Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları 2015-2016 Bahar Yarıyılı Prof.Dr. Engin ORAKDÖĞEN Doç.Dr. Ercan YÜKSEL 1
BÖLÜM VIII YAPI SİSTEMLERİNİN DİNAMİK DIŞ ETKİLERE GÖRE HESABI 2
Bu bölümün hazırlanmasında aşağıdaki kaynaklardan yararlanılmıştır. Dynamics of Structures Theory and Application to Earthquake Engineering Anil Chopra, Prentice Hall, Second Edition. Yapı Dinamiği ve Deprem Mühendisliğine Giriş, Zekai Celep, Nahit Kumbasar, Beta Dağıtım, İstanbul 2001. Yapı Dinamiğine Giriş Vedat Yerlici ve Hilmi Luş, Boğaziçi Üniversitesi Yayınevi, 2007. 3
Dinamik Dış Kuvvetler; Yapılar bulundukları ortama göre farklı yüklerin etkisinde kalabilirler. Rüzgar Yer sarsıntıları Patlamalar Trafik yükleri Makine sarsıntıları Hareket halindeki insanlar Bu tür yükler zaman içinde değişen titreşime yol açarlar. 4
3,0 2,0 1,0 0,0-1,0-2,0-3,0 K204H Horizontal Distance: 66 m 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 Time [sec] K210H Horizontal Distance: 85 m 5 Velocity [mm/sec]. 3,0 2,0 1,0 0,0-1,0-2,0-3,0 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 Time [sec] K213H Horizontal Distance: 124 m Velocity [mm/sec]. 3,0 2,0 1,0 0,0-1,0-2,0-3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 Time [sec] Velocity [mm/sec]. Dolgu zemin kompaksiyonu sırasında oluşan titreşimler ve merkezden uzaklaştıkça genliklerin küçülmesi
Hareketi Tanımlayan Parametreler; Hareket halindeki bir sistemin birim zamanda tamamladığı devir sayısına frekans denir. Daire üzerinde bir devir, 2π radyanlık bir açıya karşılık geldiğinden, açısal frekansı ω olan bir sistemin frekansı, f w = ω /2π olur. Frekans birimi (devir)/(birim zaman) olup, zaman saniye ise buna Hertz (Hz) denir. Sistemin bir devri tamamlaması için geçen süre ise hareketin periyodu olarak isimlendirilir ve T=1/f = 2π/ ω denklemiyle hesaplanır. 6
Yapı Matematik Modeli Dinamik hesaplar idealleştirilmiş yapı matematik modeli üzerinde idealleştirilmiş yükleme etkileri kullanılarak gerçekleştirilir. Gerçek sistemler, kütle dağılımlarının sürekliliği dolayısıyla sonsuz serbestlik derecesine sahiptir. Dinamik hesapların kolaylaştırılması için, kullanılan matematik modellerde sınırlı sayıda serbestlik derecesi kullanmak genelde başvurulan bir yöntemdir. Dinamik serbestli derecesi : Bir sistemin önemli tüm kütlelerinin pozisyonunu tanımlamak için gerekli olan bağımsız değişken sayısına denir. 7
Gerçek yapı sistemini temsil eden matematik model, sistemin sadece bir doğrultuda ötelenmesine ya da bir eksenini etrafında dönmesine izin veriyorsa tek serbestlik dereceli sistem, Gerçek yapı sistemini temsil eden matematik model, sistemin birden fazla doğrultuda ötelenmesine veya dönmesine izin veriyorsa çok serbestlik dereceli sistem adını alır. Tek serbestlik dereceli sistem Çok serbestlik dereceli sistem 8
Tek Serbestlik Dereceli Sistemlerin Hareket Denklemi Dinamik yükleme etkisindeki tek serbestlik dereceli sistemde; hareket eğilimi kütlenin ataleti, yay kuvveti ve sönümleme kuvveti tarafından kısıtlanır. Viskoz sönümleme kuvveti Elastik yay kuvveti f D f S f I Q(t) Atalet kuvveti Dış kuvvet f ( t ) + f ( t ) + f ( t ) = Q ( t ) I D S 9
Kuvvetler kütlenin hareketi cinsinden ifade edildiğinde; Newton un ikinci yasasına göre; bir kütlenin üzerine etkiyen atalet kuvveti o kütlenin momentumundaki değişime eşittir. Sabit kütleli sistemde 2 d du ( t ) d u ( t ) f I ( t ) = ( m ) = m = mu ɺɺ ( t ) 2 dt dt dt Viskoz bir sönümleyici için sönümleme kuvveti kütlenin hızı ile orantılıdır. ( ) f ( ) du t ( ) D t = c = cuɺ t dt 10
Yay ile sağlanan kuvvet de yay rijitliği ile yerdeğiştirme miktarının çarpımına eşittir. f S ( t ) = ku ( t ) Tek serbestlik dereceli sistemler için hareket denklemi mu ɺɺ ( t ) + cuɺ ( t ) + ku ( t ) = Q ( t ) Hareketin diferansiyel denklemi doğrusaldır. Tüm terimlerin sabit katsayısı vardır. Bunun sonucu olarak analitik çözüme ulaşmak kolaydır ve süperpozisyon ilkesi geçerlidir. Ancak katsayılardan biri sabit olmadığında; davranış doğrusal değildir ve çözüm zorlaşır. 11
Serbest Titreşimler Sistemdeki dış zorlama sona erdikten sonra da devam eden salınımlara serbest titreşim denir. 12
Sönümsüz serbest titreşim durumu: Serbest titreşen bir sistemde sönüm olmadığı varsayılırsa, hareket denklemi mu ɺɺ+ ku = u ( t ) = Be λt 0 2 λ t ( m λ + k ) Be = 0 2 λ = k m k λ 1,2 = 1 = 1 ω m Açısal frekans veya doğal frekans 13
Sönümlü serbest titreşim durumu; mu ɺɺ + cuɺ + ku = 0 Sabit katsayılı diferansiyel denklemin çözümü için u ( t ) = Be λt 2 λ t ( m λ + c λ + k ) Be = 0 2 m c k c k m m 0 + + = + 2 + = 0 2 2 2 λ λ λ ζωλ ω c m λ + λ + = = 2 ζω ζ c = Kritik sönüm oranı 2 ω m 14
Çözüm λ ζω ω ζ 1 2 = + 1 λ ζω ω ζ 2 2 = 1 Aşırı sönüm durumu ζ > 1 Kritik sönüm durumu Hafif sönüm durumu ζ = 1 ζ < 1 Uygulamada karşılaşılan yapı sistemleri küçük sönüme sahiptir. 15
Harmonik Zorlamalar Etkisinde Titreşimler Zaman tanım alanındaki değişimi sinüs veya kosinüs fonksiyonlarıyla tanımlanan dinamik etkilere harmonik etkiler denir. En genel biçimde harmonik yük; 2 π F ( t ) = F cos( Ω t φ F ) = F cos( t φ F ) T F Şeklinde verilir. Ω Kuvvetin frekansını T F = 2 π / Ω Kuvvetin periyodunu φ F Faz açısını gösterir. 16
Faz açısı sistemde oluşacak tepkilerin büyüklüğünü etkilemediğinden, harmonik kuvvetler F ( t ) = F cos( Ω t ) F ( t ) = F sin( Ω t ) biçiminde harmonik fonksiyonlar ile ifade edilebilir. Harmonik yükler sistemde uzun zaman boyunca etki ettiğinden, rölatif olarak kısa sürede sönümlenen geçici titreşimleri ihmal etmek genelde yapılan bir işlemdir. mu ɺɺ ( t ) + cuɺ ( t ) + ku ( t ) = F cos( Ω t ) Zorun harmonik olması durumunda çözümün de aynı frekansa sahip, harmonik bir fonksiyon olması beklenir. u ( t ) = B cos( Ω t ) + B sin( Ω t ) 1 2 17
Ω α = Zorun frekansının sistem frekansına oranı ω F 1 u ( t ) = cos( t φ ) k 2 2 2 (1 α ) + (2 ζα ) Ω F 1 u ( t ) = D ( α )cos( Ω t φ ) D ( α ) = 2 2 2 k (1 α ) + (2 ζα ) Zor frekansının sistem frekansına oranına bağlı bir fonksiyon 18
Tek serbestlik dereceli sistemde, değişik sönüm oranları ve a değerleri için dinamik büyütme faktörü 19
Kuvvet frekansı sıfıra yaklaştıkça yükleme statik bir hal alır. Kuvvet frekansı sistrem frekansına göre çok büyükse titreşimin neden olduğu yerdeğiştirme giderek sıfıra doğru azalır. Hafif sönümlü sistemlerde en büyük zorlanmaları yaratacak kritik durum, zorlanma frekansının sistem frekansına yaklaşmasıdır. Dış zorlanma frekansının sistemin frekansıyla örtüşmesi halinde görülen bu aşırı büyümeye rezonans adı verilir. 20
Mesnetlerin Titreşimi Deprem mühendisliği problemlerinde dinamik yükleme, mesnetlerin hareketi şeklinde ortaya çıkmaktadır. Tek serbestlik dereceli bir yapı sistemi, u b (t) mesnet titreşimlerine maruz kaldığında şekildeki gibi şekildeğiştirecektir. Kütlenin toplam yerdeğiştirmesi u t (t), taban yerdeğiştişmesi u b (t) tabana göre kütlenin göreceli yerdeğiştirmesi u(t) olmak üzere Atalet kuvveti kütlenin toplam ivmesine bağlı iken, viskoz sönümleme ve elastik yay kuvvetleri de sırasıyla göreceli hız ve göreceli yerdeğiştirmeye bağlı olacaktır. 21
U t (t) U b (t) U (t) u t ( t ) = u b ( t ) + u ( t ) 22
mu ɺɺ t + cuɺ + ku = 0 Toplam ivme uɺɺ t ( t ) = uɺɺ b ( t ) + uɺɺ ( t ) olduğundan mu ɺɺ + cuɺ + ku = mu ɺɺ b Şeklinde yazılabilir. Başka bir ifadeyle sistemin taban sarsmasına tepkisi, o sistemin tabanının sabit ve kütlesinin de dış yüklemesine maruz kaldığı durumdaki tepkiye eşittir. Q ( t ) = mu ɺɺ b ( t ) 23