Dokuz Eylül Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü İNŞ4 YAPI MALZEMESİ II BETONDA ŞEKİL DEĞİŞİ ĞİŞİMLERİ Doç. Dr. Halit YAZICI http://kisi.deu.edu.tr/halit.yazici
BETONUN DĐĞD ĐĞER ÖZELLĐKLERĐ BETONUN f-f DAVRANIŞI f f c f c 3 bm
σ σ σ Doğrusal Elastik Doğrusal Olmayan Elastik Doğrusal Olmayan Đç Sürtünmeli Elastik Diğer bir çok yapı malzemesi gibi, beton da belirli bir mertebeye kadar elastik davranış gösterir. Đdeal elastik bir malzemede deformasyon gerilmenin uygulanması ile ani olarak oluşur ve gerilmenin kaldırılması ile ortadan kalkar. Bu tanımlama doğrusal gerilme-birim deformasyon ilişkisini açıklıyor olsa da, Şekil de görüldüğü üzere elastik davranış betonda, camda ve bazı kayaçlarda olduğu gibi doğrusal olmayabilir.
GERİLME LME-ŞEKİL L DEĞİŞ ĞİŞTİRME İLİŞKİSİ ve ELASTİK K DAVRANIŞ Yük k altında belirli mertebede şekil değiştirme gösteren, g yük y kaldırıld ldığında ilk haline dönen d malzemelere elastik malzemeler denilmektedir. Malzemenin bu tür t r davranışı elastik davranış olarak tanımlanmaktad mlanmaktadır. Bu tür t r davranış ışta Hooke Kanuna uygun olarak gerilmelerle şekil değiştirmeler orantılıdır. r. σ= E Burada; σ: gerilme : Birim şekil değiştirme E. Elastisite modülünü ifade etmektedir.
Şekil den görüldg ldüğü üzere, agrega ve çimento hamurunun tipik gerilme-şekil ekil değiştirme eğrileri e doğrusal iken, eksenel basınç altında betonun davranışı doğrusal değildir. Bir başka deyişle, kompozit bir malzeme olan betonun özellikleri, bileşenlerinin enlerinin özelliklerinin toplamı olarak düşünülmemelidir Gerilme agrega beton Çimento hamuru Birim şekil değiştirme
Şekil de betonun basınç yüklemesi ve yükün n kaldırılmas lması sırasındaki gerilme- birim deformasyon ilişkisi görülmektedir g gerilme basınç dayanımı yükün boşaltılması kalıcı deformasyon Birim deformasyon
Şekil de farklı dayanım m sınıflars flarındaki betonların n tipik gerilme-birim deformasyon eğrileri e gösterilmig sterilmiştir. tir. Aynı gerilme/dayanım m oranında nda beton ne kadar mukavemetli ise birim deformasyonu da o kadar yüksektir. 1 MPa basınç dayanımına na sahip bir betonda en büyük b gerilmede birim deformasyonun tipik değeri eri 3-4.13 4.1-33 iken MPa lık bir betonda bu değer er.1-3 e e karşı gelir. Ancak, dayanım m bir kenara bırakıldığında yüksek y dayanıml mlı betonların n elastisite modülü daha yüksek olduğundan undan aynı gerilme değerinde erinde mukavemeti yüksek y olan beton daha az deformasyon yapar Dayanım (MPa) 8 6 4 C8 C4 C5 1 3 4 Birim Şekil Değiştirme (1-6 )
Betonun f-ilif lişkisini Tanımlamak İçin Geliştirilmi tirilmiş Bağı ğıntılar Beton için i in gerilme-birim deformasyon eğrisi e sadece bir malzeme özelliği i olmayıp p deney koşullar ullarından da etkilenmektedir. Dolayısıyla, yla, gerilme-birim deformasyon eğrisi için i in bir denklem formüle etmek oldukça a güçg üçtür. Ancak, böyle b bir bağı ğıntı, yapısal analiz için i in oldukça a kullanış ışlıdır. Bu sebeple betonun gerilme-birim deformasyon ilişkisini bağı ğıntılarla temsil edebilmek için i in bir çok çalışma yapılm lmıştır.
Bunlar arasında, eğrinin e özelliklerine bağlı olarak tanımlanan Voellmy bağı ğıntısından ndan söz z etmekte fayda vardır. r. Denklem şu şekilde kurulmuştur: Bir i ye karşı şıt t fi, alıns nsın, n, şekil değişimi imi i den itibaren kadar artarsa, gerilme de f f kadar artacaktır. r. Yalnız z (i),( (( o ) a a ne kadar yakın ise, aynı 'na karşı şıt t gelen f f o kadar küçüktür.
f Bu özellik göz g önüne ne alınarak aşağıdaki diferansiyel denklem yazılabilir: df df d = K( ) d denkleminin integrali şu şekilde hesaplanabilir: f = K. f = K.
Sınır şartlarından = iken f = f c olmaktadır. Bu nedenle K parametresi şu şekilde hesaplanabilir: f = K. c = - K ( ) K = - ( fc ) ( )
K yerine konulursa, K yerine konulursa, ( ) ( ) ( ) ( ) = =. f. f - f c c ( ) ( ). f f c = = c f f Bu denklem 1 < değerleri için geçerlidir
Bir diğer bağı ğıntı Smith ve Young tarafından önerilmiştir. Smith ve Young bağı ğıntısının n deney verilerine daha iyi uyum sağlad ladığı ifade edilmektedir. f 1- = f e c
Betonun f - eğrisinin, o'dan büyük b k birim kısalmalara karşı şıt t gelen düşüşd bölgesinin de, betonarme elemanların n davranış ışlarında önemli yeri vardır. r. Yapılan çalışmalar, doğrusal bölge b dışındaki zorlamalar altında, en dışd ıştaki lifin birim kısalma değeri eri o'a ulaştığı ığında kırılma k durumuna hemen ulaşı şılmadığını ve elemanın n yük y k taşı şımaya devam ettiğini ini göstermig stermiştir. tir. Bu davranışı ışın kaynağı f - eğrisinin, o o 'dan büyük b k birim kısalmalara karşı şıt t gelen düşüşd kısmıdır. Eğrinin E bu özelliğinden inden dolayı,, en dışd ıştaki lif taşı şıma gücüg kapasitesine ulaşı şınca, aşıa şırı gerilmeleri daha az zorlanan komşu u liflere aktarmaktadır. r. Bu olay gerilmelerin yeniden dağı ğılımı (redistribution) adını alır. Bu davranış nedeniyle Betonarmede Taşı şıma GücüG hesap kavramı ve yöntemi y doğmu muştur.
Poisson Oranı Eksenel yüke y maruz kalmış bir malzemede elastik bölge içerisinde i yanal birim deformasyonların eksenel birim deformasyona oranı Poisson oranı olarak adlandırılır. r. Betonun Poisson oranı.15 ile. arasında değişir. ir. µ = y y: yanal birim şekil : eksenel birim şekil değiştirme
ELASTİSİTE TE MODÜLÜ Malzemenin elastisite modülü veya elastik modülü rijitliğinin inin bir ölçüsüdür. Diğer bir deyişle malzemenin şekil değiştirmeye karşı koyabilme kapasitesini gösterir. g Betonda değişik ik sebeplerle oluşan şekil değiştirmelerin ve gerilmelerin hesabı için in elastisite modülünün n bilinmesi gereklidir. Yük Y k altındaki basit elemanlarda gerilmelerin ve karmaşı şık k yapılarda momentlerin ve sehimlerin hesabı için in de elastisite modülüne ihtiyaç vardır. r.
Basınç veya çekme altında betonun statik elastisite modülü eksenel yükleme y altında gerilme-birim deformasyon eğrisinin e eğimi e olarak verilir. Betonun gerilme-birim deformasyon eğrisinin e doğrusal olmayan karakterinden dolayı elastisite modülünün bulunmasında nda zorluklar yaşanmaktad anmaktadır. Bu nedenle elastisite modülünün n hesabında farklı tanımlar geliştirilmi tirilmiştir
ELASTİSİTE TE MODÜLÜ f f c Teğet Modülü.4 f c f - eğrisine herhangi bir noktada çizilen teğetin eğimine ise Teğet Modülü denir. Uygulamada bu teğet yaklaşık olarak eğrinin.4 fc gerilmesine karşıt gelen noktası esas alınarak çizilir.
ELASTİSİTE TE MODÜLÜ f Başlangıç Modülü f c Betonun bir başka elastisite modülü, Et ile gösterilen, f- eğrisinin başlangıçtaki teğetinin eğimidir (Et = tanα).
ELASTİSİTE TE MODÜLÜ f f c Sekant Modülü Sekant modülü, f - eğrisinin herhangi bir noktasını, koordinat merkezine birleştiren doğrunun eğimidir. Gerilmenin değeri ile değişir. Bu nedenle, sekant modülünün hesaplandığı gerilme değeri belirtilmelidir. Gerilme değeri, dayanımın (fc) belirli bir oranı olarak seçilir. Bu oran Đngiliz standardında %33 Amerikan standardında ise %4 olarak öngörülmüştür.
Yukarıdaki tüm t m Elastisite modüllerinin kullanımında nda bazı sorunlar vardır. r. Örneğin, bu tanımlamalar basınç dayanımının n mertebesine ve yükleme y hızına h göre g farklı değerler erler alabilir. Daha güvenilir g bir değer er olarak, Ed ile gösterilen Dinamik Elastisite modülü tanımı geliştirilmi tirilmiştir. tir. f- eğrisinin şekli uygulanan gerilmenin hızına h bağlı olduğundan, undan, yükleme y hızına h bağlı olarak Et de değişir. ir. Hız H arttıkça a Et daha büyük b k değerler erler alır. Yalnız z Et nin bu şekilde artışı ışının n da bir sınırıs vardır. r. Gerilmenin artım m hızıh belirli bir değerin erin üstüne çıkacak olursa, elde edilecek f-f eğrileri hep başlang langıçtaki aynı bir OA doğrusuna teğet et olur. Bu karakteristik başka bir deyişle, Et nin alabileceği i en fazla değerdir. erdir. Genel olarak en çok -4 4 dakika süren, s bir basınç deneyinden elde edilen, f-f eğrisinin başlang langıç teğetinin etinin eğimi e Ed, dinamik elastisite modülü olarak kabul edilebilir. Dinamik elastisite modülü ultrasonik ölçümlerle de bulunabilmektedir. Dinamik elastisite modülü, gerilmenin büyüklb klüğüne ve gerilme artım m hızına h bağlı olmadığı ığından, diğer elastisite modüllerine kıyasla k daha güvenilirdir. Yüksek Y dayanıml mlı betonlarda daha büyük b değerler erler alır.
Bazen deney sırass rasında, gerilme- birim deformasyon eğrisinin e başlang langıcı içbükey olarak gözlenir. Böyle B durumlarda gerilme- birim deformasyon eğrisi e üzerindeki iki nokta arasında çizilmiş doğrunun eğimi e olan Chord (kiriş) Modülünün kullanımı tercih edilebilir. Çoğu u standart betonun elastisite modülünün n ve Poisson oranının n bulunması için in kiriş metodunu tanımlar. Bu amaçla, 15 x 3 mm lik silindir örnekler kullanılır. Deformasyonlar komparatör (dial gage) veya strain gage ile ölçülür r (Şekil( 11.1). Sünme S olayını devre dışıd bırakmak ve komparatörün n oturmasını sağlamak amacıyla deney sırass rasında en az iki ön n yükleme y yapılır.
Elastisite modülü deneysel yöntemler y dışında şu şekillerde de hesaplanabilir: f- eğrisi için i in kabul edilen fonksiyonun 'na göre türevi, t = durumunda betonun elastisite modülünü verir. Örneğin, Voellmy parabolü betonun f-f eğrisini simgeliyorsa ;.fc. f = fc - = ( ) f c bağıntısının na göre türevi df d =.f c - ( ) f c = için df d =.f c E =.f c
Smith - Young fonksiyonunun betonun f-f davranışı ışını simgelediği i varsayılırsa ; f 1- = f e c fonksiyonunu n na göre türevi alınırsa df d 1-1- 1 1 = + f c e fc. e df d 1-1- 1 1 = + f c e fc. e = için df *e = E = d
Ayrıca deneysel çalışmalardan yararlanarak, elde edilen ampirik formüllerden elastisite modülü tahmin edilebilir Bu bağı ğıntılardan biri L'Hermite formülüdür E = K f c Đlişkideki K parametresi 18-3 arasında değerler alabilmektedir.
Amerikan Beton Enstitüsünce nce belirlenen bağı ğıntıya göre g (ACI Building Code 318-9) Normal ağıa ğırlıklı betonlar için i in (ρ=3( kg/m3) E = 4.73 f c c fc<4 MPa E = 3.3 f 6.9 4<fc<8 MPa c c + E = 3.65 f c c 8<fc<14 MPa
TS 5 de ise betonun basınç dayanımına na bağlı olarak elastisite modülünün n aşağıa ğıdaki bağı ğıntıyla hesaplanabileceğini ini belirtmektedir E = 35 f + cj ckj 14
Elastisite modülü ayrıca ultrases yöntemiyle de saptanabilir L uzunluğunda unda bir beton üzerinde özel aygıtlarla üretilen ultrases dalgalarının, n, beton elemanın n bir ucundan diğer ucuna varabilmesi için, i in, geçen en (t) zamanı mikrosaniye mertebesinde ölçülür. Beton içindeki indeki V ses hızı h ; V = L t olarak cm/s boyutunda bulunur E = V x δ g bağıntısından E hesaplanabilir. Burada δ betonun birim hacim ağırlığı, g yerçekimi ivmesidir
Boyut değişimi yapıldığında bağıntışu şekle gelir : E = 1 5 xv x δ 9.81 Burada, V km/sn, δ kg/lt, E kgf/cm birimlerinde alınır
Tablo da farklı sınıflardaki betonların n basınç dayanımlar mları kullanılarak larak elastisite modülleri değişik ik standartlara veya bağı ğıntılara göre g hesaplanmış ıştır. Elastisite Modülü (MPa) f c (MPa) TS5 ACI CEB Smith- Young Voellmy 8534 1153 788 71 3 3181 597 318 35348 687 4 34555 9915 3419 4336 3 5 36981 3376 36764 45167 33333 8 4369 36595 43 767 53333
ÖRNEK - 1 ÖRNEK SORULAR cm ayrıtl tlı bir beton küp k üzerinde yapılan basınç deneyinde; 1 tonluk yük y k altında betonun 1,6x1 - mm kısaldk saldığı,, 6 ton yük y altında ise,83x1 - mm kısaldk saldığı ölçülmüştür. Bu sonuçlara göre g betonun σ- (f-) ) davranışı Voellmy Parabolü ile simgelenmekte ise betonun olası basınç dayanımını bulunuz.
ÇÖZÜM: f 3 15 A B f < f 3 ise f-f doğrusal davranış gösterir. 4,15 8 (x1-5 )
f = f c ( ) 6 f1 = = 15 kgf / cm * 1 f = = 3 kgf / cm * 1,83*1 = = 4,15*1 5 1, 6*1 = = 8*1 5
AB nin eğimi e yaklaşı şık k olarak betonun E si E kabul edilebilir. E f c 3 15 E = = 3,9*1 kgf / cm 5 (8 4,15)*1 5 (Voellmy bağıntısının na göre türevi alınır, = verilirse = bulunur.) ( =tepe noktasında birim şekil değiştirme) 5 5 3,9*1 = fc fc 1,95*1 = f=3 için 5 = 8*1 (3<f c /3) 5 5 f 8*1 3 = 8*1 * c ( )
8*1 5 5 5 3 = 8*1 *1,95*1 ( ) 5 5 8*1 8*1 1,9 =, 8 = = 14*1 5 f c = 1,95*1 idi. f = 1,95*1 *14*1 = 3 kgf / cm 5 5 5 c
ÖRNEK - ÖRNEK SORULAR 15 cm çaplı,, 3 cm yükseklikli y beton silindir örnekleri ortalama 56 ton basınç yükünde kırılmk lmışlardır. r. Kırılma K anında nda ise,6 mm kısalmk salmışlardır. r. Betonun f-f davranışı Smith Young fonksiyonu ile simgelenmektedir. a)basınç dayanımını ve kırılma k anındaki ndaki birim şekil değişimini imini hesaplayınız. b)elastisite modülünü hesaplayınız. c)bu malzemeden yapılm lmış 4* cm enkesitli,,5 m yükseklikli kolonun en fazla 1,5 mm kısalma k yapmasına izin verilmektedir. Söz S z konusu kolona kaç ton yük y k emniyetle yüklenebilir? (Emniyet katsayısı=,5)
a) 56* 4 fc = = 316, 9 kgf / cm π *15,6 = = 3 *1 3 f = f c ( ) f f c=316,9 kgf/cm B =*1-3
b) Elastisite modülü f fc e (1 ) = Smith-Young fonksiyonunun a göre türevi alınıp = için değeri bulunursa E fc* e = olarak elde edilir. 361,9* e E = = kgf cm e = 3 *1 5 4, 3*1 /, 718
c) l = 1, 5mm izin verilen kısalma 4 l 1, 5 = = = L 5 5*1 4 5 4 5*1 = = 3 *1, 5 f = 316,9*, 5* e = 167, 7 kgf / cm (1,5) P = 167, 7* * 4 = 134176kg 134176 Pemn = = 5367kg Pemn = 53,5ton,5
ÖRNEK - 3 ÖRNEK SORULAR 1*1*5 cm ayrıtl tlı bir beton prizma üzerinde eksenel doğrultuda yapılan ultrases deneyinde sesin 5 cm lik boyu 18 mikrosaniye de geçti tiği i saptanıyor. Bu betondan yapılacak 75 cm yükseklikli y ve 4*4 cm enkesitli bir kolon 91 kg lık k düşey d ve eksenel yük y k altında ani olarak ne miktarda kısalk salır? Varsayımlar; betonun f-f davranışı voellmy parabolüne uymaktadır. L Hermitte formülü geçerlidir. erlidir. K= alınacakt nacaktır. Betonu birim hacim ağıa ğırlığı,4 kg/lt dir. Kolonun kendi ağıa ğırlığı ve burkulma ihmal edilecektir.
Betonun içindeki ses hızı V=L/t (cm/sn) V 5 18*1 5 = = 3,91*1 cm / sn 6 veya 3,91 km/sn E g 5 = 1 * V * =, 4 / kg lt g=9,81 cm/sn,4 E = 1 *3,91 * = 3733 kgf / cm 9,81 5 E = K f c (L Hermitte formülü) 3733 = f f = 348 kgf / cm c c Voellmy bağıntısından elastisite modülü E = f c f = f c ( ) *348 3733 = 3 = 1,867*1
4*4 cm enkestli kolonda 91 kg lık yük altında oluşacak gerilme; 91 f = = 57 kgf / cm 4*4 f = f c ( ) Voellmy 57 = 348 ( ) 3 3 3 1,867*1 1,867*1 = 1,867*1 x 57 = 348 x( x),164 = x x x x +,164 = 4 4*,164 x1, = m x1 = 1,91 x =, 855 1 < olacağında x kökü kullanılmalıdır.
f B = 1,867*1 (, 855) = 1, 6*1 3 4 f i i h = h = = 4 4 mm 1,6*1 1, 6*1 * 75, 451 mm
BETONUN DĐĞD ĐĞER ÖZELLĐKLERĐ BETONUN ZAMANA BAĞLI DAVRANIŞI SÜNME f t t
BETONUN DĐĞD ĐĞER ÖZELLĐKLERĐ BETONUN ZAMANA BAĞLI DAVRANIŞI SÜNME RÖTRE YORULMA
Dokuz Eylül Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü İNŞ4 YAPI MALZEMESİ II BETONDA ŞEKİL DEĞİŞİ ĞİŞİMLERİ Doç. Dr. Halit YAZICI http://kisi.deu.edu.tr/halit.yazici