Bölüm 2 Verileri Betimleme, Keşfetme, ve Karşılaştırma

Transkript

1 Slide 1 1 Bölüm 2 Verileri Betimleme, Keşfetme, ve Karşılaştırma 2-1 Genel Bakış 2-2 Sıklık Dağılımları 2-3 Verilerin Görselleştirilmesi 2-4 Merkezi Eğilim Ölçüleri 2-5 Değişimin Ölçülmesi 2-6 Nispi Sabitlerin Ölçümü 2-7 Keşfedici Veri Analizi Slide 2

2 Slide 3 Bölüm 2-1 Genel Bakış Created by Tom Wegleitner, Centreville, Virginia Çeviri: Sayın San 2 Genel Bakış Betimleyici İstatistik Slide 4 Anakütlenin bilinen bir kümesinin özelliklerinin özetlenmesi veya tanımlanması Çıkarsamacı İstatistik Bir anakütleye dair çıkarımlarda bulunmak veya genellemeler yapmak için örneklem bilgilerinin kullanılması

3 Veri Setinin Önemli Özellikleri Slide 5 1. Merkez (Center): Veri setinin orta noktasını temsil eden bir değerdir. 2. Değişim (Variation): Veri setindeki değerlerin kendi içinde ne kadar değiştiğinin ölçümüdür. 3. Dağılım (Distribution): Bir veri setinin dağılımının şeklidir (Çan eğrisi, tek düze veya çarpık) 4. Uç Değer (Outliers): Diğer bütün örneklem değerlerinden çok uzakta yer alan değerlerdir. 5. Zaman: Veri setinin zaman içerisinde değişen özellikleridir. 3 Slide 6 Bölüm 2-2 Sıklık Dağılımları (Frequency Distributions) Created by Tom Wegleitner, Centreville, Virginia Çeviren: Sayın San

4 Sıklık Dağılımları Slide 7 Sıklık Dağılımı Veri değerlerinin, kendilerine uygun bir grup veya bir aralık içerisinde, tekrarlarının veya sıklıklarının listelenmesidir. 4 Slide 8

5 Slide 9 Sıklık 5 Sıklık Dağılımları Slide 10 Tanımlar

6 Sınıf Alt Değeri Slide 11 Farklı sınıflara ait olan en küçük sayısal değerdir Sıklık 6 Sınıf Alt Değeri Slide 12 Farklı sınıflara ait olan en küçük sayısal değerdir. Sıklık Sınıf Alt Değerleri

7 Sınıf Üst Değeri Farklı sınıflara ait en yüksek sayısal değerdir. Slide 13 Sıklık Sınıf Üst Sınırı 7 Sınıf Sınırları Slide 14 Sınıf sınırları arasında boşluk bırakmaksızın sınıf sınırlarının ayrılması için kullanılan sayısal değerlerdir.

8 Sınıf Sınırları Sınıfları ayıran sayılar Slide 15 Sıklık Sınıf Sınırları Slide 16 Sınıfları ayıran sayılar Sıklık Sınıf Sınırları

9 Slide 17 Sınıf Orta Noktası Bir sınıfın orta noktasıdır Sınıf orta noktası, bir sınıfın alt sınır ve üst sınır değerlerinin toplanıp ikiye bölünmesi ile elde edilir. 9 Sınıf Orta Noktası Sınıfların orta noktaları Slide 18 Sıklık Sınıf orta noktası

10 Sınıf Genişliği Slide 19 Birbirini takip eden iki sınıfın alt sınır değerleri arasındaki farktır. Sıklık Sınıf Genişliği Slide 20 Neden sıklık dağılımlarına ihtiyaç vardır? 1. Büyük çaplı veri seti özetlenmelidir. 2. Veri setinin doğasının kavranılmasını sağlar. 3. Grafik gösteriminin hazırlanması için temel teşkil eder.

11 Bir sıklık tablosunun oluşturulması Slide Sınıf sayısına karar verilmesi (5-20 arasında olabilir). veya 1 + (log n) / (log 2) ile bulunabilir. 2. Hesaplama (yaklaşık değerler). Sınıf genişliği (En yüksek değer) (En düşük Değer) Sınıf sayısı 3. Başlangıç noktası: İlk sınıfın alt değerini seçin. 4. İlk sınıfın alt değerini ve sınıf genişliğini kullanarak, sınıfların alt değerlerini türetin. 5. Sınıf alt değerlerini alt alta yazın ve yanlarına sınıf üst değerlerini türetin. 6. Veri setindeki her bir değeri, ilgili sınıfın içerisine alın. 11 Slide 22 Nispi Sıklık Dağılımı Nispi Sıklık= Sınıf Sıklığı Tüm sıklıkların toplamı

12 Nispi Sıklık Dağılımı Slide 23 Sıklık Nispi Sıklık 11/40 = 28% 12/40 = 30% Toplam Sıklık = Birikimli Sıklık Dağılımı Slide 24 Sıklık Birikimli Sıklık Birikimli Sıklıklar

13 Sıklık Tabloları Slide 25 Sıklık Nispi Sıklık Birikimli Sıklık 13 Verilerin Karşılaştırılması Slide 26

14 Tekrar Slide 27 Bu bölümde şunları tartıştık: Bir veri setinin önemli özellikleri Sıklık Dağılımları Sıklık dağılımlarının oluşturulması süreci Nispi sıklık dağılımları Birikimli sıklık dağılımları 14 Slide 28 Bölüm 2-3 Verilerin Görselleştirilmesi Created by Tom Wegleitner, Centreville, Virginia Çeviren: Sayın San

15 Verilerin Görselleştirilmesi Slide 29 Veri setinin dağılımının veya dağılımının doğasının şekle aktarılmasıdır. 15 Histogram Slide 30 Dikey eksende sıklıkların, yatay eksende veri setinin sınıflarının yer aldığı çubuk gösterimli grafiktir Sıklık Şekil 2-1

16 Nispi Sıklık Histogramı Slide 31 Normal histogram ile aynı yatay eksene ve aynı çubuklara sahiptir. Sadece dikey eksende sınıfların nispi sıklıkları yer alır. Nispi Sıklık 16 Şekil 2-2 Histogram ve Nispi Sıklık Histogramı Slide 32 Şekil 2-1 Şekil 2-2

17 Sıklık Poligonu Sınıfların orta değerler noktalarını birleştiren sürekli bir çizgiden oluşur. Slide 33 Şekil Ogive Slide 34 Birikimli sıklığı gösteren bir çizgi grafiktir. Şekil 2-4

18 Nokta Grafiği (Dot Plot) Slide 35 Değerler skalası üzerinde her bir gözlem değerinin bir nokta ile temsil edildiği grafiktir. 50 adet animasyon filminin uzunluğu (dakika) gösterilmektedir Şekil Dal-Yaprak gösterimi Slide 36 Ele alınan veri setindeki her bir gözlem değeri, iki parçaya ayrılır: Dal (Sol basamak) ve yaprak (sağ basamak)

19 Pareto Gösterimi Slide 37 Sıklıkların büyüklük sırasına dizilmesi ile birlikte niteliksel verilerin gösteriminde kullanılır. Şekil Dilim Gösterimi Slide 38 Bir pastanın dilimleri olarak niteliksel verilerin gösterimidir Şekil 2-7

20 Serpilme Diyagramı Slide 39 İkili veri değerlerinin (x,y) yatay ve dikey eksendeki değerlerinin kesiştiği nokta ile temsil edilmeleridir. 20 Zaman Serileri Zamanın farklı anlarında toplanan veri değerleridir. Slide 40 Şekil 2-8

21 Diğer Gösterimler Slide 41 Şekil Tekrar Slide 42 Bu bölümde bir veri setine ait olan dağılımları grafiğe dönüştürmeyi gördük. Bu bölümünün amacının şekil çizmeyi öğretmek değil, şekiller yardımıyla veri setinin özelliklerinin anlaşılmasının öğrenilmesi olduğunu aklınızdan çıkarmayın.

22 Slide 43 Bölüm 2-4 Merkezi Eğilim Ölçüleri Created by Tom Wegleitner, Centreville, Virginia Çeviren: Sayın San 22 Tanım Slide 44 Merkez değeri Bir veri setinin orta noktasında veya merkezinde yer alan bir değerdir.

23 Tanım Aritmetik Ortalama (Mean) Slide 45 Gözlem değerlerinin tamamının toplanarak mevcut gözlem sayısına bulunması ile elde edilen bir merkezi eğilim ölçüsüdür 23 Notasyonlar Slide 46 Bir değerler kümesinin toplamını ifade eder x Bir veri setindeki her bir gözlem değerini temsil eden değişken için kullanılır. n N Bir örneklemdeki gözlem sayısını temsil eder Bir anakütledeki gözlem sayısını ifade eder

24 Notasyonlar Slide 47 x (x bar) bir örneklemin ortalaması x = µ (mu) bir anakütlenin ortalaması x n µ = x N 24 Tanımlar Medyan Bir gözlem setindeki değerlerin artan veya azalan yönde sıralanması ile ortasında yer alan değerdir. x ~ ( x-tilda) ile ifade edilir Slide 48 Aşırı uç değerlerden etkilenmez

25 Medyanın bulunması Şayet gözlem sayısı tekse, ortada yer alan değer medyandır. Şayet gözlem sayısı çiftse, ortada yer alan iki değer kullanılarak medyan hesaplanır. Slide 49 Veriler havadaki kurşun miktarının ölçülmesi (6 gün) ile elde edilmiş. Dünya Sağlık Örgütü ne göre 1.5 mg/m 3 üzerindeki değerler, sağlıksızdır Slide 50 (Sırala - Gözlem sayısı çift tam orta yok İki sayı ortayı paylaşıyor) Medyan (Sırala- değerler tek sayı) tam orta Medyan 0.73

26 Mod Tanımlar Slide 51 Bir gözlem kümesinde en çok tekrar eden sayıdır. Mod, daima tek bir sayıdır. Bir veri setinde (a) iki mod, (b) ikiden fazla mod olabilir veya (c) hiç mod olmayabilir. M ile temsil edilir. Merkezi eğilim ölçüleri içerisinde sadece Mod nominal değişkenlerde ölçüm için kullanılabilir. 26 Örnekler Slide 52 a b c Mode 1.10 İki mod - 27 & 55 Mod yok

27 Midrange Tanımlar Slide 53 Bir veri setindeki en yüksek ve en düşük değerin ortasıdır. Midrange= En yüksek değer+ En düşük değer 2 27 Slide 54

28 Slide Slide 56 Bir sıklık dağılımının ortalaması Her bir sınıfta yer alan gözlem değerlerinin sınıf orta noktasına eşit olduğu varsayımı altında hesaplanır.

29 Slide 57 Bir Sıklık dağılımının ortalaması (f x) x = Denklem 2-2 f x = Sınıf orta noktası f = sıklık f = n 29 Slide 58 Ağırlıklandırılmış Ortalama Bazı durumlarda, gözlem değerlerinin önem düzeyi farklıdır. Bu gibi durumlarda ağırlıklandırma kullanılır. x = (w x) w

30 Ağırlıklandırılmış Ortalama Slide 59 Örnek: Vize sınavlarının ağırlığı % 20 ve %30, final sınavının ağırlığı % 50 olsun. Alınan notlar 1. vize: vize: 90 Final : En iyi Merkezi Eğilim ölçüsü Slide 60

31 Simetrik Slide 61 Eğer bir veri setinin dağılım grafiğinde sağ tarafı ile sol tarafı hemen hemen aynıysa, o veri seti simetriktir. Çarpık Tanımlar Bir veri setinin dağılım grafiği bir tarafa doğru eğilimliyse çarpıktır. 31 Çarpıklık Slide 62 Şekil 2-11

32 Tekrar Bu bölümde şu konuları tartıştık: Slide 63 Merkezi Eğilim ölçüleri türleri Ortalama Medyan Mod Bir sıklık dağılımının ortalaması Ağırlıklandırılmış ortalamalar En iyi merkezi eğilim ölçüsü Çarpıklık 32 Slide 64 Bölüm 2-5 Değişimin Ölçülmesi Created by Tom Wegleitner, Centreville, Virginia Çeviren: Sayın San

33 Değişim Ölçüleri Slide 65 İstatistik dersi boyunca en çok kullanılacak kavramlardan bazıları bu bölümde öğretilecektir. 33 Slide 66

34 Tanım Slide 67 Bir veri setinin değer aralığı (range) en yüksek değer ile en düşük değer arasındaki farktır. En yüksek değer En düşük değer 34 Tanım Slide 68 Bir örneklemde yer alan değerlerin standart sapması, örneklemdeki değerlerin örneklem ortalaması etrafındaki dağılımının ölçümüdür.

35 Slide 69 (Örneklem) Standart Sapmanın Formülü S = (x - x) 2 n - 1 Formül (Örneklem) Standart Sapması (Kestirme formül) Slide 70 s = n ( x 2 ) - ( x) 2 n (n - 1) Formül 2-5

36 Standart sapma Önemli noktalar Slide 71 Standart sapma, örneklemdeki bütün değerlerin ortalama etrafındaki dağılımını ölçer. standart sapma (s) daima pozitif bir sayıdır. Bir veri setinde aşırı uç değerler (outliers) varsa, standart sapma çok etkilenecektir. Standart sapmanın ölçüm birimi, veri setinin ölçüm birimi ile aynıdır. 36 Standart sapma nasıl hesaplanır? Örneklemin ortalamasını ( ) hesaplayın. Slide 72 Her bir gözlem değerini ortalamadan çıkartın ( ) İkinci aşamada elde edilen her bir değerin karesini alın Üçüncü aşamada elde edilen bütün değerleri toplayın Gözlem sayısından 1 çıkartarak ( n 1) elde ettiğiniz toplamı bölün. Elde ettiğiniz değerin karekökünü alınız.

37 (Anakütle) standart sapması Slide 73 = 2 (x - µ) N Formül 2-4 ile aynıdır. Sadece ortalama ve gözlem sayıları değişmiştir. 37 Tanım Bir veri setinin varyansı, standart sapmanın karesidir. Slide 74 Örneklem varyansı: s 2 Anaküte varyansı σ 2 Standart sapmaya göre varyans kullanımı sorunludur. Varyansın birimi ile örneklemin birimi aynı değildir.

38 Tanım Slide 75 Anakütle veya örneklem veri seti için Değişim Katsayısı, standart sapmanın ortalamaya oranının bir yüzdesidir. Örneklem Anakütle CV = s x 100% CV = 100% 38 Slide 76

39 Slide 77 Sıklık dağılımı için standart sapma Formül 2-6 S = n [ (f x 2 )] - [ (f x)] 2 n (n - 1) x değeri olarak sınıf orta noktası kullanılır 39 Standart sapma tahmininde pratik yöntem Slide 78 Standart sapma s, genelde şu şekilde de hesaplanabilir s Range 4 range = (highest value) (lowest value)

40 Standart sapmanın tahmininde pratik yöntem Slide 79 Standart sapma s değeri yorumlanırken bir veri setindeki olağan en düşük ve en yüksek değer, şu şekilde hesaplanabilir: Minimum usual value (mean) 2 X (standard deviation) Maximum usual value (mean) + 2 X (standard deviation) 40 Tanım Slide 80 Deneysel ( ) Kural Çan eğrisi şeklinde dağılıma sahip bir veri seti için şu yorumlar yapılabilir: Veri setinde yer alan bütün değerlerin yaklaşık %68 i, ortalamanın 1 standart sapma etrafında yer alır Veri setinde yer alan bütün değerlerin yaklaşık %95 i, ortalamanın 2 standart sapma etrafında yer alır Veri setinde yer alan bütün değerlerin yaklaşık %99.7 si, ortalamanın 3 standart sapma etrafında yer alır

41 Deneysel kural Slide 81 Şekil Deneysel Kural Slide 82 Şekil 2-13

42 Deneysel Kural Slide 83 Şekil Tanım Slide 84 Chebyshev s Teoremi Belirli bir ortalama etrafında K standart sapma ile dağılım gösteren bir veri setinde yer alan gözlem değerlerinin belirli bir oranı daima 1-1/K 2, aralığında yer alır (K 1 olmalı) K = 2, gözlem değerlerinin en az ¾ ü (%75) ortalamanın 2 standart sapma etrafında yer alır K = 3, gözlem değerlerinin en az 8/9 u (%89) ortalamanın 3 standart sapma etrafında yer alır.

43 Slide 85 Formül 2-4 ün mantığı Sayfa dikkatlice okunmalıdır 43 Tekrar Slide 86 Bu bölümde şunları gördük: Aralık (Range) Bir örneklem ve anakütlenin standart sapması Bir örneklem ve anakütlenin varyansı Değişim Katsayısı (Coefficient of Variation (CV)) Sıklık dağılımı kullanılarak standart sapma hesaplama Pratik yöntem Deneysel dağılım Chebyshev s Teoremi

44 Slide 87 Bölüm 2-6 Nispi Sabitlerin Ölçümü Created by Tom Wegleitner, Centreville, Virginia Çeviren: Sayın San 44 Tanım Slide 88 z Değeri (veya standart değer) Ortalamanın altında veya üstünde yer alan belirli bir sayıdaki x değerlerinin standart sapmalarının sayısal değeridir.

45 Konum ölçümü z değeri Örneklem Anakütle Slide 89 z = x - x s z = x - µ Noktadan sonra 2 basamak 45 Slide 90

46 Slide 91 Z değerinin yorumlanması Şekil 2-14 Gözlem değerlerinden biri ortalamadan küçükse, z değeri negatif olur: Olağan değerler: z değeri aralığı 2 ve 2 sd Anormal değerler: z değeri aralığı < -2 veya z değeri > 2 sd 46 Slide 92 Tanım Diğer bütün değerlerden çok uzak bir noktada yer alan değere Uç Değer (outlier) adı verilir

47 Önemli Prensipler Slide 93 Uç değer, ortalamayı önemli düzeyde etkiler. Uç değer, standart sapmayı önemli ölçüde etkiler. Uç değer, verilerin dağılımı üzerinde önemli düzeyde etkiye sahiptir ve veri setine ait doğru dağılımın gözükmesini engeller. 47 Slide 94

48 Slide 95 48