ELK-208 MANTIK DEVRELERİ Kaynaklar: Doç. Dr. Hüseyin EKİZ, Mantık Devreleri, Değişim Yayınları, 3. Baskı, 2003

Transkript

1 BÖLÜM : ANALOG VE SAYISAL KAVRAMLAR ELK-28 MANTIK DEVRELERİ Kaynaklar: Doç. Dr. Hüseyin EKİZ, Mantık Devreleri, Değişim Yayınları, 3. Baskı, 23 Öğretim Üyesi: Yrd. Doç. Dr. Şevki DEMİRBAŞ e@posta : demirbas@gazi.edu.tr Ders Web Sayfası : Analog Büyüklük, Analog İşaret, Analog Gösterge ve Analog Sistem Belirli aralıklarda sürekli değer alan büyüklükler analog büyüklük olarak ifade edilir. Örnek: Isının değişimi Giriş ve çıkışları şekil olarak benzeyen devre analog devre olarak ifade edilir. Örnek: Yükselteçler İki sınır değer arasında çok sayıda değer seçilmesi ile elde edilen göstergeler analog gösterge olarak ifade edilir. Örnek: İbreli voltmetre Analog büyüklüğü ifade etmek için kullanılan sinyal analog sinyal olarak ifade edilir. Örnek: Sinüs Sinyali BÖLÜM : ANALOG VE SAYISAL KAVRAMLAR b) Analog Gösterge a) Analog Sinyal c) Analog Sistem Şekil..a) Analog Sinyal b) Analog Gösterge c) Analog Sistem BÖLÜM : ANALOG VE SAYISAL KAVRAMLAR.2. Sayısal Büyüklük, Sayısla İşaret, Sayısal Sistem ve Sayısal Gösterge Yalnızca iki değer alan büyüklükler sayısal büyüklük olarak ifade edilir. Örnek: -,Var-Yok, Açık-Kapalı Sayısal büyüklüğü ifade etmek için kullanılan sinyaller sayısal sinyal olarak ifade edilir. Sayısal sinyalde yüksek kenar düşük kenara oranla daha pozitifse sinyal pozitif mantık olarak ifade edilir. Sayısal sinyalde düşük kenar yüksek kenara oranla daha pozitifse sinyal negatif mantık olarak ifade edilir. Fiziksel bilgileri veya büyüklükleri sayısal işaretlerle işleyen devrelere sayısal sistem denir. Örnek: Bilgisayarlar Sayısal işaretleri anlaşılabilir biçime dönüştürmek için kullanılan elemanlara sayısal gösterge denir. Örnek: LCD BÖLÜM : ANALOG VE SAYISAL KAVRAMLAR a) Pozitif Mantık Sayısal İşaret b) Negatif Mantık Sayısal İşaret c) Sayısal Sistem d) Sayısal Gösterge Şekil.2. Sayısal İşaret, Sayısal Sistem, Sayısal Gösterge BÖLÜM : ANALOG VE SAYISAL KAVRAMLAR Sayısal bilginin bir çok hattan aynı anda gönderilmesi paralel bilgi iletimi olarak ifade edilir. Sayısal bilginin aynı hattan belirli aralıklarla gönderilmesi seri bilgi iletimi olarak ifade edilir. Sayısal Sistemler yaptıkları işe göre üç genel grupta toplanabilir. Bileşik (Combinational) Sayısal Sistemler: Devrenin çıkışı girişlerin o anki durumları ile bağlantılıdır. Temel mantık kapıları ile yapılan tasarımlar örnek olarak verilebilir 2. Ardışıl (Sequential) Sayısal Sistemler: Sistemin daha önce sahip olduğu konum ve o andaki girişe bağlı çıkış üreten sistemlerdir. Örnek: sayıcılar, kaydediciler 3. Bellek (Storage) Sayısal Sistemler: Bilgilerin veya ardışıl mantığın belirli bir bölümünün saklanması için kullanılan mantık devreleridir.

2 BÖLÜM : ANALOG VE SAYISAL KAVRAMLAR Tablo.. Sayısal olarak ifade edilebilen bazı büyüklükler, L, H Gerilim yok Gerilim var Yanlış Doğru Kontak açık (role) Kontak Kapalı Hayır Evet Sinyal yok Sinyal var OFF (Kapalı) ON (Açık) Sıfır gerilim Negatif veya Pozitif Gerilim Transistör yalıtkan Transistör iletken. Frekans 2. Frekans BÖLÜM : ANALOG VE SAYISAL KAVRAMLAR.3. Sayısal-Analog Tekniklerin Karşılaştırılması Analog Teknik Devrenin tasarımı zordur Bilgilerin saklanması zordur Devrelerin boyutu büyüktür Programlanması zordur Gürültülerden etkilenir Entegre içine yerleştirilmeleri daha zordur İşlem sayısı fazladır Hatanın bulunması zordur Sayısal Teknik Devre tasarımı daha kolaydır Bilgilerin saklanması kolaydır Daha küçük boyutta karmaşık devreler oluşturulabilir Daha esnek ve kolay programlanabilir Gürültülerden az etkilenir Entegre içine yerleştirilmeleri daha kolaydır İşlem sayısı azdır Hatanın bulunması daha kolaydır BÖLÜM : ANALOG VE SAYISAL KAVRAMLAR Analog sinyaller analog-sayısal çeviriciler (ADC) kullanılarak sayısal sinyale dönüştürülür. Sayısal sinyaller sayısal-analog çeviriciler (DAC) kullanılarak analog sinyale dönüştürülür. BÖLÜM 2: SAYI SİSTEMLERİ 2.. Sayı Sistemlerinin İncelenmesi Bir sayı sisteminde sayıyı S, taban değeri R ve katsayıyı da d ile gösterirsek tam sayı sistemi, S = d n R n + d n- R n d 2 R 2 + d R + d R Formülü ile gösterilir. Kesirli sayıları ifade etmek için aşağıdaki formül kullanılır. S = d n R n + d n- R n d 2 R 2 + d R + d R, d - R - + d -2 R -2 + d -3 R Onlu (Decimal) Sayı Sistemi Onlu sayı sisteminde taban değer R= dur ve adet rakam (,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) kullanılır. Eğer onluk sayıyı D ile gösterirsek genel denklem, D = d n n + d n- n d d + d, d d d olur BÖLÜM 2: SAYI SİSTEMLERİ D = (69.3) = d.r +d.r + d -.R - = 6 x + 9 x + 3 x - = İkili (Binary-Dual) Sayı Sistemi - rakamlarından meydana gelen ve taban değeri 2 olan sayı sistemidir. İkili sayı sisteminde her bir basamak BİT (Bİnary DigiT), en sağdaki basamak en düşük değerli bit (Least Significant bit- LSB), en soldaki basamak ise en yüksek değerli bit (Most Significant bit-msb) olarak ifade edilir. İkili sayı sisteminde sayı B ile gösterilirse genel ifade, B = d n 2 n + d n- 2 n d d 2 + d 2, d d d olur BÖLÜM 2: SAYI SİSTEMLERİ. = x2 3 + x2 2 + x2 + x2 + x2 - + x2-2 En düşük değerli bit En yüksek değerli bit İkili sayı sistemleri bilgisayar gibi sayısal bilgi işleyen makinalarda kullanılmaktadır. Fakat bu sayı sistemi ile bir sayının ifade edilmesi için çok fazla sayıda basamak kullanmak gerekir. Bu nedenle ikili sisteme kolay çevrilebilen (veya tersi) sekizli (octal) ve onaltılı (hexadecimal) sayı sistemleri geliştirilmiştir Sekizli (Octal) Sayı Sistemi Taban değeri sekiz olan ve -7 arası (,, 2, 3, 4, 5, 6, 7) değer alan sayı sistemidir. Genel ifadesi; O = d n 8 n + d n- 8 n d d 8 + d 8, d d d dir.

3 BÖLÜM 2: SAYI SİSTEMLERİ O = (47.2) 8 = Onaltılı (Hexadecimal) Sayı Sistemi Taban değeri 6 olan ve -5 arası (,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F) değer alan sayı sistemidir. Genel ifadesi; H = d n 6 n + d n- 6 n d d 6 + d 6, d d d dir. H = (2A.C) 6 = 2 x 6 + x x Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi 2.2. Onlu sayıların ikili, sekizli ve onaltılı sayılara dönüşümü Onluk sayı sisteminde tamsayıyı diğer sayı sistemine dönüştürmek için onluk sayı dönüştürülecek sayıya sürekli bölünür ve sondan başa doğru kalan yazılır. BÖLÜM 2: SAYI SİSTEMLERİ Onluk sayının ikilik sayıya dönüştürülmesi ÖRNEK: (53) sayısını ikili sayı sistemine çeviriniz. 53 / 2 = 26, kalan = 26 / 2 = 3, kalan = 3 / 2 = 6, kalan = En düşük bit 6 / 2 = 3, kalan = 3 / 2 =, kalan = / 2 =, kalan = En yüksek bit (53) = () 2 Kesirli onluk sayılar ikili sayıya dönüştürülürken kesirli kısım sürekli 2 ile çarpılarak bulunan değerin tam sayı kısmı yazılır. İşleme değerine veya yakın bir değere ulaşıncaya kadar devam edilir. BÖLÜM 2: SAYI SİSTEMLERİ ÖRNEK: (4.6875) sayısını ikili sisteme çeviriniz Tamsayı kısmı 4 / 2 = 2, kalan = 2 / 2 =, kalan = / 2 = 5, kalan = 5 / 2 = 2, kalan = 2 / 2 =, kalan = / 2 =, kalan = (4) = () 2 Kesirli kısım =.375 tamsayı = =.75 tamsayı =.75 2 =.5 tamsayı =.5 2 =. tamsayı = (.6875) = () 2 (4.6875) = (.) 2 BÖLÜM 2: SAYI SİSTEMLERİ Onluk sayının sekizlik sayıya dönüştürülmesi ÖRNEK: (53) sayısını sekizli sayıya çeviriniz 53 / 8 = 6, kalan = 5 6 / 8 =, kalan = 6 (53) = (65) 8 Kesirli sayılar sekizli sayıya çevrilirken kesirli kısım 8 ile çarpılır ÖRNEK: (53.5) sayısını sekizli sayıya çeviriniz Tamsayı Kısmı Kesirli Kısım 53 / 8 = 6, kalan = =.2, tamsayı = 6 / 8 =, kalan = =.6 tamsayı =.6 8 = 4.8 tamsayı = 4 (53.5) = (65.4) 8 BÖLÜM 2: SAYI SİSTEMLERİ Onluk sayının onaltılık sayıya dönüştürülmesi ÖRNEK: (53) sayıyı onaltılık sayıya çeviriniz 53 / 6 = 3, kalan = 5 3 / 6 =, kalan = 3 (53) = (35) 6 Kesirli sayılar 6 ile çarpılarak tam kısmı yazılır ÖRNEK: (24.975) sayıyı onaltılık sayıya çeviriniz Tamsayı kısmı 24 / 6 = 3 kalan = 6 3 / 6 = kalan = 3 (D) Kesirli kısım.975 x 6 = 5.6 tamsayı = 5 (F).6 x 6 = 9.6 tamsayı = 9.6 x 6 = 9.6 tamsayı = 9 BÖLÜM 2: SAYI SİSTEMLERİ İkili sayıların onlu, sekizli ve onaltılı sayılara çevrilmesi İkili Sayının Onlu Sayıya Çevrilmesi İkili sistemdeki bir sayı her basamağının ağırlık katsayısı ile çarpılıp bulunan değerlerin toplanması ile onlu sayı sistemine dönüştürülür. ÖRNEK: (.) 2 sayısını onlu sayıya çeviriniz (.) 2 = x x x x 2 + x 2, x x x 2-3 = , = (2.625) İkili Sayının Sekizli Sayıya Çevrilmesi İkili sayılar sekizliye çevrilirken sayıların tam kısmı sağdan sola doğru, kesirli kısım ise soldan sağa doğru üçerli grup olarak düzenlenir. Sonra her bir sayı katsayısı ile çarpılarak sonuç bulunur. (24.975) = (D6.F99) 6

4 BÖLÜM 2: SAYI SİSTEMLERİ ÖRNEK: (.) 2 sayısını sekizli sayıya çeviriniz (.) 2 = x x 2 + x 2 x x 2 + x 2, x x 2 + x 2 = (25.5) 8 İkili Sayının Onaltılı Sayıya Çevrilmesi İkili sayılar onaltılı sayıya çevrilirken sayıların tam kısmı sağdan sola doğru, kesirli kısım ise soldan sağa doğru dörderli grup olarak düzenlenir. Sonra her bir sayı katsayısı ile çarpılarak sonuç bulunur. ÖRNEK: (.) 2 sayısını onaltılı sayıya çeviriniz (.) 2 = x x x 2 + x 2 x x x 2 + x 2, x x x 2 = (5.A) 6 BÖLÜM 2: SAYI SİSTEMLERİ Sekizli Sayıların İkili, Onlu ve Onaltılı Sayılara Çevrilmesi Sekizli Sayının İkili Sayıya Çevrilmesi Sekizli sayılar ikili sayıya çevrilirken her basamağın ikili sayıdaki karşılığı yazılır ÖRNEK: (673.24) 8 sayısını ikili sayıya çeviriniz 6 =, 7 =, 3 =, =, 2 =, 4 = (673.24) 8 = (. ) 2 Sekizli Sayının Onlu Sayıya Çevrilmesi Sekizli sayı onlu sayıya çevrilirken her bir basamaktaki sayı kendi katsayısı ile çarpılır ve toplam bulunur. ÖRNEK: (32.2) 8 sayısını onlu sayıya çeviriniz (32.2) 8 = 3 x x 8, x x 8-2 = , = ( ) BÖLÜM 2: SAYI SİSTEMLERİ Sekizli Sayının Onaltılı Sayıya Çevrilmesi Sekizli sayıyı onaltılı sayıya çevirmenin en kolay yolu sekizli sayıyı ikili sayıya çevirip sonra onaltılı sayıya çevirmektir. ÖRNEK: (32.2) 8 sayısını onaltılı sayıya çeviriniz 3 =, 2 =, =, 2 = (32.2) 8 = (. ) 2 = x x x 2 + x 2 x x x 2 + x 2, x x x 2 + x 2 x 2 3 = (A.28) Onaltılı sayıları ikili, sekizli ve onlu sayılara çevrilmesi Onaltılı sayıları ikili sayıya çevrilmesi Onaltılı sayılar ikili sayıya çevrilirken onaltılı sayının her basamağındaki sayının ikili sayı karşılığı 4 bit olarak yazılır. BÖLÜM 2: SAYI SİSTEMLERİ ÖRNEK: (32.2) 6 sayısını ikili sayıya çeviriniz 3 =, 2 =, =, 2 = (32.2) 6 = (. ) 2 Onaltılı sayıların sekizli sayıya çevrilmesi Onaltılı sayıları sekizli sayıya çevirmenin en kolay yolu onaltılı sayıyı önce ikili sayıya dönüştürüp sonra sekizli sayıya dönüştürmektir. ÖRNEK: (32.2) 6 sayısını sekizli sayıya çeviriniz (32.2) 6 = (. ) 2 (32.2) 6 = (62.44) 2 Onaltılı sayıların onlu sayıya çevrilmesi Onaltılı sayı onlu sayıya çevrilirken her bir basamaktaki sayı kendi katsayısı ile çarpılır ve toplam bulunur. BÖLÜM 2: SAYI SİSTEMLERİ ÖRNEK: (32.2) 6 sayısını onlu sayıya çeviriniz (32.2) 6 = 3 x x 6, x x 6-2 = , = (5.73) 2.3. Sayı Sistemlerinde Hesaplama Bütün sayı sistemlerinde işaret (+ veya -) kullanılabilir ve aşağıdaki bağıntılar bütün sayı sistemlerinde uygulanabilir. A) +a + (+b) = a + b B) +a + (-b) = a b C) +a - (+b) = a b D) +a - (-b) = a + b İkili Sayı Sisteminde Toplama İkili sayılarda toplama onlu sayılarda olduğu gibi basamak basamak toplamak suretiyle yapılır. BÖLÜM 2: SAYI SİSTEMLERİ ÖRNEK: (.) 2 + (.) 2 + (.) 2 sonucunu bulunuz İkili Sayı Sisteminde Çıkarma İkili sayılarda çıkarma onlu sayılara benzer olarak yapılır - =, =, =, = (Borç ), = ÖRNEK: (.) 2 - (.) 2 sonucunu bulunuz.. -..

5 BÖLÜM 2: SAYI SİSTEMLERİ İkili sayılarda sayının sıfırdan küçük olması durumunda doğrudan çıkarma işlemi uygulanamamaktadır. Bunun yerine tümleyen aritmetiğine göre çıkarma işlemi uygulanmaktadır Tümleyen Aritmetiği Tümleyen ifadesini örneklemek için sayıcıları kullanabiliriz. Sayıcılar yukarı doğru sayarken -2 diye artar. Aşağı doğru sayarken ise 9-8 diye azalır. Burada 9 un tümleyenine, 8 in tümleyenine de 2 denilmektedir. İkili sayı sisteminde iki tümleyen kullanılmaktadır. Bunlar in tümleyeni ve 2 nin tümleyeni r tabanlı bir sayı sisteminde tümleyenler r tümleyeni ve r- tümleyeni olarak ifade edilir. ÖRNEK: tabanlı bir sayı sisteminde r tümleyeni, r- tümleyeni 9 dur. BÖLÜM 2: SAYI SİSTEMLERİ r tümleyeni R tabanlı bir sayı sisteminde n basamaklı pozitif tamsayı N ile gösterilirse N sayısının r tümleyeni r n -N (N ) olarak tanımlanabilir. ÖRNEK: (25.456) sayısının tümleyenini bulunuz. (25.456) sayısının tamsayı kısmı 3 basamaklıdır. Bu nedenle r n = 3 tür. r n -N = = ÖRNEK: (.) 2 sayısının 2 tümleyenini bulunuz. (.) 2 sayısının tamsayı kısmı 6 basamaklıdır. Bu nedenle r n = 2 6 dır. r n -N = 2 6. =. =. BÖLÜM 2: SAYI SİSTEMLERİ İkili sayı sisteminde r nin tümleyeni iki şekilde bulunabilir. ) N sayısındaki bitlerin tersi alınır ( ler, lar yapılır) ve LSB e eklenir. ÖRNEK: () 2 sayısının r tümleyenini bulunuz. () 2 sayısında ler, lar ile değiştirilirse () 2 sayısı elde edilir. LSB e eklenirse () 2 sayısı bulunur. () 2 sayısının r tümleyeni () 2 dir. 2) N sayısındaki LSB ten itibaren sıfırdan farklı ilk sayıya kadar (ilk sayı dahil) alınır, kalan bitlerin tersi alınır. ( ler, lar yapılır) ÖRNEK: () 2 sayısının r tümleyenini bulunuz. () 2 sayısında dan farklı ilk sayıya kadar bitler yazılır ve kalan bitlerin tersi alınırsa () 2 sayısı elde edilir. () 2 sayısının r tümleyeni () 2 dir. BÖLÜM 2: SAYI SİSTEMLERİ r tümleyen aritmetiği ile çıkarma R tabanındaki iki pozitif sayının M - N işlemi aşağıdaki gibi özetlenebilir.. M sayısı ile N sayısının r tümleyeni toplanır 2. Toplama sonucunda bulunan değerin elde si varsa bu değer atılır ve sayının pozitif olduğu kabul edilir. Eğer elde değeri yoksa bulunan değerin r tümleyeni alınır ve önüne işareti konur. ÖRNEK: ( ) sayısının sonucunu tümleyeni kullanarak bulunuz. 325 sayısının tümleyeni 325 = = (Elde var) İşaret biti dir bu yüzden sonuç dir. BÖLÜM 2: SAYI SİSTEMLERİ ÖRNEK: ( ) sayısının sonucunu tümleyeni kullanarak bulunuz sayısının tümleyeni = = 378 (Elde var) İşaret biti dır bu yüzden 378 in tümleyeni alınır ve önüne işareti konur. Sonuç (-69282) dir. ÖRNEK: () 2 - () 2 sayısının sonucunu 2 nin tümleyenini kullanarak bulunuz. () 2 sayısının 2 tümleyeni + = (İşaret biti ) İşaret biti olduğundan sonuç dür. BÖLÜM 2: SAYI SİSTEMLERİ r- tümleyen aritmetiği n basamaklı tamsayısı ve m basamaklı kesirli sayısı bulunan r tabanlı N sayısının r- tümleyeni; r n r -m N formülü ile bulunur. ÖRNEK: (725.25) sayısının sonucunu 9 tümleyenini kullanarak bulunuz. r =, n = 3, m = 3 olduğundan 9 tümleyeni; = ÖRNEK: (.) sayısının sonucunu tümleyenini kullanarak bulunuz. r = 2, n = 3, m = 4 olduğundan tümleyeni; =.. =.

6 BÖLÜM 2: SAYI SİSTEMLERİ Yukarıdaki örneklerden görüleceği gibi tabanındaki bir sayının r- (9) tümleyeni bulunurken her basamaktaki sayı 9 dan çıkarılır. İkili sayı sisteminde ise bitler ters çevrilir r- tümleyeni ile çıkarma r- tümleyeni ile çıkarma işlemi r tümleyeni ile çıkarma işlemine benzer. M-N işlemi için. M sayısı ile N sayısının r- tümleyeni toplanır 2. Sonuçta taşma biti oluşursa bulunan değere eklenir, taşma biti oluşmazsa sayının tümleyeni alınır ve negatif işaretli olur. ÖRNEK: ( ) sayısının sonucunu 9 tümleyeni kullanarak bulunuz. 325 sayısının 9 tümleyeni = = 6928 (Elde var) İşaret biti dir bu yüzden sonuç = dir. BÖLÜM 2: SAYI SİSTEMLERİ ÖRNEK: ( ) sayısının sonucunu 9 tümleyeni kullanarak bulunuz sayısının 9 tümleyeni = = 377 (Elde var) İşaret biti dır bu yüzden 377 in tümleyeni alınır ve önüne işareti konur. Sonuç (-69282) dir. ÖRNEK: () 2 - () 2 sayısının sonucunu in tümleyenini kullanarak bulunuz. () 2 sayısının tümleyeni + = (İşaret biti ) İşaret biti olduğundan sonuç + = dür İkili sayılarda çarpma ve bölme İkili sayılarda çarpma ve bölme işlemi onlu sayılar gibi yapılır.

7 BÖLÜM 3: KODLAMA VE SAYISAL KODLAR II. HAFTA BÖLÜM 3: KODLAMA VE SAYISAL KODLAR Kodlama: İki küme arasında karşılığı kesin olarak belirtilen kurallar bütünüdür. Kodlama işleminin avantajları:. Aritmetik işlemlerde kolaylık sağlar 2. Hataların bulunmasını kolaylaştırır 3. Hataların düzeltilmesi işlemini basitleştirir 4. Bellek işlemlerinde verimliliği artırır 5. Bilgilerin işlenmesi işleminin insanlarca kolayca anlaşılmasını sağlar. İki çeşit kodlama yöntemi vardır. Yalnızca sayıların kullanıldığı yönteme sayısal yöntem, alfabetik ve sayısal değerlerin kullanıldığı yönteme de alfasayısal yöntem denir. 2 BÖLÜM 3: KODLAMA VE SAYISAL KODLAR 3.. Sayısal Kodlar Sayısal kodların kullanıldığı çok geniş uygulama alanları olduğundan çok sayıda sayısal kod bulunmaktadır. Bunlardan bazıları:. BCD Kodu 2. Gray kodu Kodu 4. A iken kodu 5. 5 te 2 kodu 6. Bar kodu 3... BCD (Binary Digit Decimal) Kodu Onlu sayı sistemindeki bir sayının her bir basamağının 4-bit ikili sayı sistemi ile ifade edilmesinden oluşturulan kodtur. BÖLÜM 3: KODLAMA VE SAYISAL KODLAR ÖRNEK: (263) sayısını BCD kodu ile ifade ediniz (263) (263) = () BCD ÖRNEK: () BCD kodunun onlu karşılığını yazınız () BCD = (936) 3 4 BÖLÜM 3: KODLAMA VE SAYISAL KODLAR BÖLÜM 3: KODLAMA VE SAYISAL KODLAR Tablo 3. Onlu sayılar ve BCD Kodları Onlu BCD Gray Kodu Gray kodlama yönteminde değerler katsayıya bağlı değildir. Bu yöntemde ardışıl değerler arasında bitlerden sadece biri değişir. Table Bit Gray Code Decimal Binary Gray Decimal Binary Gray

8 BÖLÜM 3: KODLAMA VE SAYISAL KODLAR Tablo 3.2 de onluk sayı, 4 bit ikili kod ve 4 bit gray kodu verilmiştir. Gray kodlamada basamak ağırlık değerleri olmadığından aritmetik işlemlerde kullanılamaz. Fakat sütun esasına göre çalışan giriş-çıkış birimleri, ADC gibi elemanlarda hatayı azalttığından yaygın olarak kullanılır. İkili Sayıların Gray Koda Dönüştürülmesi İkili sayı sisteminde sayılar b, b2, b3, ile, gray kodlamada ise g, g2, g3, ile ifade edildiğini varsayalım. İkili sayının gray koda dönüştürülmesinde en soldaki basamak (MSB) aynı kalır, kalan basamaklara soldan sağa doğru bir sonraki basamak ile XOR uygulanır. b3 b2 b b ikili sayının gray kodu g3 = b3, g2 = b3 b2, g = b2 b, g = b b BÖLÜM 3: KODLAMA VE SAYISAL KODLAR ÖRNEK: () 2 sayısını gray koda dönüştürünüz () 2 = () gray İkili kodu gray koda dönüştürmede belirli bir yöntem geliştirilebilir. İki bit gray kod oluşturulduktan sonra 3 bit gray kod için iki bit kod düz ve ters sırada yazılır ve MSB e sırasıyla dörder dörder ve eklenir. 4 bit oluşturulurken 3 bit düz ve ters sırada yazılır ve MSB e sekizer ve eklenir. İşleme bu şekilde devam edilir. 7 8 BÖLÜM 3: KODLAMA VE SAYISAL KODLAR BÖLÜM 3: KODLAMA VE SAYISAL KODLAR 2 Bit 3 Bit 4 Bit 9 Gray Kodlu Sayıyı İkili Sayıya Çevirme Gray kodlu sayı ikili sayıya dönüştürülürken MSB aynen yazılır bulunan sonuç ile yandaki bite XOR uygulanır. İşlem LSB e kadar devam eder. ÖRNEK: () gray kodlu sayıyı ikili sayıya çeviriniz () gray = () Kodu (Excess 3 Code) +3 Kodu onlu sayıların sayısal çözümünde kolaylık sağlayan bir kodlama yöntemidir. Sayının BCD koduna 3 () eklemek suretiyle bulunur. BÖLÜM 3: KODLAMA VE SAYISAL KODLAR BÖLÜM 3: KODLAMA VE SAYISAL KODLAR ÖRNEK: (48) sayısının +3 kodunu bulunuz. (48) sayısının BCD kodu : + = ( ) kodlamanın avantajı +3kodun tersinin onlu sistemdeki karşılığı 9 un tümleyenidir. ÖRNEK: (48) sayısının 9 tümleyenini bulunuz. 48 sayısının +3 kodu +3 kodunda bitler ters çevrilirse ( ) +3 bulunur. = ( ) BCD = (5) te 2 Kodu 5 te 2 Kodlama sisteminde her onlu sayı içinde mutlaka iki tane bulunan 5 bitlik ikili sayılarla ifade edilir. Basamak değerleri (7 4 2 ) dır. () rakamı ile ifade edilir. ÖRNEK: (6) sayısının 5 te 2 kodunu bulunuz. 5 bit sayıda basamak değerleri 742 olduğundan 6 sayısı ile ifade edilir. ÖRNEK: () 2/5 sayısının onlu karşılığını bulunuz. Sayı 5 bit olarak ayrılarak her bölüm kendi basamak değerinden hesaplanır. ( ) 2/5 = (59) Eşitlik (Parity) Kodu Sayısal sistemlerde hataların belirlenmesinde kullanılan en yaygın yöntem eşitlik biti kodlamasıdır. Bu yöntemde BCD kodlu sayının sağına yada soluna bir eşitlik biti eklenir. Eşitlik biti kodlana veride veya lerin tek mi yoksa çift mi olduğunu belirtir. İki çeşit eşitlik biti yöntemi vardır: Çift eşitlik (even parity), tek eşitlik (odd parity) 2

9 BÖLÜM 3: KODLAMA VE SAYISAL KODLAR Çift eşitlik bitinde kodlanan sayıda lerin çift olması gerekmektedir. Eğer kodlanan sayıda ler tek ise eşitlik biti seçilir, eğer çift ise eşitlik biti seçilir. ÖRNEK: () 2 ve () 2 sayılarına çift eşitlik bitine göre eşitlik biti ekleyiniz. sayısında ki lerin sayısı tektir bu yüzden eşitlik biti olmalıdır. sayısında ler çifttir bu yüzden eşitlik biti olmalıdır. Tek eşitlik yöntemi de aynı mantıkla gerçekleştirilir. Fakat bu yöntemde ler tek olacak şekilde eşitlik biti seçilir Aiken Kodu Aiken kodu 4 basamaklı olup basamak değerleri 242 şeklinde ifade edilmektedir. Onlu sistemde 5 e kadar olan sayılar sağdaki bitler ile 5 ten sonraki rakamlar ise soldaki bitler ile ifade edilmektedir. BÖLÜM 3: KODLAMA VE SAYISAL KODLAR Onlu Sayı Aiken Kodu BÖLÜM 3: KODLAMA VE SAYISAL KODLAR Bar Kod Bar kodlama sisteminde karakterler farklı kalınlıkta boşluk ve çubuklarla ifade edilmektedir. Farklı bar kodları kullanılmaktadır. Ülkemizde genellikle 3 basamaklı barkod sistemi kullanılmaktadır. Bu sistemde 3 basamak ülke kodunu, 4-6 basamak firma kodu ve 3-5 basamak ürün kodu olarak kullanılır. Bütün bar kodlarında başla/bitir kodları bulunmaktadır. Barkodlar barkod okuyucular tarafından sayısal bilgiye dönüştürülmektedir Alfa Sayısal Kodlar Alfa sayısal kodlar rakamların yanında a-z ye büyük ve küçük harfleri ve +, /, *, #, % gibi karakterlerinde kullanıldığı kodlama sistemidir. Yaygın olarak kullanılan iki çeşit alfa sayısal kodlama vardır. ASCII (American Standard Code for Information Interchange)ve EBCDIC(Extended BCD Interchange Code) 5 BÖLÜM 3: KODLAMA VE SAYISAL KODLAR ASCII Kodu: ASCII Kodu rakam ve harflerin yanında boşluk, enter gibi işlemleri ifade etmek için 7 bit kodtan oluşur. Bazı karakterlerin kontrolü için 8 bit olarak ta kullanılabilir. ASCII Kod Tablosu 6 Mantık devrelerinin çalışmasını matematiksel olarak ifade etmek için Boolean Kuralları kullanılmaktadır. Boolean Değişkeni: İki adet boolean değişkeni vardır. -, D- Y, H-L, ON-OFF boolean değişkenleri olarak kullanılmaktadır. Derste - kullanılacaktır. Boolean İşlemleri: Boolean değişkenlerinin dönüşümünde kullanılan işlemlerdir. Bu işlemler VE, VEYA, DEĞİL işlemleridir. VEYA İşlemi VEYA İşlemi matematikteki toplama işlemine karşılık gelmektedir. Elektrik devresi olarak birbirine paralel bağlı anahtarlar ile gösterilebilir. Şekil 4. de VEYA işleminin elektrik devresi ve doğruluk tablosu verilmiştir. Şekil 4.. VEYA İşlemi Elektrik Devresi eşdeğeri ve doğruluk tablosu VE İşlemi Elektrik devresinde seri bağlı anahtarlar ile gösterilir ve matematikte çarpma işlemine karşılık gelir. Şekil 4.2 de elektrik devresi ve doğruluk tablosu verilmiştir. 7 8

10 A A Yukarıda iki değişkenli Boolean İşlemleri verilmiştir. Değişken sayısı arttığında da işlemler benzer olarak yapılmaktadır. Şekil 4.3 de 3 değişkenli Boolean işlemleri verilmiştir. Şekil 4.2. VE İşlemi Elektrik Devresi eşdeğeri ve doğruluk tablosu DEĞİL İşlemi A değişkeninin DEĞİL i A veya Ā ile gösterilir ve A nın tersine eşittir. 9 2 İstenilen bir çıkış elde etmek için seri ve paralel devre kombinasyonlarını kullanmak gerekebilir. Şekil 4.4 de verilen devre buna örnek olarak gösterilebilir. ÖRNEK: Şekildeki devrenin boolean ifadesini çıkarınız ve doğruluk tablosunu yazınız. Şekil değişkenli VE/VEYA İşlemleri 2 22 ÖRNEK: boolean ifadesinin elektrik devresi eşdeğerini ve doğruluk tablosunu elde ediniz. Şekil 4.4. Karışık devre işlemleri 23 24

11 ÖRNEK: Verilen doğruluk tablosunu sağlayacak boolean ifadesini bulunuz ve eşdeğer devresini çiziniz Boolean Kuralları Değişim Kuralı Birleşme Kuralı Dağılım Kuralı Toplama Kuralı Çarpma Kuralı Yutma Kuralı ÖRNEK: ifadesini sadeleştiriniz Yukarda verilen tablo ve referans özellikler kullanılarak Kurallar tablosundan ÖRNEK: ifadesini sadeleştiriniz Kurallar tablosundan 29 3

12 III. HAFTA De Morgen Kuralları De Morgen kuralları VEDEĞİL ve VEYADEĞİL işlemlerinden elde edilen ve mantık devrelerinde kolaylık sağlayan bir yöntemdir. ÖRNEK: ile verilen boolean ifadesini De Morgen kuralını kullanarak sadeleştiriniz. I. ifadeye De Morgen kuralı uygulanırsa ve İfadesi elde edilir. İkinci ifade ise Buradan 2 İfadedeki parantez çıkarılarak ifadesi elde edilir olduğundan, olur. Venn Diyagramı: Venn diyagramı boolean değişkenleri arasındaki bağıntıyı şekiller ile gösterme yöntemidir. Bu yöntemde her bir değişken bir daire ile gösterilir. Dairenin içine kalan alan değişkenin kendini, dışında kalan alan ise DEĞİL ini ifade eder Temel Açılımlar ve Standart İfadeler Boolean ifadesinde çarpma terimi VE ifadesine karşılık gelmektedir. ABC, A B C ifadeleri çarpma terimidir. Eğer bir çarpma terimi bütün elemanları veya tümleyenini kapsıyorsa minterm olarak ifade edilir. Toplama terimi ise VEYA işlemine karşılık gelmektedir. A+B+C, A+B +C ifadeleri de toplama terimidir. Eğer bir toplama terimi bütün elemanları veya tümleyenini kapsıyorsa maxterm olarak ifade edilir. Bir boolean ifadesi çarpımların toplamı (ÇT) veya toplamların çarpımı (TÇ) şeklinde ifade edilebilir. Q(A, B, C) = AB' + A'C + B'C ifadesi çarpımların toplamıdır. P(X, Y,Z) = (X+ Y')(X' + Y + Z) ifadesi toplamların çarpımıdır. Eğer fonksiyon içindeki çarpma terimlerinin hiç biri diğerini kapsamıyorsa buna normal çarpımların toplamı denir. Q=AB+AC Q =X + Y + Z P = AB'C + A'CD + AC'D' 6

13 Eğer fonksiyon içindeki toplama terimlerinin hiç biri diğerini kapsamıyorsa buna da normal toplamların çarpımı denir. P = (X + Y')(X' + Y + Z') Q = (A + B')(A' + В + C')(A + В + С) Eğer bir çarpımların toplamı fonksiyonunda her bir çarpma terimi bütün elemanların kendisini veya tümleyenini içeriyorsa buna kanunsal (canonical) çarpımların toplamı denilmektedir. Q = A'B'C + AB'C + A'B'C kanunsal ÇT formunda Q=A'B + ABC + A'C kanunsal ÇT formunda değil Benzer durum TÇ formundaki bir fonksiyon içinde söylenebilir. Eğer fonksiyondaki çarpma ifadeleri bütün elemanların kendisini veya tümleyenini içeriyorsa buna kanunsal TÇ denmektedir. Q = (A' + В + C')(A + B' + C')(A + В + C) Kanunsal TÇ formunda Q = (A' + B)(A + B' + C')(A' + B' + C) Kanunsal TÇ formunda değil. 7 ÖRNEK: Verilen doğruluk tablosunu ÇT ve TÇ formunda yazınız. Doğruluk tablosundan ÇT elde edilirken. Fonksiyonun olduğu satırdaki elemanlardan çarpım terimi oluştur. 2. Eğer elemanın değeri ise kendisini ise tümleyenini al. Şekildeki doğruluk tablosunda fonksiyon,3,4,5 Satırlarda değerini almaktadır.. satırda C değeri olduğundan kendisi, diğerlerinin tümleyeni alınır. O halde. satır A B C olacaktır. Diğer satırlarda benzer olarak yapılıp bütün çarpma terimleri toplanır. Q = A B'C + A'BC + AB'C + AB'C 8 Doğruluk tablosundan TÇ elde edilirken. Fonksiyonun olduğu satırdaki elemanlardan toplam terimi oluştur. 2. Eğer elemanın değeri ise kendisini ise tümleyenini al. Şekildeki doğruluk tablosunda fonksiyon,2,6,7 satırlarda dır.. satırda bütün elemanların değeri olduğundan A+B+C olarak yazılır. Bütün toplam ifadeleri yazıldıktan sonra toplam ifadeleri çarpım olarak birleştirilir. Q = (A + В + C)(A + B' + C)(A' + B' + C)(A' + B' + C ) Kanunsal çarpma formundaki bir fonksiyonun her bir çarpma terimi minterm dür. Kanunsal çarpma fonksiyonu mintermlerin toplamı olarak adlandırılır ve P(A, B, C) = m (, 4, 5) dir. Kanunsal toplama formundaki bir fonksiyonun her bir toplama terimi de maxterm dür. Kanunsal toplama fonksiyonu mintermlerin çarpımı olarak adlandırılır ve P(A, B, C) = M (, 2, 6, 7) dir. ÖRNEK: Verilen tabloyu ÇT ve TÇ formunda yazınız. P = A'B'C + AB'C + AB'C P = (A + В + C )(A + B' + C)(A + B' + C')(A' + B' + C)(A' + B' + C ) 9 Minterm toplamları ve Maxterm çarpımları ifadelerinin elde edilmesi Sadeleştirilmiş olarak verilen bir fonksiyondan mintermler toplamını elde etmek için her çarpma ifadesindeki kayıp değerler (x+x ) formunda eklenir ve diğer değişkenler ile VE işlemine tabi tutulur. ÖRNEK: F(X, Y, Z) = YZ' + X' fonksiyonunu minter toplamı olarak yazınız.. ifadede X değişkeni olmadığından YZ (X+X ) yazılır. Dağılım yapıldığında YZ X+YZ X elde edilir. 2. ifadede Y ve Z bulunmamaktadır. Önce Y sonra Z ekleyelim. X (Y+Y ) = X Y+X Y her bir ifade (Z+Z ) ile genişletilerek X YZ+X YZ +X Y Z+X Y Z elde edilir. O halde F(X, Y, Z) = XYZ +X YZ + X YZ+X YZ +X Y Z+X Y Z Tekrarlanan terimler çıkarılarak F(X, Y, Z) = XYZ +X YZ + X YZ+X Y Z+X Y Z elde edilir. Mintermlerin toplamı ifadesinde çarpma terimlerinde değişkenler ile tümleyeni ile gösterilerek satır numaraları bulunur. Minterm kodları Buradan çarpım terimlerinin,, 2, 3 ve 6 olduğu görülmektedir. Bu yüzden F(X, Y, Z) = m (,, 2, 3, 6) dir. Maxtermlerin çarpımı formunda verilen bir fonksiyonda kayıp değişkenlerin bulunduğu toplam ifadesine kayıp değişkenin tümleyeni ile çarpımı eklenir. ÖRNEK: F(X, Y, Z) = (X + Y')Z' ifadesini maxtermlerin çarpımı formunda yazınız. 2

14 (a) Kayıp değişkenler eklenerek: = (X + Y + ZZ')(Z' + XX' + YY') (b) İfade genişletilerek = (X + Y + Z)(X + Y + Z')(Z' + XX' + Y) (Z' + XX' + Y) = (X+Y +Z)(X+Y +Z')(Z'+X+Y)(Z'+X'+Y)(Z'+X+Y)(Z'+X'+Y') (c) Tekrarlanan ifadeleri çıkar: (X + Y + Z)(X + Y + Z')(X + Y + Z')(X' + Y + Z')(X' + Y + Z') Değişkenlere tümleyenine yaz Decimal formda Bu yüzden, F = M(, 2, 3, 5, 7) 3

15 IV. HAFTA BÖLÜM 4: TEMEL MANTIK KAPILARI DEĞİL İşlemi BÖLÜM 4: TEMEL MANTIK KAPILARI 2 BÖLÜM 4: TEMEL MANTIK KAPILARI VE İşlemi BÖLÜM 4: TEMEL MANTIK KAPILARI 3 4 BÖLÜM 4: TEMEL MANTIK KAPILARI BÖLÜM 4: TEMEL MANTIK KAPILARI 5 ÖRNEK: Belirtilen işlemleri yapmak için hangi mantık kapıları kullanılmalıdır.. Bir güvenlik kapısını açmak için yönetici ile çalışanlardan birinin anahtarı girmesi gerekir. 2. Bir sergi odasındaki lambalar kapıların biri yada tamamı açıldığında yanacak 3. Güvenlik için bir press makinasında iki el kullanılarak tuşlara basılmalı 6

16 BÖLÜM 4: TEMEL MANTIK KAPILARI BÖLÜM 4: TEMEL MANTIK KAPILARI Mantık Anahtarları 7 8 BÖLÜM 4: TEMEL MANTIK KAPILARI BÖLÜM 4: TEMEL MANTIK KAPILARI LED Kullanarak Mantık Devrelerinin Analizi 9 BÖLÜM 4: TEMEL MANTIK KAPILARI BÖLÜM 4: TEMEL MANTIK KAPILARI VEDEĞİL VEYADEĞİL Türetilmiş Mantık İşlemleri Temel Mantık Kapıları (VE, VEYA, DEĞİL) kullanılarak çeşitli mantık kapıları üretilebilir. VEDEĞİL İşlemi Özel VEYA ve VEYADEĞİL İşlemleri 2

17 BÖLÜM 4: TEMEL MANTIK KAPILARI BÖLÜM 4: TEMEL MANTIK KAPILARI Yetkilendirme (Enable) ve Yetkisizleştirme (Inhibit/Disable) Mantık Devreleri XOR XNOR DeMorgen Kurallarının Mantık Devrelerine Uygulanması 3 4 BÖLÜM 4: TEMEL MANTIK KAPILARI BÖLÜM 4: TEMEL MANTIK KAPILARI 5 6 BÖLÜM 4: TEMEL MANTIK KAPILARI BÖLÜM 4: TEMEL MANTIK KAPILARI 7 8

18 BÖLÜM 4: TEMEL MANTIK KAPILARI BÖLÜM 4: TEMEL MANTIK KAPILARI 9 2 BÖLÜM 4: TEMEL MANTIK KAPILARI Bu ders notundaki bilgiler ve resimler aşağıda verilen kaynaktan alınmıştır. Kaynakça: Robert K. Dueck, 2, Digital Design with CPLD Applications and VHDL, Thomson Learning Publish 2

19 V. HAFTA BÖLÜM 4: DEVRE TASARIMLARI BÖLÜM 4: MANTIK DEVRE TASARIMLARI Tasarım Adımları:. Tasarımı yapılacak sistemin giriş ve çıkış sinyallerini belirle 2. Doğruluk tablosunu kullanarak giriş ve çıkış arasındaki bağıntıyı oluştur 3. Tasarım için gerekli en sade ifadeyi elde et 4. Devreyi kur Devre değişik mantık kapıları kullanılarak gerçekleştirilebilir. Bunlardan en önemlileri. VE-VEYA (AND-OR) 2. VEDEĞİL-VEDEĞİL (NAND-NAND) 3. VEYA-VE (OR-AND) 4. VEYADEĞİL-VEYADEĞİL (NOR-NOR) 2 BÖLÜM 4: MANTIK DEVRE TASARIMLARI P=XY' + X'Y + (WZ)' Q = (XY(WZ)' + XY' + X'Y + (WZ)')' ifadesini sağlayacak mantık devresini oluşturunuz. BÖLÜM 4: MANTIK DEVRE TASARIMLARI ÖRNEK: Doğruluk tablosu verilen devreyi tasarlayınız Devre ÇT formunda yazılıp sadeleştirilirse P = X'Y + XZ bağıntısı elde edilir. 3 4 BÖLÜM 4: MANTIK DEVRE TASARIMLARI VEDEĞİL/VEYADEĞİL MANTIK KAPILARI İLE TASARIM Bazı devreler VE, VEYA, DEĞİL mantık kapıları ile gerçekleştirildiğinde maliyetleri artmakta, devre boyutları büyümektedir. Bu gibi devrelerde VEDEĞİL/VEYADEĞİL mantık kapılarını kullanmak daha uygun olmaktadır. Temel mantık kapılarının VEDEĞİL/VEYADEĞİL ile gerçekleştirilmesi aşağıdaki tabloda verilmiştir. BÖLÜM 4: MANTIK DEVRE TASARIMLARI 5 6

20 BÖLÜM 4: MANTIK DEVRE TASARIMLARI ÖRNEK: F = ABC + A BC bağıntısını VEDEĞİL mantık kapıları ile gerçekleştirelim. BÖLÜM 4: MANTIK DEVRE TASARIMLARI ÖRNEK: F = (A+B) (A +B) (A +B ) bağıntısını VEYADEĞİL mantık kapıları ile gerçekleştirelim. 7 8 BÖLÜM 4: MANTIK DEVRE TASARIMLARI VEDEĞİL/VEYADEĞİL Mantık kapıları ile oluşturulan devreler çizim yöntemi ve matematik yöntem olmak üzere iki şekilde sadeleştirilir. Çizim yönteminde birbirine seri bağlı 2 nin kuvveti (2,4, )sayısındaki DEĞİL ifadeleri birbirini yok eder. Matematik yönteminde ise ifade VEDEĞİL ile gerçekleştirilecekse çarpım durumuna, VEYADEĞİL ile gerçekleştirilecekse TOPLAM durumuna getirilir. ÖRNEK: F=A.B.C + A'.B.C + A.B.C ifadesini VEDEĞİL mantık kapıları ile tasarlayalım İfadenin iki kez DEĞİL i alınarak; F = A.B.C+A'.B.C +A'.B'.C' = A.B.C+A.B.C'+A.B.C DeMorgan kuralı uygulanarak ifade çarpım durumuna getirilir. F = (A.B.C).(A.B.C ).(A.B.C ) Bulunan ifadeden devre çizilir. BÖLÜM 4: MANTIK DEVRE TASARIMLARI 9 BÖLÜM 5: KARNAUGH HARİTASI KARNAUGH HARİTASI Karnaugh Haritası (K-Haritası) grafik olarak sadeleştirme yöntemidir Komşu hücreler kullanılarak gerçekleştirilir En sade ifade gerçekleştirilebilir Kullanımı hızlı ve basittir Karşılaşılan problemler: Sınırlı sayıda değişkene uygulanabilir (4 ~ 8) Doğruluk tablosundan K-haritasına dönüştürmede hata olabilir Sonuçların değerlendirilmesinde hata BÖLÜM 5: KARNAUGH HARİTASI 2

21 BÖLÜM 5: KARNAUGH HARİTASI n değişken sayısı olmak üzere bir karnaugh haritasında 2 n sayıda hücre bulunmaktadır. Karnaugh haritası gray kodlar kullanılarak oluşturulabilir BÖLÜM 5: KARNAUGH HARİTASI Doğruluk Tablosu Komşular Belli Değil A B C D minterm m m m2 m3 m4 m5 m6 m7 m8 m9 m m m2 m3 m4 m5 Gray Kod A B C D minterm m m m3 m2 m6 m7 m5 m4 m2 m3 m5 m4 m m m9 m8 3 4 BÖLÜM 5: KARNAUGH HARİTASI ABCD AB CD BÖLÜM 5: KARNAUGH HARİTASI K-Haritasında herhangi bir hücrenin doğrudan (sağ-sol-alt-üst) 4 komşusu vardır. 2 boyutlu bir dizide max 4 komşu hücre vardır. AB A CD C B D AB C 4 değişkenli K-haritası 3 değişkenli K-haritası B A C 5 6 BÖLÜM 5: KARNAUGH HARİTASI Doğruluk Tablosundan K-haritasının elde edilmesi Doğruluk tablosundan K-haritası elde edilirken doğruluk tablosundaki satır sayısı kadar K-haritasının hücresi olması gerekir. A B C D F A x x x x x x x x x x x x x x x x AB CD m m2 C m m3 m5 m3 m7 B m5 m9 D BÖLÜM 5: KARNAUGH HARİTASI Doğruluk tablosundaki çıkış değerleri K-haritasına aktarılır A B C D F AB CD C Satır ve sütunlardaki ve lere dikkat ediniz! A B D 7 8

22 BÖLÜM 5: KARNAUGH HARİTASI GRUPLANDIRMA Eğer iki aynı değerli hücre birbirine bitişikse bunlar komşu hücre olarak ifade edilir ve AB A CD gruplandırılır. AB C D AB C Bu komşular işaretlenir. AB C D Bir değer birden fazla grupta D yer alabilir C Grup boyutu, 2 ve 2 nin katları şeklinde meydana gelir ler yada lar grup yapılabilir. B 9 BÖLÜM 5: KARNAUGH HARİTASI Gruplar en çok sayıda elemanı kapsayacak şekilde oluşturulur Gruplandırma yapılan elemanların tamamı bir gruba dahil edilmelidir. Haritanın silindirik şekilde olduğu düşünülerek sağ-sol hücreler ile yukarı-aşağı hücreler komşu olarak alınmalıdır. A BÖLÜM 5: KARNAUGH HARİTASI Bu bölümde kullanılan kaynaklar:. Hüseyin EKİZ, 23, Mantık Devreleri, Değişim Yayıncılık, Sayfa: Sajjan G. Shjiva, 998, Introduction to Logic Design, Markel Dekker Inc. Sayfa: Herb Kaufman, ECE 273 Digital Systems Ders Notları, 2

23 VI. HAFTA BÖLÜM 6: KARNAUGH HARİTASI (DEVAM) BÖLÜM 6: KARNAUGH HARİTASI (DEVAM) Karnaugh Haritasından Eşitliklerin Yazılması AB A Sadeleştirilmiş ÇT ifadesini elde CD etmek için ler gruplandırıldıktan sonra: AB C Bir hücreden diğerine geçerken D değişkenin değerinin değişip değişmediği kontrol edilir. Sonra C aşağıdaki tabloya göre ifade oluşturulur. B Değişken değişirse Değişken ise Değişken ise Dikkate alınmaz Değil i alınır Kendisi alınır 2 BÖLÜM 6: KARNAUGH HARİTASI (DEVAM) İki Değişkenli K-Haritası Satır A B F(A,B) 2 3 A B B s s s2 s3 Doğruluk tablosundan satır, A=, B= F(A,B) = A + B BÖLÜM 6: KARNAUGH HARİTASI (DEVAM) Satır A B F(A,B) 2 3 Satır A B F2(A,B) 2 3 A B A B F(A,B) = A B + AB F2(A,B) = AB 3 4 BÖLÜM 6: KARNAUGH HARİTASI (DEVAM) Üç Değişkenli K-Haritası Satır A B C F(A,B,C) A BC F(A,B,C) = Σm(,2,6) 2 6 F (A,B,C) = Σm(,3,4,5,7) F(A,B,C) = ΠM(,3,4,5,7) F(A,B,C) = A C +BC BÖLÜM 6: KARNAUGH HARİTASI (DEVAM) Aritmetik olarak verilen bir fonksiyonun K-Haritasını elde etmek için fonksiyonun ÇT formuna getirilmesine gerek yoktur. ÖRNEK: F(A,B,C) = ABC +B C+A A BC B C (BC= satır) A (A= sütun) ABC 5 6

24 BÖLÜM 6: KARNAUGH HARİTASI (DEVAM) K-haritası Boolean Matematiğinin temel teoremlerini de içerir. ÖRNEK: XY+X Z+YZ = XY+X Z (Consensus Thm.) BÖLÜM 6: KARNAUGH HARİTASI (DEVAM) Eğer bir fonksiyon iki yada daha fazla sayıda minumum (ikili) çarpımlar toplamı formunda ise bu formlar K-haritasından bulunabilir. X YZ X Z XY+X Z+YZ YZ (consensus term) XY X YZ XY+X Z ÖRNEK: F(a,b,c) = Σm(,,2,5,6,7) a a bc bc F = a b +bc +ac F = a c +bc +ab 7 8 BÖLÜM 6: KARNAUGH HARİTASI (DEVAM) 4 DEĞİŞKENLİ K- HARİTASI F(A,B,C,D) =Σ m(,2,5,7,8,9,,,2,3,4,5) BÖLÜM 6: KARNAUGH HARİTASI (DEVAM) =A+BD+B D AB CD B D BD A BÖLÜM 6: KARNAUGH HARİTASI (DEVAM) BÖLÜM 6: KARNAUGH HARİTASI (DEVAM) 2

25 VII. HAFTA K- HARİTASI (DEVAM) K- HARİTASI (DEVAM) AB A CD C B CD BD AB D TOPLAMLAR ÇARPIMI: ÖRNEK: F(A,B,C,D) = Σ(,,2,5,8,9,) ifadesini toplamlar çarpımı şeklinde yazınız. ÇÖZÜM: K-Haritası üzerinde lar F fonksiyonunun elemanı olmayan mintermleri yani F fonksiyonunu ifade etmektedir. lar gruplandırılarak F in tümleyeni elde edilir. F = AB + BD +CD DeMorgan kuralı uygulanarak F ifadesi F = (A +B )(B +D)(C +D ) şeklinde yazılır. K- HARİTASI (DEVAM) AB A CD C Daha büyük bir grubun üyesi olan bir yada birden fazla hücrenin bulunduğu grup ÜYE (implicant) olarak ifade edilir Olabildiği kadar büyük gruplar ise birincil üye (prime D implicant) olarak ifade edilir. Bunlar herhangi bir değişkeni sadeleştirmek için başka bir Implicants ifade ile birleştirilemez. B Prime Implicants Eğer tek hücreler grup olamıyor ise bunlarda birincil üye olarak ifade edilebilir K- HARİTASI (DEVAM) Eğer bir birincil üye en az bir tane diğer birincil üyenin elemanı olmayan hücreye sahipse önemli birincil üye essential prime implicant olarak adlandırılır. Eğer birincil üye önemli birincil üye değilse ikincil üye secondary prime implicant Sadeleştirilmiş bir ifade en az sayıda ikincil üye içermeli ve bütün önemli birincil üyeleri kapsamalıdır. A) Birincil üyelerin tamamını belirle (En büyük gruptan en küçük gruba doğru) B) Sadeleştirilmiş şekli elde etmek için ) Önemli birincil üyeleri belirle 2) En az sayıda ikincil üyeleri yaz K- HARİTASI (DEVAM) CD AB A CD C B B C F = BD+B C+AC m2 sadece B C nin elemanıdır B C önemli birincil üye BD m4 sadece AC nin elemanıdır AC önemli birincil üye m5 sadece BD nin elemanıdır BD önemli birincil üye CD nin her elemanı diğer grupların üyesi olduğundan AC önemli birincil üye değildir. Sadeleştirilmiş ifade de bütün önemli birincil üyeler yazılmalıdır. D K- HARİTASI (DEVAM) FARKETMEZ Durumları Sadeleştirilmiş ifadeleri elde etmek için K- Haritası üzerinde veya yerine farketmez değerleri (x) eklenebilir. Aritmetik ifadelerde kullanılması zordur K-Haritası ile sadeleştirme yapılırken kolaylıkla kullanılabilir. K-Haritasında eğer daha büyük bir grup oluşturmada kolaylık sağlayacaksa farketmez değeri (x) eklenir. Aksi durumda eklemeye gerek yoktur.

26 K- HARİTASI (DEVAM) BD* AB A CD C BC* x x x x x x B A* D Verilen K-Haritasında farketmez durumlarıda dikkate alınarak gruplandırma yapılır. F = A+BC+BD K- HARİTASI (DEVAM) 5-Değişkenli K- Haritası BC DE A = BC DE A = BC DE A= BC DE A= ƒ(a,b,c,d,e) = Σm(2,5,7,8,, 3,5,7,9,2,23,24,29 3) = C E + A B' E + B C' D' E' + A' C' D E' K- HARİTASI (DEVAM) K- HARİTASI (DEVAM) CD EF AB = değişkenli K- Haritası CD EF AB = Bu bölümde kullanılan kaynaklar:. Herb Kaufman, ECE 273 Digital Systems Ders Notları, CD EF AB = CD EF AB = CD EF AB = ƒ(a,b,c,d,e,f) = Σm(2,8,,8,24, 26,34,37,42,45,5, 53,58,6) = D' E F' + A D E' F + A' C D' F' CD EF AB = CD EF AB = CD EF AB =

27 VIII. HAFTA SAYISAL ENTEGRELER BÖLÜM 7. SAYISAL ENTEGRELER Sayısal Entegreler çeşitli şekillerde gruplandırılabilir:. Yapılarında kullanılan eleman çeşidine göre 2. Entegre içerisinde bulunan mantık elemanı ve transistör sayısına göre 3. Kullanılan entegre teknolojisine göre Yapılarında kullanılan eleman çeşidine göre entegreler i. Bipolar entegreler (DTL, TTL, HTL, ECL, vb.) Transistörler kullanılarak üretilen entegre çeşitleridir. Kullanılan elemanlara göre farklı isim alırlar. Direnç Diyot Mantık Devresi (RDL): Bu mantık devresi diyot ve dirençler kullanılarak üretilmektedir. Sabit çıkış veremediğinden ve tersleme yapamadığından kullanılmamaktadır. 2. Direnç Transistör Mantık Devresi (RTL): İlk ticari olarak üretilen entegre tipidir. 3V-3.6V çalışma gerilimine sahiptir. 7-9 kodları ile başlar BÖLÜM 7. SAYISAL ENTEGRELER 3. Diyot Transistör Mantık Devresi (DTL): Diyot ve transistörler kullanılarak üretilen bir entegredir. RTL entegrelere göre daha hızlı ve güç kararlılığı olan entegredir. Çalışma gerilim 5 V civarındadır kodları ile başlar 4. Yüksek Eşikli Mantık Devresi (HTL): DTL entegredeki diyotlar yerine zener diyot kullanılarak üretilen entegredir. Gürültü bağımlılığı iyi olmasına karşılık yayılım gecikmesi en büyük olan entegredir. Besleme gerilimi 5 V olup 66 lı kodlarla ifade edilir (MC668 gibi) 5. Emiter Kuplajlı Mantık Devreleri (ECL): Entegreler içerisinde en hızlı çalışan elemanlardır. Düşük gürültü bağımlılığı ve yüksek güç harcaması nedeniyle Yüksek frekanslı uygulamalar için uygun değildir. Ayrıca TTL ve MOS elemanlarla uyumlu çalışmamaktadır. BÖLÜM 7. SAYISAL ENTEGRELER Transistör Transistör Mantık Devresi (TTL): En yaygın olarak kullanılan entegre grubudur. Giriş/Çıkış gerilim değerleri aşağıdaki şekilde verilmiştir. Genellikle 74XX kodu şeklinde gösterilir. 5 V civarında çalışma gerilimi vardır. Farklı özelliklerde üretilmektedir. Standart TTL 74XX, düşük güçlü TTL 74LXX, yüksek hızlı TTL 74HXX, Çok hızlı TTL 74SXX, düşük güç yüksek hızlı TTL 74HSXX yada geliştirilmiş çok hızlı TTL 74ASXX kodları ile ifade edilmektedir. BÖLÜM 7. SAYISAL ENTEGRELER ii. MOS entegreler (NMOS, PMOS,CMOS) EFT veya MOSFET kullanılarak üretilen entegrelerdir. N-kanal MOSFET kullanılarak üretilenler NMOS, p-kanal MOSFET kullanılarak üretilenler PMOS ve her ikisinin birlikte kullanıldığı entegreler ise CMOS olarak adlandırılmaktadır. TTL lere göre hızları yavaş olmasına karşılık daha çok sayıda elemanı kaplayabilir. Standart CMOS lar 74CXX veya 54CXX kodları ile gösterilmekte ve 3-5V besleme gerilimleri vardır. Hızlı CMOS lar 75HCXX şeklinde gösterilmekte ve besleme gerilimleri 2-6V civarındadır. BÖLÜM 7. SAYISAL ENTEGRELER Entegrelerin Çalışma Değerleri Mantık devrelerinde kullanılan entegrelerin çeşitli çalışma karakteristikleri bulunmaktadır. Bu karakteristik değerler üretici firma tarafından verilmektedir.. Geçiş zamanı: Bir sinyal üzerinde belirlenen (genellikle %-%9 arası) iki nokta arasındaki geçiş süresidir. Lojik dan Lojik e geçiş için geçen süre yükselme zamanı (tr), lojik den lojik a geçiş süresi de düşme zamanı (tf) olarak ifade edilir. 2. Yayılım Gecikmesi : Yayılım gecikmesi mantık devresinin girişine veya sinyali uygulandığında çıkışın tepki vermesi için geçen süredir. dan e geçiş süresi tplh, den a geçiş süresi de tphl olarak ifade edilmektedir. Bu iki değer eşit olmayabilir ve kullanılan elemana bağlı olarak farklı değerler alır.

28 BÖLÜM 7. SAYISAL ENTEGRELER BÖLÜM 7. SAYISAL ENTEGRELER Çıkış Kapasitesi (Fan Out): Mantık devresinin tek çıkışından sürülebilecek max. Mantık devresi sayısını verir. I ILMax mantık seviyesinde bir mantık devresinin girişinden elde edilen max. Akım seviyesidir. I IHMax mantık seviyesinde bir mantık devresinin girişinin çektiği max. Akım seviyesidir. I OLMax mantık seviyesinde mantık devresinin çıkışına uygulanabilecek max. Akım seviyesidir. I OHMax mantık seviyesinde mantık devresinin çıkışından çekilebilecek max. Akım seviyesidir. BÖLÜM 7. SAYISAL ENTEGRELER Güç Harcaması : Bir mantık devresinin harcadığı güç değeridir. V CC : Besleme gerilimi. I CCH : mantık seviyesinde çekilen akım. I CCL : mantık seviyesinde çekilen akım I CC : devrenin ortalama akımı. P D : ortalama harcanan güç I LS fanout = I I HS fanout = I fanout = min OL IL OH IH { LSfanout,HS fanout} I CC P = V D I = CCH CC + I 2 I CC CCL BÖLÜM 7. SAYISAL ENTEGRELER Mantık devresinde kullanılmayan girişler aşağıdaki şekilde bağlanabilir BÖLÜM 7. SAYISAL ENTEGRELER Sayısal Göstergeler: Sayısal bilgiler çeşitli göstergeler kullanılarak okunmaktadır.. Yedi Parçali Göstergeler (7 Segment Displays) Sayisal göstergelerin bir çogu, -9 arasindaki rakamlari ve bazen onaltilik sistemdeki A-F harflerini göstermek için yedi parçali gösterge elemanlarini kullanirlar. Yedi parçali göstergeler, parçalardan her birisinden akim geçtigi zaman isik yayacak sekilde özellige sahip malzemelerden yapilirlar. içinden akim geçen parçalar isik yayar ve olusturulmak istenen sekil ortaya çikar. Parçalar için gerekli sinyaller, uygun kod çözücü / sürücüler üzerinden elde edilir. Örnegin; BCD'den yedi parçali sisteme dönüstürme işi 7446 veya 7447 entegreleriyle gerçeklestirilebilir. BÖLÜM 7. SAYISAL ENTEGRELER

29 BÖLÜM 7. SAYISAL ENTEGRELER Bu bölümde kullanılan kaynaklar:. Hüseyin EKİZ, 23, Mantık Devreleri, Değişim Yayıncılık, Sayfa: Class Notes.ppt

30 IX. HAFTA Birleşik mantık devreleri mantık devrelerinin temelini oluşturmaktadır. Birleşik mantık devrelerinde çeşitli giriş ve çıkışlar bulunmakta ve bunlar mantık kapıları yardımı ile bağlanmaktadır. Birleşik devrelerde çıkış girişin doğrudan fonksiyonudur. Yani herhangi bir gecikme veya hafıza elemanı bulunmamaktadır. (COMBINATIONAL LOGIC) 2 Birleşik mantık devrelerinin bir çok uygulama alanı olmasına rağmen genel olarak 4 başlıkta toplanabilir.. Kodlama ile ilgili devreler: Kodlayıcılar (encoders), Kod çözücüler (decoders), kod çeviriciler (code converters) 2. Çoklayıcı, veri seçici devreler (multiplexers, data selectors) 3. Azlayıcı, veri dağıtıcı devreler (demultiplexers, data distributors) 4. Karşılaştırma ve aritmetik işlemler ile ilgili devreler: Karşılaştırıcı (comparator), toplayıcı (adder), çıkartıcı (substractor), çarpıcı (multiplier) ÖRNEK: Aşağıda boolean ifadesi ve bu ifadeyi gerçekleştiren mantık devresi verilmiştir. 3 4 Birleşik Mantık Devresinin Tasarım Esasları: Birleşik mantık devresinin tasarımında aşağıdaki işlem basamakları takip edilir.. Problem belirlenir 2. Giriş ve çıkış değişkenlerinin sayısı belirlenir 3. Giriş ve çıkış değişkenlerine isim verilir 4. Giriş ve çıkış değişkenleri arasındaki bağıntı belirlenir, doğruluk tablosu çizilir. 5. Çıkışlar için uygun boolean ifadesi elde edilir 6. Bulunan boolean ifadesi sadeleştirilir 7. Mantık devresi çizilir. Tasarımı yapılan devrede aşağıdaki özelliklere dikkat edilmesi gerekir. En az sayıda mantık kapısı olmalı 2. Her bir kapı en az sayıda girişe sahip olmalı 3. Devrenin yayılım zamanının düşük olması gerekir 4. Devre en az sayıda bağlantı içermesi gerekir 5. Her bir kapının sürme kapasitesinin altında eleman sürmesi 5 6

31 Kodlama ile ilgili mantık devreleri Aşağıdaki şekilde bir bilgisayara ait kod işleme blok diyagramı verilmiştir. Bilgisayarlar binary kodla çalışan elemanlardır. Bu yüzden giriş bilgisi bir kodlayıcı yardımıyla ASCII koda daha sonrada binary koda dönüştürülmektedir. MİB den elde edilen binary kod kod çevirici yardımıyla önce ASCII koda sonra da karakterlere dönüştürülmektedir. 7 Kodlayıcılar (Encoders) Kodlayıcılar 2 n adet girişten n-bit çıkış veren mantık devreleridir. Genellikle aynı anda girişlerden yalnızca biri aktiftir. Genel mantık devresi tasarım ilkeleri kodlayıcılar için kullanılabilmektedir. 2 n adet girişin sadece n adet satırı kullanılmakta diğer satırlar fark etmez durumlarını ifade etmektedir. Aşağıdaki şekilde 4/2 kodlayıcı devresi görülmektedir. Devrenin 4 girişi ve 2 çıkışı bulunmaktadır. Doğruluk tablosundan görüleceği gibi girişlerin aynı anda sadece 8 bi i ktif l kt b k d ğ i ÖRNEK : 8/3 binary encoder (octal-to-binary) A = D + D 3 + D 5 + D 7 A = D 2 + D 3 + D 6 + D 7 A 2 = D 4 + D 5 + D 6 + D 7 9 Kodlayıcı devrelerde girişlerden aynı anda yalnızca bir tanesi aktif olmak zorundadır. Aksi takdirde çıkışlarda problem meydana gelir. Bu yüzden ticari olarak öncelikli kodlayıcı olarak bilinen entegreler üretilmektedir. 7447, 74LS48 gibi entegreler öncelikli kodlayıcı entegrelerdir. Bu entegreler birden fazla girişin aynı anda aktif olması durumunda sadece bir girişe (genellikle yüksek değerli olan) müsaade ederler. Aşağıdaki lu girişten BCD çıkış veren kodlama devresinin doğruluk tablosu ve blok diyagramı verilmiştir. 2

32 A A A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 luk sistemden BCD ye dönüştürme işlemi çeşitli devreler yardımıyla gerçekleştirilebilmektedir. Aşağıda verilen diyot matris devresi buna bir örnektir. a b c d Devrede A3 nolu butona basıldığında sinyali elde edilecektir. 3 4 Bu bölümde kullanılan kaynaklar:. Hüseyin EKİZ, 23, Mantık Devreleri, Değişim Yayıncılık, Sayfa:

33 X. HAFTA Kod Çözücüler (Decoders) n bit binary girişten en fazla 2 n kadar çıkış veren mantık devresidir. (COMBINATIONAL LOGIC) 2-2 Decoder giriş 2 çıkış olan decoder devresidir. 2-4 Decoder 2 giriş 4 çıkış olan decoder devresidir Aktif Decoder Aynı anda sadece bir çıkış veren decoder devresidir. 5 6