GEOMETR 7 ÜN TE V KÜRE

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "GEOMETR 7 ÜN TE V KÜRE"

Transkript

1 ÜN TE V KÜRE 1. KÜRE a. Tan m b. Bir Kürenin Belirli Olmas c. Bir Küre ile Bir Düzlemin Ara Kesiti 2. KÜREN N ALANI 3. KÜREN N HACM 4. KÜREDE ÖZEL PARÇALAR a. Küre Kufla I. Tan m II. Küre Kufla n n Alan b. Küre Tabakas I. Tan m II. Küre Tabakas n n Hacmi c. Küre Kapa I. Tan m II. Küre Kapa n Alan ç. Küre Parças I. Tan m II. Küre Parças n n Hacmi d. Küre Kesmesi I. Tan m II. Küre Kesmesinin Hacmi e. Küre Dilimi I. Tan m II. Küre Diliminin Alan III. Küre Diliminin Hacmi 5. ÇEfi TL ÖRNEKLER ÖZET ALIfiTIRMALAR TEST V 133

2 BU ÜN TEN N AMAÇLARI Bu üniteyi çal flt n zda; * Küreye ait tan mlar aç klayabilecek ve bir kürenin belirli olma flartlar n belirtebile cek, * Bir küre ile bir düzlemin ara kesitini çizerek aç klayabilecek, * Kürenin alan n bulabilecek, * Kürenin hacmini bulabilecek, * Küre kapa n tan yabilecek ve alan n bulabilecek, * Küre parças n tan yabilecek ve hacmini bulabilecek, * Küre kesmesini tan yabilecek ve hacmini bulabilecek, * Küre dilimini tan yabilecek, alan ve hacmini bulabilecek, * Küreye ait çeflitli uygulamalar yapabilecek ve problemleri çözebilecektir. * Dik dairesel kesik koninin alan n bulabilecek, * Dairesel kesik koninin hacmini bulabilcek, * Konilere ait çeflitli uygulamalar yapabilecek ve problemleri çözebilecektir. NASIL ÇALIfiMALIYIZ? * Örnek sorular dikkatle okuyunuz. Kitaba bakmadan çözmeye çal fl n z. * Bu konular ile ilgili Matematik kitaplar ndan yararlan n z. * Konular anlamadan bir baflka konuya geçmeyiniz. * Her bölümün sonunda verilen al flt rma ve de erlendirme sorular n çözünüz. * Test sorular ile kendinizi deneyiniz. Baflar s z iseniz, baflar s z oldu unuz bölümleri tekrar gözden geçiriniz. 134

3 ÜN TE V KÜRE 1. KÜRE a. Tan m Uzayda, sabit bir noktadan eflit uzakl kta olan noktalar n birleflim kümesine (geometrik yerine) küre yüzeyi, bu yüzeyle s n rlanan cisme küre denir. (fiekil 5.1) de al nan 0 sabit noktaya kürenin merkezi, küre yüzeyi ile merkezi aras ndaki sabit uzakl a kürenin yar çap, küre yüzeyinde al nan A ve B gibi farkl iki noktay birlefltiren do ru parças na kürenin kirifli, kürenin merkezi olan 0 noktalar ndan geçen kirifle de, kürenin çap denir. fiekil 5.1 Merkezi 0 ve yar çap r olan bir küre k saca (0, r) fleklinde yaz l r. Küre yüzeyi, bir yar m dairenin çap üzerindeki ekseni etraf nda döndürülerek elde edilebilir. Yar çap uzunluklar eflit tüm küreler, birbirine efltir. b. Bir Kürenin Belirli Olmas Bir küre, merkezi ve yar çap bilindi i taktirde belirli olur. Bir kürenin belirli olmas için, küre yüzeyine ait kaç noktan n bilinmesi gerekti ini bulal m. 1. Bir noktadan, sonsuz say da küre geçer. Verilen bir K noktas ndan geçen kürelerin yar çaplar r kadar ise, merkezlerinin geometrik yeri, r yar çapl K merkezli küre yüzeyi olur. 135

4 2. ki noktadan, sonsuz say da küre geçer. Bu kürelerin merkezlerinin geometrik yeri, bu iki noktay birlefltiren do ru parç s n n orta dikme düzlemidir. 3. Do rusal olmayan üç noktadan, sonsuz say da küre geçer. Bu kürelerin merkez lerinin geometrik yeri, bu üç noktadan geçen çemberin düzlemine, merkezinden ç k lan dik do rudur. 4. Ayn bir düzlem içinde bulunmayan dört noktadan, yaln z küre geçer. Ayn bir düzlem içinde bulunmayan dört noktadan eflit uzakl kta bulunan yaln z bir nokta vard r. O halde, bir kürenin belirlenmesi için, üçü birden ayn düzlemde olmayan en az dört nokta verilmelidir. c. Bir Küre le Bir Düzlemin Ara Kesiti Teorem: Bir küre yüzeyinin, bir düzlemle ara kesiti bir çember, kürenin bir düzlemle ara kesiti de bir dairedir. spat: (fiekil 5.2) de, 0 merkezli r yar çapl bir küre, P düzlemiyle kesildi inde, [0M] [MN] olacak flekilde bir 0MN dik üçgeni çizelim. Bu üçgende 0N = r, 0M = d ve MN = r 1 olsun. fiekil 5.2 0MN dik üçgeninde pisagor teoremine göre, r 2 = d 2 + r2 1, r2 1 = r 2 - d 2 ise, r 1 = r 2 - d 2 dir. r 1 uzunlu u sabit oldu una göre, N noktalar sabit bir M noktas ndan eflit uzakl ktaki noktalar kümesidir. 136 Buna göre, ara kesit M merkezli ve r yar çapl bir çemberdir. Bu çemberle s n rlanan düzlemsel bölge de daire olur.

5 d. Bir Küre ile Düzlemin Birbirine Göre Konumlar Bir küre ile düzlemin birbirine göre, üç farkl konumu vard r. Kürenin yar çap r ve kürenin merkezinin düzleme olan uzakl d olsun. (fiekil 5. 3). Buna göre; fiekil d < r ise, küre ile düzlemin ara kesiti bir dairedir. 2. d = r ise, küre bir T noktas nda düzleme te ettir. Bu durumda, küre ile düzlemin ara kesiti bir noktad r. Bu noktaya de me noktas, düzleme de te et düzlemi denir. 3. d > r ise, düzlem küreyi kesmez. Ara kesit bofl kümedir. Küre merkezinin düzleme uzakl d = 0 ise, düzlem kürenin merkezinden geçer. Bu durumda, küre yüzeyi ile düzlemin ara kesitine, kürenin bir büyük çemberi denir. Büyük çemberin yar çap, kürenin yar çap na eflittir. Teorem: Uzayda, bir do ru parças n, dik aç alt nda gören noktalar n geometrik yeri, bu do ru parçalar n çap kabul eden bir küre yüzeyidir. spat: Sabit do ru parças [AB] ve geometrik yere ait bir nokta C olsun (fiekil 5.4). 137

6 ABC üçgeni C köflesinde dik ise, bir dik üçgende hipotenüs kenarortay n yar s na eflit olaca ndan, 0C = AB 2 olur. fiekil 5.4 O halde, C noktas n n geometrik yeri, merkezi 0 ve yar çap yüzeyidir. 2. KÜREN N ALANI Teorem: Yar çap r olan bir kürenin alan, A = 4.π.r 2 dir. spat: Çap AF = 2r olan bir yar m çember, [AF] çap etraf nda döndürülürse, r yar çapl bir küre yüzeyi oluflur. Bu yar m çemberin içine çizilen herhangi bir yar m düzgün çokgen ABCDEF olsun. Bu düzgün çokgenin iç çemberin yar çap n r 1 ile gösterelim (fiekil 5.5). AB 2 olan bir küre 138 fiekil 5.5

7 ABCDEF düzgün yar m çokgenin, AF etraf nda dönmesinden oluflan cismin alan n A 1 ile gösterelim. Bu alan [AB], [BC], [CD], [DE], [EF], nin dönmesinden elde edilen alan n toplam na eflittir. Buna göre, A 1 = 2.π.r 1 AB + 2πr 1 B C +2πr 1 C D + 2πr 1 D E +2πr 1 E F A 1 = 2. π.r 1 AB + B C + C D + D E + E F 2r A 1 = 2.π.r 1. 2r = 4.π.r 1. r bulunur. Burada, düzgün yar m çokgenin kenarlar n n say s n, sonsuz say da art r l rsa, yar m çokgenin çevresi [AF] çapl yar m çemberin çevresine, r 1 yar çap r ye, A 1 alan da, kürenin A alan na eriflir. O halde, kürenin alan : A = 4.π. r. r = 4.π. r 2 olur. Bu teoremle göre afla daki ifadeleri söylebeliriz. 1. Bir kürenin alan, bir büyük dairesinin alan n n 4 kat na eflittir. 2. ki kürenin alanlar n n oran, yar çaplar n n karelerinin oran na eflittir. ÖRNEK 5.1 Yar çap 6 cm olan bir kürenin alan n bulal m. Yar çap r = 6 cm olan kürenin alan : A = 4.π. r 2 ifadesinden, A = 4. π. 6 2 = 4. π. 36 = 144 π cm 2 olur KÜREN N HACM Yar çap r olan bir kürenin hacmi, yar çap n n küpü ile π say s n n çarp m n n kat d r. Buna göre, r yar çapl bir kürenin hacmi, V = 4 3.π.r3 dür. ki kürenin hacimlerinin oran, yar çaplar n n küplerinin oran na eflittir. ÖRNEK 5. 2 Yar çap 4 cm olan bir kürenin hacmini bulal m (π = 3 al nacakt r). Yar çap r = 4 cm olan kürenin hacmi: V = 4 3. π. r3 ifadesinden, V = = 4 4 = 256 cm 3 olur. 139

8 4. KÜREDE ÖZEL PARÇALAR a. Küre Kufla I. Tan m Bir küre yüzeyinin, P ve Q gibi iki paralel düzlem aras nda kalan kürenin parças na, küre kufla denir (fiekil 5. 6). fiekil 5.6 Birbirine paralel düzlemsel kesit çemberlerine, küre kufla n n tabanlar ve tabanlar aras ndaki uzakl a da, küre kufla n n yüksekli i denir (fiekil 5. 7). fiekil II. Küre Kufla n n Alan (fiekil 5.7) deki küre kufla, AB çember yay n, [ ] yüksekli i etraf nda 360 döndürülmesi ile meydana gelir. Kürenin yar çap r, küre kufla n yüksekli i h ise, küre kufla n n alan : A = 2. π. r. h d r.

9 ÖRNEK 5. 3 Yar çap 6 cm olan bir kürede, küre kufla n n yüksekli i 3 cm ise, bu küre kufla n n alan n bulal m. Verilen küre kufla n n yüksekli i h = 3 cm ve kürenin yar çap r = 6 cm dir. Küre kufla n n alan : A = 2. π. r. h ifadesinden, A = 2. π = 36 π cm 2 olur. b. Küre Tabakas I. Tan m Küre kufla ile paralel P ve Q düzlemleri aras nda kalan cisme, küre tabakas denir (fiekil 5. 8). fiekil 5.8 Birbirine parelel olan düzlemsel kesitlere, küre tabakas n n tabanlar, tabanlar aras ndaki uzakl a da, küre tabakas n n yüksekli i denir. Küre kufla üstten ve alttan aç k, küre tabakas ise kapal d r. Küre kufla, küre tabakas n n yanal yüzüdür. Yükseklik ise ikisinde de ayn d r. II. Küre Tabakas n n Hacmi (fiekil 5.8) deki küre tabakas n n yüksekli i = h, alt taban n yar çap, 0 2 C = r 2, üst taban n yar çap 0 1 D = r 1 ise, Küre tabakas n n hacmi: V = π.h 3r r2 + h 2 dir. 141

10 ÖRNEK 5.4 Bir küre tabakas n n yüksekli i 4 cm, alt taban n yar çap 5 cm, üst taban n yar çap 3 cm oldu una göre, bu küre tabakas n n hacmini bulal m (π 3 al nacakt r). Verilen küre tabakas n n yüksekli i h = 4 cm, alt taban n yar çap r 2 = 5 cm ve üst taban n yar çap r 1 = 3 cm dir. Küre taban n n hacmi: V = π.h 3r r2 + h 2 6 verilen de erler yerine konulursa, V = = V = = = 236 cm 3 olur. ifadesinde, c. Küre Kapa I. Tan m Bir küre yüzeyinin, P düzlemi ile kesilmesinden elde edilen parçalardan her birine, küre kapa denir (fiekil 5.9). Küre kapa n n içi bofltur. fiekil 5.9 II. Küre Kapa n Alan (fiekil 5.9) daki küre kapa, tabanlardan birinin yar çap s f r olan küre kufla gibidir. Bu nedenle, r yar çapl bir küreden kesilen, h yüksekli indeki bir küre kapa n n alan : 142 A = 2π. r. h dir.

11 ÖRNEK 5.5 Yar çap 8 cm olan bir küre, merkezden 5 cm uzakl kta bir düzlemle kesiliyor. Elde edilen küre kapa n n alan n bulal m. Verilen kürenin yar çap r = 8 cm ve küre kapa n n yüksekli i h = 8-5 = 3 cm dir. Küre kapa n n alan : A = 2π. r. h ifadesinden, A = 2π = 48 π cm 2 olur. ç. Küre Parças I. Tan m Küre kapa ile, kesit düzlemi aras nda kalan cisme, küre parças denir (fiekil 5.10). Küre parças n n içi doludur. fiekil 5.10 II. Küre Parças n n Hacmi (fiekil 5.10) da, r yar çapl bir küreden kesilen, h yüksekli indeki küre parças n n hacmi: V = 1 3 π.h2 3r - h d r. 143

12 ÖRNEK 5. 6 Yar çap 12 cm olan bir küreden kesilen, 4 cm yüksekli indeki küre parças n n, hacmini bulal m (π = 3 al nacakt r). Verilen kürenin yar çap r = 12 cm ve kesilen küre parças n n yüksekli i h = 4 cm dir. Küre parças n n hacmi: V = 1 3 π. h2 3r - h ifadesinden, V = = = = 512 cm 2 olur. d. Küre Kesmesi I. Tan m Bir AOB daire diliminin, kendisini kesmeyen, [EF] çap etraf nda 360 dönmesinden elde edilen cisme, küre kesmesi denir. (fiekil 5.11) deki küre kesmesinin ABDC yüzü bir küre kufla, di er iki yüzü ise, birer koni yüzeyidir. Burada h, küre kufla n n yüksekli i ayn zamanda küre kesmesinin de yüksekli idir. II. Küre Kesmesinin Hacmi (fiekil 5.11) deki küre kesmesi, ABDC küre kufla ile, (0, BD) ve (0, AC) koni yüzeylerinin s n rlad cisimdir. Küre kesmesi, tepeleri kürenin merkezinde, tabanlar küre kufla üzerinde bulunan, sonsuz say da konilerin toplam fleklinde düflünülebilir. Bu konilerin yükseklikleri, kürenin yar çap na eflit ve r kadard r. Küre kesmesinin yüksekli i h ise, küre kufla n n alan, A= 2π. r.h oldu undan, küre kesmesinin hacmi, V = 1 3 A. r = 2π. r. h. r 3 = 2 3 π. r2. h dir. 144 fiekil 5.11

13 ÖRNEK 5. 7 Yar çap 8 cm olan bir kürede, küre kesmesinin yüksekli i 3 cm dir. Bu küre kesmesinin hacmini bulal m. Kürenin yar çap r = 8 cm ve küre kesmesinin yüksekli i h = 3 cm dir. Küre kesmesinin hacmi: V = 2 3 π. r2. h ifadesinden, V = 2 3 π = 2 3 π = 128 π cm3 olur. e. Küre Dilimi I. Tan m Kürenin bir [AB] çap ndan geçen, iki yar m düzlem aras nda kalan k sm na, küre dilimi denir (fiekil 5. 12). II. Küre Diliminin Alan (fiekil 5.12) deki kürenin yar çap r, düzlemler aras ndaki merkez aç n n ölçüsü θ olsun. Küre diliminin yüzey alan : Bu küre dilimi, merkezinden kesilen bir karpuz dilimi gibi düflünülürse, iki yan yüzeyin alan r yar çapl dairenin alan olur. Buna göre, küre diliminin tüm alan : fiekil 5.12 Y = 4π. r 2. θ 360 A = π.r2. θ 90 eflitli inden, Y = π.r2. θ 90 + π.r 2 dir. dir. 145

14 III. Küre Diliminin Hacmi Küre diliminin hacmi, V = 4 3.π.r3. θ 360 eşitliğinden, V = π. r 3. θ 270 olur. ÖRNEK 5. 8 Yar çap 9 cm olan bir kürede, merkez aç s n n ölçüsü 45 dir. Buna göre, küre diliminin yüzey alan n, tüm alan n ve hacmini bulal m. (π 3 al nacakt r.) Verilen kürenin yar çap r = 9 cm ve merkez aç s n n ölçüsü θ = 45 dir. Küre diliminin yüzey alan : Y = = Küre diliminin tüm alan : A = Y = πr2 θ 90 = 1215 cm 2 dir. ifadesinden, A = π r2 θ 90 + π. r2 ifadesinden, = = 3645 cm 2 dir. Küre diliminin hacmi: V = πr3. θ 270 V = = ifadesinden, = = 3645 cm3 olur. 5. ÇEfi TL ÖRNEKLER ÖRNEK 5. 9 Çap 10 cm olan kürenin alan n ve hacmini bulal m ( π = 3 al nacakt r.) Verilen kürenin çap 10 cm ise, yar çap r = 10 2 = 5 cm dir. Kürenin alan : A = 4.π.r 2 ifadesinden, A = = = 300 cm 2 dir. Kürenin hacmi: V = 4.π. r3 ifadesinden, 3 V = = = 500 cm 3 olur. 146

15 ÖRNEK Büyük dairelerden birinin alan 36 π cm 2 olan kürenin, alan n ve hacmini bulal m. Küredeki büyük daire, kürenin merkezinden geçen dairedir. Buna göre, büyük dairenin alan : A = π. r 2 oldu undan, 36. π = π.r 2 eflitli inden, r 2 = 36 ise, r = 6 cm dir. Kürenin alan : A = 4π. r 2 ifadesinden, A = 4. π 6 2 = 4. 36π = 144 π cm 2 dir. Kürenin hacmi: V = 4 3.π. r 3 ifadesinden, V = 1 3.π. 63 = 4 3. π. 216 = 288 π cm3 olur. ÖRNEK Yar çap 5 cm olan bir küre fleklindeki tahta yontularak yüksekli i 8 cm olan en büyük hacimli bir silindir yap l yor. Bu tahtan n yontulan k sm n n hacmini bulal m. ( π 3 al nacakt r.) Verilen kürenin yar çap O 1 B = r 1 5 cm ve silindirin taban yar çap O 2 B r 2 olsun. Karenin içine çizilen, en büyük hacimli silindir (fiekil 5.13) deki gibi olmal d r. fiekil

16 Burada, [BD] kürenin çap oldu undan, BD = 2.r 1 = 2. 5 = 10 cm dir. [AD] silindirin yüksekli i oldu undan, AD = 8 cm dir. DAB dik üçgeninde pisagor teoremine göre, AB 2 = BD 2 - AD 2 ifadesinden, AB 2 = = = 36 ise, AB = 6 cm dir. [AB] silindirin çap oldu undan, silindirin yar çap, Buna göre, O 2 B = r 2 = 6 2 = 3 cm dir. Yontulan k sm n hacmi = Kürenin hacmi - Silindirin hacmi Kürenin hacmi: V 1 = 4 3. π.r 1 3 ifadesinden, V 1 = = = 500 cm 3 tür. Silindirin hacmi: V 2 = π. r 2 2 h ifadesinden, V 2 = = = 216 cm 3 tür. Yontulan k sm n hacmi: V = V 1 - V 2 V = = 284 cm 3 olur. oldu undan, ÖRNEK Bir kürenin merkezinden 3 cm uzakl ktaki kesitinin alan 50, 24 cm 2 oldu una göre, bu kürenin, a. Yar çap n, b. Alan n, c. Hacmini bulunuz (π 3.14 al nacakt r). a. Küre kesitinin merkezi H, yar çap AH = r 1, ve 0H = 3 cm dir. Kürenin merkezi 0, yar çap OA = r 2 olsun (fiekil 5.14). 148

17 Önce, kesit dairenin yar çap n bulal m. Kesit dairenin alan 50, 24 cm 2 oldu undan, A = π. r 1 2 ifadesinden, fiekil , 24 = 3, 14. r2 1 : r2 50, 24 1 = 3, 14 = 16 ise, r 1 = 4 cm dir. 0AH dik üçgeninde pisagor teoreemine göre, 0A 2 = AH 2 + 0H 2 ifadesinden, 0A 2 = = = 25 ise, 0A = r 2 = 5 cm dir. b. Kürenin alan ; A = 4. π. r 2 2 ifadesinden, A = 4. 3, = 12, = 314 cm 2 dir. c. Kürenin hacmi: V = 4 3. π. r 2 3 ifadesinden, V = , = 12, = cm 3 olur. ÖRNEK 5.13 Yar çap 10 cm olan bir kürenin merkezinden 4 cm uzakl kta bulunan bir düzlemle kesilerek, elde edilen küre parças n n hacmini bulal m. Verilen kürenin yar çap r = 10 cm ve küre parças n n yüksekli i, h = 10-4 = 6 cm dir. Küre parças n n hacmi: V = 1 3. π. h2 3. r - h ifadesinden, V = 1 3. π = π 30-6 = 12π 24 = 288π cm3 olur. 149

18 ÖRNEK 5.14 Yar çap 8 cm olan bir kürede, merkez aç s n n ölçüsü 45 olan bir küre dilimi (fiekil 5. 15) de veriliyor. Bu küre diliminin, a. Yüzey alan n, b. Tüm alan n, c. Hacmini bulal m. fiekil 5.15 Verilen kürenin yar çap r = 8 cm ve merkez aç n n ölçüsü θ = 45 dir. a. Küre dileminin yüzey alan : Y = 4.π. r 2. θ 360 ifadesinden, Y = 4.π = π = π = 32 π cm2 dir. b. Küre diliminin tüm alan : A = π. r2. θ 90 A = π π.8 2 = 32π + 64 π = 98 π cm 2 dir. + πr 2 ifadesinden, c. Küre diliminin hacmi: V = π. r3. θ ifadesinden, 270 V = π π = = π = π cm3 olur. 150

19 ÖRNEK 5.15 Yar çap r birim olan bir kürenin, 0 merkezinden ve kürenin merkezinden r 2 birim uzakl ktaki H noktas ndan geçen, paralel iki düzlemle kesiliyor. Meydana gelen küme parças n n hacmini bulal m. Verilen kürenin yar çap r birim, küre parças n n yüksekli i h = r 2 birimdir (fiekil 5.16) fiekil 5.16 Küre parças n n hacmi: V = 1 3. π. h2. 3r -h ifadesinden, V = 1 3.π. r r - r 2 = π. r2 12 6r - r 2 V = πr r 2 = 5 πr3 birimküp olur. 24 ; ÖRNEK 5.16 Yar çap r ve yüksekli i h olan bir dik dairesel silindirle, bu silindire içten te et olan bir küre yerlefltiriliyor.küre ile dik dairesel silindirin, a. Hacimleri, b. Alanlar aras ndaki ba nt y bulal m. (fiekil 5. 17) deki kürenin ve dik dairesel silindirin taban yar çap r, silindirin yüksekli i h = 2r dir. 151

20 fiekil 5.17 a. Dik dairesel silindirin hacmi: V 1 = πr 2. h ifadesinden, V 1 = π. r 2. (2r) = 2. π. r 3 tür. Kürenin hacmi: V 2 = 4 3. π. r3 tür. Küre ile dairesel silindirin hacimleri aras ndaki ba nt y yazarsak, V 1 V 2 = 3 2. π.r = π.r3 4 = 3 2 olur. b. Dik dairesel silindirin alan, A 1 = 2.π. r (r + h) ifadesinden, A 1 = 2.π. r (r + 2r) = 2.π. r (3r) = 6. π. r 2 dir. Kürenin alan, A 2 = 4. π. r 2 dir. Küre ile dairesel silindirin alanlar aras ndaki ba nt y yazarsak, 152 A 1 A 2 = 6.π.r2 4.π.r 2 = 6 4 = 3 2 olur. O halde, küre ile dairesel dik silindirin hacimlerini ve alanlar n oranlad m zda birbirine eflit, 3 2 oluyor.

21 ÖRNEK 5.17 Bir kürede, küre merkezinden 6 cm uzakl kta, bir düzlemle kesiliyor. Kesit dairesinin alan 64 π cm 2 dir. Buna göre, kürenin hacmini bulal m. (fiekil 5. 18) deki kesit dairesinin yar çap HB = r 1, Kürenin yar çap OB = r 2 olsun. fiekil 5.18 Buna göre, kesit dairenin alan A = π. r 1 2 olduğundan, 64π = π r2 1 ; r2 1 = 64 ise, r 1 = 8 cm dir. Böylece, HB = r 1 = 8 cm olur. fiimdi de kürenin yar çap n bulal m. 0HB dik üçgeninde pisagor teoremine ve 0H = 6 cm oldu una göre, 0B 2 = 0H 2 + HB 2 ifadesinden, 0B 2 = = = 100 ; 0B 2 = r 2 2 = 100 ise, r 2 = 10 cm dir. Kürenin hacmi: V = 4 3.π. r 2 3 ifadesinden, V = 4 3.π = π cm 3 olur. 153

22 ÖRNEK 5.18 Yar çap 5 cm olan bir kürenin hacmini, bir ayr t n n uzunlu u 5 cm olan küpün hacmine oran n bulal m (π = 3 al nacakt r.) Yar çap 5 cm olan kürenin hacmi: V 1 = 4 3.π.r3 ifadesinden, V 1 = = = 500 cm 3 tür. Bir ayr t n n uzunlu u 5 cm olan küpün hacmi: V 2 = a 3 ifadesinden, V 2 = 5 3 = 125 cm 3 tür. Kürenin hacmini küpün hacmine oranlarsak, V 1 V 2 = = 4 olur. 154

23 ÖZET Uzayda sabit bir noktadan, eflit uzakl kta olan noktalar n birleflim kümesine küre yüzeyi, bu yüzeyi ile s n rlanan cisme küre denir. Sabit noktaya, kürenin merkezi, küre yüzeyi ile merkezi aras ndaki sabit uzakl a kürenin yar çap, denir. Küre yüzeyinde al nan farkl iki noktay birlefltiren do ru parças na kürenin kirifli, kürenin merkezinden geçen kirifle de, kürenin çap denir. Merkezi 0 ve yar çap r olan bir küre k saca (0, r) fleklinde yaz l r. Bir küre, merkezi ve yar çap bilindi i taktirde, belirli olur. Bir kürenin belirli olmas için, küre yüzeyine ait, kaç noktan n bilinmesi gerekti ini bulal m. 1. Bir noktadan, sonsuz say da küre geçer. 2. ki noktadan, sonsuz say da küre geçer. 3. Do rusal olmayan üç noktadan, sonsuz say da küre geçer. 4. Ayn bir düzlem içinde bulunmayan dört noktadan, yaln z bir küre geçer. Bir küre yüzeyinin, bir düzlemle ara kesiti bir çember, kürenin bir düzlemle ara kesiti de bir dairedir. Bir küre ile düzlemin birbirine göre, üç farkl konumu vard r. Yar çap r ve kürenin merkezinin düzleme olan uzakl d olsun. 1. d < r ise, küre ile düzlemin ara kesiti bir dairedir. 2. d = r ise, küre bir noktada, düzleme te ettir. Bu durumda, küre ile düzlemin ara kesiti bir noktad r. 3. d > r ise, düzlem küreyi kesmez. Ara kesit bofl kümedir. Kürenin merkezinden geçen düzlemin ara kesitine, kürenin büyük çemberi denir. Uzayda bir do ru parças n, dik aç alt nda gören noktalar n geometrik yeri, bu do ru parçalar n çap kabul eden, bir küre yüzeyidir. Yar çap r olan bir kürenin alan : A = 4.π. r 2 dir. Yar çap r olan bir kürenin hacmi: V = 4 3.π.r3 dür. Bir küre yüzeyinin, paralel iki düzlem aras nda kalan kürenin parças na, küre kufla denir. Birbirine paralel düzlemsel kesit çemberlerine, küre kufla n tabanlar ve tabanlar aras ndaki uzakl a da, küre kufla n n yüksekli i denir. 155

24 Kürenin yar çap r, küre kufla n n yüksekli i h ise, küre kufla n n alan ; A = 2. π. r. h d r. Küre kufla ile iki paralel düzlemler aras nda kalan cisme, küre tabakas denir. Küre kufla, üstten ve alttan aç k, küre tabakas ise kapal d r. Küre tabakas n n yüksekli i h, alt taban yar çap r 2, üst taban yar çap r 1 ise, küre tabakas n n hacmi: V = π. h 3r r2 + h 2 dir. 6 Bir küre yüzeyinin, bir düzlemle kesilmesinden elde edilen parçalardan her birine, küre kapa denir. r yar çapl bir küreden kesilen h yüksekli indeki bir küre kapa n n alan : A = 2π. r. h d r. Küre kapa ile, kesit düzlemi aras nda kalan cisme, küre parças denir. Küre parças n n içi doludur. r yar çapl bir küreden kesilen, h yüksekli indeki küre parças n n hacmi: V = 1 3. π.h2 3r - h d r. Bir daire diliminin, kendisini kesmeyen bir çap etraf nda, 360 dönmesinden elde edilen cisme, küre kesmesi denir. Kürenin yar çap r ve küre kesmesinin yüksekli i h ise, küre kesmesinin hacmi: V = 2 3. π.r2.h d r. Kürenin bir çap ndan geçen, iki yar m düzlem aras nda kalan k sm na, küre dilimi d e n i r. Kürenin yar çap r, düzlemler aras ndaki merkez aç n n ölçüsü θ olsun. Küre diliminin yüzey alan : Y = π. r2. θ dir. 90 Küre diliminin tüm alan : A = π. r2. θ 90 + π.r 2 dir. Küre diliminin hacmi: V = π.r3. θ 270 dir. 156

25 ALIfiTIRMALAR 1. Afla da yar çap verilen kürelerin, alan ve hacimlerini bulunuz (π 3 al nacakt r). a. 12 cm b. 8 cm c. 2 3 cm 2. Büyük dairenin alan 78,5 cm 2 olan kürenin, yar çap n ve hacmini bulunuz (π = 3.14 al nacakt r). 3. Yar çap 13 cm olan bir kürenin, merkezinden 12 cm uzakl kta, bir düzlemle kesiliyor. Kesiti olan dairenin alan n bulunuz (π 3 al nacakt r). 4. Yar çap 4 cm olan bir dairenin herhangi bir çap etraf nda 180 dönmesiyle oluflan cismin, alan n ve hacmini bulunuz. 5. Çap 8 cm olan kurflun bir küre, eritilerek çap 2 cm olan kurflun küreler yap l yor. Eritme esnas nda fire söz konusu olmad na göre, kaç tane küre yap labilece ini bulunuz. 6. Bir ayr t n n uzunlu u 10 cm olan küpün içine, maksimum hacimli kürenin, alan n ve hacmini bulunuz (π 3 al nacakt r). 7. Yar çap 8 cm olan bir küre, merkezden 3 cm uzakl kta bir düzlemle kesiliyor. Elde edilen küre kapa n n alan n ve küre parças n n hacmini bulunuz. 8. Yar çaplar 4 cm ve 5 cm olan iki kürenin, alanlar ve hacimleri oran n bulunuz. 9. Yar çap 10 cm olan bir küreden, merkez aç s n n ölçüsü 30 olan bir dilim kesiliyor. Bu dilimin, tüm alan n ve hacmini bulunuz (π 3 al nacakt r) Yar çap 5 cm olan küre içine (fiekil 5.19) daki gibi, bir dik dairesel koni çizilmifltir. Küre merkezinin, dik dairesel koninin taban na uzakl 4 cm oldu una göre, dik dairesel koninin ve kürenin hacimleri fark n bulunuz (π 3 al nacakt r). 157

26 fiekil Yar çap 15 cm olan bir küre, merkezinden 12 cm uzakl ktaki bir düzlemle kesiliyor. Oluflan küre kapa n n alan n ve küre parças n n hacmini bulunuz (π 3 al nacakt r). 12. Taban yar çap 5 cm ve ana do rusu 13 cm olan bir koninin içine, taban na ve yan yüzüne te et olarak çizilen bir kürenin hacmini bulunuz (π 3 al nacakt r). 13. Taban yar çap 6 cm olan bir dik dairesel silindir içinde bir miktar su vard r. Suyun içine, yar çap 3cm bir çelik bilye at l rsa suyun yüksekli inin kaç cm yükselebile ce ini bulunuz. 14. Bir kürenin merkezinden 3 cm uzakl ktaki kesitinin çevresi 24 cm oldu una göre, bu kürenin alan n ve hacmini bulunuz (π 3 al nacakt r). 15. Yar çap 5 cm olan bir küre, merkezinden 3 cm uzakl kta bir düzlemle kesiliyor. Kesit dairesini taban kabul eden ve tepe noktas küre üzerinde bulunan, en büyük hacimli dik dairesel koninin hacmini bulunuz (π 3 al nacakt r). 158

27 DE ERLEND RME SORULARI 1. Bir kürenin alan, bir büyük dairesinin alan n n kaç kat d r? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 2. Hacmi, alan na say ca eflit olan kürenin, en büyük dairesinin alan kaç π birim karedir? A) 3 B) 6 C)9 D) Alan 36 π cm 2 olan bir kürenin hacmi kaç π cm 3 tür? A) 36 B) 54 C) 68 D) (fiekil 5. 20) deki yar çap 4 cm olan bir yar m dairesi, [AB] çap etraf nda 360 döndürüldü ünde, oluflan cismin hacmi kaç cm 3 dür? (π 3 al nacakt r). fiekil 5.20 A) 64 B) 82 C) 128 D)

28 5. ki kürenin alanlar oran 9 ise, hacimlerinin oran kaçt r? A) 18 B) 21 C) 24 D) Yar çap 2 cm olan küre fleklindeki bir cismin, yüzeyini boyamak için bir tüp boya k u l l a n l y o r. Yar çap 6 cm olan, ayn cinsten küreyi boyamak için kaç tüp kullan l r? A) 8 B) 9 C) 10 D) Yar çap 9 cm olan kurflun bir küre eritilerek, Yar çap 3 cm olan küreler elde ediliyor. Kaç tane küre elde edilir? A) 9 B) 27 C)54 D) Yar çap 4 cm olan bir kürenin alan n n, hacmine oran kaçt r? A) 1 4 B) 1 2 C) 2 3 D) (fiekil 5.21) deki küre, merkezinden 2 cm uzakl ktaki bir düzlemle kesilirse, elde edilen dairenin alan 5π cm 2 dir. Bu kürenin hacmi kaç π cm 3 dür? 160

29 fiekil 5.21 A) 36 B) 54 C) 72 D) Taban çap, yüksekli ine eflit olan bir silindirin içine en büyük hacimli, bir küre y e r l e fl t i r i l i y o r. Silindirin hacmi 48 cm 3 ise, kürenin hacmi kaç cm 3 t ü r? (π 3 al nacakt r). A) 28 B) 32 C) 36 D) Yar çap, 3 cm olan bir kürede, merkez aç s n n ölçüsü 30 olan bir küre diliminin hacmi, kaç π cm 3 tür? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 161

30 12. Yar çap 6 cm olan bir küre, merkezinden ve merkezden 3 cm uzakl ktaki bir noktadan geçen, paralel iki düzlemle kesiliyor. Meydana gelen küre parças n n hacmi, kaç π cm 3 tür? A) 18 B) 24 C) 36 D) Alan 100 π cm 2 olan bir küre, merkezden 3 cm uzakl kta olan bir düzlemle kesiliyor. Meydana gelen kesit dairesinin çevresi, kaç π cm dir? A) 4 B) 6 C) 8 D) Bir kürenin hacmi 32 Küre yüzeyinde, en büyük yar çapl dairenin 3 π cm3 dür. alan, kaç, π cm2 dir? A) 2 B) 4 C) 6 D) Yar çap 5 cm olan bir küre, merkezinden 3 cm uzakl kta bir düzlemle kesiliyor. K e s i t dairesini taban kabul eden, küre içinde en büyük koninin hacmi kaç cm 3 tür? (π 3 al nacakt r). A) 32 B) 64 C) 96 D) Yar çap 5 cm olan bir küre, merkezinden ve küre yüzeyinden 2 cm uzakl kta iki paralel düzlemle kesiliyor. Bu iki düzlem aras nda kalan küre kufla n n alan kaç π cm 2 dir? A) 24 B) 26 C) 30 D)

31 1 7. Kürenin yar çap 15 cm ve küre merkezinden 9 cm uzakl kta bir düzlemle kesiliyor. Elde edilen ara kesit dairesinin alan, kaç cm 2 dir? (π 3 al nacakt r). A) 144 B)1216 C) 368 D) (fiekil 5.22) de, yar çap 6 cm olan dairenin 1 v e r i l m i fl t i r. Bu dairenin [0A] 4 ü kenar etraf nda 360 döndürülmesi ile meydana gelen cismin hacmi, kaç cm3 tür? (π 3 al nacakt r). fiekil 5.22 A) 432 B) 688 C) 864 D) Bir küre parças n n yüksekli i 8 cm ve hacmi 256 cm 3 tür. Bu parçan n kesilmifl oldu u kürenin yar çap, kaç cm dir? (π 3 al nacakt r). A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 163

32 20. (fiekil 5.23) de, yar çap 6 cm olan bir küre, paralel iki düzlemle çap, üç eflit k sma ayr lm flt r. Elde edilen küre parças n n hacm, kaç cm 3 tür? (π 3 al nacakt r). fiekil 5.23 A) 224 B) 238 C) 242 D)

GEOMETR 7 ÜN TE III S L ND R

GEOMETR 7 ÜN TE III S L ND R ÜN TE III S L ND R 1. S L ND R K YÜZEY VE TANIMLAR 2. S L ND R a. Tan m b. Silindirin Özelikleri 3. DA RESEL S L ND R N ALANI a. Dik Dairesel Silindirin Alan I. Dik Dairesel Silindirin Yanal Alan II. Dik

Detaylı

GEOMETR 7 ÜN TE IV KON

GEOMETR 7 ÜN TE IV KON ÜN TE IV KON 1. KON K YÜZEY VE TANIMLAR 2. KON a. Tan m b. Dik Dairesel Koni I. Tan mlar II. Dik Dairesel Koninin Özelikleri III. Dönel Koni c. E ik Dairesel Koni 3. D K DA RESEL KON N N ALANI 4. DA RESEL

Detaylı

GEOMETR 7 ÜN TE II P RAM T

GEOMETR 7 ÜN TE II P RAM T ÜN TE II P RAM T 1. P RAM TLER N TANIMI. DÜZGÜN P RAM T a. Tan m b. Düzgün Piramidin Özelikleri. P RAM D N ALANI a. Düzgün Olmayan Piramidin Alan b. Düzgün Piramidin Alan 4. P RAM D N HACM 5. DÜZGÜN DÖRTYÜZLÜ

Detaylı

ÜN TE II UZAYDA DO RULARIN VE DÜZLEMLER N D KL

ÜN TE II UZAYDA DO RULARIN VE DÜZLEMLER N D KL ÜN TE II UZAYDA DO RULARIN VE DÜZLEMLER N D KL 1. DO RULARIN D KL 2. B R DO RUNUN B R DÜZLEME D KL a. Tan m b. Düzlemde Bir Do ru Parças n n Orta Dikme Do rusu c. Bir Do runun Bir Düzleme Dikli ine Ait

Detaylı

9. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: MADDE ve ÖZELLİKLERİ 1. Konu MADDELERİN SINIFLANDIRILMASI ve ÖZELLİKLERİ ÇÖZÜMLER

9. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: MADDE ve ÖZELLİKLERİ 1. Konu MADDELERİN SINIFLANDIRILMASI ve ÖZELLİKLERİ ÇÖZÜMLER 9. SINIF KONU ANLATIMLI. ÜNİTE: MADDE ve ÖZELLİKLERİ 1. Konu MADDELERİN SINIFLANDIRILMASI ve ÖZELLİKLERİ ÇÖZÜMLER Siz Yap n Sorular n n Çözümleri 81-84. sayfalar aras Örnek nin çözümü Yar çap 6 m olan

Detaylı

TEK ve ÇOK YÜZEYLİ KAPALI YÜZEYLER ve KATI CİSİMLER 1 TEST

TEK ve ÇOK YÜZEYLİ KAPALI YÜZEYLER ve KATI CİSİMLER 1 TEST ve Ç ÜLİ PLI ÜLR ve S I İSİMLR.. P(a,, ) ukarıdaki dik koordinat sisteminde (,, ) olduğuna göre, dikdörtgenler prizmasının hacmi kaç br tür? nalitik uzayda yukarıdaki dikdörtgenler prizmasının yüzey alanı

Detaylı

2. Afla daki çokgenlerden hangisi düzgün. 1. Afla dakilerden hangisi çokgen de ildir? çokgen de ildir? A) B) A) B) C) D) C) D)

2. Afla daki çokgenlerden hangisi düzgün. 1. Afla dakilerden hangisi çokgen de ildir? çokgen de ildir? A) B) A) B) C) D) C) D) Ad : Soyad : S n f : Nu. : Okulu : Çokgenler Dörtgenler MATEMAT K TEST 15 1. Afla dakilerden hangisi çokgen de ildir? 4. Afla daki çokgenlerden hangisi düzgün çokgen de ildir? 2. Afla daki çokgenlerden

Detaylı

Eğer piramidin tabanı düzgün çokgense bu tip piramitlere düzgün piramit denir.

Eğer piramidin tabanı düzgün çokgense bu tip piramitlere düzgün piramit denir. PİRAMİTLER Bir düzlemde kapalı bir bölge ile bu düzlemin dışında bir T noktası alalım. Kapalı bölgenin tüm noktalarının T noktası ile birleştirilmesi sonucunda oluşan cisme piramit denir. T noktası piramidin

Detaylı

10. ÜNİTE HACİM VE SIVI ÖLÇÜLERİ, KATI CİSİMLERİN ALAN VE HACİMLERİ MESLEKİ UYGULAMALARI

10. ÜNİTE HACİM VE SIVI ÖLÇÜLERİ, KATI CİSİMLERİN ALAN VE HACİMLERİ MESLEKİ UYGULAMALARI 10. ÜNİTE HACİM VE SIVI ÖLÇÜLERİ, KATI CİSİMLERİN ALAN VE HACİMLERİ MESLEKİ UYGULAMALARI KONULAR HACİM VE HACİM ÖLÇÜLERİ KAVRAMI HACİM ÖLÇÜLERİ BİRİMLERİ 1. Metreküpün Katları As Katları 2. Birimlerin

Detaylı

UZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR

UZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR UZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR Cisimlerin kapladığı yer ve içinde bulundukları mekan uzaydır. Doğruda sadece uzunluk, düzlemde uzunluk ve genişlik söz konusudur. Uzayda ise uzunluk ve genişliğin yanında

Detaylı

BASIN KİTAPÇIĞI ÖSYM

BASIN KİTAPÇIĞI ÖSYM BASIN KİTAPÇIĞI 00000000 AÇIKLAMA 1. Bu kitapç kta Lisans Yerle tirme S nav -1 Geometri Testi bulunmaktad r. 2. Bu test için verilen toplam cevaplama süresi 45 dakikadır. 3. Bu kitapç ktaki testlerde yer

Detaylı

PİRAMİT, KONİ VE KÜRENİN ALANLARI

PİRAMİT, KONİ VE KÜRENİN ALANLARI PİRAMİT, KNİ VE KÜRENİN ALANLARI KAZANIMLAR Piramit kavramı Piramitin yüzey alanı Kesik piramitin yüzey alanı Düzgün dörtyüzlü kavramı Piramitin dönme simetri açısı Koni kavramı Koninin yüzey alanı Kesik

Detaylı

1. Yukar daki çubuk makarna afla dakilerden hangisinin modelidir? Yukar daki rakamlardan kaç tanesinde dikey do ru modeli vard r?

1. Yukar daki çubuk makarna afla dakilerden hangisinin modelidir? Yukar daki rakamlardan kaç tanesinde dikey do ru modeli vard r? Ad : Soyad : S n f : Nu. : Okulu : 1. Yukar daki çubuk makarna afla dakilerden hangisinin modelidir? Do ru Düzlem Nokta 5. MATEMAT K TEST 19 Ifl n Do ru Do ru parças 2. Afla daki hangi do runun çizgi modeli

Detaylı

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR 9. SINIF Geometri Amaç-1: Nokta, Doğru, Düzlem, Işın ve Uzayı Kavrayabilme. 1. Nokta, doğru, düzlem ve uzay kavramlarım açıklama. 2. Farklı iki noktadan geçen doğru sayışım söyleme

Detaylı

ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES

ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES 1. G R fi. ÇEMBER N DENKLEM 3. MERKEZLER R J NDE, EKSENLER ÜZER NDE V E YA EKSENLERE T E E T LAN ÇEMBERLER N DENKLEM 4. ÇEMBER N GENEL DENKLEM 5. VER LEN ÜÇ NKTADAN

Detaylı

ÜN TE II ÇOKGENSEL BÖLGELER N ALANLARI

ÜN TE II ÇOKGENSEL BÖLGELER N ALANLARI ÜN TE II ÇOKGENSEL BÖLGELER N ALANLARI 1. ÇOKGENSEL BÖLGELER N ALANLARI 2. D KDÖRTGEN N ALANI 3. ÜÇGENSEL BÖLGELER N ALANI 4. ÜÇGENSEL ALAN PROBLEMLER ÇÖZÜLÜRKEN KULLANILACAK FORMÜLLER 5. PARALELKENARIN

Detaylı

Çokgenler. Dörtgenler. Çember. Simetri. Örüntü ve Süslemeler. Düzlem. Geometrik Cisimler

Çokgenler. Dörtgenler. Çember. Simetri. Örüntü ve Süslemeler. Düzlem. Geometrik Cisimler MTEMT K Çokgenler örtgenler Çember Simetri Örüntü ve Süslemeler üzlem Geometrik isimler Temel Kaynak 5 Çokgenler ÇOKGENLER E F En az üç do ru parças n n, birer uçlar ortak olacak flekilde ard fl k olarak

Detaylı

PİRAMİTLER ENFORMATİK BİLGİSAYAR DERSİ

PİRAMİTLER ENFORMATİK BİLGİSAYAR DERSİ 2011 PİRAMİTLER ENFORMATİK BİLGİSAYAR DERSİ 15.12.2011 ĠÇĠNDEKĠLER ÜNİTE HAKKINDA GENEL BİLGİ... 3 KONULAR... 4 PİRAMİTLER... 4 KARE PİRAMİT... 5 EŞKENAR ÜÇGEN PİRAMİT... 6 DÜZGÜN DÖRTYÜZLÜ... 6 DÜZGÜN

Detaylı

ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES

ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES ANAL T K GEOMETR ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES 1. ANAL T K UZAY. ANAL T K UZAY D A D K KOORD NAT EKSENLER VE ANAL T K UZAY I. Analitik uzayda koordinat sistemi II. Analitik

Detaylı

TEST: 6. Verilenlere göre EF =? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 7 B) 8 C) 10 D) 11 E) 12. x eksenini 5 te, y eksenini 7 de kesen doğrunun denklemi

TEST: 6. Verilenlere göre EF =? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 7 B) 8 C) 10 D) 11 E) 12. x eksenini 5 te, y eksenini 7 de kesen doğrunun denklemi TEST: 6 5. 1. Verilenlere göre EF =? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 7 B) 8 C) 10 D) 11 E) 12 2. 6. x eksenini 5 te, y eksenini 7 de kesen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) 7x+5y=35 B) 7x-5y=35

Detaylı

ÜN TE V. B) GEOMETR K C S MLER N HAC MLER a) Dik Piramidin Hacmi b) Dik Dairesel Koninin Hacmi c) Kürenin Hacmi ALIfiTIRMALAR TEST V-II

ÜN TE V. B) GEOMETR K C S MLER N HAC MLER a) Dik Piramidin Hacmi b) Dik Dairesel Koninin Hacmi c) Kürenin Hacmi ALIfiTIRMALAR TEST V-II ÜN TE V A) GEOMETR K C S MLER N YÜZEY ALANLARI a) Dik Piramidin Yüzey Alan b) Dik Dairesel Koninin Yüzey Alan c) Kürenin Yüzey Alan ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST V-I B) GEOMETR K C S MLER N HAC MLER a) Dik Piramidin

Detaylı

9. ÜNİTE ÜÇGENLER, ÇOKGENLER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI

9. ÜNİTE ÜÇGENLER, ÇOKGENLER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI 9. ÜNİTE ÜÇGENLER, ÇOKGENLER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI KONULAR DİK ÜÇGENLERDE METRİK BAĞINTILAR 1. Pythagoras (Pisagor) Bağıntısı. Euclides (öklit) Bağıntısı 3. Pisagor ve öklit Bağıntıları ile İlgili Problemler

Detaylı

MATEMAT K TEST. 3. a ve b reel say lar olmak üzere, 3 a = 4 ve 3 2a b 3 = 8 oldu una göre,

MATEMAT K TEST. 3. a ve b reel say lar olmak üzere, 3 a = 4 ve 3 2a b 3 = 8 oldu una göre, MTMT K TST KKT! + u testte 80 soru vard r. + u test için ar lan cevaplama süresi 5 dakikad r. + evaplar n z, cevap ka d n n Matematik Testi için ar lan k sma iflaretleiniz.. a, b, c pozitif reel sa lard

Detaylı

ÇÖZÜM [KB] çizilirse, SORU. Boyutlar 9 cm ve 12 cm olan dikdörtgenin bir düzlem üzerindeki izdüflümü bir do ru parças ise, [KC] [CB] ve

ÇÖZÜM [KB] çizilirse, SORU. Boyutlar 9 cm ve 12 cm olan dikdörtgenin bir düzlem üzerindeki izdüflümü bir do ru parças ise, [KC] [CB] ve GMTR erginin bu sa s na Uza Geometri ve o runun nalitik ncelemesi konular na çözümlü sorular er almakta r. u konua, ÖSS e ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik ollar, sorular m

Detaylı

Düzlem - Do ru - Nokta - Aç - Üçgen - Kare - Dikdörtgen - Çember - Simetri - Örüntü ve Süslemeler

Düzlem - Do ru - Nokta - Aç - Üçgen - Kare - Dikdörtgen - Çember - Simetri - Örüntü ve Süslemeler Geometri Düzlem - Do ru - Nokta - Aç - Üçgen - Kare - Dikdörtgen - Çember - Simetri - Örüntü ve Süslemeler ncele, bul flekilleri Çemberleri, üçgenleri, Resimdeki kareleri. Dikdörtgen hangileri? C S MLER

Detaylı

Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr

Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr apak onusu: oncelet Teoremleri oni. Uzayda birbirini 0 < < 90 derecede kesen iki de iflik a ve do rusu alal m. Do rulardan birini di erinin etraf nda, diyelim a y nin etraf nda oluflturduklar aç s n bozmadan

Detaylı

Y ll k Plan MATEMAT K 8. SINIF Ö RETMEN KILAVUZ K TABI

Y ll k Plan MATEMAT K 8. SINIF Ö RETMEN KILAVUZ K TABI ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLAN MATEMAT K 8. SINIF Ö RETMEN KILAVUZ K TABI 9 SINIF : 8 LEND R LM fi Y I L L I K P L A N ÖRÜNTÜ VE SÜSLEMELER. Do ru, çokgen ve çember modellerinden örüntüler infla eder, çizer

Detaylı

KATI CİSİMLER DİK PRİZMALARIN ALAN VE HACİMLERİ 1. DİKDÖRTGENLER PRİZMASI. Uyarı PRİZMA. Üst taban. Ana doğru. Yanal. Yanal Alan. yüz. Yanal.

KATI CİSİMLER DİK PRİZMALARIN ALAN VE HACİMLERİ 1. DİKDÖRTGENLER PRİZMASI. Uyarı PRİZMA. Üst taban. Ana doğru. Yanal. Yanal Alan. yüz. Yanal. TI İSİM İZM İZM irbirine paralel iki düzlem içinde yer alan iki eş çokgensel bölgenin tüm noktalarının karşılıklı olarak birleştirilmesiyle elde edilen cisme İZM denir. İ İZMIN N V HİMİ Tüm dik rizmalarda

Detaylı

TEMEL MATEMAT K TEST

TEMEL MATEMAT K TEST TEMEL MATEMAT K TEST KKAT! + Bu bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + Bu bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MATEMAT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 2 4. 4. 0,5 2. iflleminin sonucu

Detaylı

A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A LYS 1 GMTRİ TSTİ 1. u testte sırasıyla Geometri (1 ) nalitik Geometri (3 30) ile ilgili 30 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Geometri Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 1. bir üçgen =

Detaylı

ÜN TE II ÜÇGENLERDE BENZERL K

ÜN TE II ÜÇGENLERDE BENZERL K ÜN TE II ÜÇGENLERDE BENZERL K 1. ÜÇGENLERDE BENZERL N TANIMI. ORANTININ ÖZEL KLER 3. ÜÇGENLERDE BENZERL K TEOREMLER * K.A.K. Benzerlik Teoremi * A.A.A. Benzerlik Teoremi * Verilen Bir Do ru Parças n stenen

Detaylı

F Z K BASINÇ. Kavram Dersaneleri 42

F Z K BASINÇ. Kavram Dersaneleri 42 F Z BASINÇ ÖRNE : ÇÖZÜ : Özdefl iki tu lan n I, II, III konumlar ndayken yere uygulad klar toplam bas nç kuvvetleri, iki tu lan n a rl klar toplamlar na eflittir. Bu nedenle F = F = F olur. yer I II III

Detaylı

Homoteti (Homothety) DÖNÜfiÜMLERLE GEOMETR. Düzlemde M sabit bir nokta ve k bir reel say olmak

Homoteti (Homothety) DÖNÜfiÜMLERLE GEOMETR. Düzlemde M sabit bir nokta ve k bir reel say olmak ÖNÜfiÜLRL GTR ¾ Homoteti (Homothet) üzlemde sabit bir nokta ve k bir reel sa olmak üzere; P = + k.(p ) ÖRNK üzlemde (5, 6) noktas n n (, 7) merkezli ve k = oranl homoteti ini bulal m. eflitli ini sa laan

Detaylı

ÜN TE III. YÜZDELER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI

ÜN TE III. YÜZDELER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI ÜN TE III. YÜZDELER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI BU ÜN TEDE NELER Ö RENECE Z? A-YÜZDELER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI B-YÜZDE HESAPLARI VE MESLEKÎ UYGULAMALARI C-FA Z HESAPLARI VE MESLEKÎ UYGULAMALARI D-YÜZDE VE

Detaylı

4. HAFTA OLASILIK VE STAT ST K. Olas Durumlar Belirleme. n aç klar ve hesaplar. 2. Permütasyon ve kombinasyon. aras ndaki fark aç klar.

4. HAFTA OLASILIK VE STAT ST K. Olas Durumlar Belirleme. n aç klar ve hesaplar. 2. Permütasyon ve kombinasyon. aras ndaki fark aç klar. 259 E K İ M L Ü L Y E Y 2. HFT 1. HFT 5. HFT. HFT 3. HFT HFT 2 ST LNI OLSILIK VE STT ST K OLSILIK VE STT ST K OLSILIK VE STT ST K SYILR SYILR... LKÖ RET M OKULU MTEMT K...8... SINIF ÜN TELEND R LM fi YILLIK

Detaylı

MATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER

MATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER ÜN TE II KÜMELER 1. TANIM 2. KÜMELER N GÖSTER M a) Liste yöntemi ile gösterimi b) Venn flemas ile gösterimi c) Ortak özelik yöntemi ile gösterimi 3. KÜMELER N KARfiILAfiTIRILMASI a) Kümenin elaman say

Detaylı

Katı Cisimlerin Yü zey Alanı Ve Hacmi

Katı Cisimlerin Yü zey Alanı Ve Hacmi Katı Cisimlerin Yü zey Alanı Ve Hacmi Dikdörtgenler Prizması Hacmi ve Yüzey Alanı Paralelkenar Prizmanın Hacmi Kürenin Hacmi ve Kürenin Yüzey Alanı Kürenin temel elemanları; bir merkez noktası, bu merkez

Detaylı

say s kaç basamakl d r? 2. Bir düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi ayn do ru üzerindedir. Di er 4 noktadan. 3. n do al say olmak üzere;

say s kaç basamakl d r? 2. Bir düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi ayn do ru üzerindedir. Di er 4 noktadan. 3. n do al say olmak üzere; . 7 8 say s kaç basamakl d r? ) 2 B) 0 ) 9 ) 8 E) 7 2. Bir düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi ayn do ru üzerindedir. i er 4 noktadan hiçbiri bu do ru üzerinde bulunmamaktad r ve bu 4 noktadan herhangi

Detaylı

DİK ÜÇGEN. şekilde, m(a) = 90. [BC] kenarı hipotenüs. [AB] ve [AC] kenarları. dik kenarlardır. P İSAGOR BAĞINTISI

DİK ÜÇGEN. şekilde, m(a) = 90. [BC] kenarı hipotenüs. [AB] ve [AC] kenarları. dik kenarlardır. P İSAGOR BAĞINTISI DİK ÜÇGEN Bir açısının ölçüsü 90 olan üçgene dik üçgen denir. Dik üçgende 90 nin karşısındaki kenara hipotenüs, diğer kenarlara dik kenar adı verilir. Hipotenüs üçgenin daima en uzun kenarıdır. şekilde,

Detaylı

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü nün

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü nün Matematik ünas, 003 Güz o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas /. ölüm o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü nün üniversitenin ö retim üelerinin de katk - lar la düzenledi i liseleraras

Detaylı

Yukar daki kare ve dikdörtgene göre eflitlikleri tan mlay n z. AB =... =... =... =...

Yukar daki kare ve dikdörtgene göre eflitlikleri tan mlay n z. AB =... =... =... =... Üçgen, Kare ve ikdörtgen MTEMT K KRE VE KÖRTGEN Kare ve ikdörtgenin Özellikleri F E Kare ve dikdörtgenin her kenar uzunlu u birer do ru parças d r. Kare ve dikdörtgenin kenar, köfle ve aç say lar eflittir.

Detaylı

6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN

6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN GEOMETR Geometrik Cisimler Uzunluklar Ölçme 6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN 1. Prizmalar n temel elemanlar n belirler. Tabanlar n n karfl l kl köflelerini birlefltiren ayr tlar tabanlara

Detaylı

7. ÜNİTE DOĞRUDA VE ÜÇGENDE AÇILAR

7. ÜNİTE DOĞRUDA VE ÜÇGENDE AÇILAR 7. ÜNİTE DOĞRUDA VE ÜÇGENDE AÇILAR KONULAR 1. DOĞRUDA AÇILAR 2. Açı 3. Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler 4. Açı Ölçü Birimleri 5. Ölçülerine Göre Açılar 6. Açıortay 7. Tümler Açı 8. Bütünler Açı 9. Ters

Detaylı

YGS Soru Bankas MATEMAT K Temel Kavramlar

YGS Soru Bankas MATEMAT K Temel Kavramlar 9. 7 = 3.3.3, 07 = 3.3.3 007 = 3.3.3, 0007 = 3.3.3,... Yukar daki örüntüye göre, afla daki say lar n hangisi 81'in kat d r? A) 00 007 B) 0 000 007 C) 000 000 007 D) 00 000 000 007 13. Ard fl k 5 pozitif

Detaylı

ÜN TE IV. A) DENKLEM S STEMLER a) Bir Bilinmeyenli Rasyonel Denklemler b) Do rusal Denklem Sistemleri ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST IV-I

ÜN TE IV. A) DENKLEM S STEMLER a) Bir Bilinmeyenli Rasyonel Denklemler b) Do rusal Denklem Sistemleri ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST IV-I ÜN TE IV A) DENKLEM S STEMLER a) Bir Bilinmeyenli Rasyonel Denklemler b) Do rusal Denklem Sistemleri ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST IV-I B) ÜÇGENLERDE EfiL K ve BENZERL K a) Üçgenlerde Efllik b) Üçgenlerde Efllik

Detaylı

3. Ünsal Tülbentçi Matematik Yarışması Mayıs 2014 8.Sınıf Sayfa 1

3. Ünsal Tülbentçi Matematik Yarışması Mayıs 2014 8.Sınıf Sayfa 1 . Alanı 36 5 olan bir ABC ikizkenar üçgeninde ==2 ise bu üçgende B den AC ye inilen dikmenin ayağının C noktasına olan uzaklığı nedir? ) 2,8) 3) 3,2 ) 3,7 ) 4, 2. Ayrıt uzunlukları 4, 0 ve 4 5 olan dikdörtgenler

Detaylı

4. Çok büyük ve çok küçük pozitif sayıları bilimsel gösterimle ifade eder.

4. Çok büyük ve çok küçük pozitif sayıları bilimsel gösterimle ifade eder. LENDİRME ŞEMASI ÜNİTE Üslü 1. Bir tam sayının negatif kuvvetini belirler ve rasyonel sayı olarak ifade eder.. Ondalık kesirlerin veya rasyonel sayıların kendileriyle tekrarlı çarpımını üslü sayı olarak

Detaylı

2014 LYS GEOMETRİ 3. A. parabolü ile. x 1 y a 9 çemberinin üç noktada kesişmesi için a kaç olmalıdır?

2014 LYS GEOMETRİ 3. A. parabolü ile. x 1 y a 9 çemberinin üç noktada kesişmesi için a kaç olmalıdır? 014 LYS GOMTRİ 1. y 1 1 y a 9 çemberinin üç noktada kesişmesi için a kaç olmalıdır? parabolü ile. O merkezli çeyrek çemberde O deltoid olduğuna göre, taralı alan kaç birim karedir? O. d:y a b doğrusu -ekseni

Detaylı

F Z K OPT K. Kavram Dersaneleri 6. Çözüm: ÖRNEK 1 : Karanl k bir ortamda, küresel bir X fl k kayna n n önüne flekil I deki gibi Y topu konulmufltur.

F Z K OPT K. Kavram Dersaneleri 6. Çözüm: ÖRNEK 1 : Karanl k bir ortamda, küresel bir X fl k kayna n n önüne flekil I deki gibi Y topu konulmufltur. F Z OT ÖRNE 1 : fiekil I L M aranl k bir ortamda, küresel bir fl k kayna n n önüne flekil I deki gibi topu konulmufltur fiekil II Ifl kl bölge fiekil III ayna a, L, M noktalar n n birinden bak ld nda,

Detaylı

ÜN TE IV. DÜZLEMDE VEKTÖRLER

ÜN TE IV. DÜZLEMDE VEKTÖRLER ÜN TE IV. DÜZLEMDE VEKTÖRLER 1. YÖNLÜ DO RU PRÇSI I. Yönlü Do ru Parças n n Tan m I I. Yönlü Do ru Parças n n Uzunlu u III. Yönlü Do ru Parças n n Tafl y c s IV. S f r Yönlü Do ru Parças V. Paralel Yönlü

Detaylı

F Z K A IRLIK MERKEZ ÖRNEK 1 : ÇÖZÜM 1: Bir cisim serbestçe dönebilece i bir noktadan as l rsa, düfley do rultu daima a rl k merkezinden

F Z K A IRLIK MERKEZ ÖRNEK 1 : ÇÖZÜM 1: Bir cisim serbestçe dönebilece i bir noktadan as l rsa, düfley do rultu daima a rl k merkezinden F Z A IRI EREZ ÖRNE 1 : I m II 2m ütleleri m, 2m olan eflit bölmeli, düzgün ve türdefl I ve II levhalar flekildeki gibi birbirine tutturularak noktas ndan bir iple as l yor. Bu levhalar afla dakilerden

Detaylı

5. ÜNİTE AÇILAR, ÜÇGENLER VE MESLEKİ UYGULAMALARI

5. ÜNİTE AÇILAR, ÜÇGENLER VE MESLEKİ UYGULAMALARI 5. ÜNİTE ÇILR, ÜÇGENLER VE MESLEKİ UYGULMLRI açılar KONULR 1. çı, çı Türleri ve Mesleki Uygulamaları 2. Tümler ve ütünler çılar ÜÇGENLER 1. Üçgene it Temel ilgiler 2. Üçgen Türleri 3. Üçgenin Yardımcı

Detaylı

GEOMETR K fiek LLER. Bunlar biliyor musunuz? Yüzey: Bir varl n d fl ve genifl bölümleri. yüzey. Düz: Yüzeyinde girinti, ç k nt olmayan.

GEOMETR K fiek LLER. Bunlar biliyor musunuz? Yüzey: Bir varl n d fl ve genifl bölümleri. yüzey. Düz: Yüzeyinde girinti, ç k nt olmayan. GEOMETR K fiek LLER Bunlar biliyor musunuz? Yüzey: Bir varl n d fl ve genifl bölümleri. yüzey yüzey Düz: Yüzeyinde girinti, ç k nt olmayan. yüzey Küre: Tek yüzeyli cisim. Küp: Birbirine eflit alt yüzeyi

Detaylı

TEST. Dik Prizmalar. 1. Ayrıtlarının uzunlukları 10 cm, 12 cm ve 15 cm. 2. Ayrıtlarının uzunlukları toplamı 120 cm olan küp 5. A B 6.

TEST. Dik Prizmalar. 1. Ayrıtlarının uzunlukları 10 cm, 12 cm ve 15 cm. 2. Ayrıtlarının uzunlukları toplamı 120 cm olan küp 5. A B 6. ik Prizmalar 8. Sınıf Matematik Soru ankası TEST 75 1. yrıtlarının uzunlukları, 1 cm ve 1 olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir kolinin bütün yüzeyleri kağıt ile kaplanacaktır. 4. 8 cm 1 una göre,

Detaylı

1990 ÖYS. 1. si 13 olan si kaçtır? A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 65 B) 63 C) 56 D) 54 E) 45

1990 ÖYS. 1. si 13 olan si kaçtır? A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 65 B) 63 C) 56 D) 54 E) 45 990 ÖYS. si olan si kaçtır? A) 9 B) 8 C) D) 60 E) 5. Ağırlıkça %0 si şeker olan 0 kg lık un-şeker karışımına 8 kg daha un eklendiğine göre, yeni şeker (kg) karışımın oranı kaçtır? un (kg) A) B) C) D) E)

Detaylı

TEMEL MATEMAT K TEST

TEMEL MATEMAT K TEST TEMEL MTEMT K TEST KKT! + u bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + u bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MTEMT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 1. 1 3 1 3 1 2 1 2. 5 + 7 iflleminin sonucu

Detaylı

6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN

6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN SAYLAR Do al Say lar Parças ve fl n 6. SNF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YLLK PLAN Süre/ KAZANMLAR Ders AÇKLAMALAR 1. Do al say larla ifllemler yapmay gerektiren problemleri çözer ve kurar. Do al say

Detaylı

4. ÜNİTE GEOMETRİK ÇİZİMLER

4. ÜNİTE GEOMETRİK ÇİZİMLER 4. ÜNİTE GEOMETRİK ÇİZİMLER KONULAR 1. Geometrik Terimler Doğrular Açılar ve Çeşitleri Üçgenler Dörtgenler Daire Elemanları Geometrik Şekiller 2. Dikmelerin Çizimi Bir Doğruya Üzerindeki Bir Noktadan Dikme

Detaylı

25. f: R { 4} R 28. ( ) 3 2 ( ) 26. a ve b reel sayılar olmak üzere, 27. ( ) eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 10 olduğuna göre, m kaçtır?

25. f: R { 4} R 28. ( ) 3 2 ( ) 26. a ve b reel sayılar olmak üzere, 27. ( ) eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 10 olduğuna göre, m kaçtır? . f: R { 4} R, > ise ( ) 4 f =, ise 6 8. ( ) f = 6 + m + 4 eğrisinin dönüm noktasının ordinatı olduğuna göre, m kaçtır? ) 7 ) 8 ) 9 ) E) fonksiyonu aşağıdaki değerlerinin hangisinde süreksizdir? ) ) )

Detaylı

GEOMETR 1 ÜN TE II AÇILAR

GEOMETR 1 ÜN TE II AÇILAR ÜN TE II AÇILAR 1. AÇI VE ADLANDIRILMASI 2. AÇILARIN YÖNLEND R LMES 3. B R AÇININ Ç VE DIfi BÖLGES 4. KOMfiU AÇILAR 5. B R AÇININ ÖLÇÜSÜ 6. TERS AÇILAR 7. AÇI ÇEfi TLER 8. TÜMLER VE BÜTÜNLER AÇILAR 9.

Detaylı

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır. MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

EKSTREMUM PROBLEMLERİ. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm:

EKSTREMUM PROBLEMLERİ. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm: EKSTREMUM PROBLEMLERİ Ekstremum Problemleri Bu tür problemlerde bir büyüklüğün (çokluğun alabileceği en büyük (maksimum değer ya da en küçük (minimum değer bulunmak istenir. İstenen çokluk bir değişkenin

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ ALT ÖĞRENME. Örüntü ve Süslemeler

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ ALT ÖĞRENME. Örüntü ve Süslemeler 2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE ÖĞRENME Ay Hafta D.Saati ALANI EYLÜL 2 Geometri 2 3 Geometri 2 Geometri 2 Olasılıkve ALT

Detaylı

TEST Levhan n a rl G olsun. G a rl n n O F 1 TORK (KUVVET MOMENT ) - DENGE

TEST Levhan n a rl G olsun. G a rl n n O F 1 TORK (KUVVET MOMENT ) - DENGE R (UVVE MME ) - DEE ES -... evhalar dengede oldu una göre, desteklerin oldu u noktalara göre moment al n rsa,...... oldu u görülür. CEVA B d d d d. ucuna göre moment cambaz den ye giderken momenti azald

Detaylı

Aç ve Aç Ölçüsü. Üçgen, Kare ve Dikdörtgen. Geometrik Cisimler. Simetri. Örüntü ve Süslemeler

Aç ve Aç Ölçüsü. Üçgen, Kare ve Dikdörtgen. Geometrik Cisimler. Simetri. Örüntü ve Süslemeler MTEMT K ç ve ç Ölçüsü Üçgen, Kare ve ikdörtgen Geometrik Cisimler Simetri Örüntü ve Süslemeler Temel Kaynak 4 ç ve ç Ölçüsü ÇI VE ÇI ÖLÇÜSÜ ç lar n dland r lmas C Resimde aç oluflturulan yerlerin baz lar

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 GEOMETRİ TESTİ 19 HAZİRAN 2016 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

1.BÖLÜM ÇÖZÜM SORU. A= {a, b, {a, b}, {c}} kümesi veriliyor. Afla dakilerden kaç tanesi do rudur? I. a A II. {a, b} A III. {c} A IV. {b} A. V.

1.BÖLÜM ÇÖZÜM SORU. A= {a, b, {a, b}, {c}} kümesi veriliyor. Afla dakilerden kaç tanesi do rudur? I. a A II. {a, b} A III. {c} A IV. {b} A. V. 1.ÖLÜM MTMT K Derginin bu say s nda Kümeler konusunda çözümlü sorular yer almaktad r. u konuda, ÖSS de ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik yollar, sorular m z n çözümü içinde

Detaylı

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ KAZANIMLAR

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ KAZANIMLAR KASIM EKİM EYLÜL Ay Hafta D.Saat i 0 04 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE SÜRE ÖĞRENME ALANI ALT ÖĞRENME ALANI Örüntü Süslemeler si KAZANIMLAR.Doğru, çokgen

Detaylı

Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla

Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla Cetvelsiz de Olur! Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla yap lan çizimler çok ilgilendirirdi. Çünkü Eflatun a göre, do ru ve daire, geometrik flekiller aras nda mükemmel olan tek flekillerdi.

Detaylı

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (2. Hafta)

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (2. Hafta) AĞIRLIK MERKEZİ STATİK (2. Hafta) Ağırlık merkezi: Bir cismi oluşturan herbir parçaya etki eden yerçeki kuvvetlerinin bileşkesinin cismin üzerinden geçtiği noktaya Ağırlık Merkezi denir. Şekil. Ağırlık

Detaylı

TASARI GEOMETRİ SINAV SORULARI

TASARI GEOMETRİ SINAV SORULARI TASARI GEOMETRİ SINAV SORULARI 1. Alın iz düşümüne parelel veya çakışık olan doğrular profilde hangi ı verir? 9. Doğrunun düzlemi deldiği noktayı düzlem geçirme metodu ile bulunuz. A) Profil ve alınla

Detaylı

çemberi ile O Çemberlerin birbirine göre durumlarını inceleyelim. İlk durumda alalım. olduğu takdirde O2K1

çemberi ile O Çemberlerin birbirine göre durumlarını inceleyelim. İlk durumda alalım. olduğu takdirde O2K1 . merkezli R yarıçaplı Ç çemberi ile merkezli R yarıçaplı ve noktasından geçen Ç çemberi veriliyor. Ç üzerinde, T Ç K T Ç, ve K K T K olacak şekilde bir T noktası alınıyor. Buna göre, uzunluklarından birinin

Detaylı

Geometrik Cisimlerin Hacimleri

Geometrik Cisimlerin Hacimleri 1 Ülkemizin kongre ve fuar merkezlerinden biri, Antalya daki Cam Piramit Kongre ve Fuar Merkezi dir. Renkli ısıcamlı uzay çatı ile örülerek piramit şeklinde inşa edilmiştir. 2 Şekildeki piramidin tabanı

Detaylı

Ö.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.Y.S. 996 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Bir sınıftaki örencilerin nin fazlası kız örencidir. Sınıfta erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı kaçtır? A) B) 8 C) 6 D) E) Çözüm Toplam öğrenci

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 14.MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIFLAR FİNAL SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 14.MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIFLAR FİNAL SORULARI 8 SINIFLAR FİNAL SORULARI 1 3+ 1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz ( R ) Aritmetik bir dizinin ilk 0 teriminin toplamı 400 ve dördüncü terimi olduğuna göre, birinci terimini bulunuz 3 4 öğrencinin katıldığı

Detaylı

2003 ÖSS Soruları. işleminin sonucu kaçtır? ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) 7 C) 9 D) 11 E) 21

2003 ÖSS Soruları. işleminin sonucu kaçtır? ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) 7 C) 9 D) 11 E) 21 00 ÖSS Soruları,, 0,0. + + 0, 0, 0,00 işleminin sonucu kaçtır? ) ) 7 ) 9 ) ). ( y )( + y+ y ) ( y) c + m y ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? ) y ) + y ) y y + y ) ) + y y. (0,

Detaylı

STATİK VE MUKAVEMET AĞIRLIK MERKEZİ. Öğr.Gör. Gültekin BÜYÜKŞENGÜR. Çevre Mühendisliği

STATİK VE MUKAVEMET AĞIRLIK MERKEZİ. Öğr.Gör. Gültekin BÜYÜKŞENGÜR. Çevre Mühendisliği STATİK VE MUKAVEMET AĞIRLIK MERKEZİ Öğr.Gör. Gültekin BÜYÜKŞENGÜR Çevre Mühendisliği STATİK Ağırlık Merkezi Örnek Sorular 2 Değişmeyen madde miktarına kütle denir. Diğer bir anlamda cismin hacmini dolduran

Detaylı

TEST 1. ABCD bir dörtgen AF = FB DE = EC AD = BC D E C. ABC bir üçgen. m(abc) = 20. m(bcd) = 10. m(acd) = 50. m(afe) = 80.

TEST 1. ABCD bir dörtgen AF = FB DE = EC AD = BC D E C. ABC bir üçgen. m(abc) = 20. m(bcd) = 10. m(acd) = 50. m(afe) = 80. 11 ÖLÜM SİZİN İÇİN SÇTİLR LRİMİZ 1 80 0 bir dörtgen = = = m() = 80 m() = 0 Verilenlere göre, açısının ölçüsü kaç derecedir? 0 10 0 bir üçgen m() = 0 m() = 10 m() = 0 Yukarıda verilenlere göre, oranı kaçtır?

Detaylı

ÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT

ÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT ÜÇGNLR ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT ÜÇGNLRİN ŞLİĞİ Üçgende çılar. azanım : ir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 80, dış açılarının ölçüleri toplamının 0 olduğunu gösterir. İki Üçgenin şliği. azanım

Detaylı

T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI ÖLÇME, DEĞERLENDİRME VE SINAV HİZMETLERİ GENEL MÜDÜRLÜĞÜ SINIF DEĞERLENDİRME SINAVI - 4

T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI ÖLÇME, DEĞERLENDİRME VE SINAV HİZMETLERİ GENEL MÜDÜRLÜĞÜ SINIF DEĞERLENDİRME SINAVI - 4 T.. MİLLÎ EĞİTİM AKANLIĞI 015-016 8.SINIF DEĞERLENDİRME SINAVI - 4 015-016 8.SINIF DEĞERLENDİRME SINAVI - 4 MATEMATİK Adı ve Soyadı :... Sınıfı :... Öğrenci Numarası :... SORU SAYISI : 0 SINAV SÜRESİ :

Detaylı

1998 ÖYS. orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı kaçtır? 1. Üç basamaklı bir x doğal sayısının 7

1998 ÖYS. orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı kaçtır? 1. Üç basamaklı bir x doğal sayısının 7 998 ÖYS. Üç basamaklı bir doğal sayısının 7 katı, iki basamaklı bir y doğal sayısına eşittir. Buna göre, y doğal sayısı en az kaç olabilir? orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı

Detaylı

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir

Detaylı

1. KONU. Geometrik Cisimler ve Şekiller. 1. Afla daki nesnelerden küp, prizma ve silindire benzeyen nesneleri iflaretleyiniz.

1. KONU. Geometrik Cisimler ve Şekiller. 1. Afla daki nesnelerden küp, prizma ve silindire benzeyen nesneleri iflaretleyiniz. 1. KONU Adı - Soyadı:... Numarası:.. Sınıfı:. Ön Çalışma 1. Afla daki nesnelerden küp, prizma ve silindire benzeyen nesneleri iflaretleyiniz. SALÇA + 11 2. Afla daki nesnelerden koni, prizma ve küreye

Detaylı

ÜN TE VI. A. UZUNLUKLARI ÖLÇME 1. Uzunluk Ölçme a) Çokgenin Çevre Uzunlu u b) Karenin Çevre Uzunlu u c) Dikdörtgenin Çevre Uzunlu u ALIfiTIRMALAR

ÜN TE VI. A. UZUNLUKLARI ÖLÇME 1. Uzunluk Ölçme a) Çokgenin Çevre Uzunlu u b) Karenin Çevre Uzunlu u c) Dikdörtgenin Çevre Uzunlu u ALIfiTIRMALAR ÜN TE VI A. UZUNLUKLARI ÖLÇME 1. Uzunluk Ölçme a) Çokgenin Çevre Uzunlu u b) Karenin Çevre Uzunlu u c) Dikdörtgenin Çevre Uzunlu u ALIfiTIRMALAR B. ALAN ÖLÇME 1. Alan Ölçüsü Birimleri 2. Arazi Ölçüsü 3.

Detaylı

YGS GEOMETRİ DENEME 1

YGS GEOMETRİ DENEME 1 YGS GTİ 1 G 1) G ) şağıdaki adımlar takip edilerek geometrik çizim yapıl- bir üçgen mak isteniyor = = m() = 7 o = 9 cm, = 1 cm, m() = 90 olacak şekilde dik üçgeni çiziliyor = eşitliğini sağlayan Î [] noktası

Detaylı

Olas l k Hesaplar (II)

Olas l k Hesaplar (II) Olas l k Hesaplar (II) B ir önceki yaz daki örneklerde olay say s sonluydu. Örne in, iki zarla 21 olay vard. fiimdi olay say m z sonsuz yapaca z. Kolay bir soruyla bafllayal m: [0, 1] aral nda rastgele

Detaylı

CO RAFYA KONUM. ÖRNEK 2 : Afla daki haritada, Rize ile Bingöl il merkezlerinin yak n ndan geçen boylam gösterilmifltir.

CO RAFYA KONUM. ÖRNEK 2 : Afla daki haritada, Rize ile Bingöl il merkezlerinin yak n ndan geçen boylam gösterilmifltir. CO RAFYA KONUM ÖRNEK 1 : Aralar nda 1 lik fark bulunan iki paralel aras ndaki uzakl k de iflmezken, aralar nda 1 lik fark, bulunan iki meridyen aras ndaki uzakl k Ekvator dan kutuplara gidildikçe azalmaktad

Detaylı

SERİMYA II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI

SERİMYA II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI SERİMYA - 4 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI. 4? 4 4. A B denkleminde A ve B birbirinden farklı pozitif tam sayılar olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A) 6 B) 8 C) D)

Detaylı

LYS 2016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ

LYS 2016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ LYS 016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ Dikdörtgenin içinde köşegeni çizerek alanı iki eşit parçaya ayırabiliriz. 7 / 36 BED üçgeni ile DEC üçgeninin alanlarının oranı, tabanları arasındaki orana eşittir. Buna göre;

Detaylı

MATEMAT IK-I (SORULAR)

MATEMAT IK-I (SORULAR) Part I MATEMAT IK-I (SORULAR) SAYILAR. irrasyonel midir?. 7 say s n n irrasyonel oldu¼gunu gösteriniz. (Gauss Teoremini kullan n z.) 3. + 3 say s n n irrasyonel oldu¼gunu gösteriniz. (Gauss Teoremini kullan

Detaylı

Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz -

Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - Saymadan Saymak Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - lan say 1 2... n say s na eflittir. Yani, tan m gere i, n! = 1 2... (n-1) n dir. n!, n fortoriyel diye okunur. Örne in,

Detaylı

İÇİNDEKİLER UZAY AKSİYOMLARI... 001-006... 01-03 UZAYDA DOGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 04-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-014... 06-07

İÇİNDEKİLER UZAY AKSİYOMLARI... 001-006... 01-03 UZAYDA DOGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 04-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-014... 06-07 UZY GEMETRİ İÇİNDEKİLER Safa No Test No UZY KSİYMLRI... 001-00... 01-0 UZYD DGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 0-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-01... 0-07 PRİZMLR... 015-0... 08-1 KÜP... 05-00... 1-15 SİLİNDİR...

Detaylı

1995 ÖSS. 6. Toplamları 621 olan iki pozitif tamsayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 16, kalan ise 9 dur. Buna göre, büyük sayı kaçtır?

1995 ÖSS. 6. Toplamları 621 olan iki pozitif tamsayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 16, kalan ise 9 dur. Buna göre, büyük sayı kaçtır? 99 ÖSS.. 0, 0, 0,44. işleminin sonucu A) 0, B) 0,4 C) D) 4 E) 0 6. Toplamları 6 olan iki pozitif tamsayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 6, kalan ise 9 dur. Buna göre, büyük sayı A) 70 B) 7 C) 80

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI GEOMETRİ TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI GEOMETRİ TESTİ İKKT! SRU KİTPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ LRK VP KÂĞIINIZ İŞRTLMYİ UNUTMYINIZ. MTMTİK SINVI GMTRİ TSTİ 1. u testte 30 soru vardır. 2. evaplarınızı, cevap kâğıdının Geometri Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.

Detaylı

ÜÇGENLERİN KENARLARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR ÜÇGENLERDE EŞLİK VE BENZERLİK. Şekilde verilen ABC üçgeninde [BC] kenarına

ÜÇGENLERİN KENARLARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR ÜÇGENLERDE EŞLİK VE BENZERLİK. Şekilde verilen ABC üçgeninde [BC] kenarına . Verilen şekilde en uzun kenar aşağıdakilerden ÜÇGENLERİN KENARLARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR. Şekilde verilen ABC üçgeninde [BC] kenarına ait kenar orta dikme, aşağıdaki noktaların hangilerinden geçer? AB

Detaylı

ege yayıncılık Parabolün Tan m ve Tepe Noktas TEST : 49 1. Afla daki fonksiyonlardan hangisinin grafi i bir parabol belirtir?

ege yayıncılık Parabolün Tan m ve Tepe Noktas TEST : 49 1. Afla daki fonksiyonlardan hangisinin grafi i bir parabol belirtir? Parabolün Tan m ve Tepe Noktas TEST : 9. Afla daki fonksionlardan hangisinin grafi i bir parabol belirtir? 5. Afla daki fonksionlardan hangisi A(,) noktas ndan geçer? A) f() = B) f() = f() = + f() =. f()

Detaylı

ÜN TE I. A) TEKRAR EDEN, YANSIYAN VE DÖNEN fiek LLER a) Fraktallar b) Yans yan ve Dönen fiekiller ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST I-I

ÜN TE I. A) TEKRAR EDEN, YANSIYAN VE DÖNEN fiek LLER a) Fraktallar b) Yans yan ve Dönen fiekiller ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST I-I ÜN TE I A) TEKRAR EDEN, YANSIYAN VE DÖNEN fiek LLER a) Fraktallar b) Yans yan ve Dönen fiekiller ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST I-I B) ÜSLÜ SAYILAR a) Bir Tam Say n n Negatif Kuvveti b) Tekrarl Çarp mlar Üslü

Detaylı

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: KUVVET ve HAREKET 3. Konu TORK, AÇISAL MOMENTUM ve DENGE ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: KUVVET ve HAREKET 3. Konu TORK, AÇISAL MOMENTUM ve DENGE ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ 11. SINIF ONU ANAIMI 2. ÜNİE: UVVE ve HAREE 3. onu OR, AÇISA MOMENUM ve DENGE EİNİ ve ES ÇÖZÜMERİ 2 2. Ünite 3. onu ork, Aç sal Momentum ve Denge A n n Yan tlar 1. Çubuk dengede oldu una göre noktas na

Detaylı