Matemati i belitsel (aksiyomatik) olarak

Transkript

1 Geometri Köfesi Ökid Geometrisinin eiteri i Nesin anesin@bigi.edu.tr Matemati i beitse (aksiyomatik) oarak yaz ik yans tan Ökid dir. Eemanar (MÖ 300) ad kitab nda, ki bu kitap bin y dan faza at da ders kitab oarak okutumuftur, geometri için afa daki bef beiti (aksiyomu) vermiftir: 1. Herhangi iki noktadan bir do ru geçer. 2. Herhangi bir do ru parças sonsuza kadar bir do ru oarak uzat abiir. 3. ir do ru parças veridi inde, merkezi, verien do ru parças n n bir ucunda oan, yar çap ise verien do ru parças oan bir çember çiziebiir. 4. Tüm dik aç ar eftir. Son beit için kotu unuza iyice yap f n: 5. E er iki do ru parças üçüncü bir do ru parças n, dar iç aç ar n n topam iki dik aç dan az oacak biçimde keserse, o zaman ik iki do ru parças, yeterince uzat rsa, üçüncü do runun topanan iç aç ar n n odu u tarafta kesifirer. Tarihse oarak bunara beit de i postuat denir. eit denen önermeer, x = y ve y = z ise o zaman x = z gibi sadece geometriye de i, tüm matemati e ve hatta mant a ve düfünmeye özgü çok gene önermeerdir. iz daha modern bir terminooji kuanarak Ökid in postuatar na beit diyece iz. eiterin nam Yukardaki beiteri teker teker ee aa m. irinci beitin ne dedi i çok bei: Verien iki noktadan bir do ru geçer diyor. undan daha aç k bir fey oamaz. Yan z, dikkat edeim, bu beit, iki noktadan tek bir do runun geçti ini söyemiyor; verien iki nokta bu iki noktadan geçen do ru bu iki noktadan geçen en az bir do ru odu unu söyüyor. ki noktadan tek bir do runun geçti i di- er beiter kuan arak kan tanma d r. Yukarda aç kama amac ya çizdi imiz feki afa daki gibi çizseydik acaba okurun kafas kar f r m yd? Kar fmas n! u, sadece ve sadece bir resim... Soyutamay daha daha abart p noktaar do ru oarak do ruar da nokta oarak çizebiirdik ama her feyin bir s - n r odu unu düfündük. kinci beitin de ne dedi i odukça aç k: ir do ru parças sonsuza kadar bir do ru oarak uzat abiir diyor, daha ne desin! ma gene dikkat! eit, do ru parças n n tek bir do ru oarak uzat aca n söyemiyor. Do ru parças n n tek bir do ru oarak uzat aca mümkünse di er beiter kuan arak kan tanma. Üçüncü beitin de anam çok bei. Daha daha anaf s n diye yanda bir resmini yapt k. Dördüncü beitte efik diye bir sözcük geçiyor. Herhade bu beit, bir dik aç n n bir bafka dik aç n n üstüne (öteenerek, döndürüerek ve bir do ruya göre simetrisi a narak, yani mesafeeri de iftirmeyen dönüfümer uyguanarak) taf nabiece ini söyüyor. eiti bu anamda anamak az m. efinci beit, ne yaan söyeyeim anamas zor, anad ktan sonra yazmas daha da zor. verien iki nokta verien do ru parças ötee 37 döndür simetrisini a bu iki noktad geçen do ru do ru parças n sonsuza kadar uzatan do ru Verien do ru parças verien do ru parças n n bir ucu Çiziebidi i söyenen çember kesifim noktas (üçüncü do runun aç ar n n buundu u bögede) uzat an do ru parçaar topam 180 den küçük oan iç aç ar verien iki do ru parças üçüncü do ru 70

2 fieki bir önceki sayfada kad. u beit as nda parae omayan do ruar kesifir ve kesifim noktas da do ruar n birbirine yakaft taraftad r demek istiyor. eit Nedir? Geometrinin beiteftiriifi (aksiyomatikeftiriifi) sadece matematik tarihinde de i, insan k tarihinde bir devrimdir, hatta devrimerin en önemierindendir. Nas tekere in icad insan k tarihinde (biraz simgese de osa) bir dönüm noktas oarak addediirse, bu da öyedir. eit, do ruu u tart f madan kabu edien önerme demektir. Dikkat! eiter do rudur dan bambafka bir fey söyedik. eiter do rudur demedik kesinike. eiter, sadece kabu edidikerinde do ruu u tart f mayan önermeerdir. Sadece kabu edidikerinde... Kimse beiteri kabu etmek zorunda de i. ma kabu edidikerinde, art k tart f amazar. eit Omadan sa! eiter matematikte gerekidir, beiter omadan matematik yap amaz, hatta matemati e bafanamaz bie! Çünkü matematik tümdengeen bir u raf da d r, yani geneden özee iner; matematikçi daha önce kan tanm f önermeere ç kar m kuraar denien baz ak yürütme (kan t) yöntemeri uyguayarak yeni önermeer kan tar. Ve Kan tanm f önermeer ç kar m kuraar öye kuraard r ki, e er uyguand kar önermeer Kan t yöntemeri do ruysa, o zaman ede edien (yani kan tanan ) yeni önerme de Kan tanan önerme do rudur. Tabii burada mant ksa anamda do ru nun ne demek odu unu da aç kamak gerekir, ama bunu bir bafka yaz m zda yapar z. Daha önce kan tanm f önermeerimiz yoksa yeni bir önerme kan tayamay z, çünkü ç kar m kuraar m za uyguayaca m z önermeer oma - d r. Ç kar m kuraar, fu, fu ve fu önermeer ise o zaman bu önerme türündendir. a ve ia fu, fu ve fu önerme oma. Hiçbir ç kar m kura Ökid 71 Matematik Dünyas, 2004 K f do rudan bir önermeyi vermez, bafka önermeeri teme aarak yeni önermeer verir. eiter omadan ik önermemizi kan tayamay z; beit yoksa ve henüz hiç teorem kan tanmam fsa, yani daha ifin en baf ndaysak, ç kar m kuraar m z hangi önermeere uyguayaca z? a bir bafang ç noktam z oma. Nas yoktan bir fey varomazsa, varsay m omadan bir gerçek de ede ediemez. ir gerçe e ancak bir bafka gerçekten hareket ederek uafabiiriz. eiter omadan ik kan t m za bafayamay z. Doay s ya kabu edimif beiter omadan birinci önermemizi kan tamam z mümkün de idir. eiter ifte bu yüzden gerekidir. izim beiterimizi be enmiyorsan z kendinize bafka beiter be enin, ama mutaka en az bir beitiniz osun. eitsiz matematikçi disiz sopranoya benzer. eiterin Özeikeri Her ak na esen her önermeyi beit oarak kabu edemez. ir beitin di er beiterden harekete kan tanam yor omas arzu ediir. Neden derseniz... Güze omaz da ondan! afka hiçbir nedeni yok. Kan t oan bir önermeyi neden kan ts z do ru varsaya m ki! Odu oacak do ru oan bütün önermeeri beit oarak kabu edin de kan t denen dertten kurtuun! Örne in Pisagor Teoremi yukardaki beiterden harekete kan tanabidi inden (san r m kan tanabiir, emin de iim, çünkü bu beiterde önemi birkaç eksik var, örne in bu beitere kesifmesi gereken baz çembererin kesifece i, doay s ya baz üçgenerin var kan tanamaz), Pisagor Teoremi nin bu beiter aras nda buunmas yak f k amaz. una beiterin ba ms z ikesi denir. yr ca, beiter, kan tanamayan ama do ruu u su götürmeyen önermeerden oufma - d r. Örne in hiç de bariz omayan Morey Teoremi ni [bkz. MD-2003-IV, sayfa 64-69], kan tanm f bir önerme omasayd bie, bir beit oarak kabu etmemeiyiz. u arada, beiterde art k bu son özei inin aranmad n da beirteim. u paragrafta ifade edien geçmifte kam f bir arzudur.

3 efinci eit Eski Yunandan beri matematikçier Ökid in ik dört beitinin do ruu u çok bei oan önerme odukar konusunda hemfikir omufar, ancak befinci beitin do ruu unun pek o kadar da bariz omad n düfünmüferdir. Doay s ya befinci beitten rahats z omufar, bu önermenin beiter aras nda buunmamas gerekti ini düfünmüferdir. Ökid bie bu beitten rahats z omuf oma ki, Eemanar da kan tad ik 28 önermede befinci beiti kuanmay p sadece ik dört beite yetinmif, ama daha faza dayanamay p 29 uncu önermede befinci beite bafvurmuftur. Sadece ik dört beiti kabu eden geometriye mutak geometri denir. Odukça basit bir geometri odu undan pek revaçta de idir. efinci eit sorunu karf s nda matematikçiere iki seçenek ka yor: Ya bu beitin yerine daha do a ve do ruu u daha bariz görünen bir beit kabu ediecek ya da bu beit di er dört beitin yard m ya kan tanacak. irinci seçenek younda ieremeer kaydedimifse de, ikinci seçenek yüzy ar boyunca bafar - s z a u ram ft r. irinci Seçenek. efinci beit fu önermeye efde erdir (yani biri do ruysa di eri de do rudur): ir do ruya bu do runun üstünde omayan bir noktadan tek bir parae geçer. ncak bu önerme de yeterince bariz kabu edimez. John Wais befinci beit yerine do ruu u sezgise oarak daha koay kabu ediebiecek fu önermeyi sunmuftur: John Wais Herhangi bir üçgen, aç ar de- iftirimeden ve oranar bozumadan istendi i kadar büyütüebiir ya da küçütüebiir. ma Wais in bu önerisi pek dikkat çekmemiftir. naf an matematikçier tüm dikkaterini befinci beiti kan tamaya dikmifer ve birinci seçene i ifin koay na kaçmak oarak ag am far. kinci Seçenek. Matematikçier ne yap p etmiferse de, birtürü befinci beiti di er beiterden harekete kan tayamam fard r. unu nerdeyse bir onur ve gurur sorunu haine getirmifken, 1823 te befinci beitin kan tanamayaca anaf m f (Janos oyai ve Lobachevski ve sessizce Gauss) ve Ökidd f geometrier keffedimiftir. oyai, Lobachevski ve Gauss un budu u geometride bir do ruya bir noktadan sonsuz tane parae geçer. Daha sonra Riemann, parae do ruar n hiç omad, yani tüm do ruar n kesifti i geometrier keffetmiftir. Söyemeye gerek var m : Tüm bu geometrierde ik dört beit do rudur. u çok ama pek çok önemi konuyu bir bafka say m zda odukça ayr nt bir biçimde ifeyece iz. iz esas konumuza geri döneim. Tan ms z Terimer Ökid in bu beiteri biraz faza insansa, duyuar m za ve sezgierimize biraz faza seseniyor. Örne in sonsuza kadar uzatmak ya da iç aç ar - n n odu u tarafta ne demektir? eiterin tam ne dedikeri bei oma, tart fmaya yer kamama. u beiterin ne dedikeri tam bei de i. Öte yandan Ökid in beiterinde odu u gibi böye tan manmam f terimerin omas çok do a ve hatta kaç n maz. fiöye bir örnek vereyim: Diyeim Macarca tek bir keime bimiyorsunuz ve einizde Macarcadan Macarcaya bir sözük var. Sözükte Macarca bir sözcü e bak yorsunuz anam n anamak için. Sözcü ün tan m da Macarca odu undan, tan m anayam yorsunuz ebette. u sefer tan mda buunan sözcükere bak yorsunuz sözükte. Onar n da tan - m Macarca... Sözükte bunara da bakman z gerekiyor... u böye sürer gider. ir keime Macarca bimedi inizden, Macarcadan Macarcaya bir sözü- e bakarak tek bir Macarca keime ö renemezsiniz! Oysa birkaç keime biseniz... Hiyerogif de böye çözümemif midir? ir kra ad, bir savaf ad okunur okunmaz gerisi çorap sökü ü gibi gemiftir. Matematikte de aynen böyedir. Tan m verimeyen terimer oma d r. u tan m verimeyen terimeri bidi imizi varsay p bafka feyer anamaya ve anatmaya ça fma y z. Tan m verimeyen bu terimere asa terimer denir. sa terimsiz derdimizi anatamay z. sa terimer için çefiti seçenekerimiz oabiir. E er T kavram ndan S kavram ve S kavram ndan T kavram tan manabiiyorsa, o zaman T terimini asa terim oarak kabu edece imize S terimini asa terim oarak kabu edebiiriz, ya da tam tersini yapabiiriz. Seçim matematikçinin zevkine kam ft r. 72

4 Ne de osa asa terimerin oabidi ince do a kavramar omas gerekir ve neyin do a oup omad da kifiden kifiye de ifebiir. Sadece küme ve eeman omak kavramar n asa terim oarak kabu edip kümeer kuram ya ife bafayabiir ve geometri de dahi omak üzere tüm matemati i infa edebiiriz. ma bunu yapmak herkesin ifine gemeyebiir. Örne in bir ise ö rencisinin geometri ö renmek için ta kümeer kuram ndan bafamas pek pedagojik say maz. O zaman sadece geometriyi infa etmek için nokta, do ru, düzem gibi asa terimer kabu ediir. ma bu asa terimerin kümeer kuram ndan harekete matematikse oarak tan manabiece ini biinmeidir. yn fey beiter için de geçeridir. ir k sm n MD-2003-IV say s nda verdi imiz kümeer kuram n n beiteriye, geometri de dahi omak üzere tüm matemati i infa edebiiriz. ma sadece geometriyi ö renmek isteyen biri için bu hiç de pratik bir yöntem de idir. Sadece geometriyi ö renmek isteyen birine do rudan geometrinin beiteri verimesi her feyi çok daha koayaft r r, ama bu kifi geometrinin beiterinin kümeer kuram n n beiteriye kan tanabiece ini bimeidir. Ve Hibert Sahnede! Hibert, 1899 da Geometri nin Temeeri (Grundagen der Geometri) ad yap t nda Ökid in yapmak istedi- ini (bugünkü anamda) çok daha matematikse oarak yapm ft r. Yaz n n devam nda Hibert in Ökid geometrisinin beiterini verece iz. Önce Hibert in kabu etti i David Hibert asa terimerin istesini vermemiz gerekiyor. unar tam 6 tanedir: Nokta Do ru Düzem Üstünde / çeriyor ras nda Ef u terimerin anam n anamaya ça fmayaca- z, anayamay z da. unar böyece tan ms z kabu edece iz ve kuanaca z. ma, örne in, üçgen i matematikse oarak yukardaki terimeri kuanarak tan mamam z gerekir, üçgen i tan mamadan üçgen den sözedemeyiz. Nokta ebette sezgierimize ag ad m z nokta yerine kuan acak, ama tam matematikse tan m sadece geometri kuan arak veriemez. Nokta (matemati in de i ama) geometrinin asa terimerinden biridir. k üç terim (nokta, do ru ve düzem) nesne adar, son üç terim ise iki ya da üç nesne aras ndaki oas iifkierin adar. Örne in bir do ru bir düzemin üstünde oabiir ya da omayabiir, bir nokta bir do ru ya da bir düzem üstünde oabiir ya da omayabiir, bir nokta di er iki noktan n aras nda oabiir ya da omayabiir. Efik iifkisi ise ierde tan manacak oan do ru parçaar ve aç ar aras nda bir iifki oacak. ki do ru parças n n ya da iki aç n n ef omas, sezgise oarak o do ru parçaar n n uzunukar n n ya da o aç ar n öçüerinin efit omas anam na geecek. Hibert in ik beitini föye yazabiiriz: Verimif herhangi iki noktay içeren bir do ru vard r. verien iki nokta bu iki noktadan geçen do ru u aynen Ökid in birinci beiti. rada hiçbir fark yok. ncak Hibert en az ndan nokta ve do ru kavramar n n tan manmadan verimesi gerekti ini söyemif. fte Hibert in geometri beiteri. I. Kapsam eiteri Hibert in ik iki beitini tek bir beitte toparamakta bir sak nca görmüyoruz: I.1-I.2. Verimif herhangi iki de ifik noktay içeren tek bir do ru vard r. ve noktaar ndan geçen bu do ruya bundan böye ad n vereim. I.3. Her do ru en az iki nokta içerir. yr ca, ayn do ru üstünde omayan (yani do rusa omayan) en az üç nokta vard r. u son beitin birinci k sm çok basit geometrieri igi aan m z d f nda b rakmak için yaz m ft r. Okur, e enmek için, her (ya da en az bir) do runun en faza iki nokta içerdi i dejenere geometrieri bumaya ça fabiir. 73

5 içimse Yaz m Daha matematikse omak istiyorsak föye yapma yd k: P, noktaar kümesi ve L de do ruar kümesi osun. ir nesnesinin nokta odu- unu beirtmek için P(), bir nesnesinin do ru odu unu beirtmek için L() yaza m. E er bir noktas bir do rusunun üstündeyse (ya da do rusu noktas n içeriyorsa), yaza m. O zaman, verimif herhangi iki de ifik noktay içeren bir do ru vard r önermesi föye yaz abiir: P() ve P() ise, öye bir vard r ki L(), ve. Matematikse dide bu da föye yaz r: 77 ((P() P()) (L() )) Hibert in ak nda oan bu son yaz md r. ncak biçimseik böye uç noktada a nd nda, matematik ruhsuz ve hatta anams z bir u raf aan our. Önemi oan beiteri yukardaki gibi biçimse oarak yazmak de i, az ya da çok u rafarak beiterin böye biçimse oarak yaz abiece ini bimektir. Yukardaki biçimse yaz m n okunufu föyedir: 7 : ne oursa osun, 7 : ne oursa osun, P() : [e er] bir noktaysa : ve P() : bir noktaysa, : o zaman : öye bir vard r ki, L() : bir do rudur : ve :, do rusundad r : ve :, do rusundad r. Sezgise oarak ve a fagedi imiz e itimde, bir do ru, üstünde buunan noktaar kümesidir. ma Hibert in sundu u biçimde öye de i, bir do ru, noktaar n n kümesi oarak tan manmad, hatta hiç tan manmad, tan ms z terim oarak a nd. ma art k bir do ruyu üstündeki noktaar kümesi oarak ag ayabiiriz. Nitekim, birinci beite göre, iki do runun sadece iki noktas ortaksa bie bu iki do ru birbirine efit ourar ve ikinci beite göre de her do runun üstünde en az iki nokta vard r. undan böye bir do ruyu üstündeki noktaar kümesi oarak ag aman n hiçbir mahsuru yoktur. Her düzemi de üstündeki noktaar kümesi oarak ag ayabiece iz. Umar z okur hangi beiterden harekete böye bir varsay mda buunabiece imizi ag ayabiecektir. I.4-I-5. Do rusa omayan herhangi üç noktay içeren tek bir düzem vard r. Her düzemde en az bir nokta vard r., ve yi içeren bu bir tane odu unu bidi- imiz düzeme bundan böye ad n vereim. fiimdiik bir düzemde do rusa omayan üç nokta odu unu bimiyoruz. u, ierdeki beiter kuan arak kan tanabiir. I.6. ki nokta bir düzemdeyse, o iki noktadan geçen do runun tüm noktaar da o düzemdedir. Yukardaki beiterden, bir do ruyu ve o do ruda buunmayan bir noktay içeren tek bir düzemin odu u koay ka kan tan r. yr nt ar okura b - rak yoruz. I.7. E er iki düzemin ortak bir noktas varsa, ortak bir bafka noktas daha vard r. Yukardaki beiterden kesifen iki düzemin tam bir do ruda kesiftikeri kan tanabiir. öyece geometrinin boyutunun 3 ten büyük omad anaf r (yoksa tek noktada kesifen düzemer ourdu, örne- in dört boyutu geometride x = y = 0 ve z = t = 0 düzemeri sadece (0, 0, 0, 0) noktas nda kesifirer.) I.8. yn düzemde omayan dört nokta vard r. u beit tek düzemi oan geometrieri kapsam d f nda b rakmak için yaz m ft r. Yani düzemin boyutu en az 3 oma d r. öyece bu beiterin tan mad düzem tam 3 boyutu oacakt r. II. S raama eiteri ras nda k kavram n da tan mamadan kabu etti imizi an msat r m. ras nda k bir iifkidir, üç nokta aras nda bir iifki. Sezgise oarak, noktas ve noktaar aras ndad r demek, bu üç nokta ayn do ru üstündeer, birbirinden de ifiker ve noktas gerçek hayatta hissetti imiz anamda ve noktaar aras ndad r oarak yorumanma d r. E er noktas ve noktaar n n aras ndaysa, bunu -- gibi görse oarak gösterebiiriz. II.1. E er bir noktas ve noktaar n n aras ndaysa, o zaman bu üç nokta birbirinden de- ifiktir ve do rusad rar. yr ca noktas ve noktaar n n da aras ndad r. 74

6 u beit aras nda k iifkisinin tahmin etti imiz gibi bir iifki odu unu söyüyor. Son k s m -- ise -- dir diyor. ir sonraki beit, noktaar n yo un odu unu söyeyecek: II.2. Herhangi iki nokta aras nda bir bafka nokta vard r. II.3. Do rusa üç de ifik nokta veridi inde bunardan biri ve sadece biri di er ikisinin aras ndad r. undan böye ve aras ndaki noktaar kümesini [] oarak göstereim. u kümeye bir de ayr ca ve noktaar n ekeyeim. II.1 den [] nin her noktas n n do rusunda odu u anaf r. [] ye do ru parças ya da (kapa ) ara k diyeim. II.4., ve do rusa omayan üç nokta osun., düzeminde bir do ru osun. E er, [] nin bir noktas ndan geçiyorsa, o zaman, [] ya da [] nin de bir noktas ndan geçer. ras nda k iifkisinin her do ru üzerinde birbirinin z dd iki s raama verdi ini okur farketmif oabiir. ir sonraki böümde bunu ifeyece iz. III. Efik eiteri Efik de s raama gibi bir iifkidir, iki do ru parças (ya da birazdan tan mayaca m z iki aç ) aras nda bir iifki. ki do ru parças ef demek, sezgise oarak, bu do ru parçaar n n uzunukar ayn demektir. herhangi bir nokta ve, dan geçen herhangi bir do ru osun. üstünde dan de ifik herhangi bir noktas aa m. n n, ve noktaar n n aras nda odu u noktaar kümesine n n deki bir taraf denir. n n bir do ru üzerinde iki taraf odu u kan tanma d r. n n bir taraf n n yi içeren taraf na f n ad veriir. f n n n bafang ç noktas d r. azen nin n n di er taraf bir do ru de i de bir f n odu unu beirtmek için nin üstüne sodan sa a do ru bir ok konur, ama biz yaz m a raft rmamak taraftar y z. ir sonraki beit bir do ru parças n uzayda uzunu unu bozmadan istedi imiz gibi doaft rabiece imizi söyüyor: III.1. ve iki fark nokta osun. herhangi bir do ru ve, üzerinde herhangi bir nokta osun. O zaman noktas n n deki herhangi bir taraf nda [] ve [ ] do ru parçaar n n ef odu u bir nok- tas buunabiir. III.2. E er iki do ru parças üçüncü bir do ru parças na efse, o zaman o iki do ru parças da eftir. E er [] ve [D] do ru parçaar efse (efik in tan ms z bir terim odu unu unutmaya m), bunu [] [D] oarak göstereim. III.3., ve noktaar do rusa osun. Sadece noktas n n hem [] hem de [] do ru parçaar üstünde odu unu varsaya m., ve ayn özeikeri sa ayan üç nokta osun. E er [] [ ] ve [] [ ] ise, o zaman [] [ ]. S ra verimif üç de ifik,, noktas na ya da aç s ad veriir. noktas na aç s n n tepe noktas denir. aç s ve f nar ya (, ) oarak da ifade ediebiir. yaz m, hem bu noktaardan geçen bir düzemi hem de bir aç y temsi ediyor. irazdan ayr ca bir de bir üçgeni temsi edecek! Kar f k a neden oabiir mi? Oabiir, ama az bir ihtima. Sadece birazc k dikkati omak gerekiyor o kadar. Çok gerekiyorsa bu üç yaz m aras nda küçük ifareter yard m ya ayr m yap abiir. izim buradaki amac m z yaz m standart hae getirmek ya da geecekte karf af acak zorukar engeemek de i, amac m z sadece Hibert in beiterini sunmak. unun için de en koay m za geen yaz m kabu ediyoruz. 75

7 yn fey tan mar için de geçeri oacak. ir üçgenin okuarda nas tan mand n bimiyorum (ve umurumda da de i!) irazdan üçgeni üç de ifik ve s ras z nokta kümesi oarak tan mayaca m. E er amac ma uafmak için bu tan m ifime ve koay ma geiyorsa, bu tan m kabu edece im. Sonuç oarak bu dergi bir mühendisik dergisi de i, soyut matematik dergisi! Devam edeim. α bir düzem ve, α düzeminde bir do ru osun. ve noktaar, α düzeminde oan ama de omayan iki nokta osunar. E er [] do ru parças do rusunu kesmiyorsa, ve noktaar nin ayn taraf ndad r denir. α düzeminde oan her do rusu α da oan ama de omayan noktaar kesifmeyen iki atkümeye ay r r ve bu sayede nin ayn taraf nda ya da ayr tarafarda oan noktaardan sözedebiiriz. Efik iifkisini tan ms z oarak aç ara da uyguayaca z. s nda do ru parçaar n n efi inden aç ar n efi i (üç kenar ef üçgener sayesinde) tan manabiir. Doay s ya efik iifkisi sadece do ru parçaar için tan ms z oarak sunuabiir ve aç ar n efi i daha sonra bir tan m oarak veriebiirdi. iz gene de Hibert i izeyeim. Mutaka bir bidi i vard r. III.4. bir aç osun., ve nin do rusa omad kar n varsaya m., bir α düzeminde bir do ru osun. ve, üzerinde iki fark nokta osun. π, α düzeminde nin bir taraf osun. O zaman π de öye bir noktas vard r ki, ve aç ar eftirer. yr ca, e er bu özeikeri sa ayan bir bafka noktaysa, do rusu do rusuna efittir. α α yn tarafta oan noktaar nin π taraf α yr tarafarda oan noktaar S ras z üç noktaya üçgen denir. iz üçgenerin üç noktas n n birbirinden fark odukar n ve do rusa omad kar n varsayaca z. E er noktaar, ve ise {,, } üçgeni oarak yaz r. Tabii üçgenini, vb gibi de yazabiiriz. Yaz y okuyan geometrici ve esas geometrici Mustafa Ya c bu üçgen tan m konusunda bana föye kükredi: Yaz n zda do rusa omayan (s ras z) üç noktaya üçgen denir demifsiniz. ç kças hiçbir yerde böye bir tan ma rastamad m. unda bir yan f k m var yoksa anamaya yetmiyor muyum, onu da anamad m. Üçgenin tan m n ba ra ba ra ö retti im, bef kere tekraratt m, söyeyemeyeni derse amad m ö rencierimin bu yaz y okudukar n düfündüm bir an. Ne söyerim acaba? Do rusu ben de yukardaki tan m kafadan atm ft m! Hibert nas yapm f diye bakmam ft m bie. Önemi omad ndan... fa yukar o da böye yapm ft r, bafka nas yapacak? fiimdi bakt m. Hibert bir üçgeni {,, } do ru parçaar kümesi oarak tan mam f. fa daki beiti yazmadan önce de, bundan böye bir üçgenin üç do ru parças n n do rusa omad n varsayaca n söyemif. Hibert bir üçgeni üç kenar ya tan mam f, bense üç tepe noktas ya tan mad m. ki tan m aras nda matematikse oarak hiçbir ayr m yoktur. ma Mustafa Ya c da hak. Okuarda sadece matematik de i, matematike birikte bir de hayat bigisi ö retiir. Üçgenin hayatta ne anamda kuan d n ö rencier bimei. ma bizim matematik d f nda bir kayg m z yok ki... izim için üçgenin kendisi ya da tan m de i, üçgenin özeikeri önemi! Yeter ki üçgene igii teoremeri kan tayabieim, bafka bir fey umurumuzda de i. Soyut matemati i insansoyunun di er bütün u raf aanar ndan ay ran bu özeikten MD-2003-IV, sayfa 9-13 te sözetmiftik. yr ca afa daki beiti yazmak için ia bir üçgenden sözetmek gerekmez, üçgensiz de yaz abiir bu beit... III.5. E er ve üçgeneri için, [] [ ], [] [ ] ve efikeri geçeriyse, o zaman efi i de geçeridir. fiimdi mefhuuur paraeik beitini verece iz. u beiti Ökid in di er dört beitinden yoa ç karak kan tamak için heba edien ana sütünün haddi hesab yoktur. 76

8 IV.1. Paraeik eiti. herhangi bir do ru ve, de omayan herhangi bir nokta osun. O zaman ve yi içeren düzemde buunan, dan geçen ve ye kesifmeyen en faza bir do ru vard r. V. Sürekiik eiteri u böümde verece imiz iki beit bir do runun gerçe say ara kodanabiece ini söyeyecek. irinci beit gerçe say ar n fu özei ini ifade edecek: ε > 0 ne kadar küçük bir say oursa osun, e er n do a say s yeterince büyük a n rsa, nε say s her gerçe say y geçer. V.1. rfimet eiti. [] ve [D] herhangi iki do ru parças osun. O zaman D öye bir k do a say s vard r ki, [D] ye ef k tane do ru parças, dan bafanarak ardarda f n nda pefis ra s raand nda, noktas geçiir. ir sonraki beitin neden gereki odu unu aç kamam z gerekiyor. Yukardaki beiteri kuanarak, bir birim uzunu unda bir do ru parças verimifse (uzunu u tan mamad k, ama haya edin!) o zaman iki birim uzunu unda bir do ru parças infa edebiiriz. Hatta 2 uzunu unda bir do ru parças da infa ediebiir. ma π, e, 2 1/3 uzunu unda do ru parçaar yukardaki beitere infa edemeyiz. ir sonraki beit de bu uzunukta do ru parçaar n infa ediebiece ini söyemeyecek, ama en az ndan o beiti kuanarak bu uzunukta do ru parçaar n n odu unu kan tayabiece iz. Sonuncu beiti Hibert in verdi i biçimde amayaca z, Hibert inki çok karmaf k. Hibert inkine efde er oan bir bafka beit öneriyoruz. V.2. Do runun Tam [Dedekind]. herhangi bir do ru osun. ( yi nin noktaar kümesi oarak gördü ümüzü unutmaya m.) S 1 ve S 2 kümeeri fu özeikeri sa as n: 1) = S 1 S 2. 2) S 1 S 2 =. 3) S 1, S 2, 4), S 1 ise [, ] S 1, 5), S 2 ise [, ] S 2. O zaman öye bir O noktas vard r ki, her S 1, S 2, O, O için O noktas ie aras ndad r. 2 1/3 Var m? u beit sayesinde 2 1/3 uzunu unun odu u kan tanabiir. Kan taya m... Kan taya m ama daha say n n ne demek odu- unu bie bimiyoruz... Tan mayaca z. Her feyi tan mayaca z. Yaz y daha faza uzatmamak için ayr nt ara girmeyip okurun anay f na s naca z. Önce dik aç y tan maya m. - O- iifkisini sa ayan üç nokta aa m, yani O noktas ve noktaar n n aras nda osun., S 1 S 2 Var odu u söyenen O noktas dik aç do rusu üstünde omayan bir nokta osun. E er O ve O aç ar efse, bu aç ar n her birine dik aç denir. fiimdi say y tan maya m. Herhangi say ar bir x do rusu aa m ve x x in noktaar na say diyeim. Yukardaki fekide dört say gösterdik! O x herhangi bir nokta (yani say ) osun. u O noktas na ierde 0 say s diyece iz. x, O dan de ifik bir nokta (yani say ) osun. u noktas na ierde 1 say s u v x diyece iz. erde yapacakar m z aç s ndan O O y bir f n oarak görmekte yarar var. fiimdi iki say y (yani x in iki noktas n ) çarpmas n ve topamas n ö renece iz. d m z iki say ya u ve v diyeim. irazdan uv ve u + v ad n verece imiz iki say tan mayaca z. x i O da dik kesen bir y do rusu aa m. öye bir y nin var n n kan t n okura b rak yoruz. u x ve y do ruar na hak aras nda x ve y ekseneri denir. u iki ekseni hep kuanaca z. yr ca y de bir O noktas seçerek y de bir yön, yani bir O f n beireyeim. yr ca, O O osun. Çarpma. u ve v noktaar n n (say ar n n) O f n üzerinde, yani O nun pozitif taraf nda odukar n varsaya m. O Görse diki in matematikse hiçbir anam omad ndan dik aç ar özeike dik çizmedik. dik aç 77

9 fa daki fekiden takip edin. 1) dan y eksenine bir parae çizeim. (u do ru ierde x = 1 do rusu oacak.) 2) u dik üzerinde ve x in noktas n n buundu u tarafta, Ou u efi ini sa ayan bir u noktas seçeim. 3) Ou do rusuya v den y ye çekien paraein kesifti i noktaya v diyeim. 4) v noktas ndan x e bir parae çekeim. u paraein y yi kesti i noktaya w diyeim. 5) O f n üstünde Ow Oz efi ini sa ayan bir z noktas bua m. w O y u u u z noktas na u ie v say ar n n çarp m diyeim ve bu say y uv oarak yaza m. Ebette uv = vu, (uv)w = u(vw), u = u, uo = O gibi efitikerin gösterimesi gerekiyor, bunu okura b rak yoruz. fiimdi de topamay tan maya m. Topama. Gene u ve v noktaar n n O f n üstünde odukar n varsayaca z. 1) dan y ye ve den x e birer parae çizeim. 2) u iki parae noktas nda kesifsiner. 3) O f n üzerinde Ov = Ov efi ini sa ayan bir v noktas aa m. 4) v noktas ndan O do rusuna bir parae çekeim. 5) u parae do ru u dan y ye çekien paraee u noktas nda kesifsin. 6) u noktas ndan x e bir parae çekeim. u parae y yi w noktas nda kessin. 7) O f n üzerinde Ow Oz efi ini sa ayan bir z noktas aa m. u say y u + v biçiminde yaza m ve ad na u ie v noktaar n n topam diyeim. O w v y v u u v v u+v z = uv x x E er u ve v noktaar n n her ikisi de O f n üzerinde de ise, uv ve u+v say ar benzer biçimde tan man rar. u iki ifem, u(v + w) = uv + uw gibi tahmin edien tüm efitikeri sa arar. Son oarak bir de iki say aras nda efitsizi i tan maya m. u ve v iki say osun. E er O f n üzerinde u + w = v efiti ini sa ayan bir w say s varsa o zaman u nun v den küçükefit odu unu söyeyeim ve bunu u v oarak yaza m. ir de küpünü amak fonksiyonunu tan maya m. E er z bir say ysa, z 3, zzz osun (z nin kendisiye üç kez çarp m.) rt k 2 1/3 say s n n var n gösterebiiriz. V.2 yi kuanaca z. V.2 deki do rusunu x do rusu oarak aa m. 2 say - x s n n nerede odu u bei O (1) 2 herhade: noktas na 1 dedi imizden, 2 noktas + noktas oacak. fiimdi, S 1 = {z x : z 3 2} osun. S 2 = x \ S 1 osun. S 1 ve S 2 nin V.2 deki kofuar sa ad kan tanabiir. Doay s ya ikisinin ortas nda bir say vard r. fte bu say 2 1/3 ad n verece imiz say d r. Son Söz. Ökid in yapamad biçimsei i 2000 küsur y sonra Hibert yapm ft r ve (üç boyutu) geometrinin beiterini vermiftir. oyutu ia üçe ç kman n gere i yoktu, iki boyutu düzem geometrisinin de beiterini verebiirdi, biz de verebiirdik. fiimdi aka fu sorunun gemesi az m: Matematikte bu beiteri sa ayan bir sistem var m d r? Evet vard r! u, kümeer kuram ndan harekete kan tanabiir. MD-2003-IV say m zda kümeer kuram ndan harekete do a say ar kümesi N yi tan mam ft k. Daha da ieri gidebiseydik, ki bir bafka say m zda gidece iz, kümeer kuram ndan harekete gerçe say ar kümesi R yi tan mayabiirdik. rd ndan geometrinin noktaar n R 3 kümesinin eemanar oarak tan maya m. Do ru, düzem, aras nda k, efik, üstündeik gibi kavramar da tan maya m. u tan mardan sonra ede edien sistemin yukardaki aksiyomar sa ad - n kan tamak odukça koayd r. fte böye... 78