ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ

Transkript

1 ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü

2 ULAŞTIRMA MODELİNİN TANIMI Ulaştırma modeli, doğrusal programlama probleminin özel bir şeklidir. Bir ulaştırma modelinde, malların kaynaklardan (fabrika gibi) hedeflere (depo gibi) taşınmasıyla ilgilenilir. 1. Farklı kaynaklardan temin edilen bir ürün, mümkün olan minimum maliyetle farklı istikametlere taşınmaktadır. 2. Her kaynak noktası sabit sayıda ürün arz ederken, her istikamet noktası da sabit sayıda talepte bulunmaktadır.

3 ULAŞTIRMA MODELİNİN TANIMI Ulaştırma modelinde amaç, bir taraftan hedefin talep gereksinimleri ve kaynakların arz miktarlarında denge sağlarken, diğer taraftan da her bir kaynaktan her bir hedefe yapılan taşımaların toplam maliyetini minimum kılacak taşıma miktarını belirlemektir. İlk defa 1947 yılında Hitchock Petrol Endüstrisinde uygulanmıştır. Ulaştırma modeli şeklinde formüle edilen bir problem, simpleks yöntemi ile çözülebildiği gibi kendine has ulaştırma algoritması, atama ve aktarma modelleri gibi tekniklerle, daha az zamanda ve daha az hesaplamalarla çözülebilir.

4 KULLANIM ALANLARI Ulaştırma modelleri, aşağıdaki alanlarda sıkça kullanılır: Üretim ve tüketim merkezleri arasındaki optimal mal dağıtımının belirlenmesinde İşlerin makinelere dağıtımında Üretim planlamada Şebeke ağı problemlerinde Tesis yeri seçiminde

5 VARSAYIMLAR 1) Modelde kullanılan tüm bilgiler ve probleme konu olan mal ve hizmetler, bütün üretim ve tüketim merkezleri için aynı birim ve türden olmalıdır. 2) Her bir üretim merkezi ile her bir tüketim merkezi arasında bir birim malın taşınma ücreti belirli olmalıdır. 3) Her bir arz ve tüketim merkezlerindeki toplam arz ve toplam talep tam olarak bilinmelidir. 4) Üretim yada arz merkezlerinden dağıtılacak toplam miktar, tüketim merkezlerinde oluşan toplam talebe eşit olmalıdır.bu eşitlik yok ise, problem dengesiz olup, KUKLA ARZ yada KUKLA TÜKETİM merkezleri eklenerek denge sağlanır.

6 ULAŞTIRMA MODELİNİN GENEL HALİ Gönderilen miktar Kaynaklar Hedefler Talep edilen miktar a 1 1 c 11 : 11 1 b 1 a b a m m n b n c mn : mn

7 ULAŞTIRMA MODELİNİN GENEL HALİ Her biri birer düğüm olarak gösterilen m kaynak ve n hedef vardır. Bağlantılar, kaynaklar ile hedefler arasındaki bağlantıları gösterir. (i,j) bağlantısı iki tür bilgi içerir: 1. c ij birim taşıma maliyeti, 2. ij taşıma miktarı i kaynağının arz miktarı: a i j hedefinin talep ettiği miktar: b j

8 ULAŞTIRMA PROBLEMİNİN STANDART GÖSTERİMİ 1 2 j n ai 1 c c c 1j 1j c 1n 1n 2 c c c 2j 2j c 2n 2n a1 a2 i i1 c i1 c i2 i2 c ij ij c in in ai m m1 c m1 c m2 m2 c mj mj c mn mn am bj b1 b2 bn * Ulaştırma Tablosu

9 BİR ÖRNEK MG Otomativ in Edirne, İzmir, Bursa da üç fabrikası ve biri Malatya da biri Diyarbakır da olmaz üzere iki tane ana dağıtım deposu vardır.önümüzdeki üç aylık dönemde fabrikaların kapasiteleri Edirne için 1000, İzmir için 1500, Bursa için de 1200 araba olarak belirlenmiştir. İki ana dağıtım merkezinin aynı üç aylık dönem için talepleri ise, Malatya da 2300, Diyarbakır da 1400 arabadır. Fabrikalarla ana depolar arasındaki uzaklıklar Tablo 1 de verilmiştir. Arabaları taşıyan nakliye şirketi her araba için km. başına 0.08 pb almaktadır. Araba başına taşıma maliyetleri farklı güzargahlar için en yakın tamsayıya yuvarlanarak Tablo 2 de verilmiştir. Malatya Diyarbakır Edirne İzmir Bursa Malatya Diyarbakır Edirne 80 pb 215 pb İzmir 100 pb 108 pb Bursa 102 pb 68 pb

10 BİR ÖRNEK Problemin doğrusal programlama modeli: Simpleks yöntemle çözülebilir. 1,2 1,2,3 0, min j i Z ij

11 BİR ÖRNEK (ULAŞTIRMA TABLOSU) Malatya Diyarbakır Arz Edirne İzmir Bursa Talep *

12 BİR ÖRNEK Optimum sonuç: 1000 Edirne Malatya İzmir Diyarbakır Bursa

13 ULAŞTIRMA PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜM ALGORİTMASI Ulaştırma problemlerinin çözümünde, öncelikle bir başlangıç çözümünün bulunması gereklidir. Bulunan bir çözümün geçerli olabilmesi için i satır (üretim merkezi) ve j sütundan (tüketim merkezi) oluşan bir ulaştırma probleminde çözüm sonucunda atama yapılan hücrelerin sayısı, (i + j 1) e eşit olmalıdır. Başlangıç çözümünü belirledikten sonra optimum çözümü belirlemek için Ulaştırma Algoritması uygulanır.

14 ULAŞTIRMA ALGORİTMASI 1. Xij yerine hiçbir değer girmeksizin aşağıda gösterildiği şekilde tabloyu oluşturun. 2. Aşağıdaki verilmiş yöntemlerden biri ile ij için nümerik değerler yerleştirin ve böylece sıfır olmayan ij değerlerinin toplam sayısı ilk temel uygun çözümü vermek için (m+n- 1) den fazla büyük olmasın. 3. Optimalliği aşağıdaki gibi test ediniz. a) İşgal edilen (r,s) gibi her hücre için, aşağıdaki şekilde bir denklem yazın. b) (m+n) bilinmeyenli (m+n-1) sayıdaki simultane denklemler kümesi için bir bilinmeyene rastgele bir değer verin ve kalan bilinmeyenleri çözün. c rs U r V s c) İşgal edilmemiş her hücre (p,q) için şunu hesaplayın. d pq U p V q c pq

15 ULAŞTIRMA ALGORİTMASI d) Eğer bütün değerleri negatif ise optimum çözüm bulunmuştur. Eğer hiçbir değeri pozitif değilse, fakat bir ya da daha fazlası sıfırsa optimum bir çözüme ulaşılmıştır. Fakat başka bir eşoptimum çözüm bulunmaktadır. Eğer herhangi bir dpq geliştirilebilir. Adım 4 e gidiniz. değeri pozitifse mevcut çözüm 4. Maksimum dpq değerine sahip hücreye bir ij değeri atanır. Bu ij değeri mümkün olduğunca büyük yapılır ki diğer ij değerlerinde gerekli düzenlemeler yapıldığında hiçbir sınır ya da negatif olmama şartı ihlal edilmesin. 5. Adım 3 e git. dpq dpq

16 ULAŞTIRMA PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜM ALGORİTMASI Başlangıç temel uygun çözümünü bulmada en fazla kullanılan metotlar şunlardır: 1) Kuzey-Batı Köşe Kuralı 2) En küçük maliyetler metodu 3) VAM Metodu (Vogel in yaklaşımı)

17 KUZEY-BATI KÖŞE KURALI i. Sınır şartlarını ihlal etmeden 11 için mümkün olan en büyük değeri yerleştirin. 11=min(a1,b1) ii. Eğer 11<a1 ise 12 ye sınır şartlarını ihlal etmeden mümkün olan en büyük değeri yerleştirin. 12=min(a1-11, b2) Eğer 11=a1 ise 21 e sınır şartlarını ihlal etmeden mümkün olan en büyük değeri yerleştirin. 21=min(a2, b1-11) Eğer 11=a1=b1 ise 22 ye sınır şartlarını ihlal etmeden mümkün olan en büyük değeri yerleştirin. 22=min(a2,b2) iii. Bu süreci en fazla (m+n+1) tane sıfır olmayan ij kalana kadar ve kısıtlayıcı şartlar tamamen sağlanana kadar tekrar edin.

18 EN KÜÇÜK MALİYETLER METODU i. Minimum cij için ij ye mümkün olduğunda büyük bir değer yerleştirin. ii. cij nin artan sırasıyla diğer ij lere değerler tahsis ediniz. iii. En fazla (m+n-1) tane tahsis yapılana ve bütün kısıtlar sağlanana kadar devam edin.

19 VAM METODU (VOGEL İN YAKLAŞIMI) i. Adım1: Her satır için satırdaki (sütundaki) en küçük birim maliyeti aynı satırın (sütunun) ikinci en küçük birim maliyetinden çıkararak bir ceza ölçüsü belirler. ii. iii. Adım2: En büyük cezaya sahip satır ya da sütunu belirle. Eşitlik halinde rastgele seçim yapılabilir. Bu satır ya da sütundaki en düşük maliyetli kutuya mümkün olduğunca fazla miktarda atama yap. Kalan arz ve talepleri hesapla ve sıfırlanan satır ya da sütunu iptal et. Aynı anda sıfırlanan satır ya da sütunlar varsa, sadece birini iptal ederek kalan satıra (sütuna) sıfır miktarda arz (talep) ata. Adım3: (a) İptal edilmemiş arz ya da talebe sahip tam bir satır (sütun) kalmışsa dur. (b) İptal edilmemiş pozitif arzlı (talepli) bir satır (sütun) kalmışsa, en düşük maliyetler yöntemiyle satırdaki (sütundaki) temel değişkenleri belirle ve dur. (c) İptal edilmemiş satır ve sütunların tümü sıfır arz ve talebe sahipse, en düşük maliyetler yöntemiyle sıfır temel değişkenleri belirle ve dur. (d) Aksi halde Adım 1 e git.

20 YÖNTEMLERİN DEĞERLENDİRİLMESİ Bu üç yöntem arasında oluşturdukları başlangıç çözümün kalitesi açısından farklılık vardır. Daha iyi bir çözüm daha küçük bir amaç fonksiyonu değeri anlamına gelmektedir. Genel de en iyi başlangıç çözümünü VAM yöntemi, en kötüsünü ise Kuzeybatı Köşesi yöntemi vermektedir.

21 ATAMA MODELİ Atama modellerinin amacı işe en uygun kişiyi atayarak en düşük maliyetli(optimum) yerleştirmeyi sağlamaktır. Kaynakları işçiler, hedefleri de işler olan özel bir ulaşım modeli olarak düşünülebilir. Kaynaklardaki arz miktarları ile hedeflerdeki talep miktarları daima birbirine eşit ve bir(1) olarak kabul edilir.

22 ATAMA MODELİ n işçili ve n işli bir atama modeli: 1 2 j n ai 1 c 11 c 12 c 1j c 1n 1 2 c 21 c 22 c 2j c 2n 1 i c i1 c i2 c ij c in 1 n c n1 c n2 c nj c nn 1 bj *

23 ATAMA MODELİ C ij, j işine atanan i işçisinin maliyetini göstermektedir. Atama modeli, normal bir ulaştırma modeliymiş gibi çözülebilir. Bununla birlikte, arz ve talep miktarının 1 e eşit olması Macar Yöntemi diye adlandırılan basit bir çözüm algoritmasının geliştirilmesine yol açmıştır.

24 MACAR YÖNTEMİ Adım1. orijinal maliyet matrisindeki her satırın minimumunu bul ve bunu satırların tüm elemanlarından çıkar. Adım2. Adım1 de elde edilen matrisin her sütununun minimumunu bulduktan sonra, bunu sütundaki tüm elemanlardan çıkar. Adım3. Adım2 deki matriste ortaya çıkan sıfır elemana ilgili optimum atamayı yap.

25 MACAR YÖNTEMİ Adım2.a Uygun atama Adım1 ve Adım2 de gerçekleştirilemiyorsa, i. Son indirgenmiş matriste tüm sıfırları kapayacak şekilde ve minimum sayıda yatay ve düşey çizgiler çiz. ii. iii. Üzeri çizilmemiş elemanlar içinden en küçüğünü seç ve bu elemanı üzeri çizilmemiş her elemandan çıkar. Aynı elemanı, iki kapatma çizgisinin kesiştiği yerdeki elamanla topla. Bu yeni tabloda sıfır değerini alan elemanlarla atama yapılamıyorsa Adım2a yı tekrarla. Aksi halde Adım3 e giderek optimum atamayı belirle.

26 KAYNAKLAR TAHA, A. Hamdy, Yöneylem Araştırması, Literatür Yayınları, 2009.