Lisans. Ayrık Matematik Çizgeler. Konular. Tanım çizge: G = (V, E) Tanım. c T. Uyar, A. Yayımlı, E. Harmancı

Transkript

1 Lisans Ayrık Matematik Çizgeler H. Turgut Uyar Ayşegül Gençata Yayımlı Emre Harmancı You are free: to Share to copy, distribute and transmit the work to Remix to adapt the work c T. Uyar, A. Yayımlı, E. Harmancı Under the following conditions: Attribution You must attribute the work in the manner specified by the author or licensor (but not in any way that suggests that they endorse you or your use of the work). Noncommercial You may not use this work for commercial purposes. Share Alike If you alter, transform, or build upon this work, you may distribute the resulting work only under the same or similar license to this one. Legal code (the full license): 1 / / 160 Konular Çizgeler Giriş Bağlılık Düzlemsel Çizgeler Çizgelerde Arama Ağaçlar Giriş Köklü Ağaçlar İkili Ağaçlar Karar Ağaçları Ağırlıklı Çizgeler Giriş En Kısa Yol En Hafif Kapsayan Ağaç Çizgeler çizge: G = (V, E) V : düğüm kümesi E V V : ayrıt kümesi e = (v 1, v 2 ) E ise: v 1 ve v 2 düğümleri e ayrıtının uçdüğümleri e ayrıtı v 1 ve v 2 düğümlerine çakışık v 1 ve v 2 düğümleri bitişik hiçbir ayrıtın çakışmadığı düğüm: yalıtılmış düğüm 3 / / 160 Çizge Örneği Yönlü Çizgeler V = {a, b, c, d, e, f } E = {(a, b), (a, c), (a, d), (a, e), (a, f ), (b, c), (d, e), (e, f )} yönlü çizge: D = (V, A) A V V : yay kümesi başlangıç ve bitiş düğümleri 5 / / 160

2 Yönlü Çizge Örneği Çoklu Çizgeler koşut bağlı ayrıtlar: aynı iki düğüm arasındaki ayrıtlar tek-çevre: aynı düğümde başlayan ve sonlanan ayrıt yalın çizge: koşut bağlı ayrıt ya da tek-çevre içermeyen çizge çoklu çizge: yalın olmayan çizge 7 / / 160 Çoklu Çizge Örneği Altçizge koşut bağlı ayrıtlar: (a, b) tek-çevre: (e, e) G = (V, E ) çizgesi G = (V, E) çizgesinin bir altçizgesi: V V E E (v 1, v 2 ) E v 1, v 2 V 9 / / 160 Gösterilim Çakışıklık Matrisi Örneği çakışıklık matrisi: satırlara düğümler, sütunlara ayrıtlar ayrıt düğüme çakışıksa 1, değilse 0 bitişiklik matrisi: satırlara ve sütunlara düğümler hücrelere düğümler arasındaki ayrıt sayısı e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 e 8 v v v v v / / 160

3 Bitişiklik Matrisi Örneği Bitişiklik Matrisi Örneği v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v v v v v a b c d a b c d / / 160 Kerte Kerte Örneği (yalın çizge) kerte: düğüme çakışan ayrıtların sayısı v i düğümünün kertesi d i olsun E = i d i 2 d a = 5 d b = 2 d c = 2 d d = 2 d e = 3 d f = 2 Toplam = 16 E = 8 15 / / 160 Kerte Örneği Yönlü Çizgelerde Kerte (çoklu çizge) d a = 6 d b = 3 d c = 2 d d = 2 d e = 5 d f = 2 Toplam = 20 E = 10 kerte ikiye ayrılır i giriş kertesi: d v o çıkış kertesi: d v giriş kertesi 0 olan düğüm: kaynak çıkış kertesi 0 olan düğüm: kuyu v V d v i = v V d v o = A 17 / / 160

4 Kerte Düzenli Çizgeler Yönsüz bir çizgede kertesi tek olan düğümlerin sayısı çifttir. Tanıt. t i : kertesi i olan düğümlerin sayısı 2 E = i d i = 1t 1 + 2t 2 + 3t 3 + 4t 4 + 5t E 2t 2 4t 4 = t 1 + t t 3 + 4t E 2t 2 4t 4 2t 3 4t 5 = t 1 + t 3 + t sol yan çift olduğuna göre sağ yan da çifttir düzenli çizge: bütün düğümlerin kertesi aynı n-düzenli: bütün düğümlerin kertesi n 19 / / 160 Düzenli Çizge leri Tam Bağlı Çizgeler G = (V, E) çizgesi tam bağlı: v 1, v 2 V (v 1, v 2 ) E her düğüm çifti arasında ayrıt var K n : n düğümlü tam bağlı çizge 21 / / 160 Tam Bağlı Çizge leri İki Parçalı Çizgeler (K 4 ) (K 5 ) G = (V, E) çizgesi iki parçalı: (v 1, v 2 ) E v 1 V 1 v 2 V 2 V 1 V 2 = V, V 1 V 2 = tam bağlı iki parçalı: v 1 V 1 v 2 V 2 (v 1, v 2 ) E K m,n : V 1 = m, V 2 = n 23 / / 160

5 Tam Bağlı İki Parçalı Çizge leri İzomorfizm (K 2,3 ) (K 3,3 ) G = (V, E) ile G = (V, E ) çizgeleri izomorfik: f : V V (u, v) E (f (u), f (v)) E f birebir ve örten G ile G aynı şekilde çizilebilir 25 / / 160 İzomorfizm Örneği İzomorfizm Örneği (Petersen çizgesi) f = {(a, d), (b, e), (c, b), (d, c), (e, a)} f = {(a, q), (b, v), (c, u), (d, y), (e, r), (f, w), (g, x), (h, t), (i, z), (j, s)} 27 / / 160 Homeomorfizm Homeomorfizm Örneği G = (V, E) ile G = (V, E ) çizgeleri homeomorfik: E kümesindeki ayrıtlardan bazılarının ek düğümlerle bölünmüş olmaları dışında G and G çizgeleri izomorfik 29 / / 160

6 Dolaşı Dolaşı Örneği dolaşı: bir başlangıç düğümünden (v 0 ) bir varış düğümüne (v n ) bir düğüm ve ayrıt sekansı v 0, e 1, v 1, e 2, v 2, e 3, v 3,..., e n 1, v n 1, e n, v n e i = (v i 1, v i ) ayrıtları yazmaya gerek yok uzunluk: dolaşıdaki ayrıt sayısı v 0 v n ise açık, v 0 = v n ise kapalı (c, b), (b, a), (a, d), (d, e), (e, f ), (f, a), (a, b) c, b, a, d, e, f, a, b uzunluk: 7 31 / / 160 Gezi Gezi Örneği gezi: ayrıtların yinelenmediği dolaşı devre: kapalı gezi kapsayan gezi: çizgedeki bütün ayrıtlardan geçen gezi (c, b), (b, a), (a, e), (e, d), (d, a), (a, f ) c, b, a, e, d, a, f 33 / / 160 Yol Yol Örneği yol: düğümlerin yinelenmediği dolaşı çevre: kapalı yol kapsayan yol: çizgedeki bütün düğümlere uğrayan yol (c, b), (b, a), (a, d), (d, e), (e, f ) c, b, a, d, e, f 35 / / 160

7 Bağlılık Bağlı Bileşen Örneği bağlı çizge: her düğüm çifti arasında bir yol var bağlı olmayan bir çizge bağlı bileşenlere ayrılabilir çizge bağlı değil: a ile c arasında yol yok bağlı bileşenler: a, d, e b, c f 37 / / 160 Uzaklık Uzaklık Örneği v i ile v j düğümleri arasındaki uzaklık: v i ile v j arasındaki en kısa yolun uzunluğu çap: çizgedeki en büyük uzaklık a ile e düğümlerinin uzaklığı: 2 çap: 3 39 / / 160 Kesitleme Noktası Kesitleme Noktası Örneği G v: G çizgesinden v düğümü ve ona çakışık bütün ayrıtların çıkarılmasıyla elde edilen çizge v düğümü G çizgesi için bir kesitleme noktası: G bağlı ama G v bağlı değil G G d 41 / / 160

8 Yönlü Dolaşılar Zayıf Bağlı Çizge yönsüz çizgelerle aynı yayların yönleri gözardı edilirse: yarı-dolaşı, yarı-gezi, yarı-yol zayıf bağlı: her düğüm çifti arasında bir yarı-yol var 43 / / 160 Tek-Yönlü Bağlı Çizge Güçlü Bağlı Çizge tek-yönlü bağlı: her düğüm çifti arasında birinden diğerine yol var güçlü bağlı: her düğüm çifti arasında her iki yönde yol var 45 / / 160 Königsberg Köprüleri Geçit Veren Çizge G geçit verir: G üzerinde kapsayan bir gezi düzenlenebilir bütün köprülerden bir kere geçilerek başlangıç noktasına dönülebilir mi? 47 / / 160

9 Geçit Veren Çizge Geçit Veren Çizge Örneği kertesi tek olan bir düğüm varsa gezinin ya başlangıç düğümü ya da varış düğümü olmalı başlangıç düğümü ve varış düğümü dışındaki bütün düğümlerin kerteleri çift olmalı a, b ve c düğümlerinin kerteleri çift d ve e düğümlerinin kerteleri tek d düğümünden başlayıp e düğümünde biten (ya da tersi) bir kapsayan gezi oluşturulabilir: d, b, a, c, e, d, c, b, e 49 / / 160 Königsberg Köprüleri Euler Çizgeleri Euler çizgesi: kapalı, kapsayan bir gezi düzenlenebilen çizge G bir Euler çizgesi G deki bütün düğümlerin kerteleri çift bütün düğümlerin kerteleri tek: geçit vermez 51 / / 160 Euler Çizgesi leri Hamilton Çizgeleri (Euler çizgesi) (Euler çizgesi değil) Hamilton çizgesi: kapalı, kapsayan bir yol düzenlenebilen çizge 53 / / 160

10 Hamilton Çizgesi leri Bağlantı Matrisi (Hamilton çizgesi) (Hamilton çizgesi değil) çizgenin bitişiklik matrisi A ise A k matrisinin (i, j) elemanı i. düğüm ile j. düğüm arasındaki k uzunluklu dolaşıların sayısını gösterir n düğümlü yönsüz bir çizgede iki düğüm arasındaki uzaklık en fazla n 1 olabilir bağlantı matrisi: C = A 1 + A 2 + A A n 1 bütün elemanlar sıfırdan farklı ise çizge bağlıdır 55 / / 160 Warshall Algoritması Warshall Algoritması Örneği düğümler arasındaki dolaşıların sayısı yerine dolaşı olup olmadığını belirlemek daha kolay sırayla her düğüm için: o düğüme gelinebilen düğümlerden (matriste o sütunda 1 olan satırlardan) o düğümden gidilebilen düğümlere (matriste o satırda 1 olan sütunlara) a b c d a b c d / / 160 Warshall Algoritması Örneği Warshall Algoritması Örneği a b c d a b c d a b c d a b c d / / 160

11 Warshall Algoritması Örneği Warshall Algoritması Örneği a b c d a b c d a b c d a b c d / / 160 Düzlemsel Çizgeler Düzlemsel Çizge Örneği (K 4 ) Ayrıtları kesişmeyecek şekilde bir düzleme çizilebilen bir çizge düzlemseldir. G çizgesinin bir haritası: G çizgesinin düzlemsel bir çizimi 63 / / 160 Bölgeler Bölge Örneği bir harita düzlemi bölgelere ayırır bir bölgenin kertesi: bölgeyi çevreleyen kapalı gezinin uzunluğu r i bölgesinin kertesi d ri olsun E = i d r i 2 d r1 = 3 (abda) d r2 = 3 (bcdb) d r3 = 5 (cdefec) d r4 = 4 (abcea) d r5 = 3 (adea) r d r = 18 E = 9 65 / / 160

12 Euler Formülü Euler Formülü Örneği (Euler Formülü) G = (V, E) bağlı, düzlemsel bir çizge olsun ve R bu çizgenin bir haritasındaki bölgeler kümesi olsun: V E + R = 2 V = 6, E = 9, R = 5 67 / / 160 Düzlemsel Çizge leri Düzlemsel Çizge leri G = (V, E) bağlı, düzlemsel bir çizge olsun ve V 3 olsun: E 3 V 6 Tanıt. bölge kertelerinin toplamı: 2 E bir bölgenin kertesi en az 3 2 E 3 R R 2 3 E V E + R = 2 V E E 2 V 1 3 E 2 3 V E 6 E 3 V 6 G = (V, E) bağlı, düzlemsel bir çizge olsun ve V 3 olsun: v V d v 5 Tanıt. v V d v 6 olsun 2 E 6 V E 3 V E > 3 V 6 69 / / 160 Düzlemsel Olmayan Çizgeler Düzlemsel Olmayan Çizgeler K 5 düzlemsel değildir. Tanıt. K 3,3 düzlemsel değildir. Tanıt. V = 6, E = 9 V = 5 düzlemsel ise R = 5 olmalı 3 V 6 = = 9 E 9 olmalı ama E = 10 bir bölgenin kertesi en az 4 r R d r 20 E 10 olmalı ama E = 9 71 / / 160

13 Kuratowski i Platon Cisimleri G nin K 5 ya da K 3,3 e homeomorfik bir altçizgesi var. G düzlemsel değil. düzgün çokyüzlü: bütün yüzleri birbirinin eşi düzgün çokgenler olan üç boyutlu cisim bir düzgün çokyüzlünün iki boyutlu düzleme izdüşümü düzlemsel bir çizgedir her köşe bir düğüm her kenar bir ayrıt her yüz bir bölge 73 / / 160 Platon Cisimleri Platon Cisimleri (küp) v: düğüm (köşe) sayısı e: ayrıt (kenar) sayısı r: bölge (yüz) sayısı n: bir köşede birleşen yüz sayısı (düğüm kertesi) m: bir yüzü çevreleyen ayrıt sayısı (bölge kertesi) m, n 3 2e = n v 2e = m r 75 / / 160 Platon Cisimleri Tetrahedron - Düzgün Dört Yüzlü Euler formülünden: 2 = v e + r = 2e n e + 2e ( 2m mn + 2n ) m = e > 0 mn e, m, n > 0: 2m mn + 2n > 0 mn 2m 2n < 0 mn 2m 2n + 4 < 4 (m 2)(n 2) < 4 bu eşitsizliği sağlayan değerler: 1. m = 3, n = 3 2. m = 4, n = 3 3. m = 3, n = 4 4. m = 5, n = 3 5. m = 3, n = 5 m = 3, n = 3 77 / / 160

14 Hexahedron - Düzgün Altı Yüzlü Octahedron - Düzgün Sekiz Yüzlü m = 4, n = 3 m = 3, n = 4 79 / / 160 Dodecahedron - Düzgün Oniki Yüzlü Icosahedron - Düzgün Yirmi Yüzlü m = 3, n = 5 m = 5, n = 3 81 / / 160 Çizge Boyama Çizge Boyama Örneği G = (V, E) çizgesi için bir düzgün boyama: f : V C C bir renk kümesi (v i, v j ) E f (v i ) f (v j ) C en küçük olacak şekilde kimyasal maddeler üreten bir firma bazı maddeler birlikte tutulamıyor birbiriyle tutulamayan maddeler farklı alanlara depolanmalı en az sayıda depo alanı kullanılacak şekilde maddeleri depola 83 / / 160

15 Çizge Boyama Örneği Çizge Boyama Örneği her madde bir düğüm birlikte tutulamayan maddeler bitişik 85 / / 160 Çizge Boyama Örneği Çizge Boyama Örneği 87 / / 160 Çizge Boyama Örneği Kromatik Sayı G çizgesinin kromatik sayısı: χ(g) G çizgesini boyamak için gerekli en az renk sayısı χ(g) nin hesaplanması çok zor bir problem χ(k n ) = n 89 / / 160

16 Kromatik Sayı Örneği Çizge Boyama Örneği (Herschel çizgesi) (Sudoku) her hücre bir düğüm aynı satırdaki hücreler bitişik aynı sütundaki hücreler bitişik aynı 3 3 lük bloktaki hücreler bitişik her rakam bir renk kromatik sayı: 2 problem: kısmen boyalı bir çizgenin düzgün boyanması 91 / / 160 Bölge Boyama Çizgelerde Arama bir haritayı bitişik bölgelere farklı renkler atayacak şekilde boyama (Dört Renk i) Bir haritadaki bölgeleri boyamak için dört renk yeterlidir. G = (V, E) çizgesinin düğümlerinin v 1 düğümünden başlanarak aranması derinlemesine enlemesine 93 / / 160 Derinlemesine Arama Enlemesine Arama 1. v v 1, T =, D = {v 1 } 2. 2 i V içinde (v, v i ) E ve v i / D olacak şekilde en küçük i yi bul böyle bir i yoksa: 3. adıma git varsa: T = T {(v, v i )}, D = D {v i }, v v i, 2. adıma git 3. v = v 1 ise sonuç T 4. v v 1 ise v parent(v), 2. adıma git 1. T =, D = {v 1 }, Q = (v 1 ) 2. Q boş ise: sonuç T 3. Q boş değilse: v front(q), Q Q v 2 i V için (v, v i ) E ayrıtlarına bak: v i / D ise: Q = Q + v i, T = T {(v, v i )}, D = D {v i } 3. adıma git 95 / / 160

17 Kaynaklar Ağaç Okunacak: Grimaldi Chapter 11: An Introduction to Graph Theory Chapter 7: Relations: The Second Time Around 7.2. Computer Recognition: Zero-One Matrices and Directed Graphs ağaç: çevre içermeyen, bağlı çizge orman: bağlı bileşenleri ağaçlar olan çizge 97 / / 160 Ağaç leri Ağaç leri Bir ağaçta herhangi iki farklı düğüm arasında bir ve yalnız bir yol vardır. ağaç bağlı olduğu için en az bir yol vardır birden fazla yol olsaydı çevre oluştururlardı 99 / / 160 Ağaç leri Ağaç leri T = (V, E) bir ağaç olsun: E = V 1 tanıt yöntemi: ayrıt sayısı üzerinden tümevarım Tanıt: taban adımı E = 0 V = 1 E = 1 V = 2 E = 2 V = 3 E k için E = V 1 varsayalım 101 / / 160

18 Ağaç leri Ağaç leri Tanıt: tümevarım adımı. E = k + 1 Bir ağaçta kertesi 1 olan en az iki düğüm vardır. (y, z) ayrıtını çıkaralım: T 1 = (V 1, E 1 ), T 2 = (V 2, E 2 ) V = V 1 + V 2 = E E = ( E 1 + E 2 + 1) + 1 = E + 1 Tanıt. 2 E = v V d v kertesi 1 olan tek bir düğüm olduğunu varsayalım: 2 E 2( V 1) E 2 V 1 E V 1 2 > V / / 160 Ağaç leri Ağaç leri T bir ağaçtır (bağlıdır ve çevre içermez). T de her düğüm çifti arasında bir ve yalnız bir yol vardır. T bağlıdır ama herhangi bir ayrıt çıkarılırsa artık bağlı olmaz. T çevre içermez ama herhangi iki düğüm arasına bir ayrıt eklenirse bir ve yalnız bir çevre oluşur. T bir ağaçtır (T bağlıdır ve çevre içermez.) T bağlıdır ve E = V 1. T çevre içermez ve E = V / / 160 Köklü Ağaç Düğüm Düzeyleri düğümler arasında hiyerarşi tanımlanır hiyerarşi ayrıtlara doğal bir yön verir giriş ve çıkış kerteleri giriş kertesi 0 olan düğüm: kök çıkış kertesi 0 olan düğümler: yaprak yaprak olmayan düğümler: içdüğüm bir düğümün düzeyi: düğümün köke olan uzaklığı anne: bir üst düzeydeki bitişik düğüm çocuk: bir alt düzeydeki bitişik düğümler kardeş: aynı annenin çocuğu olan düğümler 107 / / 160

19 Köklü Ağaç Örneği Köklü Ağaç Örneği kök: r yapraklar: x y z u v içdüğümler: r p n t s q w y düğümünün annesi: w w düğümünün çocukları: y ve z y ve z kardeş Kitap B1 B2 B3 B1.1 B1.2 B3.1 B3.2 B3.2.1 B3.2.2 B / / 160 Sıralı Köklü Ağaç Sözlük Sırası kardeş düğümler soldan sağa doğru sıralanır evrensel adresleme sistemi köke 0 adresini ver 1. düzeydeki düğümlere soldan sağa doğru sırayla 1, 2, 3,... adreslerini ver v düğümünün adresi a ise, v düğümünün çocuklarına soldan sağa doğru sırayla a.1, a.2, a.3,... adreslerini ver b ve c iki adres olsun. b nin c den önce gelmesi için aşağıdakilerden biri sağlanmalı: 1. b = a 1 a 2... a m x 1... c = a 1 a 2... a m x 2... x 1 x 2 den önce gelir 2. b = a 1 a 2... a m c = a 1 a 2... a m a m / / 160 Sözlük Sırası Örneği İkili Ağaçlar T = (V, E) bir ikili ağaç: v V d v o {0, 1, 2} T = (V, E) bir tam ikili ağaç: v V d v o {0, 2} 113 / / 160

20 İşlem Ağacı İşlem Ağacı leri bir ikili işlem bir ikili ağaçla temsil edilebilir kökte işleç, çocuklarda işlenenler (7 a) (a + b) her matematiksel ifade bir ağaçla temsil edilebilir içdüğümlerde işleçler, yapraklarda değişkenler ve değerler 115 / / 160 İşlem Ağacı leri İşlem Ağacı leri ((7 a)/5) ((a + b) 3) (((7 a)/5) ((a + b) 3)) 117 / / 160 İşlem Ağacı leri İşlem Ağacında Geçişler (t + (u v)/(w + x y z)) 1. içek geçişi: sol altağacı tara, köke uğra, sağ altağacı tara 2. önek geçişi: köke uğra, sol altağacı tara, sağ altağacı tara 3. sonek geçişi: sol altağacı tara, sağ altağacı tara, köke uğra ters Polonyalı gösterilimi 119 / / 160

21 İçek Geçişi Örneği Önek Geçişi Örneği t + u v / w + x y z + t / u v + w x y z 121 / / 160 Sonek Geçişi Örneği İşlem Ağacının Değerlendirilmesi içek geçişinde öncelik için parantez gerekir t u v w x y z + / + önek ve sonek geçişlerinde parantez gerekmez 123 / / 160 Sonek Değerlendirme Örneği Düzenli Ağaç (t u v w x y z + / +) / / T = (V, E) bir m-li ağaç: v V d v o m T = (V, E) bir tam m-li ağaç: v V d v o {0, m} 125 / / 160

22 Düzenli Ağaç i Düzenli Ağaç leri T = (V, E) bir tam m li ağaç olsun. n: düğüm sayısı l: yaprak sayısı i: içdüğüm sayısı O halde: n = m i + 1 l = n i = m i + 1 i = (m 1) i oyuncunun katıldığı bir tenis turnuvasında kaç maç oynanır? her oyuncu bir yaprak: l = 27 her maç bir içdüğüm: m = 2 maç sayısı: i = l 1 m 1 = = 26 i = l 1 m / / 160 Düzenli Ağaç leri Karar Ağaçları 25 adet elektrikli aygıtı 4 lü uzatmalarla tek bir prize bağlamak için kaç uzatma gerekir? her aygıt bir yaprak: l = 25 her uzatma bir içdüğüm: m = 4 uzatma sayısı: i = l 1 m 1 = = 8 8 madeni paranın biri sahte (daha ağır) bir teraziyle sahtenin hangisi olduğu bulunacak 129 / / 160 Karar Ağaçları Karar Ağaçları (3 tartmada bulma) (2 tartmada bulma) 131 / / 160

23 Kaynaklar Ağırlıklı Çizgeler Okunacak: Grimaldi Chapter 12: Trees Definitions and Examples Rooted Trees ayrıtlara etiket atanabilir: ağırlık, uzunluk, maliyet, gecikme, olasılık, / / 160 En Kısa Yol Dijkstra Algoritması Örneği (başlangıç) başlangıç: c bir düğümden bütün diğer düğümlere en kısa yolları bulma: Dijkstra algoritması a (, ) b (, ) c (0, ) f (, ) g (, ) h (, ) 135 / / 160 Dijkstra Algoritması Örneği (c düğümünden - taban uzaklık=0) c f : 6, 6 < c h : 11, 11 < a (, ) b (, ) c (0, ) f (6, cf ) g (, ) h (11, ch) en yakın düğüm: f Dijkstra Algoritması Örneği (f düğümünden - taban uzaklık=6) f a : , 17 < f g : 6 + 9, 15 < f h : 6 + 4, 10 < 11 a (17, cfa) b (, ) c (0, ) f (6, cf ) g (15, cfg) h (10, cfh) en yakın düğüm: h 137 / / 160

24 Dijkstra Algoritması Örneği Dijkstra Algoritması Örneği (h düğümünden - taban uzaklık=10) h a : , h g : , 14 < 15 a (17, cfa) b (, ) c (0, ) f (6, cf ) g (14, cfhg) h (10, cfh) en yakın düğüm: g (g düğümünden - taban uzaklık=14) g a : , a (17, cfa) b (, ) c (0, ) f (6, cf ) g (14, cfhg) h (10, cfh) en yakın düğüm: a 139 / / 160 Dijkstra Algoritması Örneği En Hafif Kapsayan Ağaç (a düğümünden - taban uzaklık=17) a b : , 22 < a (17, cfa) b (22, cfab) c (0, ) f (6, cf ) g (14, cfhg) h (10, cfh) kapsayan ağaç: çizgenin bütün düğümlerini içeren, ağaç özellikleri taşıyan bir altçizgesi en hafif kapsayan ağaç: ayrıt ağırlıklarının toplamının en az olduğu kapsayan ağaç son düğüm: b 141 / / 160 Kruskal Algoritması Kruskal Algoritması Örneği Kruskal algoritması 1. i 1, e 1 E, wt(e 1 ) minimum 2. 1 i n 2 için: şu ana kadar seçilen ayrıtlar e 1, e 2,..., e i ise kalan ayrıtlardan öyle bir e i+1 seç ki: wt(e i+1 ) minimum olsun e 1, e 2,..., e i, e i+1 altçizgesi çevre içermesin 3. i i + 1 i = n 1 e 1, e 2,..., e n 1 ayrıtlarından oluşan G altçizgesi bir en hafif kapsayan ağaçtır i < n 1 2. adıma git (başlangıç) i 1 en düşük ağırlık: 1 (e, g) T = {(e, g)} 143 / / 160

25 Kruskal Algoritması Örneği Kruskal Algoritması Örneği (1 < 6) (2 < 6) en düşük ağırlık: 2 (d, e), (d, f ), (f, g) T = {(e, g), (d, f )} i 2 en düşük ağırlık: 2 (d, e), (f, g) T = {(e, g), (d, f ), (d, e)} i / / 160 Kruskal Algoritması Örneği Kruskal Algoritması Örneği (3 < 6) (4 < 6) en düşük ağırlık: 2 (f, g) çevre oluşturuyor en düşük ağırlık: 3 (c, e), (c, g), (d, g) (d, g) çevre oluşturuyor T = {(e, g), (d, f ), (d, e), (c, e)} i 4 T = { (e, g), (d, f ), (d, e), (c, e), (b, e) } i / / 160 Kruskal Algoritması Örneği Kruskal Algoritması Örneği (5 < 6) (6 6) T = { (e, g), (d, f ), (d, e), (c, e), (b, e), (a, b) } i 6 toplam ağırlık: / / 160

26 Prim Algoritması Prim Algoritması Örneği Prim algoritması 1. i 1, v 1 V, P = {v 1 }, N = V {v 1 }, T = 2. 1 i n 1 için: P = {v 1, v 2,..., v i }, T = {e 1, e 2,..., e i 1 }, N = V P öyle bir v i+1 N düğümü seç ki, bir x P düğümü için e = (x, v i+1 ) / T, wt(e) minimum olsun P P + {v i+1 }, N N {v i+1 }, T T + {e} 3. i i + 1 i = n e 1, e 2,..., e n 1 ayrıtlarından oluşan G altçizgesi bir en hafif kapsayan ağaçtır i < n 2. adıma git (başlangıç) i 1 P = {a} N = {b, c, d, e, f, g} T = 151 / / 160 Prim Algoritması Örneği Prim Algoritması Örneği (1 < 7) (2 < 7) T = {(a, b)} P = {a, b} N = {c, d, e, f, g} i 2 T = {(a, b), (b, e)} P = {a, b, e} N = {c, d, f, g} i / / 160 Prim Algoritması Örneği Prim Algoritması Örneği (3 < 7) (4 < 7) T = {(a, b), (b, e), (e, g)} P = {a, b, e, g} N = {c, d, f } i 4 T = {(a, b), (b, e), (e, g), (d, e)} P = {a, b, e, g, d} N = {c, f } i / / 160

27 Prim Algoritması Örneği Prim Algoritması Örneği (5 < 7) (6 < 7) T = { (a, b), (b, e), (e, g), (d, e), (f, g) } P = {a, b, e, g, d, f } N = {c} i 6 T = { (a, b), (b, e), (e, g), (d, e), (f, g), (c, g) } P = {a, b, e, g, d, f, c} N = i / / 160 Prim Algoritması Örneği Kaynaklar (7 7) toplam ağırlık: 17 Okunacak: Grimaldi Chapter 13: Optimization and Matching Dijkstra s Shortest Path Algorithm Minimal Spanning Trees: The Algorithms of Kruskal and Prim 159 / / 160