Bileşik Eğilme-Eksenel Basınç ve Eğilme Altındaki Elemanların Taşıma Gücü

Bileşik Eğilme-Eksenel Basınç ve Eğilme Altındaki Elemanların Taşıma Gücü GİRİŞ: Betonarme yapılar veya elemanlar servis ömürleri boyunca gerek kendi ağırlıklarından gerek dış yüklerden dolayı moment, eksenel, kesme ve burulma kuvvetleri gibi etkileri birlikte maruz kalabilmektedir. Yalnız basınca maruz elemanların kolon gibi ve yalnız eğilmeye maruz elemanların kiriş gibi çalıştığı düşünülebilir. Yalnız teknolojinin gelişmesi ile betonarme yapı elemanları çeşitli etkileri bir arada taşıyabilir özelliklere sahiptirler. Örneğin kolonlar eksenel basınç, hem eğilme momenti ve hem de kese kuvveti taşıyabilirler. Eksenel yük: Kolon eksenine paralel etki eden kuvvetlerdir. Kolon kendi ağırlığı, kolon üst ucuna bindirilen kirişlerden gelen tekil yükler, rüzgar deprem gibi yatay yüklerin etkisi kolonların devrilme karşı gösterdiği direnci tepki olarak oluşan kuvvetler (basınç ve çekme olabilir) vs. kolon eksenel yükünü oluştururlar. Eğilme momenti: Kolonlarda esas eğilme moment rüzgar ve deprem gibi yatay kuvvetlerin etkisi ile oluşur. Ancak kolonun karşılıklı iki tarındaki komşu açıklıkların oldukça farklı yüklenmesi, kenar ve köşe kolonların da olduğu gibi kolunun bir tarafında açıklık bulunmadığından dolayı sadece karşılıklı bir kenarından yüklenmesi, kirişlerin kolon merkezine oturmaması veya kolonda yapımdan kaynaklı oluşabilecek şakulden kaçmalardan oluşan eksantirisite de bazen önemli eğilme momentlerine sebep olabilmektedir. Betonarme kolon bir betonarme binada diğer yapı elemanları ile monolitik bir yapı oluşturur. Yukarıda da değinildiği gibi betonarme kolonlar eksenel yükün yanında eğilme momenti, kesme kuvveti ve bazen de burulma momentlerine beraber maruz kalabilmektedirler. Bundan dolayı kolonlar boyutlandırılırken daha önceki bölümlerde anlatıldığı gibi sadece eksenel yüklere göre bir boyutlandırma yapılmaz. Diğer etkilerin de göz önüne alınması gerekmektedir. Bu bölümde kolon elemanlarının hem eksenel basınç/çekme gerilmesi ve moment etkisinde kaldıkları göz önüne alınacaktır. 1

Betonarme kolonların kesit boyutları boylarına oranla küçük olduğunda, kolonlar genellikle narin elemanlardır. Yapılan incelemelerde perdeler ile rijitleştirilmiş yapıların yaklaşık %9'nında ve rijitleştirilmemişlerin yaklaşık %4'ında narinlik etkisinin ihmal edilebilir düzeyde oldukları görülmüştür. Şekil 1 de görüldüğü gibi eksenel bir yüke maruz kolonda y=e+e add kadar bir yerdeğiştirme oluşturur. Bu durumda kolona bir e dışmerkezlikten dolayı etki eden N.e momentine ilave olarak yerdeğiştirme nedeni ile ek bir momentte oluşacaktır. ikinci mertebe momenti olarak adlandırdığımız bu moment N.e add e eşittir. Bu durumda hesap momenti dışmerkezliğin oluşturduğu moment (birinci mertebe momenti) ve ikinci mertebe momentinin toplamıdır. Şekil 1 den de kolaylıkla anlaşılacağı gibi birinci mertebe momenti (N.e) kolon boyunca sabit olmasına karşılık, ikinci mertebe momenti (N.e add ) kolon boyunca değişmektedir. Bu nedenle yerdeğiştirmenin en büyük olduğu kolon ortasındaki toplam moment hesap momenti olarak değerlendirilir. İkinci mertebe momentleri yukarıda da değinildiği gibi çoğu kez ihmal edilemeyecek düzeylerde olduğundan hesaplarda göz önüne alınmalıdır. Her ne kadar betonarme elemanlarda yatay deplasmanların tam olarak belirlenmesi mümkün olmamakla beraber, Şekil 1 de görüldüğü gibi ikinci mertebe momentinin doğru hesaplanması yatay deplasmanların doğru hesaplanmasına bağlıdır. Şekil 1. Eksenel yük altında kolonlarda oluşan yerdeğiştirmeler Yerdeğiştirmelerin doğru olarak hesaplanamamasının başlıca etkenleri; lineer olmayan davranış, mesnet koşullarının belirsizliği, elastisite modülünün tam olarak hesaplanamaması,

zamana bağlı etkenler. İkinci mertebe momentlerinin taşıma gücü açısından sadece hesap momentinin artırır. Bu bölümde ikinci mertebe momentlerinin hesabına değinilmeyecektir. Öncelikle eksenel yük ve eğilme momenti etkisindeki bir betonarme kolunun genel davranışı ve taşıma gücü incelenecektir. Bu bölüm kapsamında ayrıca narinlik etkisi de incelenecektir. BİLEŞİK EĞİLME ALTINDAKİ ELEMANLARIN TAŞIMA GÜCÜ Şekil.a da eksenel yük ve momente (M=N.e) maruz genel bir dikdörtgen kesit verilmiştir. Bu kesitte örnek olsun diye üç sıra donatı verilmiştir. Kesitteki birim deformasyon dağılımı Şekil.b de verilmiştir. Birim deformasyona karşılık gelen beton basınç ve donatı çekme gerilmeleri ve karşı gelen kuvvetler Şekil.c de verilmiştir. N h c A s3 A cc A s s1 b fiber x p ε ci ε s ε s1 ε cu =.3 ε s3 x 3 x x 1 e a σ c f s3 =A s3 σ s3 F c =.85f cd A cc σ ci f s =A s σ s f s1 =A s1 σ s1 x c t.e. ağ.m a) b) c) Şekil. Eksenel yük altında kolonlarda oluşan yerdeğiştirmeler Bu bileşik eğilme problemin çözümü, iki denge ve yeterli sayıda uygunluk denkleminden oluşur. Uygunluk denklemlerinin sayısı, kesitteki donatı sırasına bağlıdır. Şekil de gösterildiği gibi üç sıra donatı için üç adet uygunluk denklemi yazılmalıdır. Aşağıda denge ve uygunluk denklemleri genel halleri ile verilmiştir. Bu denklemler aynı zaman da dikdörtgen kesitler için de geçerlidir. Denge Denklemleri: Yatay denge denklemi 3

Moment denge denklemi Uygunluk Denklemleri: Yukarıdaki denklemler problemin çözümünü sağlar. Denklemlerde basınç (+) ve çekme (-) olarak düşünülmüştür. Dolayısı ile denklemlerden elde edilen (+) değerler birim kısalma ve (-) değerler birim uzamaya karşılık gelmektedir. x i değerleri ağırlık merkezinin üstünde (+) ve altında (-) olarak göz önüne alınmalıdır. Kesit geometrisi, malzeme özellikleri ve donatı alanları bilindiğinde, yukarıdaki denklemler kullanılarak verilen M için N r veya verilen N için M r basit bir şekilde hesaplanabilir. Yukarıda verilen denklemler geneldir ve M= (eksenel basınç), N= (basit eğilme) ve aradaki bütün durumların taşıma gücünü tanımlamaya yeterlidir. Karşılıklı Etki Diyagramı Farklı yükleme durumlarını göstermek üzere tarafsız eksen derinliği c için çeşitli kabuller yapılarak her c için yukarıdaki denklemlerden M ve N çiftleri hesaplanabilir. Hesaplanan bu M ve N çiftleri kullanılarak, eksenel yükün moment ile değişimini gösteren bir eğri elde edilebilir. Şekil 3 de herhangi bir kesit için verilen bu eğri karşılıklı et diyagramı olarak adlandırılır. Eğri taşıma gücü denklemlerinden elde edildiğinden bir dayanım zarfı niteliğindedir. Bu eğrinin içine düşen herhangi bir M-N bileşimi kesit tarafından güvenle taşınabilir. Orijinden çizilen kesikli çizgiler kesite uygulanan eksantrisiteyi (dışmerkezlik) göstermektedir. Şekilde işaretlenen B noktası dengelidurumu göstermektedir. Buraad dengeli durumun tanımı kirişler iiçin yapılan tanım ile aynıdır. Bu noktadaki moment, eksenel yük ve eksantirisite Mb, Nb (dengeli yük) ve eb olarak gösterilmiştir. 4

N ( kn ) KARŞILIKLI ETKİ DİYAGRAMI 4 Basit basınç e<eb 3 B N b 1 e=eb e>eb Basit M b 1 3-1 eğilme Basit çekme - M ( knm ) Şekil 3. Karşılıklı et diyagramı 4 As As1 4 N<N b veya e>e b olduğu durumlarda, Şekil 3 te görüldüğü gibi, dış yüze en yakın çekme donatısı, beton ezilme konumuna ulaşmadan akacağından, sünek bir kırılma (çekme kırılması) oluşacaktır. N>N b veya e<e b olduğu durumlarda, Şekil 3 te görüldüğü gibi, dış merkezliğe bağlı olarak birim deformasyon dağılımı üçgen veya trapez olabilir. Her iki durumdada en dış lifteki beton ezilme konumuna geldiğinde (ε cu =.3) çekme yüzüne en yakın donatı çekme nedeni ile akma birim uzamasına ulaşmayacaktır. Ancak, tüm kesitte basıncın etkidiği durumlarda, söz konusu donatının basınca çalışması ve akma birim kısalmasına erişmesi mümkündür. Bu durumda gevrek basınç kırılması oluşacaktır. Kirişlerde kırılma türü çekme donatısı oranına balı olduğundan, donatı için bir üst sınır konularak gevrek kırılmaengellenebilir. Bileşik eğilmede ise, kırılma türü donatı oranından bağımsız olup, eksenel yük düzeyine veya dışmerkezliğe bağlıdır. Kolon kesit boyutları büyütülerek eksenel yükün dengeli yük düzeyinin altına inmesi sağlanabilir. Ancak böyle bir sınırlama ekonomik olmayabilir. Buna karşın, aşırı gevrek kırılmayı önlemek için şu önlemler alınabilir; 1- Sık yerleştirilmiş sargı donatısı ile süneklik artırılabilir, - Eksenel yüke bir üst sınır konularak, aşırı gevrek kırılmanın önüne geöilebilir. TS5 de eksenel yük.9f cd A c (.6f ck A c ) ile sınırlandırılmıştır. DBYBHY-7 de bu sınır biraz daha aşağı çekilmiştir; N d.75f cd A c (.5f ck A c ). 5

Basit donatılı bir kesitin maruz kalabileceği farklı durumlardaki M, N çiftleri aşağıda hesaplanmıştır. Hesaplanacak bu değerler kullanılarak bir kesitin bileşik eğilme altında taşıma gücünü belirlemede son derece kullanışlı olan karşılıklı etki diyagramı veya etkileşim diyagramı elde edilecektir. Bu işlem için e ye farklı değerler verilerek gerçekleştirilebilir. uzama kısalma M r ε cu =.3 III II N r IV I B Şekil 4. Güç tükenmesine karşı gelen kesit şekil değiştirme durumları B ε su =.1.1 Şekil 4 te güç tükenme durumlu noktalı düşey düz çizgi ile gösterilmiştir. Görüldüğü uzama için güç tükenmedurumu çeliğin %1 uzamasına ve basınç için güç tükenme durumu betonun %.3 birim kısalmasına karşılık gelemektedir. Bileşik eğilmeye maruz bir kesittte mümkün olan bütün göçme durumları Şekil 4 te verilmiştir. Bileşik eğilme etkisindeki bir kesitin güç tükenmesi için şekil değiştirme durumları A noksatından geçmek ve I ve II bölgelerinde bulunmak, B noktasından geçmek ve III veya IV bölgelerinde bulunmak zorundadır. Her bölgeden tipik bir şekildeğiştirme durumuna karşı gelen M ve N çiftleri hesaplanarak karşılıklı etki diaygramı çizilebilir. I-- Eksenel Basınç ve Çekme Durumu (e=, M=, N rb ve N rç ) Eksenel basınç durumunda birim deformasyon dağılımı kesitte düzgün yayılı olacaktır (Şekil 5) ve bütün donatılar akam birim deformasyonunu geçecektir. Bu durumda donatılardaki gerilme de Şekil 6 da görüldüğü gibi akma gerilmesine eşit olacaktır. Göçme durumu betonun.3 birim deformasyonuna ulaşması ile gerçekleşecektir Şekil 6. A s ε c =,3 ε s,85 fcd Fs A s1 ε yd Fc Fs1 Şekil 5. Eksenel basınç durumu (A s1 =A s ) 6

Şekil 6. Birim deformasyonlar ve karşı gelen gerilmeler Kesitin eksenel basınç kapasitesi; Eksenel çekme durumunda birim deformasyon kesitte gene düzgün yayılı olacaktır ve bütün donatılar akam birim deformasyonunu geçecektir. Bu durumda donatılardaki gerilme de Şekil 5 te görüldüğü gibi akma gerilmesine eşit olacaktır. Göçme durumu donatıların kopmauzaması olan ε cu değerine ulaşması ile gerçekleşecektir Şekil 5. Kesitin eksenel çekme kapasitesi; II- Basit Eğilme (N=, M r ) Çekme ve basınç donatıları birbirine eşittir (Şekil 7). Eksenel yük olmadığından denge altı durumu söz konusudur. Bu durumda çekme donatısındaki gerilme akma gerilmesine eşittir. Bu durum için kesitin taşıyabileceği eğilme momenti hesaplanacaktır. A s c ε c =,3 ε s ax,85 fcd Fc Fs A s1 ε s Fs1 Şekil 7. Basit eğilme durumu (A s1 =A s ) Öncelikle basit donalı (A s =) bir kesit hesap yapalım; Denge denklemi yazılırsa; 7

Acc=ab yerine yzılır; Moment denge denklemi yazılırsa; Bu denklemde ilgili yerler yazılırsa; olarak bulunur. Basit kirişin eğilme etkisi ile aynı durum elde edilmiştir. Moment basit olarak donatıda kuvvetin moment kolu ile çarpımına eşittir. Karşılıklı etki diyagramı için hesapları Şekil deki genel durum için aşağıdaki sırada gerçekleştirilebilir; 1- İlk önce e= basit basınç ve çekme durumları için Nr değerleri hesap edilir. ve - Dengeli durum için Nb ve Mb değerleri hesaplanır. Dengeli durumun tanımı gereği ε cu =.3 ve ε s1 = ε sy olduğundan birim deformasyon dağılım üçgenlerinden c ve esi değerli basit bir şekilde hesaplanır. Yatay ve moment denge denklemlerinden Nb ve Mb çifti hesaplanır. 3- Tarafsız eksen derinliği (c) ile ilgili yeterli sayıda (3-4 tane) bir varsayım yapılarak, karşı gelen M, N çiftleri hesaplanır. c için başlangıçta büyük bir değerden başlak dahauygun olabilir, örneğin c=1.h. 4- ε cu =.3 ve varsayılan c değeri ile tanımlanan birim deformasyon dağılımı kullanılarak gerekli olan bütün ε si değerleri kolaylıkla bulunabilir. Çeliğin gerilmeşekildeğiştirme ilişkisi kullanılarak bulunan şekildeğiştirmelere karşı gelen σ si değerleri hesap edilir. ε si değerleri birim deformasyon üçgenleri kullanılarak üçgen benzerliğinden hesap edilebilir. 8

5- Farklı düzeylerdeki donatıların taşıdıkları kuvvetler hesaplanır; F si =A si σ si. 6- Beton basınç bileşkesi hesaplanır; F c =.85f cd ab. 7- Varsayılan c değeri için M, N çifti moment ve yaty denge denklemlerinden hesaplanır. 8- Karşılıklı etki diyagramının çizimi için bir çok M, N çiftlerinden oluşan noktalara ihtiyaç vardır. Bu yüzden c için bir çok kez varsayımlar yapıp 3-7 adımları tekrar edilmelidir. Bu şekilde yeterli sayıda M, N çiftlerinden oluşan noktalarelde edildikten sonra M-N karşılıklı etkş diyagramı çizilir. Karşılıklı etki diyagramı Aşağıda şekilde kesit boyutları ve donatısı verilen kolunun karşılıklı etki diyagramını çiziniz. d'=4 mm, Beton sınıfı: C3 Donatı sınıfı: S4 As1=As=4 4 As As1 dp := 4mm Db := mm b := 4mm h := b 4 Db As1 := 4 π 4 As := As1 =.16m Ast := As1 + As =.513 1 3 m fck := 3MPa fcd := fck 1.5 = Pa fyk := 4MPa fyd fyk := = 36517391.3Pa Es := MPa 1.15 a ) Eksenel Çekme ve basınç Fs Fs1 Nç := ( Ast ) fyd = 917891.4N Mç := 9

ε c =,3 ε s,85 fcd Fs Fc ε yd Fs1 Nb = -91.8 kn Nç = 3595. kn Nb := Mb :=.85 fcd b ) Dengeli durumda taşınabilecek Nr ve Mr ( b h Ast ) + Ast fyd = 3595165.8N ε c =,3,85 fcd Fs x ε s a Fc Fs1 ε yd Birim deformasyon eğrisindeki üçgen benzerliğinden; εcu :=.3 εyd :=.185 d := 36mm εcu xb := d =.4m εcu + εyd a := Fc := εs.8 xb =.184m :=.85 fcd ( 4 4) 4 b a = 14899.5N.3 =.46 εyd değerinden büyük olduğundan basınç donatısı da akmıştır, gerilme akma gerilmesi olan fyd ye eşit olacaktır. Fs1 := Fs := As1 fyd = 458945.7N As fyd = 458945.7N Nrb := Fc + Fs Fs1 = 14899.5N Mrb := Fc h a h h + Fs1 dp + Fs dp = 8194J Nrb = 14.8 kn Mrb = 81.9 knm 1

c ) N= durumunda taşınabilecek Mr ε c =,3,85 fcd Fs x ε s a Fc Fs1 ε s εcu =.3 εyd =.185 ε = ε =, 3 c ε > ε ε s s cu yd > ε yd kabullerini yaparsak Fc =.85fcd*b*a=.85**4*.8x1 Fs11 := As1 fyd = 458945.7N ε s x d ' x 4 x 4 = εcu =, 3 σ s = ε s Es = 6 x x x Fs x 4 = As σs = 157 6 x Fc+ Fs Fs1 = x ε s + 5,976x 541,79 = x = 5 mm a = 5,8=43 mm 36 5 =,3 =,177 > ε 5 Fc = 5576x = 5576 5 = 89, 95 kn yd 5 4 Fs = As σs = 157 6 = 174 kn 5 ( / / ) ( / ') ( / ') M = F h a + F h d + F h d r c s1 s ( ) ( ) ( ) M = 89,95 43/ + 458,81 4 + 174 4 = 153 knm r Mr1 := 153J Nr1 := kn 11

d ) ε c =,3 ε s =,1 şekildeğiştirme durumu : εsu :=.1 εcu x := εcu + εsu d =.83m a :=.8 x =.68m Fc :=.85 fcd b a = 46337N εs := ( x dp) εcu =.1556 x bu değer akma şekildeğiştirmesinden küçük olduğundan basınç donatısı akmamıştır. σs := εs Es = 311111111Pa σs = 311 MPa Fs1 := As1 fyd = 458946N Fs := As σs = 39954N Nr := Fc + Fs Fs1 = 39545N Mr Fc h a := + Fs1 h dp + Fs h dp = 1853J Mr = 1.9 knm Nr = 395.3 kn Şekil Değiştirme Nr (kn) Mr (knm) Eksenel Çekme -917,61, Basit Eğilme, 153,1 εc=,3 ; εs=,1 394,33 1,68 εc=,3 ; εs=εyd 151, 81,95 Eksenel Basınç 3594,8, Moment := Eksenel := 1 153 1.7 3 8 4 5 1 3 4 5-917.6 394 1.51 1 3 3.595 1 3 1

4 KARÞILIKLI ETKÝ DÝYAGRAMI.3.3 Eksenel Kuvvet (kn) 3 Eksenel 1 e<e b e=e b ε s1 veya ε s1< ε yd.3 e>e b.3 ε s1 =ε yd 1 1 ε s1 >ε yd 3 Moment Moment (knm) Nr (kn) N dmax =.9f cd A c ρ min ρ max e min =15mm+.3h Mr (knm) KAYNAKLAR Uğur Ersor ve Güney Özccebe (1). Betonarme. Zekai Celep (9). Betonarme Yapılar. 13