Sığa ve Dielektrik. Bölüm 25

Transkript

1 Bölüm 25 Sığa ve Dielektrik Sığa nın Tanımı Sığa nın Hesaplanması Kndansatörlerin Bağlanması Yüklü Kndansatörlerde Deplanan Enerji Dielektrikli Kndansatörler Öğr. Gör. Dr. Mehmet Tarakçı

2 Sığa nın Tanımı (Capacitance) Şekilde görüldüğü gibi, yüklü iki iletkeni belli bir uzaklıkta yerleştirmek için bir iş yapmak gerekir. Yapılan bu iş luşan sistemde deplanır. Deplana enerji miktarı sistemin gemetrisi ile de yakından ilgilidir. Yüklü iletkenler arasında bir ptansiyel farkı luşur. Oluşan ptansiyel fark levhalardaki yük ile rantılı lduğu gözlenmiştir. Q ~ V Q = C V C = Q V Burada, iletkenin büyüklüğüne ve gemetrik yapısına bağlı lan C sabitine sistemin elektriksel sığası (veya kapasitesi) denir. Sığa, sistemin enerji deplayabilme yeteneğine denir. SI birim sisteminde sığa, Michael Faraday ın nuruna sığanın birimi farad (F) dır. C = Culmb C Vlt V = farad (F) Farad çk büyük bir sığa birimidir. F (mikrfarad) 10-6 F pf (pikfarad) F

3 Prblem 26.1 (Serway s831) pf lık bir kndanstörün levhaları arasındaki ptansiyel farkı V dur. Her bir levhada biriken yük kaç Culmb ve negatif levhada fazladan kaç elektrn vardır? e = C Elektriksel Sığa (Capacitance) Q C 12 Q N 110 tane 19 e

4 Yalıtılmış Yüklü İletken Bir Küre Sığa nın Hesaplanması Şekildeki, yarıçapı R üzerindeki yükü Q lan yalıtılmış iletken bir kürenin sığasını hesaplayalım. R V = V R V = E dl Ptansiyel farkı; V = kq 1 R 1 = k Q R Sığa; C = Q V C = R k C = 4πε R (İkinci iletkeni, aynı merkezli snsuz yarıçaplı içi bş bir küre larak ele alınabilir.) Görüldüğü gibi, yalıtılmış iletken bir kürenin sığası, küre üzerindeki yük ve ptansiyel farkının her ikisinden bağımsız, yalnızca kürenin yarıçapı (R) ile rantılıdır.

5 Paralel Yüklü İki İletken Levha Sığa nın Hesaplanması A yüzey alanlarına sahip iki eşit ve zıt yüklü iletken plaka, şekildeki gibi aralarında d uzaklığı bulunacak şekilde yerleştirilsin. Sığa; C = Q V Ptansiyel farkı; V = V + V = + E dl = Ed Levhalar aradaki elektrik alan düzgün ve Gauss yasasından E = σ ε, σ = Q A lacaktır. V = Q ε A d C = ε A d Paralel plakalı kndansatörün sığası, plakanın birinin yüzey alanı ile dğru rantılı, levhalar arasındaki uzaklıkla ters rantılıdır.

6 Örnek 26.1 (Serway s807) Elektriksel Sığa (Capacitance) A = m 2 yüzeye sahip bir paralel plakalı kndansatörün plakaları arasındaki uzaklık d = mm dir. a) Bu kndansatörün sığasını bulunuz. b) plakaları arasındaki uzaklık d = mm ye çıkarılırsa sığa nasıl değişir. Snuç: a) C = 1.77 pf b) C = 0.59 pf

7 Silindirik Kndansatör Sığa nın Hesaplanması Yarıçapı a ve yükü +Q lan dlu silindir şeklinde bir iletken, aynı eksenli kalınlığı ihmal edilebilen yarıçapı b > a ve yükü Q lan iletken silindir bir kabuktan luşan sistemdir. Bu sistemin sığasını bulunuz. Sığa; C = Q V Ptansiyel farkı; V = V A V B = a E dl b Levhalar aradaki elektrik alan merkezsel ve Gauss yasasından E = 2kλ r ve λ = Q h lacaktır. V = 2kλ ln b ln a C = h 2k ln b ln a

8 Prblem (Serway s832) Elektriksel Sığa (Capacitance) h = m uzunluğundaki kaksiyel kablnun içindeki iletkenin çapı mm ve üzerindeki yük q = μc dur. Bunu saran iletkenin iç çapı mm ve üzerindeki yük q = μc dur. a) Bu kablnun sığası ne kadardır? b) İki iletken arasındaki ptansiyel fark nedir? (Nt: iletkenler arasının bş lduğunu varsayınız.) Snuç: a) C = F b) V = V

9 Silindirik Kndansatör Sığa nın Hesaplanması Yarıçapı a ve yükü +Q lan dlu silindir şeklinde bir iletken, aynı eksenli kalınlığı ihmal edilebilen yarıçapı b > a ve yükü Q lan iletken silindir bir kabuktan luşan sistemdir. Bu sistemin sığasını bulunuz. Sığa; C = Q V Ptansiyel farkı; V = V A V B = a E dl b Küreler aradaki elektrik alan merkezsel ve Gauss yasasından E = kq 2 bulunur. V = kq 1 a 1 b = kq b a ab C = ab k b a r

10 Kndansatörlerin Bağlanması Kndansatörler elektrik ve elektrnik devrelerde şekildeki gibi gösterilir. Seri Bağlı Sığaçlar Ticari Kndansatörler C 1 = q V ac C eş = q V ab C 2 = q V cb V ab = V ac + V cb q C eş = q C 1 + q C 2 Genel : 1 C eş = 1 C C C n 1 C eş = 1 C C 2

11 Paralel Bağlı Sığaçlar Kndansatörlerin Bağlanması C 1 = q 1 V C 2 = q 2 V C eş = q V q = q 1 + q 2 C eş V = C 1 V+ C 2 V C eş = C 1 + C 2 Genel : C eş = C 1 + C C n Uyarı : Seri bağlı sığaçlarda, her bir sığadaki yükler eşit lacaktır. Paralel bağlı sığaçlarda ptansiyel eşit lacaktır.

12 Örnek 26.4 (Serway s812) Kndansatörlerin Bağlanması Şekilde görüldüğü gibi a ve b nktaları arasına 6 kndansatör bağlanmıştır. ab nktaları arasındaki eşdeğer sığayı bulunuz.

13 Yüklü Kndansatörde Deplanan Enerji Yüksüz bir kndansatörü düşünelim. Başlangıçta B levhasından çk küçük dq yükünü alıp A levhasına götürmek için bir iş yapılmasına gerek yktur. Ama daha snra taşınacak dq için levhalar yüklü ve aralarında V ptansiyel farkı vardır. Bu nedenle bir iş yapılacaktır. Her dq yükü geçişinde levhalardaki yük artacak ve buna bağlı larak V ptansiyel farkı artacaktır. "Yani yapılan iş artacaktır." Bu yükleme sürecinin herhangi bir t anında sistem üzerinde yaptığımız iş; dw = Vdq dw = q C dq V = q C W = Q q C dq 0 = Q2 2C U = Q2 2C = 1 2 CV2 = 1 2 QV Kndansatörü yüklerken yapılan iş, kndansatörde tplanan ptansiyel (U) larak alınabilir.

14 Elektrik Alan Enerjisi Bir kndansatörü Q yükü ile yüklenmek için bir iş yapılacak ve bu süreç içinde levhalar arasındaki uzayda bir elektrik alan luşacaktır. Yapılan bu iş kndansatörde deplanan ptansiyel enerji lduğu söylenebileceği gibi elektrik alanda deplanan enerji larak ta ifade edilebilir. U = 1 2 CV2 = 1 2 ε A d Ed 2 = 1 2 ε Ad E 2 u = U Ad = 1 2 ε E 2 u birim hacimde deplanan elektrik alan enerjisi larak tanımlanır ve enerji yğunluğu denir.

15 Yüklü Kndansatörde Deplanan Enerji Prblem (Serway s834) C 1 = μf ve C 2 = μf lık iki kndansatör paralel bağlanarak 100 V luk güç kaynağında yüklenmiştir. a) Devre grafiğini çiziniz ve bu iki kndansatörde deplanan tplam enerjiyi hesaplayınız? b) Bu iki kndansatör seri bağlanması durumunda sistemde (a) şıkkındaki kadar enerji deplanması için güç kaynağının uçları arasındaki ptansiyel farkı ne lmalıdır? U J V 270 V

16 Yüklü Kndansatörde Deplanan Enerji Prblem (Serway s834) Paralel plakalı bir kndansatör bir bataryada yüklendikten snra bataryadan ayrılıyr. Plakaları arasındaki açıklık iki katına çıkarılırsa deplanan enerjide bir değişim lur mu? Enerjinin krunumu dikkate alırsak bu durumu nasıl açıklarız?

17 Yüklü Kndansatörde Deplanan Enerji Prblem (Serway s834) Şekilde verilen sistemde a) A nktası ile B nktası arasındaki eşdeğer sığayı bulunuz? b) Sistemde ve her bir kndansatörde deplanan enerjiyi bulunuz? CEş 7.00 F 2 USistem J

18 Dielektrikli Kndansatörler Çğu sığaçta (kndansatörde) iletken levhalar arasına dielektrik denen bir yalıtkan katman bulunur. Dielektrik malzemelere örnek larak lastik, cam veya mumlu kağıt vb. verilebilir. Kndansatörde dielektrik malzeme kullanmanın nedenleri: İletkenlerin temas etmesini önler. Kndansatörün dayanabileceği plakalar arasındaki maksimum ptansiyel fark artar. Kndansatörün deplayacağı enerji artar.

19 Dielektrikli Kndansatörler Paralel plakalı bir kndansatörün levhalarını Q ile yükledikten snra güç kaynağından ayırıp levhalar arasına dielektrik bir malzeme yerleştirdiğimizde plakalar arasındaki ptansiyel farkın düştüğü görülür. V = Q C V = Q C V > V C > C İletken plakalar arasındaki hacim tamamen dielektrik ile dlu ise, C/C yada eşdeğer larak V / V ranına malzemenin dielektrik katsayısı denir ve κ ile gösterilir. κ = V V = C C > 1 V = κ V C = κ C

20 Dielektrikli Kndansatörler V = E dl = E E i dl E = E E i E < E V < V Elektrik alan E i kadar azaldığından V de azalır.

21 Dielektrikli Kndansatörler Örnek 26.9 (Serway s827) Bir matal dilimin etkisi Bir paralel plakalı kndansatörün plakaları arasındaki uzaklık d, bir plakanın alanı A dır. Kalınlığı a lan yüksüz bir metal dilim, levhalar arasındaki rta yere knuyr. a) Bu sistemin sığasını bulunuz? b) a snsuz küçük bir değer lması durumunda sığasını bulunuz? c) Yüksüz metal dilimin yerinin öneminin lmadığını gösteriniz? C Eş A d a a d C Eş a 0 C Eş A d Kndansatör kısa devredir yük deplanmaz. İki levha arasına ince bir metal levha kymak kndansatörün sığasını değiştirmez.

22 Dielektrikli Kndansatörler Örnek (Serway s828) Kısmen dlu bir kndansatör. Bir paralel plakalı kndansatörün plakaları arası a kalınlıklı dielektrik bir malzemeyle kısmen dldurulmuş ise luşan kndansatör sisteminin sığası ne lur? C Eş A a d a A a d CEş d a 0 C Eş A d A d a 1 3 A 3 d CEş C d 2 1

23 Dielektrikli Kndansatörler V = V κ E = E κ E = σ ε κ = σ ε ε κ çarpımına dielektriğin geçirgenliği denir ve genelde κ semblü ile gösterilir. Bir kndansatörün levhaları arasındaki ptansiyel farkı artırdığımızı varsayalım. Ptansiyel farkın belli bir değeri aşması durumunda levhalar arasındaki dielektrik (iynize lur) iletken lur ve kndansatörde biriken yük bşalır. Dielektrik maddenin iynize lması için gerekli minimum gerilime dielektrik sertlik denir. Madde Hava (kuru) Dielektrik Sabiti e Dielektrik Sertlik (V/m) 3.00x10 6 Bakalit x10 6 Kağıt x10 6 Prselen x10 6 Verilen bir d uzaklığı için bşalma lmaksızın kndansatöre uygulanabilecek maksimum en büyük gerilim dielktriğin dielektrik sertliğine (maksimum elektrik alan şiddetine) bağlı lur.

24 Dielektrikli Kndansatörler Örnek 26.6 (Serway s821) Kağıtla Dldurulmuş Kndansatör Bir paralel plakalı kndansatörün plakalarının byutları 2x3 cm 2 dir. Plakalar birbirinden 1.00 mm kalınlıklı bir kağıt ile ayrılmıştır. a) Sığasını bulunuz? b) Knkansatörde deplanabilecek maksimum yük ve enerji ne kadardır? V 12 C F 20.0 pf Mak V 6 QMak C C 3 U J

25 Knu snunda kitapta verilen prblemler Fen ve Mühendisler için Fizik Raymnd A. Serway, Rbert J. Beichner ( s )

26 Ek 1 Silindirik Kndansatör İçinde Elektrik Alan Hesabı r yarıçaplı l uzunluklu silindir şeklinde Gauss yüzeyi seçelim E da alt üst yan q q EdA E da E da ε ε i i E qi l Alt ve üst yüzeydeki akı E da E da cs90 0 Yan yüzeydeki akı E da E da cs0 E da yan E da l ε E 2rε l EdA ε 2 r l

27 Ek 1 a a a dr V Eds Edr 2 ε r b b b V (lna lnb) 2ε Q h Sığa C Q V 2ε h lnb lna E ds E dr 2ε h C lnb lna Geri