GRAPH LAR Düzce Üniversitesi Teknoloji Fakültesi VERİ YAPILARI. Bilgisayar Mühendisliği ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 1

Transkript

1 VERİ YAPILARI GRAPH LAR Düzce Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 1

2 GRAPH (ÇİZGE - GRAF) Terminoloji Çizge Kullanım Alanları Çizge Gösterimi Komşuluk Matrisi Komşuluk Listesi İlgili Algoritmalar Çizge Üzerinde Gezinme DFS BFS Dijsktra Algoritması Kruskal Algoritması (Minimum Spining Tree) Toplojik Sıralama ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 2

3 ÇİZGE (GRAPH) GİRİŞ Köşe (vertex) isimli düğümlerden ve kenar (edge) isimli köşeleri birbirine bağlayan bağlantılardan oluşan veri yapısıdır. Ağaçlar gibi çizgeler de doğrusal olmayan veri yapıları grubuna girerler. D E A C F düğüm B kenar ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 3

4 ÇİZGE (GRAPH) GİRİŞ (DEVAM ) Bir G çizgesi G(V, E) şeklinde gösterilir: a. V = V(G) Kümesi: Küme elemanları, G nin düğümleri (nodes), noktaları (points) veya köşeleri (vertices) b. E = E(G) Kümesi: Küme elemanları G nin kenarları (edges) olarak adlandırılan sırasız düğüm ikililerini içerir. ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 4

5 ÇİZGE (GRAPH) GİRİŞ (DEVAM ) Çizgeler, düzlemsel diyagramlarla gösterilir. V kümesindeki her v düğümü bir nokta (ya da küçük çember) ile temsil edilir ve her e = {v1, v2} kenarı, v1 ve v2 uç noktalarını bağlayan bir çizgi ile gösterilir. Örnek: V = {A, B, C, D} E = {e 1, e 2, e 3, e 4, e 5 } ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 5

6 YÖNLÜ VE YÖNSÜZ KENAR Yönsüz Kenar (undirected edge): Çizgi seklinde yönü belirtilmeyen kenarlar yönsüz kenarlardır. Yönsüz kenarlarda (v1,v2) olması ile (v2,v1) olması arasında fark yoktur. Yönlü Kenar (directed edge): Ok şeklinde gösterilen kenarlar yönlü kenarlardır. ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 6

7 TERMİNOLOJİ 1. Komşu Köşeler (Adjacent): Aralarında doğrudan bağlantı (kenar) bulunan i ve j köşeleri komşudur. Diğer köşe çiftleri komşu değildir. 2. Bağlantı (incident): Komşu i ve j köşeleri arasındaki kenar (i, j) bağlantıdır. 3. Bir Köşenin Derecesi (degree): Bir köşeye bağlı olan kenarların sayısıdır. Soru1: Komşu olmayan köşeler hangileridir? Soru2: 1 in derecesi kaçtır? ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 7

8 TERMİNOLOJİ (DEVAM ) 4. Yönsüz Çizge (undirected graph): Tüm kenarları yönsüz olan çizgeye yönsüz çizge denilir. Yönsüz çizgede bir köşe çifti arasında en fazla bir kenar olabilir. 5. Yönlü Çizge (directed graph, digraph): Tüm kenarları yönlü olan çizgeye yönlü çizge adı verilir. Yönlü çizgede bir köşe çifti arasında ters yönlerde olmak üzere en fazla iki kenar olabilir. 6. Döngü (Loop): (i, i) seklinde gösterilen ve bir köşeyi kendine bağlayan kenar. ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 8

9 TERMİNOLOJİ (DEVAM ) Yönlü Çizge ve Döngü (Loop) G=(V, E) V={0,1,2,3,4} E={(0,1), (1,2), (0,3), <3,0>, <2,2>, <4,3>} ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 9

10 TERMİNOLOJİ (DEVAM ) 7. Ağırlıklı (Weighted) Çizge: Çizge kenarları üzerinde ağırlıkları olabilir. Eğer kenarlar üzerinde ağırlıklar varsa bu tür çizgelere ağırlıklı/maliyetli çizge (Weighted Graphs) denir. Ağırlık uygulamadan uygulamaya değişir. Şehirler arasındaki uzaklık Routerler arası bant genişliği 5 Sakarya 4 Bilecik 8 İzmit ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 10

11 YOL (PATH) Basit Yol (Simple Path): Tüm düğümlerin farklı olduğu yoldur. Daire (Cycle): Başlangıç ve bitiş düğümleri aynı olan basit yol. (Tamamlanmış Graf) Uzunluk: Bir yol üzerindeki kenarların sayısının toplamıdır. Basit Yol: Sakarya, İzmit veya Sakarya, Bilecik Daire: Sakarya, İzmit, Bilecik, Sakarya 5 Sakarya 4 Bilecik 8 İzmit ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 11

12 ÇİZGE KULLANIM ALANLARI Bilgisayar ağlarında, elektriksel ve diğer ağların analizinde, Kimyasal bileşiklerin moleküler yapılarının araştırılmasında, Ulaşım ağlarında (kara, deniz ve havayolları), Planlama projelerinde, Sosyal alanlarda ve diğer pek çok alanda kullanılmaktadır. Not: Eğer bir problemin çözümü GRAF veri modeline benzetilebiliyorsa, o problem için algoritmik bir durum elde edilmiş olur. ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 12

13 ÇİZGE KULLANIM ALANLARI (DEVAM ) Örnek (Generic) V = 6 il: sırasıyla mesafeleri: Ankara, İstanbul, Adana, Denizli, Sakarya ve Düzce 80, 105, 80, 105, 103 ve 90. E ={(x, y) Eğer x, y den daha küçük ise} İstanbul Denizli Ankara Adana Sakarya Düzce ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 13

14 ÇİZGE KULLANIM ALANLARI (DEVAM ) Örnek (Uçuş sistemi) Her bir düğüm bir şehri gösterir Her bir kenar iki şehir arasındaki doğrudan uçuşu gösterir Doğrudan uçuşların sorgulanmasında cevap bir kenardır. Bir yere ulaşmak için A dan B ye yol var mı sorusu sorulur. Maliyetleri kenarlara bile ekleyebiliriz. (ağırlıklı), daha sonra A dan B ye en ucuz yol hangisidir? diye sorabiliriz. ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 14

15 ÇİZGE GÖSTERİMİ İki popüler gösterim bulunmaktadır. Her ikisi de farklı yönlerden düğüm ve kenar kümelerini gösterir. 1. Komşuluk Matrisi: Çizgeyi göstermek için D matrisi kullanılır. 2. Komşuluk Listesi: Bağlantılı listelerin bir boyutlu dizisi kullanılır. ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 15

16 KOMŞULUK MATRİSİ ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 16

17 KOMŞULUK MATRİSİ (DEVAM ) ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 17

18 KOMŞULUK MATRİSİ (DEVAM ) İki boyutlu dizi ile gerçekleştirilebilir. Uygulaması basittir. Kenar Oluşturmak ve kaldırmak kolaydır. Hafızada fazla yer kaplar. ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 18

19 KOMŞULUK LİSTESİ ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 19

20 KOMŞULUK LİSTESİ (DEVAM ) ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 20

21 KOMŞULUK LİSTESİ (DEVAM ) Bağlı liste içeren dizi ile gerçekleştirimi yapılır. Uygulaması daha karmaşıktır. Hafıza kullanımı komşuluk matrisine göre daha optimaldir. ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 21

22 ÖRNEK YÖNLÜ ÇİZGE Komşuluk Listesi Komşuluk Matrisi ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 22

23 GRAFLARIN BELLEK ÜZERİNDE TUTULMASI Bellek Gereksinimi Bağlantı Sorugulama Bağlantı Ekleme Matris Üzerinde N 2 *b O(1) O(1) İki Dizi Üzerinde ((2*m-c)+(N+1)*b O(d) O(m) Bağlantılı Liste İle N*(b+(d*a)) O(N 2 ) O(N 2 ) Dizi-Bağlantılı Liste (N+2*m)*(b+a) O(d) O(d) N= Düğüm Sayısı m= Kenar sayısı d= Düğüm derecesi c= Çevrimli kenar sayısı b= Veri türü boyutu a= Bellek adres boyutu ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 23

24 ÇİZGE ÜZERİNDE GEZİNME (TRAVERSE) Çizge üzerinde dolaşma; çizge düğümleri ve kenarları üzerinde istenen bir işi yapacak veya bir problemi çözecek biçimde hareket etmektir. Çizge üzerinde dolaşma yapan birçok yaklaşım ve yöntem bulunmaktadır. En önemli iki tanesi aşağıdaki gibidir: BFS (Breadth First Search) (Sığ Öncelikli Arama) Yöntemi DFS (Depth First Search) (Derin Öncelikli Arama) Yöntemi ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 24

25 ÇİZGE ÜZERİNDE GEZİNME (DEVAM ) Depth-First Search (DFS) Bir düğümden başla, düğümün bir kenarında o kenar üzerinde gidilebilecek en uzak düğüme kadar sürdür. Geri gel (backtracking) ve diğer kenarı dene. Tüm düğümler gezilene kadar devam et. Breadth-First Search (BFS) Başlangıç düğümünden başla ve tüm komşuları ziyaret et. Daha sonra komşunun komşularını ziyaret et. Başlangıç düğümünden başlayıp dışa doğru dalga gibi ilerle. ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 25

26 DFS GÖSTERİM a e Çizge c f d g b h ÇIKTI : a c f e b g h d STACK ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 26

27 BFS GÖSTERİM a e Çizge c f d g b h ÇIKTI : a c d f g h e b QUEUE ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 27

28 DİJKSTRA ALGORİTMASI Dijkstra algoritması, ağırlıklı bir graf üzerinde yani kenarları (edge) belli bir metrik değere sahip olan herhangi iki düğüm arası en kısa mesafeyi bulmamızı sağlayan bir algoritmadır. A B MESAFE? B ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 28

29 DİJKSTRA ALGORİTMASI Dijkstra algoritmasını kullanmamız için; Grafımız ağırlık ve yönlü olmalı. Kenarların ağırlık değeri sıfır ya da sıfırdan büyük bir değer olmalıdır. Eğer kenar değerleri sıfırdan küçükse Bellamn-Ford algoritması kullanılabilir. Dijkstra algoritmasını zaman karmaşıklığı yani büyük o notasyonu O(MlogN) dir. ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 29

30 DİJKSTRA Düzce İst 55 İzmit Sakarya Bolu Yalova 60 Eskişehir 80 Ankara Konya Isparta Nevşehir Antalya ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 30

31 DİJKSTRA İzmit Yalova Sakarya Eskişehir Düzce Bolu Ankara Nevşehir Konya Isparta Antalya

32 DİJKSTRA İzmit Yalova Sakarya Eskişehir Düzce Bolu Ankara Nevşehir Konya Isparta İstanbul 55(İs) 115(İs) Antalya

33 DİJKSTRA İzmit Yalova Sakarya Eskişehir Düzce Bolu Ankara Nevşehir Konya Isparta İstanbul 55(İs) 115(İs) İzmit - 55(İz) 110(İs) 30(iz) 85(İs) Antalya

34 DİJKSTRA İzmit Yalova Sakarya Eskişehir Düzce Bolu Ankara Nevşehir Konya Isparta İstanbul 55(İs) 115(İs) İzmit - Sakarya - 55(İz) 110(İs) 55(İz) 110(İs) 30(iz) 85(İs) - Antalya 45(S) 130(İs) 40(S) 125(İs)

35 DİJKSTRA İzmit Yalova Sakarya Eskişehir Düzce Bolu Ankara Nevşehir Konya Isparta İstanbul 55(İs) 115(İs) İzmit - Sakarya - 55(İz) 110(İs) 55(İz) 110(İs) 30(iz) 85(İs) Yalova Antalya 45(S) 130(İs) 45(S) 130(İs) 40(S) 125(İs) 40(S) 125(İs) 85(Y) 195(İs)

36 DİJKSTRA İzmit Yalova Sakarya Eskişehir Düzce Bolu Ankara Nevşehir Konya Isparta İstanbul 55(İs) 115(İs) İzmit - Sakarya - 55(İz) 110(İs) 55(İz) 110(İs) 30(iz) 85(İs) Yalova Düzce Antalya 45(S) 130(İs) 45(S) 130(İs) 45(S) 130(İs) 40(S) 125(İs) 40(S) 125(İs) - 10(D) 135(İs) 85(Y) 195(İs) 85(Y) 195(İs)

37 DİJKSTRA İzmit Yalova Sakarya Eskişehir Düzce Bolu Ankara Nevşehir Konya Isparta İstanbul 55(İs) 115(İs) İzmit - Sakarya - 55(İz) 110(İs) 55(İz) 110(İs) 30(iz) 85(İs) Yalova Düzce Antalya 45(S) 130(İs) 45(S) 130(İs) 45(S) 130(İs) 40(S) 125(İs) 40(S) 125(İs) Eskişehir (D) 135(İs) 10(D) 135(İs) 80(E) 210(İs) 70(E) 200(İs) 85(Y) 195(İs) 85(Y) 195(İs) 55(E) 185(İs)

38 DİJKSTRA İzmit Yalova Sakarya Eskişehir Düzce Bolu Ankara Nevşehir Konya Isparta İstanbul 55(İs) 115(İs) İzmit - Sakarya - 55(İz) 110(İs) 55(İz) 110(İs) 30(iz) 85(İs) Yalova Düzce Antalya 45(S) 130(İs) 45(S) 130(İs) 45(S) 130(İs) 40(S) 125(İs) 40(S) 125(İs) Eskişehir (D) 135(İs) 10(D) 135(İs) Bolu (E) 210(İs) 80(E) 210(İs) 70(E) 200(İs) 70(E) 200(İs) 85(Y) 195(İs) 85(Y) 195(İs) 55(E) 185(İs) 55(E) 185(İs)

39 DİJKSTRA İzmit Yalova Sakarya Eskişehir Düzce Bolu Ankara Nevşehir Konya Isparta İstanbul 55(İs) 115(İs) İzmit - Sakarya - 55(İz) 110(İs) 55(İz) 110(İs) 30(iz) 85(İs) Yalova Düzce Antalya 45(S) 130(İs) 45(S) 130(İs) 45(S) 130(İs) 40(S) 125(İs) 40(S) 125(İs) Eskişehir (D) 135(İs) 10(D) 135(İs) Bolu Isparta (E) 210(İs) 80(E) 210(İs) 80(E) 210(İs) 70(E) 200(İs) 70(E) 200(İs) 70(E) 200(İs) 85(Y) 195(İs) 85(Y) 195(İs) 55(E) 185(İs) 55(E) 185(İs) - 80(I) 265(İs)

40 DİJKSTRA İzmit Yalova Sakarya Eskişehir Düzce Bolu Ankara Nevşehir Konya Isparta İstanbul 55(İs) 115(İs) İzmit - Sakarya - 55(İz) 110(İs) 55(İz) 110(İs) 30(iz) 85(İs) Yalova Düzce Antalya 45(S) 130(İs) 45(S) 130(İs) 45(S) 130(İs) 40(S) 125(İs) 40(S) 125(İs) Eskişehir (D) 135(İs) 10(D) 135(İs) Bolu Isparta Konya (E) 210(İs) 80(E) 210(İs) 80(E) 210(İs) 80(E) 210(İs) 70(E) 200(İs) 70(E) 200(İs) 70(E) 200(İs) 85(Y) 195(İs) 85(Y) 195(İs) 55(E) 185(İs) 55(E) 185(İs) (I) 265(İs) 80(I) 265(İs)

41 DİJKSTRA İzmit Yalova Sakarya Eskişehir Düzce Bolu Ankara Nevşehir Konya Isparta İstanbul 55(İs) 115(İs) İzmit - Sakarya - 55(İz) 110(İs) 55(İz) 110(İs) 30(iz) 85(İs) Yalova Düzce Antalya 45(S) 130(İs) 45(S) 130(İs) 45(S) 130(İs) 40(S) 125(İs) 40(S) 125(İs) Eskişehir (D) 135(İs) 10(D) 135(İs) Bolu Isparta Konya (E) 210(İs) 80(E) 210(İs) 80(E) 210(İs) 80(E) 210(İs) Ankara (E) 200(İs) 70(E) 200(İs) 70(E) 200(İs) 85(Y) 195(İs) 85(Y) 195(İs) 55(E) 185(İs) 55(E) 185(İs) (A) 315(İs) (I) 265(İs) 80(I) 265(İs) 80(I) 265(İs)

42 DİJKSTRA İzmit Yalova Sakarya Eskişehir Düzce Bolu Ankara Nevşehir Konya Isparta İstanbul 55(İs) 115(İs) İzmit - Sakarya - 55(İz) 110(İs) 55(İz) 110(İs) 30(iz) 85(İs) Yalova Düzce Antalya 45(S) 130(İs) 45(S) 130(İs) 45(S) 130(İs) 40(S) 125(İs) 40(S) 125(İs) Eskişehir (D) 135(İs) 10(D) 135(İs) Bolu Isparta Konya (E) 210(İs) 80(E) 210(İs) 80(E) 210(İs) 80(E) 210(İs) Ankara Antalya (E) 200(İs) 70(E) 200(İs) 70(E) 200(İs) 85(Y) 195(İs) 85(Y) 195(İs) 55(E) 185(İs) 55(E) 185(İs) (A) 315(İs) 105(A) 315(İs) (I) 265(İs) 80(I) 265(İs) 80(I) 265(İs) - - -

43 DİJKSTRA İzmit Yalova Sakarya Eskişehir Düzce Bolu Ankara Nevşehir Konya Isparta İstanbul 55(İs) 115(İs) İzmit - Sakarya - 55(İz) 110(İs) 55(İz) 110(İs) 30(iz) 85(İs) Yalova Düzce Antalya 45(S) 130(İs) 45(S) 130(İs) 45(S) 130(İs) 40(S) 125(İs) 40(S) 125(İs) Eskişehir (D) 135(İs) 10(D) 135(İs) Bolu Isparta Konya (E) 210(İs) 80(E) 210(İs) 80(E) 210(İs) 80(E) 210(İs) Ankara Antalya (E) 200(İs) 70(E) 200(İs) 70(E) 200(İs) 85(Y) 195(İs) 85(Y) 195(İs) 55(E) 185(İs) 55(E) 185(İs) (A) 315(İs) 105(A) 315(İs) (I) 265(İs) 80(I) 265(İs) 80(I) 265(İs) Nevşehir

44 DİJKSTRA İSTANBUL-ANTALYA=265 İstanbul 55 İzmit 30 Sakarya 45 Eskişehir 55 Isparta 80 Antalya ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 44

45 DİJKSTRA İSTANBUL-ISPARTA= İzmit İst 55 Yalova 65 Isparta ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 45

46 DİJKSTRA ÖRNEK A G 17 I 5 4 B C 4 F D 7 E 5 H ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 46

47 DİJKSTRA ALGORİTMASI Algoritmanın başlangıç düğümü (node) A olsun. A düğümünün henüz hiçbir düğüme erişimi olmadığını kabul ederek her bir düğüme ulaşımını sonsuz () olarak atıyoruz. ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 47

48 DİJKSTRA ALGORİTMASI Daha sonra başlangıç düğümünün komşusu olan bütün düğümlere giderek mesafemizi güncelliyoruz. Burada b ve c düğümlerine erişim sağlıyor. ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 48

49 DİJKSTRA ALGORİTMASI A düğümüyle işlemimiz bitti. Şimdi sıra farketmeksizin yani ister b ister c düğümünden başlayarak tıpkı a düğümünde yaptığımız gibi mesafeleri güncellememiz gerekmektedir. İlk güncellememize C düğümünden başlarsak; ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 49

50 DİJKSTRA ALGORİTMASI Şimdi burada dikkat edilmesi gereken husus a-b arası 4 birim uzaklıktaydı. Artık C düğümünü güncellediğimiz için a-b düğümleri arasını c üzerinden(a-c-b) gidersek 3 birim uzaklıkta olduğu için b düğümüne ulaşımımız 3 olarak güncellemimiz gerekiyor. ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 50

51 DİJKSTRA ALGORİTMASI Sıra geldi b düğümünün komşu düğümlerini güncellemeye. Komşu olarak c ve d düğümleri var. C düğümüne ulaşımımız a-b-c üzerinden 4+1=5 birim ama biz a-c arası mesafemiz 2 olduğu için güncellememize gerek yoktur.çünkü daha fazla maliyetlidir. B düğümünün diğer komşusu olan d düğümüne mesafesi a-b-d üzeriden 4+3=7 dir. Diğer görselde a-c-d mesafesi 2+8=10 olduğu için güncellememiz gerekecektir. ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 51

52 DİJKSTRA ALGORİTMASI ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 52

53 DİJKSTRA ALGORİTMASI Şimdi d düğümünün komşularına bakalım. E düğümüne a-c-e üzerinden ulaşım 10+2=12 birim uzaklıktaydı, fakat a-c-b-d-e üzerinden ulaşım =10 birim uzaklıkta olacaktır. ve e düğümüne bundan başka daha az mesafede ulaşamayız. ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 53

54 DİJKSTRA ALGORİTMASI E düğümünün komşu düğümlerini güncelleyelim. Komşu düğüm olarak güncellememiz gerek tek düğüm kaldı o da z düğümü. Bir önceki örnekte d üzerinden maliyetimiz 8+6=14 idi. Fakat e düğümü üzerinden 10+3=13 birim uzaklıkta olduğu için güncellememiz gerekecektir. ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 54

55 DİJKSTRA ALGORİTMASI Artık mesafe olarak güncellememiz gereken bir düğüm kalmadığı için algoritma bu graf için sonlanır. «Bu algoritmanın amacı: Bir düğümden başlayarak o düğümün tüm graf üzerinde bulunan düğümlerine en kısa mesafede ulaşmasını garanti eder. Ayrıca bundan daha kısa bir yol bulunmayacağını iddia eder. Eşit mesafe olabilir.» ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 55

56 KRUSKAL ALGORİTHM (MİN. SPANNİNG TREE) Kruskal algoritması bağlı düğümler içerisinde en kısa şekilde tüm düğümleri dolaşmayı sağlar (Minimum Spanning Tree Solving) ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 56

57 KRUSKAL ALGORİTHM (MİN. SPANNİNG TREE) Weight Src Dest ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 57

58 Weight Src Dest : : : : : : : : : : : Döngü var Döngü var Döngü var SON ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 58

59 TOPLOJİK SIRALAMA Bu algoritma yönlü döngüsüz graflar üzerinde tanımlanan bir algoritmadır. Hatırlayalım: Döngüsüz Döngülü a f a f e e d b d b ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 59

60 ÖRNEK: C1,C2,C3,C4,C5 alınması gereken 5 adet ders olsun. Buna bağlı olarak; C1 ve C2 nin ön şartı yok, C3, C1 ve C2 yi ön şart alıyor, C4, C3 ü ön şart alıyor, C5, C3 ve C4 ü ön şart alıyor, Bu şartlara bağlı olarak öğrencilerin dersleri alma sırasını oluşturalım. ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 60

61 ÖRNEK: (DEVAM...) Dersleri grafların köşeleri, ön şartları da yönlü kenarlar kabul ederek, bir graf oluşturalım; c1 c4 c3 c2 c5 ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 61

62 ÖRNEK: (DEVAM...) NASIL SIRALANACAK: İndirge ve Çöz yöntemiyle kendisine gelen ve kenar bulunmayan bir düğümü kaynak olarak seçip graftan çıkarıp işlemler (n-1) düğümlü graf ile devam ettirilir. Graf ta hiç düğüm kalmayınca çözüm tamamlanmış olur. c1 c4 c1 c3 c3 c4 c5 c2 c5 c2 Eşit Olduğu İçin ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 62

63 BİTTİ ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 63

64 YARARLANILAN KAYNAKLAR Ders Kitabı: Data Structures through JAVA, V.V.Muniswamy Yardımcı Okumalar: Algorithms, Robert Sedgewick Yrd. Doç. Dr. Deniz KILINÇ, Celal Bayar Üniversitesi kruskals-minimum-spanning-tree-mst/ ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 64