MAT223 AYRIK MATEMATİK
|
|
- Soner Paşa
- 7 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 MAT223 AYRIK MATEMATİK Gezgin Satıcı Problemi 9. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR Öğretim Yılı
2 Gezgin Satıcı Problemi Soru n tane şehri olan bir ülke tüm şehirleri birbirine bağlayan bir telefon ağı kurmak istiyor. 2/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
3 Gezgin Satıcı Problemi Soru n tane şehri olan bir ülke tüm şehirleri birbirine bağlayan bir telefon ağı kurmak istiyor. Her bir şehirden bir diğerine doğrudan hat olmasına gerek yok. 2/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
4 Gezgin Satıcı Problemi Soru n tane şehri olan bir ülke tüm şehirleri birbirine bağlayan bir telefon ağı kurmak istiyor. Her bir şehirden bir diğerine doğrudan hat olmasına gerek yok. Ancak tüm şehirler birbiri ile bağlantılı olacak. 2/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
5 Gezgin Satıcı Problemi Soru n tane şehri olan bir ülke tüm şehirleri birbirine bağlayan bir telefon ağı kurmak istiyor. Her bir şehirden bir diğerine doğrudan hat olmasına gerek yok. Ancak tüm şehirler birbiri ile bağlantılı olacak. Tekparça! 2/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
6 Gezgin Satıcı Problemi Soru n tane şehri olan bir ülke tüm şehirleri birbirine bağlayan bir telefon ağı kurmak istiyor. Her bir şehirden bir diğerine doğrudan hat olmasına gerek yok. Ancak tüm şehirler birbiri ile bağlantılı olacak. Tekparça! Eğer bir şehirden diğer bir şehre bağlantı varsa, bu şehirler arasında doğrudan bir hat olmasına gerek yok. 2/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
7 Gezgin Satıcı Problemi Soru n tane şehri olan bir ülke tüm şehirleri birbirine bağlayan bir telefon ağı kurmak istiyor. Her bir şehirden bir diğerine doğrudan hat olmasına gerek yok. Ancak tüm şehirler birbiri ile bağlantılı olacak. Tekparça! Eğer bir şehirden diğer bir şehre bağlantı varsa, bu şehirler arasında doğrudan bir hat olmasına gerek yok. Döngü bulunmayacak! 2/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
8 Gezgin Satıcı Problemi Soru n tane şehri olan bir ülke tüm şehirleri birbirine bağlayan bir telefon ağı kurmak istiyor. Her bir şehirden bir diğerine doğrudan hat olmasına gerek yok. Ancak tüm şehirler birbiri ile bağlantılı olacak. Tekparça! Eğer bir şehirden diğer bir şehre bağlantı varsa, bu şehirler arasında doğrudan bir hat olmasına gerek yok. Döngü bulunmayacak! O halde istenen, yukarıdaki özellikleri sağlayan minimal çizge yani bir 2/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
9 Gezgin Satıcı Problemi Soru n tane şehri olan bir ülke tüm şehirleri birbirine bağlayan bir telefon ağı kurmak istiyor. Her bir şehirden bir diğerine doğrudan hat olmasına gerek yok. Ancak tüm şehirler birbiri ile bağlantılı olacak. Tekparça! Eğer bir şehirden diğer bir şehre bağlantı varsa, bu şehirler arasında doğrudan bir hat olmasına gerek yok. Döngü bulunmayacak! O halde istenen, yukarıdaki özellikleri sağlayan minimal çizge yani bir ağaç. 2/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
10 Gezgin Satıcı Problemi Soru n tane şehri olan bir ülke tüm şehirleri birbirine bağlayan bir telefon ağı kurmak istiyor. Her bir şehirden bir diğerine doğrudan hat olmasına gerek yok. Ancak tüm şehirler birbiri ile bağlantılı olacak. Tekparça! Eğer bir şehirden diğer bir şehre bağlantı varsa, bu şehirler arasında doğrudan bir hat olmasına gerek yok. Döngü bulunmayacak! O halde istenen, yukarıdaki özellikleri sağlayan minimal çizge yani bir ağaç. Nokta sayısı n olan bir ağacın n 1 tane kenarı olduğuna göre sadece n 1 tane hat döşemek yeterlidir. 2/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
11 Şehirler arasındaki mesafe, dağlar, göller vb. hatların maliyetlerini etkiliyor. Bu nedenle telefon ağı için hangi ağacın seçildiği önemli. 3/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
12 Şehirler arasındaki mesafe, dağlar, göller vb. hatların maliyetlerini etkiliyor. Bu nedenle telefon ağı için hangi ağacın seçildiği önemli. Soru Herhangi iki şehir arasındaki hattın maliyeti verildiğinde maliyeti en düşük ağacı nasıl bulabiliriz? 3/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
13 Şehirler arasındaki mesafe, dağlar, göller vb. hatların maliyetlerini etkiliyor. Bu nedenle telefon ağı için hangi ağacın seçildiği önemli. Soru Herhangi iki şehir arasındaki hattın maliyeti verildiğinde maliyeti en düşük ağacı nasıl bulabiliriz? İlk akla gelen yöntem tüm mümkün ağaçları listeleyip, en düşük maliyetli olanı seçmek olabilir. 3/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
14 Şehirler arasındaki mesafe, dağlar, göller vb. hatların maliyetlerini etkiliyor. Bu nedenle telefon ağı için hangi ağacın seçildiği önemli. Soru Herhangi iki şehir arasındaki hattın maliyeti verildiğinde maliyeti en düşük ağacı nasıl bulabiliriz? İlk akla gelen yöntem tüm mümkün ağaçları listeleyip, en düşük maliyetli olanı seçmek olabilir. Ancak, bu yöntem ifade edildiği kadar kolay uygulanamayabilir. 3/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
15 Şehirler arasındaki mesafe, dağlar, göller vb. hatların maliyetlerini etkiliyor. Bu nedenle telefon ağı için hangi ağacın seçildiği önemli. Soru Herhangi iki şehir arasındaki hattın maliyeti verildiğinde maliyeti en düşük ağacı nasıl bulabiliriz? İlk akla gelen yöntem tüm mümkün ağaçları listeleyip, en düşük maliyetli olanı seçmek olabilir. Ancak, bu yöntem ifade edildiği kadar kolay uygulanamayabilir. Örneğin, sadece 10 şehir için bile Cayley Teoreminden, noktaları adlandırılmış 10 8 tane ağacın var olduğunu biliyoruz. 3/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
16 Şehirler arasındaki mesafe, dağlar, göller vb. hatların maliyetlerini etkiliyor. Bu nedenle telefon ağı için hangi ağacın seçildiği önemli. Soru Herhangi iki şehir arasındaki hattın maliyeti verildiğinde maliyeti en düşük ağacı nasıl bulabiliriz? İlk akla gelen yöntem tüm mümkün ağaçları listeleyip, en düşük maliyetli olanı seçmek olabilir. Ancak, bu yöntem ifade edildiği kadar kolay uygulanamayabilir. Örneğin, sadece 10 şehir için bile Cayley Teoreminden, noktaları adlandırılmış 10 8 tane ağacın var olduğunu biliyoruz. Eğer 20 şehir varsa, bu durumda ağaç sayısı (10 23 ten fazla) olur. 3/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
17 Şehirler arasındaki mesafe, dağlar, göller vb. hatların maliyetlerini etkiliyor. Bu nedenle telefon ağı için hangi ağacın seçildiği önemli. Soru Herhangi iki şehir arasındaki hattın maliyeti verildiğinde maliyeti en düşük ağacı nasıl bulabiliriz? İlk akla gelen yöntem tüm mümkün ağaçları listeleyip, en düşük maliyetli olanı seçmek olabilir. Ancak, bu yöntem ifade edildiği kadar kolay uygulanamayabilir. Örneğin, sadece 10 şehir için bile Cayley Teoreminden, noktaları adlandırılmış 10 8 tane ağacın var olduğunu biliyoruz. Eğer 20 şehir varsa, bu durumda ağaç sayısı (10 23 ten fazla) olur. Bu durumda en düşük maliyetli ağacın bulunması hiç de kolay değil! 3/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
18 Telefon hatlarının şu şekilde döşendiğini kabul edelim: 4/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
19 Telefon hatlarının şu şekilde döşendiğini kabul edelim: Ülke en ucuz hattı döşeyebilecek kadar paraya sahip olduğunda bu hattı döşesin. 4/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
20 Telefon hatlarının şu şekilde döşendiğini kabul edelim: Ülke en ucuz hattı döşeyebilecek kadar paraya sahip olduğunda bu hattı döşesin. Daha sonra yine en ucuz hattı döşeyebilecek kadar paraya sahip olduğunda bu hattı da döşesin. Böyle devam etsin. 4/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
21 Telefon hatlarının şu şekilde döşendiğini kabul edelim: Ülke en ucuz hattı döşeyebilecek kadar paraya sahip olduğunda bu hattı döşesin. Daha sonra yine en ucuz hattı döşeyebilecek kadar paraya sahip olduğunda bu hattı da döşesin. Böyle devam etsin. Ancak, en ucuz hat bir döngü oluşturuyorsa, o hattı döşemesin (biraz daha para biriktirsin). 4/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
22 Telefon hatlarının şu şekilde döşendiğini kabul edelim: Ülke en ucuz hattı döşeyebilecek kadar paraya sahip olduğunda bu hattı döşesin. Daha sonra yine en ucuz hattı döşeyebilecek kadar paraya sahip olduğunda bu hattı da döşesin. Böyle devam etsin. Ancak, en ucuz hat bir döngü oluşturuyorsa, o hattı döşemesin (biraz daha para biriktirsin). Böylece döngü bulundurmayan tekparça bir çizge yani, ağaç elde edilir. 4/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
23 Telefon hatlarının şu şekilde döşendiğini kabul edelim: Ülke en ucuz hattı döşeyebilecek kadar paraya sahip olduğunda bu hattı döşesin. Daha sonra yine en ucuz hattı döşeyebilecek kadar paraya sahip olduğunda bu hattı da döşesin. Böyle devam etsin. Ancak, en ucuz hat bir döngü oluşturuyorsa, o hattı döşemesin (biraz daha para biriktirsin). Böylece döngü bulundurmayan tekparça bir çizge yani, ağaç elde edilir. Soru Peki bu şekilde elde edilen ağaç maliyeti en düşük olan ağaç mı? 4/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
24 Telefon hatlarının şu şekilde döşendiğini kabul edelim: Ülke en ucuz hattı döşeyebilecek kadar paraya sahip olduğunda bu hattı döşesin. Daha sonra yine en ucuz hattı döşeyebilecek kadar paraya sahip olduğunda bu hattı da döşesin. Böyle devam etsin. Ancak, en ucuz hat bir döngü oluşturuyorsa, o hattı döşemesin (biraz daha para biriktirsin). Böylece döngü bulundurmayan tekparça bir çizge yani, ağaç elde edilir. Soru Peki bu şekilde elde edilen ağaç maliyeti en düşük olan ağaç mı? Başlangıçta ucuz olanları, sonlarda ise pahalıları seçmek daha fazla para harcamaya mı sebep olur? 4/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
25 Telefon hatlarının şu şekilde döşendiğini kabul edelim: Ülke en ucuz hattı döşeyebilecek kadar paraya sahip olduğunda bu hattı döşesin. Daha sonra yine en ucuz hattı döşeyebilecek kadar paraya sahip olduğunda bu hattı da döşesin. Böyle devam etsin. Ancak, en ucuz hat bir döngü oluşturuyorsa, o hattı döşemesin (biraz daha para biriktirsin). Böylece döngü bulundurmayan tekparça bir çizge yani, ağaç elde edilir. Soru Peki bu şekilde elde edilen ağaç maliyeti en düşük olan ağaç mı? Başlangıçta ucuz olanları, sonlarda ise pahalıları seçmek daha fazla para harcamaya mı sebep olur? Büyük bir şansla bu yöntemle elde edilen ağaç maliyeti en düşük ağaç olur. 4/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
26 Büyük bir şansla diyoruz. Çünkü, problem biraz daha farklı olsaydı. Örneğin, herhangi iki şehir arasında iki farklı hat olma koşulu istenseydi (hatlardan birisi kesilirse diye). 5/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
27 Gezgin Satıcı Problemi Büyük bir şansla diyoruz. Çünkü, problem biraz daha farklı olsaydı. Örneğin, herhangi iki şehir arasında iki farklı hat olma koşulu istenseydi (hatlardan birisi kesilirse diye). O zaman bu yöntemle elde edilen çizge en ucuz maliyetli çizge olmazdı. Gerçekten de şehirler ve bu şehirler arasındaki hatların maliyetleri aralarındaki uzaklığa bağlı olarak aşağıdaki gibi olsaydı 2 C 1 D 0 A B /22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
28 Gezgin Satıcı Problemi Büyük bir şansla diyoruz. Çünkü, problem biraz daha farklı olsaydı. Örneğin, herhangi iki şehir arasında iki farklı hat olma koşulu istenseydi (hatlardan birisi kesilirse diye). O zaman bu yöntemle elde edilen çizge en ucuz maliyetli çizge olmazdı. Gerçekten de şehirler ve bu şehirler arasındaki hatların maliyetleri aralarındaki uzaklığa bağlı olarak aşağıdaki gibi olsaydı 2 C B C D 1 D A 2 5/2 5/2 0 A B B 65/2 13/2 C /22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
29 Gezgin Satıcı Problemi Büyük bir şansla diyoruz. Çünkü, problem biraz daha farklı olsaydı. Örneğin, herhangi iki şehir arasında iki farklı hat olma koşulu istenseydi (hatlardan birisi kesilirse diye). O zaman bu yöntemle elde edilen çizge en ucuz maliyetli çizge olmazdı. Gerçekten de şehirler ve bu şehirler arasındaki hatların maliyetleri aralarındaki uzaklığa bağlı olarak aşağıdaki gibi olsaydı 2 C B C D 1 D A 2 5/2 5/2 0 A B B 65/2 13/2 C C 2 C 1 D 1 D 0 A B A B Maliyet Maliyet /22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
30 Gezgin Satıcı Problemi Bir bölgedeki köyler arasına bir sulama kanalı inşa etmek istiyorsunuz. Elbette herhangi iki köy arasında doğrudan bir sulama kanalı inşa etmenize gerek yok. Yani, doğrudan bir hat inşa etmek yerine suyu üçüncü bir köy üzerinden de ulaştırabilirsiniz. Yeter ki, her köye su ulaşsın. Diğer taraftan köyler arasındaki dağlar, ormanlar gibi coğrafi koşullar da inşa edilecek kanalların maliyetine etki ediyor. Bu durumda en az maliyetle bu sulama sistemini nasıl inşa etmek gerekir? a b c d e f g e f a b a g d c d e c b f g /22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
31 a b c d e f g a b c d e f g /22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
32 a b c d e f g a b c d e f g a f b g e c d
33 a b c d e f g a b c d e f g a 1 f b g e c d
34 a b c d e f g a b c d e f g a 1 f 2 b g e c d
35 a b c d e f g a b c d e f g a 1 f 2 b g 3 e c d
36 a b c d e f g a b c d e f g a 3 1 f 2 b g 3 e c d
37 a b c d e f g a b c d e f g a f 3 g b e c d
38 a b c d e f g a b c d e f g a f 3 g b e c 5 d
39 a b c d e f g a b c d e f g a f 3 g b e c 5 d 7/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
40 Şimdi tekrar maliyeti en düşük ağacı bulma problemimize geri dönelim ve anlatılan yöntemle bulunan ağacın gerçekten de maliyeti en düşük olan ağaç olduğunu kanıtlayalım. 8/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
41 Şimdi tekrar maliyeti en düşük ağacı bulma problemimize geri dönelim ve anlatılan yöntemle bulunan ağacın gerçekten de maliyeti en düşük olan ağaç olduğunu kanıtlayalım. Bu yönteme Kruskal Algoritması denir. 8/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
42 Şimdi tekrar maliyeti en düşük ağacı bulma problemimize geri dönelim ve anlatılan yöntemle bulunan ağacın gerçekten de maliyeti en düşük olan ağaç olduğunu kanıtlayalım. Bu yönteme Kruskal Algoritması denir. Bu yöntemle elde edilen optimal ağaç F olsun. 8/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
43 Şimdi tekrar maliyeti en düşük ağacı bulma problemimize geri dönelim ve anlatılan yöntemle bulunan ağacın gerçekten de maliyeti en düşük olan ağaç olduğunu kanıtlayalım. Bu yönteme Kruskal Algoritması denir. Bu yöntemle elde edilen optimal ağaç F olsun. Kanıtlamamız gereken herhangi başka bir ağacın maliyetinin en az F kadar olduğudur. 8/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
44 Şimdi tekrar maliyeti en düşük ağacı bulma problemimize geri dönelim ve anlatılan yöntemle bulunan ağacın gerçekten de maliyeti en düşük olan ağaç olduğunu kanıtlayalım. Bu yönteme Kruskal Algoritması denir. Bu yöntemle elde edilen optimal ağaç F olsun. Kanıtlamamız gereken herhangi başka bir ağacın maliyetinin en az F kadar olduğudur. G ağacı, F ağacından farklı herhangi bir ağaç olsun. 8/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
45 Şimdi tekrar maliyeti en düşük ağacı bulma problemimize geri dönelim ve anlatılan yöntemle bulunan ağacın gerçekten de maliyeti en düşük olan ağaç olduğunu kanıtlayalım. Bu yönteme Kruskal Algoritması denir. Bu yöntemle elde edilen optimal ağaç F olsun. Kanıtlamamız gereken herhangi başka bir ağacın maliyetinin en az F kadar olduğudur. G ağacı, F ağacından farklı herhangi bir ağaç olsun. Şimdi bu G ağacının maliyetinin F ağacının maliyetinden daha az olamayacağını gösterelim (maliyetler aynı olabilir). 8/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
46 Gezgin Satıcı Problemi F /22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
47 Gezgin Satıcı Problemi 11 F G /22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
48 Gezgin Satıcı Problemi F ağacını oluştururken G de olmayan ilk kenarı e ile gösterelim. 11 F G e /22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
49 Gezgin Satıcı Problemi Eğer e kenarını G ye eklersek, G ağacında bir döngü oluşur. Bu döngüye C diyelim. 11 F G e 3 2 C /22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
50 C döngüsü F ağacında yer almaz. 12/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
51 C döngüsü F ağacında yer almaz. Dolayısıyla, C döngüsünün F de olmayan f gibi bir kenarı vardır. 12/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
52 C döngüsü F ağacında yer almaz. Dolayısıyla, C döngüsünün F de olmayan f gibi bir kenarı vardır. Eğer G ye e yi ekler, f yi çıkarırsak bir başka ağaç elde ederiz. 12/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
53 Gezgin Satıcı Problemi C döngüsü F ağacında yer almaz. Dolayısıyla, C döngüsünün F de olmayan f gibi bir kenarı vardır. Eğer G ye e yi ekler, f yi çıkarırsak bir başka ağaç elde ederiz. Bu ağacı da H ile gösterelim e /22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
54 Gezgin Satıcı Problemi C döngüsü F ağacında yer almaz. Dolayısıyla, C döngüsünün F de olmayan f gibi bir kenarı vardır. Eğer G ye e yi ekler, f yi çıkarırsak bir başka ağaç elde ederiz. Bu ağacı da H ile gösterelim. 11 F G H e 3 2 C 5 6 f 12/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
55 Şimdi H ağacının maliyetinin en fazla G ağacının maliyeti kadar olduğunu gösterelim. 13/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
56 Şimdi H ağacının maliyetinin en fazla G ağacının maliyeti kadar olduğunu gösterelim. Ya da, G ile H nin sadece e ve f kenarları farklı olduğundan e kenarının maliyetinin en fazla f kenarı kadar olduğunu gösterelim: 13/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
57 Şimdi H ağacının maliyetinin en fazla G ağacının maliyeti kadar olduğunu gösterelim. Ya da, G ile H nin sadece e ve f kenarları farklı olduğundan e kenarının maliyetinin en fazla f kenarı kadar olduğunu gösterelim: Bunun için tersini kabul edelim: f nin maliyeti e nin maliyetinden daha az olsun. 13/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
58 Şimdi H ağacının maliyetinin en fazla G ağacının maliyeti kadar olduğunu gösterelim. Ya da, G ile H nin sadece e ve f kenarları farklı olduğundan e kenarının maliyetinin en fazla f kenarı kadar olduğunu gösterelim: Bunun için tersini kabul edelim: f nin maliyeti e nin maliyetinden daha az olsun. O zaman şu soru sorulabilir: Neden ülke hatları oluştururken daha ucuz olan f hattını değil de e hattını seçti? 13/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
59 Şimdi H ağacının maliyetinin en fazla G ağacının maliyeti kadar olduğunu gösterelim. Ya da, G ile H nin sadece e ve f kenarları farklı olduğundan e kenarının maliyetinin en fazla f kenarı kadar olduğunu gösterelim: Bunun için tersini kabul edelim: f nin maliyeti e nin maliyetinden daha az olsun. O zaman şu soru sorulabilir: Neden ülke hatları oluştururken daha ucuz olan f hattını değil de e hattını seçti? Bunun tek bir nedeni olabilir: f yi seçince bir C döngüsü oluşuyordur. 13/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
60 Şimdi H ağacının maliyetinin en fazla G ağacının maliyeti kadar olduğunu gösterelim. Ya da, G ile H nin sadece e ve f kenarları farklı olduğundan e kenarının maliyetinin en fazla f kenarı kadar olduğunu gösterelim: Bunun için tersini kabul edelim: f nin maliyeti e nin maliyetinden daha az olsun. O zaman şu soru sorulabilir: Neden ülke hatları oluştururken daha ucuz olan f hattını değil de e hattını seçti? Bunun tek bir nedeni olabilir: f yi seçince bir C döngüsü oluşuyordur. Fakat e kenarına kadar olan tüm kenarlar G nin de kenarı! 13/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
61 Şimdi H ağacının maliyetinin en fazla G ağacının maliyeti kadar olduğunu gösterelim. Ya da, G ile H nin sadece e ve f kenarları farklı olduğundan e kenarının maliyetinin en fazla f kenarı kadar olduğunu gösterelim: Bunun için tersini kabul edelim: f nin maliyeti e nin maliyetinden daha az olsun. O zaman şu soru sorulabilir: Neden ülke hatları oluştururken daha ucuz olan f hattını değil de e hattını seçti? Bunun tek bir nedeni olabilir: f yi seçince bir C döngüsü oluşuyordur. Fakat e kenarına kadar olan tüm kenarlar G nin de kenarı! Bu durumda C döngüsü G de olurdu. Ancak, G ağaç olduğundan bu olanaksız. 13/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
62 Şimdi H ağacının maliyetinin en fazla G ağacının maliyeti kadar olduğunu gösterelim. Ya da, G ile H nin sadece e ve f kenarları farklı olduğundan e kenarının maliyetinin en fazla f kenarı kadar olduğunu gösterelim: Bunun için tersini kabul edelim: f nin maliyeti e nin maliyetinden daha az olsun. O zaman şu soru sorulabilir: Neden ülke hatları oluştururken daha ucuz olan f hattını değil de e hattını seçti? Bunun tek bir nedeni olabilir: f yi seçince bir C döngüsü oluşuyordur. Fakat e kenarına kadar olan tüm kenarlar G nin de kenarı! Bu durumda C döngüsü G de olurdu. Ancak, G ağaç olduğundan bu olanaksız. Çelişki! 13/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
63 Şimdi H ağacının maliyetinin en fazla G ağacının maliyeti kadar olduğunu gösterelim. Ya da, G ile H nin sadece e ve f kenarları farklı olduğundan e kenarının maliyetinin en fazla f kenarı kadar olduğunu gösterelim: Bunun için tersini kabul edelim: f nin maliyeti e nin maliyetinden daha az olsun. O zaman şu soru sorulabilir: Neden ülke hatları oluştururken daha ucuz olan f hattını değil de e hattını seçti? Bunun tek bir nedeni olabilir: f yi seçince bir C döngüsü oluşuyordur. Fakat e kenarına kadar olan tüm kenarlar G nin de kenarı! Bu durumda C döngüsü G de olurdu. Ancak, G ağaç olduğundan bu olanaksız. Çelişki! O halde varsayım hatalı f nin maliyeti e den daha az olamaz. Dolayısıyla G ağacının maliyeti H ağacının maliyetinden az olamaz. 13/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
64 Şimdi G ağacını H ağacı ile değiştirirsek, F ağacı ile daha çok kenarı ortak olan ve daha az maliyete sahip bir ağaç elde ederiz. 14/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
65 Şimdi G ağacını H ağacı ile değiştirirsek, F ağacı ile daha çok kenarı ortak olan ve daha az maliyete sahip bir ağaç elde ederiz. Bu yöntemi tekrar tekrar uygularsak, sonunda F ağacına ulaşırız. 14/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
66 Şimdi G ağacını H ağacı ile değiştirirsek, F ağacı ile daha çok kenarı ortak olan ve daha az maliyete sahip bir ağaç elde ederiz. Bu yöntemi tekrar tekrar uygularsak, sonunda F ağacına ulaşırız. O halde F ağacının maliyeti keyfi G ağacının maliyetinden daha fazla olamaz. 14/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
67 Şimdi G ağacını H ağacı ile değiştirirsek, F ağacı ile daha çok kenarı ortak olan ve daha az maliyete sahip bir ağaç elde ederiz. Bu yöntemi tekrar tekrar uygularsak, sonunda F ağacına ulaşırız. O halde F ağacının maliyeti keyfi G ağacının maliyetinden daha fazla olamaz. 14/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
68 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Düzlemde n tane şehir (nokta) ve bu şehirlerin herhangi ikisi arasında doğrudan bir yol olsun. 15/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
69 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Düzlemde n tane şehir (nokta) ve bu şehirlerin herhangi ikisi arasında doğrudan bir yol olsun. Ayrıca bu yollar ile seyahatlerin maliyetleri de verilmiş olsun. Tüm şehirleri ziyaret edip başladığı noktaya geri dönen en ucuz maliyetli döngüyü arayalım. 15/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
70 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Düzlemde n tane şehir (nokta) ve bu şehirlerin herhangi ikisi arasında doğrudan bir yol olsun. Ayrıca bu yollar ile seyahatlerin maliyetleri de verilmiş olsun. Tüm şehirleri ziyaret edip başladığı noktaya geri dönen en ucuz maliyetli döngüyü arayalım. Bu problem kombinatoryal optimizasyon teorisinin en önemli problemlerinden birisidir ve gezgin satıcı problemi olarak bilinir. Postacıların mektupları dağıtmasından, çöpçülerin çöpleri toplamasına kadar bir çok uygulaması vardır. 15/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
71 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Düzlemde n tane şehir (nokta) ve bu şehirlerin herhangi ikisi arasında doğrudan bir yol olsun. Ayrıca bu yollar ile seyahatlerin maliyetleri de verilmiş olsun. Tüm şehirleri ziyaret edip başladığı noktaya geri dönen en ucuz maliyetli döngüyü arayalım. Bu problem kombinatoryal optimizasyon teorisinin en önemli problemlerinden birisidir ve gezgin satıcı problemi olarak bilinir. Postacıların mektupları dağıtmasından, çöpçülerin çöpleri toplamasına kadar bir çok uygulaması vardır. Örneğin, bir matkabın bir bilgisayarın ana kartı üzerine delikler açıp tekrar başladığı konuma geri gelmesi gerektiğini düşünelim. Bu deliklerin sayısı binlerce olabilir. Matkabın delik deleceği bir noktadan diğer bir noktaya konumlanması belli bir zaman alacaktır. İşte bu işlem için gereken toplam zamanı minimize etme problemi de gezgin satıcı problemine bir örnek olarak verilebilir. 15/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
72 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Soru Gezgin satıcı problemi ile Hamilton döngüsü arasında nasıl bir bağlantı vardır? 16/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
73 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Soru Gezgin satıcı problemi ile Hamilton döngüsü arasında nasıl bir bağlantı vardır? d c a b 16/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
74 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Soru Gezgin satıcı problemi ile Hamilton döngüsü arasında nasıl bir bağlantı vardır? d c K 4 tam çizgesinde 3 farklı Hamilton Döngüsü vardır. a b 16/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
75 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Soru Gezgin satıcı problemi ile Hamilton döngüsü arasında nasıl bir bağlantı vardır? d c K 4 tam çizgesinde 3 farklı Hamilton Döngüsü vardır. a b c d a a b 16/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
76 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Soru Gezgin satıcı problemi ile Hamilton döngüsü arasında nasıl bir bağlantı vardır? d c K 4 tam çizgesinde 3 farklı Hamilton Döngüsü vardır. a b c d a a c d b a a b 16/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
77 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Soru Gezgin satıcı problemi ile Hamilton döngüsü arasında nasıl bir bağlantı vardır? K 4 tam çizgesinde 3 farklı Hamilton Döngüsü vardır. d c a b c d a a c d b a a b d c a a b Bir tam çizge üzerindeki gezgin satıcı probleminin çözümü elbette bir Hamilton döngüsü olur. 16/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
78 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Soru Gezgin satıcı problemi ile Hamilton döngüsü arasında nasıl bir bağlantı vardır? K 4 tam çizgesinde 3 farklı Hamilton Döngüsü vardır. d c a b c d a a c d b a a b d c a a b Bir tam çizge üzerindeki gezgin satıcı probleminin çözümü elbette bir Hamilton döngüsü olur. Soru Bir K n tamçizgesinde kaç farklı Hamilton döngüsü vardır? (Ödev) 16/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
79 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) n noktalı bir G çizgesi verildiğinde bu çizgenin noktaları arasında şöyle bir uzaklık tanımlayalım: 17/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
80 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) n noktalı bir G çizgesi verildiğinde bu çizgenin noktaları arasında şöyle bir uzaklık tanımlayalım: Komşu noktaların birbirine uzaklığı 1, komşu olmayan iki noktanın birbirine olan uzaklığı da 2 birim olsun. 17/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
81 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) n noktalı bir G çizgesi verildiğinde bu çizgenin noktaları arasında şöyle bir uzaklık tanımlayalım: Komşu noktaların birbirine uzaklığı 1, komşu olmayan iki noktanın birbirine olan uzaklığı da 2 birim olsun. Bu uzaklık ile verilen n noktalı G çizgesinde bir Hamilton döngüsü varsa, bu döngü aynı zamanda gezgin satıcı probleminin bir çözümü olur ve optimal maliyet n olur. 17/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
82 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) n noktalı bir G çizgesi verildiğinde bu çizgenin noktaları arasında şöyle bir uzaklık tanımlayalım: Komşu noktaların birbirine uzaklığı 1, komşu olmayan iki noktanın birbirine olan uzaklığı da 2 birim olsun. Bu uzaklık ile verilen n noktalı G çizgesinde bir Hamilton döngüsü varsa, bu döngü aynı zamanda gezgin satıcı probleminin bir çözümü olur ve optimal maliyet n olur. Çizgede bir Hamilton döngüsü yoksa gezgin satıcı probleminin çözümünün maliyeti en az n+1 olacaktır. 17/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
83 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) n noktalı bir G çizgesi verildiğinde bu çizgenin noktaları arasında şöyle bir uzaklık tanımlayalım: Komşu noktaların birbirine uzaklığı 1, komşu olmayan iki noktanın birbirine olan uzaklığı da 2 birim olsun. Bu uzaklık ile verilen n noktalı G çizgesinde bir Hamilton döngüsü varsa, bu döngü aynı zamanda gezgin satıcı probleminin bir çözümü olur ve optimal maliyet n olur. Çizgede bir Hamilton döngüsü yoksa gezgin satıcı probleminin çözümünün maliyeti en az n+1 olacaktır. Böylece, gezgin satıcı problemini çözecek bir algoritmamız varsa, bu algoritma yardımıyla çizgede bir Hamilton döngüsünün olup olmadığını da söyleyebiliriz. 17/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
84 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Gezgin satıcı problemi, optimal ağacı bulma probleminden çok daha zor bir problemdir. 18/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
85 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Gezgin satıcı problemi, optimal ağacı bulma probleminden çok daha zor bir problemdir. Ne yazık ki gezgin satıcı problemini çözmek için Kruskal Algoritması gibi bu ders kapsamında verebileceğimiz basit bir algoritma yoktur. 18/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
86 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Gezgin satıcı problemi, optimal ağacı bulma probleminden çok daha zor bir problemdir. Ne yazık ki gezgin satıcı problemini çözmek için Kruskal Algoritması gibi bu ders kapsamında verebileceğimiz basit bir algoritma yoktur. Elbette literatürde çeşitli algoritmalar ve bu algoritmaların uygulamaları yer almaktadır. 18/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
87 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Gezgin satıcı problemi, optimal ağacı bulma probleminden çok daha zor bir problemdir. Ne yazık ki gezgin satıcı problemini çözmek için Kruskal Algoritması gibi bu ders kapsamında verebileceğimiz basit bir algoritma yoktur. Elbette literatürde çeşitli algoritmalar ve bu algoritmaların uygulamaları yer almaktadır. Örneğin, 2004 yılında İsveç in şehri için gezgin satıcı problemi çözülmüştür (yaklaşık kilometre). Şu anda rekor şehir civarındadır (devre tasarımı). 18/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
88 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Gezgin satıcı problemi, optimal ağacı bulma probleminden çok daha zor bir problemdir. Ne yazık ki gezgin satıcı problemini çözmek için Kruskal Algoritması gibi bu ders kapsamında verebileceğimiz basit bir algoritma yoktur. Elbette literatürde çeşitli algoritmalar ve bu algoritmaların uygulamaları yer almaktadır. Örneğin, 2004 yılında İsveç in şehri için gezgin satıcı problemi çözülmüştür (yaklaşık kilometre). Şu anda rekor şehir civarındadır (devre tasarımı). ( 18/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
89 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Fakat basit bir algoritmayla en iyi turu bulamasak da en iyi turun maliyetinden en fazla iki kat maliyete sahip turu kolayca bulabiliriz. 19/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
90 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Fakat basit bir algoritmayla en iyi turu bulamasak da en iyi turun maliyetinden en fazla iki kat maliyete sahip turu kolayca bulabiliriz. Bunun için verilen çizgenin üçgen eşitsizliğini sağladığını kabul edeceğiz. 19/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
91 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Fakat basit bir algoritmayla en iyi turu bulamasak da en iyi turun maliyetinden en fazla iki kat maliyete sahip turu kolayca bulabiliriz. Bunun için verilen çizgenin üçgen eşitsizliğini sağladığını kabul edeceğiz. Yani, bir i noktasından j noktasına gitmenin maliyeti c(ij) ile gösterilecek olursa, c(ij)+c(jk) c(ik) olduğunu kabul edeceğiz (doğrudan i den k ya gitmenin maliyeti j ye uğrayarak k ya gitmenin maliyetinden daha az olsun). 19/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
92 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Fakat basit bir algoritmayla en iyi turu bulamasak da en iyi turun maliyetinden en fazla iki kat maliyete sahip turu kolayca bulabiliriz. Bunun için verilen çizgenin üçgen eşitsizliğini sağladığını kabul edeceğiz. Yani, bir i noktasından j noktasına gitmenin maliyeti c(ij) ile gösterilecek olursa, c(ij)+c(jk) c(ik) olduğunu kabul edeceğiz (doğrudan i den k ya gitmenin maliyeti j ye uğrayarak k ya gitmenin maliyetinden daha az olsun). Bu eşitsizlik doğal bir eşitsizlik gibi görünse de bazen hava yolu şirketlerinde aktarmalı uçuşların maliyetleri doğrudan uçuşların maliyetinden daha az olabiliyor. 19/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
93 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Algoritmamız şöyle: 20/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
94 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Algoritmamız şöyle: Önce verilen noktaları birleştiren optimal T ağacını bulalım. 20/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
95 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Algoritmamız şöyle: Önce verilen noktaları birleştiren optimal T ağacını bulalım. Bu ağacın maliyetine c diyelim. 20/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
96 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Algoritmamız şöyle: Önce verilen noktaları birleştiren optimal T ağacını bulalım. Bu ağacın maliyetine c diyelim. Bu ağacı kullanarak daha önce düzlemsel kod elde etmek için kullanılan yönteme benzer şekilde ağacın etrafında dolaşalım. 20/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
97 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Algoritmamız şöyle: Önce verilen noktaları birleştiren optimal T ağacını bulalım. Bu ağacın maliyetine c diyelim. Bu ağacı kullanarak daha önce düzlemsel kod elde etmek için kullanılan yönteme benzer şekilde ağacın etrafında dolaşalım. Ancak, bir i noktasından j noktasına giderken, j noktasına daha önce uğramışsak, onu atlayıp daha önce uğramadığımız k noktasına geçelim (kestirmeden gidelim). 20/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
98 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem)
99 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) 21/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
100 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem)
101 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem)
102 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem)
103 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem)
104 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem)
105 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem)
106 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem)
107 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem)
108 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem)
109 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) 21/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
110 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Ders kitabındaki çözümlü alıştırmalar ve yi inceleyiniz. 21/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
111 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Teorem Üçgen eşitsizliğini sağlayan bir çizgede yukarıdaki yöntemle elde edilen turun maliyeti gezgin satıcı probleminin çözümünün maliyetinin iki katından az olur. 22/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
112 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Teorem Üçgen eşitsizliğini sağlayan bir çizgede yukarıdaki yöntemle elde edilen turun maliyeti gezgin satıcı probleminin çözümünün maliyetinin iki katından az olur. Kanıt. Açıktır ki T ağacının maliyeti c ise bu ağacın etrafını dolaşmanın maliyeti 2c olur. 22/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
113 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Teorem Üçgen eşitsizliğini sağlayan bir çizgede yukarıdaki yöntemle elde edilen turun maliyeti gezgin satıcı probleminin çözümünün maliyetinin iki katından az olur. Kanıt. Açıktır ki T ağacının maliyeti c ise bu ağacın etrafını dolaşmanın maliyeti 2c olur. Hatta üçgen eşitsizliğinden ve (varsa) kestirme yolları kullandığımızdan maliyet 2c den de az olabilir. 22/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
114 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Teorem Üçgen eşitsizliğini sağlayan bir çizgede yukarıdaki yöntemle elde edilen turun maliyeti gezgin satıcı probleminin çözümünün maliyetinin iki katından az olur. Kanıt. Açıktır ki T ağacının maliyeti c ise bu ağacın etrafını dolaşmanın maliyeti 2c olur. Hatta üçgen eşitsizliğinden ve (varsa) kestirme yolları kullandığımızdan maliyet 2c den de az olabilir. Peki bu yöntemle elde ettiğimiz turun maliyetinin optimal turun maliyeti ile nasıl bir bağlantısı var? 22/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
115 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Teorem Üçgen eşitsizliğini sağlayan bir çizgede yukarıdaki yöntemle elde edilen turun maliyeti gezgin satıcı probleminin çözümünün maliyetinin iki katından az olur. Kanıt. Açıktır ki T ağacının maliyeti c ise bu ağacın etrafını dolaşmanın maliyeti 2c olur. Hatta üçgen eşitsizliğinden ve (varsa) kestirme yolları kullandığımızdan maliyet 2c den de az olabilir. Peki bu yöntemle elde ettiğimiz turun maliyetinin optimal turun maliyeti ile nasıl bir bağlantısı var? Açıktır ki, optimal ağacın maliyeti, optimal turun maliyetinden daha azdır. 22/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
116 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Teorem Üçgen eşitsizliğini sağlayan bir çizgede yukarıdaki yöntemle elde edilen turun maliyeti gezgin satıcı probleminin çözümünün maliyetinin iki katından az olur. Kanıt. Açıktır ki T ağacının maliyeti c ise bu ağacın etrafını dolaşmanın maliyeti 2c olur. Hatta üçgen eşitsizliğinden ve (varsa) kestirme yolları kullandığımızdan maliyet 2c den de az olabilir. Peki bu yöntemle elde ettiğimiz turun maliyetinin optimal turun maliyeti ile nasıl bir bağlantısı var? Açıktır ki, optimal ağacın maliyeti, optimal turun maliyetinden daha azdır. Çünkü optimal turun bir kenarını çıkararak bir ağaç elde edebiliriz (hatta bu ağaç bir yol olur). 22/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
117 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Teorem Üçgen eşitsizliğini sağlayan bir çizgede yukarıdaki yöntemle elde edilen turun maliyeti gezgin satıcı probleminin çözümünün maliyetinin iki katından az olur. Kanıt. Açıktır ki T ağacının maliyeti c ise bu ağacın etrafını dolaşmanın maliyeti 2c olur. Hatta üçgen eşitsizliğinden ve (varsa) kestirme yolları kullandığımızdan maliyet 2c den de az olabilir. Peki bu yöntemle elde ettiğimiz turun maliyetinin optimal turun maliyeti ile nasıl bir bağlantısı var? Açıktır ki, optimal ağacın maliyeti, optimal turun maliyetinden daha azdır. Çünkü optimal turun bir kenarını çıkararak bir ağaç elde edebiliriz (hatta bu ağaç bir yol olur). Ancak, bu ağaç optimal olmayabilir. Fakat kesinlikle optimal turdan daha az maliyete sahiptir. 22/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
118 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Teorem Üçgen eşitsizliğini sağlayan bir çizgede yukarıdaki yöntemle elde edilen turun maliyeti gezgin satıcı probleminin çözümünün maliyetinin iki katından az olur. Kanıt. Açıktır ki T ağacının maliyeti c ise bu ağacın etrafını dolaşmanın maliyeti 2c olur. Hatta üçgen eşitsizliğinden ve (varsa) kestirme yolları kullandığımızdan maliyet 2c den de az olabilir. Peki bu yöntemle elde ettiğimiz turun maliyetinin optimal turun maliyeti ile nasıl bir bağlantısı var? Açıktır ki, optimal ağacın maliyeti, optimal turun maliyetinden daha azdır. Çünkü optimal turun bir kenarını çıkararak bir ağaç elde edebiliriz (hatta bu ağaç bir yol olur). Ancak, bu ağaç optimal olmayabilir. Fakat kesinlikle optimal turdan daha az maliyete sahiptir. Böylece yukarıdaki yöntemi kullanarak elde ettiğimiz turun maliyeti optimal turun maliyetinin en fazla iki katı olur. 22/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi
MAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Gezgin Satıcı Problemi 9. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Gezgin Satıcı Problemi Soru n tane şehri olan bir
DetaylıMAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Euler Formülü 12. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Saldıraya Uğrayan Gezegen Euler Formülü Saldıraya Uğrayan
DetaylıMAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Çizgeler 7. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Çift ve Tek Dereceler Çizgeler Çift ve Tek Dereceler Soru 51 kişinin
DetaylıMAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Ağaçlar 8. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Ağacın Tanımı Ağaçlar Ağacın Tanımı Tanım Döngüsü olmayan tekparça
DetaylıA GRUBU Noktaları adlandırılmış K 6 tam çizgesinin tam olarak 3 noktalı kaç tane alt çizgesi vardır? A) 9 B) 20 C) 24 D) 60 E) 160
A GRUBU.. Numarası :............................................. Adı Soyadı :............................................. SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına
Detaylı3. Herhangi bir G çizgesi için aşağıdaki önermelerden hangi(ler)si her zaman doğrudur?
Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU.0.05 Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız.
DetaylıMAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Geometride Kombinatorik 11. Bölüm Doç. Dr. Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2011 2012 Güz Dönemi Köşegenlerin Arakesiti Geometride Kombinatorik
DetaylıMAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Geometride Kombinatorik 11. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Köşegenlerin Arakesiti Geometride Kombinatorik
DetaylıSINAV YÖNERGESİ. Numarası : CEVAP. Adı Soyadı : ANAHTARI A) 512 B) 513 C) 256 D) 1024 E) 1025 A) 252 B) 256 C) 3024 D) 126 E) =?
Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 0.0.01 Numarası Adı Soyadı : CEVAP : ANAHTARI SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem
Detaylı2. K 6 tam çizgesinde kaç farklı mükemmel eşleme vardır? 4. Düzlemsel kodu (planar code) olan ağacın kaç köşe noktası vardır?
Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 0.06.01 Numarası :. K 6 tam çizgesinde kaç farklı mükemmel eşleme vardır? Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına
DetaylıA GRUBU Her bir yüzü düzgün beşgen olan düzgün 12-yüzlünün kaç ayrıtı vardır? A) 30 B) 24 C) 12 D) 36 E) 48
Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ 2. K 5 tam çizgesinin bir kenarı çıkarılarak elde edilen çizgenin köşe noktaları en az kaç renk ile boyanabilir? A) 3 B) 4 C) 2 D) 5 E) 6 İşaretlemelerinizde kurşun
DetaylıSORULAR. 2. Noktaları adlandırılmamış 6 noktalı kaç ağaç vardır? Çizerek cevaplayınız.
MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ DÖNEM SONU SINAVI 4.0.0 Numarası :..................................... Adı Soyadı :..................................... SORULAR. Prüfer kodu ( 3 3 ) olan ağacı çiziniz.. Noktaları
DetaylıMAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Kombinatoryal Olasılık 5. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar
DetaylıMAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Çizgeler 7. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Çift ve Tek Dereceler Çizgeler Çift ve Tek Dereceler Soru 51 kişinin
DetaylıT.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ÇİZGELERİ BOYAMAK HAZIRLAYAN FERHAN ÇİFTCİ 27991225984. DANIŞMAN Doç. Dr.
T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ÇİZGELERİ BOYAMAK HAZIRLAYAN FERHAN ÇİFTCİ 27991225984 DANIŞMAN Doç. Dr. EMRAH AKYAR MAT401 MATEMATİK UYGULAMALARI 2011 2012 GÜZ DÖNEMİ 1 Ön Bilgiler
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıSevdiğim Birkaç Soru
Sevdiğim Birkaç Soru Matematikte öyle sorular vardır ki, yanıtı bulmak önce çok zor gibi gelebilir, sonradan saatler, günler, aylar, hatta kimi zaman yıllar sonra yanıtın çok basit olduğu anlaşılır. Bir
DetaylıMAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Fibonacci Sayıları 4. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Fibonacci nin Tavşanları Fibonacci Sayıları Fibonacci
DetaylıVERİ YAPILARI. GRAPH LAR Düzce Üniversitesi Teknoloji Fakültesi ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 1
VERİ YAPILARI GRAPH LAR Düzce Üniversitesi Teknoloji Fakültesi ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 1 GRAPH (ÇİZGE - GRAF) Terminoloji Çizge Kullanım Alanları Çizge Gösterimi Komşuluk Matrisi Komşuluk Listesi Çizge Üzerinde
DetaylıGEZGİN SATICI PROBLEMİ. Feasible Çözümler? Optimal Çözüm?
7..07 ÖRNEK : Bir ilaç satış temsilcisi no lu şehirde yaşamaktadır ve mevcut programında ziyaret etmesi gereken farklı şehirde yaşayan müşterileri mevcuttur. Şehirler arasındaki mesafeler tabloda verilmiştir.
Detaylıköşe (vertex) kenar (edg d e)
BÖLÜM 7 köşe (vertex) kenar (edge) Esk den Ank ya bir yol (path) Tanım 7.1.1: Bir G çizgesi (ya da yönsüz çizgesi) köşelerden oluşan bir V kümesinden ve kenarlardan oluşan bir E kümesinden oluşur. Herbir
DetaylıBahçe Sorusu Ali Nesin
Bahçe Sorusu Ali Nesin 1. Giriş. Daire biçiminde bir bahçeye, merkezden başlayarak, birer metre aralıklarla yatay ve dikey sıralanmış fidan dikmeyi düşünüyoruz. İşte bahçemizi ve fidanları dikeceğimiz
DetaylıBMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1
BMT 206 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 Graph (Çizge) Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 2 Graph (Çizge) Köşe (vertex) adı verilen düğümlerden ve kenar (edge) adı verilip köşeleri birbirine bağlayan
DetaylıGRAPH LAR Düzce Üniversitesi Teknoloji Fakültesi VERİ YAPILARI. Bilgisayar Mühendisliği ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 1
VERİ YAPILARI GRAPH LAR Düzce Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 1 GRAPH (ÇİZGE - GRAF) Terminoloji Çizge Kullanım Alanları Çizge Gösterimi Komşuluk Matrisi Komşuluk
Detaylı= 646 ] (n+2) 2 1 = n 2 + 4n+4 1 = (n 2 1)+4(n+1) MAT223 AYRIK MATEMATİK DERSİ 2.ARA SINAVI ÇÖZÜMLER
MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ.ARA SINAVI 18.1.009 ÇÖZÜMLER 1. G çizgesinin silindiğinde kalan çizge tek parça olacak şekildeki kenarlarını birer birer silelim (G yoldan farklı olduğundan en az bir böyle bir
DetaylıLineer Denklem Sistemleri
Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin
DetaylıYZM 2116 Veri Yapıları
YZM 2116 Veri Yapıları Yrd. Doç. Dr. Deniz KILINÇ Celal Bayar Üniversitesi Hasan Ferdi Turgutlu Teknoloji Fakültesi Yazılım Mühendisliği BÖLÜM - 11 Bu bölümde, Graph (Çizge - Graf) Terminoloji Çizge Kullanım
DetaylıBÖLÜM III: Şebeke Modelleri. Şebeke Kavramları. Şebeke Kavramları. Şebeke Kavramları. Yönlü Şebeke (Directed Network) Dal / ok
8.0.0 Şebeke Kavramları BÖLÜM III: Şebeke Modelleri Şebeke (Network) Sonlu sayıdaki düğümler kümesiyle, bunlarla bağlantılı oklar (veya dallar) kümesinin oluşturduğu yapı şeklinde tanımlanabilir ve (N,A)
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylı10.Hafta Minimum kapsayan ağaçlar Minimum spanning trees (MST)
1 10.Hafta Minimum kapsayan ağaçlar Minimum spanning trees (MST) Kapsayan ağaç Spanning Tree (ST) Bir Kapsayan Ağaç (ST); G, grafındaki bir alt graftır ve aşağıdaki özelliklere sahiptir. G grafındaki tüm
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıAlgoritmalar. Çizge Algoritmaları. Bahar 2017 Doç. Dr. Suat Özdemir 1
Algoritmalar Çizge Algoritmaları Bahar 201 Doç. Dr. Suat Özdemir 1 En Kısa Yol Problemi Çizgelerdeki bir diğer önemli problem de bir düğümden diğer bir düğüme olan en kısa yolun bulunmasıdır. Bu problem
Detaylı10. DİREKT ÇARPIMLAR
10. DİREKT ÇARPIMLAR Teorem 10.1. H 1,H 2,, H n bir G grubunun alt gruplarının bir ailesi ve H = H 1 H 2 H n olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir. a ) dönüşümü altında dır. b) ve olmak üzere her yi tek türlü
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıÇARPANLAR ve KATLAR. Uygulama-1. Asal Sayılar. Pozitif Bir Tam Sayının Çarpanlarını Bulma. Aşağıdaki sayıların çarpanlarını (bölenlerini) bulunuz.
Asal Sayılar Sadece kendisine ve sayısına bölünebilen 'den büyük tam sayılara asal sayı denir. En küçük asal sayı 2'dir ÇARPANLAR ve KATLAR Uygulama- Aşağıdaki sayıların çarpanlarını (bölenlerini) 36=
DetaylıÖzdeğer ve Özvektörler
Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin
DetaylıİZMİR İN GEZGİN SATICISI
ÖZEL EGE LİSESİ İZMİR İN GEZGİN SATICISI HAZIRLAYAN ÖĞRENCİLER: Aylin RAMYAR Doruk ÇAKMAKÇI DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Serenay YILMAZ İZMİR 2014 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI... 3 2. GİRİŞ... 3 3. ÖN BİLGİLER...
DetaylıÇARPANLAR VE KATLAR ÖĞRENİYORUM
ÖĞRENİYORUM Bir pozitif tam sayıyı birden fazla pozitif tam sayının çarpımı şeklinde yazarken kullandığımız her bir sayıya o sayının çarpanı denir. Örnek: nin çarpanları,, 3, 4, 6 ve dir. UYGULUYORUM Verilmeyen
DetaylıÇİZGE KURAMI KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR GÜZ
ÇİZGE KURAMI KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR 2012-2013 GÜZ Çizgeler Yollar ve Çevrimler Çizge Olarak Modelleme Çizge Olarak Modelleme Yönlü Çizge Kenar - Köşe 2 / 90 Çizgeler Yollar ve Çevrimler Çizge Olarak
DetaylıMAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Çizgelerde Eşleme 10. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Bir Dans Problemi Çizgelerde Eşleme Bir Dans Problemi
DetaylıİSTANBUL III. BİLİM OLİMPİYATI
İSTANBUL III. BİLİM OLİMPİYATI MATEMATİK SBELIAN Bu çalışma notunda İstanbul Bilim Olimpiyatı matematik sorularının bir bölümünün soru metinleri ve çözümleri verilmiştir. Soruların tamamının yayın hakkı
DetaylıMAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Kombinatoryal Olasılık 5. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 İyi Sıralama 5 Bibliography 13 1 İyi Sıralama Well Ordering İyi sıralama kavramı, doğal sayıların
Detaylı8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR
8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: ve iki grup ve f : G H bir fonksiyon
DetaylıMAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Fibonacci Sayıları 4. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Fibonacci nin Tavşanları Fibonacci Sayıları Fibonacci
DetaylıDers 10: Düzlemde cebirsel eğriler
Ders 10: Düzlemde cebirsel eğriler İzdüşümsel geometride bir doğruyu derecesi 1 olan homojen bir polinomun sıfırları kümesi olarak tarif ettik. Bir kuadrik, derecesi 2 olan homojen bir polinomla anlatılıyordu
DetaylıGraf Veri Modeli. Düğümler kümesi. Kenarlar kümesi
Graf Veri Modeli Graf, bir olay veya ifadenin düğüm ve çizgiler kullanılarak gösterilme şeklidir. Fizik, Kimya gibi temel bilimlerde ve mühendislik uygulamalarında ve tıp biliminde pek çok problemin çözümü
DetaylıEM302 Yöneylem Araştırması 2. Dr. Özgür Kabak
EM302 Yöneylem Araştırması 2 Dr. Özgür Kabak TP Çözümü TP problemlerinin çözümü için başlıca iki yaklaşım vardır kesme düzlemleri (cutting planes) dal sınır (branch and bound) tüm yaklaşımlar tekrarlı
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 Denklik Bağıntıları 5 Bibliography 13 1 Denklik Bağıntıları 1 1denklik 1.1 Eşitlik Günlük
DetaylıYZM ALGORİTMA ANALİZİ VE TASARIM DERS#6: AZALT VE FETHET YÖNTEMİ
YZM 3207- ALGORİTMA ANALİZİ VE TASARIM DERS#6: AZALT VE FETHET YÖNTEMİ Azalt ve Fethet Algoritmaları Problemi daha küçük bir örneğine çevir: Küçük örneği çöz Çözümü asıl probleme genişlet 3 tipi vardır:
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylıiçin Örnek 7.1. simetri grubunu göz önüne alalım. Şu halde dür. Şimdi kalan sınıflarını göz önüne alalım. Eğer ve olarak alırsak işlemini kullanarak
7. Bölüm Grupları olmak üzere grubunu nasıl inşa ettiğimizi hatırlayalım. grubunun alt grubu grubu tüm olacak şekilde tüm sınıflardan oluşmuştur. Sınıfların toplamını ile, yani ile tanımlamıştık. Şimdi
DetaylıSingapur Matematik Olimpiyatı Soruları
Singapur Matematik Olimpiyatı Soruları 1.) 1, 1, 1,., 1 sayıları tahtaya yazılıyor. Burak x ve y gibi iki sayı seçip bunları siliyor ve 1 2 3 2010 x+y+xy sayısını yazıyor. Burak bu işleme tahtada tek sayı
DetaylıMAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT3 AYRIK MATEMATİK 4 Ders Doç Dr Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 00 0 Güz Dönemi 3 yüzyılda İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci aşağıdaki soruyu ortaya atmıştır:
DetaylıŞimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak
10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.
DetaylıZeki Optimizasyon Teknikleri
Zeki Optimizasyon Teknikleri (nt lgorithm) Doç.Dr. M. li kcayol 996 yılında Marco Dorigo tarafından ortaya atılmıştır. Temel olarak karıncaların yiyecek madde ile yuvaları arasındaki en kısa yolu bulmalarından
Detaylı5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması. PROJE ADI Düzensizlikten Düzene: Çeşitkenar Üçgen Üzerinde Eşkenar Üçgen
5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJE ADI Düzensizlikten Düzene: Çeşitkenar Üçgen Üzerinde Eşkenar Üçgen Eslem Nur KELEŞOĞLU Muhammet Enes ÖRCÜN ÖZEL BAŞAKŞEHİR ÇINAR FEN LİSESİ İSTANBUL,
Detaylı11. SINIF KONU ANLATIMLI. 1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET 8. Konu TORK VE DENGE ETKİNLİK VE TEST ÇÖZÜMLERİ
11. SINI NU ANAIMI 1. ÜNİE: UVVE VE HAREE 8. onu R VE DENGE EİNİ VE ES ÇÖZÜMERİ 8 ork ve Denge 1. Ünite 8. onu (ork ve Denge) A nın Çözümleri 1. Çubuk dengede olduğuna göre noktasına göre toplam tork sıfırdır.
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıAlıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.
Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)
Detaylı4.3. Türev ile İlgili Teoremler
4.. Türev ile İlgili Teoremler Bu kesimde ortalama değer teoremini vereceğiz. Ortalama değer teoremini ispatlarken kullanılacak olan Fermat teoremini ve diğer bazı teoremleri ispat edeceğiz. 4...Teorem
DetaylıJBMO c Genç Balkan Matematik Olimpiyatları (JBMO) her yıl katılımcı 10 ülkeden
Genç Balkan Matemat ık Ol ımp ıyatı JBMO 2009 Sorular ve Çözümler ı c www.sbelian.wordpress.com sbelianwordpress@gmail.com Genç Balkan Matematik Olimpiyatları (JBMO) her yıl katılımcı 10 ülkeden gelen
Detaylı( KARMAŞIK SAYI MODÜL VE ÖZELLİKLERİ İKİ KARMAŞIK SAYI ARASI UZAKLIK DÜZLEMDE BELİRTTİĞİ BÖLGELER ) 1) z = z = i.z = z =... 2) z 1.
BİR KARMAŞIK SAYININ MUTLAK DEĞERI (MODÜLÜ) Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın (A noktasının), başlangıç noktasına uzaklığına bu sayının mutlak değeri (modülü) denir ve z şeklinde
DetaylıGENETİK ALGORİTMALAR BÜŞRA GÜRACAR
GENETİK ALGORİTMALAR BÜŞRA GÜRACAR 201420404036 İÇERİK Genetik Algoritmanın, Amacı Kullanım Alanları Kavramları Uygulama Adımları Parametreler Genetik Algoritma Kodlama Türleri Genetik Algoritma Genetik
DetaylıBir odada sonsuz say da insan n bulundu unu varsayal m. Bu
Ramsey Teoremi Bir odada sonsuz say da insan n bulundu unu varsayal m. Bu odada bulunan herhangi iki kifli birbirlerini ya tan rlar ya da tan mazlar. Buras belli. Yan t belli olmayan soru flu: Bu odadan,
DetaylıİÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48
İÇİNDEKİLER Önsöz...2 Önermeler ve İspat Yöntemleri...3 Küme Teorisi...16 Bağıntı...26 Fonksiyon...38 İşlem...48 Sayılabilir - Sonlu ve Sonsuz Kümeler...56 Genel Tarama Sınavı...58 Önermeler ve İspat Yöntemleri
Detaylı1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI
Reel sayılar kümesinin "küçük ya da eşit", bağıntısı ile sıralanmış olduğunu biliyoruz. Bu bağıntı herhangi bir X kümesine aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. Bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma,
Detaylı6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016
6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği
DetaylıUzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi
Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda verilen d 1 ve d aykırı doğrularının ikisine birden dik olan doğruya ortak dikme doğrusu denir... olmak üzere bu iki doğru denkleminde değilse
DetaylıÇemberde Açılar ve Yaylar
Çemberde Açılar ve Yaylar 13.12.2012 Akdeniz Üniversitesi/Antalya Bilgisayar-1 Dersi Projesi İçindekiler KONU HAKKINDA GENEL BİLGİ... 3 ÇEMBERLE İLGİLİ TEMEL KAVRAMLAR... 4 ÇEMBERDE YAYLAR... 5 ÇEMBERDE
DetaylıARALARINDA ASAL SAYILAR
ARALARINDA ASAL SAYILAR Bir ( 1 ) sayısı her sayının bölenidir. İki tamsayının birden başka ortak böleni yoksa böyle iki tamsayıya aralarında asal tam sayılar denir. İki tamsayı asal sayı olmak zorunda
DetaylıAr tık Matematiği Çok Seveceksiniz!
Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Artık matematikten korkmuyorum. Artık matematiği çok seviyorum. Artık az yazarak çok soru çözüyorum. Artık matematikten sıkılmıyorum.
DetaylıGEZGİN SATICI PROBLEMİ İÇİN BİR MEMETİK ALGORİTMA ÖNERİSİ
GEZGİN SATICI PROBLEMİ İÇİN BİR MEMETİK ALGORİTMA ÖNERİSİ Engin Sansarcı İ.T.Ü. İşletme Fakültesi, İSTANBUL enginsansarci@gmail.com Abdullah Aktel İ.T.Ü. İşletmeFakültesi, İSTANBUL abdullahaktel@gmail.com
DetaylıDers 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve
Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve düzlem Geçen ders doğrusal cebir aracılığıyla izdüşümsel geometri için bir model kurduk. Şimdi bu modeli daha somut bir şekle sokalım, F = R durumunda kurduğumuz
DetaylıCevap : B. Cevap : D Not : a b a b a. Cevap: C
07 KPSS GY-GK MATEMATİK SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ (ÖSYM-.05.07) 7 7 7 4 9 4 9 4 9 0 5 5 5 6 6 6 5 9 0 4 9 5 6 5 5 5 6 6 buluruz. 5 9. 4. 4.0 0 5 0 0 5 5 0 5 5. 5 5 5 buluruz. 5 Cevap : Cevap : D Not : a b
Detaylıİlkokulu - 3/ Sınıfı *** Matematik *** Geometrik şekiller - 3
İlkokulu - 3/ Sınıfı *** Matematik *** Geometrik şekiller - 3 Adım Soyadım : Okul Numaram:. S ü l e y m a n O C A K S ü l e y m a n O C A K S O ü l C e y A m a K n İlkokulu - 3/ Sınıfı *** Matematik ***
DetaylıKONU 4: DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODELİ İÇİN ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ I
KONU 4: DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODELİ İÇİN ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ I 4.1. Dışbükeylik ve Uç Nokta Bir d.p.p. de model kısıtlarını aynı anda sağlayan X X X karar değişkenleri... n vektörüne çözüm denir. Eğer bu
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıKareköklü Sayılar. sayısını en yakın onda birliğe kadar tahmin edelim.
1 2 sayısını en yakın onda birliğe kadar tahmin edelim. 3 sayısını en yakın onda birliğe kadar tahmin edelim. 28 sayısına en yakın tam kare sayılar 25 ve 36 dır. 4 sayısını en yakın onda birliğe kadar
DetaylıGraflar bilgi parçaları arasındaki ilişkileri gösterirler.
Graflar (Graphs) Graf gösterimi Uygulama alanları Graf terminolojisi Depth first dolaşma Breadth first dolaşma Topolojik sıralama Yrd.Doç.Dr. M. Ali Akcayol Graflar Graflar bilgi parçaları arasındaki ilişkileri
Detaylı8.SINIF CEBirsel ifadeler
KAZANIM : 8.2.1.1. Basit cebirsel ifadeleri anlar ve farklı biçimlerde yazar. Hatırlatma 2 + 4y - 5 ifadesi bir cebirsel ifadedir ve değişkenler ve y dir. Cebirsel İfade: İçinde bir veya birden fazla bilinmeyen
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıAlgoritma Geliştirme ve Veri Yapıları 10 Graf Veri Modeli. Mustafa Kemal Üniversitesi
Algoritma Geliştirme ve Veri Yapıları 10 Graf Veri Modeli Graf, matematiksel anlamda, düğümler ve bu düğümler arasındaki ilişkiyi gösteren kenarlardan oluşan bir kümedir; mantıksal ilişki düğüm ile düğüm
DetaylıKarabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (2. Hafta)
AĞIRLIK MERKEZİ STATİK (2. Hafta) Ağırlık merkezi: Bir cismi oluşturan herbir parçaya etki eden yerçeki kuvvetlerinin bileşkesinin cismin üzerinden geçtiği noktaya Ağırlık Merkezi denir. Şekil. Ağırlık
Detaylı18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıB Ö L Ü M. ve kitaplar yayınlamış olan bir bilim adamıdır. 2 JULIUS WILHELM RICHARD DEDEKIND ( ), Gauss un öğrencilerinden biridir.
B Ö L Ü M 2 DOĞAL SAYILAR En basit ve temel sayılar doğal sayılardır, sayı kelimesine anlam veren saymak eylemi bu sayılarla başlamıştır. Fakat insanoğlunun var oluşundan beri kullanılan bu sayıların açık
DetaylıSoru Toplam Puanlama Alınan Puan
18.11.2013 No: Ad-Soyad: İmza: Soru 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Toplam Puanlama 20 20 20 20 20 20 20 20 100 Alınan Puan 405024142006.1 CEBİRSEL TOPOLOJİ ARASINAVI CEVAP ANAHTARI (ÖRGÜN ÖĞRETİM) Not: Süre 90
DetaylıBLM-431 YAPAY ZEKA. Ders-5 Bilgili Arama Yöntemleri. Yrd. Doç. Dr. Ümit ATİLA
BLM-431 YAPAY ZEKA Ders-5 Bilgili Arama Yöntemleri Yrd. Doç. Dr. Ümit ATİLA umitatila@karabuk.edu.tr http://web.karabuk.edu.tr/umitatilla/ Arama Grafları Eğer arama uzayı ağaç yapısından değil de graf
DetaylıANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ OLASILIĞA GİRİŞ DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL OLASILIĞA GİRİŞ - Bugün yağmur yağma olasılığı % 75 dir. - X marka bilgisayarın hiç servis gerektirmeden 100000 saat çalışması
DetaylıOLASILIĞA GİRİŞ P( )= =
OLASILIĞA GİRİŞ - Bugün yağmur yağma olasılığı % 75 dir. - X marka bilgisayarın hiç servis gerektirmeden 100000 saat çalışması olasılığı %85 dir. Olasılık modelleri; Sıvı içindeki moleküllerin davranışlarını
DetaylıMUTLAK DEĞER. Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z. Örnek...7 : x=1 5, y= 5 2, ise x+y y x x =? Örnek...1 : =? Örnek...8 : Örnek...2 : =?
TANIM MUTLAK DEĞER Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z ise x y x z z y =? Bir x reel sayısına karşılık gelen noktanın sayı doğrusunda 0 (sıf ır) a olan uzaklığına x sayısının mutlak değeri denir ve x şeklinde
Detaylı2. (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 10 ifadesinin açılımında kaç terim vardır?
Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız. Sınavın ilk 30 dakikasında sınıftan çıkılmayacaktır.
DetaylıAlgoritmalara Giriş J/18.401J Ders 15. Dinamik Programlama En uzun ortak altdizi En uygun altyapı Altproblemlerin çakışması
Algoritmalara Giriş 6.046J/18.401J Ders 15 Dinamik Programlama En uzun ortak altdizi En uygun altyapı Altproblemlerin çakışması Prof. Charles E. Leiserson November 7, 2005 Copyright 2001-5 by Erik D. Demaine
DetaylıAlgoritmalara Giriş 6.046J/18.401J
Algoritmalara Giriş 6.046J/18.401J DERS 12 Atlama Listeleri Veri Yapısı Rastgele Araya Yerleştirme Yüksek olasılıkla" sınırı Analiz (Çözümleme) Yazı Tura Atma Prof. Erik D. Demaine Atlama Listeleri Basit
DetaylıVEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ
1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.
DetaylıBeyin Cimnastikleri (I) Ali Nesin
Beyin Cimnastikleri (I) Ali Nesin S eks, yemek ve oyun doğal zevklerdendir. Her memeli hayvan hoşlanır bunlardan. İlk ikisi konumuz dışında. Üçüncüsünü konu edeceğiz. 1. İlk oyunumuz şöyle: Aşağıdaki dört
Detaylı7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;
İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit
Detaylı