde kaşılaşılan ötüşme ve spektal sızıntı (Akleman 1995) gibi sounlaa kaşı önlem almak zounludu. FDTD simulasyonunda dabesel kaynak kullanılaak geniş fekans bandlaında analiz yapılabili. İlgilenilen band içeisinde en yüksek fekans f ma ve fekans çözünülüğü f, zaman paameteleinin T: gözlem süesi ve t önekleme aalığına bağlıdı. En yüksek fekans ile zamanda önekleme aalığı bibiine (3.97) şeklinde bağlıdı. Göüldüğü gibi fekans analizi açısından paametele keyfi seçilememektedi. İlgilenilen fekans yükseldikçe (Nyquist önekleme hızı) zaman bölgesinde sinyali daha sık öneklemek geekmektedi. Benze şekilde (3.98) olduğundan, daha iyi fekans çözünülüğü için sinyalin zaman bölgesinde daha uzun süe gözlenmesi geekmektedi. FDTD için geekli t zaman adımı patikte ; K>1 (3.99) olaak seçilmektedi (Jenn 1995). Zaman adımı bu şekilde belilendikten sona konum adımı için geeken alt ve üst sınıla iki koşula göe hesaplanmaktadı. Couant kaalılık kiteiyle 3D-FDTD için konum adımı alt sınıı; 73

(3.100) şeklinde belilenmektedi (Jenn 1995). ve y boyutlaı için de (3.100) denkleminde z yeine sıasıyla ve y konulmaktadı. Konum adımının üst sınıı, sayısal dispesiyon koşulu hesaplanmaktadı. Konum-sinyal dalga boyu aasında da zaman-fekans ilişkisindeki Shanon önekleme hızına benze bi koşul bulunmaktadı. Konumda seçilen adım uzunluğuna bağlı olaak, sinyal içindeki en küçük dalga boyu, yani en yüksek fekanslı bileşen, konumda en az iki düğüm ile gösteilmektedi. Üç boyutlu ve z adımlaına sahip bi yapıda konumda en uzak iki nokta değeine kada inebilmektedi. 3.7 FDTD Yönteminde Uyama FDTD yöntemi için zaman bölgesinde sonlu ve sınılı fekans spektumlu dalga biçimi uygundu. Ancak, fiziksel olaak bu mümkün değildi, çünkü zaman bölgesinde sonlu bi sinyalin fekans spektumu söz konusudu. Aynı şekilde fekans bölgesinde sınılı bi sinyal de zaman bölgesinde sonsuz olmaktadı. Genel olaak sinyalin zaman bölgesindeki şekli ile fekans band genişliği aasında tes ilişki vadı. Sinyalin süesi zaman bölgesinde kısaldıkça fekans spektumu genişle. Buna göe, hehangi bi f(t) sinyalin etkin süesi (T eff ) ile etkin band genişliği (B eff ) çapımı bi sabite eşitti (Jenn 1995). (3.101) Zaman fonksiyonu f(t) ile bu fonksiyonun Fouie dönüşümü F(w) için etkin süe ve band genişliği tanımlaı 74

(3.102) (3.103) şeklindedi. FDTD yöntemi için geniş bandlı kaynak modellemesinde en uygun sinyal, zaman- band genişliği çapımı minimum olan sinyaldi. Bu tip bi sinyalin hem zaman süesi hem de fekans band genişliği oldukça küçüktü.bu sayede Fouie dönüşümündeki ötüşme hatalaı azalmaktadı (Jenn 1995). Teoik olaak zaman- band genişliği çapımı; (3.104) değeini almaktadı (Jenn 1995). Bu koşullaı en iyi sağlayan fonksiyon Gauss dabesidi. Gauss dabesi iki faklı şekilde tanımlanı. (3.105) (3.106) (3.105-106) denklemleinde Gauss dabesi sonsuz süeklidi. FDTD de sonlu değelele çalışıldığı için Gauss dabesi T 0 süeli ve biim genlikli bi sinyalle (p(t/t 0 )) çapılaak sınılandıılmaktadı. Bu şekilde, sonsuz süeli Gauss dabesi zamanda dikdötgen bi dabe ile çapılaak sonlu hale getiilmektedi (Jenn 1995). g(t)=f(t(p(t/t 0 )) (3.107) 75

Gauss dabesini zamanda sınılı yapmak için T eff değeini azaltıp B eff i attımaktadı. Ancak uygun T 0 değelei yadımıyla bu değişiklik çok küçük tutulabildiğinden, sınılı Gauss dabesinin T eff ve B eff değelei oijinal Gauss dabesininkilele eşit kabul edilebili. Sınılandıılmış dabenin T 0 değei seçiliken istenen veya ulaşılabili kesinlik değelei göz önüne alınmaktadı. e min, dabenin sıfıdan faklı sayılacağı değe olaak kabul edilise, bu değein altında Gauss dabesinin sıfı olduğu söylenebili ve Gauss dabesi T 0 da g(t 0 /2)=e min (3.108) şeklinde sınılandıılabili (Jenn 1995). Nomalize Gauss dabesinin tepe değeiyle e min aasındaki oanın logaitmik değeine dinamik sını adı veili. (3.109) Şeklinde ifade edilmektedi. Sınılandıılmış sinyalin dabe süesi T 0 istenilen dinamik sınıa bağlı olaak hesaplanabilmektedi. Öncelikle, e min dinamik sını cinsinden e min =10 -Rdyn/20 (3.110) şeklinde tanımlanmakta, buadan ep[-(b eff T 0 /2) 2 ]=10 -Rdyn/20 (3.111) denklemi T 0 için çözüleek (3.112) 76

Eşitliği elde edilmektedi (Jenn 1965). Bu denklem yaklaşık olaak (3.113) şeklinde yazılabili. Denklem (3.107) yadımıyla hehangi bi R dyn [db] değei için T 0 süesi hesaplanabili. R dyn =120[dB] olaak veilen bi dinamik sını için e min =10-6 elde edilmektedi; yani Gauss dabesinin genliği 10-6 değeinden küçük olduğunda sıfı kabul edilise dinamik olaak 120[dB] bulunmaktadı. Bu denklem (3.107) denkleminde kullanıldığında (3.114) elde edilmektedi (Jenn,1995). Sınılandıılmış Gauss dabesi nomalde zamanda T 0 /2 kada ötelenmiş olaak yazılmaktadı. Bu sayede dabenin t<0 anlaındaki tüm değelei sıfıa eşit olacağı için nedensellik koşulu sağlanmış olmaktadı. Bu duumda sınılandıılıp ötelenen Gauss dabesi (3.115) ile veili. 120 [db] den büyük R dyn için T 0 =8/B eff seçilise (3.116) olu. 77

3.8 Zamanda Ayıklaştıma ve Hata Analizi Gauss dabesinin fekans bandındaki en büyük fekans bileşeni, Shanon önekleme teoemine göe zamanda ayıklaştımayı belilemektedi. Buna göe, (3.97) ve (3.98) da veildiği gibi t 1/2f ma olmalıdı. Gauss dabesinin fekans spektumu da Gauss biçimindedi ve (3.117) şeklinde tanımlanmaktadı. Gauss fekans spektumunun spektal güç yoğunluğu ise (3.118) olaak hesaplanmaktadı. 0<f<f ma aalığında taşınan sinyal gücü, güç spektumunda sinyalin bu aalıktaki entegasyonu ile bulunmaktadı. (3.119) Bu denklemde w ma =2πf ma olaak alınmaktadı. 0<f<f ma bandının dışındaki gücün taşınan güce oanı (3.120) olaak veili. Buada ef( ) hata fonksiyonu, 78

(3.121) şeklinde tanımlanı. Sınılandıılmış Gauss dabesinin band içindeki gücüne yaalı sinyal gücü, band dışındaki gücüne ise güültü gücü olaak bakılacak olusa S/N oanı (sinyal/güültü oanı) olaak band içindeki gücün band dışındaki güce oanı alınabili. Eğe f ma =B eff alınısa, bağıntıla yadımıyla S/N =90 [db] bulunmaktadı. f ma =1.2 B eff alındığında ise S/N yaklaşık 130 [db] e ulaşmaktadı. Patikte 120[dB] değeinde sinyal/güültü oanı yetelidi. Bu duumda S/N 120dB f ma 1.2B eff (3.122) bulunmaktadı. 79

Şekil 3.23 Gauss tipi kaynak (Gedney 1993) Şekil 3.24 Gauss dabesinin zaman ve fekans davanışı 3.9 FDTD Sistem Geeksinimlei Uygulamalada FDTD yöntemini kullanmaya kaa veiken göz önüne alınması geeken en önemli noktaladan bii FDTD yönteminin pobleme çözüm getiebilecek kapasitede olup olmadığıdı (Sevgi 1999). Zaman bölgesinde çalışıken ilgilenilen en küçük dalga boyu, kullanılacak geometinin boyutlaını belilemektedi. Tutalı sonuçla elde etmek için he FDTD hücesinin bi kenaı ilgilenilen en yüksek fekanstaki dalga boyunun onda bii uzunlukta veya daha küçük olmalıdı. FDTD hücesinin boyutlaı ve hücelein sayısını belilemek için bilgisaya belleğinin ne kada kapasitede olduğunu belilemek temel unsuladan biidi. Toplam hüce sayısı aynı zamanda sistemin kaalı hale gelmesi için geekecek yineleme sayısını da belile (Kunz- Luebbes 1993). 80

(3.123) (3.123) denkleminde, FDTD ile incelenen elektomanyetik dalga poblemi için geeken bilgisaya bellek ihtiyacı göülmektedi. Denklemde, FDTD geometisinde kullanılacak olan hüce sayısı N olaak gösteilmişti. Bellekte he hücenin elektomanyetik dalga alan bileşeni değei için 4 byte ve he bileşenin malzeme bilgisi için ise 1 byte ye ayılmıştı (Sevgi, 1999) Bilgisayaın çalışması açısından önemli bi kite olan toplam kayan nokta işlem sayısı (FLOPS: floating point opeations); (3.124) ile veili. Bu denklemde T toplam yineleme sayısıdı. Bi yinelemede hüce başına he bileşen için en fazla 10 işlem yapılacağı düşünülmüştü. İşlem sayısı, he hücedeki bileşenlein malzeme tipine, belli bi yinelemede gelen dalga olup olmamasına ve o hücede yapılacak özel işlemlee bağlıdı (Sevgi 1999). Toplam işlem sayısından yola çıkaak patik bi sistemde algoitmanın çalışmasının ne kada zaman alacağı belilenebili. Öneğin 65 65 65 hüce boyutlaındaki bi FDTD uzayında 1024 adımlık bi simülasyon yapılmak istenise, yaklaşık 8 MB bellek geekecekti. Toplam işlem sayısı ise 16.8710 9 FLOPS olacaktı. 4. ORTAM MODELLEME VE SINIR KOŞULLARI 4.1 Otam Modelleme 81

FDTD yönteminde (3.78-86) denklemleinden de göüleceği gibi he hücenin yapısı ε, σ ve µ paametelei ile belilenmektedi. Otamın modellemesi şu şekilde geçekleştiilmektedi. En kolay modellenen otam σ nın sonsuza gittiği PEC otamıdı bu duumda zaman benzeşimi süesince söz konusu noktada elektik alanın teğetsel bileşeni sıfı alını. Kayıplı dieletik malzeme modeli, söz konusu noktanın ε ve σ sı veileek sağlanı. He hüce içeisinde faklı noktalada (E, E y ve E z ) üç elektik alan bileşeni vadı. Bu nedenle he hüce için bu üç noktanın malzemesi de faklı olabili. Uygulama da he hücede he elektik alan bileşeni ayı bi kimlik numaası anılı. Böylece bu alan bileşenleinin olduğu noktala ε ve σ ile modellenebili. Kayıpsız dielektik modellemesinde duum biaz faklıdı. Kayıplı dielektik modelinde olduğu gibi, ε (σ=0 olduğunda) ile otam modelleni. Ancak kayıpsız iki dielektik sınıında veya dielektik-hava geçisindeki noktalada ε=(ε 1 +ε 2 ) /2 şeklinde otalama değe kullanılı. FDTD yönteminde otam modellemesi yanında sını belitilmesi de önemlidi. Uygulamada üç tip sını koşulu kullanılı: Sınıla mükemmel iletken bi malzemeyle kapatılıp sını düzlemleine teğet olan elektik alan bileşenleine sıfı değeinin atanabili. Bu koşul hesap uzayındaki tüm sınılaa çınlayıcı tipi yapıla incelenebili. Sınıla manyetik bi malzemeyle (PMC- pefectly magnetic conducto) kapatılıp sını düzlemleine teğet alan manyetik alan bileşenleine sıfı atanabili. Bu koşul özellikle yapısal simetili poblemlede hacim küçültmek için kullanılı. Simetik yapının tam otasındaki düzlem PMC ile kapatılısa bu düzleme göe simetik olan manyetik alan değelei bibiine eşit olacaktı. 82

Açık sını koşulu (Absobing Bounday (ışıma) koşullaı sını düzlemleine uygulanabili. Condition ABC) olaak adlandıılan ışınım 4.2 Yutucu Sını Koşullaı FDTD yönteminde ele alınan elektomanyetik poblemle yapılaı açılaından kapalı bölgelede ve açık bölgelede olmak üzee iki başlık altında toplanabili. FDTD nin uygulanabililiği açısından, kapalı bölgelede soun yoktu. FDTD hacminin sınılaı ele alınan kapalı bölgenin sınılaı ile çakıştıılaak soun gideilmektedi. Çoğu elektomanyetik poblem çözümünde sonu açık yapılala ilgilenmek geekmektedi. Böyle bi duumda, FDTD yönteminden kaynaklanan sınıla geçigenlik özelliğine sahip olmalıdı; yani sınılada açık bölge koşullaı uygulanmalıdı. Teoik dayanağına göe sını koşullaı ya ışıma sını koşullaı (Radiation Bounday Condition- RBC) veya yutucu sını koşullaı (Absobing Bounday Condition ABC) olaak tanımlanmaktadıla. Liteatüde ise genel olaak he iki yöntem için de ABC tanımı kullanılmaktadı. Teoik olaak Z=0, Z=Z ma, Y=0, Y=Y ma, X=0, X=X ma düzlemleinde ışınım koşullaının uygulaması ile sınıladaki yansıma etkisiz hale getiilmektedi. Işınım koşulu elektomanyetik dalganın sonsuza gideken kaynaktan uzaklaştıkça sıfıa gitmesi şeklinde tanımlanmaktadı. Φ(,y,z) elektomanyetik bi dalgayı ifade edecek olusa lim,y,z ± φ(,y,z)=0 (4.1) şeklinde yazılmaktadı. Bu koşul, FDTD için ABC uygulamalaında faklı matematiksel yaklaşımlala geçekleştiilmektedi. 4.3 Tek Yönlü Dalga Denklemlei Belli bi noktada kesilen FDTD uzayında istenmeyen yansımala oluşu. Bu yansımalaın önüne geçmek için FDTD uzayının sınılaında hesap yapılmaz. Bu sını noktalaındaki 83

alan değelei iç noktalada hesaplanan değele cinsinden belli bi denkleme uyacak şekilde yazılı. Bu denklemin seçimi yansımala açısından önemlidi. Seçilecek denklem, geiye yansımalaı yok edecek veya en aza indiilecek şekilde olmalıdı. Genelde yapılan; iki yönde dalga iletimini modelleyen dalga denklemini ilei ve gei giden bileşenlee ayııp, gei giden kısmı sıfılamaktadı. (Engquist and Majda 1977) Katezyen koodinatlada FDTD uygulamalaındaki ABC ihtiyaçlaına uygun bi tek-yönlü dalga denklemi teoisi geliştimişledi. Bu teoi, kısmi tüev opeatöleinin çapanlaına ayılması yoluyla açıklanabili. Bunun için öncelikle katezyen koodinatlada iki boyutlu bi dalga denklemi göz önüne alınmaktadı. U skala bi alan bileşenini, c ise dalganın faz hızını göstemek üzee iki boyutlu dalga denklemi, (4.2) ile veilmektedi. Buada kısmi tüev opeatöü (4.3) di. Bu duumda dalga denklemi LU=0 (4.4) şeklinde yazılabilmektedi. L dalga opeatöü LU=L + L - U=0 (4.5) şeklinde çapanlaına ayılabili. Buada (4.6) 84

(4.7) (4.8) olaak tanımlanmaktadı. L - (-) yönünde, L + (+) yönünde ileleyen dalgalaa ait opeatöledi. Engquist and Majda (1977), =0 sınıında U dalga fonksiyonuna L - U=0 (4.9) şeklinde L - uygulandığında sınıa doğu hehangi bi α açısıyla gelen bi düzlem dalganın yutulacağı göstemişti. Beze şeklide, = ma sınıındaki düzlem dalga için L + opeatöü aynı sonucu vemektedi. (4.6-7-8) ile veilen denklemlede L - ve L + zaman ve konum değişkenleine göe difeansiyel opeatöleini içemektedi. Aynı zamanda bu ifadele de kaekök içeisinde olabilmektedi. Bu haliyle opeatöle sayısallaştıılmaya uygun değildi. Kaeköklü ifade L - ve L + yı hem konum hem de zaman değişkenlei içinde yeel olmayan sözde-difeansiyel opeatöle haline getidiği için, ABC olaak kullanılan (4.9) denkleminin doğudan doğuya sayısal hale getiilmesini engellemektedi. Bu soun kaeköklü ifade nomal kısmi difeansiyelleden oluşan bi seiye yaklaştıılaak çözümlenebili ve FDTD uygulamalaında sayısal olaak kullanılacak hale getiebili (Taflove 1995). Veilen L - ve L + opeatölei çok küçük S değelei için (4.10) Şeklinde tek teimli Taylo seisi açınımı ile kullanılabili. S değeinin çok küçük olması, ileleyen dalganın y-eksenine göe olan tüevinin; zamana göe tüevinin ışık hızına 85

bölünmesi sonucunda elde edilen değeden çok daha küçük olması anlamına gelmektedi. Bu duumda (4.10) denklemi, (4.6) eşitliğinde kullanılısa (4.11) Elde edilmektedi. (4.10) denklemi (4.9) eşitliği yeleştiilse, =0 sınıı üzeinde sayısal olaak uygulanabilecek olan biince deece (fist-ode) ABC eşitliği, (4.12) olaak bulunu. Benze şekilde (4.6) eşitliğindeki kaeköklü ifade Taylo seisine açılı ve ilk iki teim alınısa daha büyük S değelei için uygun olan (4.13) ifadesi elde edili (Taflove,1995). Bu ifade (4.6) eşitliğinde kullanıldığında + (4.14) elde edili. (4.14) denklemi (4.8) eşitliğinde D t ile çapılaak difeansyel opeatöle kısmi tüevle şeklinde kabul edileek uygulanısa =0 için kinci deeceden ABC ifadesi (4.15) 86

şeklinde elde edili. Aynı ifade; = ma sınıında (4.16) y=0 sınıında (4.17) y=y ma sınıında (4.18) olaak elde edili. Benze şekilde 3B duumu için Şeklinde veilen dalga denkleminde tekalanabili. Buada kısmi tüev opeatöü (4.19) (4.20) şeklindedi. L opeatöü denklem (4.6) bağıntısındaki gibi belileyen ve =0 düzleminde yutuculuğu sağlayan L - opeatöünü veecek şekilde 4.5 denklemindeki gibi ayıklaştıılabili. Bu duumda S tanımı 87

(4.21) olaak değişmektedi. 3B için biinci deece ABC, iki boyutlu duumda elde edilen (4.12) denklemindeki gibidi. Fakat iki teimli Taylo sei açınımını kullanan ikinci-deece ABC koşulu 3B için faklıdı ve (4.22) şeklinde belilenmektedi. (4.22) denklemi D t ile çapılıp difeansiyel opeatölei kısmi tüevle olaak yazılısa =0 sınıında (4.23) = ma sınıında (4.24) y=0 sınıında y=y ma sınıında (4.25) (4.26) 88

z=0 sınıında (4.27) z=z ma sınıında (4.28) olaak bulunmaktadı (Taflove 1995). Geek 2B geekse 3B için elde edilen bu ifadele sonlu fakla yaklaşımı ile ayıklaştıılaak sınılada sağlaması geeken yinelemeli denklemle ulaşılı. 4.4 Mu Tüü ABC Mu (1963) taafından FDTD algoitmasına uygun hale getiilmişti. Üç boyutlu duumda = 0 sınıındaki ABC için sonlu fakla denklemleinin çıkaılması için öncelikle Yee (1996) biim hücesindeki aşağıdaki özellikle göz önüne alınmaktadı. 1) Hüce, he koodinatta o eksene dik bi yüzeyle sınılıdı. Bu yüzeyle (i, j) noktalaından geçmektedi. 2) E elektik alan bileşenlei bu yüzeylee teğet, H manyetik alan bileşenlei ise dik doğultudadı. Uygun FDTD yinelemelei ile bi sonaki hüceye ait elektik ve manyetik alan bileşenlei hesaplanabilmektedi. Ancak sını üzeindeki teğetsel elektik alan bileşenleinin değelei bu şekilde elde edilemez. Çünkü bu bağıntıda sınıın dışaısında ye alan manyetik alan bileşenleine ihtiyaç duyulmaktadı. Bu yüzden açık bölge sını koşullaının, sadece yüzeye teğet elektik alan bileşenlei için elde edilmesi yetelidi (Mu 1963). 89

Üç boyutlu duumda = 0 sınıında i = 0 ve j nin değişen değelei için biinci deece Mu ABC E z için çıkaılacak olusa; (4.29) elde edilmektedi (Mu, 1963). İkinci deece Mu ABC ise ( - (4.30) olaak bulunmaktadı. Bu denklemlede = y = z = olaak kabul edilmişti. = ma, y = 0, y = y ma, z = 0, z = z ma sınılaı için biinci ve ikinci deece Mu ABC denklemlei benze şekilde elde edilebili. 90

5. MODEL UYGULAMALARI Model uygulamalaı için, Roges Robets taafından 1994 yılında yazılmış olan bilgisaya kodlaı tez kapsamında ele alınan modellee göe bitakım düzenlemele yapılmış ve algoitma Matlab pogamlama diline dönüştüülmüştü. Tez çalışmasında bi-statik anten düzeneği kullanılmıştı. FDTD uygulamalaı 3B otamda küp, küe, dikdötgen pizma ve bou modellei üzeinde geçekleştiilmişti. Ayıca bou modellemesi ile laboatua şatlaında geçekleştiilen faklı çaplı boula üzeinde toplanan 2D geçek veilee ait pofil kesitlei ile kaşılaştıma yapılmıştı. Tez kapsamında FDTD sayısal yöntemindeki tüm hesaplamalada kişisel bilgisaya kullanılmıştı. Antenlein doğultulaı y yönüne paalel hedefi dik kesecek şekilde ölçü alınmıştı. 5.1 FDTD Pogam Algoitması Kamaşık yapılaın elektomanyetik analizinde, zamanda kısa süeli dabesel sinyalle kullanılı. FDTD yönteminde, bulunması amaçlanan hedefin katezyen koodinatlada tanımlanması elde edilen sonuçlada daha etkilidi. Bu nedenle modelleme pogamında katezyen koodinatla tecih edilmişti. Kişisel bi bilgisayada 500.000 ile 1.000.000 aası hüce kullanmak olasıdı. Özellikle yakın alan uzak alan dönüşümü kullanaak bi düzlemde modelle elde edilmek istendiğinde açısal çözünülüğe bağlı olaak, işlem süesi nomal FDTD süesini yüz misliden fazla attıabili. FDTD algoitmasında kullanılan diğe önemli paamete yineleme sayısıdı. Şekil 5.3 de akış diyagamı veilen algoitmada önce hedefin yeleştiileceği FDTD uzayı ile ilgili paametele atanı ve zaman döngüsü başlatılı. Bundan sona yapılacak işlemle zaman adımlaında döngü içinde tekalanı. 91

Şekil 5.1. FDTD akış diyagamı FDTD döngüsü içinde he hüce için önce E, E y, E z elektik alan bileşenlei hesaplanı. Bulunan elektik alan değeleinin yadımıyla 3B FDTD hesaplama uzayının altı yüzeyi için açık bölge sını koşullaı (ABC) geçekleştiili. Açık bölge sını koşullaı için he sını yüzeydeki teğetsel elektik alan bileşenlei kullanılı (bkz. Bölüm 3 51-58). FDTD uzayı içeisindeki bütün hücelede elektik alan hesaplanıp, sını yüzeylede ABC uygulandıktan sona manyetik alan bileşenleinin hesabı yapılı. Manyetik ve elektik alanlaın hesaplandıklaı zamanla aasında t/2 kada fak olduğu için önce zaman adımı t/2 kada atıılı ve H, H y, H z manyetik alan bileşenlei hesaplanı. Döngü bu şekilde devam ettiili. Pogamda hesaplanılan elektik alan değeleinin yazdıılmasıyla pogam sonlandıılı. 92

Algoitma içeisinde, ana pogama bağlı beş tane alt pogam vadı. FDTD algoitmasında kullanılan alt pogamlaın isimlei Şekil 5.4 de veilmişti. Alt pogamlaın işlevlei ise sıasıyla, antcalcs3 : Bu alt pogam FDTD model kullanılan anten geometisini oluştuan 2 boyutlu anten dizileini vei. cylcalc: bu alt pogam gömülü bi küenin 3 boyutlu dizilei üeti. fdmenu : Bu pogam ana ve alt pogamlada kullanılan paametelei içei. fdtd3d : 3-D FDTD modelleme pogam kodu. Pogamın çalışması boyunca fdtd.pa dosyasından ikili paametelei oku. Yutucu Sını Koşullaı Mu, IEEE Tans. Elect. Comp,v,23 no.4 yayılma kodu Ph.D tez U.C.Bekley YEE,IEEE Tans. Ant&Pop, v,14 no3 makaleleine göe uyalanmıştı. Hücelein kesişinde havada sıfıa atanmış. Ez li 4 gid hücesini kullanaak 4- E Alanı (E, Ey bunla) bileşenlei paaleldi; Böylece hattın kaakteistik empedansı 376.7/4=94.174 ohm değeindedi. Elektiksel geçigenlik ve/veya manyetik geçigenlik değiştiileek hattın empedansı atıılabili veya azaltılabili. pipcalc3 : Bu pogam gömülü bounun geometisini tanımlayan 3 boyutlu dizilei üeti pofpat : fdtd3d ana pogamın çalışması boyunca elde edilen veilein adyal ac ın, y ve z koodinatlaının bi boyutlu dizileini üeti. sphcalc.c : Bu pogam gömülü bi silindiin geometisini tanımlayan 3 boyutlu dizilei üeti. 93

Şekil 5.2 FDTD algoitmasında kullanılan ana pogam ve alt pogamla 94

5.2 Küp Modeli Tüm uygulamalada 256 256 256 cm boyutlaına sahip 3B alan kullanılmıştı. Küp modelinde bu alan içine 10 10 10 cm, 50 50 50 cm ve 100 100 100 cm boyutlaında küple yeleştiilmişti (Şekil 5.3 ). Model hesaplamalaında mekez fekansı 200 MHz olaak belilenmişti Otam paametelei ε =5.5 ve µ=1 S/m ve σ=0 S/m di. Küple 1m deinliğe gömülmüş ve antenlein konumu 1.285 m hedefin konumu 1.285 m olaak ele alınıp modelleme geçekleştiildi. Otamın hızı 0.12 m/sn veildi. Model uygulamasında = y= z=0.02 m ve t=0,31250 ns olaak belilenmişti. Modelinin di elektik sabiti ε =80 iletkenlik σ=0.063 S/m ve manyetik geçigenlik µ=1 seçilmişti. 5.3 FDTD modelinde kullanılan küp modeli 95

A B C D E Şekil 5.4 10 10 10 cm küp modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 96

A B C D E Şekil 5.5 10 10 10 cm boyutundaki küp modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 97

A B C D E Şekil 5.6 50 50 50 cm boyutundaki küp modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 98

A B C D E Şekil 5.7 50 50 50 cm boyutundaki küp modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 99

A B C D E Şekil 5. 8 100 100 100 cm boyutundaki küp modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 100

A B C D E Şekil 5.9 100 100 100 cm küp modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 101

Faklı boyutladaki küp modeline ait anomali faklılıklaı otaya çıkaıldı. Modelde y doğultusuna ait ada kesitleinde küplein büyüklük faklaını otaya koyduğu göülmektedi (Şekil 5.4-5.8) Küple, küplei dik kesen pofille üzeinde (Şekil 5.5-5.9), küp anomalilei saçılma hipebolü olaak küp boyunca olan pofille üzeinde (Şekil 5.4-5.9) ise yansıma anomalisi olaak göülmektedi. Genlik skalasından dalganın polaitesi gözlenebilmektedi. Küplein konumu için tek değeli (,y,z) koodinatı belileniken boulaa ait hipebollein tepe noktası dikkate alını. Şekil 5.4-5.9 de küplein konum değelei için veilen deinlik seviyesi ada kesitleinde milimetik hatalala bilikte, yaklaşık uyumlu olduğu gözlenmektedi. 102

5.3 Küe Modeli Bu uygulamada 256 256 256 cm boyutlaına sahip bi alan içine yeleştiilen 1 cm, 4 cm, 8 cm, 10 cm, 50 cm boyutlaında faklı çaplada küe modellei yeleştiilmişti Modelimizde = y= z=0.02 m ve t=0.31250 ns olaak belilenmişti. Alıcı ve veici anten alanın tam mekezine 1. 285 m yeleştiilip gömülü modelin tam mekez noktasından geçtiği düşünüleek pogam çalıştııldı. Küe modelinin antenin mekez fekansı 200 MHZ değeine göe hesaplama yapılmış ve faklı düzlemlee ait ada kesitlei elde edilmişti. Bu model uygulamasında otamın hızı v=0.12 m/sn alınmıştı. Küele 1.5 m deinliğe gömüldüğü gömülmüştü. Şekil 5.11 FDTD modelinde kullanılan küe modeli 103

Faklı çapladaki küe modelinde 1, 1.5 ve 1.75 m deinlikleine gömülmüştü. Modelde kullanılan paametele aynı tutulmuştu. Üç faklı deinlik için elde edilen adagamla şekil 5.24 ve 5.25 de gösteilmişti. Kullanılan modelde 1cm, 10cm ve 50 cm çaptaki küele kullanılmıştı. Şekil 5.12 FDTD modelinde kullanılan faklı çaplaa sahip küe modeli 104

A B D C E Şekil 5.13 1 cm boyutundaki küe modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 105

A B C D E Şekil 5.14 1 cm boyutundaki küe modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 106

A B C D E Şekil 5.15 4 cm boyutundaki küe modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 107

A B C D E Şekil 5.16 4 cm boyutundaki küe modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 108

A B C D E Şekil 5.17 8 cm boyutundaki küe modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 109

A B C D E Şekil 5.18 8 cm boyutundaki küe modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 110

A B C D E Şekil 5.19 10 cm boyutundaki küe modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 111

A B C D E Şekil 5.20 10 cm boyutundaki küe modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 112

A B C D E Şekil 5.20 50 cm boyutundaki küe modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 113

A C B D E Şekil 5.21 50 cm boyutundaki küe modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 114

Faklı boyutladaki küe modeline ait hipebollein kollaının genişlediği ve hipebolün tepe kısmının yayvanlaştığı anomali faklılıklaı otaya çıkaıldı. Modelde y doğultusuna ait ada kesitleinde küelein büyüklük faklaını otaya koyduğu göülmektedi (şekil 5.12-5.21). Küe anomalilei saçılma hipebolü olaak küe boyunca olan pofille üzeinde ise yansıma anomalisi olaak göülmektedi. Genlik skalasından dalganın polaitesi gözlenebilmektedi. Küplein konumu için tek değeli (,y,z) koodinatı belileniken boulaa ait hipebollein tepe noktası dikkate alını. Şekil 5.12-, 5.21 de küelein konum değelei için veilen deinlik seviyesi ada kesitleinde milimetik hatalala bilikte, yaklaşık uyumlu olduğu gözlenmektedi. Elde edilen adagamla incelendiğinde aynı mekez fekans, aynı dielektik katsayısı ve aynı iletkenlik değei kullanıldığında gözlenmişti. 115

Şekil 5.22. a. 1 1 1 cm boyutundaki küe modeline b. 10 10 10 cm boyutundaki küe modeline c. 50 50 50 cm boyutundaki küe modeline ait, ve y pofil kesitlei 116

Modelinde faklı çaplada ve faklı deinliklee gömülmüş küe modeli ele alınmıştı. Elde edilen adagamlada incelendiğinde çapla azaldıkça hipebollein daaldığı ve alt ve üst yüzeylede yansımalaın daha aktif olduğu gözlenmişti. Küelein deinlik ve konumu milimetik hatalala yaklaşık olaak uyumlu olduğu belilenmişti. 5.4 Dikdötgen Pizma Modeli Bu uygulamada 256 256 256 cm boyutlaındaki bi otam içine yeleştiilen 100 100 20 cm, 200 200 20 cm boyutlaında ve faklı dielektik ve iletkenlik değeleine sahip dikdötgen pizma yeleştiilmişti. = y= z=0.02 m ve t=0.31250 ns olaak belilenmişti. Pizma kutu 1.5 m deinliğe gömülüdü. Alıcı ve veici anten kutunun tam mekezine 1. 285 m yeleştiilip gömülü modelin tam mekez noktasında geçtiği düşünüleek pogam yüütülmüştü. Antenin mekez fekansı 200 MHz değeine göe hesaplama yapılmış ve faklı düzlemlee ait ada kesitlei elde edilmişti. Otamın hızı v=0.12 m/sn alınmıştı. Şekil 5.23 FDTD modelinde kullanılan kae pizma modeli 117

A B C D E Şekil 5.24 200 200 20 cm boyutundaki pizma modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E kesitlei 118

A B C D E Şekil 5.25 200 200 20 cm boyutundaki pizma modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E kesitlei. Şekil 5.26 100 100 20 cm boyutundaki pizma modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 119

A B C D E Şekil 5.27 100 100 20 cm boyutundaki pizma modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei. 120

A B C D E Şekil 5.27 100 100 20 cm boyutundaki pizma modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 121

A B C D E Şekil 5.28 100 100 20 cm boyutundaki ve ε = 80 ve σ=0.063 S/m pizma modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil 122

A B C D E Şekil 5.29 100 100 20 cm boyutundaki ve ε = 80 ve σ=0.063 S/m pizma modeline ait,y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 123

Elektomanyetik dalgala zamanla değişen elektik ve manyetik alan bileşenleinden oluştuğundan, içinden geçtiklei otamlaın faklı fiziksel özellikleinden etkilenile. Bu önemli fiziksel özellikleden dielektik geçigenlik ve iletkenlik olup, ada dalgalaının yayınımını etkileyen en önemli paameteledi. Elde edilen adagamla incelendiğinde, modeli tanımlanan paametelein değişimiyle hipebolün değiştiği gözlenmektedi. Dielektik sayısı ve iletkenlik değei attıkça hipebolün kollaının daaldığı ve hipebolün tepesinin yayvanlaştığı gözlenmektedi. 200 MHz mekez fekansı kullanıldığından hedefin üst ve alt yüzeyleinden yansımala oluşu. Genlik skalasından dalganın polaitesi gözlenebilmektedi. pizmanın konumu için tek değeli (,y,z) koodinatı belileniken boulaa ait hipebollein tepe noktası dikkate alını. Şekil 5.27, 5.28, 5.29, 5.30, 5.31, 5.32, 5.33 de pizmanın konum değelei için veilen deinlik seviyesi ada kesitleinde milimetik hatalala bilikte, yaklaşık uyumlu olduğu gözlenmektedi. 124

5.5 Silindi Modeli Bu uygulamada 128 128 128 cm boyutlaına sahip 3B alan içine 20 cm ve 100 cm boyutlaında silindile yeleştiilmişti. Bu model uygulamasında = y= z=0.04 m ve t=0.66666 ns olaak belilenmişti. 1.5 m deinliğe gömülü olduğu vasayılmıştı. Alıcı ve veici anten kutunun tam mekezine 0.60 m yeleştiilip gömülü modelin tam mekez noktasında geçtiği düşünüleek pogam yüütülmüştü Silindi modelinde dielektik sabiti ε =1.0, iletkenlik σ=0 S/m ve manyetik geçigenlik µ=1 seçilmişti. Antenin mekez fekansı 100 MHz değeine göe hesaplama yapılmış ve faklı düzlemlee ait ada kesitlei elde edilmişti. Şekil 5.30 FDTD modelinde kullanılan silindi modeli 125

Şekil 5.31 15 o, 30 o, 45 o, 60 o, 90 o eğimli silindi modeline ait ölçüm düzeneği 126

A B C D E Şekil 5.32 100 cm boyunda ve 20 cm çapındaki 15 o eğimli silindi modeline ait, doğultusuna ait ada kesitlei 127

Şekil 5.33 100 cm boyunda ve 20 cm çapındaki 15 o eğimli silindi modeline ait,y doğultusuna ait ada kesitlei 128

Şekil 5.34 100 cm boyunda ve 20 cm çapındaki 30 o eğimli silindi modeline ait, doğultusuna ait ada kesitlei 129

Şekil 5.35 100 cm boyunda ve 20 cm çapındaki 30 o eğimli silindi modeline ait, y doğultusuna ait ada kesitlei 130

Şekil 5.36 100 cm boyunda ve 20 cm çapındaki 30 o eğimli silindi modeline ait, z doğultusuna ait ada kesitlei 131

Şekil 5.37 100 cm boyunda ve 20 cm çapındaki 45 o eğimli silindi modeline ait, doğultusuna ait ada kesitlei 132

Şekil 5.38 100 cm boyunda ve 20 cm çapındaki 45 o eğimli silindi modeline ait, y doğultusuna ait ada kesitlei 133

Şekil 5.39 100 cm boyunda ve 20 cm çapındaki 45 o eğimli silindi modeline ait, z doğultusuna ait ada kesitlei 134

Şekil 5.40 100 cm boyunda ve 20 cm çapındaki 60 o eğimli silindi modeline ait, doğultusuna ait ada kesitlei 135

Şekil 5.41 100 cm boyunda ve 20 cm çapındaki 60 o y doğultusuna ait ada kesitlei deece eğimli silindi modeline ait, 136

Şekil 5.42 100 cm boyunda ve 20 cm çapındaki 60 o eğimli silindi modeline ait, z doğultusuna ait ada kesitlei 137

Şekil 5.43 100 cm boyunda ve 20 cm çapındaki 90 o eğimli silindi modeline ait, doğultusuna ait ada kesitlei 138

Şekil 5.44 100 cm boyunda ve 20 cm çapındaki 90 o eğimli silindi modeline ait, y doğultusuna ait ada kesitlei 139

Şekil 5.45 100 cm boyunda ve 20 cm çapındaki 90 o eğimli silindi modeline ait, y doğultusuna ait ada kesitlei 140

a) b) c) Şekil 5.46. a. faklı açılı silindi modeline ait, doğultusuna ait ada kesitlei, b. faklı açılı silindi modeline ait, y doğultusuna ait ada kesitlei, c. faklı açılı silindi modeline ait, y doğultusuna ait ada kesitlei 141

Bu uygulamada aynı paametele kullanılaak faklı eğimlede 3B alan içine yeleştiilen silindi modeli ele alınmıştı. Silindi faklı açılada yeleştiileek model üzeindeki etkisi aaştıılmıştı. Elde edilen adagamla incelendiğinde aynı ölçüm düzeneğine ve aynı paametelee sahip modellein faklı açılaa göe hipebolün tepe noktasının kaydığı ve ada dalgalaının faklı vaış zamanlada geldiği göülmüştü. Bu model çalışmasında modelde faklı açılada yeleştiilmesinde modelin konumunu ve deinliğinin otaya konulmasında ne kada etkili olduğu gösteilmişti. 5.5.1 Bou Modeli Bu uygulamada 128 128 128 m boyutlaına sahip bi kutu içine yeleştiilen 20 cm çap ve 1 m boyuna sahip bi bou modeli ele alınmıştı. Bu modelleme de faklı dielektik ve iletkenlik değelei veilmiş ebatlaı aynı alınaak paametelein model üzeindeki etkilei incelenmişti (şekil 5.49-5.54). Şekil 5.49 ve şekil 5.50 de ε =1.0 ve σ=0 S/M, Şekil 5.51 ve 5.52 de ε =8.0 ve σ=0 S/M, Şekil 5.53 ve 5.54 de ε =8.0 ve σ=0.063 S/M, değele veilmişti. Daha sona yine faklı çap ve boyutladaki boula 3B alan içine yeleştiileek faklı boy ve çaplaın model üzeindeki etkilei incelenmişti. Şekil 5.55 ve 5.56 da 30cm çapında ve 150 cm boyunda bi bou, şekil 5.57 ve 5.58 de 20 cm çapında ve 50 cm boyunda bi bou ve şekil 5.59 ve 5.60 de 30 cm ve 100 cm boyunda bi bou yeleştiilmişti. = y= z=0.04 m ve t=0.6666 ns olaak belilenmişti. 1 m deinliğe gömülü olduğu vasayılmıştı. Alıcı ve veici anten kutunun tam mekezine 1. 285 m yeleştiilip gömülü modelin tam mekez noktasında geçtiği düşünüleek pogam çalıştııldı. Bou modelinin antenin mekez fekansı 500 MHZ değeine göe hesaplama yapılmış ve ve y doğultulaına ait ada kesitlei elde edilmişti. 142

Şekil 5.47 ε = 1.0 ve σ=0 S/m bou modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 143

Şekil 5.48 ε = 1.0 ve σ=0 S/m bou modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 144

Şekil 5.49 ε = 80.0 ve σ=0 S/m bou modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil doğultulaına ait ada kesitlei 145

Şekil 5.50 ε = 80.0 ve σ=0 S/m bou modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil doğultulaına ait ada kesitlei 146

Şekil 5.51 ε = 80.0 ve σ=0.063 S/m bou modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil doğultulaına ait ada kesitlei 147

0 50 0 50 100 100 200 0 200 0 300 300 400 0 50 100-50 400 0 50 100-50 0 50 0 50 100 100 200 0 200 0 300 300 400 0 50 100-50 400 0 50 100-50 0 50 100 200 0 300 400 0 50 100-50 Şekil 5.52 ε = 80.0 ve σ=0.063 S/m bou modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil doğultulaına ait ada kesitlei 148

Şekil 5.55 30 cm çapında ve 150 cm boyunda bou modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil doğultulaına ait ada kesitlei 149

Şekil 5.56 30cm çapında ve 150 cm boyunda bou modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil doğultulaına ait ada kesitlei 150

Şekil 5.57 10cm çapında ve 50 cm boyunda bou modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil doğultulaına ait ada kesitlei 151

Şekil 5.58 10cm çapında ve 50 cm boyunda bou modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil doğultulaına ait ada kesitlei 152

Şekil 5.59 20cm çapında ve 100 cm boyunda bou modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil doğultulaına ait ada kesitlei 153

Şekil 5.60 20cm çapında ve 100 cm boyunda bou modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil doğultulaına ait ada kesitlei 154

Bu uygulamada faklı dielektik ve iletkenlik değelei değiştieek model üzeinde etkilei incelenmişti. Şekil 5.49, 5.50, 5.51, 5.52, 5.53, 5.54 de gösteilen adagamlada paametelein değişimlei önemli ölçüde etkilediği göülmüştü. Model yapı ile yapının içinde bulunduğu otamın bağıl dielektik geçigenlik değelei aasındaki fakın atışı, daha yüksek genlikte ada yansımalaının oluşmasını sağlamaktadı. Bunun yan sıa söz konusu bu atış, yapay adagamlada tekalı yansımalaın otaya çıkmasına da neden olmaktadı. Bu etkile adagamlaı daha kamaşık bi hale getimekte ve bu duum adagamlaın yanlış youmlanmasına da yol açabilmektedi. Ayıca, ada dalgalaının ilelediklei otamın bağıl dielektik geçigenlik değeindeki atış da, ada dalgalaının otam içinde yavaşlamasına neden olmakta ve ada dalgalaının vaış zamanlaını etkilemektedi. Rada dalgalaının iletimini etkileyen diğe önemli bi paamete de elektik iletkenlikti. Çalışmala; kullanılan model yapılaın elektik iletkenlik değeindeki atışa koşut olaak, yapının üst yüzü ile gömüldüğü otamın aa yüzünden daha beligin yansımala oluşmakla bilikte, yapının alt yüzeyinden hehangi bi yansıma oluşmadığını otaya koymuştu. Bu duum otamlada elektik iletkenliğe koşut olaak otaya çıkan sönümlenme ile ilişkili olmaktadı. Bağıl manyetik geçigenlik değelei üzeinde yapılan incelemele ise, bağıl manyetik geçigenlik değeinin atışı ile bilikte yapı ile otam aayüzeyindeki yansımalaın genlikleinin önemli ölçüde değiştiğini göstemişti. Bağıl manyetik geçigenlik değeleindeki değişimle model ile onu çeveleyen otam aasındaki aayüzeyleden oluşan yansımalaı daha da beliginleştimektedi. Model yapının bağıl manyetik geçigenlik değeinin atışı, yapının alt yüzeyinden yansıyıp yeyüzüne dönen ada dalgalaının yüzeydeki alıcıya daha geç ulaşmasına ve yapay adagamladaki tekalı yansımalaın beliginleşip, atmasına neden olmaktadı. Bu duum, yüksek manyetik geçigenlik değeine sahip otamladan elde edilecek adagamla üzeinden yapılacak youmlada mutlaka göz önünde bulunduulmalıdı. Rada modellemesinde elde edilen ada yanıtlaının niteliğini, model yapılaın sahip olduklaı fiziksel özelliklein yanı sıa, bunlaın geometik özelliklei de belilemektedi. Model yapı boyutlaındaki atış, yapının belilenebililiğini attımaktadı. Benzetim modelleinde ada yanıtlaını etkileyen bi diğe önemli geometik paametenin de yapının gömülü bulunduğu deinlik olduğu göülmektedi. Sığ deinlikledeki model yapıla daha 155

beligin yansımala üetiken, yapı deine ötelendiğinde yansıma hipebollei zayıflamakta ve tanımsallıktan uzaklaşmaktadı. Bu duum deinlikle ada dalgalaının sönümlenmesinden ve daha az ada enejisinin deine ulaşmasından kaynaklanmaktadı. Modelleme çalışmalaı hipebol biçimlenmesinde model yapının şeklindeki değişimin de yanıtlaı etkilediğini göstemişti. 5.6 Faklı Büyüklükteki Boula Üzeinde Toplanan Geçek Veile İle Fdtd Modellein Kaşılaştıılması Deneylede 1.6 GHz kapalı anten, 9898 cm 2 iç alana ve 40 cm iç deinliğe sahip tahta kasa ve otam malzemesi olaak kuu kum kullanıldı. FDTD algoitmasından elde edilen ada kesitleiyle deneyleden elde edilen adagamla iki boyutlu (2B) ve üç boyutlu (3B) göüntüleneek boulaa ait saçılma hipebolleindeki faklılıkla konumsal, fiziksel ve büyüklükleine göe kaşılaştııldı. Gömülü boulaın kaakteistik özellikleini ve büyüklükleini otaya koymak amacıyla laboatua koşullaında deneyle yapıldı. Deneylede kullanılabili iç boyutu yönünde 98 cm, y yönünde 98 cm ve z yönünde 40 cm deinliği olacak şekilde tahta kasa dizayn edildi (Şekil 5.62). Kasa içi, otamı temsil eden kuutulmuş ince kum ile dolduuldu ve üç faklı çapta demi ve plastik boula kullanılaak üç faklı deney geçekleştiildi. Üç deneyde de ekseni gömülü boulaa dik olan eksen, y ekseni gömülü boulaa paalel eksen ve z ekseni kasanın deinlik ekseni olaak seçildi. 156

y z Şekil 5.61 FDTD algoitmasında ve deneylede kullanılan kasa ve,y,z boyutlaı 157

Vei Toplama Tüm deneylede vei toplama aşamasında, gömülü boulaa paalel ve dik olmak üzee 11 cm aalıklala ve y yönünde sekiz pofil aydınge kağıdına işaetlendi (Şekil 5.63). Pofil yönlei ve aalıklaı işaetlenen aydınge kağıdı boulaın gömüldüğü içi kuu kum ile dolu kasanın üzeine yeleştiileek pofille üzeinde veile toplandı. Deneylede, RAMAC CUII ada sistemi ve bu sisteme uyumlu, duyalılığı 0.005-0.01 m ve antenle aası mesafe 0.05 m olan 1.6 GHz kapalı anten kullanıldı. He pofilde ölçüm aalığı 0.0044 m, kayıt süesi 9 ns ve zaman önekleme aalığı 0.054 ns olaak alındı. Sekil 5.62 Deneylede kullanılan kasa üzeindeki pofille ve doğultulaı, 158

Deney 1 (Demi Boula) İlk deney üç faklı çapta aynı boyda demi boula kullanılaak yapıldı. Demi boulaın çaplaı sıasıyla 10.5 cm, 7 cm ve 5 cm olup, boylaı ise 50 cm di. Boula kasa içine büyük çaplı demi boudan küçük çaplı demi bouya doğu yeleştiildi (Şekil 5.64 a). Üç demi bou kasanın üst seviyesine göe 2B ada kesitleinde fakı yakalayabileceğimizi gömek için ikişe cm aalıklala 14 cm, 16 cm ve 18 cm deinliğe gömüldü. Boulaın -y ve -z konumlaı ayıntılı olaak Şekil.64 ab ve c de gösteilmektedi. Boula aasındaki mesafe 20 cm, büyük çaplı bou ile kasanın kenaı aasındaki mesafe 20 cm, küçük çaplı bou ile kasanın kenaı aasındaki mesafe ise 15.5 cm olaak dizayn edildi (Şekil 5.64 b). Boulaın başlangıç noktası kasa kenaından y eksenine göe 23 cm, bitiş noktası ise 73 cm içeidedi. Bitiş noktasının kasanın diğe kenaına uzaklığı 25 cm di (Şekil 564 c). Demi boulaa büyük çaplıdan küçük çaplıya doğu 1, 2, 3 olaak numaalandııldı. 159

Şekil 5.63. a.faklı çaptaki demi boulaın kasa içindeki yaı gömülü göüntülei, b. Demi boulaın kasa içinde -z konumlaı, c. Kasa içinde -y konumlaı, 160

1 2 3 Şekil 5.64 Faklı çapladaki demi bounun ekseni yönünde a. FDTD ve b. deneyle sonuçlaından elde edilen kesitlei (adagamlaı) 161

Deney 2 (Plastik Boula) İkinci deneyde yine aynı amaçla faklı çaplada plastik boula kullanıldı. Boulaın çaplaı sıasıyla 10.5 cm, 7 cm ve 5 cm, boylaı ise 54 cm di. Kasa içindeki sıalama - y koodinatına göe büyük çaplı boudan küçük çaplı bouya doğudu (Şekil 5.66 a). He üç plastik bou kasanın üst seviyesine göe 13 cm deinliğe gömüldü. Boulaın -z konumlaı şekil 3b de veildiği gibi boula aası mesafe 20 cm, büyük çaplı bou ile kasanın kenaı aasındaki mesafe 20 cm, küçük çaplı bou ile kasanın kenaı aasındaki mesafe ise 15.5 olaak düzenlendi (şekil 5.66 b). y ekseni yönünde boulaın başlangıç noktası y=0 noktasındaki kasa kenaından 19 cm içeidedi. Boulaın bitiş noktası ile kasa kenaı aasındaki mesafe ise 23 cm di (Şekil 5.66 c). Plastik boulaa büyük çaplıdan küçük çaplıya doğu 4, 5, 6 olaak numaalandııldı. 162

Şekil 5.65. a. Aynı çaptaki demi ve plastik boulaın kasa içindeki yaı gömülü göüntülei, b. Demi, plastik boulaın kasa içinde -z konumlaı, c. Kasa içinde -y konumlaı, 163

Şekil 5.66 Faklı çapladaki plastik bounun FDTD ve deneyle sonuçlaından elde edilen adagam kesitlei 164

Deney 3 ( Demi-Plastik Bou ) Üçüncü deneyin amacı aynı çaptaki ancak faklı özellikteki iki bounun anomali faklılıklaını aaştıaak bou kaakteistik özelliliğini otaya koymaktı. Bu amaçla deney 1 ve deney 2 de kullanılan büyük çaplı demi ve plastik boula kasa içinde 7 cm deinliğe gömüldü. Boulaın çaplaı eşit 10.5 cm, boylaı ise 54 cm, 50 cm di (Şekil 5.68a). Buna göe boulaın kasa içindeki yönünde boula aasındaki mesafe 23 cm di. Boula ile kasa kenalaı aasındaki mesafe 27 cm di (Şekil 5.68b). Kasanın kenaı ile boulaın başlangıç noktası y yönünde demi için 21 cm, plastik için 25 cm di. Boulaın bitiş noktası ile kaşı kena aasındaki mesafe ise 23 cm di (Şekil 5.68c). Deney 1 ve 2 deki gibi demi bou 1, plastik bou 4 olaak numaalandııldı. 165

5.67. a. Aynı çaptaki demi ve plastik boulaın kasa içindeki yaı gömülü göüntülei, b. Demi, plastik boulaın kasa içinde -z konumlaı, c. Kasa içinde -y konumlaı, 166

FDTD algoitmasına deneylede kullanılan aynı modelle ve modellein paametelei değiştiilmeden algoitma çalıştıılmıştı. Deneyleden elde edilen ada kesitlei ve FDTD algoitmasında elde edilen ada kesitlei şekil 5.69 da gösteilmişti. Şekil 5.68 Demi ve plastik bou modelinin FDTD algoitmasından ve deneyleden elde edilen ada kesitlei 167

Biinci ve ikinci deneylede aynı özellikte faklı çapladaki boulaa ait anomali faklılıklaı otaya çıkaıldı. Deneyde ise aynı çapta faklı özellikteki boulaa ait anomali faklılıklaı otaya çıkaıldı Pofil boylaının kasa uzunluğundan daha faklı olmasının nedeni kasa içine yeleştiilen antenin boyu kada olan kayıptı. Bu nedenle konum değelendiilmeleinde bu duum dikkate alınmalıdı. Yapılan pofil ölçümleine göe boulaı dik kesen doğultusundaki pofillee ait ada kesitlei (Şekil 5.65) boulaın büyüklük faklaını otaya koyduğu göülmektedi. Boula, boulaı dik kesen pofille üzeinde (Şekil 5.67), bou anomalilei saçılma hipebolü olaak, boula boyunca olan pofille üzeinde ise yansıma anomalisi olaak göülmektedi. Şekil 5.65 2B kesitlee göe üç faklı çaptaki demi bou değelendiildiğinde ilk gözlenen anomalilein çok net olması, saçılma anomalileinin çok geniş bi alanda gözlendiğidi. Bunun nedeni, demiin EM dalga hızının çok düşük olması (0.017 m/ns) ve otamın yüksek (0.2 m/ns) EM dalga hızına sahip olmasıdı. Bu duumda EM dalgası için yansıma katsayısı; V2 V ε 1 1 ε 2 R= = V V (4.1) + ε + ε 2 1 1 2 değeini negatif değede atımaktadı. Buada, V 1 kuu kuma, V 2 boulaa ait EM dalga hızı, ε 1 kuu kuma, ε 2 boulaa ait dielektik katsayısıdı. Aynı şekilde Şekil 5.67 de veilen 2B kesitlee göe üç faklı çaptaki plastik bou anomalilei değelendiildiğinde aynı genlik kazanç fonksiyonu ile vei göüntülenmesine ağmen saçılma genlikleinin demi bou anomalileine göe daha zayıf olduğu gözlenmektedi. Bunun nedeni, plastiğin EM dalga hızının yaklaşık 0.16 m/ns, otamı temsil eden kuu kumun 0.2 m/ns olması ve buna bağlı olaak yansıma katsayısı değeini azaltmasıdı. Deneylee ait kesitlede hem demi hem de plastik boulaın EM dalga hızının otamı temsil eden kuu kumun EM dalga hızından daha düşük olmasından dolayı saçılmala negatif polaitededi (Şekil 5.65, 5.67 ve 5.69). Genlik skalasından dalganın polaitesi gözlenebilmektedi. 168

6. SONUÇLAR VE TARTIŞMALAR Jeofizik çalışmalada yöntemlein poblemle üzeindeki başaısını test etmede modelleme çalışmalaı sıkça kullanılmaktadı. Bu tez çalışmasında fiziksel ve geometik paametelei belli ye altı modellei FDTD yöntemi kullanılaak yüksek fekanslı elektomanyetik dalga alanı incelenmişti. Mühendislikte, hehangi bi fiziksel sistemin matematik modellenmesi sonucu elde edilen kamaşık veya analitik çözülemeyen denklemlein çözümünde kullanılan sayısal yöntemle, son yıllada özellikle bilgisaya alanındaki gelişmelee paalel olaak atmıştı. Sayısal yöntemledeki gelişmele teoik ve deneysel çalışmalaa da kolaylık getimiş, bilimsel çalışmalaa zaman ve ekonomik bakımdan katkı sağlamıştı. Sayısal yöntemle, fiziksel olaylaın matematiksel modelleinin çözümünde ve bilgisaya benzetimleinin geçekleştiilmesinde de büyük destek sağlamıştı. Elektomanyetik dalga poblemleinde de yoğun olaak sayısal yöntemle kullanılmaktadı. Bunla, İletim hattı matisi (TLM), Paabolik denklem (PE), Moment yöntemi (MoM), Zamanda Sonlu Fakla yöntemi (FDTD) vb. pobleme özgü özel sayısal yöntemle olabileceği gibi, ilgili alanlada oldukça geniş poblem guplaına uygulanabilen sayısal yöntemle de kullanılmaktadı. Bu tez çalışmasında zaman otamında sonlu fakla yöntemi ele alınmıştı. FDTD yöntemi, Mawell denklemleindeki kısmı tüev opeatöleinin mekezi faklaa dayalı sonlu fakla kaşılıklaı ile değiştiilip, doğudan zaman ve konum bölgesinde sayısallaştıılmasına dayanı (Yee 1966). Bu çalışmada Gauss dabesi gibi kısa süeli sinyalle kullanılaak geometik şekilli gömülü nesnele FDTD yöntemi ile modellenmişti. Bunun için MATLAB pogamlama dilinde bi algoitma geliştiilmişti. FDTD yöntemlede kullanılan paametele, model ağı, otam paametelei ayıntılı olaak incelenmişti. Özellikle FDTD yönteminin doğuluğunun atıılması ve denklemleinin çözümünde kullanılan sını şatlaının, çözüme tam olaak yansıtılması için hesaplama ağında doğu tasalanması modelleme için oldukça önemlidi. Buada FDTD için en fazla kullanılan ABC sını şatı kullanılmıştı. 3B 169

modellemede diğe bi soun ise kullanılan paameteledi. Model ağına uygun olaak seçilmesi geekmektedi. Diğe bi poblem ise bu paamete seçimleine bağlı olaak hesaplama maliyetinin çok yüksek olması ve çok yüksek düzeyde bilgisaya belleğine geeksinim duyulmasıdı. Yapılan modelleme çalışmalaında 256 256 256 m boyutlaına sahip bi otam içine otam paametelei faklı geometik şekilli nesnele yeleştiilmiş ve hesaplamala için 200 MHz anten kullanılmıştı. İlk modelde 111 m, 222 ve 0.50.50.5 m boyutlaındaki küple ele alınmıştı. FDTD algoitmasında,y ve z yönünde elektik alan değelei elde edilmişti. Elde edilen sonuçla ada kesitleinde gösteilmişti. Rada kesitleinde göüldüğü gibi küpün konumu, deinliği ile ilgili bilgilein otaya konulabililiği ispatlanmıştı. Modele üzeinde faklı pofillee ait özellikle y yönlü adagamlada hipebolun tepe bölümünde küp büyüklüğüne uygun yansımala vediği göülmüştü. Otamın dielektik ve iletkenlik değei ve küe modelinin boyutlaına bağlı olaak hipebollede mavi enk negatif genlik kımızı enk pozitif genlik olaak belilenmişti. İkinci modelde faklı boyutlaında pizma modellei ele alınmıştı. Kaynağı modelimizin tam mekezine göe yeleştieek sonuçla elde edilmişti. Radagamla üzeindeki modeli yansıtan hipebol boyutlaının değişimlei incelenmişti. Üçüncü modelde aynı çap ve boylaa sahip silindi modelinin faklı açıladaki konumlaı ele alınmıştı. Model üzeindeki adagamla incelendiğinde silindiin beliteci olan hipebollein açılaın değelei ile oantılı olaak kaydığı gözlendi. Dödüncü modelde faklı çaplada aynı otam içine yeleştiilen küe modeli idelenmişti. Küelee ait hipebolla incelendiğinde yaıçap değeleinin atmasıyla hipebollein genişlemesi şeklinde kendini göstemektedi. Son olaak ye adaı yöntemi (GPR) ile gömülü faklı özellikte ve çaptaki bou modeli laboatua deneylei sonuçlaı ile geçek model paametelei kullanılaak FDTD algoitması sonuçlaı incelenmiş, benzelikle ve faklılıkla aaştıılmıştı. Deneyle, 170

modellemele ve kaşılaştımalaı sonucunda bou özelliğinin ise he zaman kolaylıkla belilenemediği gözlenmişti. Ayıca FDTD modellenmesinde de gömülü boulaın konumlaı ile bilikte tespit edilebileceği ve büyüklüklei hakkında bilgi veilebileceği otaya konulmuştu. 171

KAYNAKLAR Anonymous 2000. Suface mount RF schottky baie diodes: HSMS-282 seies. Technical Data www.semiconducto.agilent.com. Akleman F. Özyalçın M.O. Sevgi L. 1999. RSY Modelleme and Radaa Göünmeyen Hedef Tasaımı 2000 li Yıllada Uzay Havacılık and Savunma Teknolojileinin Önceliklei Sempozyumu Cilt 2 İstanbul. Allen M. B. Isaacson E. L. 1998. Numeical analysis fo applied science. John Aloglu S. 2006. Zemin Etüdü Sondaj Bulgulaının Sismik and Ye Radaı Gibi Tekniklele Kaşılaştıılması Annan A.P. 2000. Gound penetating ada wokshop notes. Sensos&Softwae. Annan A. P. and Davis J. L. 1977. Impulse ada applied to ice thickness measuements and feshwate bathymety. Geological Su andy of Canada Repot of activities Pape 77-1B pp. 117-124. Annan A.P. 1992. Uses and techniques of gound penetating ada in nea-suface geophysics. SEG. Afken G. B. and Webe H. J. 1995. Mathematical methods fo physicists 4th edition. Academic Pess. Balanis C. A. 1989 Advance engineeing electomagnetics John-Wiley & Sons. Basson U. 1992. Mapping of moistue content and stuctue of unsatuated sand layes with gound penetating ada. Thesis submitted fo the degee of maste of Sciences in Geophysics Octobe 1992 Tel-Aviv Uni andsity Raymond and Be andly Sackle Faculty of Eact Sciences Depatment of Geophysics and Planetay Sciences 80 p. (in Hebew with English abstact). Basson U. 2000. Imaging of acti and fault zone in the Dead Sea Rift: Evona Fault Zone as a case study. Thesis submitted fo the degee of Ph.D. Tel-Aviv Uni andsity Raymond & Be andly Sackle Faculty of Eact Sciences Depatment of Geophysics & Planetay Sciences 196 p. Beenge A. P. 1994. A pefectly matched laye fo the absoption of electomagnetic wa ands. Jounal of Computational Physics (114) 185-200. Blood W. J. 1980. MECL system design handbook. Pinted by Motoola Inc. Bistow C.S and Jol H.M. (Ed.). 2003. Gound Penetating Rada in Sediments. Geological Society Special Publications London 211 191-198. C. M. Fuse S. P. Mathu and O. P. Gandhi. 1990. Impo andments ot the finitediffeence time-domain method fo calculating the ada coss section of a pefectly conducting taget IEEE Tans. Micowa and Theoy and Tech. vol. MTT-38 pp. 919-927 July. Ciampolini P. Mezzanotte P. Roselli L. Soentino R. 1996. Accuate and efficient cicuit simulation with lumped-element FDTD technique. IEEE Tans. Micowa and Theoy and Techniques Vol. 44(No.12) 2207-2214. 172

Collins R. E. 1993. Foundations fo micowa and engineeing. McGaw-Hill. Cook J.C. 1995. Peface Jounal of applied Geophysics Vol. 33 p. 1-3. D. M. Sullivan. 1991. Mathematical methods fo teatment planning in deep egional hypethemia IEEE Tans. Micowa and Theoy and Tech. vol. MTT-39 pp. 864-872 D. M. Sullivan. 1992. Fequency-dependent FDTD methods using Z tansfoms IEEE Tans. Antenna Pop. vol. AP-40 pp. 1223-1230 D. M. Sullivan. 1997. An unsplit step 3-D PML fo use with the FDTD method IEEE Micowa and and Guided Wa and Lettes vol. 7 pp. 184-186. D. M. SullivaN. 2000. Electomagnetic Simulation Using the FDTD Method. N.Y.: IEEE Pess Davis J. L. and Annan A. P. 1986. High esolution sounding using gound pobing ada. Geoscience Canada Vol. 13(3) p. 205-208. Davis J. L. and Annan A. P. 1989. Gound penetating ada fo high esolution mapping of soil and ock statigaphy. Geophysical pospecting Vol. 37 p. 531-551. Davis J.L. and Annan A.P. 1989. Gound-penetating ada fo high esolution mapping of soil and ock statigaphy. Geophysical Pospecting 37 531-551. Dobin B. M. and Savit C. H. 1988. Intoduction to Geophysical Pospecting. Intenational Edition McGaw-Hill Book Co. Elaydi S. N. 2000. Discete chaos. Chapman & Hall/CRC. Emili G. Alimenti F. Mezzanotte P. Roselli L. Soentino R. 2000. Rigoous Gandhi O. P. Gao B. Q. Chen Y. Y. 1993. A fequency-dependent finite diffeence time-domain fomulation fo geneal dispesi and media. IEEE Tans. Micowa and Theoy and Techniques Vol. 41 658-665. Gandjean G. And Gouy J.C. 1999. GPR data pocessing fo 3D factue mapping in a mable quay (Thassos Geece). Jounal of Applied Geophysics 36 19-30. Gasmueck M. 1996. 3-D gound penetating ada applied to factue imaging in gneiss Geophysics 61 (4) 1050-1064. Gay P. R. Meye R. G. 1993. Analysis and design of analog integated cicuits (3d edition). John-Wiley & Sons. Giffiths D.J. 1991. Elektomanyetik Teoi. ARTe Gü andn. 7; 235s. 8; 265-301. Haington R. F. 1968. Field computation by moment methods. MacMillan Company.215 Haington R.F. 1968. Field Computation by Moments Methods The Macmillan Co. NY. Hockanson D. M. 1994. The finite-diffeence time-domain method and applications in EMC. Technical epot Electomagnetic Compatibility Laboatoy Uni andsity of Missoui-Rolla www.emclab.um.edu. 173

Hoefe W. J. R. 1985. The Tansmission-line Mati Method Theoy and applications. IEEE Tans. Micowa and Theoy and Techniques Vol. 33(No. 10) 882-893. Hoton I. 1998. Beginning Visual C++ 6.0. Wo Pess Ltd. Ishimau A. 1991. Electomagnetic Wa and Popagation Radiation and Scatteing Pentice Hall NY. Itoh T. (Ed) 1989. Numeical techniques fo micowa and and milimete-wa and passi and stuctues. John Wiley & Sons. J. P. Beenge. 1994. A pefectly matched laye fo the absoption of electomagnetic wa ands J. Comput. Phys. vol. 114 pp. 185-200. James G. 1993. Advance moden engineeing mathematics. Addison-Wesley. Jenn D.C. 1995. Rada and Lase Coss Section Engineeing Chapte 4. AIAA Education Seies. Johnson H. W. Gaham M. 1993. High-speed digital design a handbook of black magic. Pentice Hall. K. S. Kunz and R. J. Luebbes.1993. The Finite Diffeence Time Domain Method fo Electomagnetics Boca Raton FL CRC Pess. K. S. Yee 1996. "Numeical solution of initial bounday value poblems involving Mawell's equations in isotopic media " IEEE Tans. on Antennas and Popagation vol. AP-17 pp. 585-589. Kadıoğlu Y.K. and Kadıoğlu S. 2004. Detemination of Factues and Cavities and Mapping of Depth Slices in a mable Aea by Gound Penetating Rada method The 16 th Intenational Geophysical Congess and Ehibition of Tukey Decembe 7-10 2004 359-362 Ankaa-Tukey. Kadıoğlu Y.K. and Kadıoğlu S. 2006. Detemination of Thichnesses and Discontinuities in a mable aea by Gound Penetating Rada Method Selcuk Uni andsity Faculty Engineeing-Achitectue Magazine Vol 21 No. 1. Kelle J. B. 1962. Geometical Theoy of Diffaction J. Opt. Soc. Ame. 52 116-130. Khalil H. K. 1996. Nonlinea systems (2nd edition). Pentice Hall. Kielkowski R. 1995. SPICE: Pactical device modeling. McGaw-Hill Inc. Kielkowski R. 1998. Inside SPICE (2nd edition). McGaw-Hill Inc. Kobayashi A. et al. 1992. CPU boad design fo the 100MHz ea. Nikkei Electonics Asia 24-32. Koga R. 1994. Radiation fom packaged integated cicuits. Poceedings of the 1994 IEEE Intenational Symposium on EMC 581-584. Keyszig E. 1988. Advanced engineeing mathematics (6th edition). John Wiley & Sons. Kung F. 1997. Modeling of high-speed pinted cicuit boad. Maste thesis Faculty of Engineeing Uni andsity of Malaya. Kung F. Chuah H. T. 2002(a). Modeling of diode in FDTD simulation of pinted cicuit boad. Jounal of Electomagnetic Wa ands and Applications (JEMWA) Vol. 16(No. 1) 99-110. Kung F. Chuah H. T. 2002(b). Modeling of bipola junction tansisto in FDTD simulation of pinted cicuit boad. Pogess in Electomagnetic Reseach PIER 36 179-192 Elsevie book seies. 216 174

Kunz K. S. Lee K. M. 1978. A thee-dimensional finite-diffeence solution of etenal esponse of an aicaft to a comple EM envionment I: The method and its implementation. IEEE Tans. Electomagnetic Compatibility Vol. 20 328-333. Kunz K.S. Luebbes R.J. The Finite Diffeence Time Domain Method fo Electomagnetics CRC Pess Boca Raton FL. Kuo C. N. Houshmand B. Itoh T. 1997. Full-wa and analysis of packaged micowa and cicuits with acti and and nonlinea devices: An FDTD appoach. IEEE Tans. Micowa and Theoy and Techniques Vol. 45(No. 5) 819-826. Ludwig R. Betchko P. 2000. RF cicuit design theoy and applications. Pentice Hall. Luebbes R. J. Hunsbege F. 1992. FDTD fo nth-ode dispesi and media. IEEE Tans. Antennas and Popagation Vol. 40 1297-1301. Maas S. A. 1997. Nonlinea micowa and cicuits. IEEE Pess. Massobio G. Antognetti P. 1993. Seminconducto device modeling with SPICE (2nd edition). McGaw-Hill. Mekin D. R. 1997. Intoduction to the theoy of stability. Spinge- andlag. Millman J. Halkias C. C. 1972. Integated electonics. McGaw-Hill. Mills J. P. 1993. Electomagnetic intefeence eduction in electonic systems. Pentice Hall. modeling of packaged schottky diodes by the nonlinea lumped netwok (NL2N)-FDTD appoach. IEEE Tans. Micowa and Theoy and Techniques Vol.48(No. 12) 2277-2281. Moey R.M. 1974. Detecting of subsuface cavities by gound penetating ada. Highway Geological symposium Poceedings 27 p. 28-30. Mose P. M. Feshbach H. 1953. Methods of theoetical physics pat I and II. McGaw- Hill. Mu G. 1981. Absobing bounday conditions fo the finite-diffeence appoimation of the time-domain electomagnetic-field equations. IEEE Tans.EMC Vol 23 377-382. Naishadham K. Bey J. B. Hejase H. 1993. Full-wa and analysis of adiated emission fom abitay shaped pinted cicuit taces. IEEE Tans. EMC Vol. 35(No. 3) 366-377. Namiki T. 1999. A new FDTD algoithm based on altenating-diection implicit method. IEEE Tans. Micowa and Theoy and Techniques Vol. 47(No.10) 2003-2007. 217 Namiki T. 2000. 3-D ADI-FDTD method unconditionally stable time domain algoithm fo solving full andcto Mawell s equations. IEEE Tans.Micowa and Theoy and Techniques Vol. 48(No. 10) 1743-1748. Ney M.M. 1985. Method of Moments as Applied to EM Poblems MIT. Oct. 972-980 O. P. Gandhi B. Q. Gao and Y. Y. Chen.1993. A fequency-dependent finitediffeence time-domain fomulation fo geneal dispesi and media IEEE Tans. Micowa and Theoy Tech. vol. 41 pp. 658-665. O Neil P. V. 1997. Beginning patial diffeential equations. John Wiley & Sons. Oppenheim A. V. Schafe R. W. 1989. Discete-time signal pocessing. Pentice Hall. Olando L. 2002. Gound penetating ada in massi and ock: A case histoy Euopean J. of Env. and Eng. Geophysics 7 265-279. 175

Otega J. M. 1987. Mati theoy A second couse. Plenum Pess. Paasnis D. S. 1997. Pinciples of Applied Geophysics (fifth edition). Chapman & Hall. Paul J. Chistopoulos C. Thomas D. W. P. 1999. Genealized mateial models in TLM Pat 1: Mateials with fequency-dependent popeties. IEEE Tans.Antennas and Popagation Vol. 47(No. 10) 1528-1534. Paul J. Chistopoulos C. Thomas D. W. P. 1999. Genealized mateial models in TLM Pat 2: Mateials with anisotopic popeties. IEEE Tans. Antennas and Popagation Vol. 47(No. 10) 1535-1542. Peeda J. A. Gacia O. andgas A. Pieto A. 1998. Numeical dispesion and stability analysis of the FDTD technique in lossy dielectics. IEEE Micowa and and guided wa and lettes Vol. 8(No. 7) 245-247. Peeda J. A. Vielva L. A. andgas A. et al. 2001. Analyzing the stability of the FDTD technique by combining the von Neumann method the Routh-Huwitz citeion. IEEE Tans. Micowa and Theoy and Techniques Vol. 49(No. 2) 377-381. Piket-May M. J. Taflo and A. Baon J. 1994. FD-TD modeling of digital signal popagation in 3-D cicuits with passi and and acti and loads. IEEE Tans. Micowa and Theoy and Techniques Vol. 42(No. 8) 1514-1523. 218 R. Luebbes F. Hunsbege K. Kunz R. Standle and M. Schneide. 1990. A fequency-dependent finite-diffeence time-domain fomulation fo dispesi and mateials IEEE Tans. Electomag. Compat. vol. EMC-32 pp. 222-227. R. M. Joseph S. C. Hagness and A. Taflo and. 1991. Diect time integation of Mawell s equations in linea dispesi and media with absoption fo scatteing and popagationof femtosecond electomagnetic pulses Optics Lettes vol. 16 pp. 1412-1414. Remis R. F. 2000. On the stability of the finite-diffeence time-domain method. Jounal of Computational Physics Vol. 163(1) 249-261. Richtmye R. D. Moton K. W. 1967. Diffeence methods fo initial-value poblems (2nd edition). John Wiley & Sons. Sadhi V. K. Bah I. J. Willems D. A. 1994. CAD compatible accuate models of micowa and passi and lumped elements fo MMIC application. Inte. Jounal of Micowa and and Milimete-wa and Compute Aided Engineeing Vol.4 (No.2) 148-162. Sato M. S. 2001. Suppesion of late-time instabilities in 3-D FDTD analyses by combining digital filteing techniques and efficient bounday conditions. IEEE Tans. Mangetics Vol. 37(No. 5) 3273-3276. Scheineman E. R. 1996. Invitation to dynamical systems. Pentice Hall. Scott K. J. 1994. Pactical simulation of pinted cicuit boads and elated stuctues. John-Wiley & Sons Inc. Sevgi L. 1999. Elektomagnetik Poblemle and Sayısal Yöntemle Bisen Yayınevi İstanbul 176

Sheen D. M. Sami A. M. Abouzaha M. D. Kong J. A. 1990. Application of the theedimensional finite-diffeence time-domain method to the analysis plana micostip cicuits. IEEE Tans. Micowa and Theoy and Techniques Vol. 38(No. 7) 849-857. Skolnik M. 1991. Rada Handbook McGaw-Hill Inc. Singapoe. Smith J. R. 1998. Moden communication cicuits (2nd edition). McGaw Hill. Stauss R. 1994. Suface mount technology. Buttewoth-Heinemann. Steetman B. G. Banejee S. 2000. Solid state electonic devices. Pentice Hall. Stikweda J. C. 1989. Finite diffeence schemes and patial diffeential equations. Wadswoth & Books/Cole Mathematics Seies. 219. Stutzman W.L. Thiele G.A. 1998. Antenna Theoy and Design John Wiley&Sons Inc. NY. Stutzman W.L. Thiele G.A. 1998. Antenna Theoy and Design John Willey&Sons Inc. Sui W. Chistensen D. A. Duney C. H. 1992. Etending the two-dimensional FDTD method to hybid electomagnetic systems with acti and and passi and lumped elements. IEEE Tans. Micowa and Theoy and Techniques Vol. 40(No.4) 724-730. Sullivan D. M. 1996. Z-tansfom theoy and the FDTD method. IEEE Tans. Antennas and Popagation Vol. 44(No. 1) 28-34. Taflo and A. 1995. Computational Electodynamics The finite-diffeence time domain method. Atech House. Taflo and A.(Ed) 1998. Advances in computational electodynamics the Finite- Diffeence Time-Domain method. Atech House. Taflo and A. Bodwin M. E. 1975. Numeical solution of steady-state electomagnetic scatteing poblems using the time-dependent Mawell s equations. IEEE Tans. Micowa and Theoy and Techniques Vol. 23(No. 8) 888-896. Taflo and A. 1995. Computational Electodynamics: The Finite-Diffeence Time- Domain Method Atech House Nowod MA. Taflo and S. C. Hagness 2000. Computation Electodynamics: The Finite-Diffeence Time-Domain Method 2 nd Edition. Boston MA: Atech House. Taflo and. 1998. Computation Electodynamics: The Finite-Diffeence Time-Domain Method. Boston MA: Atech House. Taflo and.1995. Advances in Computation Electodynamics: The Finite-Diffeence Time-Domain Method. Boston MA: Atech House. Thiel W. Katehi L. P. B. 2002. Some aspects of stability and numeical dissipation of the finite-diffeence time-domain (FDTD) technique including passi and and acti and lumped-elements. IEEE Tans. Micowa and Theoy and Techniques Vol. 50(No. 9) 2159-2165. Toland B. Houshmand B. 1993. Modeling of nonlinea acti and egions with FDTD method. IEEE Micowa and and Guided Wa and Lettes Vol. 3(No. 9) 333-335. Uliksen C. P. F. 1982. Applications of impulse ada to civil engineeing. Unpublished Ph.D. thesis Depatment of Engineeing Geology Lund Uni andsity of Technology Sweden. (Republished by Geophysical Su andy Systems Inc. Hudson New Hampshie). 177

Ulugegeli E.U. and Kadioglu S. 2005. Detecting cavities and Acheological emains with GPR The 9 th Intenational Congess of the Bazilian Geophysical Society held in Salvado Bazil 11-14 Septembe. Umashanka K. R. Taflo and A. 1982. A no andl method to analyze electomagnetic scatteing of comple objects. IEEE Tans. Electomagnetic Compatibility Vol. 24 397-405. Widess M. B. 1973. How thin is this bed? Geophysics Vpl. 38 p. 176-1180. Wiley & Sons. Wisme D. A. Chattegy R. 1978. Intoduction to nonlinea optimization. Elsevie Noth-Holland Inc.. Yee K. S. 1966. Numeical solution of initial bounday value poblem involving Mawell s equations in isotopic media. IEEE Tans. Antennas and Popagation Vol. 14 302-307. Yilmaz O. 1987. Seismic Data Pocessing.Edited by Dohety S. M. Society of Eploation Geophysics Seies: In andstigation in Geophysics Vol. Z. S. Sacks D. M. Kingsland R. Lee and J. F. Lee.1995. A pefectly matched anisotopic absobe fo use as an absobing bounday condition IEEE Tans. Anten. and Pop. vol. 43 pp. 1460-1463. Zhang X. Mei K. K. 1988. Time-domain finite diffeence appoach to the calculation of the fequency-dependent chaacteistics of micostip discontinuitites. IEEE Tans. Micowa and Theoy and Techniques Vol. 36(No. 12) 1775-1787. Zheng F. Chen Z. Zhang J. 1999. A finite-diffeence time-domain method without the Couant Stability Conditions. IEEE Micowa and and Guided Wa and Lettes Vol. 9(No. 11) 441-443. 178

EKLER EK1 Elektomanyetik Dalgala EK2 GPR Polaizasyon ve GPR Antenle 180

EK 1 ELEKTROMANYETİK DALGALAR GENEL TANIMLAR Vektö Analizi Fiziksel büyüklükle bi vektö ile temsil edili. Elektomanyetikte katezyen, silindiik ve küesel koodinat sisteminin he üçü de kullanılı. Vektölein bi yönü ve şiddetlei bulunu. Şekil 1 de vektöün başlangıç noktası 0 dı. Vektöün doğultusu ise kesikli çizgilele belitilen doğultudu. Yönü vektö okunun göstediği yön, vektöün şiddeti ise vektöün uzunluğu kadadı. Bi vektöün döt elemanı vadı. Doğultusu Yönü Başlangıç noktası Şiddeti z v k=(0,0,1)) j=(0,1,0) y i=(1,0,0) z Şekil 1 Biim vektö uzayı ve v (,y,z) vektöü. 181

Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) 3B bi v vektöünün doğultusu,y ve z doğultusundaki bileşenlei ile tanımlanı ve v(,y,z) veya v(i+yj+zk) şeklinde ifade edili. Buada i, j ve k, eksenlee ait biim vektöledi. Bi v=(,y,z) vektöünün büyüklüğü, vektöün boyu veya nomu olaak adlandıılı ve v + 2 2 2 = + y z (1.1.1) ile ifade edili. Boyutu bi biim olan vektö biim vektö olaak adlandıılı. Koodinat Sistemlei Poblemlein çözümüne göe özel koodinat sistemleinin kullanılması geeki. Elektomanyetik poblemlein çözümünde katezyen, silindiik ve küesel koodinat sistemleinin he üçü de kullanılı. 182

Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) z P(,y,z) z P(,φ,z) z y φ y y a) Katezyen b) Silindiik z θ P(,θ,φ) φ y c) Küesel Şekil 2. Koodinat sistemlei 183

Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) P noktası, Şekil 3 de gösteildiği gibi üç dik yüzeyin kesişim noktası olaak da tanımlanabili. Katezyen koodinatlada yüzeyle sonsuz düzlemle olup,,y ve z sabitti. Silindiik koodinatlada z=sabit ve z- ekseni boyunca bi yaım düzlem ile sınılandıılmış, =sabit ve daiesel bi doğudu. Küesel koodinatlada, φ=sabit, =sabit ve θ=sabit olup, ucu oijinde olup ekseni z di. Faklı koodinat sistemlei için biim vektöü ele alalım. Katezyen sistemlede biim vektöle, P noktasının bağımsız sabit doğultulaa sahiptile. Koodinat sistemleinde he biim vektö, kendi koodinat yüzeyleine diktile ve doğultulaı koodinatın atış yönündedi. Tüm sistemle sağ- yönlüdü (saat yönünün tesi). Biim vektöle aasındaki bağıntıla, a a y =a z;; a φ =a z ; a a θ =a φ (1.2.1) ile veili. He üç koodinat sistemi için bi vektöün bileşenlei ile bilikte gösteimi, V=(V,V y,v z )(a,a y,a z ), Katezyen koodinat sistemi V=(V,V θ,v z )(a,a φ,a z ), Silindiik koodinat sistemi V=(V,V θ,v φ )(a,a θ,a z ), Küesel koodinat sistemi 184

185 Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) Vektö Opeatölei ( Nabla ) Opeatöü : bilinen anlamda bi vektö değildi. Vektöel tüev opeatöüdü. Ancak bi vektö gibi davanı. Vektölele yapılan tüm tüev işlemlei ile yapılabili z k y j i + + = (1.3.1) ile tanımlanı. Gadyant: Gadyant, bi skale fonksiyona bağlı olan vektöel tüevdi. z V k y V j V i )V z k y j (i V + + = + + = (1.3.2) Divejans: İngilizce de ıaksama anlamına geli. Divejans, bi vektöel fonksiyona bağlı olan vektöel tüevdi V ile gösteili. V, bi noktadaki V vektö çizgileinin ne kada ıaksadığının bi ölçüsüdü. z y V k V j V i V + + = (1.3.3) ise; ) V k V j V (i ) z k y j (i V z y + + + + = (1.3.4) z V y V V V z y + + = (1.3.5) olu. Divejans, vektöel bi fonksiyona bağlı olan skale bi fonksiyondu. Bi skalein divejansından söz edilemez.

Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) Rotasyon : Rotasyon miktaının ölçüsüdü. V ile gösteili ve V vektöünün bi nokta etafında dolanış Rotasyonel vektöel bi fonksiyona bağlı olan vektöel bi fonksiyondu. V= i V j y Vy k z Vz (1.3.6) Divejans Teoemi ( Gauss Teoemi ) : Divejansın hacim integali, bu hacmi saan yüzeyde aldığı değee eşitti. hacim ( V ) dv = V ds yüzey (1.3.7) Stokes Teoemi : Rotasyonun bi yüzey paçası üzeindeki integali, bu yüzeyi çeveleyen eği üzeinde aldığı değee eşitti. yüzey ( V ). ds = egi V dl (1.3.8) Gauss Kanunu: Bi yüzey paçası üzeindeki elektik alan E nin akısı, o yüzeyi kesen çizgilein sayısıyla oantılıdı. Bi yükü çeveleyen kapalı bi yüzeyden geçen akı q ε 0 olu. q E ds = ε 0 (1.3.9) 186

Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) Buada q kapalı yüzey içinde kalan yüklein toplamıdı. Bu yüzeyin dışında kalan bi yükün akıya katkısı sıfı olu çünkü bu yüklein alan çizgilei yüzeyin bi yeinden giip, başka bi yeinden çıka. E q nin Divejansı: Gauss kanununda veilen E ds = ε uygulandığında; E ds= ( E).dV= ε yüzey hacim 0 q 0 ifadesine divejans teoemi (1.3.10) olu. Buada ( E).dV= bulunu. q = ρ. dv olduğundan; ρ.dv ε 0 ρ E= (1.3.11) ε 0 E nin Rotasyoneli: Elektik alanın bi a noktasından diğe bi b noktasına giden yol boyunca eğisel integali alındığında; b a E dl= b 1 4πε a 0 q 2 1 d= 4πε 0 q b a 1 = 4πε 0 ( q a q b ) (1.3.12) a ve b sıasıyla a ve b noktalaının oijinden uzaklıklaıdı. Buada önemli olan nokta, eğisel integalin yoldan bağımsız oluşudu. Sonuç sadece uç noktalaının koodinatlaına bağlı çıka. Kapalı bi eği boyunca integal alındığında ( yani a = b olduğu duum ) ; E d l= 0 (1.3.13) Stokes teoemine göe ; E dl= ( E).dS= 0 E= 0 (1.3.14) 187

Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) Elektomanyetik Alan Bileşenlei Tanımlaı Manyetik Alan: Dugun bi yük sadece E elektik alanı oluştuu. Haeketli yük ise elektik alana ek olaak bi de B manyetik alanı oluştuu. Elektomanyetik teoinin temel poblemi q 3 1,q 2,q... kaynak yükleinin, bi Q test yükü üzeindeki etkisini hesaplamaktı. Süpepozisyon ilkesine göe, sadece iki yük aasındaki kuvvet ifadesini bilmek yetelidi. Toplam kuvvet he bi yükün Q üzeine uyguladığı kuvvetlein vektöel toplamı olu. Akım geçen bi telin etafında bi manyetik alan oluştuğu pusula ile gözlenebili. İçinden zıt yönde akım geçen iki tel bibiini ite. Ancak akım geçeken tellee dışaıdan bi test yükü yaklaştıılısa hiçbi kuvvet ölçülmez. Yani telle nöt duumdadı. Manyetik Kuvvet ( Loentz Kuvveti ) : Bi B manyetik alanı içinde, ν hızıyla haeket eden bi Q test yüküne etkiyen manyetik kuvvet; F man. = Q ( ν B) (1.4.1) F elek. Elektiksel kuvvet = Q E olduğundan, Q test yükü üzeindeki toplam elektomanyetik kuvvet ; F= Q (E+ ( ν B)) (1.4.2) olu. Buna Loentz kuvveti deni. 188

Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) Akım ve Manyetik Kuvvet: Bi telin kesitinden biim zamanda geçen yük miktaına akım deni. İletken içinde haeket eden negatif yüklü elektonladı, yani akıma zıt yönde gidele. = I l B I (dl B) F man. (1.4.3) Akım Yoğunluğu ve Süeklilik Denklemi: Akım yoğunluğu J ile gösteili. I J ds = s olu. Divejans teoemine göe ; J ds= ( J)dV s v (1.4.4) (1.4.5) dq d ρ I= = dv dv dt dt ρ = (1.4.6) t ρ ( J)dV= dv t ρ J= (1.4.7) t Süeklilik denklemi denilen bu ifade, yük kounumunun matematiksel bağıntısıdı. Manyetik Alanın Divejans ve Rotasyoneli : Ampee kanununa göe ; B d l =µ 0 I Buada I; I J ds = s (1.4.8) (1.4.9) olduğundan Stokes teoemine göe ; d = ( B) ds =µ J ds l B 0 olu. Buadan ; (1.4.10) 189

Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) B=µ 0 J (1.4.11) elde edili. Ayıca buada B= 0 dı. Faaday Yasası : Sabit bi manyetik alan içinde iletken bi çeçeve haeket ettiilise oluşan elektomanyetik alan kuvveti (emk); dφ Ε = (1.4.12) dt Çeçeve sabit tutulup mıknatıs haeket ettiilise yine aynı emk oluşu. Eğe çeçeve haeket ediyosa emk, manyetik kuvvet taafından oluştuulu. Fakat çeçeve dugunken mıknatıs haeket ediyosa, kuvvet manyetik kökenli olamaz. Çünkü dugun yükle üzeinde manyetik kuvvet oluşmaz. Bu duumda duan yüklee kuvvet uygulayan alan elektik alandı. Fakat bu alan elektostatik tüden değildi. Çünkü elektostatik alan emk oluştuamaz. ( E d l= 0 ) Bu yeni tü elektik alan mıknatısın haeket ediyo olmasından, yani manyetik alanın değişiyo olmasından kaynaklanmaktadı. O halde değişen bi manyetik alan bi elektik alan oluştuu. dφ E d l= olu. Bu, Faaday yasasının integal ifadesidi. Bunun difeansiyel ifadesi dt stokes teoemi ile bulunu. Stokes teoemine göe; E dl= dφ d ( E) ds= = dt dt B ds= B ds t (1.4.13) B E= t 190

Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) Dugun bi yük sadece E elektik alanı oluştuuken, haeketli bi yük elektik alana ek olaak bi de manyetik alan oluştuu. Eğe zamanla değişim yoksa elektik alan ve manyetik alan bibileinden bağımsız olaak bulunabilile. Yani dugun bi yük veya düzgün doğusal haeket eden bi yük, elektomanyetik dalga oluştuamaz. Manyetik alan sabitse; E= 0 (1.4.14) şeklinde olu. Elektomanyetik Dalgalaın Oluşumu Şekil 3. Elektik ve manyetik alanın gösteimi Elektomanyetik dalga oluşması için yükün ivmelenmesi geeki. Zamanla değişim gösteen duumlada, elektik alan ve manyetik alan bibiine tamamen bağlıdı. Yani 191

Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) elektik alan değişimi, manyetik alan oluştuu; manyetik alan değişimi de elektik alan oluştuu (Taflove,1995). Değişken bi manyetik alan oluştumak için, iletkenden altenatif akım geçmesi yetelidi. Yani altenatif akım geçen bi iletkenin çevesinde hem elektik alan hem de manyetik alan oluşu. Bu da çeveye elektomanyetik dalga yayıldığını göstei. Elektomanyetik dalgayı oluştuan elektik alan ve manyetik alan bibileine dikti. Elektomanyetik dalganın ileleme yönü he iki alana da dik doğultudadı (Şekil 4). Şekil 4. Elektomanyetik dalga. E ve H alanlaın doğultulaı ve E ve H alanla yayılma doğultulaına dikti. 192

Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) Elektomanyetik dalgala boşlukta ışık hızıyla yayılı ve Mawell denklemleiyle tanımlanı. Elektomanyetik spektum geniş bi fekans aalığını kapsa. Bütün elektomanyetik dalgala, spektumun hangi bölgesinde olusa olsun daima ışık hızında haeket ede. Elektomanyetik dalgalaın faklılığı dalga boylaının faklı olmasından kaynaklanı. Gama ışınlaı, X ışınlaı, moötesi ışınla, mikodalga, adyo dalgalaı, televizyon ve ada dalgalaı gibi çeşitlei vadı. Bu da 100 Hz ile 10 22 Hz aasında geniş bi fekans bandı demekti. Mawell Denklemlei Manyetizma için Gauss kanunu, doğada izole edilmiş manyetik kutuplaın va olamayacağını ifade ede. Yani hehangi bi kapalı yüzey boyunca manyetik akı sıfıdı. B ds = 0 (1.6.1) Bu ifade için divejans teoemi alınısa B=0 (1.6.2) şeklinde olu. Elektostatik alanın divejansı ve otasyoneline göe ; 193

ρ E = ε 0 (1.6.3) şeklindedi. Faaday kanununa göe, sabit bi manyetik alan içinde haeket ettiilen iletken dφ çeçevede indüklenen geilim Ε = ile veili. dt dφ E d l= dt (1.6.4) Faaday kanununun integal ifadesidi. Stokes teoemine göe; dφ d E dl= ( E) ds= = dt dt B E= t B ds= B ds t ve (1.6.5) olu. Buna göe manyetik alan değişimi elektik alan meydana getii. Ampe kanununa göe; B d l =µ 0 şeklindedi. Buada I; I (1.6.6) I J ds = s (1.6.7) olduğundan, Stokes teoemine göe ; 194

Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) B d l = ( B) ds=µ J 0 ds (1.6.8) olu. Buadan ; B=µ 0 J+µ 0 ε 0 E t (1.6.9) elde edili. Buna göe ya elektik alanının değişimi ya da akımın valığı manyetik alan oluştuu. Böylece döt Mawell denklemi elde edilmiş olu. Boşlukta ρ yük yoğunluğu ve J akım yoğunluğu sıfıdı. Bu duumda Mawell denklemlei şu hali alı. E= 0 B E= t B=0 B=µ 0 ε 0 E t (1.6.10) (1.6.11) (1.6.12) (1.6.13) EM Dalga Denklemleinin Elde Edilmesi 195

Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) Mawell denklemleindeki E ve H ifadeleinin otasyonu alınısa; 2 H ( E) = (. E) E = ( ) t (1.7.1) v 2 E (. E) E = H = ( µ 0. J + µ 0. ε 0. ) t t t (1.7.2) 2 ρ 2 J E ( ) E= µ 0 µ 0 ε 0. 2 ε 0 t t (1.7.3) 2 2 E ρ J E µ 0 ε 0 = +µ 2 0 t ε t (1.7.4) 0 olu. Buada eşitliğin sağ, taafı kaynağı oluştuu (Taflove,1995). 2 E ( H ) = ( H ) H = ( µ 0 J + µ 0 ε 0 ) (1.7.5) t 2 H = µ 0 J + µ 0ε 0 E t (1.7.6) 2 H H = µ 0 J + µ 0ε 0 ( ) t t (1.7.8) 2 2 H H = µ 0 J µ 0ε 0 2 t (1.7.9) 2 H 2 H µ 0ε 0 = µ 0 J 2 t (1.7.10) Bu ifadelede kaynak teimlei yoksa yani ρ = 0 ve J= 0 ise; 196

Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) 2 2 E E ε 0µ 0 = 0 (1.7.11) 2 t 2 2 H H ε 0µ 0 = 0 (1.7.12) 2 t 2 2 1 f Bu denklemle f = 0 gibi bi klasik dalga denklemi olup, ν hızıyla 2 ν t 2 ileleyen bi dalganın haeketini belile. E ve B için ayı ayı elde edilen dalga denklemleinde ν hızının değei; 8 ν = = 3.10 m/sn. (1.7.13) ε 0 1 µ 0 Bu hız, ışık hızına eşitti ve elektomanyetik dalganın ışık hızında yayıldığını göstei (Kunz, 1993). Öyleyse, ışık da bi elektomanyetik dalgadı. Madde içinde sebest yük ve sebest akım yoğunluğu bulunmuyosa v; ν= olu. 1 ε µ ε=ε 0 ε 0 µ (1.7.14) (1.7.15) µ =µ (1.7.16) olduğundan, elektomanyetik dalganın yayılma hızı, maddenin elektik ve manyetik özellikleine bağlıdı ve bu hız elektomanyetik dalganın boşluktaki hızı olan ışık hızından daha küçüktü. Buada; 197

Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) Em Dalga Denklemi Çözümü EM Alan bileşenlei, yayılma doğultusuna dik bi düzlem içinde bulunan dalgalaa EM düzlem dalgala deni. z yönünde ileleyen bi sinüzoidal dalga ele alalım. Bu dalga linee polaize edilmiş düzlemsel dalga olsun. O halde;. j.( wt kz) E= E0 e j.( wt ) H = H e 0. kz (1.8.1) (1.8.2) Buada E 0 ve H 0 elektik ve manyetik alanlaın başlangıç genlikleidi. Zamandan ve koodinat sisteminden bağımsızdıla. Yukaıdaki denklemlede k dalga sayısıdı ve ω 2πf 2π k = = = υ λf λ (1.8.3) ile veili. Buadaυ faz hızı, λ ise dalga boyudu. E ve H düzlemsel dalgalaı için = jω yazılısa; t = + y+ y z z (1.8.4) z yönünde ileleyen bi dalga ve y ye bağımlı olmadığı için ve y sıfı olu. z ifadesi ise j.k olaak elde edili. O halde opeatöü yeine j.k. z kullanılı ve 198

Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) = j.k z olu.boşlukta ρ f = 0 dı. σ 0 ise J f = σ. E olu. Buna göe;. E = 0 B H E= = µ t t. H = 0 (1.8.5) (1.8.6) (1.8.7) (1.8.9) yeine j.k.z.e = 0 j. k z k konulusa; j.k.z E= µ (jωh) j.k.z.h = 0 j.k.z H=σ E+ε ( jωe) = ( σ+ jωε).e (1.8.11) (1.8.12) (1.8.13) (1.8.14) H= j.k.z E jωµ = k.z E ωµ k H= z E ωµ (1.8.15) 199

Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) j.k.z H k E= = z H σ+ jωε ωε jσ E= k z H ωε jσ (1.8.16) Buadan göüldüğü gibi E ve H alanlaı, bibileine ve dalganın ileleme yönüne dikti. Kaakteistik Empedans E H oanına, kaakteistik empedans deni. Z ile gösteili. E k ωµ Z= = = (1.8.1.1) H ωε jσ k ω k = υ ω υ = elde edili. Uzayda dalga hızı υ = c olduğundan, k Boşluğun kaakteistik empedansı; ω k = c olu. ωµ 0 ω 1 µ 0 4π.10 Z0 = = µ 0 = c µ 0 = µ 0 = = = 377Ω (1.8.1.2) 12 k k ε µ ε 8,85.10 0 0 0 7 Dalga Sayısı E k ωµ Z= = = (1.8.2.1) H ωε jσ k k 2 = ωµ.( ωε jσ) =ω εµ jσωµ 2 (1.8.2.2) k 2 2 σ σ = ω εµ.(1 j ) olu. Buadaki teimi, zayıflama katsayısıdı. Eneji kayıplaını ωε ωε vei. Yüksek fekanslada bu teim ihmal edilebili. 200

Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) Uzayda Düzlem EM Dalgala Uzayda ε = 1, µ = 1 ve σ = 0 dı. σ sıfı olduğu için, elektomanyetik dalga ileleken genliğinde bi değişiklik olmaz. Yani, boşlukta zayıflama sıfıdı. J akım yoğunluğu ve ρ yük yoğunluğunun olmadığı bölgede;. E = 0 B H E= = µ 0 t t. B = 0 E H=ε0 t (1.8.3.1) (1.8.3.2) (1.8.3.3) (1.8.3.4) Buadan; E= jωµ 0.H (1.8.3.5) H= jωε0.e (1.8.3.6) 2 2 E E=µ 0 ε0 2 t (1.8.3.7) 2 2 E=µ 0 ε0 (jωe)) =µ 0 ε0.( ω E) t (1.8.3.8) 2 2 +ω ε µ E= 0 (1.8.3.9) E 0 0 201

Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) olu. Bu dalga denklemine Helmholtz denklemi deni. Bu duumda dalga sayısı; 2 2 k = ω ε µ (1.8.3.10) olu ve 2 E+ k 2 0 elde edili. 0 E= 0 (1.8.3.11) Bu denklemin çözümü ( 1.8.1) ifadesine benze şekilde, E E jkz 0 e = ve (z, t) = Re E e jwt ( ) = E Cos(wt kz) E 0 (1.8.3.12) Elde edili. Buadan, uzay boşluğunda yayılan düzlem EM dalganın genliğinin değişmediği anlaşılmaktadı. Yalıtkan Otamda Düzlem EM Dalgala 2 2 E E=µε 2 t 2 2 H H=µε 2 t şeklindedi ( σ = 0 ). (1.8.4.1) (1.8.4.2) 202

Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) olu. Buada β =ω µε 2 2 E+β E = 0 Bu denklemin çözümü; E E j z 0 e β = 2 2 denilise; (1.8.4.3) (1.8.4.4) şeklindedi. (z, t) = Re E e jwt ( ) = E Cos(wt βz) E 0 Buada, β faz sabitidi ve (1.8.4.5) β =ω µε (1.8.4.6) şeklindedi. ω β = υ ω ω 1 c υ = = = = (1.8.4.7) β ω µε µε µ ε Yani, tamamen yalıtkan otamda yayılan elektomanyetik dalganın hızı, maddenin elektik ve manyetik özellikleine bağlıdı. Bu hız ışık hızından daha düşüktü (Buke, 1977). İletken Otamda Düzlem Dalgala İletken otamlada σ 0 dı. Dolayısıyla fekans otamında, E = jωµ.h (1.8.5.1) H =σe+ jωε.e (1.8.5.2) olu. 203

Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) 2 H ( E) = (.E) E= ( µ ) = µ ( H) (1.8.5.3) t t 2 E= µ.(( σ+ jωε)e) t (1.8.5.4) 2 E=µ ( σ+ jωε).(jωe) (1.8.5.5) 2 E= jωµ ( σ+ jωε).e (1.8.5.6) olu. γ 2 = jωµ ( σ+ jωε) denilise; 2 E+γ 2 E= 0 elde edili. Bu denklemin çözümü; E E z 0. e γ = olu. (1.8.5.7) (1.8.5.8) (1.8.5.9) γ=α+ j β (1.8.5.10) ise; E(z, t) = Re E e jwt ( α+ jβ)z jωt ( ) = Re( E.e.e ) αz E(z, t) = E0 e Cos(wt βz) 0 olu. Buna göe, iletken malzemelede alan şiddeti, eponansiyel olaak azalı. 2 (1.8.5.11) (1.8.5.12) γ = jωµ ( σ+ jωε) (1.8.5.13) ifadesinde; 204

Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) γ=α+ j β (1.8.5.14) ωµσ 1 di. İyi iletkenlede bu değe, α β= şeklinde olu. Genliğin ilk değeinin sine 2 e düştüğü uzunluğa dei kalınlığı deni. δ ile gösteili ve 1 1 δ= = α β (1.8.5.15) şeklinde veili. Dei kalınlığı, EM dalganın iletken içine ne kada nüfuz edebildiğinin bi ölçüsüdü. İletken malzemede ileleyen dalganın dalga boyu; ω β= υ 2πf = λf 2π = λ 2π λ= β λ = 2 πδ (1.8.5.16) olu. İyi iletken malzemele yüksek iletkenlikli olup, büyük iletim akımına sahiptile. Bu tip malzemelede kayıpla süekli olması dolayısıyla dalga ileledikçe enejisini kaybede (Taflove, 1995). Bu nedenle elektomanyetik eneji, iletken içinde iletilmeyip, iletken hat dalgaya kılavuzluk yapaak, eneji dalga kılavuzu çevesindeki bölgede iletili. Elektomanyetik Dalgalaın Yansıması Ve Yayınımı İki faklı otam sınıındaki düzleme nomal doğultusunda gelen bi dalga, sınıda yansıyan ve ikinci otam mükemmel iletken değilse, iletilen olmak üzee iki dalga oluştuu. Bu dalgala otamla aası bölgede sını şatlaını sağlala. Şekil 6 da iki faklı otam sınıına nomal doğultusunda gelen, yansıyan ve iletilen alan bileşenlei gösteilmişti. Buada z<0 (Otam I) için gelen dalga (+) yönde, yansıyan dalga (-) yönde ileleken, z>0 da (Otam II) iletilen dalga (+) yönde ilelemektedi. 205

Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) σ 1,µ 1,ε 1,η 1 E - 1 (z) k H - 1y (z) Yansıyan Dalga Otam I E 1 + (z) İletilen Dalga Otam II σ 2,µ 2,ε 2,η 2 E + 2 (z) H 2y + (z) k t Gelen Dalga H 1y + (z) k i z=0 Şekil 5. İki faklı otam sınıına düzlem dalganın nomal doğultuda gelişi Otam I için (1.9.2) ifadesi yazılı. (1.9.1) (1.9.2) Otam II için (1.9.4) ile veilen ifadele yazılı. (1.9.3) (1.9.4) Elektik alan - yönünde ve manyetik alan y. Yönünde olmak üzee Otam I için alan bileşenlei (1.9.6) ile veilen ifadele elde edili. (1.9.5) (1.9.6) (1.9.7) 206

Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) Şekil 5 da iki faklı otam sınıına nomal doğultusunda gelen, yansıyan ve iletilen alan ifadelei gösteilmişti. Buada E + 1 ve H + 1 - gelen EM dalga bileşenlei E 1 - ve H 1 ise yansıyan EM dalga bileşenleidi. Yansıma sabiti: Sınıda yansıyan elektik alan dalgasının sınıa gelen elektik alan dalgasına oanı yansıma sabiti olaak tanımlanı ve eşitlik (1.9.8) ile ifade edili. (1.9.8) (1.9.9) İletim sabiti: Sınıda Otam II ye iletilen elektik alan dalgasının sınıına gelen elektik alan dalgasına oanı iletim sabiti olaak tanımlanı ve şu şekilde ifade edili. (1.9.10) (1.9.11) Bu ifadele şu şekilde youmlanı. (1.9.12) 1. Eğe η 1 =η 2 Γ=0 ve τ=1 olu. Bu, gelen dalganın tamamen iletildiği anlamına geli. İki otamın paametele bakımından özdeş olduğu sonucu çıka. 2. İki otamda mükemmel dielektik ise σ 1 =σ 2 =0 ve iki otam için µ 1 =µ 2 fakat ε 1 ε 2 ise yansıma ve iletim sabitlei şu şekilde ifade edili. 207

Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) ve (1.9.13) 3. Eğe σ 2 ise η 2 =0 Γ=-1 ve τ 0 olu. Şayet Otam II mükemmel iletken ise gelen dalga tamamen yansı. Em Dalga Modlaı Çok iyi iletken bi otamın dei kalınlığı δ= 2 ωµσ ile bulunu. Yüksek fekanslada δ çok küçüktü. Öneğin bakı için 1 MHz de 0.07 mm di. Çok yüksek fekanslı bi işaet iletken yadımıyla taşınıken, iletkeninin otasını boş yapmak hatta iletken yeine bou kullanmak daha uygundu. Öyleyse dalga kılavuzu, çok yüksek fekanslı elektomanyetik dalgalaı taşımak için düzenlenmiş metal bi boudu. Dalga kılavuzu sinyal iletme açısından iletkene benze. Ancak iletken, elektik akımını; dalga kılavuzu ise dalgalaı ileti. Ayıca iletkenden akımın geçebilmesi için kapalı bi elektik devesi geekiken dalga kılavuzunda buna geek yoktu. Radyo veicisinden yayınlanan dalgalala, dalga kılavuzundan iletilen dalgala aasında fak vadı. Veiciden enine elektomanyetik dalgala yayınlanıken, dalga kılavuzunda böyle 208

Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) olmaz. Bu faklılaşmaya dalga kılavuzunun çepelei neden olu. Dalga kılavuzu ile eneji iletimi, enejinin elektomanyetik dalgala halinde, bou biçimli yapının içine bi veici anten yeleştiilmesiyle sağlanı. Dalga kılavuzu içinde yayılan enejide hehangi bi kayıp olmadığı vasayılısa, bounun diğe ucundan benze bi anten aynı enejiyi alacaktı. Bi dalga kılavuzu içinde uyaılmış olan dalgala, patik olaak sadece bou içinde yayılıla ve bou dışındaki otama eneji vemezle. Yani bou, dalgalaa kılavuzluk edeek enejinin hangi yönde taşınacağını göstei. Bu nedenle böyle dalgalaa kılavuzlamış dalgala deni. Dalga kılavuzunun kendisi, ilettiği elektomanyetik dalganın enejisini çeveye yaymaz. Ancak dalga kılavuzunun çepeleinde delikle veya çentikle açılaak dalgalaın çeveye ışıması sağlanı. Dalga kılavuzlaı yalnızca belili dalga boylaı için kullanılı. Bi elektomanyetik dalganın dalga kılavuzu aacılığıyla iletilebilmesi için, dalga boyunun kanalın çapıyla aynı ya da ondan daha küçük olması geeki. Bu nedenle dalga kılavuzlaı, dalga boylaı 1 mm ile 1 m aasında değişen kısa mikodalgala için kullanılı. Bi dalga kılavuzunda mevcut olan çeşitli alan dağılım şekillei, bunlaın TM ve TE modlaı olaak isimlendiilen iki esas tipe ayılabileceğini göstei. Enine Elektik ( TE ) Modu : Elektomanyetik dalganın, dalga kılavuzunun ekseni boyunca yayıldığı düşünülüse, TE modunda elektik alan, kılavuz eksenine dik doğultuda olup eksen boyunca hehangi bi elektik alan bileşeni yoktu. Manyetik alanın hem eksen doğultusunda hem de eksene dik bileşenlei vadı. Enine Magnetik ( TM ) Mod : TM modunda manyetik alanın kılavuz ekseni doğultusunda bileşeni yoktu. Buna kaşılık elektik alanın hem eksen doğultusunda hem de eksene dik bileşenlei vadı. 209

Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) Enine Elektomagnetik ( TEM ) Modu : TEM modunda elektik ve manyetik alanlaın kılavuz ekseni boyunca yani yayılım yönünde bileşenlei yoktu. Dalga kılavuzlaında TEM dalgalaı kılavuzlanamazla. Sadece TM veya sadece TE veya he ikisi biden bulunabili. Genellikle dalga kılavuzlaı bi tek mod bulunacak şekilde çalıştıılmak isteni. Çünkü bu duumda en küçük boyutlu kılavuz kullanılı ve istenmeyen modla kolayca otadan kaldıılabili. He tip mod, kendi özel elektik ve manyetik alan konfigüasyonuna sahipti. He mod ve ebat için, yayılımın mümkün olduğu bi en alt fekans vadı. Buna kesim fekansı deni. Dalga kılavuzlaı yüksek geçien filte gibi davanaak kılavuz boyutlaının belilediği kitik bi değeden veya bi kesim değeinden daha düşük fekanslı dalgalaı iletmezle. Bunun sonucu olaak ancak yüksek fekanslada bi anlam taşıla. Dalga kılavuzunda faklı modla faklı dalga boylaına sahip olduğundan, kılavuzu biden fazla mod için ayalamak genellikle mümkün değildi. Ayıca kılavuz içindeki hehangi bi kesinti veya köşe, başka modlaın otaya çıkmasına neden olacağından en düşük modu iletecek kılavuzun seçilmesi uygundu. Dalga kılavuzu içindeki modlaı tanımlamak için yalın simgele kullanılı. Bu simgelein altına konulan indisle, dalga kılavuzunun genişlik ve deinliğine uygun düşen belli fekans yayımının yaı dalga boyunu göstei. 210

Bi dalga kılavuzunun en uygun kesiti, yönlendieceği dalganın özellikleine göe belileni. En basit ve en yaygın kullanılan dalga kılavuzlaı, eni boyunun yaklaşık iki katı olan Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) dikdötgen kesitli aygıtladı. İkinci sıada daiesel kesitlile geli. Elips biçiminde olan tülei de vadı. Dalga kılavuzlaının, mikodalgalaı köşeli otamlaın ötesine iletmesi geektiğinde özel mafsalladan ve disekleden yaalanılı. Mikodalgalaı klavuza uygun bükümle veili. o 90 lik bi açıyla döndümek için Dalga kılavuzunda hehangi bi yayılım modu için zayıflama iki nedenle meydana geli. 1- Bou içine dolduulan dielektiğin iletkenliği sıfı değilse dielektik kayıplaı olu. 2- Bou çepeleinde omik kayıpla olu. Boulada dielektik genel olaak havadı. 10 GHz in altında dielektik zayıflaması ihmal edilebili. Çeşitli mikodalga fekans bandlaı için standat boyutlada boula kullanılmaktadı. 300 MHz den 400 GHz e kada imalat yapılmaktadı. Dalga kılavuzu yapımında alüminyum, gümüş ve piinç kullanılı. İki Dielektik Sınıına Belli Bi Açı İle Gelen EM dalgalaın Yansıması ve İletimi Elektik alan geliş düzlemine dik ise bu duum TE polaizasyon (paalel polaizasyon) olaak adlandıılı. Eğe elektik alan geliş düzlemine paalel ise TM polaizasyon (dik polaizasyon) olaak tanımlanı. TE polaizasyon için dielektik sınıda yansıma ve iletim olaylaı Şekil 7 de gösteilmişti. 211

Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) k Yansıyan dalga H E t k t İletilen dalga E i θ Otam I θ Şekil 7. k H i σ 1, µ 1,ε 1,η 1 i Otam II i Gelen σ 2, µ 2,ε 2,η 2 dalga θ t H t z Şekil 6 TE polaizasyon için yansıyan ve iletilen dalga bileşenlei Şekil 6 de gelen elektik alan bileşeni ifadesi; (1.9.2.1) Manyetik alan bileşeni (1.9.2.2) TE polaizasyonuna ait alan bileşenlei gelen, yansıyan alan ve iletilen alan bileşenleidi. Bunladan gelen alan bileşenlei; 212

Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) (1.9.2.3) (1.9.2.4) Yansıyan alan bileşenlei; (1.9.2.5) (1.9.2.6) ve iletilen alan bileşenlei (1.9.2.7) (1.9.2.8) Fekans Ve Dalga Boyu Tüm elektomanyetik dalgala, mükemmel bi vakum tüpün içinde yaklaşık olaak ışık hızında (3108 m/sn) yayılıla. Bu yayılım hızı deniz seviyesinin hemen üzeindeki bi yükseklikte vakum tüpe nazaan ihmal edilebilecek deecede düşüktü. O yüzden ada işaetlei için, elektomanyetik dalgalaın yayılım hızı ışık hızı olaak kabul edili. Bilindiği gibi ışık hızı; c=f λ (1.10.1) şeklinde ifade edili. Buada c; ışığın yayınım hızını [m/s], f; yayılan dalganın fekansını [Hz] ve λ ise dalga boyunu [m] göstemektedi. Günümüzde adala kullanım alanlaı ve tiplei itibaiyle çok faklı dalga boylaı ve fekanslada çalışmaktadıla. Sayısal 213

Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) hesaplamalada elektomanyetik dalgalaın boşlukta yayıldığı kabul edili ve dalgalaın yayıldığı otamın empedansı olaak boşluğun kaakteistik empedansını kullanılmaktadı (Taflove, 1995). Bulunduğumuz otamın empedansı, (1.10.2) olaak veili. Boşlukta ise bu hesaplama, µ 0 =4λ 10-7 [H/m]; boşluğun manyetik geçigenlik sabiti ve [F/m]; boşluğun dielektik sabiti olmak üzee, (1.10.3) (1.10.4) olaak veilmektedi. Dalga Tiplei Bi elektomanyetik dalganın yayınımına ait gösteim Şekil 8 deki gibidi. Şekilde elektomanyetik dalganın elektik alanının, k biim vektöü ile gösteilen yayınım doğultusu ile zamana göe nasıl değiştiği gösteilmektedi. Elektik alan vektöü E manyetik alan vektöü H ye dikti ve he ikisi de k yayınım doğultusu vektöüne diktile. 214

Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) Şekil 7. Elektomanyetik düzlem dalga bileşenlei Şekil 7 de mesafe attıkça dalganın genliğinde azalma olmamaktadı. İşte bu düzlem dalgadı. Bi düzlem dalga adından da anlaşılacağı üzee sabit fazladaki düzlemleden oluşu. Düzlem dalgala doğada nadien bulunula. Bi önek olaak yıldızladan gelen ışıkla düzlem dalgala şeklinde yayıldıklaını söyleyebiliiz. Sabit faz yüzeyi küesel olan dalgala ise küesel dalgala olaak adlandıılıla. Bu tü dalgala doğalaı geeği noktasal kaynakladan yayılıla. Diğe bi tip ise silindiik dalgaladı. Bu tipte ise sabit faz yüzeylei silindiik yapıdadı. Şekil 9 da silindiik, küesel ve düzlem dalgala bilikte gösteilmişti. Silindiik bi dalga sonsuz uzunluktaki doğusal bi kaynaktan yayılı. Silindiik dalgala, doğada düzlem ve küesel dalgalaa nazaan daha az göülüle. Fakat teoik uygulamalada sıklıkla kullanılmaktadıla. Bunlaın dışında biçok dalga şekillei bulunmaktadı. Fakat ada uygulamalaında kullanılan elektomanyetik dalgala bahsedildiği gibi yayılmaktadıla. 215

Silindiik dalgala Küesel dalgala Düzlem dalgala Şekil 8. Silindiik, küesel ve düzlem dalgala. Okla yayınım yönleini göstemektedi 216

EK 2 GPR POLARİZASYON VE GPR ANTENLER GPR POLARİZASYON Bi dalganın polaizasyonu, uzayın sabit bi noktasındaki elektik alanın en yüksek değeinin zamanla değişim biçimi olaak tanımlanmaktadı (Kong, 1986). Polaizasyon kavamı elektomanyetik teoide sıklıkla kaşımıza çıkan bi kavamdı, doğusal, daiesel ve eliptik olmak üzee üç çeşidi vadı. Jeofizik yöntemlede iki çeşit polaizasyon şeklinin va olduğu kabul edili ve bunlaa bağlı olaak iki çeşit ölçü alma modu geliştiilmişti (Şekil 1). Buna göe eğe ölçülen elektik alan jeolojik yapının doğultusuna paalelse buna E tipi polaizasyon, eğe ölçülen manyetik alan jeolojik doğultuya dikse buna da H tipi polaizasyon adı veilmektedi. Şekil 1 Ölçülen elektik alanın jeolojik doğultuya dik veya paalel olması duumunda EM alan bileşenlei (Beamish, 1998). 217

Ek 2 GPR Polaizasyon ve GPR Antenle (devam) Antenden ışınan elektomanyetik dalganın polaizasyonu ve üç çeşit polaizasyon bulunmaktadı. Doğusal polaizasyon Daiesel polaizasyon Eliptik polaizasyon Şekil 2 Polaizasyon tülei ve açıklaması 218

Ek 2 GPR Polaizasyon ve GPR Antenle (devam) Bi düzlem dalga elektik alan bileşeninin z yönünde yayıldığını kabul edelim. E( z) jθ jθ y = ( a Eoe + a y E yoe ) e jβz (1.1) A E yo = y Eo, θ = θ θ ve E0 = 1 veilen değişken atamalaı dikkate alınaak denklem (1.1) de yeine yazılısa, E( z) jθ = ( a + a y Ae ) e jβz (1.2) buada A katsayısının ve θ açısının değeleine bağlı olaak dalganın polaizasyonu ile ilgili temel tanımla veilmişti. jβz I. A=0 E( z) = a e, ve E( z, t) = a cos( wt βz). Elektik alanın z=0 düzlemindeki haeketi ekseni doğultusundadı. Bu ekseni boyunca doğusal kutuplanmış dalga olaak tanımlanı. 219

Ek 2 GPR Polaizasyon ve GPR Antenle (devam) jβz II. A=1, θ=0 E( z) = ( a + a ) e, ve E( z, t) = ( a + a )cos( wt βz). y y Bu dalga da yine elektik alan vektöü - eksenine 45 0 de doğusal polaizasyonlu dalgadı. III. A=2, θ=0 E( z, t) = ( a + 2a )cos( wt βz). Bu dalga da yine elektik alan y vektöü - eksenine 63 0 de doğusal polaizasyonlu dalgadı. IV. A=1, θ=0 E( z, t) = a cos( wt βz) a sin( wt βz). Bu duumda elektik alan vektöü bi daie çize ve dalga daiesel polaize olaak adlandıılı. IV. A=1, θ 0 duumunda eliptik polaizasyon olaak adlandıılı. y Anten ve Işıma Uzak bölgele aası iletişim, elektik ve manyetik alanla aasındaki ilişkinin bulunması sonucu sağlanabilmişti. Elektomanyetik dalgala, elektiksel ve manyetik alan bileşenleinden oluşan ve bulunduklaı otamda yayılaak eneji taşıyan dalgaladı. 19. yüzyıla kada zamanla değişmeyen duumla aaştııldığı için elektiksel ve manyetik kuvvetle ve bu kuvvetlele ilgili alanla bibiinden ayı olaak incelenmişti. Faaday, 1831 yılında, zamanla değişen bi manyetik alanın bi elektiksel alan oluştuduğunu deneysel olaak göstemişti. Adından Faaday ın öğencisi İngiliz fizikçi Mawell 1864 yılında yayınladığı Elektomanyetik alanlaın dinamik teoisi adlı kitabında klasik elektomanyetizmanın temel kavamlaı olan Mawell denklemleini açıklamıştı. Bu denklemle, hehangi bi yedeki bi noktada bulunan elektiksel ve manyetik alanla aasındaki bağıntıyı, o noktanın konumuna ve zamana bağlı olaak ifade edele. Mawell in teoisi şu sonuçlaın elde edilmesi sağladı: Ancak zamanla değişmeyen hallede, elektiksel alan, manyetik alanladan bağımsız olaak bulunabili. 220

Ek 2 GPR Polaizasyon ve GPR Antenle (devam) Zamanla değişen olaylada ise, elektiksel ve manyetik alanla bi aada bulunmak zoundadı. Bu iki alanın tümüne elektomanyetik alan deni. Mawell denklemlein çözümü, elektomanyetik dalgalaın, yayılıcı özellikte bulunduğunu göstei. Yayılım ise boşlukta ışık hızı ile olu. Mawell denklemleinin sonucu olan, elektomanyetik dalgalaın yayılan özelliğinin deneyle gösteilmesi 1887 yılında Hetz taafından geçekleştiilmişti. Hetz, iki küçük iletken küe aasında bi kıvılcım oluştuduğunda, uzaktaki bi kaanlık odada bulunan iletken bi çeçevenin mikometik aalığında da bi kıvılcım oluştuğunu gözlemlemiş ve daha sona yaptığı deneylele, elektomanyetik dalgalaın yansımasını, kıılmasını ve polaizasyonunu inceleyeek, geometik optik konulaına da bi temel kumuştu. Maconi 1896 yılında, daha önce Popov un düşündüğü anteni kullanaak ilk adyo yayınımı geçekleştidi ve elde ettiği dalgayı 30-40 km uzağa göndemeyi başadı. Bu ilk çalışmalaından sona da Manş denizinin iki aasında ve Atlantik ötesi iletişim geçekleştidi. Biinci Dünya Savaşı sonasında iyonosfein adyo dalgalaını yansıtma özelliği otaya çıkaıldı ve adyo, televizyon, ada, adyo, meteooloji, uydu habeleşmesi gibi sahala hızla gelişti. Elektomanyetik dalgalaı bi sistemden alıp çeveye veen veya çevesindeki elektomanyetik dalgaladan aldığı sinyallele bi sistemi besleyen cihazlaa anten adı veili. Hetz in kullandığı ilk antenin yapısı böceklein etaflaını izlemek için kullandıklaı duyagaya benzediği için, böcek duyagası anlamına gelen anten kelimesi fizik diline sokulmuştu. Bi bütün olaak bi adyo iletişin devesi üç ana yapıdan oluşu; 221

Ek 2 GPR Polaizasyon ve GPR Antenle (devam) a) Veici b) Alıcı c) İletişim otamı Veici iletilmek istenen bilgiyi elektiksel işaete dönüştüü ve geekli işlemlei yapaak yayılacak duuma getii. Bu işaet bi iletim hattı ile antene veili. Anten de bunu em dalga biçiminde iletişim otamına yaya. Otamdaki em dalga bi alıcı anten yadımıyla alınaak alıcıya aktaılı. Alıcı da geekli işlemle yapılaak kullanılabili bilgi elde edili. Göüldüğü gibi, iletişim devesinde anten iki göev üstlenmiş duumdadı; a) Veiciden alınan enejiyi iletişim otamına yaymak, b) Otamdaki em enejiyi toplayıp alıcıya aktamak. Anten çift yönlü (esipok) bi dönüştüücüdü. Veici olaak kullanıldığında besleme noktalaına uygulanan Volt büyüklüğündeki geilimi Volt/mete büyüklüğündeki elektik alana dönüştüü. Alıcı antenle ise otamda bulunan elektomanyetik dalgaladan kaptığı Volt/mete büyüklüğündeki elektik alan enejisini uçlaına Volt büyüklüğünde bi geilim fakı olaak dönüştüü. Yapı bakımından veici ve alıcı antenle bibileine benzele. Hatta bazı uygulamalada bi anten bi anten hem alıcı hem de veici olaak çalışabili. Ucunda anten bulunan iki telli bi iletim hattına geilim kaynağının bağlı olduğunu düşünelim (Şekil 3). Geilim kaynağı hat iletkenlei aasında bi elektiksel alan yaatı. Kaynak geilimi sinüzoidal ise iletkenle aasındaki alan da sinüs biçimli olu. İletkenle aasında oluşan zamanla değişen Elektiksel ve manyetik alanla bi em dalga oluştuula. Bu dalga hat boyunca ileleyeek antene ulaşı ve anten üzeindeki yük dağılımı da bu dalga alanına bağlı olu. Anten ucundan ışınlanan dalga alanı da peiyodik bi dalgadı. Sabit eveli Po noktası yaım peiyodik zaman süesinde, λ/2 yolunu alaak P 1 noktasına ulaşı. 222

Ek 2 GPR Polaizasyon ve GPR Antenle (devam) Kalan yaım peiyotluk süede bu nokta P 2 ye eişi ve değişim dönemi olaak yenilenip süe. Böylece, ışınlanan dalgada peiyodik olaak değişen ve kendi üzeleine kapanan alan çizgilei oluşu. Şekil 3 Anten ve ışıma alan 223

Ek 2 GPR Polaizasyon ve GPR Antenle (devam) Anten Çeşitlei Antenle çeşitli tüde ve geometik yapıladadı (Şekil 4). Şekil 4 Anten Çeşitlei Anten Işıma Paametelei Anten ışıma diyagamı tanımının en genel hali, uzay koodinatlaına bağlı olaak antenin ışıma özellikleini gafiksel gösteimidi. Çoğu zaman ışıma diyagamı uzak-alan bölgesi 224

Ek 2 GPR Polaizasyon ve GPR Antenle (devam) için tanımlanı. Işıma diyagamlaı elektik alan, güç ve güç ışıma yoğunluğu büyüklükleine bağlı olaak çizilebili. Aalaında nitelik bakımından fak olmamakla bilikte göünümleinde fak vadı. İzotopik anten uzayın he doğultusuna eşit olaak ışıma yapan noktasal tümyönlü bi antendi. He ne kada fiziksel olaak geçekleştiilmesi mümkün olmayan bi anten ise de, bazı yaklaşıklıkla yapmak, diğe büyüklüklein tanımlaında efeans olaak kullanmak amacıyla kullanılı. Belli bi doğultuda elektomanyetik dalgalaı alan ya da göndeen antenlee yönlü anten deni şekil de yönlü ışıma diyagamına sahip bi anten öneği veilmişti (Şekil 5). Şekil 5 Işıma diyagamı 225

Şekil 6 Bi dipol anten ışıma diyagamı Şekil 6 da bi dipol antene ait ışıma diyagamı veilmişti. Şekilde de göüldüğü gibi Azimuth (yönelim) düzleminde [f(φ), θ=sabit] diyagam yönsüz (tümyönlü); diğe düzlemde ise [g θ (), φ =sabit] yönlüdü. Bu tip antenle yönlü antenlein özel bi tipidi. Doğusal polaizasyonlu antenlede maksimum ışımanın olduğu doğultuda elektik alan vektöünü içeen düzleme E-düzlemi ; manyetik alan vektöünü içeen düzleme Hdüzlemi adı veili. Şekil 6 da veilen anten öneğinde, -z düzlemi (φ=0) E-düzlemi, -y düzlemi ise H-düzlemidi. Işıma diyagamı lop veya kulakçık diye isimlendiilen eğileden meydana geli şekil de biden fazla ışıma lobu içeen üç boyutlu simetik pola ışıma diyagamı veilmişti. 226

Ek 2 GPR Polaizasyon ve GPR Antenle (devam) Şekil 7 Anten ışıma diyagamında ışıma loblaı ve huzme genişliklei Ana lob: Maksimum ışımayı içeen lobdu. Şekil de ana lob θ = 0 yönündedi. Bazı anten ana lob biden faza olabili. Aka lob: Ana lobun zıddında bulunan lobdu. Minö (küçük) lobla: istenmeyen yönlede oluşan lobladı. Yan lobla en büyük minö lobladı. Yan loblaın seviyeleinin -30dB hatta bazı uygulamalada daha küçük olması isteni. Özellikle ada uygulamalaında bu değe oldukça küçüktü. Şekil de doğusal anten ışıma diyagamı veilmişti. Pola diyagamdan fakı yoktu. Aynı ışıma kaakteistikleini içei. 227

Ek 2 GPR Polaizasyon ve GPR Antenle (devam) Alan Bölgelei Anteni çeveleyen uzay başlıca üç bölgeye ayılı (Şekil 6). 1- Tepkin- yakın alan bölgesi 2- Yakın alan (Fensel) bölgesi 3- Uzak-alan (Faunhofe) bölgesi Tepkin- yakın alan bölgesi Antenin çok yakınındaki bölgedi. Bu bölgede tepkin alan bileşenlei baskın olu. Bölgenin dış sınıının antenden uzaklığı R, antenin en büyük boyutu D ise, bölgeyi tanımlayan bağıntı 3 D R< 0.62 (1.4.1.1) λ şeklinde veili. Şekil 8 Işıma alan bölgelei 228

Ek 2 GPR Polaizasyon ve GPR Antenle (devam) Yakın-alan (Fensel) bölgesi Tepkin alan bölgesi ile uzak alan bölgesi aasındaki bölge olaak tanımlanı. Bu bölgede ışıma alanı bileşenlei daha baskındı ve alanın açısal dağılımı antenden olan uzaklığa bağlıdı. Bölgenin iç sınıı: 3 D R> 0.62 (1.4.2.1) λ dış sını ise; 2 2D R< (1.4.2.2) λ olaak tanımlanı. Uzak-alan bölgesi Anten alanının açısal dağılımının antenden olan uzaklıktan bağımsız olduğu bölgedi. Bu bölgede elektik ve manyetik alan bileşenlei düzlem dalga kaaktei gösteile. Bölgenin iç sınıı: 2 2D R= (1.4.3.1) λ dış sını sonsuz olaak alını. 229

Ek 2 GPR Polaizasyon ve GPR Antenle (devam) Radyan ve Steadyan Radyan, düzlem açı biimidi. Bi daienin çevesinde yaıçapına eşit uzunlukta bi yay oluştuacak şekilde, mekezinden kena çizgisine iki düz çizgi aasında kalan açının büyüklüğüdü (Şekil 8). Steadyan ise katı açı biimidi. Bi küenin yüzeyinde, kena uzunluklaı küenin yaıçapına eşit büyüklükte bi kae oluştuacak şekilde, küenin mekezinden yüzeyine uzanan düzlemle aasındaki açıdı (Şekil 8). yaıçaplı küe yüzeyinde çok küçük da alanı aşağıdaki gibi tanımlanı. [ ] da= 2 sin θdθdφ m 2 (1.5.1) küenin katı açı elemanı dώ ise aşağıdaki gibi tanımlanı. da d Ω = dθdφ [ s] 2 = sinθ (1.5.2) 230

Ek 2 GPR Polaizasyon ve GPR Antenle (devam) Şekil 9 Radyan ve Steadyan tanımı için geometik gösteim 231

Ek 2 GPR Polaizasyon ve GPR Antenle (devam) Işıma Güç Yoğunluğu Bi elektomanyetik dalganın uzaya yaydığı güç Poynting vektöü ile tanımlanı. Bi kaynağın toplam ışımasını bulabilmek için güç akı yoğunluğu vektöünü bulup, kaynağı içine alan yüzey boyunca integalini almak geeki. Ani poynting vektöü: W=EH (1.6.1) W=Anlık poynting vektöü [W/m 2 ] E=Anlık elektik alan şiddeti [V/m 2 ] H=Anlık manyetik alan şiddeti [A/m] Poynting vektöü güç yoğunluğu olduğu için, kapalı yüzeyden geçen toplam güç, yüzey boyunca poynting vektöünün integalinin alınması ile elde edili. Ρ = W. ds= W n. da (1.6.2) P= Anlık toplam güç [m 2 ] da=kaplı yüzeyin biim alanı [m 2 ] zamanla değişen alanla vasa otalama güç yoğunluğu ile ilgilenili. Anlık poynting vektöünün bi peiyot boyunca integalinin alınıp peiyoda bölünmesiyle bulunu. Komple E ve H alanla anlık ifadelei cinsinden aşağıdaki gibi yazılabili. E(, y, z, t) = Re H (, y, z, t) = Re jwt [ E(, y, z) e ] jwt [ H (, y, z) e ] (1.6.3) 232

Ek 2 GPR Polaizasyon ve GPR Antenle (devam) jwt 1 jwt * jwt [ Ee ] [ Ee E e ] Re = + olduğu göz önüne alınaak aşağıdaki ifade yazılabili. 2 W * 1 j2wt [ EH ] + Re[ EHe ] 1 = EH =+ Re (1.6.4) 2 2 göüldüğü gibi, biinci teim zamanın fonksiyonu değildi. Poynting vektöünün zaman otalaması (Otalama Güç Yoğunluğu) aşağıdaki gibi yazılabili. Antenden ışıma toplam güç (ışıma gücü) aşağıdaki gibi yazılabili; (1.6.5) (1.6.6) Işıma Şiddeti Işıma şiddeti, biim katı açıdan ışınan güç olaak tanımlanı. Işıma şiddeti uzak-alan paametesidi ve basitçe ışıma yoğunluğunun, kaesi ile çapımıyla elde edilebili. Matematiksel tanımı aşağıdaki gibidi. U = (1.7.1) 2 W ad U= Işıma şiddeti (W/biim katı açı) W ad = Ilıma yoğunluğu (W/m 2 ) Işıma şiddetinin, matematiksel tanım aşağıda veilmişti. antenin uzak-alan bölgesindeki elektik alanı ile ilişkisini veen 233

Ek 2 GPR Polaizasyon ve GPR Antenle (devam) 2 2 1 2 2 [ Eθ (, θ, φ + Eφ (, θ, φ) ] [ Eθ ( θ, φ) Eφ ( θ, ] 2 2 2 U ( θ, φ) = E(, θ, φ) + φ (1.7.2) 2η 2η 2η E :Antenin uzak-alan elektik alan şiddeti E θ Eφ : Antenin uzak-alan elektik alan bileşenlei η : Otamın kaakteistik empedansı toplam güç ışıma şiddetinin 4π lik katı açı boyunca ışıma şiddetinin integali alınaak bulunabili. dώ= Katı açı elemanı= sinθ.dθ.dφ (1.7.3) Yönelticilik Yönlü kazanç veilen yön için şöyle tanımlanı veilen yöndeki ışıma şiddetinin efeans antenin ışıma şiddetine oanıdı. Refeans anten olaak genelde izotopik kaynak alını. Yönelticilik yönlü kazancın maksimum değeidi. Matematiksel tanımlaı aşağıdaki gibidi. (1.8.1) (1.8.2) D g : Yönlü kazanç (boyutsuz) D 0 : Yönelticilik (boyutsuz) U : Işıma şiddeti (W/biim katı açı) 234

Ek 2 GPR Polaizasyon ve GPR Antenle (devam) U ma : Maksimum ışıma şiddeti (W/biim katı açı) U 0 : İzotopik kaynağın ışıma şiddeti (W/biim katı açı) P ad : Toplam ışınan güç (W) İzotopik kaynak için U,U ma ve U 0 bibiine eşit olduğu için yönlü kazanç ve yönelticiliğin aynıdı Kazanç Anten pefomansını gösteen bi diğe önemli paamete kazançtı. Güç kazancı, şu şekilde tanımlanı Veilen yönde antenin ışıma şiddetinin giiş gücüne (besleme gücüne) oanının 4 π katıdı. Eğe yön tanımlanmamışsa, güç kazancı genellikle maksimum ışımanın olduğu yönde hesaplanı. ışıma şid deti U ( θ, ϕ) Kazanç= 4π = 4π ( boyutsuz) (1.9.1) toplam giiş gücü P im Çoğu duumda göeceli kazanç ile ilgilenili. Tanımı Refeans alınan yönde, antenin güç kazancının efeans antenin güç kazancına oanıdı. Besleme gücü he iki anten için de aynı olmalıdı. Refeans anten olaak dipol, hon veya kazancı hesaplanabilen ya da bilinen hehangi bi anten tipi kullanılabili. Çoğu duumda efeans anten olaak kayıpsız izotopik kaynak kullanılı. G g 4πU ( θ, φ) = (Kayıpsız izotopik kaynak) (1.9.2) P in Işınan toplam güç ile toplam giiş gücü aasındaki aşağıdaki bağıntı vadı. 235

Ek 2 GPR Polaizasyon ve GPR Antenle (devam) P ad = e t. P in (1.9.3) e t : Toplam anten veimi (boyutsuz) denklemi aşağıdaki gibi yazılabili. 4π U ( θ, φ G g= et Pad (1.9.4) (1.9.5) Maksimum kazanç, yönelticiliğe bağlı olaak aşağıdaki gibi yazılabili. (1.9.6) Çoğu patik uygulamada kazanç için aşağıdaki yaklaşık fomül kullanılı. (1.9.7) Genellikle kazanç desibel cinsinden veili. Desibel cinsinden matematiksel tanımı aşağıdaki gibidi. 0 log 10 [ e ] G ( db) = 10 D (1.9.8) t 0 Anten Veimi Genel olaak toplam veim aşağıdaki gibi yazılabili. e t =e e c e d e t : toplam veim (boyutsuz) e : yansımaya ilişkin veim = ) 1 ( 2 Γ - (boyutsuz) (1.10.1) 236

Ek 2 GPR Polaizasyon ve GPR Antenle (devam) e c : iletkenlik veimi (boyutsuz) e d : dielektik veimi (boyutsuz) Genellikle e c ve e d nin hesabı zodu, deneysel olaak tespit edili. Ancak ölçümle bibileinden ayılamazla, genellikle iletkenlik-yalıtkanlık veimi adı altında bilikte ele alınıla. 2 e e. e = e (1 Γ (1.10.2) t = cd cd e cd =e c.e d (1.10.3) Yaım-Güç Huzme Genişliği Hüzmenin maksimum olduğu noktanın iki yanında ışıma şiddetinin yaıya düştüğü noktala aasındaki açıya yaım-güç huzme genişliği deni. (HPBWHalf- powe Beam Width). Hüzme genişliği tanımı ışıma diyagamı üzeinde huzmenin maksimumunun iki yanında hehangi iki nokta aasında tanımlanabili (Şekil 9). Öneğin 10-dB, 5-dB hüzme genişliklei gibi. Ancak genelde 3-dB huzme genişliği ile ilgilenili, bu da yaım-güç hüzme genişliğini vei ve tanımlanabili. Öneğin 10-dB, 5-dB huzme genişliklei gibi. Ancak genelde 3-dB hüzme genişliği ile ilgilenili, bu da yaım-güç hüzme genişliğini vei (Şekil 10). 237

Ek 2 GPR Polaizasyon ve GPR Antenle (devam) Şekil 10 Yaım güç hüzme genişliği Şekil 11 3-dB ve 10-dB hüzme genişliklei 238

Ek 2 GPR Polaizasyon ve GPR Antenle (devam) Hüzme Veimliliği Veici ve alıcı antenlein kalitesini tanımlamak için kullanılan önemli bi paametedi. Ana hüzmesi z- ekseninde bulunan anten için hüzme veimliliği (Beam Efficiency-BE) aşağıdaki gibi tanımlanı. θ 1 açıçısınd göndeilen ( alılın ) güç miktaı BE= (1.12.1) Antentaafıaaf göndeilen( alılın ) güç miktaı 2πθ 1 0 0 = 2 ππ 0 0 U ( θ, φ)sinθdθdφ BE (1.12.2) U ( θ, φ)sinθdθdφ Polaizasyon Kayıp Faktöü Genelde, alıcı antenin polaizasyonu ile gelen dalganın polaizasyonu aynı değildi bu da polaizasyon kaybına neden olu. Gelen dalganın elektik alanının; E = i. E İ w i (1.13.1) 239

Ek 2 GPR Polaizasyon ve GPR Antenle (devam) olduğunu faz edelim. polaizasyonu da aşağıdaki gibi gösteilsin. ıˆw, dalganın biim vektöü. Alıcı antenin elektik alanının E = i. E a a (1.13.2) a Polaizasyon kayıp faktöü (polaization Loss Facto-PLF) aşağıdaki gibi tanımlanı. PLF = ) ) i. i * 2 w a = cosψ p 2 ( boyutsuz) (1.13.3) ψ p, iki biim vektö aasındaki açıdı. Şekil 12 Anten ve gelen dalganın biim vektöleinin polaizasyonu 240

Ek 2 GPR Polaizasyon ve GPR Antenle (devam) Giiş Empedansı Şekil 13 de veici anten eşdeğe devesi veilmiş ve adından giiş empedansı tanımı yapılmıştı. Şekil 13 Veici anten ve eşdeğe devesi Anten Işıma Veimi Antenin iletkenlik-yalıtkanlık kaybının hesabı zodu, genelde ölçüm yoluyla bulunu. Ölçülse bile ayımak zo olduğu için ikisi bilikte yani iletkenlik yalıtkanlık kaybı diye inceleni. (e cd ) Işıma veimliliği aşağıdaki gibi tanımlanabili. (1.15.1) l uzunluğunda ve A kesit alanına sahip metal çubuğun dc dienci; [ohm] (1.15.2) şeklinde hesaplanı. 241

Ek 2 GPR Polaizasyon ve GPR Antenle (devam) Duan Dalga Oanı Duan dalga oanı (SWR), hatta veilen RF (adio fekans) enejisi nin ne kadalık kısmının yüke aktaıldığının ölçüsüdü. Duan dalga oan değei 1 ile sonsuz aasında değişi. Duan dalga oanının 1 olduğu duum gei yansımanın olmadığı ideal duumdu. Patikte Duan Dalga Oanının 2 den küçük olması geeklidi. En çok kaşılaşılan duum Duan Dalga Oanının 1,3 olduğu duumdu. Şekil 14 Hat üzeinde duan dalgala Hız Faktöü Elektomanyetik dalga boşlukta ışık hızı ile ilele ve bu duum v=c şeklinde ifade edili. Elektomanyetik dalganın iletileceği otam koaksiyel kablo ya da metal otam ise dalga ışık hızından daha yavaş hızla ilele. Yeni hız v= k*c şeklinde ifade edili. Buadaki k sabiti 1 den küçük bi sayıdı ve hız faktöü olaak isimlendiili. Hız faktöüne bağlı olaak dalga boyu fomülü aşağıdaki şekilde ifade edili. (1.17.1) 242

Ek 2 GPR Polaizasyon ve GPR Antenle (devam) Demet Genişliği Anten demet genişliği, yönelticiliği olan yelede yönelticiliğin de bi ölçüsüdü. Maksimum ışıma doğultusundaki gücün yaıya (3dB) düştüğü (yatayda ve düşeyde) açısal genişlik anten ışıma olaak tanımlanı. GPR ANTENLER Anten, GPR sisteminin pefomansını belileyen en önemli donanım bileşenleden biidi. Çünkü adaın bant genişliğini, duyalılık seviyesini, kuplaj güültüsünü, polaizasyonunu ve fiziksel boyutunu biincil deecede veici ve alıcı (T/R) antenle belile. Yealtında gömülü cisimlei tespit için kullanılan GPR sistemi, kullanılacak anten tipinin tasaımına önemli deecede sınılamala getii. İnceleme otamın kayıplı olması ve çoğu kez izotopik kaakteistik göstememesi fekansa bağlı bi zayıflatma etkisi yapmasına neden olu ve otam alçak geçien filte gibi davanı. Buna kaşın, küçük boyutlu cisimlein gei yansıma kaakteistiklei yüksek fekanslada hızla atmaktadı. Dolayısıyla yüksek çözünülüklü bi dabeli GPR için T/R antenlein fekans bandı çok geniş, faz cevabı ise doğusal olmalıdı. Uygulamalada çoğunlukla mesafe ve çözünülüğe bağlı olaak belli MHz -GHz aasında bi bant kullanılı. Dabe ışıması pensibi kullanıldığında alt kesim fekansı düşük TEM mod antenle tecih edili. GPR bi kısa menzil dabeli ada olduğundan veici/alıcı aası kuplaj ve anten çınlama seviyelei çok düşük olmalıdı, aksi takdide kaışım ata ve hedef yei tespiti oldukça güçleşebili. Çalışma bandının çok geniş olması ve özellikle alçak fekanslaa yakın olması duumunda anten tasaımı zolaştığından ve fiziksel boyutu büyüdüğünden bazen elektiksel boyu küçük dipol tüü antenle dikkate alınabili. Ancak bu tip antenlein kazançlaı düşük, huzmelei genişti. Anten tipinin seçiminde dikkat edilmesi geeken ana hususla; geniş fekans bant cevabı, yüksek ışıma kazancı, düşük gei 243

Ek 2 GPR Polaizasyon ve GPR Antenle (devam) yansıma, bastıılmış yan ve aka kulak seviyesi, alıcı ve veici anten aasında düşük kuplaj, bant boyunca sabit faz yanıtı ve hedef cisme uygun polaizasyondu (Daniels D.J. 1996). Böylece düzgün dabe ışıması sağlanı ve istenilen taama alanına odaklanılaak yeteince deinden küçük cisimle tespit edilebili. Elle taşınabili GPR sistemlei hafiflik ve küçük boyut dolayısıyla anten bloğunun fiziki tasaımını ciddi deecede sınılamaktadı. Bu bağlamda ilk olaak basit, kullanışlı, hafif yapılaı ve doğusal polaizasyon davanışlaı nedeniyle dipolle göze çapmaktadı. Ancak dipol da bant seçici bi ezonans antenidi. Dolayısıyla daha geniş bant iki tü düzlemsel anten; bow-tie ve spial daha çok tecih edilmektedi (Tük A.S. ve Sen B. Mayıs 2003). He ikisi de benze elektiksel ve fiziksel özelliklee sahiptile. En önemli ayım noktalaı ise polaizasyondu. Bow-tie yapısı üçgen, daie vs. şeklinde kesilmiş metalik tabaka veya bükülmüş tel şeklindedi. Dabe ışımalaı için sıkça öneilen, dipol tabanlı ancak daha geniş bantlı ve kazançlı bi antendi. Spial ise uzun kollaı açısal kıvımlala bükülmek suetiyle da bi alana sığdıılmış, teoik açıdan fekans bağımsız bi anten çeşididi. Yuvalak geometili cisim tespitinde geniş bantta doğusal polaizeli ve doğusal faz cevaplı bow-tie anten, çubuk bou benzei yuvalak olmayan cisimle için ise daiesel polaizeli spial anten öneili. Anten kol uzunluklaı dabe işaetinin alt kesim fekansının dalga boyu metebeleinde seçilmelidi. Ayıca, bow-tie antende kol açısı eliptik polaizasyona kayma deecesini doğudan etkilemektedi. TEM hon düzlemsel antenlee göe daha geniş bantlı, yüksek kazançlı, da huzmeli ve düşük DDO lu kaakteistiklei nedeniyle dabeli GPR sistemleinde çok kullanılan antenleden biidi. V-dipol yapısına benze üçgen ya da daiesel dilim yapıda bi çift metal koldan oluşu. Sıasıyla kol uzunluğu, giiş besleme aalığı, kanat açısı ve açıklık açısı olaak adlandıılan L, d, α ve θ paameteleiyle ifade edilmektedi. Bi tü iletim hattı anteni olduğu için bu paametele TEM modu dalga ışıma kaakteistiğini göstei. Genel bi ifadeyle, TEM honun kol uzunluğu alt kesim fekansını, 244

Ek 2 GPR Polaizasyon ve GPR Antenle (devam) kanat açısı polaizasyon duyalılığını, kol açıklık açısı ise (d ve α ile bilikte) yapısal empedansını belile. Bunun ötesinde, bazı dielektik dolduma tekniklei uygulanaak anten elektiksel boyu attıılı, GPR dabe şekli ve tepe kazancı yükseltilebili. Geometik ve yapısal anlamda uygun bi optimizasyon sonucu düzgün şekilli, az çınlamalı, etkin bi dabe işaeti göndeilebili. En önemli dezavantajı fiziksel boyutu ve ağılığıdı. TEM hon analizlei sonlu eleman metodu (FEM), moment metodu (MoM), sonlu faklı zaman domeni (FDTD) gibi doğudan sayısal yöntemlele yapılabilmektedi. Ancak bu tü yöntemlein elektiksel boyut kapasitelei sınılıdı ve işlem süelei çok fazla olabilmektedi. Ayıca, hesap sonuçlaının doğuluk seviyelei de çoğu kez gaanti edilemez. Bu yüzden, TEM hon benzetimlei için Kısmi dielektik Yüklemeli İletim Hattı Metodu (KYİHM) olaak adlandıılan ve paçasal dielektik/ezistif yüklü TEM honlaın analizini hızlı ve veimli yapabilen bi yöntem geliştiilmişti (Tuk A.S., 333-336, 2004.). Veici biiminde üetilen geniş bantlı GPR dabesini düzgün biçimde ışımak ve yealtındaki cisimleden saçılan sinyali veimli şekilde alabilmek amacıyla çok geniş bantlı veici ve alıcı (T/R) antenle tasalanmalıdı. GPR pefomansında doğudan belileyici bi faktö olan T/R anten tasaımında geniş bantlılığın yanı sıa yüksek kazanç, düşük yan/aka kulak seviyesi, düşük gei yansıma, doğusal faz cevabı, hedefe uygun polaize alan üetimi, taama alanını kapsamak şatıyla da ışıma huzme genişliği, yüksek veici/alıcı ekanlaması, düzgün şekilli dabe sinyal ışıması ve fiziksel kısıtlama paametelei bilikte ele alınmalıdı. Bow-Tie Antenle Şekil 15 de gösteilen bow-tie tüü düzlemsel anten ve TEM hon anten yapılaı kullanılmıştı. Önceliklei faklı boyutladaki bow-tie antenlein feakans ve zaman 245

Ek 2 GPR Polaizasyon ve GPR Antenle (devam) domenindeki davanışlaı teoik ve patik olaak incelenmişti. Daha sona benze idelemele TEM hon antenle antenle için geçekleştiilmişti. TEM hon antenle için geçekleştiilmişti. TEM hon yapısı V-dipol benzei bi çift üçgen yada daiesel dizilimli iletken plakaladan oluşmaktadı. Bu tü iletim hattı antenidi ve dabeli GPR sistemleinde yüksek kazanç, geniş bant ve da huzme kaakteistiklei nedeniyle sıkça kullanılı. Fekans bant genişliğini attımak veya kaydımak için dielektik dolduma gibi teknikle kullanılabili. Şekil 15 Bow-tie anten çalışma pensibi 246

Ek 2 GPR Polaizasyon ve GPR Antenle (devam) Dipol Antenle Anten tekniğinde en basit ezonans oluşumu yaım dalga boyunda ki dipolla da meydana geli. Bu anten hemen hemen tüm anten biçimleinin temel elemanıdı ve yönbağımsız (izotopik) küesel anten gibi efeans anten olaak ta kullanılı. Bu yaım dalga boyu antenin ayıt edici özelliği, geometik mekez noktasında iki paçaya ayılmış olmasıdı. Buada otaya çıkan 2 kutup, göndeici veya alıcı modunda çalışıken beslemenin yapıldığı yedi. Adından da anlaşılacağı üzee, bi yaım dalga dipol, çalıştığı he bi fekansa kaşılık gelen yaklaşık yaım dalga boyu (λ/2) kada uzunluğa ulaşı. Bu duuma dipolun dalga boyu ile ezonansta yönbağımsız (izotopik) küesel olma duumu deni. Akım/geilim kaakteistiği bi paalel ezonans devesidi. Bi dipolde akım mekezde en büyük değeine, uç kısımlada ise en küçük değeine sahipti. Geilim ise mekezde en küçük, uçlada en büyük değede olu. Anten, geilimin düşük, akımın ise büyük olduğu nokta olan mekezden beslendiğinden, bu tü besleme yöntemine mekez-besleme veya akım-besleme yöntemi deni. Besleme noktasının neesi olduğu kullanılacak iletim hattının seçimi için önemlidi. Bi paalel ezonans devesinde benzei şekilde akım ve geilim duan dalgalaı (standing waves) meydana geli. Kazancı 1 olan antene kaşılık, bi dipol anten belili bi yöne yönlendiilmişti ve kazancı 1,5 ti. 247

Ek 2 GPR Polaizasyon ve GPR Antenle (devam) Şekil 16 Dipol anten ışıma Dipol Antenin Oluşumu Yaım dalga dipolun kaynağı basit bi osilasyon devesidi. Şöyle bi kugulayın; osilasyon devesinde ki kondansatö plakalaı bibiinden biaz büküleek uzaklaşsın. Kapasitansın azalmasına kaşılık kondansatö hala bi kondansatödü. Plakalaı biaz daha ayımaya devam edelim; elektik alan hatlaı deveyi biaz daha uzun bi yolu geçeek tamamlamaya devam ediyo. Atık kondansatöü tanımak mümkün değil. Elektik alan hatlaı sebest uzaya doğu ileliyo. Bi besleme hattı üzeinden beslenen bi yaım dalga dipolü otaya çıkmıştı. 248

Ek 2 GPR Polaizasyon ve GPR Antenle (devam) Şekil 17 Dipol anten Şekil 18 Dipol anten ve ışıma eğisi 249

Ek 2 GPR Polaizasyon ve GPR Antenle (devam) Yakın Alan Uzak Alan Dönüşümü Elektomanyetikte elektik ve manyetik akım kaynaklaına bağlı vektö potansiyel değeleinden yola çıkılaak he noktada geçeli olan elektik ve manyetik alan denklemleine ulaşmak mümkündü. Ne va ki bu denklemle oldukça kamaşık integal hesaplaı geektii. Gözlem noktası kaynakladan yeteli miktada uzak seçilise denklemle oldukça kısalı. Radyal yöndeki elektik ve manyetik alan değelei sıfıa yaklaşı, θ,φ yönleindeki değele ise kısalı. He noktada geçeli denklemle Yakın alan değelei ve kısalan denklemle ise Uzak alan değelei olaak anılı (Başeğmez,1997). Bi notanın yakın veya uzak alan olduğunu belileyen sını; (2.3.1) olaak belileni. R uzak alan tanımının başladığı minimum uzaklıktı ve mekezden gözlem noktasına tanımlanı. Λ dalga boyu, D ise dalga kaynağı veya saçıcının en büyük boyutudu. Uzak alan değeleine yapılan yaklaşıklıklaın en büyük nedeni denklemlede bulunan değeleinin ihmal edilmesidi. Yakın alan uzak alan faklılığı en iyi dipol antenlede gözlenebili. Dipol antenlede kaynaktan çıkışta ve kaynağa yakın noktalada ileleyen elektomanyetik dalgada elektik alanın eğisel, manyetik alanın ise daiesel haeket yaptığı gözleni. Ancak antenden uzaklaştıkça bu eğilik ve daiesellik daha düz bi haekete dönüşü. Elektik ve manyetik alan değeleini FDTD yöntemiyle FDTD uzayı dahilindeki he noktada hesaplamak mümkündü. Ancak ilgilenecek noktala çok geniş bi alanı kaplıyosa geekecek bilgisaya hafızası ihtiyacını kaşılamak mümkün olmayabili. Bu duumda bahsettiğimiz uzak alan denklemeleine bazı dönüşüm teknikleiyle ulaşmak mümkündü. Küesel noktalada adyal yöndeki alan vektölei sıfı olduğundan gözlem noktasının sadece θ ve φ değeleini bilmek yetelidi. 250

Ek 2 GPR Polaizasyon ve GPR Antenle (devam) FDTD yönteminin sonuçlaını kullanaak geçekleştiilen yakın alan-uzak alan dönüşümlei Schelkunoff un otaya attığı eşdeğelilil ilkesine dayanmaktadı ( Schelkunoff, 1934). Şekil 19 FDTD hesap hacmi, kapalı eşdeğe yüzey ve eşdeğe akımla Eşdeğelilik ilkesi, uzayı iki faklı bölgeye ayıan kapalı bi S yüzeyi üzeinde bi bölgedeki elektomanyetik kaynaklaın yaattığı alanla kullanaak poblemin sadece diğe bölge ve S yüzeyine indigenebileceğini söyle. Öneğin, iç bölgedeki kaynakla yeine bu yüzey üzeinde elektik ve manyetik alanlaın teğetsel bileşenlei ele alınaak söz konusu kaynaklaın dış otamdaki etkilei tamamen belilenebili. Bu duumda iç otamdaki kaynakla yeine S yüzeyi üzeinde (2.3.2) (2.3.3) 251

Ek 2 GPR Polaizasyon ve GPR Antenle (devam) Şeklinde gelen ve saçılan alanlaın toplamı olaak yazılması ile hem FDTD algoitması hem de uzak alan dönüşümlei istenise sadece saçılan alanla cinsinden yazılabilmektedi. Şekil 19 dan göüleceği gibi, küp şeklinde FDTD hesap hacmi içeisinde incelecek cisim veya kaynaklaı içeen daha küçük ikinci küp, yakın alan- uzak alan dönüşümleinin yapılacağı eşdeğe yüzeydi. Eşdeğe yüzey üzeindeki bu eşdeğe kaynaklaın dış otamdaki etkilei, tamamen iç otamdaki (kaldıılan) kaynaklaın oluştuacağı alanla olacaktı. Ancak eşdeğelilik pensibi geeği iç otamdaki alanla özdeş olaak sıfı olacaktı. Dış otamda uzak alan etkilei ile ilgilenildiğinden eşdeğelilik sonucu iç otamdaki alanlaın sıfı olması ilgilenilen analizi etkilemeyecekti. (2.3.2) ve (2.3.3) denklemleindeki elektik ve manyetik alanla seçilen kapalı bi eşdeğe yüzey üzeindedi. Bu eşdeğe yüzey, kaynaklaı veya ilgilenilen saçıcı cisimlei içeen bi yüzey olmalıdı. Eşdeğe yüzey üzeinde sadece saçılan alanla cinsinde elde edilecek eşdeğe kaynakla cinsinden uzak alan değelei aşağıda ifade edildiği elde edili. FDTD hesap uzayının mekezi, hesap kolaylığı bakımından koodinat mekezi olaak seçili. Bu mekezden uzak alan gözlem noktasına ve eşdeğe yüzey üzeindeki ilgilenilen noktaya uzaklıkla sıayla değişkenlei ile gösteili. Uzak alan gözlem doğultusundaki biim vektö eşdeğe yüzey üzeinde ilgili noktadaki alanlaı gözlem noktasına ulaşması için geçen süe olacaktı. Otam paametelei ε ve µ, ışık hızı da c olmak üzee saçıla elektik ve manyetik alanlaın zaman bölgesinde uzak alan değelei Statton- Chu gösteimlei (Statton, Luebbes, 1993) ile (2.3.4) (2.3.5) 252

Ek 2 GPR Polaizasyon ve GPR Antenle (devam) Şeklinde elde edilebili. İşlemlede kolaylık sağlanması açısından yayınım vektöü olaak tanımlanacak ve de yine S yüzeyi üzeinde (2.3.6) (2.3.7) Şeklinde göülü. Buada j=, k dalga sayısı, eşdeğe yüzey üzeinden ilgilenilen noktaya olan uzaklık ve uzak alan noktasından gözlem noktasındaki biim vektö olaak veilmişti. (2.3.8) (2.3.9) Şeklinde veili. Bu denklemlede mekez noktasından gözlem noktasına olan uzaklık, η boşluğun empedansı ve λ seçilen fekanstaki dalga boyudu. Uzak alan değeleindeki adyal doğultudaki E R değei ihmal edili. (2.3.8) ve (2.3.9) denklemeleindeki aanılan uzak alan değelei fekans bölgesinde bulunmuştu. Bu denklemlein tes Fouie dönüşümü zaman bölgesinde FDTD uzak alan elektik alan değeleini vei. (2.3.8 ve 2.3.9) denklemleinin tes Fouie dönüşümünde katsayılaı ve olaak kısaltılabili. (2.3.10) (2.3.11) 253

Ek 2 GPR Polaizasyon ve GPR Antenle (devam) Denklem (2.3.10) ve (2.3.11) bulunan fonksiyonla Şekil 19 daki he eş değe yüzey için hesaplanmakta ve biiktiilmektedi. Tüm ve fonksiyonlaı toplandıktan sona küesel koodinatlaa dönüştüülü ve, (2.3.12) (2.3.13) elde edili. (2.3.12) ve (2.3.13) uzak alan değelei saçılan elektik alan için hesaplanmıştı. Şekil 20 Koodinat ekseninin mekezinde bulunan cisimden saçılan alanın FDTD hesap uzayındaki bi uzak alan gözlem cinsinden ve eşdeğe yüzeyden itibaen alınan vektö Ek 2 GPR Polaizasyon ve GPR Antenle (devam) Şekil 20 de gözlem noktasında esas cisimden gelen alan yeine bu alanın eşdeğe yüzey üzeinde oluştuduğu akınlaın biiktiilmesiyle ifade edilen uzak alan değeleinin konulduğu gözlenmektedi. 254

ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı :Azu KOÇASLAN Doğum Yei :Ankaa Doğum Taihi : 16.05.1980 Medeni Hali :Bekâ Yabancı Dili :İngilizce Eğitim Duumu (Kuum ve Yıl) Lise :Ankaa Nene Hatun Lisesi (1997) Lisans :Ankaa Ünivesitesi Mühendislik Fakültesi Jeofizik Mühendisliği Bölümü (2004) Yüksek Lisans : Ankaa Ünivesitesi Fen Bilimlei Enstitüsü Jeofizik Mühendisliği Anabilim Dalı (Ekim 2005 Kasım 2008) 255