MAT223 AYRIK MATEMATİK

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "MAT223 AYRIK MATEMATİK"

Transkript

1 MAT223 AYRIK MATEMATİK Gezgin Satıcı Problemi 9. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR Öğretim Yılı

2 Gezgin Satıcı Problemi Soru n tane şehri olan bir ülke tüm şehirleri birbirine bağlayan bir telefon ağı kurmak istiyor. 2/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

3 Gezgin Satıcı Problemi Soru n tane şehri olan bir ülke tüm şehirleri birbirine bağlayan bir telefon ağı kurmak istiyor. Her bir şehirden bir diğerine doğrudan hat olmasına gerek yok. 2/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

4 Gezgin Satıcı Problemi Soru n tane şehri olan bir ülke tüm şehirleri birbirine bağlayan bir telefon ağı kurmak istiyor. Her bir şehirden bir diğerine doğrudan hat olmasına gerek yok. Ancak tüm şehirler birbiri ile bağlantılı olacak. 2/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

5 Gezgin Satıcı Problemi Soru n tane şehri olan bir ülke tüm şehirleri birbirine bağlayan bir telefon ağı kurmak istiyor. Her bir şehirden bir diğerine doğrudan hat olmasına gerek yok. Ancak tüm şehirler birbiri ile bağlantılı olacak. Tekparça! 2/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

6 Gezgin Satıcı Problemi Soru n tane şehri olan bir ülke tüm şehirleri birbirine bağlayan bir telefon ağı kurmak istiyor. Her bir şehirden bir diğerine doğrudan hat olmasına gerek yok. Ancak tüm şehirler birbiri ile bağlantılı olacak. Tekparça! Eğer bir şehirden diğer bir şehre bağlantı varsa, bu şehirler arasında doğrudan bir hat olmasına gerek yok. 2/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

7 Gezgin Satıcı Problemi Soru n tane şehri olan bir ülke tüm şehirleri birbirine bağlayan bir telefon ağı kurmak istiyor. Her bir şehirden bir diğerine doğrudan hat olmasına gerek yok. Ancak tüm şehirler birbiri ile bağlantılı olacak. Tekparça! Eğer bir şehirden diğer bir şehre bağlantı varsa, bu şehirler arasında doğrudan bir hat olmasına gerek yok. Döngü bulunmayacak! 2/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

8 Gezgin Satıcı Problemi Soru n tane şehri olan bir ülke tüm şehirleri birbirine bağlayan bir telefon ağı kurmak istiyor. Her bir şehirden bir diğerine doğrudan hat olmasına gerek yok. Ancak tüm şehirler birbiri ile bağlantılı olacak. Tekparça! Eğer bir şehirden diğer bir şehre bağlantı varsa, bu şehirler arasında doğrudan bir hat olmasına gerek yok. Döngü bulunmayacak! O halde istenen, yukarıdaki özellikleri sağlayan minimal çizge yani bir 2/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

9 Gezgin Satıcı Problemi Soru n tane şehri olan bir ülke tüm şehirleri birbirine bağlayan bir telefon ağı kurmak istiyor. Her bir şehirden bir diğerine doğrudan hat olmasına gerek yok. Ancak tüm şehirler birbiri ile bağlantılı olacak. Tekparça! Eğer bir şehirden diğer bir şehre bağlantı varsa, bu şehirler arasında doğrudan bir hat olmasına gerek yok. Döngü bulunmayacak! O halde istenen, yukarıdaki özellikleri sağlayan minimal çizge yani bir ağaç. 2/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

10 Gezgin Satıcı Problemi Soru n tane şehri olan bir ülke tüm şehirleri birbirine bağlayan bir telefon ağı kurmak istiyor. Her bir şehirden bir diğerine doğrudan hat olmasına gerek yok. Ancak tüm şehirler birbiri ile bağlantılı olacak. Tekparça! Eğer bir şehirden diğer bir şehre bağlantı varsa, bu şehirler arasında doğrudan bir hat olmasına gerek yok. Döngü bulunmayacak! O halde istenen, yukarıdaki özellikleri sağlayan minimal çizge yani bir ağaç. Nokta sayısı n olan bir ağacın n 1 tane kenarı olduğuna göre sadece n 1 tane hat döşemek yeterlidir. 2/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

11 Şehirler arasındaki mesafe, dağlar, göller vb. hatların maliyetlerini etkiliyor. Bu nedenle telefon ağı için hangi ağacın seçildiği önemli. 3/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

12 Şehirler arasındaki mesafe, dağlar, göller vb. hatların maliyetlerini etkiliyor. Bu nedenle telefon ağı için hangi ağacın seçildiği önemli. Soru Herhangi iki şehir arasındaki hattın maliyeti verildiğinde maliyeti en düşük ağacı nasıl bulabiliriz? 3/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

13 Şehirler arasındaki mesafe, dağlar, göller vb. hatların maliyetlerini etkiliyor. Bu nedenle telefon ağı için hangi ağacın seçildiği önemli. Soru Herhangi iki şehir arasındaki hattın maliyeti verildiğinde maliyeti en düşük ağacı nasıl bulabiliriz? İlk akla gelen yöntem tüm mümkün ağaçları listeleyip, en düşük maliyetli olanı seçmek olabilir. 3/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

14 Şehirler arasındaki mesafe, dağlar, göller vb. hatların maliyetlerini etkiliyor. Bu nedenle telefon ağı için hangi ağacın seçildiği önemli. Soru Herhangi iki şehir arasındaki hattın maliyeti verildiğinde maliyeti en düşük ağacı nasıl bulabiliriz? İlk akla gelen yöntem tüm mümkün ağaçları listeleyip, en düşük maliyetli olanı seçmek olabilir. Ancak, bu yöntem ifade edildiği kadar kolay uygulanamayabilir. 3/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

15 Şehirler arasındaki mesafe, dağlar, göller vb. hatların maliyetlerini etkiliyor. Bu nedenle telefon ağı için hangi ağacın seçildiği önemli. Soru Herhangi iki şehir arasındaki hattın maliyeti verildiğinde maliyeti en düşük ağacı nasıl bulabiliriz? İlk akla gelen yöntem tüm mümkün ağaçları listeleyip, en düşük maliyetli olanı seçmek olabilir. Ancak, bu yöntem ifade edildiği kadar kolay uygulanamayabilir. Örneğin, sadece 10 şehir için bile Cayley Teoreminden, noktaları adlandırılmış 10 8 tane ağacın var olduğunu biliyoruz. 3/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

16 Şehirler arasındaki mesafe, dağlar, göller vb. hatların maliyetlerini etkiliyor. Bu nedenle telefon ağı için hangi ağacın seçildiği önemli. Soru Herhangi iki şehir arasındaki hattın maliyeti verildiğinde maliyeti en düşük ağacı nasıl bulabiliriz? İlk akla gelen yöntem tüm mümkün ağaçları listeleyip, en düşük maliyetli olanı seçmek olabilir. Ancak, bu yöntem ifade edildiği kadar kolay uygulanamayabilir. Örneğin, sadece 10 şehir için bile Cayley Teoreminden, noktaları adlandırılmış 10 8 tane ağacın var olduğunu biliyoruz. Eğer 20 şehir varsa, bu durumda ağaç sayısı (10 23 ten fazla) olur. 3/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

17 Şehirler arasındaki mesafe, dağlar, göller vb. hatların maliyetlerini etkiliyor. Bu nedenle telefon ağı için hangi ağacın seçildiği önemli. Soru Herhangi iki şehir arasındaki hattın maliyeti verildiğinde maliyeti en düşük ağacı nasıl bulabiliriz? İlk akla gelen yöntem tüm mümkün ağaçları listeleyip, en düşük maliyetli olanı seçmek olabilir. Ancak, bu yöntem ifade edildiği kadar kolay uygulanamayabilir. Örneğin, sadece 10 şehir için bile Cayley Teoreminden, noktaları adlandırılmış 10 8 tane ağacın var olduğunu biliyoruz. Eğer 20 şehir varsa, bu durumda ağaç sayısı (10 23 ten fazla) olur. Bu durumda en düşük maliyetli ağacın bulunması hiç de kolay değil! 3/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

18 Telefon hatlarının şu şekilde döşendiğini kabul edelim: 4/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

19 Telefon hatlarının şu şekilde döşendiğini kabul edelim: Ülke en ucuz hattı döşeyebilecek kadar paraya sahip olduğunda bu hattı döşesin. 4/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

20 Telefon hatlarının şu şekilde döşendiğini kabul edelim: Ülke en ucuz hattı döşeyebilecek kadar paraya sahip olduğunda bu hattı döşesin. Daha sonra yine en ucuz hattı döşeyebilecek kadar paraya sahip olduğunda bu hattı da döşesin. Böyle devam etsin. 4/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

21 Telefon hatlarının şu şekilde döşendiğini kabul edelim: Ülke en ucuz hattı döşeyebilecek kadar paraya sahip olduğunda bu hattı döşesin. Daha sonra yine en ucuz hattı döşeyebilecek kadar paraya sahip olduğunda bu hattı da döşesin. Böyle devam etsin. Ancak, en ucuz hat bir döngü oluşturuyorsa, o hattı döşemesin (biraz daha para biriktirsin). 4/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

22 Telefon hatlarının şu şekilde döşendiğini kabul edelim: Ülke en ucuz hattı döşeyebilecek kadar paraya sahip olduğunda bu hattı döşesin. Daha sonra yine en ucuz hattı döşeyebilecek kadar paraya sahip olduğunda bu hattı da döşesin. Böyle devam etsin. Ancak, en ucuz hat bir döngü oluşturuyorsa, o hattı döşemesin (biraz daha para biriktirsin). Böylece döngü bulundurmayan tekparça bir çizge yani, ağaç elde edilir. 4/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

23 Telefon hatlarının şu şekilde döşendiğini kabul edelim: Ülke en ucuz hattı döşeyebilecek kadar paraya sahip olduğunda bu hattı döşesin. Daha sonra yine en ucuz hattı döşeyebilecek kadar paraya sahip olduğunda bu hattı da döşesin. Böyle devam etsin. Ancak, en ucuz hat bir döngü oluşturuyorsa, o hattı döşemesin (biraz daha para biriktirsin). Böylece döngü bulundurmayan tekparça bir çizge yani, ağaç elde edilir. Soru Peki bu şekilde elde edilen ağaç maliyeti en düşük olan ağaç mı? 4/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

24 Telefon hatlarının şu şekilde döşendiğini kabul edelim: Ülke en ucuz hattı döşeyebilecek kadar paraya sahip olduğunda bu hattı döşesin. Daha sonra yine en ucuz hattı döşeyebilecek kadar paraya sahip olduğunda bu hattı da döşesin. Böyle devam etsin. Ancak, en ucuz hat bir döngü oluşturuyorsa, o hattı döşemesin (biraz daha para biriktirsin). Böylece döngü bulundurmayan tekparça bir çizge yani, ağaç elde edilir. Soru Peki bu şekilde elde edilen ağaç maliyeti en düşük olan ağaç mı? Başlangıçta ucuz olanları, sonlarda ise pahalıları seçmek daha fazla para harcamaya mı sebep olur? 4/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

25 Telefon hatlarının şu şekilde döşendiğini kabul edelim: Ülke en ucuz hattı döşeyebilecek kadar paraya sahip olduğunda bu hattı döşesin. Daha sonra yine en ucuz hattı döşeyebilecek kadar paraya sahip olduğunda bu hattı da döşesin. Böyle devam etsin. Ancak, en ucuz hat bir döngü oluşturuyorsa, o hattı döşemesin (biraz daha para biriktirsin). Böylece döngü bulundurmayan tekparça bir çizge yani, ağaç elde edilir. Soru Peki bu şekilde elde edilen ağaç maliyeti en düşük olan ağaç mı? Başlangıçta ucuz olanları, sonlarda ise pahalıları seçmek daha fazla para harcamaya mı sebep olur? Büyük bir şansla bu yöntemle elde edilen ağaç maliyeti en düşük ağaç olur. 4/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

26 Büyük bir şansla diyoruz. Çünkü, problem biraz daha farklı olsaydı. Örneğin, herhangi iki şehir arasında iki farklı hat olma koşulu istenseydi (hatlardan birisi kesilirse diye). 5/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

27 Gezgin Satıcı Problemi Büyük bir şansla diyoruz. Çünkü, problem biraz daha farklı olsaydı. Örneğin, herhangi iki şehir arasında iki farklı hat olma koşulu istenseydi (hatlardan birisi kesilirse diye). O zaman bu yöntemle elde edilen çizge en ucuz maliyetli çizge olmazdı. Gerçekten de şehirler ve bu şehirler arasındaki hatların maliyetleri aralarındaki uzaklığa bağlı olarak aşağıdaki gibi olsaydı 2 C 1 D 0 A B /22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

28 Gezgin Satıcı Problemi Büyük bir şansla diyoruz. Çünkü, problem biraz daha farklı olsaydı. Örneğin, herhangi iki şehir arasında iki farklı hat olma koşulu istenseydi (hatlardan birisi kesilirse diye). O zaman bu yöntemle elde edilen çizge en ucuz maliyetli çizge olmazdı. Gerçekten de şehirler ve bu şehirler arasındaki hatların maliyetleri aralarındaki uzaklığa bağlı olarak aşağıdaki gibi olsaydı 2 C B C D 1 D A 2 5/2 5/2 0 A B B 65/2 13/2 C /22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

29 Gezgin Satıcı Problemi Büyük bir şansla diyoruz. Çünkü, problem biraz daha farklı olsaydı. Örneğin, herhangi iki şehir arasında iki farklı hat olma koşulu istenseydi (hatlardan birisi kesilirse diye). O zaman bu yöntemle elde edilen çizge en ucuz maliyetli çizge olmazdı. Gerçekten de şehirler ve bu şehirler arasındaki hatların maliyetleri aralarındaki uzaklığa bağlı olarak aşağıdaki gibi olsaydı 2 C B C D 1 D A 2 5/2 5/2 0 A B B 65/2 13/2 C C 2 C 1 D 1 D 0 A B A B Maliyet Maliyet /22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

30 Gezgin Satıcı Problemi Bir bölgedeki köyler arasına bir sulama kanalı inşa etmek istiyorsunuz. Elbette herhangi iki köy arasında doğrudan bir sulama kanalı inşa etmenize gerek yok. Yani, doğrudan bir hat inşa etmek yerine suyu üçüncü bir köy üzerinden de ulaştırabilirsiniz. Yeter ki, her köye su ulaşsın. Diğer taraftan köyler arasındaki dağlar, ormanlar gibi coğrafi koşullar da inşa edilecek kanalların maliyetine etki ediyor. Bu durumda en az maliyetle bu sulama sistemini nasıl inşa etmek gerekir? a b c d e f g e f a b a g d c d e c b f g /22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

31 a b c d e f g a b c d e f g /22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

32 a b c d e f g a b c d e f g a f b g e c d

33 a b c d e f g a b c d e f g a 1 f b g e c d

34 a b c d e f g a b c d e f g a 1 f 2 b g e c d

35 a b c d e f g a b c d e f g a 1 f 2 b g 3 e c d

36 a b c d e f g a b c d e f g a 3 1 f 2 b g 3 e c d

37 a b c d e f g a b c d e f g a f 3 g b e c d

38 a b c d e f g a b c d e f g a f 3 g b e c 5 d

39 a b c d e f g a b c d e f g a f 3 g b e c 5 d 7/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

40 Şimdi tekrar maliyeti en düşük ağacı bulma problemimize geri dönelim ve anlatılan yöntemle bulunan ağacın gerçekten de maliyeti en düşük olan ağaç olduğunu kanıtlayalım. 8/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

41 Şimdi tekrar maliyeti en düşük ağacı bulma problemimize geri dönelim ve anlatılan yöntemle bulunan ağacın gerçekten de maliyeti en düşük olan ağaç olduğunu kanıtlayalım. Bu yönteme Kruskal Algoritması denir. 8/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

42 Şimdi tekrar maliyeti en düşük ağacı bulma problemimize geri dönelim ve anlatılan yöntemle bulunan ağacın gerçekten de maliyeti en düşük olan ağaç olduğunu kanıtlayalım. Bu yönteme Kruskal Algoritması denir. Bu yöntemle elde edilen optimal ağaç F olsun. 8/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

43 Şimdi tekrar maliyeti en düşük ağacı bulma problemimize geri dönelim ve anlatılan yöntemle bulunan ağacın gerçekten de maliyeti en düşük olan ağaç olduğunu kanıtlayalım. Bu yönteme Kruskal Algoritması denir. Bu yöntemle elde edilen optimal ağaç F olsun. Kanıtlamamız gereken herhangi başka bir ağacın maliyetinin en az F kadar olduğudur. 8/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

44 Şimdi tekrar maliyeti en düşük ağacı bulma problemimize geri dönelim ve anlatılan yöntemle bulunan ağacın gerçekten de maliyeti en düşük olan ağaç olduğunu kanıtlayalım. Bu yönteme Kruskal Algoritması denir. Bu yöntemle elde edilen optimal ağaç F olsun. Kanıtlamamız gereken herhangi başka bir ağacın maliyetinin en az F kadar olduğudur. G ağacı, F ağacından farklı herhangi bir ağaç olsun. 8/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

45 Şimdi tekrar maliyeti en düşük ağacı bulma problemimize geri dönelim ve anlatılan yöntemle bulunan ağacın gerçekten de maliyeti en düşük olan ağaç olduğunu kanıtlayalım. Bu yönteme Kruskal Algoritması denir. Bu yöntemle elde edilen optimal ağaç F olsun. Kanıtlamamız gereken herhangi başka bir ağacın maliyetinin en az F kadar olduğudur. G ağacı, F ağacından farklı herhangi bir ağaç olsun. Şimdi bu G ağacının maliyetinin F ağacının maliyetinden daha az olamayacağını gösterelim (maliyetler aynı olabilir). 8/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

46 Gezgin Satıcı Problemi F /22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

47 Gezgin Satıcı Problemi 11 F G /22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

48 Gezgin Satıcı Problemi F ağacını oluştururken G de olmayan ilk kenarı e ile gösterelim. 11 F G e /22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

49 Gezgin Satıcı Problemi Eğer e kenarını G ye eklersek, G ağacında bir döngü oluşur. Bu döngüye C diyelim. 11 F G e 3 2 C /22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

50 C döngüsü F ağacında yer almaz. 12/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

51 C döngüsü F ağacında yer almaz. Dolayısıyla, C döngüsünün F de olmayan f gibi bir kenarı vardır. 12/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

52 C döngüsü F ağacında yer almaz. Dolayısıyla, C döngüsünün F de olmayan f gibi bir kenarı vardır. Eğer G ye e yi ekler, f yi çıkarırsak bir başka ağaç elde ederiz. 12/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

53 Gezgin Satıcı Problemi C döngüsü F ağacında yer almaz. Dolayısıyla, C döngüsünün F de olmayan f gibi bir kenarı vardır. Eğer G ye e yi ekler, f yi çıkarırsak bir başka ağaç elde ederiz. Bu ağacı da H ile gösterelim e /22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

54 Gezgin Satıcı Problemi C döngüsü F ağacında yer almaz. Dolayısıyla, C döngüsünün F de olmayan f gibi bir kenarı vardır. Eğer G ye e yi ekler, f yi çıkarırsak bir başka ağaç elde ederiz. Bu ağacı da H ile gösterelim. 11 F G H e 3 2 C 5 6 f 12/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

55 Şimdi H ağacının maliyetinin en fazla G ağacının maliyeti kadar olduğunu gösterelim. 13/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

56 Şimdi H ağacının maliyetinin en fazla G ağacının maliyeti kadar olduğunu gösterelim. Ya da, G ile H nin sadece e ve f kenarları farklı olduğundan e kenarının maliyetinin en fazla f kenarı kadar olduğunu gösterelim: 13/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

57 Şimdi H ağacının maliyetinin en fazla G ağacının maliyeti kadar olduğunu gösterelim. Ya da, G ile H nin sadece e ve f kenarları farklı olduğundan e kenarının maliyetinin en fazla f kenarı kadar olduğunu gösterelim: Bunun için tersini kabul edelim: f nin maliyeti e nin maliyetinden daha az olsun. 13/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

58 Şimdi H ağacının maliyetinin en fazla G ağacının maliyeti kadar olduğunu gösterelim. Ya da, G ile H nin sadece e ve f kenarları farklı olduğundan e kenarının maliyetinin en fazla f kenarı kadar olduğunu gösterelim: Bunun için tersini kabul edelim: f nin maliyeti e nin maliyetinden daha az olsun. O zaman şu soru sorulabilir: Neden ülke hatları oluştururken daha ucuz olan f hattını değil de e hattını seçti? 13/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

59 Şimdi H ağacının maliyetinin en fazla G ağacının maliyeti kadar olduğunu gösterelim. Ya da, G ile H nin sadece e ve f kenarları farklı olduğundan e kenarının maliyetinin en fazla f kenarı kadar olduğunu gösterelim: Bunun için tersini kabul edelim: f nin maliyeti e nin maliyetinden daha az olsun. O zaman şu soru sorulabilir: Neden ülke hatları oluştururken daha ucuz olan f hattını değil de e hattını seçti? Bunun tek bir nedeni olabilir: f yi seçince bir C döngüsü oluşuyordur. 13/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

60 Şimdi H ağacının maliyetinin en fazla G ağacının maliyeti kadar olduğunu gösterelim. Ya da, G ile H nin sadece e ve f kenarları farklı olduğundan e kenarının maliyetinin en fazla f kenarı kadar olduğunu gösterelim: Bunun için tersini kabul edelim: f nin maliyeti e nin maliyetinden daha az olsun. O zaman şu soru sorulabilir: Neden ülke hatları oluştururken daha ucuz olan f hattını değil de e hattını seçti? Bunun tek bir nedeni olabilir: f yi seçince bir C döngüsü oluşuyordur. Fakat e kenarına kadar olan tüm kenarlar G nin de kenarı! 13/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

61 Şimdi H ağacının maliyetinin en fazla G ağacının maliyeti kadar olduğunu gösterelim. Ya da, G ile H nin sadece e ve f kenarları farklı olduğundan e kenarının maliyetinin en fazla f kenarı kadar olduğunu gösterelim: Bunun için tersini kabul edelim: f nin maliyeti e nin maliyetinden daha az olsun. O zaman şu soru sorulabilir: Neden ülke hatları oluştururken daha ucuz olan f hattını değil de e hattını seçti? Bunun tek bir nedeni olabilir: f yi seçince bir C döngüsü oluşuyordur. Fakat e kenarına kadar olan tüm kenarlar G nin de kenarı! Bu durumda C döngüsü G de olurdu. Ancak, G ağaç olduğundan bu olanaksız. 13/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

62 Şimdi H ağacının maliyetinin en fazla G ağacının maliyeti kadar olduğunu gösterelim. Ya da, G ile H nin sadece e ve f kenarları farklı olduğundan e kenarının maliyetinin en fazla f kenarı kadar olduğunu gösterelim: Bunun için tersini kabul edelim: f nin maliyeti e nin maliyetinden daha az olsun. O zaman şu soru sorulabilir: Neden ülke hatları oluştururken daha ucuz olan f hattını değil de e hattını seçti? Bunun tek bir nedeni olabilir: f yi seçince bir C döngüsü oluşuyordur. Fakat e kenarına kadar olan tüm kenarlar G nin de kenarı! Bu durumda C döngüsü G de olurdu. Ancak, G ağaç olduğundan bu olanaksız. Çelişki! 13/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

63 Şimdi H ağacının maliyetinin en fazla G ağacının maliyeti kadar olduğunu gösterelim. Ya da, G ile H nin sadece e ve f kenarları farklı olduğundan e kenarının maliyetinin en fazla f kenarı kadar olduğunu gösterelim: Bunun için tersini kabul edelim: f nin maliyeti e nin maliyetinden daha az olsun. O zaman şu soru sorulabilir: Neden ülke hatları oluştururken daha ucuz olan f hattını değil de e hattını seçti? Bunun tek bir nedeni olabilir: f yi seçince bir C döngüsü oluşuyordur. Fakat e kenarına kadar olan tüm kenarlar G nin de kenarı! Bu durumda C döngüsü G de olurdu. Ancak, G ağaç olduğundan bu olanaksız. Çelişki! O halde varsayım hatalı f nin maliyeti e den daha az olamaz. Dolayısıyla G ağacının maliyeti H ağacının maliyetinden az olamaz. 13/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

64 Şimdi G ağacını H ağacı ile değiştirirsek, F ağacı ile daha çok kenarı ortak olan ve daha az maliyete sahip bir ağaç elde ederiz. 14/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

65 Şimdi G ağacını H ağacı ile değiştirirsek, F ağacı ile daha çok kenarı ortak olan ve daha az maliyete sahip bir ağaç elde ederiz. Bu yöntemi tekrar tekrar uygularsak, sonunda F ağacına ulaşırız. 14/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

66 Şimdi G ağacını H ağacı ile değiştirirsek, F ağacı ile daha çok kenarı ortak olan ve daha az maliyete sahip bir ağaç elde ederiz. Bu yöntemi tekrar tekrar uygularsak, sonunda F ağacına ulaşırız. O halde F ağacının maliyeti keyfi G ağacının maliyetinden daha fazla olamaz. 14/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

67 Şimdi G ağacını H ağacı ile değiştirirsek, F ağacı ile daha çok kenarı ortak olan ve daha az maliyete sahip bir ağaç elde ederiz. Bu yöntemi tekrar tekrar uygularsak, sonunda F ağacına ulaşırız. O halde F ağacının maliyeti keyfi G ağacının maliyetinden daha fazla olamaz. 14/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

68 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Düzlemde n tane şehir (nokta) ve bu şehirlerin herhangi ikisi arasında doğrudan bir yol olsun. 15/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

69 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Düzlemde n tane şehir (nokta) ve bu şehirlerin herhangi ikisi arasında doğrudan bir yol olsun. Ayrıca bu yollar ile seyahatlerin maliyetleri de verilmiş olsun. Tüm şehirleri ziyaret edip başladığı noktaya geri dönen en ucuz maliyetli döngüyü arayalım. 15/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

70 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Düzlemde n tane şehir (nokta) ve bu şehirlerin herhangi ikisi arasında doğrudan bir yol olsun. Ayrıca bu yollar ile seyahatlerin maliyetleri de verilmiş olsun. Tüm şehirleri ziyaret edip başladığı noktaya geri dönen en ucuz maliyetli döngüyü arayalım. Bu problem kombinatoryal optimizasyon teorisinin en önemli problemlerinden birisidir ve gezgin satıcı problemi olarak bilinir. Postacıların mektupları dağıtmasından, çöpçülerin çöpleri toplamasına kadar bir çok uygulaması vardır. 15/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

71 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Düzlemde n tane şehir (nokta) ve bu şehirlerin herhangi ikisi arasında doğrudan bir yol olsun. Ayrıca bu yollar ile seyahatlerin maliyetleri de verilmiş olsun. Tüm şehirleri ziyaret edip başladığı noktaya geri dönen en ucuz maliyetli döngüyü arayalım. Bu problem kombinatoryal optimizasyon teorisinin en önemli problemlerinden birisidir ve gezgin satıcı problemi olarak bilinir. Postacıların mektupları dağıtmasından, çöpçülerin çöpleri toplamasına kadar bir çok uygulaması vardır. Örneğin, bir matkabın bir bilgisayarın ana kartı üzerine delikler açıp tekrar başladığı konuma geri gelmesi gerektiğini düşünelim. Bu deliklerin sayısı binlerce olabilir. Matkabın delik deleceği bir noktadan diğer bir noktaya konumlanması belli bir zaman alacaktır. İşte bu işlem için gereken toplam zamanı minimize etme problemi de gezgin satıcı problemine bir örnek olarak verilebilir. 15/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

72 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Soru Gezgin satıcı problemi ile Hamilton döngüsü arasında nasıl bir bağlantı vardır? 16/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

73 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Soru Gezgin satıcı problemi ile Hamilton döngüsü arasında nasıl bir bağlantı vardır? d c a b 16/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

74 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Soru Gezgin satıcı problemi ile Hamilton döngüsü arasında nasıl bir bağlantı vardır? d c K 4 tam çizgesinde 3 farklı Hamilton Döngüsü vardır. a b 16/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

75 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Soru Gezgin satıcı problemi ile Hamilton döngüsü arasında nasıl bir bağlantı vardır? d c K 4 tam çizgesinde 3 farklı Hamilton Döngüsü vardır. a b c d a a b 16/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

76 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Soru Gezgin satıcı problemi ile Hamilton döngüsü arasında nasıl bir bağlantı vardır? d c K 4 tam çizgesinde 3 farklı Hamilton Döngüsü vardır. a b c d a a c d b a a b 16/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

77 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Soru Gezgin satıcı problemi ile Hamilton döngüsü arasında nasıl bir bağlantı vardır? K 4 tam çizgesinde 3 farklı Hamilton Döngüsü vardır. d c a b c d a a c d b a a b d c a a b Bir tam çizge üzerindeki gezgin satıcı probleminin çözümü elbette bir Hamilton döngüsü olur. 16/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

78 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Soru Gezgin satıcı problemi ile Hamilton döngüsü arasında nasıl bir bağlantı vardır? K 4 tam çizgesinde 3 farklı Hamilton Döngüsü vardır. d c a b c d a a c d b a a b d c a a b Bir tam çizge üzerindeki gezgin satıcı probleminin çözümü elbette bir Hamilton döngüsü olur. Soru Bir K n tamçizgesinde kaç farklı Hamilton döngüsü vardır? (Ödev) 16/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

79 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) n noktalı bir G çizgesi verildiğinde bu çizgenin noktaları arasında şöyle bir uzaklık tanımlayalım: 17/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

80 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) n noktalı bir G çizgesi verildiğinde bu çizgenin noktaları arasında şöyle bir uzaklık tanımlayalım: Komşu noktaların birbirine uzaklığı 1, komşu olmayan iki noktanın birbirine olan uzaklığı da 2 birim olsun. 17/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

81 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) n noktalı bir G çizgesi verildiğinde bu çizgenin noktaları arasında şöyle bir uzaklık tanımlayalım: Komşu noktaların birbirine uzaklığı 1, komşu olmayan iki noktanın birbirine olan uzaklığı da 2 birim olsun. Bu uzaklık ile verilen n noktalı G çizgesinde bir Hamilton döngüsü varsa, bu döngü aynı zamanda gezgin satıcı probleminin bir çözümü olur ve optimal maliyet n olur. 17/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

82 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) n noktalı bir G çizgesi verildiğinde bu çizgenin noktaları arasında şöyle bir uzaklık tanımlayalım: Komşu noktaların birbirine uzaklığı 1, komşu olmayan iki noktanın birbirine olan uzaklığı da 2 birim olsun. Bu uzaklık ile verilen n noktalı G çizgesinde bir Hamilton döngüsü varsa, bu döngü aynı zamanda gezgin satıcı probleminin bir çözümü olur ve optimal maliyet n olur. Çizgede bir Hamilton döngüsü yoksa gezgin satıcı probleminin çözümünün maliyeti en az n+1 olacaktır. 17/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

83 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) n noktalı bir G çizgesi verildiğinde bu çizgenin noktaları arasında şöyle bir uzaklık tanımlayalım: Komşu noktaların birbirine uzaklığı 1, komşu olmayan iki noktanın birbirine olan uzaklığı da 2 birim olsun. Bu uzaklık ile verilen n noktalı G çizgesinde bir Hamilton döngüsü varsa, bu döngü aynı zamanda gezgin satıcı probleminin bir çözümü olur ve optimal maliyet n olur. Çizgede bir Hamilton döngüsü yoksa gezgin satıcı probleminin çözümünün maliyeti en az n+1 olacaktır. Böylece, gezgin satıcı problemini çözecek bir algoritmamız varsa, bu algoritma yardımıyla çizgede bir Hamilton döngüsünün olup olmadığını da söyleyebiliriz. 17/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

84 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Gezgin satıcı problemi, optimal ağacı bulma probleminden çok daha zor bir problemdir. 18/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

85 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Gezgin satıcı problemi, optimal ağacı bulma probleminden çok daha zor bir problemdir. Ne yazık ki gezgin satıcı problemini çözmek için Kruskal Algoritması gibi bu ders kapsamında verebileceğimiz basit bir algoritma yoktur. 18/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

86 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Gezgin satıcı problemi, optimal ağacı bulma probleminden çok daha zor bir problemdir. Ne yazık ki gezgin satıcı problemini çözmek için Kruskal Algoritması gibi bu ders kapsamında verebileceğimiz basit bir algoritma yoktur. Elbette literatürde çeşitli algoritmalar ve bu algoritmaların uygulamaları yer almaktadır. 18/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

87 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Gezgin satıcı problemi, optimal ağacı bulma probleminden çok daha zor bir problemdir. Ne yazık ki gezgin satıcı problemini çözmek için Kruskal Algoritması gibi bu ders kapsamında verebileceğimiz basit bir algoritma yoktur. Elbette literatürde çeşitli algoritmalar ve bu algoritmaların uygulamaları yer almaktadır. Örneğin, 2004 yılında İsveç in şehri için gezgin satıcı problemi çözülmüştür (yaklaşık kilometre). Şu anda rekor şehir civarındadır (devre tasarımı). 18/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

88 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Gezgin satıcı problemi, optimal ağacı bulma probleminden çok daha zor bir problemdir. Ne yazık ki gezgin satıcı problemini çözmek için Kruskal Algoritması gibi bu ders kapsamında verebileceğimiz basit bir algoritma yoktur. Elbette literatürde çeşitli algoritmalar ve bu algoritmaların uygulamaları yer almaktadır. Örneğin, 2004 yılında İsveç in şehri için gezgin satıcı problemi çözülmüştür (yaklaşık kilometre). Şu anda rekor şehir civarındadır (devre tasarımı). (http://www.tsp.gatech.edu/) 18/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

89 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Fakat basit bir algoritmayla en iyi turu bulamasak da en iyi turun maliyetinden en fazla iki kat maliyete sahip turu kolayca bulabiliriz. 19/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

90 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Fakat basit bir algoritmayla en iyi turu bulamasak da en iyi turun maliyetinden en fazla iki kat maliyete sahip turu kolayca bulabiliriz. Bunun için verilen çizgenin üçgen eşitsizliğini sağladığını kabul edeceğiz. 19/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

91 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Fakat basit bir algoritmayla en iyi turu bulamasak da en iyi turun maliyetinden en fazla iki kat maliyete sahip turu kolayca bulabiliriz. Bunun için verilen çizgenin üçgen eşitsizliğini sağladığını kabul edeceğiz. Yani, bir i noktasından j noktasına gitmenin maliyeti c(ij) ile gösterilecek olursa, c(ij)+c(jk) c(ik) olduğunu kabul edeceğiz (doğrudan i den k ya gitmenin maliyeti j ye uğrayarak k ya gitmenin maliyetinden daha az olsun). 19/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

92 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Fakat basit bir algoritmayla en iyi turu bulamasak da en iyi turun maliyetinden en fazla iki kat maliyete sahip turu kolayca bulabiliriz. Bunun için verilen çizgenin üçgen eşitsizliğini sağladığını kabul edeceğiz. Yani, bir i noktasından j noktasına gitmenin maliyeti c(ij) ile gösterilecek olursa, c(ij)+c(jk) c(ik) olduğunu kabul edeceğiz (doğrudan i den k ya gitmenin maliyeti j ye uğrayarak k ya gitmenin maliyetinden daha az olsun). Bu eşitsizlik doğal bir eşitsizlik gibi görünse de bazen hava yolu şirketlerinde aktarmalı uçuşların maliyetleri doğrudan uçuşların maliyetinden daha az olabiliyor. 19/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

93 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Algoritmamız şöyle: 20/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

94 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Algoritmamız şöyle: Önce verilen noktaları birleştiren optimal T ağacını bulalım. 20/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

95 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Algoritmamız şöyle: Önce verilen noktaları birleştiren optimal T ağacını bulalım. Bu ağacın maliyetine c diyelim. 20/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

96 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Algoritmamız şöyle: Önce verilen noktaları birleştiren optimal T ağacını bulalım. Bu ağacın maliyetine c diyelim. Bu ağacı kullanarak daha önce düzlemsel kod elde etmek için kullanılan yönteme benzer şekilde ağacın etrafında dolaşalım. 20/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

97 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Algoritmamız şöyle: Önce verilen noktaları birleştiren optimal T ağacını bulalım. Bu ağacın maliyetine c diyelim. Bu ağacı kullanarak daha önce düzlemsel kod elde etmek için kullanılan yönteme benzer şekilde ağacın etrafında dolaşalım. Ancak, bir i noktasından j noktasına giderken, j noktasına daha önce uğramışsak, onu atlayıp daha önce uğramadığımız k noktasına geçelim (kestirmeden gidelim). 20/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

98 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem)

99 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) 21/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

100 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem)

101 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem)

102 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem)

103 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem)

104 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem)

105 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem)

106 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem)

107 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem)

108 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem)

109 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) 21/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

110 Gezgin Satıcı Problemi Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Ders kitabındaki çözümlü alıştırmalar ve yi inceleyiniz. 21/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

111 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Teorem Üçgen eşitsizliğini sağlayan bir çizgede yukarıdaki yöntemle elde edilen turun maliyeti gezgin satıcı probleminin çözümünün maliyetinin iki katından az olur. 22/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

112 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Teorem Üçgen eşitsizliğini sağlayan bir çizgede yukarıdaki yöntemle elde edilen turun maliyeti gezgin satıcı probleminin çözümünün maliyetinin iki katından az olur. Kanıt. Açıktır ki T ağacının maliyeti c ise bu ağacın etrafını dolaşmanın maliyeti 2c olur. 22/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

113 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Teorem Üçgen eşitsizliğini sağlayan bir çizgede yukarıdaki yöntemle elde edilen turun maliyeti gezgin satıcı probleminin çözümünün maliyetinin iki katından az olur. Kanıt. Açıktır ki T ağacının maliyeti c ise bu ağacın etrafını dolaşmanın maliyeti 2c olur. Hatta üçgen eşitsizliğinden ve (varsa) kestirme yolları kullandığımızdan maliyet 2c den de az olabilir. 22/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

114 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Teorem Üçgen eşitsizliğini sağlayan bir çizgede yukarıdaki yöntemle elde edilen turun maliyeti gezgin satıcı probleminin çözümünün maliyetinin iki katından az olur. Kanıt. Açıktır ki T ağacının maliyeti c ise bu ağacın etrafını dolaşmanın maliyeti 2c olur. Hatta üçgen eşitsizliğinden ve (varsa) kestirme yolları kullandığımızdan maliyet 2c den de az olabilir. Peki bu yöntemle elde ettiğimiz turun maliyetinin optimal turun maliyeti ile nasıl bir bağlantısı var? 22/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

115 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Teorem Üçgen eşitsizliğini sağlayan bir çizgede yukarıdaki yöntemle elde edilen turun maliyeti gezgin satıcı probleminin çözümünün maliyetinin iki katından az olur. Kanıt. Açıktır ki T ağacının maliyeti c ise bu ağacın etrafını dolaşmanın maliyeti 2c olur. Hatta üçgen eşitsizliğinden ve (varsa) kestirme yolları kullandığımızdan maliyet 2c den de az olabilir. Peki bu yöntemle elde ettiğimiz turun maliyetinin optimal turun maliyeti ile nasıl bir bağlantısı var? Açıktır ki, optimal ağacın maliyeti, optimal turun maliyetinden daha azdır. 22/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

116 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Teorem Üçgen eşitsizliğini sağlayan bir çizgede yukarıdaki yöntemle elde edilen turun maliyeti gezgin satıcı probleminin çözümünün maliyetinin iki katından az olur. Kanıt. Açıktır ki T ağacının maliyeti c ise bu ağacın etrafını dolaşmanın maliyeti 2c olur. Hatta üçgen eşitsizliğinden ve (varsa) kestirme yolları kullandığımızdan maliyet 2c den de az olabilir. Peki bu yöntemle elde ettiğimiz turun maliyetinin optimal turun maliyeti ile nasıl bir bağlantısı var? Açıktır ki, optimal ağacın maliyeti, optimal turun maliyetinden daha azdır. Çünkü optimal turun bir kenarını çıkararak bir ağaç elde edebiliriz (hatta bu ağaç bir yol olur). 22/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

117 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Teorem Üçgen eşitsizliğini sağlayan bir çizgede yukarıdaki yöntemle elde edilen turun maliyeti gezgin satıcı probleminin çözümünün maliyetinin iki katından az olur. Kanıt. Açıktır ki T ağacının maliyeti c ise bu ağacın etrafını dolaşmanın maliyeti 2c olur. Hatta üçgen eşitsizliğinden ve (varsa) kestirme yolları kullandığımızdan maliyet 2c den de az olabilir. Peki bu yöntemle elde ettiğimiz turun maliyetinin optimal turun maliyeti ile nasıl bir bağlantısı var? Açıktır ki, optimal ağacın maliyeti, optimal turun maliyetinden daha azdır. Çünkü optimal turun bir kenarını çıkararak bir ağaç elde edebiliriz (hatta bu ağaç bir yol olur). Ancak, bu ağaç optimal olmayabilir. Fakat kesinlikle optimal turdan daha az maliyete sahiptir. 22/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

118 Gezgin Satıcı Problemi (The Traveling Salesman Problem) Teorem Üçgen eşitsizliğini sağlayan bir çizgede yukarıdaki yöntemle elde edilen turun maliyeti gezgin satıcı probleminin çözümünün maliyetinin iki katından az olur. Kanıt. Açıktır ki T ağacının maliyeti c ise bu ağacın etrafını dolaşmanın maliyeti 2c olur. Hatta üçgen eşitsizliğinden ve (varsa) kestirme yolları kullandığımızdan maliyet 2c den de az olabilir. Peki bu yöntemle elde ettiğimiz turun maliyetinin optimal turun maliyeti ile nasıl bir bağlantısı var? Açıktır ki, optimal ağacın maliyeti, optimal turun maliyetinden daha azdır. Çünkü optimal turun bir kenarını çıkararak bir ağaç elde edebiliriz (hatta bu ağaç bir yol olur). Ancak, bu ağaç optimal olmayabilir. Fakat kesinlikle optimal turdan daha az maliyete sahiptir. Böylece yukarıdaki yöntemi kullanarak elde ettiğimiz turun maliyeti optimal turun maliyetinin en fazla iki katı olur. 22/22 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Gezgin Satıcı Problemi 9. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Gezgin Satıcı Problemi Soru n tane şehri olan bir

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Euler Formülü 12. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Saldıraya Uğrayan Gezegen Euler Formülü Saldıraya Uğrayan

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Çizgeler 7. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Çift ve Tek Dereceler Çizgeler Çift ve Tek Dereceler Soru 51 kişinin

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Ağaçlar 8. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Ağacın Tanımı Ağaçlar Ağacın Tanımı Tanım Döngüsü olmayan tekparça

Detaylı

3. Herhangi bir G çizgesi için aşağıdaki önermelerden hangi(ler)si her zaman doğrudur?

3. Herhangi bir G çizgesi için aşağıdaki önermelerden hangi(ler)si her zaman doğrudur? Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU.0.05 Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız.

Detaylı

A GRUBU Noktaları adlandırılmış K 6 tam çizgesinin tam olarak 3 noktalı kaç tane alt çizgesi vardır? A) 9 B) 20 C) 24 D) 60 E) 160

A GRUBU Noktaları adlandırılmış K 6 tam çizgesinin tam olarak 3 noktalı kaç tane alt çizgesi vardır? A) 9 B) 20 C) 24 D) 60 E) 160 A GRUBU.. Numarası :............................................. Adı Soyadı :............................................. SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Geometride Kombinatorik 11. Bölüm Doç. Dr. Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2011 2012 Güz Dönemi Köşegenlerin Arakesiti Geometride Kombinatorik

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Geometride Kombinatorik 11. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Köşegenlerin Arakesiti Geometride Kombinatorik

Detaylı

SINAV YÖNERGESİ. Numarası : CEVAP. Adı Soyadı : ANAHTARI A) 512 B) 513 C) 256 D) 1024 E) 1025 A) 252 B) 256 C) 3024 D) 126 E) =?

SINAV YÖNERGESİ. Numarası : CEVAP. Adı Soyadı : ANAHTARI A) 512 B) 513 C) 256 D) 1024 E) 1025 A) 252 B) 256 C) 3024 D) 126 E) =? Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 0.0.01 Numarası Adı Soyadı : CEVAP : ANAHTARI SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem

Detaylı

2. K 6 tam çizgesinde kaç farklı mükemmel eşleme vardır? 4. Düzlemsel kodu (planar code) olan ağacın kaç köşe noktası vardır?

2. K 6 tam çizgesinde kaç farklı mükemmel eşleme vardır? 4. Düzlemsel kodu (planar code) olan ağacın kaç köşe noktası vardır? Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 0.06.01 Numarası :. K 6 tam çizgesinde kaç farklı mükemmel eşleme vardır? Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına

Detaylı

A GRUBU Her bir yüzü düzgün beşgen olan düzgün 12-yüzlünün kaç ayrıtı vardır? A) 30 B) 24 C) 12 D) 36 E) 48

A GRUBU Her bir yüzü düzgün beşgen olan düzgün 12-yüzlünün kaç ayrıtı vardır? A) 30 B) 24 C) 12 D) 36 E) 48 Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ 2. K 5 tam çizgesinin bir kenarı çıkarılarak elde edilen çizgenin köşe noktaları en az kaç renk ile boyanabilir? A) 3 B) 4 C) 2 D) 5 E) 6 İşaretlemelerinizde kurşun

Detaylı

SORULAR. 2. Noktaları adlandırılmamış 6 noktalı kaç ağaç vardır? Çizerek cevaplayınız.

SORULAR. 2. Noktaları adlandırılmamış 6 noktalı kaç ağaç vardır? Çizerek cevaplayınız. MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ DÖNEM SONU SINAVI 4.0.0 Numarası :..................................... Adı Soyadı :..................................... SORULAR. Prüfer kodu ( 3 3 ) olan ağacı çiziniz.. Noktaları

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Kombinatoryal Olasılık 5. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Çizgeler 7. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Çift ve Tek Dereceler Çizgeler Çift ve Tek Dereceler Soru 51 kişinin

Detaylı

T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ÇİZGELERİ BOYAMAK HAZIRLAYAN FERHAN ÇİFTCİ 27991225984. DANIŞMAN Doç. Dr.

T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ÇİZGELERİ BOYAMAK HAZIRLAYAN FERHAN ÇİFTCİ 27991225984. DANIŞMAN Doç. Dr. T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ÇİZGELERİ BOYAMAK HAZIRLAYAN FERHAN ÇİFTCİ 27991225984 DANIŞMAN Doç. Dr. EMRAH AKYAR MAT401 MATEMATİK UYGULAMALARI 2011 2012 GÜZ DÖNEMİ 1 Ön Bilgiler

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Fibonacci Sayıları 4. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Fibonacci nin Tavşanları Fibonacci Sayıları Fibonacci

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

köşe (vertex) kenar (edg d e)

köşe (vertex) kenar (edg d e) BÖLÜM 7 köşe (vertex) kenar (edge) Esk den Ank ya bir yol (path) Tanım 7.1.1: Bir G çizgesi (ya da yönsüz çizgesi) köşelerden oluşan bir V kümesinden ve kenarlardan oluşan bir E kümesinden oluşur. Herbir

Detaylı

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 BMT 206 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 Graph (Çizge) Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 2 Graph (Çizge) Köşe (vertex) adı verilen düğümlerden ve kenar (edge) adı verilip köşeleri birbirine bağlayan

Detaylı

= 646 ] (n+2) 2 1 = n 2 + 4n+4 1 = (n 2 1)+4(n+1) MAT223 AYRIK MATEMATİK DERSİ 2.ARA SINAVI ÇÖZÜMLER

= 646 ] (n+2) 2 1 = n 2 + 4n+4 1 = (n 2 1)+4(n+1) MAT223 AYRIK MATEMATİK DERSİ 2.ARA SINAVI ÇÖZÜMLER MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ.ARA SINAVI 18.1.009 ÇÖZÜMLER 1. G çizgesinin silindiğinde kalan çizge tek parça olacak şekildeki kenarlarını birer birer silelim (G yoldan farklı olduğundan en az bir böyle bir

Detaylı

VERİ YAPILARI. GRAPH LAR Düzce Üniversitesi Teknoloji Fakültesi ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 1

VERİ YAPILARI. GRAPH LAR Düzce Üniversitesi Teknoloji Fakültesi ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 1 VERİ YAPILARI GRAPH LAR Düzce Üniversitesi Teknoloji Fakültesi ÖĞR.GÖR.GÜNAY TEMÜR 1 GRAPH (ÇİZGE - GRAF) Terminoloji Çizge Kullanım Alanları Çizge Gösterimi Komşuluk Matrisi Komşuluk Listesi Çizge Üzerinde

Detaylı

Bahçe Sorusu Ali Nesin

Bahçe Sorusu Ali Nesin Bahçe Sorusu Ali Nesin 1. Giriş. Daire biçiminde bir bahçeye, merkezden başlayarak, birer metre aralıklarla yatay ve dikey sıralanmış fidan dikmeyi düşünüyoruz. İşte bahçemizi ve fidanları dikeceğimiz

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri

Lineer Denklem Sistemleri Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin

Detaylı

YZM 2116 Veri Yapıları

YZM 2116 Veri Yapıları YZM 2116 Veri Yapıları Yrd. Doç. Dr. Deniz KILINÇ Celal Bayar Üniversitesi Hasan Ferdi Turgutlu Teknoloji Fakültesi Yazılım Mühendisliği BÖLÜM - 11 Bu bölümde, Graph (Çizge - Graf) Terminoloji Çizge Kullanım

Detaylı

Algoritmalar. Çizge Algoritmaları. Bahar 2017 Doç. Dr. Suat Özdemir 1

Algoritmalar. Çizge Algoritmaları. Bahar 2017 Doç. Dr. Suat Özdemir 1 Algoritmalar Çizge Algoritmaları Bahar 201 Doç. Dr. Suat Özdemir 1 En Kısa Yol Problemi Çizgelerdeki bir diğer önemli problem de bir düğümden diğer bir düğüme olan en kısa yolun bulunmasıdır. Bu problem

Detaylı

10. DİREKT ÇARPIMLAR

10. DİREKT ÇARPIMLAR 10. DİREKT ÇARPIMLAR Teorem 10.1. H 1,H 2,, H n bir G grubunun alt gruplarının bir ailesi ve H = H 1 H 2 H n olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir. a ) dönüşümü altında dır. b) ve olmak üzere her yi tek türlü

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

ÇARPANLAR ve KATLAR. Uygulama-1. Asal Sayılar. Pozitif Bir Tam Sayının Çarpanlarını Bulma. Aşağıdaki sayıların çarpanlarını (bölenlerini) bulunuz.

ÇARPANLAR ve KATLAR. Uygulama-1. Asal Sayılar. Pozitif Bir Tam Sayının Çarpanlarını Bulma. Aşağıdaki sayıların çarpanlarını (bölenlerini) bulunuz. Asal Sayılar Sadece kendisine ve sayısına bölünebilen 'den büyük tam sayılara asal sayı denir. En küçük asal sayı 2'dir ÇARPANLAR ve KATLAR Uygulama- Aşağıdaki sayıların çarpanlarını (bölenlerini) 36=

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

YAPAY BAĞIŞIKLIK SİSTEMİ. Arş. Gör. Burcu ÇARKLI YAVUZ

YAPAY BAĞIŞIKLIK SİSTEMİ. Arş. Gör. Burcu ÇARKLI YAVUZ YAPAY BAĞIŞIKLIK SİSTEMİ Arş. Gör. Burcu ÇARKLI YAVUZ İnsanoğlu doğadaki müthiş uyumu yıllar önce keşfetmiş ve doğal sistemlerin işleyişini günümüz karmaşık problemlerinin çözümünde uygulayarak, karmaşık

Detaylı

İZMİR İN GEZGİN SATICISI

İZMİR İN GEZGİN SATICISI ÖZEL EGE LİSESİ İZMİR İN GEZGİN SATICISI HAZIRLAYAN ÖĞRENCİLER: Aylin RAMYAR Doruk ÇAKMAKÇI DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Serenay YILMAZ İZMİR 2014 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI... 3 2. GİRİŞ... 3 3. ÖN BİLGİLER...

Detaylı

ÇARPANLAR VE KATLAR ÖĞRENİYORUM

ÇARPANLAR VE KATLAR ÖĞRENİYORUM ÖĞRENİYORUM Bir pozitif tam sayıyı birden fazla pozitif tam sayının çarpımı şeklinde yazarken kullandığımız her bir sayıya o sayının çarpanı denir. Örnek: nin çarpanları,, 3, 4, 6 ve dir. UYGULUYORUM Verilmeyen

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

ÇİZGE KURAMI KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR GÜZ

ÇİZGE KURAMI KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR GÜZ ÇİZGE KURAMI KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR 2012-2013 GÜZ Çizgeler Yollar ve Çevrimler Çizge Olarak Modelleme Çizge Olarak Modelleme Yönlü Çizge Kenar - Köşe 2 / 90 Çizgeler Yollar ve Çevrimler Çizge Olarak

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Kombinatoryal Olasılık 5. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar

Detaylı

İSTANBUL III. BİLİM OLİMPİYATI

İSTANBUL III. BİLİM OLİMPİYATI İSTANBUL III. BİLİM OLİMPİYATI MATEMATİK SBELIAN Bu çalışma notunda İstanbul Bilim Olimpiyatı matematik sorularının bir bölümünün soru metinleri ve çözümleri verilmiştir. Soruların tamamının yayın hakkı

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 İyi Sıralama 5 Bibliography 13 1 İyi Sıralama Well Ordering İyi sıralama kavramı, doğal sayıların

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Fibonacci Sayıları 4. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Fibonacci nin Tavşanları Fibonacci Sayıları Fibonacci

Detaylı

Graf Veri Modeli. Düğümler kümesi. Kenarlar kümesi

Graf Veri Modeli. Düğümler kümesi. Kenarlar kümesi Graf Veri Modeli Graf, bir olay veya ifadenin düğüm ve çizgiler kullanılarak gösterilme şeklidir. Fizik, Kimya gibi temel bilimlerde ve mühendislik uygulamalarında ve tıp biliminde pek çok problemin çözümü

Detaylı

EM302 Yöneylem Araştırması 2. Dr. Özgür Kabak

EM302 Yöneylem Araştırması 2. Dr. Özgür Kabak EM302 Yöneylem Araştırması 2 Dr. Özgür Kabak TP Çözümü TP problemlerinin çözümü için başlıca iki yaklaşım vardır kesme düzlemleri (cutting planes) dal sınır (branch and bound) tüm yaklaşımlar tekrarlı

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 Denklik Bağıntıları 5 Bibliography 13 1 Denklik Bağıntıları 1 1denklik 1.1 Eşitlik Günlük

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Çizgelerde Eşleme 10. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Bir Dans Problemi Çizgelerde Eşleme Bir Dans Problemi

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT3 AYRIK MATEMATİK 4 Ders Doç Dr Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 00 0 Güz Dönemi 3 yüzyılda İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci aşağıdaki soruyu ortaya atmıştır:

Detaylı

Singapur Matematik Olimpiyatı Soruları

Singapur Matematik Olimpiyatı Soruları Singapur Matematik Olimpiyatı Soruları 1.) 1, 1, 1,., 1 sayıları tahtaya yazılıyor. Burak x ve y gibi iki sayı seçip bunları siliyor ve 1 2 3 2010 x+y+xy sayısını yazıyor. Burak bu işleme tahtada tek sayı

Detaylı

Zeki Optimizasyon Teknikleri

Zeki Optimizasyon Teknikleri Zeki Optimizasyon Teknikleri (nt lgorithm) Doç.Dr. M. li kcayol 996 yılında Marco Dorigo tarafından ortaya atılmıştır. Temel olarak karıncaların yiyecek madde ile yuvaları arasındaki en kısa yolu bulmalarından

Detaylı

Ders 10: Düzlemde cebirsel eğriler

Ders 10: Düzlemde cebirsel eğriler Ders 10: Düzlemde cebirsel eğriler İzdüşümsel geometride bir doğruyu derecesi 1 olan homojen bir polinomun sıfırları kümesi olarak tarif ettik. Bir kuadrik, derecesi 2 olan homojen bir polinomla anlatılıyordu

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48 İÇİNDEKİLER Önsöz...2 Önermeler ve İspat Yöntemleri...3 Küme Teorisi...16 Bağıntı...26 Fonksiyon...38 İşlem...48 Sayılabilir - Sonlu ve Sonsuz Kümeler...56 Genel Tarama Sınavı...58 Önermeler ve İspat Yöntemleri

Detaylı

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016 6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

GEZGİN SATICI PROBLEMİ İÇİN BİR MEMETİK ALGORİTMA ÖNERİSİ

GEZGİN SATICI PROBLEMİ İÇİN BİR MEMETİK ALGORİTMA ÖNERİSİ GEZGİN SATICI PROBLEMİ İÇİN BİR MEMETİK ALGORİTMA ÖNERİSİ Engin Sansarcı İ.T.Ü. İşletme Fakültesi, İSTANBUL enginsansarci@gmail.com Abdullah Aktel İ.T.Ü. İşletmeFakültesi, İSTANBUL abdullahaktel@gmail.com

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

İlkokulu - 3/ Sınıfı *** Matematik *** Geometrik şekiller - 3

İlkokulu - 3/ Sınıfı *** Matematik *** Geometrik şekiller - 3 İlkokulu - 3/ Sınıfı *** Matematik *** Geometrik şekiller - 3 Adım Soyadım : Okul Numaram:. S ü l e y m a n O C A K S ü l e y m a n O C A K S O ü l C e y A m a K n İlkokulu - 3/ Sınıfı *** Matematik ***

Detaylı

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET 8. Konu TORK VE DENGE ETKİNLİK VE TEST ÇÖZÜMLERİ

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET 8. Konu TORK VE DENGE ETKİNLİK VE TEST ÇÖZÜMLERİ 11. SINI NU ANAIMI 1. ÜNİE: UVVE VE HAREE 8. onu R VE DENGE EİNİ VE ES ÇÖZÜMERİ 8 ork ve Denge 1. Ünite 8. onu (ork ve Denge) A nın Çözümleri 1. Çubuk dengede olduğuna göre noktasına göre toplam tork sıfırdır.

Detaylı

4.3. Türev ile İlgili Teoremler

4.3. Türev ile İlgili Teoremler 4.. Türev ile İlgili Teoremler Bu kesimde ortalama değer teoremini vereceğiz. Ortalama değer teoremini ispatlarken kullanılacak olan Fermat teoremini ve diğer bazı teoremleri ispat edeceğiz. 4...Teorem

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Kareköklü Sayılar. sayısını en yakın onda birliğe kadar tahmin edelim.

Kareköklü Sayılar. sayısını en yakın onda birliğe kadar tahmin edelim. 1 2 sayısını en yakın onda birliğe kadar tahmin edelim. 3 sayısını en yakın onda birliğe kadar tahmin edelim. 28 sayısına en yakın tam kare sayılar 25 ve 36 dır. 4 sayısını en yakın onda birliğe kadar

Detaylı

Beyin Cimnastikleri (I) Ali Nesin

Beyin Cimnastikleri (I) Ali Nesin Beyin Cimnastikleri (I) Ali Nesin S eks, yemek ve oyun doğal zevklerdendir. Her memeli hayvan hoşlanır bunlardan. İlk ikisi konumuz dışında. Üçüncüsünü konu edeceğiz. 1. İlk oyunumuz şöyle: Aşağıdaki dört

Detaylı

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması. PROJE ADI Düzensizlikten Düzene: Çeşitkenar Üçgen Üzerinde Eşkenar Üçgen

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması. PROJE ADI Düzensizlikten Düzene: Çeşitkenar Üçgen Üzerinde Eşkenar Üçgen 5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJE ADI Düzensizlikten Düzene: Çeşitkenar Üçgen Üzerinde Eşkenar Üçgen Eslem Nur KELEŞOĞLU Muhammet Enes ÖRCÜN ÖZEL BAŞAKŞEHİR ÇINAR FEN LİSESİ İSTANBUL,

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI Reel sayılar kümesinin "küçük ya da eşit", bağıntısı ile sıralanmış olduğunu biliyoruz. Bu bağıntı herhangi bir X kümesine aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. Bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma,

Detaylı

Algoritma Geliştirme ve Veri Yapıları 10 Graf Veri Modeli. Mustafa Kemal Üniversitesi

Algoritma Geliştirme ve Veri Yapıları 10 Graf Veri Modeli. Mustafa Kemal Üniversitesi Algoritma Geliştirme ve Veri Yapıları 10 Graf Veri Modeli Graf, matematiksel anlamda, düğümler ve bu düğümler arasındaki ilişkiyi gösteren kenarlardan oluşan bir kümedir; mantıksal ilişki düğüm ile düğüm

Detaylı

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (2. Hafta)

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (2. Hafta) AĞIRLIK MERKEZİ STATİK (2. Hafta) Ağırlık merkezi: Bir cismi oluşturan herbir parçaya etki eden yerçeki kuvvetlerinin bileşkesinin cismin üzerinden geçtiği noktaya Ağırlık Merkezi denir. Şekil. Ağırlık

Detaylı

B Ö L Ü M. ve kitaplar yayınlamış olan bir bilim adamıdır. 2 JULIUS WILHELM RICHARD DEDEKIND ( ), Gauss un öğrencilerinden biridir.

B Ö L Ü M. ve kitaplar yayınlamış olan bir bilim adamıdır. 2 JULIUS WILHELM RICHARD DEDEKIND ( ), Gauss un öğrencilerinden biridir. B Ö L Ü M 2 DOĞAL SAYILAR En basit ve temel sayılar doğal sayılardır, sayı kelimesine anlam veren saymak eylemi bu sayılarla başlamıştır. Fakat insanoğlunun var oluşundan beri kullanılan bu sayıların açık

Detaylı

( KARMAŞIK SAYI MODÜL VE ÖZELLİKLERİ İKİ KARMAŞIK SAYI ARASI UZAKLIK DÜZLEMDE BELİRTTİĞİ BÖLGELER ) 1) z = z = i.z = z =... 2) z 1.

( KARMAŞIK SAYI MODÜL VE ÖZELLİKLERİ İKİ KARMAŞIK SAYI ARASI UZAKLIK DÜZLEMDE BELİRTTİĞİ BÖLGELER ) 1) z = z = i.z = z =... 2) z 1. BİR KARMAŞIK SAYININ MUTLAK DEĞERI (MODÜLÜ) Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın (A noktasının), başlangıç noktasına uzaklığına bu sayının mutlak değeri (modülü) denir ve z şeklinde

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz!

Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Artık matematikten korkmuyorum. Artık matematiği çok seviyorum. Artık az yazarak çok soru çözüyorum. Artık matematikten sıkılmıyorum.

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ OLASILIĞA GİRİŞ DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL OLASILIĞA GİRİŞ - Bugün yağmur yağma olasılığı % 75 dir. - X marka bilgisayarın hiç servis gerektirmeden 100000 saat çalışması

Detaylı

2. (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 10 ifadesinin açılımında kaç terim vardır?

2. (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 10 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız. Sınavın ilk 30 dakikasında sınıftan çıkılmayacaktır.

Detaylı

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve düzlem Geçen ders doğrusal cebir aracılığıyla izdüşümsel geometri için bir model kurduk. Şimdi bu modeli daha somut bir şekle sokalım, F = R durumunda kurduğumuz

Detaylı

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda verilen d 1 ve d aykırı doğrularının ikisine birden dik olan doğruya ortak dikme doğrusu denir... olmak üzere bu iki doğru denkleminde değilse

Detaylı

Çemberde Açılar ve Yaylar

Çemberde Açılar ve Yaylar Çemberde Açılar ve Yaylar 13.12.2012 Akdeniz Üniversitesi/Antalya Bilgisayar-1 Dersi Projesi İçindekiler KONU HAKKINDA GENEL BİLGİ... 3 ÇEMBERLE İLGİLİ TEMEL KAVRAMLAR... 4 ÇEMBERDE YAYLAR... 5 ÇEMBERDE

Detaylı

Algoritmalara Giriş J/18.401J Ders 15. Dinamik Programlama En uzun ortak altdizi En uygun altyapı Altproblemlerin çakışması

Algoritmalara Giriş J/18.401J Ders 15. Dinamik Programlama En uzun ortak altdizi En uygun altyapı Altproblemlerin çakışması Algoritmalara Giriş 6.046J/18.401J Ders 15 Dinamik Programlama En uzun ortak altdizi En uygun altyapı Altproblemlerin çakışması Prof. Charles E. Leiserson November 7, 2005 Copyright 2001-5 by Erik D. Demaine

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

Graflar bilgi parçaları arasındaki ilişkileri gösterirler.

Graflar bilgi parçaları arasındaki ilişkileri gösterirler. Graflar (Graphs) Graf gösterimi Uygulama alanları Graf terminolojisi Depth first dolaşma Breadth first dolaşma Topolojik sıralama Yrd.Doç.Dr. M. Ali Akcayol Graflar Graflar bilgi parçaları arasındaki ilişkileri

Detaylı

Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz!

Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Artık matematikten korkmuyorum. Artık matematiği çok seviyorum. Artık az yazarak çok soru çözüyorum. Artık matematikten sıkılmıyorum.

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Develerle Eşekler Ali Nesin

Develerle Eşekler Ali Nesin Develerle Eşekler Ali Nesin MATEMATİĞE GİRİŞ Matematik 101 dersindesiniz, ilk dersiniz, birinci gününüz... Hiç matematik bilmediğinizi varsayıyor hocanız... Kümelerden başlayacaksınız matematiğe... İlk

Detaylı

Şartlı Olasılık. Pr[A A ] Pr A A Pr[A ] Bir olayın (A 1 ) olma olsılığı, başka bir olayın (A 2 ) gerçekleştiğinin bilinmesine bağlıysa;

Şartlı Olasılık. Pr[A A ] Pr A A Pr[A ] Bir olayın (A 1 ) olma olsılığı, başka bir olayın (A 2 ) gerçekleştiğinin bilinmesine bağlıysa; Şartlı Olasılık Bir olayın (A ) olma olsılığı, başka bir olayın (A 2 ) gerçekleştiğinin bilinmesine bağlıysa; Pr[A A 2 Pr A A Pr A A = Pr[A A 2 2 2 Pr[A Pr[A 2 2 A A 2 S Pr[A A 2 A 2 verildiğinde (gerçekleştiğinde)

Detaylı

Gerçekten Asal Var mı? Ali Nesin

Gerçekten Asal Var mı? Ali Nesin Bu yazıda hile yapıyorum... Bir yerde bir hata var. Gerçekten Asal Var mı? Ali Nesin K endinden ve birden başka sayıya bölünmeyen a asal denir. Örneğin, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 asal dır. Ama 35 asal

Detaylı

YGS / Temel Matematik Soru ve Çözümleri

YGS / Temel Matematik Soru ve Çözümleri 8 9 4 4 7 0 4 5 4 4 + 5 = 4 + 5 = 1 5 = (Cevap E) Rasyonel Sayılar 1 8 4 8 8 4 6 9 ( ) = = 6 6 4 ( ) 8 8 8 1 1 8 4 = = = 16 (Cevap D) Üstlü Sayılar 1 1 7 + = 1 1 6 6 6 7 + 1 = 7 + 1 = 81 + 1 = 9+ 1 = 10

Detaylı

8.SINIF CEBirsel ifadeler

8.SINIF CEBirsel ifadeler KAZANIM : 8.2.1.1. Basit cebirsel ifadeleri anlar ve farklı biçimlerde yazar. Hatırlatma 2 + 4y - 5 ifadesi bir cebirsel ifadedir ve değişkenler ve y dir. Cebirsel İfade: İçinde bir veya birden fazla bilinmeyen

Detaylı

BLM-431 YAPAY ZEKA. Ders-5 Bilgili Arama Yöntemleri. Yrd. Doç. Dr. Ümit ATİLA

BLM-431 YAPAY ZEKA. Ders-5 Bilgili Arama Yöntemleri. Yrd. Doç. Dr. Ümit ATİLA BLM-431 YAPAY ZEKA Ders-5 Bilgili Arama Yöntemleri Yrd. Doç. Dr. Ümit ATİLA umitatila@karabuk.edu.tr http://web.karabuk.edu.tr/umitatilla/ Arama Grafları Eğer arama uzayı ağaç yapısından değil de graf

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

EBEKE MODELLERİ. ebeke Yapısına Giriş. Konu 3

EBEKE MODELLERİ. ebeke Yapısına Giriş. Konu 3 EBEKE MODELLERİ Konu ebeke Yapısına Giriş Elektriksel yapıların bulunduğu şebekeler Ulaşım sistemi Ulaştırma modeli İstasyonlardan oluşan sistem - Televizy zyon şebekesi ebeke Problemi Bir şebeke problemi

Detaylı

BÖLÜM IV. olsa r s(mod p) bulunur ki, bu mümkün değildir. Ayrıca bu sayı takımındaki hiçbir sayı p tarafından bölünmez.

BÖLÜM IV. olsa r s(mod p) bulunur ki, bu mümkün değildir. Ayrıca bu sayı takımındaki hiçbir sayı p tarafından bölünmez. BÖLÜM IV (KÜÇÜK FERMAT VE WİLSON TEOREMLERİ Teorem 4. (Fermat Teoremi F a olan bir asal sayı olsun. Bu durumda a (mod İsat: a sayısının a a a K ( a gibi ilk ( katından oluşan sayı takımını gözönüne alalım.

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Soru Toplam Puanlama Alınan Puan

Soru Toplam Puanlama Alınan Puan 18.11.2013 No: Ad-Soyad: İmza: Soru 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Toplam Puanlama 20 20 20 20 20 20 20 20 100 Alınan Puan 405024142006.1 CEBİRSEL TOPOLOJİ ARASINAVI CEVAP ANAHTARI (ÖRGÜN ÖĞRETİM) Not: Süre 90

Detaylı

1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi

1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi 1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi Euclidean R uzayının tabanının B = {(a, b) : a, b R} olduğunu biliyoruz. Demek ki bu uzayda belirleyiçi unsur açık aralıklar. Her açık aralık (a, b) için, olmak üzere, d

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

KESİN PROJE RAPORU PROJENİN ADI PROJEYİ HAZIRLAYANLAR BABÜR NEDİM ÇAĞATAY OKUL ADI VE ADRESİ DANIŞMAN ÖĞRETMEN

KESİN PROJE RAPORU PROJENİN ADI PROJEYİ HAZIRLAYANLAR BABÜR NEDİM ÇAĞATAY OKUL ADI VE ADRESİ DANIŞMAN ÖĞRETMEN KESİN PROJE RAPORU PROJENİN ADI HANGİ ADAYI SEÇELİM? PROJEYİ HAZIRLAYANLAR BABÜR NEDİM ÇAĞATAY OKUL ADI VE ADRESİ ÖZEL KÜLTÜR FEN LİSESİ ATAKÖY 9.-10. KISIM, 34156 BAKIRKÖY - İSTANBUL DANIŞMAN ÖĞRETMEN

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

Gezgin Satıcı Probleminin İkili Kodlanmış Genetik Algoritmalarla Çözümünde Yeni Bir Yaklaşım. Mehmet Ali Aytekin Tahir Emre Kalaycı

Gezgin Satıcı Probleminin İkili Kodlanmış Genetik Algoritmalarla Çözümünde Yeni Bir Yaklaşım. Mehmet Ali Aytekin Tahir Emre Kalaycı Gezgin Satıcı Probleminin İkili Kodlanmış Genetik Algoritmalarla Çözümünde Yeni Bir Yaklaşım Mehmet Ali Aytekin Tahir Emre Kalaycı Gündem Gezgin Satıcı Problemi GSP'yi Çözen Algoritmalar Genetik Algoritmalar

Detaylı

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta Kompleks Sayıların Cebirsel ve Geometrik Özellikleri

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta Kompleks Sayıların Cebirsel ve Geometrik Özellikleri 1. KOMPLEKS SAYILAR 1.1. Kompleks Sayıların Cebirsel ve Geometrik Özellikleri Tanım 1. x, y R olmak üzere (x, y) sıralı ikililerine kompleks sayı denir. Burada x, z nin reel kısmı, ve y, z nin imajiner

Detaylı

ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ

ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf/Y.Y. Ders Saati Kredi AKTS (T+U+L) YÖNEYLEM ARAŞTIRMA İÇİN ALGORİTMALAR EN-312 3/I 3+0+0 3 5 Dersin Dili : Türkçe Dersin

Detaylı

SAYILARA GİRİŞ. Her şeyden önce temel kavramları bilmeliyiz. Nedir temel kavramlar? Matematik dilinin abc'si olarak tanımlayabiliriz.

SAYILARA GİRİŞ. Her şeyden önce temel kavramları bilmeliyiz. Nedir temel kavramlar? Matematik dilinin abc'si olarak tanımlayabiliriz. SAYILARA GİRİŞ Her şeyden önce temel kavramları bilmeliyiz. Nedir temel kavramlar? Matematik dilinin abc'si olarak tanımlayabiliriz. Rakamlar {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} On tane rakam bulunmaktadır.

Detaylı

ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ

ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf/Y.Y. Ders Saati Kredi AKTS (T+U+L) ŞEBEKE MODELLERİ EN-413 4/I 3+0+0 3 5 Dersin Dili : İngilizce Dersin Seviyesi : Lisans

Detaylı