S2. İnova kimya İşletmesi, aşağıdaki özellikleri taşıyan ürün üretmektedir:

Transkript

1 Ödev soruları S1. Kimsan kimya firması X ve Y gibi iki tip kimyasal madde üretmektedir. 1 litre X ürününün maliyeti 160 TL., 1 litre Y ürününün maliyeti ise 240 TL. dir. Müşteri talebine göre, firma, gelecek hafta için en az 6 litre X ve en az 2 litre Y ürünü üretmelidir. X ve Y kimyasal ürünlerinde kullanılan hammaddelerden birisinin sunumu azdır ve sadece 30 gr. sağlanabilmektedir. X ürününün bir litresinde bu hammaddeden 3 gr. ve Y nin litresinde de 5 gr. gerekli olmaktadır. İnci firması, toplam maliyetini minimize etmek için X ve Y ürünlerinden kaçar litre üretmesi gerektiği konusunda çok büyük bir kararsızlık içerisine girmiştir. Bu soruyu yanıtlayacak modeli kurunuz. S2. İnova kimya İşletmesi, aşağıdaki özellikleri taşıyan ürün üretmektedir: Yanma Noktası ³ (en fazla) Özgül Ağırlığı ³ 1.00 (en fazla) a muhtevası % 8 hacim olarak (en az) b muhtevası % 3 hacim olarak (en az) İşletmenin ürünü, litresi sırası ile 16 TL., 20 TL. ve 25 TL. olan A, B ve C ara mallarından elde edilebilmektedir. Bu üç ara malın özellikleri aşağıdaki gibidir: A B C Yanma Noktası Özgül Ağırlığı a muhtevası b muhtevası Üretici, yukarıdaki koşullara uygun olarak ürününü en düşük maliyetle üretmek istemektedir. Buna göre problemin doğrusal programlama modeli nasıl olur? S3. Sütsan şirketi kapasite sorunu yüzünden günde kg. dan daha çok süt işleyememektedir. Yönetim, yağ veya işlenmiş süt için kullanılan sütün dengelenmesi için peynir fabrikasında en az kg. lık günlük süt kullanmak istemektedir. Bir kg. sütün yağ üretimi için kullanıldığında, kara katkısı, 4 TL., şişe sütü olarak kullanıldığında katkısı 8 TL. ve peynir üretimi için kullanıldığında ise katkısı 6 TL. dir. Yağ bölümü günde kg., süt şişeleme donanımı günde kg., peynir donanımı ise günde kg. süt işleyebilir.

2 Şirket karını maksimize etmek istediğine göre problemi doğrusal programlama modeli olarak ifade ediniz. S4. Pilsan şirketinde üretilen pillerin üç ayrı aygıt ile kontrolü yapılmaktadır. Bu aygıtlar 1. derecede, 2. derecede ve 3. derecedeki aygıtlardır. Tombulmüge, 8 saatlik çalışma gününde en az 1600 pilin kontrol edilmesini istemektedir. Ücretler, kalite kontrolün doğruluk yüzdeleri ve saat başına kontrol oranları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Denetleyici Saat Başına Ücret (TL) Doğruluk (%) 1. Aygıt Aygıt Aygıt Saat Başına Kontrol Sayısı Her bir hatalı kontrol işletmeye 40 TL. a mal olmaktadır. 1. Aygıtta 9, 2. Aygıtta 13 ve 3. Aygıtta da 12 denetleyici çalışmaktadır. Müge, minimum maliyette kalite kontrolü yürütecek her üç aygıttaki kişilerin sayısını belirlemek istemektedir. Buna göre Müge ye yardım edip, problemi doğrusal programlama modeli halinde düzenleyiniz. S5. Taşsan firmasının üç fabrikası vardır ve her fabrikada üç ayrı boyda makina parçası üretilmektedir. Üç boyda makina parçasının satışından elde edilen birim karlar şöyledir: büyük boy için 600 TL., orta boy için 600 TL. ve küçük boy içinse 540 TL. Üç fabrikadaki emek ve makina güçlerine göre 1 nolu fabrikada haftada ancak800birim, 2 nolu fabrikada 650 birim ve 3 nolu fabrikada 450 birim ürün üretilmektedir. Fabrikaların stoklama alanı sınırlıdır. 1 nolu fabrikanın 1400 m2, 2 nolu fabrikanın 1250 m2 ve 3 nolu fabrikanında 800 m2 lik stoklama alanları vardır. Büyük boy parçanın haftalık üretiminde 2.5 m2, orta boy parçanın üretiminde 2 m2 ve küçük boy parçanın üretimi için 1.5 m2 yere gerek vardır. Satış bölümünün tahminine göre haftada büyük boy parçadan 800, orta boy parçadan 900 ve küçük boy parçadan ise 600 birim satılabilmektedir. Öte yandan, yönetim üç fabrikada üretilen malların göreli sayısının emek ve makine kapasitelerine denk oranda olmasını istemektedir. Taşsan, karını en çok yapabilmek için üç fabrikada, her bir boydan ne kadar birimlik ürün üretilmesi gerektiğini saptamak istemektedir. Problemi doğrusal programlama modeli olarak geliştiriniz. S6. Bir oyuncak üreticisi plastik ve montaj departmanlarından oluşan atölyesinde A ve B tipinde iki farklı oyuncak üretmektedir. Her iki departmanda ikişer iş-gören çalışmaktadır. Her işgören günde 7.5 saat çalışmaktadır. Bir adet A tipi oyuncağın plastik departmanında işlenmesi için gerekli süre 4 dakika, montaj departmanında işlenmesi için gerekli süre 2 dakikadır. Benzer bir şekilde bir adet B tipi oyuncağın plastik departmanında işlenmesi için gerekli süre 1 dakika, montaj departmanında işlenmesi için gerekli süre 3 dakikadır. Oyuncakların birim katkıları sırasıyla TL ve TL dır. Üretici yukarıdaki

3 koşullara uygun olarak üründen en yüksek katkıyı sağlamayı amaçlamaktadır. Yukarıdaki verilere bağlı olarak oyuncak üreticisinin karar probleminin doğrusal programlama (DP) modelini kurunuz. S7. KOTOSAN araba ve kamyonet almak üzere iki farklı tipte ürün üretmektedir. Firma, potansiyel müşterilerinin yüksek gelir düzeyli bay ve bayan müşteriler olduğunu belirlemiştir. KOTOSAN yöneticileri, bu kitleye ulaşmak için komedi programlarında ve futbol maçı yayınlarında 1 dakikalık reklam vermeyi planlamaktadır. Her bir komedi programının 7 milyon yüksek gelir düzeyli bayan ve 2 milyon yüksek gelir düzeyli bay müşteri tarafından izlendiği tespit edilmiştir. Öte yandan, her bir futbol maçının 2 milyon yüksek gelir düzeyli bayan, 12 milyon yüksek gelir düzeyli bay tarafından izlendiği tespit edilmiştir. Komedi programlarında yayına girecek olan bir adet 1 dakikalık reklamın maliyeti 5 milyar TL, futbol maçlarında yayına girecek olan bir adet 1 dakikalık reklamın maliyeti ise 10 milyar TL'dir. Firma, reklamların en azından 28 milyon yüksek gelir düzeyli bayan ve 24 milyon yüksek gelir düzeyli bay müşteriler tarafından izlenmesi amaçlanmaktadır. Bu verilere bağlı olarak KOTOSAN'ın reklam maliyetini en küçükleyen DP probleminin modelini kurunuz. S8. Bir üniversitenin kantininde kakaolu kek, elmalı kek, dondurma ve lokma olmak üzere dört çeşit tatlı satılmaktadır. Her tatlı çeşidinin fiyatı sırasıyla aşağıdaki gibidir: 1 dilim kakaolu kek T.L. 1 dilim elmalı kek T.L. 1 kepçe dondurma T.L. 1 kutu lokma T.L. Ayşe her gün en azından 500 kalorilik tatlı yemek istemektedir. Ayrıca günde en azından 180 gram kakaolu, 300 gram şekerli ve 240 gram yağlı besin almak istemektedir. Her bir tatlının besin değeri Tablo 2 de verilmiştir. Ayşe'nin en az maliyetle yiyebileceği günlük tatlı miktarını belirleyen DP probleminin modelini kurunuz. TABLO: Tatlı Çeşitlerinin Besin Değerleri TATLI ÇEŞİTLERİ KALORİ KAKOLU BESİN(gr:) ŞEKERLİ BESİN (gr.) Ç.K E.D D L YAĞLI BESİN(gr.)

4 S9. MOTOSAN araba ve kamyonet olmak üzere iki farklı tipte ürün üretmektedir. Her bir araba, boyama ve montaj departmanında işlenmektedir. Eğer boyama departmanında sadece kamyonetler boyanırsa, günde sadece 40 adet kamyonet boyanmaktadır. Eğer boyama departmanında sadece arabalar boyanırsa, günde sadece 60 adet araba boyanmaktadır. Eğer işleme departmanında sadece kamyonetler işlenirse günde sadece 50 adet kamyonet işlenmektedir. Eğer işleme departmanında sadece arabalar işlenirse günde sadece 50 adet araba işlenmektedir. Her bir kamyonetin birim katkısı TL ve her bir arabanın birim katkısı TL'dır. MOTOSAN ın toplam katkısını en büyükleyen günlük üretim miktarını belirleyen DP probleminin modelini kurunuz. S10. Bir firma, E1 ve E2 olmak üzere İki farklı tipte elektrikli mutfak eşyası üretmektedir. Her iki ürün işletmede bulunan işleme, montaj ve kalite kontrol departmanlarından geçerek üretilmektedir. Departmanların haftalık kapasiteleri sırasıyla 450 saat, 350 saat ve 300 saattir. Her bir adet E1 üretimi için 3 saat işleme departmanı süresi, 4 saat montaj departmanı süresi ve 3 saat kalite kontrol departmanı süresi gerekmektedir. Her bir adet E2 üretimi için 2 saat işleme departmanı süresi, 6 saat montaj departmanı süresi ve 3 saat kalite kontrol departmanı süresi gerekmektedir. Pazarlama departmanının verilerine göre haftada en fazla 75 adet E1 ve en fazla 50 adet E2 üretilmesi gerekmektedir. Ayrıca, yine pazarlama departmanının verilerine göre haftada 20 adetten daha az E1 ve 15 adetten daha az E2 üretilmemesi gerekmektedir. Son olarak, E1 in üretim miktarının en az E2 nin üretim miktarına eşit olması gerekmektedir. E1 in birim katkısı TL, E2 nin birim katkısı ise TL dır. Bu verilere bağlı olarak üreticinin üretim planına ilişkin doğrusal programlama probleminin modelini kurunuz. S11. Orman planlama biriminde yer alan iki adet bölmenin üretim işlerini gerçekleştirmek için orman ürünleri hammaddesini işleyen özel bir şirket ile anlaşmıştır. Şirketin amacı, sahip olduğu üç adet kaynağı (işçi, dal kesme makinası ve kamyon) bu iki bölmede yapılacak üretim işine tahsis ederek net geliri eniyilemektir. 2 numaralı bölmeden elde edilen odun ürerimi net geliri 20 TL iken, 1 numaralı bölmeden elde edilen odun ürerimi net geliri 10 TL dir. Odun üretimini gerçekleştirmek için şirket 4 işçi, 3 dal kesme makinası ve 2 adet kamyona sahiptir. Her bir kaynak günde en fazla 9 saat çalışabilmekte olup ilgili veriler aşağıdaki tabloda verilmiştir. Şirketin problemini çözecek doğrusal programlama modelini kurunuz. S12. İki işletme üç çeşit tomruk üretmektedir. Üç farklı tomruk satışından elde edilen birim satış gelirleri sırasıyla şöyledir: Kaplamalık tomruk için 80, Kerestelik tomruk için 60 ve

5 Sanayi odunu için 54 tür.1 nolu işletmede 800 m3 ve 2 nolu işletmede 650 m3 tomruk ancak üretilmektedir. Üretim işlerine ayrılacak yıllık bütçe de belirlenmiştir. 1 nolu işletmenin bütçesi 1400TL ve 2 nolu işletmenin bütçesi ise 1250TL dir. Kaplamalık tomruğun birim üretim giderleri 20TL, kerestelik tomruk 15TL ve sanayi odunu 10TL dir. Pazarlama bölümünün tahminine göre, işletmeler yılda kaplamalık tomruktan 800m3, kerestelik tomruktan 900 m3 ve sanayi odunundan 600 m3 ancak satabilmektedir. Her iki işletmede de üretilecek tomruk miktarlarının eşit olması gerekmektedir. İki işletmede her bir tomruk türünden ne kadar ürün üretilmesi gerektiği saptanmak istenmektedir. Problemin doğrusal programlama modelini kurunuz. S hektarlık tarım alanına sahip olan bir kişi toprağının işlenmesi için üç çiftçiyle anlaşmakta ve çiftçilerin kapasitelerine göre bu alanı üç parçaya ayırmaktadır. Buna göre, 1.çiftçiye ayrılan toprağın genişliği 500, 2. çiftçiye ayrılan toprağın genişliği 800, 3. çiftçiye ayrılan toprağın genişliği 700 hektardır. Toprak sahibi her bir çiftçi için ayrılan kısımda mısır, bezelye ve soya yetiştirilmesini istemektedir. Ancak, mısır için ayrılan toplam alanın 900, bezelye için ayrılan toplam alanın 700, soya için ayrılan toplam alanın 1000 hektar dan fazla olmasını istememektedir. Hektar başına mısırdan elde edilecek kar 400 milyon TL., bezelyeden elde edilecek kar 300 milyon TL ve soyadan elde edilecek kar 200 milyon TL dir. Diğer yandan, toprak sahibi her çiftçiye ayrılan kısmın en az %60 ının ekilmesini şart koşmaktadır. Ayrıca, her bir parçadaki ekili alan oranının birbirine eşit olmasını istemektedir. Yukarıda verilen bilgilerden yararlanarak toplam karı en çoklayacak doğrusal programlama modelini kurunuz. S14. Boytaş firmasının üç fabrikası bulunmakta ve her fabrikada üç ayrı boyda makina parçası üretilmektedir. Her makine parçasından elde edilen birim karlar ise, büyük boy için 800 TL., orta boy için 600 Tl. ve küçük boy için 540 TL. dir. Emek ve makina kapasitelerine göre, 1 nolu fabrikada haftada en fazla 800 birim, 2 nolu fabrikada haftada en fazla 650 birim,3 nolu fabrikada ise haftada en fazla 450 birim ürün üretilebilmektedir. Her fabrikanın stoklama alanı s ınırlı olup, 1 nolu fabrikanın 1400 m2, 2 nolu fabrikanın 1250 m2, 3 nolu fabrikanın 800 m2 lik stoklama alanı bulunmaktadır. Büyük boy parçanın haftalık üretiminde 2.5 m2, orta boy parçanın üretiminde 2 m2 ve küçük boy parçanın üretiminde 1.5 m2 yere gerek duyulmaktadır. Satış bölümünün tahminine göre haftada büyük boy parçadan 800, orta boy parçadan 900 ve küçük boy parçadan 600 birim satılabilmektedir. Öte yandan, yönetim üç fabrikada üretilen malların göreli sayısının emek ve makine kapasitelerine denk oranda olmasını istemektedir. Yönetim karını en çoklayacak şekilde üç fabrikada her bir boydan ne kadar birimlik ürün üretilmesi gerektiğini saptamak istemektedir. Yukarıda verilen bilgilerden yararlanarak problemi doğrusal programlama modeli olarak ifade ediniz. S15. Bir çiftçi A, B, C maddelerini kapsayan bir çeşit gübre satın almaya karar vermiştir. Çiftçinin en az ihtiyacı; A maddesinden 180 birim, B maddesinden 220 birim ve C maddesinden 100 birimdir. Piyasada iki gübre markası olup, bunlardan; A marka gübrenin torbası TL, B marka gübrenin torbası TL.Gübreler ile ilgili diğer bilgiler aşağıda verilmiştir. Problemi doğrusal programlama modeli şeklinde formüle ederek çözünüz.

6 A B C B.Maliyet A Marka Gübre 3 birim 5 birim 1 birim B Marka Gübre 2 birim 2 birim 2 birim Gerekli Birim Madde S16. Bir işletmede iki tür madeni sürgü üretilmektedir. Üretim sırasında bileyici, keskinletici ve torna tezgâhı olmak üzere 3 tip makine kullanılmaktadır. Her bir sürgü çeşidinin her makinada aldığı zaman ve makinaların üretim kapasiteleri saat olarak verilmiştir. Makine Sürgü A(%) SürgüB(%) Kapasite Bileyici Keskinletici Torna Tezgahı Sürgülerden elde edilen karlar sırasıyla; 2.000TL ve 3.000TL dir. Firma karını maksimize etmek istiyor. Problemi doğrusal programlama modeli şeklinde formüle ederek çözünüz. S17. AR Reklam Şirketi orta yaş grubundaki kadın ve erkelerle ilgili olarak üretilecek yeni bir mamul için TL. Reklam harcaması yapmak istemektedir. Reklam kampanyasında kullanılan araçlar ile ilgili olarak aşağıdaki, bilgiler verilmiştir: Makine Aracı Birim Fiyat Reklamın Etkili Olduğu Tüketici Sayısı Gazete Radyo Televizyon AR Reklam Şirketi reklam ın etkilediği müşteri sayısını maksimum yapmaya planlıyor. En azından televizyon reklamından etkilenen müşteri sayısını en az kişi olarak hedeflenmektedir. Gazete için harcanacak reklam bütçesi de TL yi geçmemelidir. Problemi doğrusal programlama modeli şeklinde formüle ederek, hangi reklam aracının kullanılması gerektiğini bulunuz. S18. ÖZLASTİK Sanayi A.Ş. üç tip değişik lastik üretmektedir. Bunlar A, B ve C tipi lastikleridir (kamyon,kamyonet ve otomobil).bu üç tip lastik firmanın iki ayrı fabrikasında üretilmektedir. Bir günde 8 saatlik çalışma yapılmakta olup, günlük olarak,birinci fabrikada 50 adet birim A-tipi ve 200 adet birim C-tip lastik üreilmektedir.ikinci fabrikadaki üretim miktarları ise günlük ; A-tipi için 60, B-tipi için 60 ve C-tipi için 200 adettir. Ayrıca bu lastik tipleri için aylık talepler ; A-tipi için 2500 adet, B-tipi için 3000 adet ve C-tipi için de 7000 adet olarak gerçekleşmektedir. Yapılan maliyet analizlerine göre birinci fabrikanın günlük

7 toplam işletme masrafları TL ve ikinci fabrikanın TL dir.. Problemi doğrusal programlama modeli şeklinde formüle ederek çözünüz. S19. Süper Boya firması, iç ve dış cephe için boya üretmektedir. Boya üretimi için iki adet hammadde kullanılmaktadır. İç ve dış boya üretimi için gereken hammadde miktarları ve kullanılabilecek maksimum hammadde miktarları aşağıda verilmiştir: 1 Ton üretmek içi n gereken Hammadde tonları Dış Boya İç Boya En çok kullanılabilecek Miktar Hammadde A Hammadde B Piyasa araştırmaları,,iç boya talebinin dış boya talebinden en çok 1 ton fazla olabileceğini göstermiştir. İç boya talebi en fazla 2 ton olabilir. Dış boyanın tonu TL., iş boyanın tonu TL. dir. Kazancını maksimum yapmak için iç ve dış boyadan ne kadar üretmelidir? S20. Bir şirket %30 u kurşun, %20 si çinko ve %50 si kalay içerecek yeni bir karışımı aşağıdaki özellikleri bulunduran alaşımlardan istemektedir. Amaç minimum maliyette bu alışım özelliklerinden yeni bir alışımı üretmektir. Alışımlar Özellikler Kurşun yüzdesi Çinko yüzdesi Kalay yüzdesi Maliyet (TL./gr.) ,5 6 8,9 5,7 8,8

8 S21. Dwight ve Hattie 30 yıldan fazladır kendi çiftliklerinde çalışmaktadırlar. Gelecek sezon için 120 hektarlık çiftliklerine ekecekleri ürünlerin karışımını planlamak istemektedirler. Aşağıdaki tabloda işgücü saati, her hektarda gereken gübre miktarı ve hektar başına ekilmesi düşünülen potansiyel ürünün toplam beklenen karı verilmiştir. Dwight, Hattie ve çocukları gelecek sezon boyunca en fazla toplam 6500 saat çalışabilirler. 20 ton gübre mevcuttur. Ekilen yulaf ve buğday miktarı, mısır miktarından fazla olmalıdır. Ailenin toplam karını maksimize etmek için ekilmesi gereken ürün karışımını modelleyiniz. Ürün Gereken İşgücü Gerekli Gübre Beklenen kar (her (hektar başına saaat) (hektar başına ton) hektar için) Yulaf $ Buğday $ Mısır $ S22. Bir çiftçi ailesinin 100 dönüm arazisi ile elverişli yatırımları için ancak TL parası vardır. Aile kış döneminde 3500 saat, yaz döneminde ancak 4000 saat işgücünü üretim işlerinde kullanabilmektedir. Kendi işinde işgücüne gereksinim duymadığında aile bireyleri komşu çiftliklerde çalışmaktadır. Kış döneminde komşu çiftliklerde saatini 1800 TL den yaz döneminde de saatini 2000 TL den çalışmaktadır. Çiftçi ailesi nakit gelirlerini ürettikleri fasulye, mısır ve buğday ile hayvancılıktan elde etmektedir. Tarım ürünlerine yatırım gerekmez iken her bir sığır için TL lik, her tavuk için 300 TL lik yatırım gereklidir. Öte yandan her sığır kış döneminde 100 saat işgücü ile 1.5 dönüm araziye, yaz döneminde ise 50 saat işgücüne gereksinim duymaktadır. Her sığır aileye TL, her tavuk da 2000 TL gelir getirmektedir. Her tavuk kış döneminde 0.6 saat işgücü, yaz döneminde ise 0.3 saat işgücü ister. Tavuk evi en çok 9000 tavuğu ve hayvan ahırı da 90 sığırı barındırabilir. Üretilen üç ürünün her dönümden elde edilen geliri ve dönüm başına kullanılan tahmini işgücü saat aşağıda verilmiştir. Fasulye Mısır Buğday Kış dönemi işgücü saat Yaz dönemi işgücü saat Neet yıllık nakit gelir (TL) Çiftçi ailesi net gelirini maksimize etmesi için her üründen kaç dönüm ekmesi gerektiğini ve sığır ile tavuktan da ne kadar beslemesi gerektiğini bilmek istemektedir. Programın doğrusal programlama modelini kurunuz. S23. İmalatçı bir firma karsız çalışan üretim hattının üretimini azaltmaya gitmiştir. Bu durum kayda değer bir üretim kapasitesi yaratmıştır. Yönetim bu artan kapasiteyi üç ürüne ayırmıştır. Bu ürünlere 1, 2 ve 3 adı verilsin. Aşağıdaki tablo çıktı miktarlarını kısıtlayan makine kapasitelerini vermektedir. Makine Tipi Elverişli Süre (Haftalık Makine Saati) Sürtme 500 Parlatma 350 Cilalama 150

9 Bir birim üretim için istenen makine saati ise aşağıda verilmiştir. Makine Tipi Ürün 1 Ürün 2 Ürün 3 Sürtme Parlatma Cilalama Satış bölümünden alınan bilgiye göre; ürün 1 ve ürün 2 nin satış potansiyeli maksimum üretim oranını aşmakta ve ürün 3 için satış potansiyeli haftada ancak 20 birim olmaktadır. Ürün 1 in satışından elde edilen birim kar 30, ürün 2 nin satışından elde edilen birim kar 12, ürün 3 ün satışından elde edilen birim kar 15 TL dir. Firmanın karınım maksimum kılacak doğrusal programlama modelini kurunuz. S24. Bir konfeksiyon mağazasının üç bölümünde gömlek ve tişört üretilmektedir. Üretim bölümlerinin ocak ayı çalışma kapasiteleri ve gömlek ve tişört üretimi için istenen birim çalışma saatleri aşağıda verilmiştir. Bölümler İstenen Birim saat Ocak Ayı Elverişli Gömlek Tişört Çalışma Saati Kesim Dikim 2, Ambalaj 4,5 1, Bir gömleğin satışından elde edilen kâr 4000 TL, bir tişörtün satışından elde edilen kâr ise 1000 TLdir. Ocak ayının kârını maksimum kılan ürün hangisidir ve ocak ayının kârı nedir?

10 S25. Bir imalathanenin dört üretim bölümü vardır. Her üretim bölümü geçici fazla kapasiteye sahiptir. Yönetim bu elverişli kapasiteyi iki ürün üretimi için kullanmayı düşünür. Bir birim ürün 1'in üretimi için Bölüm A'da 2 saat, Bölüm C'de 3 saat ve Bölüm D'de 1 saat işlem gereklidir. Bir birim ürün 2'nin üretimi için ise Bölüm A'da 2 saat, Bölüm B'de 3 saat, Bölüm C'de 1 saat ve Bölüm D'de 30 dakika gereklidir. Bir birim ürün 1'in kâra katkısı 3 TL ve bir birim ürün 2'nin kâra katkısı ise 3,6 TLdir. Bölümlerin kapasite olanakları saat olarak aşağıdaki gibidir. Bölümler A B C D Elverişli Süre 8 9 7,5 3 Problemi doğrusal programlama olarak formüle ediniz ve optimal üretim bileşimini ve toplam maksimum kârı bulunuz. S26. BORSA A. Ş. yatırım firması elinde bulunan 100 milyon TL yi yıllık %60, %40, %35 ve %45 gelir getiren dört iş alanına bölerek yatırım planlaması yapacaktır. Risk faktörünü göz önüne alan firma yöntecileri A ve C ye yapılacak yatırımın en fazla 45 milyon TL, B ve D ye yapılacak toplam yatırımın ise en az 30 milyon TL olmasını kararlaştırmışlardır. Öte yandan A ya en fazla 20 milyon TL yatırılması öngörülmektedir. Bu bilgiler ışığında problemi bir Doğrusal Programlama modeli biçiminde formüle ediniz. S27. NETREKLAM Anonim Şirketi cari reklam bütçesine göre en etkin reklamı belirlemek istemektedir. Şirketin televizyon, radyo, magazin ve gazete olmak üzere dört iletişim aracı vardır. Aşağıda tablodaki bilgiler pazarlama araştırması grubu tarafından elde edilmiştir. Netreklam A. Ş. Televizyon Radyo Gazete Magazin Reklam Birim Başına Maliyet TL Reklamdan Etkilenen Erkek sayısı Reklamdan Etkilenen Kadın sayısı NETREKLAM A. Ş TL den fazla reklam harcaması yapmak istememektedir. En az erkek müşteri ve en az kadın müşteri hedeflenmiştir. En az 6 birim televizyon reklamı ve en fazla 12 birim magazin reklamı satın alınmalıdır. Radyo ve gazete için reklam sayıları her biri için 6 ve 20 birim arasında satın alınmalıdır. Şirket ulaşılan toplam müşteri sayısını maksimum kılmak istemektedir. Buna göre problemin Doğrusal Programlama modelini yazınız.

11 S28. AYÇELİK İmalat Sanayi A. Ş. seri halde cıvata ve somun üretmektedir. Cıvata ve somun üretebilmek için üretim sürecinde iki bölümde işlem yapılmaktadır. Bölüm 1 de bir birim cıvata için 2 işçilik saati, bir adet somun için 2.25 işçilik saati kullanımı gerekmektedir. Bölüm 2 de ise cıvata için 4.5 işçilik saati, bir adet somun için 3.75 işçilik saati kullanımı gerekmektedir. Bölüm 1 için toplam işçilik kapasitesi 32 saat, bölüm 2 için ise kapasite 64 saattir. Ürünlere ilişkin maliyetler ve birim satış fiyatları aşağıda gösterilmiştir. CIVATA SOMUN Hammadde 100 TL 90 TL İşçilik 25 TL 25 TL Genel Üretim Giderleri 10 TL 7 TL Birim Satış Fiyatı 250 TL 230 TL Bu bilgiler ışığında firmaya maksimum karı veren Doğrusal Programlama modelini yazınız. S29. ÖZSÜT A. Ş. ye bağlı çiftlikte, A ve B türdeki yemlerden hayvanlara her gün belirli miktarda verilmektedir. Bu iki tür yemin kg. başına ihtiva ettikleri protein ve yağ miktarları ile fiyatları aşağıda yer almaktadır. Yem Türü Protein Miktarı Yağ Miktarı Fiyat(TL/kg) A(X1) B(X2) Hayvanların en az 35 birim protein ve 40 birim yağ ile beslenmeleri gerektiği bilindiğine göre maliyeti minimum yapan yem türü karışımını verecek Doğrusal Programlama modelini yazınız. S30. ÖZMAK A. Ş. makine imalat sanayiinde üretin yapmakta olup, firmanın üretim kapasitesinde fazlalık vardır. Yönetici, bu fazlalığı üç yeni mamulden bir veya daha fazlasını üreterek gidermeyi düşünmektedir. Makinalardaki kapasite fazlalığı, haftalık olarak, A makinasında 550, B makinasında 300 ve C makinasında 150 saattir. Söz konusu mamullerin birer biriminin üretilmesi için gerekli makine saatleri aşağıda gösterilmiştir. Makine 1.Mamul 2.Mamul 3.Mamul A B C 3 3 4

12 Firmanın pazarlama servisi 1. ve 2. mamullerin satışı için herhangi bir problem olmadığını, buna karşılık 3. mamulden haftada en fazla 30 birim satılabileceğini bildirmiştir. Mamullerin sırasıyla birim karları , ve TL dir. Karı maksimum yapacak üretim miktarlarını verecek olan Doğrusal Programlama modelini yazınız. S31. Çelik kardeşler mobilya imal etmektedir. Ellerindeki malzemelerle ağaç masa ve/veya sandalye üretmeyi düşünmektedirler. Bir masa 80 TL ye satılırken bir sandalye 30 TL ye satılmaktadır. Bir masa 30 TL lik malzeme tüketmekte bir sandalye ise 10TL lik malzeme tüketmektedir. İki ürün de marangozluk ve rötuş işgücü gerektirmektedir. 1 masa 3 saat marangozluk 2 saat rötuş işi gerektirmektedir. Bir sandalye ise 1 saat marangozluk ve 1 saat rötuş işçiliği gerektirmektedir. Çelik kardeşlerin haftalık 150 saat marangozluk ve 100 saat rötuş işçiliği kapasitesi vardır. İstenildiği kadar kereste her an tedarik edilebilmektedir. Sandalye için talep 30 dan fazla ve masa için talep ise 20 den az olmaktadır. Kârı maksimize eden doğrusal programlama modelini kurunuz ve grafik yöntemle bu problemi çözünüz (Marangozluk için işçilik ücreti 8TL/saat, rötuş işçiliği 6TL/saat). S32. Bir şehirde her biri 1200 kişilik öğrenci kapasitesi olan üç ayrı lise bulunmaktadır. Şehir yönetimi şehri Kuzey, Güney, Doğu, Batı ve Merkez olarak beş ayrı bölgeye ayırmıştır. Bazı öğrenciler bölgelerinin dışındaki okullara gitmek durumundadırlar. Bu durumda okul yönetimleri öğrencilerin alacağı toplam mesafeyi en aza indirmek istemektedir. Gerekli olan doğrusal modeli kurunuz. Okullar ve Mesafeleri Bölgeler Merkez Lise Batı Lise Güney Lise Öğrenci Sayısı Kuzey Güney Doğu Batı Merkez S33. Bir nehrin kenarına kurulmuş üç fabrikanın atıklarında iki tip zararlı madde bulunmaktadır. Birinci fabrikanın tonunu 15 TL ye arıttığı atığın tonunda 0.1 ton 1.zararlı madde 0.45 ton ikinci zararlı madde temizlenmektedir. Tonunu 10 TL ye arıtan ikinci fabrikada arıtma sonucunda 1 ton atıktan birinci zararlı maddeden 0.20 ton, ikinci zararlı maddeden 0.25 ton temizlenmektedir. Üçüncü fabrikanın 20 TL ye arıttığı bir ton atıkta 1.zararlı maddeden 0.4 ton ikinci zararlı maddeden 0.3ton temizlenmektedir. Belediye nehre atılan birinci tip zararlı maddeden en az 30 tonun temizlenmesini (daha az nehre verilmesini) ikinci tip zararlı maddeden en az 40 ton temizlenmesini şart koşmaktadır. Belediyenin koşulunu sağlayacak şekilde nehre atılan atığın en ucuza temizlemesini gösteren doğrusal programlama modelini kurunuz. S34. Dakota mobilya şirketi sıra, masa ve sandalye yapmaktadır. Her ürün için, aşağıdaki tabloda görüldüğü gibi, sınırlı miktarda kullanılabilen tahta, marangozluk ve cilalama işçiliği gerekmektedir. Aynı tabloda ürünlerin satış fiyatları da verilmiştir. Haftada en fazla 5 masa

13 satılabilmektedir. Haftalık kârı en büyükleyecek bir üretim planı için gerekli modeli kurup Simpleks yöntemi ile çözünüz. Kaynak Sıra Masa Sandalye Kullanılabilen Tahta (m2) Cilalama Marangozluk Talep (max.) Fiyat (TL.) S35. Bevco şirketi, portakal gazozu ile portakal suyunu karıştırarak Oranj ismiyle portakallı meyve suları üretmektedir. Portakal gazozunun bir ozunda 0.5 oz. şeker ve 1 mg C vitamini vardır. Portakal suyunun bir ozunda ise 0.25 oz. şeker ve 3 mg C vitamini vardır. Bevco bir oz. portakal gazozu üretmek için 2 TL, bir oz. portakal suyu üretmek için ise 3 TL harcamaktadır. Şirketin pazarlama bölümü Oranj'ı 10 oz.luk şişelerde satmak istemektedir. Bevco'nun her bir şişede en az 20 mg C vitamini bulunmasını ve en çok 4 oz. şeker olması şartını en az maliyetle karşılamasını sağlayınız (oz., ağırlık ölçü birimidir). S36. Aşağıdaki tabloda pirinç ve soya fasulyesinde birim bardakta bulunan kalori, vitamin ve B2 vitamin miktarları verilmiştir. Buna göre minimum maliyete sahip diyeti elde edebilmek için günde ne kadar pirinç ve soya fasulyesi (bardak cinsinden) üretilmelidir? S37. Aşağıdaki tabloda verilenlere göre işletmenin maksimum karı elde edebilmesi için günde kaç tane hangi tip bıçak üretilmelidir. S38. Aşağıdaki tabloya göre günde üretilecek pamuk ve floş ipliği miktarını bulunuz.

14 S39. Bir işletmede radyo ve TV üretilmektedir.bu üretim tasarım montaj ve test atölyelerinde gerçekleştirilmektedir. Birim radyo üretimi için bu atölyede sırasıyla 6saat,4saat,3saat iş gücü, gerekli iken birim TV üretimi için bu atölyede sırasıyla 3saat,4saat, ve saat iş gücü gerekmektedir.atölyelerin günlük maksimum kullanım süreleri sırasıyla 90,72 ve 96 saattir.birim karlar sırasıyla 10 ve 20 dolardır.buna göre işletmenin maksimum karı elde edebilmesi için günde kaç tane radyo ve TV üretilmesi gerekir. S40. Bir işletmede pamuk ve floş ipliği üretilmektedir. Bu üretim hallaç, cer-fitil ve taraklama dairesinde gerçekleşmektedir. Atölyelerin günlük kullanım süreleri mil olup 16,72,56 saattir.birim pamuk üretimi için bu atölyede sırasıyla 2,12,4 saat iş gücü gerekirken birim floş üretimi için 2,6,14 saat iş gücü gereklidir.birim maliyetler sırasıyla 5 ve 6 dolardır. Buna göre, işletmenin minimum maliyeti elde edebilmesi için günlük ne kadar pamuk ve floş ipliği üretmesi gerekir. S41. Giapetto tahtadan oyuncak asker ve tren yapmaktadır. Satış fiyatları, bir oyuncak asker için $27, bir oyuncak tren için $21'dır. Bir asker için $10'lık hammadde ve $14'lık işçilik kullanılmaktadır. Bir tren için ise söz konusu rakamlar sırasıyla $9 ve $10'dır. Her bir asker için 2 saat montaj ve 1 saat marangozluk gerekirken, her bir tren için 1 saat montaj ve 1 saat marangozluk gerekmektedir. Eldeki hammadde miktarı sınırsızdır, fakat haftada en çok 100 saat montaj ve 80 saat marangozluk kullanabilen Giapetto nun haftada en fazla 40 oyuncak asker satabileceğini göz önünde bulundurarak karını en büyüklemek için hangi oyuncaktan haftada kaç adet üretmesi gerektiğini bulunuz. S42. Dorian şirketi, yüksek gelirli müşterileri için otomobil ve jeep üretmektedir. Televizyondaki tiyatro oyunlarına ve futbol maçlarına bir dakikalık spot reklamlar vererek satışlarını arttırmayı hedeflemektedir. Tiyatro oyununa verilen reklamın maliyeti $50bin'dir ve hedef kitledeki 7 milyon kadın ve 2 milyon erkek tarafından seyredilebilir. Futbol maçına verilen reklamın maliyeti ise $100bin'dir ve hedef kitledeki 2 milyon kadın ve 12 milyon erkek tarafından seyredilebilir. Dorian yüksek gelirli 28 milyon kadın ve 24 milyon erkeğe en az maliyetle nasıl ulaşır? S43. Powerco şirketinin dört şehre hizmet veren üç adet elektrik santrali vardır.her santralin ürettiği ve her şehrin en yoğun saatlerde talep ettiği elektrik miktarı tabloda verilmiştir. 1 milyon kwh elektriğin bir santralden bir şehre gönderilmesinin maliyeti uzaklığa bağlıdır.

15 S44. Bir işletmede iki yeni ürünü iki farklı fabrikada üretilebilmek imkanı vardır. Bu işletme için geçerli olan veriler Table 1 de verilmiştir. Her iki fabrikada yeni ürünün üretimi için kullanılabilecek zaman kısıtlıdır. Fabrikaların yapıları farklı olduğu için birim ürün için farklı üretim zamanları vardır. Ayrıca her ürünün kar marjı ve talebi de belirlidir. Bu işletmede karı ençoklayan ürün dağılımı aşağıdaki gibi modellenebilir: S45. Bir firma iki tip jakuzi üretmektedir: Aqua Spa ve Hydro Lux. JAKUZİ AOUA-SPA HYDRO-LUX Pompa 1 1 İşçilik (saat) 9 6 Tesisat (metre) Birim Kar (TL.) Firmanın çeşitli sebeplerden dolayı 200 adet pompa, 1566 işçilik saati ve 2880 metre tesisat kısıtı bulunmaktadır. Verilen kısıtlar altında firmanın amacı mümkün olan en yüksek karı sağlayacak üretim miktarlarını belirlemektir. S46. Kase ve kupa üreten bir firma üretim için kil kullanmaktadır. Bir kase üretimi için 4 kg kil, bir kupa üretimi için 3 kg kil gerekmektedir. Bir kase 1 saatte, 1 kupa ise 2 saatte üretilmektedir. Çeşitli nedenlerden dolayı firmanın sağlayabildiği kil miktarı günlük 120 kg ile sınırlıdır. Günde 40 saat çalışılmaktadır. Üretilen kaselerin herbiri firmaya 40$, kupaların herbiri ise 50$ kar bırakmaktadır. Verilen işçilik ve malzeme kısıtları altında firmanın amacı mümkün olan en yüksek karı sağlayacak üretim bileşimini seçmektir. S47. Bir firma yüzey işlemler konusunda piyasada tanınmaktadır. Aldığı yarı mamul ürünlere kendi fabrikasında farklı yüzey işlemler uygulayarak, piyasaya parlak ve mat olmak üzere iki

16 farklı ürün sürmektedir. Ürünlerin günlük talep miktarları ve birim net karları aşağıda verilmiştir. Ürün Üretim miktarı (sa./m 3 ) Günlük talep miktarı Net kar Parlak 1.5 saat Belirlenmemiş 1 Mat 2.1 saat En az 400 m Fabrikanın günlük üretim kapasitesi 1000 m3 olup üretim zamanı günde 8 saatle sınırlıdır. Firma kârı eniyileyecek günlük üretim hacmine karar vermek istemektedir. Firmanın problemini çözecek şekilde Doğrusal Programlama modelini kurunuz. S48. Mutfak şirketi iki kaynak (işgücü ve malzeme) kullanarak mutfak dolaplarının üretimini planlamak istemektedir. Şirket üç farklı model (Laminant, Mdf, Sunta dolabı) tasarlamaktadır ve şirketin proje bölümü aşağıdaki verileri tedarik etmiştir: Laminant Mdf Suntalam İşgücü (saat/birim) Malzeme (ton/birim) Kar (TL./birim) Hammadde arzı günlük 200 ton la sınırlanmıştır. Günlük işgücü imkânı 150 saattir. Toplam kârı maksimize etmeye yarayan ve çeşitli modellerin günlük üretim programını belirleyecek doğrusal programlama problemini formüle edin. S49. Bir beyaz eşya şirketi birim karı 6 lira olan çamaşır makinası ve birim karı 7 lira olan kurutma makinası üretmektedir. İşletmede üretim, montaj ve paketleme olmak üzere 3 bölüm vardır. Üretim bölümünün günlük kapasitesi 120 işgücü saattir. 1 adet çamaşır makinası üretmek için 2 işgücü saat gerekmekte ve 1 adet kurutma makinası üretmek için 3 saat işgücü gerekmektedir. Montaj bölümünün günlük kapasitesi 80 işgücü saattir. 1 adet çamaşır makinası için 2 işgücü saat gerekmekte ve 1 adet kurutma makinası üretmek için 1 saat işgücü gerekmektedir. Paketleme bölümünün günlük kapasitesi 400 işgücü saattir. 1 adet çamaşır makinası için 4 işgücü saat gerekmekte ve 1 adet kurutma makinası üretmek için 4 saat işgücüne ihtiyaç duyulmaktadır. Buna göre işletmenin mevcut kısıtları altında karını maksimize edecek doğrusal programlama modeli olarak ifade ediniz. S50. Sera bitkiciliği yapan bir çiftçi, cam seralarda ürettiği bitkilerini gübre işlemi yaparak verimini arttırmak istemektedir. Bunun için azot ve fosfat içeren gübreler kullanması gerekmektedir. Yaptığı araştırma sonucu toprağa en az 80 kg azot ve en az 120 kg fosfat kazandırılmalıdır. Piyasada azot ve fosfat bileşimini ve diğer mineralleri içeren 2 çeşit gübre bulunmaktadır. Bunlardan ilki torbası 6 lira olan doğal gübre, diğeri ise torbası 3 lira olan sentetik gübredir. Her bir gübre ile ilgili veriler tabloda sunulmuştur. Bu koşullar altında modeli oluşturunuz.

17 S51. Bir firma müşterilerinin tüketici davranışlarını belirleyebilmek adına bir pazarlama araştırması tasarlamaktadır. Bu amaçla firma tam olarak 1000 adet mülakat yapmak istemektedir. Bu mülakatın en az 400 tanesi çocuklu ailelere ve en az 400 tanesi ise çocuksuz ailelere yapılmalıdır. Ayrıca akşamları yapılacak mülakat sayıları, gündüz yapılacak mülakat sayısından az olmamalıdır. Çocuklu ailelere yapılan mülakatların en az %40 ı akşamları yapılacak ve Çocuksuz ailelere yapılan mülakatların en az %60 ı ise gündüz gerçekleştirilecektir. Çocuklu ailelere ayrılan ekstra zaman ve akşam mülakatlarının daha pahalı olması göz önüne alındığında, görüşme maliyetleri aşağıdaki tabloda verildiği şekilde farklılaşmaktadır: En düşük maliyetle bu pazarlama araştırmasını gerçekleştiren doğrusal programlama modelini kurunuz. S52. ABC firması X 1 ve X 2 adında ürün piyasaya sürmek istemektedir. X 1 ürününden adet başına günlük 5TL ve X 2 ürünü için 4TL kar elde edilmesi planlanmaktadır. X 1 ürünü 4 saatte üretilirken, X 2 ürünü 3 saatte üretilmektedir. Firmada üretim departmanında günde 6 saat çalışan 300 işçi vardır. Firma ayrıca montajlama işlemini fason olarak yaptırmakta ve anlaşma gereği ABC firması en az 600 saatlik montajlama işlemi firmaya göndermek durumundadır. X 1 ürünü 3 saatte montajlanabilirken, X 2 ürünü 2 saatte montajlanabilmektedir. Firmanın taşıma kamyonu 500 ürün alabilmekte (ürün boyutları aynı) ve her gün tam doluluk ile çalışmak durumundadır. Bu şartlar altında karı maksimum yapan modeli kurunuz. S53. Bir firma spor bisiklet, dağ bisikleti ve performans bisikleti olmak üzere 3 tip bisiklet üretmektedir. Spor bisiklet 3 saatte üretilmekte ve 2 saat içerisinde montaj yapılmaktadır. Dağ bisikleti ise 4 saatte üretilmekte ve 3 saat içerisinde montaj yapılmaktadır. Performans bisikleti ise 5 saatte üretim ve montaj sürelerine sahiptir. Firma en az 5 adet performans bisikleti üretmek istemektedir. Firmanın elinde günde 8 saat, haftada 5 gün çalışan 6 üretim işçisi ve 8 montaj işçisi mevcuttur. Firma spor bisikletten 80, dağ bisikletinden 120 ve performans bisikletinden 200 kazanmaktadır. Firmanın karını maksimize eden doğrusal programlama modelini kurunuz. S54. Bir firma X seriş sürat tekneleri üretmektedir. X1 modeli ekonomi sınıfı ve fiyatı 4 milyon. Lüks sınıfı olan X2 ise 6 milyondan satılmaktadır. Firma aşağıda yazan koşulları dikkate alarak yeni yıl için üretim planı oluşturmak istemektedir. X1 modeli üretimi X2 modelinin üretiminden az olmamalıdır. Firma modellerde kullanılan özel bir donanımdan en az 8 adet sipariş vermelidir. Bu donanımdan X1 de 4 adet ve X2 de 1 adet bulunmaktadır. Firmanın elinde sadece 10 adet yüksek performans motor vardır. Firma bütün motoru muhakkak kullanmak istemektedir. X1 teknesi 2 motorlu ve X2 teknesi 5 motorludur. Karı maksimize eden modeli kurunuz.

18 S55. Bir yatırım finansman firması elinde bulunan $ nakit parasının tamamını farklı yatırım alternatifleri arsında değerlendirmek istemektedir. Bu amaçla iletişim ve demir-çelik sektörlerinden iki firma ile bir spor takımına ait tahvillere yatırım yapılması düşünülmektedir. Aşağıdaki tabloda yatırım getirilileri, risk oranları ile birlikte verilmiştir. Firma hiçbir şekilde spor sektörüne, iletişim sektöründen daha fazla yatırım yapmak istememektedir. Herhangi bir sektörde ise toplamda $ dan fazla yatırım yapılması düşünülmemektedir. İletişim sektörüne yapılan yatırımın ise en az %60 lık kısmı icon firmasına yatırılmalıdır. Firma toplam yatırım risknin %12 den fazla olmamasını da istemektedir.bu koşullar altında toplam getiryi maksimize eden modeli kurunuz. S56. Bir firma A, B, C olmak üzere 3 farklı ürün üretmektedir. Bu ürünler üç farklı departmanda işlem görmektedir. Ürünlerin farklı departmanlarda ihtiyaç duydukları işgücü süreleri ve bu departmanların haftalık işgücü kapasiteleri aşağıdaki tabloda verilmiştir. Ayrıca her ürün farklı miktarda hammaddeye ihtiyaç duymaktadır. Ürünlerin gereksinim duyduğu hammadde miktarı ve bir haftada kullanılabilecek maksimum hammadde miktarı da tabloda verilmiştir. Ürünlerin satış fiyatları sırasıyla 50 TL, 60TL ve 65TL dir. Her bir ürün için katlanılan toplam maliyet ise sırasıyla 41TL, 40TL ve 43TL dir. Üretim miktarını belirlerken Pazar taleplerini de göz önünde bulundurmaktadır. Buna göre haftada A, B ve C ürünlerinden toplamda en az 40 adet ürün üretilmelidir. Ayrıca, üretilen A miktarı, C nin iki katı olmalıdır. Bu kısıtlar altında işletmenin karını maksimize edecek üretim planını bulacak doğrusal programlama modelini yazınız. S57. Bir çiftçinin koyun, sığır ve keçi alma ve üretme imkanı vardır. Her bir koyun 1 hektarlık alan ve beslenme ve bakım giderleri için de 15TL ihtiyaç duymaktadır. 25TL satın alınan bir koyun 60TL satılmaktadır. Sığır için bu değerler sırasıyla, 4 hektar alan, 30TL, 40TL ve 100TL dir. Keçi için ise bu değerler sırasıyla 0.5 hektar alan, 5TL, 10TL ve 20TL dir. Çiftçinin 300 hektarlık bir çiftliği olup, sürünün satın alınması ve bakımı içinde toplam 2500TL bütçesi vardır. Ancak, bu çiftçi sürünün %40 tan fazlasının keçi olmaması ve

19 koyununda %30 dan aşağı düşmemesini istemektedir. Dönem sonunda toplam karı maksimize edecek doğrusal programlama modelini kurunuz.