SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR"

Transkript

1 1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği en küçük ve en büyük değerleri bulunuz. SAYI: Rakamların tek başına yada birlikte bir çokluk ifade edecek biçimde kullanılmasına sayı denir. Bu tanıma göre her rakam bir sayıdır. Fakat her sayının bir rakam olması gerekmez. ÖRNEK: a) 4 hem rakam hem sayıdır. b) 27 sayıdır fakat rakam değildir. DOĞAL SAYILAR Sonlu bir kümenin eleman sayısını belirten sayıya doğal sayı denir. s ( A) 0 { 1} ( ) 1 { 1 2} ( ) { } ( ) A = = A = a s A = A = a, a s A = 2 A = a, a, a s A = A = { a1, a2,..., an} s ( A) = n, sayılarının her birine doğal sayı, bu sayılardan oluşan { 0,1, 2,3,4,..., n,... } N = kümesine doğal sayılar kümesi denir. SAYMA SAYILARI Sayma işlemine 1 den başladığımız için + = S = { 1,2,3, 4,..., n,... } kümesi denir. + N kümesine pozitif doğal sayılar kümesi de denir. Tanım: { 0,2,4,6,8,..., 2 n,...} kümesine çift doğal sayılar kümesi denir. Tanım: { 1,3,5,7,...,2 n 1,... } kümesine tek doğal sayılar kümesi denir. N kümesine sayma sayılar

2 2 SAYILARIN EŞİTLİĞİ Değerleri aynı olan iki sayıya eşit sayılar denir. 2 = 2, 8 = 8, 37 = gibi. Değerleri farklı olan iki sayıya eşit değildir denir. 2 3, 5 8, gibi. Her a, b, c doğal sayısı için EŞİTLİĞİN ÖZELLİKLERİ 1. a = a dır. ( Yansıma özelliği ) 2. a = b ise b = a dır. ( Simetri özelliği ) 3. a = b ve b = c ise a = c dir. ( Geçişme özelliği ) Doğal Sayılar kümesinde eşitlik bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. DOĞAL SAYILAR KÜMESİNDE DÖRT İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ i) Kapalılık Özelliği: Toplama İşleminin Özellikleri a, b N için ( a + b) N dır. Yani doğal sayılar kümesi + işlemine göre kapalıdır. ii) Değişme özelliği: vardır. a, b N için a + b = b + a dır. Yani doğal sayılar kümesinde + işleminin değişme özelliği iii) Birleşme özelliği: a, b, c N için a + ( b + c) = ( a + b) + c dir. Yani doğal sayılar kümesinin + işlemine göre birleşme özelliği vardır. iv) Birim ( Etkisiz ) Eleman: dır. a N için a + 0 = 0 + a = a dır. Yani doğal sayılar kümesinde + işleminin birim elemanı 0 v) Sadeleştirme Özelliği: a, b, c N için ( a + c = b + c) a = b dir.

3 3 Çıkarma İşleminin Özellikleri i) Doğal sayılar kümesi çıkarma işlemine göre kapalı değildir. ii) Doğal sayılar kümesinde çıkarma işleminin değişme özelliği yoktur. iii) Doğal sayılar kümesinde çıkarma işleminin birleşme özelliği yoktur. Örnek: a) 2 5 N b) (4 3) = 7 1 = 6 c) 7 (4 3) (7 4) 3 (7 4) 3 = 3 3 = 0 dür. ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ i) Kapalılık Özelliği: a, b N için ( a. b) N dır. ii) Değişme özelliği: a, b N için a. b = b. a dır. iii) Birleşme özelliği: a, b, c N için a. ( b. c) = ( a. b). c dir. iv) Birim ( Etkisiz ) Eleman: a N için a.1 = 1. a = a dır. Yani doğal sayılar kümesinde. işleminin birim elemanı 1 dir. v) Çarpımın Sadeleşme Özelliği: a, b, c N ve 0 c için (.. ) a c = b c a = b dir.

4 4 Dağılma Özellikleri Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine soldan dağılma özelliği: a, b, c N için a. ( b + c) = a. b + a. c dir. Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine sağdan dağılma özelliği: a, b, c N için ( a + b). c = a. c + b. c dir. Soru: x N, 3x + 12 = 14 açık önermesinin doğruluk kümesini bulunuz. Çözüm: 3x + 2 = 14 3x + 2 = ( + nın tanımı ) 3x = 12 ( + nın sadeleştirme özelliği ) 3x = 3.4 ( Çarpımın nın tanımı ) x = 4 (Çarpımın sadeleştirme özelliği) Açık önermenin doğruluk kümesi { 4 } tür. DOĞAL SAYILARIN KUVVETİ Tanım: x ve n birer doğal sayı ve n 0 olmak üzere, x. x. x. x..... x = x n tan e n dir. n x de, x e taban, n e üs ya da kuvvet denir. n x x üssü n ya da x in n-inci kuvveti diye okunur. Tanım: x sıfırdan farklı bir doğal sayı olmak üzere, 0 x = 1dir. 0 0 belirsizdir. Örnek: a) 3 4 = = 81 b) 4 0 = 6 0 = 8 0 = 14 0 = 1 dir.

5 5 ÜSLÜ SAYILARIN ÖZELLİKLERİ x, y N ve m, n sıfırdan farklı doğal sayılar olmak üzere, x m. x n = x m + n x m. y m = (x. y) m (x m ) n = x m. n dir. İspat: m n x. x = x. x... x. x. x... x (Üslü sayıların tanımı) m tan e n tan e m+ n tane ( m n) = x. x. x... x = x + m m x. y = x. x... x. y. y... y ( Üslü sayıların tanımı) = m tan e m tan e = ( x. y).( x. y).....( x. y) ( Çarpmanın değişme özelliği) ( x. y) m n tan e m tan e ( x m ) n = x m. x m..... x m ( Çarpmanın tanımı ) = n tan e m m... m x m. n = x (1. Özellikten) Soru: Soru: n n+ = 16 ise n kaçtır? sayısının sondan kaç rakamı sıfırdır? Soru: a ve b pozitif doğal sayıları için Soru: n N olmak üzere, 2 n = x ise 4 54.a = b ise a + b nin en küçük değeri kaçtır? n+ sayısının x cinsinden ifadesi nedir? BÖLME İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ i) Doğal sayılar kümesi bölme işlemine göre kapalı değildir. ii) Doğal sayılar kümesinde bölme işleminin değişme özelliği yoktur. iii) Doğal sayılar kümesinde bölme işleminin birleşme özelliği yoktur.

6 6 BÖLME VE KALAN ÖZELLİKLERİ B 0 ve A, B, C, K tamsayılar olmak üzere, A : : K B C Şeklinde verilen bir bölme işleminde, A ya bölünen, B ye bölen, C ye bölüm, K ya kalan denir. Burada, A = B. C + K eşitliğine bölme özdeşliği denir. Kalan, bölenden küçüktür. ( K < B ) K = 0 ise A, B ye tam bölünür. Bir A doğal sayısının B ile bölümünden kalan 0, 1, 2,..., ( B 1 ) olabilir. Kalan, bölümden de küçük ise bölenle bölüm yer değiştirirse kalan değişmez. Yani, K < B ve K < C ise A : : K B C ve A : : K C B olur. Soru: a doğal sayısının b ile bölümü 10 kalan 8 dir. a doğal sayısının 5 ile bölümünden elde edilen bölümü ve kalanı bulunuz. Soru: 16 ya bölündüğünde bölüm a, kalan 2 a olan en büyük doğal sayıyı bulunuz. ( a N ) Uyarı: Bir a sayısının n ile bölümünden kalan x, bir b sayısının n ile bölümünden kalan y ise; 1. ( a + b ) nin n ile bölümünden kalan ( x y) 2. ( a. b ) nin n ile bölümünden kalan (. ) Eğer ( x + y) veya (. ) + dir. x y dir. x y n den büyükse tekrar n e bölerek kalan bulunur. Soru: x sayısının 5 ile bölümünden kalan 3, y sayısının 5 ile bölümünden kalan 4 ise ( x y) 5 ile bölümünden kalan kaçtır? + sayısının

7 7 TABAN ARİTMETİĞİ DOĞAL SAYININ BASAMAKLARI Bir doğal sayının rakamları kadar basamağı vardır denir. Örnek: a, b, c, d birer rakam ve a sıfırdan farklı olmak üzere a sayısı bir basamaklı ab sayısı iki basamaklı abc sayısı üç basamaklı abcd dört basamaklıdır. Taban: Bir A doğal sayısı a, b, c, d < x olmak üzere, A = a. x 3 + b. x 2 + c. x 1 + d. x 0 = ( abcd ) biçiminde x yazılabiliyorsa A sayısı x tabanına göre yazılmıştır denir. Buna göre, = = ( ) = = ( 24) = = ( 325) 10 ( 13402) ( 1102) = = = dur Buna göre 6,24,325 sayılarının tabanı 10 dur. Bu işlemi tüm doğal sayılar için yapabildiğimizden tüm doğal sayılar 10 tabanına göre yazılmıştır. Bu yüzden doğal sayılara ayrıca 10 tabanı yazılmaz. Uyarı: ab = 10.a + b abc = 10 2.a + 10.b + c abcd = 10 3.a b + 10c + d abcde = 10 4.a b c + 10.d + e Uyarı: a b c d e beş basamaklı doğal sayısı için, a b c d e = a b c d e = 1 : Birler basamağı 10 1 = 10 : Onlar basamağı 10 2 = 100 : Yüzler basamağı 10 3 = 1000 : Binler basamağı 10 4 = : On binler basamağı

8 8 Soru: ab ve ba iki basamaklı sayılardır. ab + ba = 88 ise a.b nin en küçük değeri kaçtır? Soru: abc, bca, cab üç basamaklı sayılardır. abc + bca + cab = 1221 ise a + b + c =? Soru: abc ve cba üç basamaklı sayılar, a = 3.c ve abc cba = 594 ise abc biçiminda kaç tane sayı yazılabilir? Soru: ab iki basamaklı sayısı rakamları toplamının 7 katına eşit olduğuna göre, bu sayılardan kaç tane vardır? Teorem: azalır. Bir A doğal sayısının x ler basamağı k kadar artar ya da azalır ise sayı k. x kadar artar ya da İspat: = n basamaklı doğal sayı olsun. Sayı A ( a, a, a,..., a, a ) n n 1 n x ler basamağındaki rakam a p ve bu rakam k kadar artmış ya da azalmış ise, n 1 n 2 p = n.10 + n ( p ) ; ( 10 p x = ) n ( 1 n 2 p p a ) 1 n an ap a1.10 k.10 A a a a k a = ( ) p 1 A = k.10 = A k. x dir. Soru: A doğal sayısının birler basamağı 2 azaltılır, onlar basamağı 4 azaltılır ve yüzler basamağı 3 artırılırsa A sayısında nasıl bir değişme olur? Soru: A, 3 basamaklı bir doğal sayıdır. A sayısı kaç basamaklıdır? Soru: sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır? 10 Tabanında Verilen Bir Sayının Başka Bir Tabanda Yazılması 10 tabanında varilen bir sayıyı başka bir tabanda yazmak için verilen sayıyı ardışık olara istenen tabana böleriz. Soru: 13 sayısını 2 tabanında yazınız. Soru: ( 93) ( x) = ise x =? 10 3

9 9 Herhangi Bir Tabanda Verilen Bir Sayının 10 Tabanında Yazılması ( abcde ) sayısını ( ) x abcde a. x b. x c. x d. x e. x x Soru: ( 2102) ( x) = ise x =? 3 10 Soru: ( 231) ( x) = ise x =? 4 5 Soru: ( 101) ( a5) 2 6 = biçiminde 10 tabanına çeviririz. = ise a nın değeri kaçtır? Soru: 6 tabanındaki 3 basamaklı basamakları farklı en büyük sayıdan, 6 tabanındaki iki basamaklı en küçük sayıyı çıkardığımızda yine bu tabanda hangi sayıyı elde ederiz? Soru: ( 35) ( 24) ( x) + = ise x kaçtır? Soru: ( 31) ( 12) ( x) = ise x kaçtır? Soru: ( 34 ).( 24) ( x) = ise x kaçtır? FAKTÖRİYEL 1 den n e kadar olan tüm sayıların çarpımına n faktöriyel denir ve n! Biçiminde gösterilir. 0! = 1 1! = 1 2! =2.1 = 2 3! = = 6 4! = = 24 8! = 8.7! 12! = ! : : n! = n.(n-1)! n! = n.(n-1).(n-2) dir. (n+2)! = (n+2).(n+1).n! biçimindedir. Soru: Aşağıdakileri hesap ediniz. a) 10! = k.8! ise k kaçtır? b) (n+3)! = k.(n+1)! ise k nedir? c) (n+1)! = k.(n-2)! ise k nedir? Soru: ( ) ( ) ( ) n + 3! n + 2! = 42. n + 1! + n! ise n kaçtır? Soru: A ve n birer doğal sayı ve 25! = a.3 n ise en büyük n doğal sayısı kaçtır?

10 10 Uyarı: a ve x birer doğal sayı olmak üzere a x ve a! içinde x çarpanlarının sayısı x in en büyük asal çarpanının a! içindeki sayısına eşittir. Soru: 42! içinde kaç tane 6 çarpanı vardır? Soru: 56! sayısının sondan kaç rakamı sıfırdır? Asal Sayı Bir ve kendisinden başka tam böleni olmayan, 1 den büyük doğal sayılara, asal sayı denir. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,... sayıları birer asal sayıdır. BİR SAYININ ASAL ÇARPANLARI A bir doğal sayı x, y, z asal sayılar ; n, m, p doğal sayı olmak üzere A = x n. y m. z p yazılışına A sayısının asal çarpanlarının çarpımı biçiminde yazılışı denir. Soru: 12 ve 1400 sayılarını asal çarpanlarının çarpımı biçiminde yazınız. Soru: a, b ve c asal doğal sayılar olmak üzere, a.b = 21, a.c = 15, c.d = 40 ise a +b +c +d =? Uyarı: a) 1 asal sayı değildir. b) 2 sayısı hem en küçük asal sayı hem de çift olan tek asal sayıdır. c) Herhangi bir asal sayının bölenlerinin kümesi iki elemanlıdır. BÖLÜNEBİLME KURALLARI 2 İle Bölünebilme: Birler basamağı çift olan doğal sayılar 2 ile tam bölünür. Soru: 15a üç basamaklı sayısı 2 ile tam bölünüyor ise a nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? 3 İle Bölünebilme: Rakamları toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 e tam bölünür. Soru: 2a5 üç basamaklı sayısı 3 ile tam bölünüyor ise a nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? 4 İle Bölünebilme: Son iki basamağının (onlar ve birler) belirttiği sayı 4 ile tam bölünebilen doğal sayılar, 4 ile tam bölünür. Soru: 5a2 üç basamaklı sayısı 4 ile tam bölünebiliyor ise, a nın yerine kaç farklı rakam yazılabilir?

11 11 5 İle Bölünebilme: Birler basamağında 0 veya 5 olan doğal sayılar 5 ile tam bölünebilir. Soru: 5ab üç basamaklı sayı ve 5 ile tam bölünüyor. Bu sayı aynı zamanda 3 ile tam bölünüyor ise a nın yerine kaç farklı rakam yazılabilir. 6 İle Bölünebilme: Bir doğal sayı hem 2 hem de 3 e tam olarak bölünürse 6 ya tam bölünür. Soru: 54a üç basamaklı sayısı 6 ya tam bölünüyor ise a nın yerine kaç farklı rakam yazılabilir? 7 İle Bölünebilme: I. Yol: a 0, a 1, a 2,..., a n birer rakam ve A = (a n a n-1... a 1 a 0 ) n +1 basamaklı bir sayı olmak üzere ( a a a 2 ) ( a 3 +3.a 4 + 2a 5 ) +... sayısı 7 nin tam katı ise verilen sayı 7 ile tam bölünür. II. Yol: A doğal sayısı A = 10.a + b biçiminde yazıldığında a 2.b sayısı 7 nin katı ise A sayısı 7 ye tam bölünür. Soru: 1309 sayısı 7 ile tam bölünebilir mi? Soru: 2a46 dört basamaklı sayısı 7 ile tam bölünüyor ise a kaç olmalıdır? 8 İle Bölünebilme: Bir sayının son üç basamağındaki sayı ( yüzler, onlar ve birler basamağındaki rakamların oluşturduğu sayı ) 8 e tam bölünüyor ise verilen sayı 8 e tam bölünür. Soru: 25000, 30008, sayılarının 8 ile bölünüp bölünmediğini belirtiniz. 9 İle Bölünebilme: Rakamları toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür. Soru: 23a67 beş basamaklı sayısı 9 ile tam bölündüğüne göre, a nın yerine kaç farklı rakam yazılabilir? Soru: a bir rakam olmak üzere 25 basamaklı aaaa...a sayısının 9 ile bölümünden kalan 4 ise a kaçtır? 10 İle Bölünebilme: Birler basamağındaki rakamı sıfır olan her sayı 10 ile tam bölünür.

12 12 11 İle Bölünebilme: n N olmak üzere 0, 1, 2,..., n a a a a birer rakam, A = ( an an 1... a2 a1 a0 ) 1 olsun. A sayısı 11 ile tam bölünebiliyorsa (......) (......) n + basamaklı bir sayı a0 + a2 + a4 + + a2k + a1 + a3 + a5 + + a 2k farkı 11 in katıdır. Soru: 31254a, 6 basamaklı sayısı 11 ile tam bölünebiliyor ise a ne olmalıdır? 13 İle Bölünebilme: A doğal sayısı 10.a + b biçiminde yazıldığında a + 4.b sayısı 13 ile tam bölünebiliyor ise A doğal sayısı da 13 ile tam bölünür. Eğer a + 4.b sayısı hala çok büyük ise aynı kural tekrar uygulanabilir. Soru: 4095 sayısı 13 ile tam bölünebilir mi? 17 İle Bölünebilme: A doğal sayısı 10.a + b biçiminde yazıldığında a - 5.b sayısı 17 ile tam bölünebiliyor ise A doğal sayısı da 17 ile tam bölünür. Eğer a + 4.b sayısı hala çok büyük ise aynı kural tekrar uygulanabilir. Soru: 714 sayısı 17 ile tam bölünebilir mi? 19 İle Bölünebilme: A doğal sayısı 10.a + b biçiminde yazıldığında a + 2.b sayısı 19 ile tam bölünebiliyor ise A doğal sayısı da 19 ile tam bölünür. Eğer a + 2.b sayısı hala çok büyük ise aynı kural tekrar uygulanabilir. Soru: 456 sayısı 19 ile tam bölünebilir mi? Uyarı: a) Bir A doğal sayısı çarpanlarına tam bölünür. b) Bir A doğal sayısının en az bir tane pozitif tam böleni vardır. Soru: Bir sayının aşağıdaki sayılara tam bölünebilmesi için hangi koşullar gereklidir? a) 12 ( 12 = 3.4 ise hem 3 e hem de 4 e bölünmelidir) b) 14 ( 14 = 2.7 ise hem 2 ye hem de 7 e bölünmelidir) c) 15 ( 15 = 3.5 ise hem 3 e hem de 5 e bölünmelidir) d) 30 ( 30 = 5.6 ise hem 5 e hem de 6 ya bölünmelidir) e) 42 ( 42 = 6.7 ise hem 6 ya hem de 7 e bölünmelidir) Soru: 24 e tam bölünebilen 3 basamaklı kaç tane doğal sayı vardır? Soru: 34ab 4 basamaklı doğal sayısının 5 ile bölümünden kalan 2 dir. 34ab doğal sayısı 12 ile tam bölünüyor ise kaç tane ( a, b ) ikilisi vardır?

13 13 ORTAK BÖLENLERİN EN BÜYÜĞÜ İki ya da ikiden fazla doğal sayının her birini tam bölen sayıların en büyüğüne, bu sayıların ortak bölenlerin en büyüğü OBEB i denir. Soru: 60 ve 252 sayılarının OBEB ini bulunuz. Soru: Kenarlarının uzunlukları 200 cm ve 560 cm olan dikdörtgen biçimindeki bir karton kesilerek eşit ve en büyük boyutlu karelere ayrılacaktır. Bu kartondan bu koşula uyan kaç tane kare elde edilir? ARALARINDA ASAL SAYILAR Birden başka ortak böleni olmayan doğal sayılara aralarında asal sayılar denir. Örnek: 3 ile 5, 4 ile 7, 8 ile 15 aralarında asal sayılardır. Uyarı: İki sayının kendileri asal olmadıkları halde bu iki sayı aralarında asal olabilir. Soru: x ve y birer pozitif doğal sayı olmak üzere x + 1 ve y + 2 sayıları aralarında asaldır. ( x ) ( y ) = 40 ise x + y nin değeri kaçtır? Uyarı: a ve b aralarında asal sayılar ise OBEB(a, b) = 1 dir. ORTAK KATLARIN EN KÜÇÜĞÜ İki ya da ikiden fazla doğal sayının her birinin katı olan doğal sayılardan en küçüğüne, Bu sayıların ortak katlarının en küçüğü OKEK i denir. Soru: 40 ve 270 sayılarının OKEK ini bulunuz. Soru: Kenarları 40 cm ve 60 cm olan dikdörtgen biçimindeki levhalardan en az kaç tanesi bir araya getirilerek bir kare elde edilir? Soru: 6 ile bölündüğünde 4, 10 ile bölündüğünde 8, 14 ile bölündüğünde 12 kalanını veren üç basamaklı en küçük iki doğal sayının toplamı kaçtırr? Uyarı: 1. a ve b aralarında asal iki doğal sayı ise OKEK(a, b) = a.b dir. 2. a ve b doğal sayıları için a < b ise OBEB(a, b) a < b OKEK(a, b) dir. 3. a ve b doğal sayıları için a.b = OBEB (a,b). OKEK(a, b) dir. Soru: OBEB(24, x) = 6, OKEK(24, x) = 168 ise x kaçtır? Soru: OBEB(30, 48, x) = 6, OKEK(30, 48, x) = 5040 ise en küçük x doğal sayısı kaçtır?

14 14 BİR SAYININ DOĞAL SAYI OLAN BÖLENLERİNİN SAYISI VE TOPLAMI x1 x2 x3 A doğal sayısı a1, a2, a 3... asal sayı x1, x2, x3... N olmak üzere A = a1. a2. a3... biçiminde yazılsın. = dır. A nın doğal sayı olan bölenlerinin sayısı ( x ) ( x ) ( x ) x1 + 1 x2 + 1 x3 + 1 a1 1 a2 1 a3 1 A nın doğal sayı olan bölenlerinin toplamı =..... a 1 a 1 a dır. Soru: 120 sayısının pozitif bölenlerinin sayısını ve toplamını bulunuz? Soru: n N, A = n sayısının doğal sayı olan bölenlerinin sayısı 60 ise n =? BİR DOĞAL SAYININ POZİTİF BÖLENLERİNİN ÇARPIMI A doğal sayısının pozitif bölenlerinin sayısı n ise A sayısının pozitif bölenlerinin çarpımı n 2 = A dir. Soru: 12 nin pozitif tam bölenlerinin çarpımı kaçtır? Soru: Asal olmayan pozitif bölenleri toplamı 11 olan en küçük doğal sayının pozitif bölenlerinin çarpımı kaçtır? Soru: Üç basamaklı ve 6 ile bölünebilen en küçük sayının pozitif bölenlerinin çarpımı kaçtır? TAM SAYILAR + n N olmak üzere x + n = 0 açık önermesinin doğal sayılar kümesinde çözümü yoktur. x + n = 0 açık önermesini sağlayan sayı - n ile gösterilir. n doğal sayı değildir. Hem n N ları hem de - n leri kapsayan yeni bir sayı çeşidi gereklidir. Bu sayı çeşidine Tam Sayılar denir. Tam sayılar kümesi Z = {..., n,..., 2, 1,0,1, 2,..., n,... } Pozitif tam sayılar kümesi Z + = { 1,2,3, 4,..., n,... } dir. Negatif tam sayılar kümesi = {..., n,..., 4, 3, 2, 1} Z dir. Dikkat edilecek olursa 0 ne negatif ne de pozitif tam sayıdır. { 0} + Z = Z Z dir.

15 15 Uyarı: n N için n Z olduğundan N Z dir. + + N = 1,2,3, 4,..., n,... = Z dir. { } 1. Toplama İşlemi İki tam sayı toplanırken; TAM SAYILAR KÜMESİNDE İŞLEMLER a) İşaretleri aynı ise sayıları işaretsiz toplar, toplamın önüne işareti yazılır. b) İşaretleri farklı ise işaretsiz olarak büyük sayıdan küçüğünü çıkarır, büyük olanın işaretini bu sonucun önüne yazarız. Örnek: a) (+8) + (+3) = + (8 + 3) = + 11 b) (-8) + (-3) = - (8 + 3) = - 11 c) ( 8 ) + ( -3) = + ( 8 3) = + 5 d) ( -8 ) + ( 3 ) = - ( 8 3) = - 5 Toplama İşleminin Özellikleri 1.Kapalılık Özelliği: a, b Z için a + b Z dir. 2.Değişme Özelliği: a, b Z için a + b = b + a dır. 3.Birleşme Özelliği: a, b, c a + b + c = a + b + c dir. Z için ( ) ( ) 4. Birim ( Etkisiz ) Eleman: a Z için a + 0 = 0 + a = a olduğundan 0 + işleminin birim (Etkisiz) elemanıdır. 5. Ters Eleman: a dır. Z için a ( a) ( a) a 0 + = + = olduğundan a nın + işlemine göre tersi a Bu beş özellik sağlandığından ( Z,+) sistemi Değişmeli gruptur. 2. Çarpma İşlemi İki tam sayıyı çarparken önce sayıları işaretsiz olarak iki doğal sayının çarpımı gibi çarparız; şayet sayıların işaretleri aynı ise çarpımın önüne ( + ), sayıların işaretleri farklı ise çarpımın önüne ( ) yazarız.

16 16 Örnek: a) (+4). (+7) = + ( 4.7) = + 28 b) (-4). (-7) = + ( 4.7) = + 28 c) (+4). (-7) = - ( 4.7) = - 28 d) (-4). (+7) = - ( 4.7) = - 28 Çarpma İşleminin Özellikleri 1. Kapalılık Özelliği: a, b Z için a. b Z dir. 2. Değişme Özelliği: a, b Z için a. b = b. a dır. 3. Birleşme Özelliği: a, b, c.. = a. b. c dir. Z için a ( b c) ( ) 4. Birim ( Etkisiz ) Eleman: a Z için a.1 = 1. a = a olduğundan 1 çarpma işleminin birim (Etkisiz ) elemanıdır. Örnek: 3.x = 1 açık önermesini doğru yapan tam sayı yoktur. O halde tam sayılar kümesinde 3 ün tersi yoktur. Uyarı: Tam sayılar kümesinde çarpma işlemine göre her elemanın tersi olmadığından, ( Z, ) sistemi grup değildir. Soru: a, b, c negatif tam sayılar 3.a = 2.b, b = 2.c ise a + b + c nin en büyük değeri kaçtır? 3. Bölme İşlemi a nın b ye bölümünde ; a ve b aynı işaretli ise sonuç pozitiftir, a ve b ters işaretli ise sonuç negatiftir. Örnek: a) (+6) : (+2) = +(6:2) = +3 b) (-6) : (-2) = +(6:2) = +3 c) (-6) : (+2) = -(6:2) = -3 d) (+6) : (-2) = -(6:2) = -3 Uyarı: 1. Tam sayılar kümesi bölme işlemine göre kapalı değildir. 2. Tam sayılar kümesinde bölme işleminin değişme özelliği yoktur. 3. Tam sayılar kümesinde bölme işleminin birleşme özelliği yoktur.

17 17 Örnek: 3 a. Z b. Z Z 2 4 c. 12 : (6 : 2) = (12 :3) = 4 12 : (6 : 2) (12 : 6) : 2 (12 : 6) : 2 = (2 : 2) = 1 dir. İşlem Sırası İşlem yaparken öncelik sırası; 1. Parantez içleri 2. Kuvvet alma 3. Bölme, çarpma 4. Toplama, çıkarma biçimindedir. 2 2 Soru: (3 1) : ( ) =? Soru: (12 : 3 8 ). ( ) =? 3 Soru: ( ) ( ) : 3 8 =? Uyarı: Bir a tek sayısının tam bölenlerinin sayısı doğal sayı bölenlerinin sayısının 2 katıdır. Soru: 675 sayısının kaç tane tam sayı böleni vardır? TEK VE ÇİFT SAYILAR Tek Sayı: n Z olmak üzere 2n 1 kuralı ile elde ettiğimiz..., 3, 1,1,3,..., 2n 1... sayılarının her birine tek sayı denir. { : 2 1, Z } {..., 5, 3, 1,1,3,5,..., 2 1,... } T = x x = n n = n Çift Sayı: n Z olmak üzere 2n kuralı ile elde ettiğimiz..., 4, 2, 2, 4,...,2 n... sayılarının her birine çift sayı denir. { : 2, Z } {..., 4, 2, 2,4,6,...,2,...} Ç = x x = n n = n Uyarı: 2 ile tam bölündüğünde 0 kalanını veren ( 2 ile tam bölünebilen ) tam sayılara çift tam sayı denir.

18 18 Tek ve Çift Tamsayılar İle İlgili Özellikler 1.İki tek tamsayının toplamı ve farkı çift tamsayıdır. 2.İki tek tamsayının çarpımı tek tamsayıdır. 3.Biri tek ve diğeri çift olan iki tam sayının toplamı ve farkı tek tamsayıdır. 4.Biri tek ve diğeri çift olan iki tam sayının çarpımı çift tamsayıdır. 5.İki çift tamsayının toplamı, farkı ve çarpımı yine bir çift sayıdır. İspat: m, n, p, r Z olmak üzere x = 2n 1, y = 2m 1, a = 2 p, b = 2r tam sayılarını alalım. x. y = ( 2n 1 ).( 2m 1) = 4. n. m 2n 2m + 1 = 2. 2 n. m n m + 1 = 2. k + 1 tek sayıdır. k x. a = ( 2n 1 ).2. p = 2. 2 pn p = 2. t çift tamsayıdır. t Özet: Tek tam sayıyı T, Çift tam sayıyı Ç ile gösterelim. n N olmak üzere T ± T = T T ± Ç = T Ç ± Ç = Ç (T) n = T (Ç) n = Ç T. Ç = Ç T. T = T Ç. Ç = Ç Soru: a tek b çift doğal sayı olmak üzere aşağıdaki sayıların tek ya da çift olup olmadıklarını belirtiniz. I. 3 3 b a + b II. ( ) 2 a ( b) 2 b 5 a III. ( a + 1) + b IV. a 5 ( b 1) 4 2 DİZİ Tanım: Belli bir kurala göre artan ya da azalan sayılar grubuna dizi denir. Sonlu bir dizide n terim sayısı olmak üzere ( son sayı) ( ilk sayı) n = + 1 dir. Artım miktarı Soru: 8 den 20 ye kadar kaç tane tam sayı vardır? Soru: -6 dan 20 ye kadar kaç tane çift sayı vardır? Soru: 7, 10, 13,..., 94 dizisinde kaç tane sayı varrdır?

19 19 ARDIŞIK TAM SAYILAR n Z olmak üzere n, n + 1, n + 2,... sayılarına ardışık tam sayılar denir. Ardışık Tam Sayıların Toplamı: n.( n + 1) n = dir. 2 İspat: T = (n 1) + n + T = n + (n-1) T = (n +1) + (n +1) (n +1) = n. ( n +1 ) ise n. (n + 1) T = dir. 2 Uyarı: Bir a sayısının tam sayı olan tam bölenlerinin toplamı sıfırdır. Soru: toplamı kaçtır? Soru: 1 den n e kadar olan tam sayıların toplamı a, 5 den n e kadar olan tam sayılarınn toplamı b dır. a + b = 410 olduğuna göre n kaçtır? Soru: 100 den büyük 4 farklı doğal sayının toplamı 426 ise en büyük sayı en çok kaç olur? ARDIŞIK TEK TAM SAYILAR n Z olmak üzere 2n 1, 2n + 1, 2n + 3,... sayılarına ardışık tek tam sayılar denir. Ardışık Tek Tam Sayıların Toplamı: (2n 1) = n 2 dir. Soru: =? Soru: =? ARDIŞIK ÇİFT TAM SAYILAR n Z olmak üzere 2 n, 2n + 2, 2n + 4,... sayılarına ardışık çift tam sayılar denir. Ardışık Çift Tam Sayıların Toplamı: n = n. (n + 1) dir. Soru: =? Soru: Ardışık 12 çift tam sayının toplamı 372 olduğuna göre en küçük sayı kaçtır?

20 20 Uyarı: 3 ün katı olan ardışık sayılar 3k, 3k + 3, 3k + 6, 3k + 9,... biçiminde 4 ün katı olan ardışık sayılar 4k, 4k + 4, 4k + 8, 4k + 12,... biçiminde... n in katı olan ardışık sayılar nk, nk + 1.n, nk + 2n, nk + 3n,... biçimindedir. Soru: 4 ün katı olan ardışık 11 tam sayının toplamı 660 ise en büyük sayı kaçtır? Soru: 5 ile bölündüğünde 3 kalanını veren 500 den küçük olan doğal sayıların toplamı kaçtır? Soru: 5 ile bölündüğünde 3, 4 ile bölündüğünde 2 kalanını veren ardışık en küçük 10 doğal sayının toplamı kaçtır?

21 Dosya adı: SAYILAR KONU ANLATIMI Dizin: C:\Users\TOLGA\Desktop\INTERNET Şablon: C:\Users\TOLGA\AppData\Roaming\Microsoft\Templates\Nor mal.dotm Başlık: SAYILAR Konu: Yazar: EGESU Anahtar Sözcük: Açıklamalar: Oluşturma Tarihi: :30:00 Düzeltme Sayısı: 2 Son Kayıt: :30:00 Son Kaydeden: TOLGA Düzenleme Süresi: 3 Dakika Son Yazdırma Tarihi: :30:00 En Son Tüm Yazdırmada Sayfa Sayısı: 20 Sözcük Sayısı: 4.397(yaklaşık) Karakter Sayısı: (yaklaşık)

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol:

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol: EBOB - EKOK En Büyük Ortak Bölen (Ebob) İki veya daha fazla pozitif tamsayıyı aynı anda bölen pozitif tamsayıların en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve kısaca Ebob ile gösterilir. Örneğin,

Detaylı

12-A. Sayılar - 1 TEST

12-A. Sayılar - 1 TEST -A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç

Detaylı

SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI

SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI ASAL SAYILAR Asal sayılar, 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan 1' den büyük tamsayılardır. En küçük asal sayı, 2' dir. 2 asal sayısı dışında çift asal sayı yoktur. Yani, 2 sayısı dışındaki

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur? 07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin

Detaylı

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU MATEMATİK Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU Mesleki Matematik 1 TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Sayıları yazmak için kullandığımız işaretlere rakam denir. Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Detaylı

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3)": ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3): ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4 Üniversite Haz rl k Sözcükte Do al ve Say lar Söz Öbeklerinde ve Tam Say lar Anlam - I - I Kolay Temel Matematik. 8 ( + ) A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 6.! ( )": ( ) A) B) 0 C) D) E). 7. + 5 A) 6 B) 7 C) 8 D)

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz.

MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz. MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA A S A L Ç A R P A N L A R A A Y I R M A T a n ı m : Bir tam sayıyı, asal sayıların çarpımı olarak yazmaya, asal çarpanlarına ayırma denir. 0 sayısını asal çarpanlarına

Detaylı

ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1

ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 1. ve y aralarında asal iki doğal sayıdır. 7 y 11 olduğuna göre, y farkı 5. 364 sayısının en büyük asal böleni A) 3 B) 7 C) 11 D) 13 E) 17 A) B) 3 C) 4

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI 1. 1999 ÖSS a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere a+ b ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde c edilir? 3 a+ b A) B) c a+ 3b C)

Detaylı

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

6. Rakamları farklı, iki basamaklı farklı beş doğal sayının. 7. A = 7 + 11 + 15 + 19 + + 99 veriliyor.

6. Rakamları farklı, iki basamaklı farklı beş doğal sayının. 7. A = 7 + 11 + 15 + 19 + + 99 veriliyor. Bölüm: Doğal Sayılar ve Tamsayılar Test: Temel Kavramlar. abc ve cba üç basamaklı doğal sayılardır. abc cba = 97 olduğuna göre, abc biçiminde yazılabilecek en küçük doğal sayının rakamları toplamı A) B)

Detaylı

5. a ve b birer pozitif tam sayıdır. A) 1 B) 2 C) 3 D) 14 E) a ve b birer doğal sayıdır. 7. a ve b birer pozitif tam sayıdır.

5. a ve b birer pozitif tam sayıdır. A) 1 B) 2 C) 3 D) 14 E) a ve b birer doğal sayıdır. 7. a ve b birer pozitif tam sayıdır. Üniversite Haz rl k Sözcükte Do al ve Say lar Söz Öbeklerinde ve Tam Say lar Anlam - I - I YGS Temel Matematik. 8 + 4. + 8 : 4 işleminin sonucu A) 8 B) 9 C) D) 5 E) 8 5. a ve b birer pozitif tam sayıdır.

Detaylı

ÜNİTE: TAM SAYILAR KONU: Tam Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi

ÜNİTE: TAM SAYILAR KONU: Tam Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi ÜNE: AM AYIAR N: am ayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE RAR VE ÇÖZÜMER 1. [(+17) (+25)] + [( 12) (+21)] işleminin sonucu A) 41 B) 25 C) 25 D) 41 Çıkarma işlemi yapılırken çıkanın işareti değişir ve eksilen

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13 TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y): x ile y nin farkı n ile tam bölünür} = {(x,y): n x-y, n N + } bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. (x,y) ise x y (mod

Detaylı

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. A. SAYILAR Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Sayı : Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.! Her rakam bir sayıdır. Fakat bazı

Detaylı

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1 TAM KARELER 1. Bir 1000 basamaklı sayıda bir tanesi dışında tüm basamaklar 5 tir. Bu sayının hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız. (2L44) Çözüm: Son rakam 5 ise, bir önceki 2 olmak zorunda.

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR Test -1

TEMEL KAVRAMLAR Test -1 TEMEL KAVRAMLAR Test -1 1. 6 ( ) 4 A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 5. 4 [1 ( 3). ( 8)] A) 4 B) C) 0 D) E) 4. 48: 8 5 A) 1 B) 6 C) 8 D) 1 E) 16 6. 4 7 36:9 18 : 3 A) 1 B) 8 C) D) 4 E) 8 3. (4: 3 + 1):4 A) 3 B) 5

Detaylı

BÖLÜNEBĐLME KURALLARI

BÖLÜNEBĐLME KURALLARI YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS - 2 2-2 1 1-1 1 kalanı bulmak için sağdan ve + ile başlamak gerekir BÖLÜNEBĐLME KURALLARI 2 Đle Bölünebilme: tüm çift sayılar, yani birler

Detaylı

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :.

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. SAYILAR BASAMAK KAVRAMI İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. Üç basamaklı rakamları farklı en küçük sayı :. SORU 5 MATEMATİK KAF03 TEMEL KAVRAM 01 Üç basamaklı birbirinden

Detaylı

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 8. SINIF. Üslü Sayılar - = T olduğuna göre T kaçtır? A) - B) - C) D) 7 TEST.. 0 - işleminin sonucu kaç basamaklı bir sayıdır? A) B) C) 6 D) 7. n =- 7 için n ifadesinin değeri kaçtır? A) - 8 B) - C) 8 D)

Detaylı

SAYILAR TEORİSİ. KİTAPTA BULUNAN, TEOREM İSPATLARI, KONU ANLATIMI ve ÇÖZÜMLERİN OLDUĞU KISIMLAR, BU DÖKÜMANA KONULMAMIŞTIR.

SAYILAR TEORİSİ. KİTAPTA BULUNAN, TEOREM İSPATLARI, KONU ANLATIMI ve ÇÖZÜMLERİN OLDUĞU KISIMLAR, BU DÖKÜMANA KONULMAMIŞTIR. 2 SAYILAR TEORİSİ - MUSTAFA ÖZDEMİR SAYILAR TEORİSİ Bu kitap üniversitelerimizin Matematik ve Matematik Eğitimi bölümlerinde okutulmakta olan Sayılar Teorisi derslerine de yardımcı olacaktır. Bunun yanında,

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde ezberbozan serisi MATEMATİK GEOMETRİ KPSS 2017 SORU BANKASI eğitimde tamamı çözümlü 30. Kerem Köker Kenan Osmanoğlu Levent Şahin Uğur Özçelik Ahmet Tümer Yılmaz Ceylan KOMİSYON KPSS EZBERBOZAN MATEMATİK

Detaylı

MATEMATİK DERS PLÂNI. : Doğal Sayılar (Asal Sayılar Bölünebilme O.B.E.B ve O.K.E.K)

MATEMATİK DERS PLÂNI. : Doğal Sayılar (Asal Sayılar Bölünebilme O.B.E.B ve O.K.E.K) MATEMATİK DERS PLÂNI Başlangıç Tarihi :.. Dersin adı Sınıf Öğrenme Alanı Alt Öğrenme Alanı Planlanan Süre : Matematik : 9. Sınıf : Sayılar : Doğal Sayılar (Asal Sayılar Bölünebilme O.B.E.B ve O.K.E.K)

Detaylı

EĞİTİM BİLİMLERİ MERKEZİ

EĞİTİM BİLİMLERİ MERKEZİ EĞİTİM BİLİMLERİ MERKEZİ 0 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. SAYILAR Z{,-,-,-,0,,,, } Z - {,-,-,-} negatif tam sayılar kümesi {0} (elemanı 0 olan bir küme) Z + {,,,,n,n+, } pozitif

Detaylı

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Matematiğe Giriş... Temel Kavramlar... Bölme - Bölünebilme Kuralları... 85 EBOB - EKOK... Rasyonel Sayılar... Basit Eşitsizlikler... 65 Mutlak

Detaylı

KARTEZYEN ÇARPIM VE BAĞINTI

KARTEZYEN ÇARPIM VE BAĞINTI KRTEZYEN ÇRPIM VE BĞINTI 3. Bölüm TEST -2 1. β={(x,y):2x+y=8,x,y N} şeklinde tanımlı β bağıntısı kaç elemanlıdır? ) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 6. R'de bağıntısı yansıyan ise a.b kaçtır? ) 18 B) 9 C) 2 D) 18

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 10 Mayıs Matematik Soruları ve Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 10 Mayıs Matematik Soruları ve Çözümleri Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 0 Mayıs 009 Matematik Soruları ve Çözümleri. ( ) 4 işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) 4 D) E) 6 Çözüm ( ) 4 ( ) 4 4 6.

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR A: SAYI Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Ör: 0,1,2,3,4,5,6 Rakamların çokluk belirtecek şekilde bir araya getirilmesiyle oluşturulan ifadeler ifadesine sayı denir.

Detaylı

KE00-SS.08YT05 DOĞAL SAYILAR ve TAM SAYILAR I

KE00-SS.08YT05 DOĞAL SAYILAR ve TAM SAYILAR I Üniversite Hazırlık / YGS Kolay Temel Matematik 0 KE00-SS.08YT05 DOĞAL SAYILAR ve TAM SAYILAR I. 8 ( 3 + ) A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 6. 3! 3 ( 3 3)": ( 3) A) B) 0 C) D) E) 3. 7 3. + 5 A) 6 B) 7 C) 8 D) 0

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

OLİMPİK MATEMATİK MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK İÇİN İLK ADIM ÖMER GÜRLÜ ALTIN NOKTA YAYINEVİ

OLİMPİK MATEMATİK MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK İÇİN İLK ADIM ÖMER GÜRLÜ ALTIN NOKTA YAYINEVİ OLİMPİK MATEMATİK MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK İÇİN İLK ADIM ÖMER GÜRLÜ ALTIN NOKTA YAYINEVİ İZMİR 2016 İÇİNDEKİLER Bölüm 1: SAYILAR.... 7 Bölüm 2: ÇARPANLARA AYIRMA 73 Bölüm 3:ORAN ORANTI VE PROBLEM

Detaylı

2004 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI

2004 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI 4 II MATEMATİK YARIŞMASI I AŞAMA SORULARI 4? 4 4 A B denkleminde A ve B birbirinden farklı pozitif tam sayılar olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? 5 A) B) C) - D) E) - 8 4 x x

Detaylı

4.2.1 Sayma Sistemleri

4.2.1 Sayma Sistemleri . Taban Aritmetiği.. Sayma Sistemleri a. 9 Etkinlik. a. gün; kaç yıl, kaç ay, kaç hafta, kaç gündür? ( yıl gün, ay 0 gün sayılacaktır.) b. 7 saniye; kaç saat, kaç dakika, kaç saniyedir? c. 7 kg fındık

Detaylı

ALES EŞİT AĞIRLIK VE SAYISAL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI. Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan. Eğitimde

ALES EŞİT AĞIRLIK VE SAYISAL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI. Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan. Eğitimde ALES 2017 EŞİT AĞIRLIK VE SAYISAL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan Eğitimde 30. yıl Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ALES Eşit Ağırlık ve Sayısal Soru

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28)

TEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28) TEMEL KAVRAMLAR 6. a ve b birer do al say r. a b = 19 oldu una göre, a + b toplam (YANIT: 8) 1. ( 4) ( 1) 6 1 i leminin sonucu (YANIT: ). ( 6) ( 3) ( 4) ( 17) ( 5) :( 11) leminin sonucu (YANIT: 38) 7.

Detaylı

SERİMYA II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI

SERİMYA II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI SERİMYA - 4 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI. 4? 4 4. A B denkleminde A ve B birbirinden farklı pozitif tam sayılar olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A) 6 B) 8 C) D)

Detaylı

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel

Detaylı

2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR

2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR 2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR KONULAR 1. RASYONEL SAYILAR 2. Kesir Çeşitleri 3. Kesirlerin Sadeleştirilmesi 4. Rasyonel Sayılarda Sıralama 5. Rasyonel Sayılarda İşlemler 6. ÜSLÜ İFADE 7. Üssün

Detaylı

Soru Konu Doğru Yanlış Boş

Soru Konu Doğru Yanlış Boş YGS - MATEMATİK DENEME- A Soru Konu Doğru Yanlış Boş Okek Bölünebilme % % Okek Denklemi % % % % % % % % Aralarında Asal Sayıların Obebi % % Bölen Sayısı % % % % % % % % % % % % % % % Reel Sayılar % % %

Detaylı

ÜSLÜ SAYILAR. AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama

ÜSLÜ SAYILAR. AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama KURAL: Bir sayının belli bir sayıda yan yana çarpımının kolay yoldan gösterimine üslü sayılar denir. Örneğin 5 sayısının

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme. Eğitimde

MATEMATİK SORU BANKASI GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme. Eğitimde KPSS Genel Yetenek Genel Kültür MATEMATİK Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme KPSS 2016 Pegem Akademi Sınav Komisyonu; 2015 KPSS ye Pegem Yayınları ile hazırlanan adayların, 100'ün üzerinde soruyu kolaylıkla

Detaylı

25 sayısını 6 ya böldüğümüzde bölüm 4 ve kalan 1 olur. Şekli inceleyin.

25 sayısını 6 ya böldüğümüzde bölüm 4 ve kalan 1 olur. Şekli inceleyin. BÖLME VE BÖLÜNEBİLME 25 sayısını 6 ya böldüğümüzde bölüm 4 ve kalan 1 olur. Şekli inceleyin. 25 = 6 x 4 + 1 Bölünen = Bölen x Bölüm + Kalan 12312312 sayısını 123 e bölelim. 123 te 123 bir kere var. Sonra

Detaylı

Asal Çarpan, OBEB - OKEK

Asal Çarpan, OBEB - OKEK Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. 15 in doğal sayı çarpanları II. 1 nin tam sayı bölenleri a) 1,, 3, 4, 6, 1 1,, 3, 4, 6, 1 b) 1, 3, 5, 15 III. 140 ın asal çarpanlara ayrılışı c) 140

Detaylı

TEMEL MATEMATİĞE GİRİŞ - Matematik Kültürü - 5

TEMEL MATEMATİĞE GİRİŞ - Matematik Kültürü - 5 1 14 ve 1 sayılarına tam bölünebilen üç basamaklı kaç farklı doğal sayı vardır? x = 14.a = 1b x= ekok(14, 1 ).k, (k pozitif tamsayı) x = 4.k x in üç basamaklı değerleri istendiğinden k =, 4, 5, 6, 7,,

Detaylı

Örnek: sayısının binler basamağındaki rakamın basamak değeri ve sayı değeri arasındaki fark bulunuz.

Örnek: sayısının binler basamağındaki rakamın basamak değeri ve sayı değeri arasındaki fark bulunuz. Basamak Analizi : Bir sayıda rakamların yazıldığı yere basamak denir. * Bir sayıda bulunan rakamların kendi değerine sayı değeri denir. Örnek: 208371 sayısının binler basamağındaki rakamın basamak değeri

Detaylı

Sıfırdan farklı a, b, c tam sayıları için aşağıdaki özellikler sağlanır.

Sıfırdan farklı a, b, c tam sayıları için aşağıdaki özellikler sağlanır. SAYILAR TEORİSİ 1 Bölünebilme Bölme Algoritması: Her a ve b 0 tam sayıları için a = qb + r ve 0 r < b olacak şekilde q ve r tam sayıları tek türlü belirlenebilir. r sayısı a nın b ile bölümünden elde edilen

Detaylı

Soru Konu Doğru Yanlış Boş

Soru Konu Doğru Yanlış Boş YGS - MATEMATİK DENEME- A Soru Konu Doğru Yanlış Boş Okek Bölünebilme % % Obeb Problemleri % % % Obeb - Okek % % Basit ve Bileşik Kesirler % % Okek Denklemi % % Paydaları Eşitlenemeyen Kesirler % % Okek

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 6. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 6. SINIF TEST SORULARI 1. a ve b birer pozitif tamsayıdır. 12. a = b³ olduğuna göre, a + b toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 21 B) 23 C) 24 D) 25 3. Beş kişinin yaşlarının aritmetik ortalaması 24 tür. Aşağıda

Detaylı

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10.

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10. MAT-1 EK SORULAR-2 1. 6. A)7 B)8 C)15.D)56 E)64 Olduğuna göre x.a)1 B)2 C)3 D)4 E)6 7. 2. Birbirinden farklı x ve y gerçek A)5.B)6 C)7 D)8 E)9 sayıları için; x 2 +2009y=y 2 +2009x eşitliği sağlandığına

Detaylı

Soru Konu Doğru Yanlış Boş

Soru Konu Doğru Yanlış Boş YGS - MATEMATİK DENEME- A Soru Konu Doğru Yanlış Boş Mutlak Değerin Sayıya Eşitliği % % Sayılar Akıl Yürütme % % Okek Dikdörtgen Birleştirme % % Kesirlerin Okeki % % Obeb Problemleri % % Obeb Denklemi

Detaylı

d) x TABAN ARĐTMETĐĞĐ

d) x TABAN ARĐTMETĐĞĐ YILLAR 00 00 00 00 00 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 1 - - - - - - - TABAN ARĐTMETĐĞĐ Genel olarak 10 luk sayı sistemini kullanırız fakat başka sayı sistemlerine de ihtiyaç duyarız Örneğin bilgisayarın

Detaylı

ÜSLÜ SAYILAR SİBEL BAŞ AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM FAK. İLKÖĞRT. MAT. ÖĞRT. 2. SINIF

ÜSLÜ SAYILAR SİBEL BAŞ AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM FAK. İLKÖĞRT. MAT. ÖĞRT. 2. SINIF ÜSLÜ SAYILAR SİBEL BAŞ 20120907010 AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM FAK. İLKÖĞRT. MAT. ÖĞRT. 2. SINIF 1 ANLATIMI ÜSLÜ SAYILAR KONU Üslü sayılar konu anlatımı içeriği; Üslü sayıların gösterimi, Negatif üslü

Detaylı

( ) FAKTÖRĐYEL YILLAR /LYS. Örnek( 4.)

( ) FAKTÖRĐYEL YILLAR /LYS. Örnek( 4.) YILLAR 00 003 004 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - 0/ - / /LYS FAKTÖRĐYEL Örnek( 4) 3)!! ) )! 4 )!? den n e kadar olan sayıların çarpımına n! denir n! 34(n-)n 0!!! 3! 3 6 4! 34 4 5!3450 Örnek(

Detaylı

12.Konu Rasyonel sayılar

12.Konu Rasyonel sayılar 12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama

Detaylı

3. işleminin birim elemanı vardır, yani her x A için x e = e x = x olacak şekilde e A vardır.

3. işleminin birim elemanı vardır, yani her x A için x e = e x = x olacak şekilde e A vardır. 0.1 GRUPLAR Tanım 1 A kümesi boştan farklıolmak üzere işlemine göre aşağıdaki koşulları gerçekliyorsa (A, ) ikilisine bir Grup denir. 1. kapalılık özelliğine sahiptir, yani her x, y A için x y A olur.

Detaylı

barisayhanyayinlari.com

barisayhanyayinlari.com YGS MATEMATİK KONU ANLATIM FASİKÜLLERİ SERİSİ 1 ISBN 978-605-84147-0-9 Baskı Tarihi Ağustos 015 Baskı Yeri: İstanbul YAYINLARI İletişim tel: (538) 90 50 19 barisayhanyayinlari.com Benim için her şey bir

Detaylı

Cebir. Notları. Faktöryel Mustafa YAĞCI,

Cebir. Notları. Faktöryel Mustafa YAĞCI, www.mustafayagci.com, 003 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Tanım: n, 1 den büyük bir doğal sayı olmak üzere; 1 den n ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n nin faktöryeli veya kısaca

Detaylı

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 İçindekiler 1. ÜNİTE Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8 Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18 Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 Bölüm 4 :- Çarpanlar ve Katlar, Bölünebilme... 40 Bölüm 5 : Asal Sayılar, Ortak Bölenler,

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

Soru 3. 17! hesaplanırsa sondan kaç basamağı sıfır olur? Çözüm: Nasıl ki bir tamsayıyı 10 ile çarptığımızda sonuna bir sıfır geliyor, 3 kere 10 ile ça

Soru 3. 17! hesaplanırsa sondan kaç basamağı sıfır olur? Çözüm: Nasıl ki bir tamsayıyı 10 ile çarptığımızda sonuna bir sıfır geliyor, 3 kere 10 ile ça Sayılar Mustafa Yağcı, yagcimustafa@yahoo.com Tanım: n, 1 den büyük bir doğal sayı olmak üzere; 1 den n ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n nin faktöryeli veya kısaca n faktöryel denir. (n!) biçiminde

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir.

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir. Biz, Sizin İçin Farklı Düşünüyor Farklı Üretiyor Farklı Uyguluyoruz Biz, Sizin İçin Farklıyız Sizi de Farklı Görmek İstiyoruz Soru Bankası matematik konularını yeni öğrenen öğrenciler için TMOZ öğretmenlerince

Detaylı

AKSARAY Mesleki E ğitim Merkezi Matematik ve Meslek Matematiği Soru Bankası

AKSARAY Mesleki E ğitim Merkezi Matematik ve Meslek Matematiği Soru Bankası AKSARAY Mesleki E ğitim Merkezi Matematik ve Meslek Matematiği Soru Bankası SORU 1 525 + 2834 + 379 toplama işlemini alt alta yazarak yapınız. 525 2834 +379 3738 SORU 2 Manavdan kilogramı 4 TL olan armut

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi

TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi YGS MATEMATĠK DENEMESĠ-1 Muharrem ġahġn TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi Eyüp Kamil YEġĠLYURT Gökhan KEÇECĠ Saygın DĠNÇER Mustafa YAĞCI Ġ:K Ve TMÖZ üyesi 14 100 matematik ve geometri sevdalısı

Detaylı

TEMEL SAYMA. Bill Gates

TEMEL SAYMA. Bill Gates Bölüm 1 TEMEL SAYMA YÖNTEMLERİ Firmamızın sahip olduğu tek şey insan düş gücüdür. Bill Gates Bu bölümde fazla kuramsal bilgi gerektirmeyen sayma problemleri üzerinde duracağız. Bu tür problemlerde sayma;

Detaylı

a = b ifadesine kareköklü ifade denir.

a = b ifadesine kareköklü ifade denir. KAREKÖKLÜ SAYILAR Rasyonel sayılar kümesi sayı ekseninde sık olmasına rağmen sayı eksenini tam dolduramamaktadır;çünkü sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel olmayan sayılar da vardır. Karesi

Detaylı

ÇARPANLAR ve KATLAR ASAL SAYILAR. Örnek-2 : 17 ve 27 sayılarının asal sayı olup olmadığını inceleyelim.

ÇARPANLAR ve KATLAR ASAL SAYILAR. Örnek-2 : 17 ve 27 sayılarının asal sayı olup olmadığını inceleyelim. SINIF ÇARPANLAR ve KATLAR www.tayfunolcum.com 8.1.1.1: Verilen pozitif tam sayıların çarpanlarını bulur; pozitif tam sayıları üslü ifade ya da üslü ifadelerin çarpımı seklinde yazar. Çarpan ( bölen ) Her

Detaylı

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler

Detaylı

ÇARPANLAR VE KATLAR I sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hâli aşağıdakilerden A) B) C) D)

ÇARPANLAR VE KATLAR I sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hâli aşağıdakilerden A) B) C) D) 8. Sınıf MATEMATİK ÇARPANLAR VE KATLAR I. Aşağıdakilerden hangisi 6 nın çarpanlarından biridir? A) 3 B) 6 C) 8 D) TEST. 360 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hâli aşağıdakilerden hangisidir? A) 3. 3.

Detaylı

ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr

ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr ASAL SAYILAR ve kendisinden aşka pozitif öleni olmayan den üyük doğal sayılara asal sayı denir.,, 5, 7,,, 7, 9, sayıları irer asal sayıdır. En küçük asal sayı dir. den aşka çift asal sayı yoktur. den aşka

Detaylı

SERİMYA 2003 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI

SERİMYA 2003 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI SERİMYA 00 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI. + + 5 0 + + + 0 40 toplamının sonucu kaçtır? A) 5 B) C) D) E) + 4. a,b,c Z olmak üzere, a + b + c 7 = 6 ise, a.b.c kaçtır? A) 6 B) 8 C) D) 6 E) 8 y.

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

DÖRDÜNCÜ BÖLÜM. 4.1. Aritmetik işlemler

DÖRDÜNCÜ BÖLÜM. 4.1. Aritmetik işlemler DÖRDÜNCÜ BÖLÜM 4.1. Aritmetik işlemler Bu bölümde öğrencilerin lisede bildikleri aritmetik işlemleri hatırlatacağız. Bütün öğrencilerin en azından tamsayıların toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini

Detaylı

AKILLI. sınıf. Musa BOR

AKILLI. sınıf. Musa BOR AKILLI sınıf. Musa BOR AFG Matbaa Yayıncılık Kağ. İnş. Ltd. Şti. Buca OSB, BEGOS 2. Bölge 3/20 Sk. No: 17 Buca-İZMİR Tel: 0.232.442 01 01-442 03 03 Faks: 442 06 60 Bu kitabın tüm hakları AFG Matbaa Yay.

Detaylı

BÖLME - BÖLÜNEBİLME Test -1

BÖLME - BÖLÜNEBİLME Test -1 BÖLME - BÖLÜNEBİLME Test -1 1. A saısının 6 ile bölümünden elde edilen bölüm 9 kalan olduğuna göre, A saısı A) 3 B) C) 7 D) 8 E) 9. x, N olmak üzere, x 6 ukarıdaki bölme işlemine göre x in alabileceği

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal I / 22 Nisan 2007. Matematik Soruları ve Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal I / 22 Nisan 2007. Matematik Soruları ve Çözümleri Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal I / 22 Nisan 2007 Matematik Soruları ve Çözümleri 3 1 1. x pozitif sayısı için, 2 1 x 12 = 0 olduğuna göre, x kaçtır? A) 2

Detaylı

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek:

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek: SAYMANIN TEMEL KURALLARI Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(a)=

Detaylı

4 BÖLÜNEBÝLME KURALLARI ve BÖLME ÝÞLEMÝ

4 BÖLÜNEBÝLME KURALLARI ve BÖLME ÝÞLEMÝ ÖLÜNÝLM KURLLRI ve ÖLM ÝÞLMÝ YGS MTMTÝK. Rakamları farklı beş basamaklı 8y doğal sayısı 3 ile tam bölünebildiğine göre, + y toplamı kaç farklı değer alabilir?(). ltı basamaklı y tek doğal sayısının hem

Detaylı

2BÖLÜM DOĞAL SAYILAR ve DÖRT İŞLEM

2BÖLÜM DOĞAL SAYILAR ve DÖRT İŞLEM 2BÖLÜM DOĞAL SAYILAR ve DÖRT İŞLEM DOĞAL SAYILAR ve DÖRT İŞLEM TEST 1 1) Güzelyurt ta oturan bir aile piknik için arabayla Karpaz a gidip, geri dönüyor. Bu yolculuk sonunda arabanın km göstergesini kontrol

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

ISBN Sertifika No: 11748

ISBN Sertifika No: 11748 ISN - 978-0--- Sertifika No: 78 GENEL KOORDİNTÖR: REMZİ ŞHİN KSNKUR REDKTE: REMZİ ŞHİN KSNKUR SERDR DEMİRCİ - SRİ ŞENTÜRK SERVET SVŞ ÇETİN as m Yeri: UMUT MTCILIK - MERTER / STNUL u kitab n tüm bas m ve

Detaylı

Kazanım: Doğal sayıların kendisiyle tekrarlı çarpımlarını üslü nicelik olarak yazar. 5) 6.(2+3)-7= işleminin sonucu kaçtır? A) 22 B) 37 C) 8 D) 23

Kazanım: Doğal sayıların kendisiyle tekrarlı çarpımlarını üslü nicelik olarak yazar. 5) 6.(2+3)-7= işleminin sonucu kaçtır? A) 22 B) 37 C) 8 D) 23 Kazanım: Doğal sayıların kendisiyle tekrarlı çarpımlarını üslü nicelik olarak yazar. 1) Aşağıda verilen üslü ifadelerin açılımlarını yazınız? 5) 6.(2+3)-7= işleminin sonucu kaçtır? A) 22 B) 37 C) 8 D)

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

TEMEL SAYMA KURALLARI

TEMEL SAYMA KURALLARI TEMEL SAYMA KURALLARI SAYMA Toplama Yoluyla Sayma A ve B sonlu ve ayrık kümeler olmak üzere, bu iki kümenin birleşiminin eleman sayısı; s(a,b) = s(a) + s(b) dir. Sonlu ve ayrık iki kümenin birleşiminin

Detaylı

Olimpiyat Eğitimi CANSU DENEME SINAVI

Olimpiyat Eğitimi CANSU DENEME SINAVI TUSİ Ortaöğretim Öğretmenleri için Olimpiyat Eğitimi CANSU DENEME SINAVI 15.11.2013-29.11.2013 2 1. Bir x sayısı x = 1 1 + x eşitliğini sağlamaktadır. x 1 x hangisidir? in en basit hali aşağıdakilerden

Detaylı

1. BÖLÜM: PERMÜTASYON (SIRALAMA) BÖLÜM: KOMBİNASYON (SEÇME) A. SEÇME (KOMBİNASYON) B. KOMBİNASYON GEOMETRİ İLİŞKİSİ

1. BÖLÜM: PERMÜTASYON (SIRALAMA) BÖLÜM: KOMBİNASYON (SEÇME) A. SEÇME (KOMBİNASYON) B. KOMBİNASYON GEOMETRİ İLİŞKİSİ İçindekiler 1. BÖLÜM: PERMÜTASYON (SIRALAMA)... 10 A. SAYMA KURALLARI... 10 B. FAKTÖRİYEL... 14 C. n ELEMANLI BİR KÜMENİN r Lİ PERMÜTASYONLARI (Dizilişleri)... 17 Ölçme ve Değerlendirme...20 Kazanım Değerlendirme

Detaylı

II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -1

II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -1 II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -. 5 {, 5} {, 5} { 5, } {, 5} {, 5} 5. 5 {,, } {,, } {,, } {,, } {,, }.. 5 7 7 5 5,, 5 5, 5 5, 5 5, 6. 7. 5 95 { 5,, } {,, 5} { 5,, 9} {,, 5} { 9,, 5} 6 66 {, } {,, } {,,

Detaylı

YGS MATEMATİK SORU BANKASI

YGS MATEMATİK SORU BANKASI YGS MATEMATİK SORU BANKASI Sebahattin ÖLMEZ www.limityayinlari.com Sınavlara Hazırlık Serisi YGS Matematik Soru Bankası ISBN: 978-60-48--9 Copyright Lmt Limit Yayınları Bu kitabın tüm hakları Lmt Limit

Detaylı

6. Sınıf MATEMATİK TEST 1 ÜSLÜ SAYILAR. 1. Tabanı 4 ve üssü 3 olarak gösterilen üslü ifade

6. Sınıf MATEMATİK TEST 1 ÜSLÜ SAYILAR. 1. Tabanı 4 ve üssü 3 olarak gösterilen üslü ifade 6. Sınıf MATEMATİK ÜSLÜ SAYILAR TEST 1 1. Tabanı 4 ve üssü 3 olarak gösterilen üslü ifade aşağıdakilerden hangisidir? 5. A) 3. 3. 3 B) 4. 4. 4 C) 4. 4. 4. 4 D) 3. 3. 3. 3 Mert 100000000 2. 5. 5. 5 Yukarıda

Detaylı

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi 2 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 4 Mustafa Özdemir MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK 4 (336 sayfa) ANALİZ CEBİR 1 TANITIM DÖKÜMANI (Kitabın içeriği hakkında bir bilgi verilmesi amacıyla bu döküman

Detaylı

ÖRNEK LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI - 1 GEOMETRİ TESTİ. Ad Soyad : T.C. Kimlik No:

ÖRNEK LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI - 1 GEOMETRİ TESTİ. Ad Soyad : T.C. Kimlik No: LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI - GEOMETRİ TESTİ ÖRNEK Ad Soyad : T.C. Kimlik No: Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının Metin Yayınları nın yazılı

Detaylı

YGS TEMEL MATEMA MA T TEMA T K KONU ANLATIMLI

YGS TEMEL MATEMA MA T TEMA T K KONU ANLATIMLI YGS TEMEL MATEMAT K KONU ANLATIMLI YGS KONU ANLATIMLI TEMEL MATEMAT K Bas m Yeri ve Y l stanbul / 0 Bask Cilt Ek Bil Matbaac l k Tel: 0 () 87 ISBN 978 60 70 6 Copyright Ayd n Bas n Yay n Matbaa Sanayi

Detaylı

Matematik Yarıyıl Tatili Etkinliği

Matematik Yarıyıl Tatili Etkinliği Matematik Yarıyıl Tatili Etkinliği 1) Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlarına D, yanlış olanlarına Y harfi yazınız. (.) İşlem önceliğinde çarpma her zaman bölmeden önce yapılır. (.) Asal sayıların tamamı

Detaylı