2. Hafta - BOOLE CEBRİ, SAYI VE KODLAMA SİSTEMLERİ

Transkript

1 BARTIN ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ 2. Hafta - BOOLE CEBRİ, SAYI VE KODLAMA SİSTEMLERİ Dr. Öğr. Üyesi Nesibe YALÇIN

2 Bool Cebri Boole Cebri, 1850 li yıllarda matematikçi George Boole tarafından Aristo nun mantık bilimine sembolik şekil verme isteği sonucunda ortaya çıkmıştır. Doğru Yanlış, Evet Hayır, Açık Kapalı, 1 0, vb. Boole Cebri, VE (AND, veya ^ ), VEYA (OR, + veya v ) ve DEĞİL (NOT, ˉ veya ) temel mantıksal işlemlerinden oluşan sembolik bir sistemdir. 2

3 Bool Cebri Sayısal bilgisayarlarda kullanılan devrelerin tasarımı için gerekli temeli Boole Cebri oluşturur. Değişken olarak cebirdeki gibi sayısal nicelikleri değil, doğruluk değeri 1 (bir) ya da yanlışlık değeri 0 (sıfır) girişlerini kullanır ve önermelerle işlem yapılmasına olanak sağlar. x ve y iki önerme olsun. Doğru önermeleri 1 (bir), yanlış önermeleri 0 (sıfır) ile gösterelim. Buna göre: x y x ^ y x v y x' y'

4 Boole Cebrinin Esasları Değişme Kuralı A+B=B+A A.B=B.A Tamamlayıcı Kural A.A'=0 A+A'=1 Yutma Kuralı A+1=1 A.0=0 Birleşme Kuralı A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C) A.B.C=(A.B).C=A.(B.C) Dağılma Kuralı A(B+C)=AB+AC A+B.C=(A+B)(A+C) Tersin Tersi Kuralı (A')'=A [(A+B)']'=A+B [(A.B)']'=A.B Ve kanunu A.1=A A.0=0 Özdeşlik kanunu A.A=A A+A=A VEYA kanunu A+1=1 A+0=A De Morgan Kuralı (A.B)'=A'+B' (A+B)'=A'.B

5 Doğruluk Tabloları ve İşlemi Basitleştirme Doğruluk tablosu, boole cebri ifadelerinin içindeki değişkenlerin bütün olasılıklarına karşılık aldığı değerlerin gösterildiği tablodur. n sayıda giriş, 2 n sayıda giriş değeri alabilir. Doğruluk tabloları, sayısal devrenin analizinde kullanılan en basit ve faydalı yöntem olarak görülmektedir. X Y X.Y(VE) X+Y(VEYA) X` (DEĞİL)

6 Doğruluk Tabloları ve İşlemi Basitleştirme Örnek: X.Y+X fonksiyonunun doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir. X= 0, Y=0 ise X.Y= 0 olur. X.Y+X= 0+0= 0 X= 0, Y=1 ise X.Y= 0 olur. X.Y+X= 0+0= 0 X= 1, Y=0 ise X.Y= 0 olur. X.Y+X= 1+0= 1 X= 1, Y=1 ise X.Y= 1 olur. X.Y+X= 1+1= 1 X Y X.Y X.Y+X

7 Lojik Kapılar Elektronik devrelerde sık sık karşımıza çıkan lojik kapılar, belirli bir Boole Cebri çerçevesinde girişten alınan veriler ile uygun, mantıksal sonuçlar üretirler. Lojik kapılar; diyot, transistör, direnç, kondansatör gibi çeşitli elemanlar içerir. Entegre devreler, az güçle ama yüksek hızla çalışan, küçük boyutlu ve harici kablo bağlantısı oldukça az olan sistemlerdir. 7

8 Lojik Kapılar ve Doğruluk Tabloları A B Z A B Z A Z

9 Lojik Kapılar ve Doğruluk Tabloları A B C B+C Z

10 Lojik Kapılar ve Doğruluk Tabloları 10

11 Lojik Kapılar ve Doğruluk Tabloları 11

12 SAYI SİSTEMLERİ 12

13 Onlu Sayı Sistemi Günlük hayatımızda kullandığımız sayı sistemi onlu sayı (decimal) sistemidir. Onluk sistemde 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 rakamları kullanılır. Örneğin 128 sayısı : 128=1x10² + 2x10¹ + 8x10 128=1x x10 + 8x1 128=

14 İkili Sayı Sistemi İkili Sayı (Binary) Sistemi Binary Sayı sisteminin tabanı 2 dir. Sadece 0 ve 1 rakamı kullanılır. Her sayı dijit olarak ifade edilir. Basamaklar 2 nin kuvveti olarak ifade edilir. Binary sayılar yazılırken en sağdaki basamağa en düşük değerlikli bit (Least Significant Bit-LSB), en soldaki basamağa en yüksek değerlikli bit (Most Significant Bit-MSB) adı verilir. 14

15 Sayı Çevrimleri İkili Sayıların Onlu Sayılara Çevrilmesi İkili sayıları, onlu sayılara dönüştürürken her bir bit basamak ağırlığı ile çarpılıp bu sonuçların toplanması gerekir. Örnek: (11001) 2 = (? ) 10 (11001) 2 = 1x x x x x 2 0 (11001) 2 = (11001) 2 = 25 NOT: Negatif sayıları temsil etmek için 1 bitlik bilginin işaret (1 ise -, 0 ise +) için kullanılması düşünülebilir = -127 = =

16 Sayı Çevrimleri Ondalıklı Binary Sayıların Decimal Sayılara Dönüştürülmesi Ondalıklı binary (ikilik) sayıları, ondalıklı sayılara dönüştürmek için izlenilecek yol Çarpım-2 metodudur. Örnek: ( 111,101 ) 2 = (?) 10 ( 111,101 ) 2 = 1x2²+1x2¹+1x2 0 +1x2ˉ¹+0x2ˉ²+1x2ˉ³ ( 111,101 ) 2 = 1x4+1x2+1x1+1x½+0x¼+1x⅛ ( 111,101 ) 2 = ,5+0+0,125 ( 111,101 ) 2 = (7,625)10 16

17 Sayı Çevrimleri Onlu Sayıların İkili Sayılara Dönüştürülmesi Onlu sayıları, ikili sayılara çevirirken Bölme-2 metodu kullanılır. Çıkan sonuç tersinden yazılır. Örnek: 23 sayısının ikili tabandaki karşılığı; 17

18 Sayı Çevrimleri Onlu Sayıların İkili Sayılara Dönüştürülmesi Onlu sayıları, ikili sayılara çevirirken Bölme-2 metodu kullanılır. Çıkan sonuç tersinden yazılır. 18

19 Sayı Çevrimleri Ondalıklı Sayıların İkilik Sayılara Dönüştürülmesi Ondalıklı kısma kadar olan bölüm için normal çevirim yöntemi uygulanır. Ondalıklı kısım, kesirli kısmın sıfıra veya sıfıra yakın bir değere ulaşıncaya kadar 2 ile çarpılır. Örnek: (7,8125) 10 = (? ) 2 19

20 Sekizli (Oktal) Sayı Sistemi Tabanı 8 olup 0-7 ye kadar rakamlar bu sayı sisteminde kullanılır. Onlu sistemden octal (sekizli) sisteme dönüşüm "Bölme-8" metodu ile yapılır. Çıkan sonuç tersinden yazılır. 20

21 Sekizli (Oktal) Sayı Sistemi Sekizli sistemden onlu sisteme dönüşüm Her sayı bulunduğu basamağın konum ağırlığı ile çarpılır. Bu çarpım sonuçları toplanarak sonuç elde edilir. Örnek: ( 47 ) 8 = (?) 10 ( 47 ) 8 = 4x8¹+7x8 0 ( 47 ) 8 = 4x8+7x1 ( 47 ) 8 = 32+7 ( 47 ) 8 = (39) 10 21

22 Sekizli (Oktal) Sayı Sistemi İkili sayıların sekizli sayılara dönüşümü İkili sayı sağdan başlayarak sola doğru üçerli gruplara ayrılır. Her grubun sekizli karşılığı bulunarak çevirme işlemi tamamlanmış olur. Örnek: 22

23 Sekizli (Oktal) Sayı Sistemi Sekizli sayıların ikili sayılara dönüşümü Her sekizli sayının üç bitlik ikili karşılığının yazılması ile çevirim gerçekleştirilir. Örnek: 23

24 Onaltılı (Hexadecimal) Sayı Sistemi Tabanı 16 olup 0-9 a kadar rakamlar ve A-F ye kadar harfler bu sayı sisteminde tanımlıdır. Bu sayı sisteminde rakamlar bu sembollerin yan yana yazılmasından elde edilir. Hanelerin basamak ağırlıkları sağdan sola doğru 16 nın artan kuvvetleri belirtilir. Decimal Hexadecimal Binary Decimal Hexadecimal Binary A B C D E F

25 Onaltılı (Hexadecimal) Sayı Sistemi Onlu sistemden hexadecimal (onaltılı) sisteme dönüşüm "Bölme-16" metodu ile yapılır. Çıkan sonuç tersinden yazılır. 25

26 Onaltılı (Hexadecimal) Sayı Sistemi Onaltılı sistemden onlu sisteme dönüşüm Her sayı bulunduğu basamağın konum ağırlığı ile çarpılır. Bu çarpım sonuçları toplanarak sonuç elde edilir. Örnek: ( 39 ) 16 = (?) 10 ( 39 ) 16 = 3x16¹+9x16 0 ( 39 ) 16 = 48+9 ( 39 ) 16 = (57) 10 26

27 Onaltılı (Hexadecimal) Sayı Sistemi İkili sayıların onaltılı sayılara dönüşümü İkili sayı sağdan başlayarak sola doğru dörderli gruplara ayrılır. Her grubun onaltılı karşılığı bulunarak çevirme işlemi tamamlanmış olur. Örnek: 27

28 Onaltılı (Hexadecimal) Sayı Sistemi Onaltılı sayıların ikili sayılara dönüşümü Her onaltılı sayının dört bitlik ikili karşılığının yazılması ile çevirim gerçekleştirilir. Örnek: 28

29 KODLAMA SİSTEMLERİ 29

30 Kodlar ve Kodlama Temel olarak kodlama, görünebilen, okunabilen yazı, sayı ve işaretlerin değiştirilmesi işlemine denir. Kodlama Sistemlerinin Avantajları Aritmetik işlemlerde kolaylık sağlar. Bellek işlemlerinde verimliliği artırır. Hataların bulunmasını kolaylaştırır. Hataların düzeltilmesi işlemlerini basitleştirir. Bilgilerin işlenmesi işleminin insanlarca kolayca anlaşılmasını sağlar. 30

31 Sayısal Kodlar Sayısal karakterlerin kodlanmasıyla ortaya çıkan kodlama sistemlerine Sayısal Kodlar denir. Sayısal sistemler için oluşturulmuş birçok farklı kod vardır ve her biri tasarlanmış oldukları işler için en ideal çözümleri sunmaktadırlar. BCD Kodu (İkili Kodlanmış Onlu Sayı Kodu) Onlu sayının her bir basamağı 4 bitlik ikili sayı grupları şeklinde yazılır. Yazılan gruplar bir araya getirilince BCD kodlu sayı elde edilir. 31

32 Sayısal Kodlar Gray Kodu Basamak ağırlığı yoktur, aritmetik işlemlerde kullanılmaz. Giriş / çıkış birimlerinde ve analog - dijital çeviricilerde tercih edilirler. +3 Kodu Belirli aritmetik işlemlerde işlem kolaylığı nedeniyle BCD kodu yerine kullanılır. Eşlik (Hata Düzeltme) Kodu Hataları tespit etmede kullanılan en yaygın ve en kolay yöntemdir. 32

33 Alfa Sayısal Kodlar Alfabetik karakterlerin sayısal karakterlerin ve işaretlerin kodlanmasıyla ortaya çıkan sistemlere Alfa Sayısal Kodlar denir. Bilgisayar endüstrisinde iki kod sistemi yaygınca kullanılır: ASCII (American Standard Code for Information Interchange) Kodlama Sistemi Büyük bilgisayarlarda, 8 bit EBCDIC (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code) 33

34 ASCII Kodlama Sistemi ASCII Karakterler kümesi dört bölümden oluşur: İngiliz alfabesi karakterleri: Büyük ve Küçük harfler: : (A, B, C,, Z ve a, b, c. z) 2. Onlu sayı sistemi simgeleri: (0,1,2,3,4, 8,9 ) Özel karakter: (boşluk,!, I, #, $, &,%,*, +, -, =, <, >,_,@,?,/,{,},n[,],,,.,,:,) # ${ [ ] } \ denetim karakteri: DEL (delete or rub out), HT (horizontal tab), STX(start to text), LF (line feed), CR (Carriage return), BEL (ring bell) vb. Böylelikle Yunan alfabesi, Matematik simgeler de katılarak karakter sayısı 256 ( 0 dan başlayarak 255 sıra numaralı oluyor.) Not: Boşluk karakterinin 1 ve A gibi bir karakter olduğu unutulmamalıdır. 34

35 ASCII (American Standard Code for Information Interchange)Tablo 35