AYT 2019 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ. Cevap : D

Transkript

1 Not : a bi a bi a b dir. 4 i. 6 i i. i i. i Cevap : A buluruz. CAB sayısı 5 ile bölünebiliyorsa ve bu rakamlar 0 değilse B 5 olmak zorundadır. ABC sayısında B 5 yazalım. A5C sayısı 4 ile tam bölünüyorsa, son iki basamak 4'e tam bölünmelidir. Bu sebeple C ya da C 6 olabilir. BCA sayısında B 5 ile C ve 6 yazalım. 5A sayısı 9'a tam bölünüyorsa A olmalıdır. Ancak rakamları farklı bir sayı olmaz. 56A sayısı 9'a tam bölünüyorsa A 7 olmalıdır. Ve bu sayı 567 olur. Rakamları çarpımı da dur. Cevap : D A B 4 x olsun y olsun x y 4 tür. x y ise den 7'ye kadar olan sayıların toplamıdır. 7.8 x y 8 dir. x y 4 x 6, y dir. x y 8 Yani, A B dir. Bu sayılar sadece 5 ve 7 olabilir. Çarpımları, buluruz. Cevap : E

2 Mavi bölg e ile sarı bölg e, A kümesinin içindedir. Dolayısıyla bu sayıların hepsinde bulunan ortak asal sayı p'yi belirleyecektir. p 5 tir. 'yi asal çarpan olarak bulunduran sayı var. Dolayısıyla bunlardan bir ikili oluşmaz. r ve t 'ye eşit olamaz. 7'yi asal çarpan olarak bulunduran sayı var. Dolayısıyla bunlardan bir ikili oluşur. r ve t den biri 7 olmalıdır. 'i asal çarpan olarak bulunduran sayı var. Dolayısıyla bunlardan da bir ikili oluşur. r ve t den diğeri olmalıdır. Toplarsak, p r t 5 7 buluruz. Adımları sırasıyla yazalım. Nerde tekrarlanıyor, görelim. Başlangıçta sayısı var.. adım: olur. Onlar Yüzler. adım: olur. Onlar Birler. adım: olur. Onlar Yüzler 4. adım: olur. Onlar Birler 5. adım: olur. Onlar Yüzler 6. adım: olur. Onlar Birler Başa döndük. Demek ki her 6 adımda bir başa dönecek. 75'in 6 ile bölümünden kalan tür. O halde 75.adım ile.adım aynıdır. olur. Cevap : A Cevap : E

3 p (q r)' dir. "ve" bağlacında sonuç ise, iki önerme de olmalıdır. p ve (q r)' dir. (q r)' ise qr 0 dır. "veya" bağlacında sonuç 0 ise, iki önerme de 0 olmalıdır. q 0 ve r 0 dır. r önermesi, C torbasında sarı bilye olmadığını söylüyordu. Bu yanlış ise, C torbasında sarı bilye vardır. Geriye mavi ve kırmızı bilye kaldı. p önermesi, A torbasında kırmızı bilyenin olmadığını söylüyordu. Bu doğru ise, A torbasında mavi bilye vardır. O halde, kırmızı bilye B torbasındadır. Özetlersek, A,B,C torbasında sırasıyla Mavi, Kırmızı, Sarı bilye vardır. Not : e lnx x I.adımda 6 sayısı,, ün çarpımı şeklinde yazılmış ln ve e şeklinde bu sayılar ifade edilmiş..adımda üsler toplanmış. Doğru Not : lnx lny lnz ln x.y.z Doğru.adımda "ln" toplamı, tek bir "ln" içerisine alınmış, dolayısıyla çarpımları yazılmış Doğru 4.adımda 6 sayısı 4 olarak yazılmış. Doğru 5.adımda ln 4 ln ln6 olarak yazılmış. Burada hata yapılmış. "ln" içerisindeki toplanan - lar bu şekilde ayrı ayrı yazılamaz. Ayrıca, ln ln6 ln(.6) ln dir. Yani ln6 değildir. Cevap : D Cevap : B 'yi olarak yazarsak, 0 dır. f f f f dir. f f 0 ise f f 0 f f f f f f f f Kısacası, f 4 4f 40 tır. f5 f.f dur. f 5 5f 50 dir. O halde, buluruz. Cevap : E

4 I. öncüle bakalım. (fof)(x) f( f(x) ) f(x) eşitliği farklı değerde olmalı sağlanır.(y doğrusu çizdiğimizde grafiği noktada kesecektir. II. öncüle bakalım. (fof)(x) y doğrusu ile grafiğin kesiştiği noktaların apsis - lerine a ve b diyelim. (İstenirse a ve b değerleri bulunabilir, ama gerek yok.) a değeri 0 ile arasındadır, b değeri ise ile arasındadır. f( f(x) ) a veya b olmalı f(x) a eşitliği farklı yerde sağlanır. f(x) b eşitliği farklı yerde sağlanır. Toplamda 4 nokta sağlayacaktır. III. öncüle bakalım. (fof)(x) 0 f(x) 0 ise x 0 veya x dir. f( f(x) ) 0 f(x) ise x dir. 0 veya olmalı Toplamda nokta sağlayacaktır. Cevap : A

5 x 0 sağlıyorsa, 0 a a demek ki a değeri veya den büyüktür. x 4 sağlamıyorsa, 4 a 5 a hatalıdır. demek ki a değeri 5 ten küçüktür. Bu iki bilgiyi birleştirirsek, a 5 yani a[, 5) tir. Cevap : E.eşitliğe bakalım. ab a a negatif değilse, ab a b 0 dır. b 0 olsaydı,.eşitliğe bakalım. b c b 0 c 0 c 0 olur. Sayılar birbirinden farklı olmalıydı. Demek ki a negatif. I.eşitliğe geri dönelim. ab a ab a b a dır. a negatif olduğu için b pozitiftir. II.eşitliğe bakalım. b c b b c b c 0 dır. a negatif, c 0, b pozitif olduğuna göre, a c b dir. Cevap : B

6 Çizince, yaklaşık olarak x eksenini nerelerden kesmesi gerektiği göruyoruz. Bu polinomun 4 kökü var ve soruda bunlar tam sayı olarak belirtilmiş. İki kökünü biliyoruz ve 4 Diğer kökleri de a ve b olsun. En yüksek dereceli terimin katsayısı ise, P(x) x x a x b x 4 yazabiliriz. P 0 7 biliyoruz. P(0) 0 0 a 0 b a b 4 7.a.b 6 a.b a ve b tam sayı ise, grafiğe göre a değeri ya da dir ile 0 arasında. b değeri, ya da tür 0 ile 4 arasında. a.b 6 ise a ve b olmak zorundadır. P x x x x x 4 in katsayılar toplamı için x yazarız. P buluruz. P(x) x bx c şeklinde bir polinomdur. Köklerden biri P(0) mış. P(0) c dir. x bx c denkleminde kökler çarpımı c dir. Köklerden biri c ise diğeri olmalıdır. Soruda, diğer kökün P( ) olduğu verilmişti. Demek ki, P( ) dir. b c c b olur. Denklemde b yerine c yazalım. P(x) x cx c x kökü ise P c c 0 çıkmalıdır. c c dir. P(x) x x olur. 5 P() 4 buluruz. Cevap : C c Cevap : A

7 64 oranı tam sayı ise x, 64'ün bir bölenidir. x 'den büyük olan bölenler;,4,8,6, ve 64 tür. Taban değiştirince ln64 log x 64 olarak yazabiliriz. lnx log 64 değeri bir tam sayı değilse, x 64, x'in tam kuvveti değildir. 64 sayısı, 4, 8 ve 64'ün tam kuvvetidir. Dolayısıyla bunları eleriz. Geriye, 6 ve kalır. Toplamları da 48 dir. Cevap : C Dizinin.,. ve 4.terimlerinin toplamını bulabiliriz. a a a 4 tür. 4 Herhangi ardışık terimin toplamı birbirine eşitse a a a 4 olmalıdır. a a olduğuna göre a dir. a a... a5 a buluruz. 54 terim Yani 8 tane ardışık lü var. Cevap : A n için log 0 dır. 0 yazar. tane n için log dir. yazar. n için log,... yazar. tane n 4 için log 4 dir. yazar. n 5 için log 5,... yazar. 4 tane n 8 için log 8 yazar. 8 tane n 6 için log yazar tane n için log 5 5 yazar. tane Toplayalım. tane 4 tane 8 tane 6 tane buluruz. Cevap : D

8 0 x x ise x A 'nın apsisidir. A ve B'nin orjine uzaklıkları eşitse, B'nin ordinatı da x 'e eşittir. 0 x 0 x x x x x f(0) B'nin ordinatıdır. x.x x x.x x x x x tir. dir. dir. Tepe noktasının apsisi ise, 5 5 x 5x 5 6 5x 5 x tir. 5 x 5 tir. x 5 B {0,,,,4} verilmiş. A {0,,,,4} A {0,,4,6,8} olursa A kümesi ortakesişim kümesi olur. {0,,,,4} ile {0,,4,6,8} kümesinin birbirlerinden farklı elemanları, ve 6,8 dir. Eğer bu dört ele - mandan biri A kümesinde bulunursa eşitlik bozulur. Örneğin A kümesinde elemanı bulunsun. A {0,,,,4} kesişiminde bulunacaktır, ama A {0,,4,6,8} kesişiminde 'in bulunması imkansız - dır. Toplamda, 0 rakamdan 4'ü hariç, A kümesine yazılabilir eleman 6 64 farklı alt küme oluşturulabilir. Ancak, boş küme olmadığını biliyoruz. Bu sebeple 64 6 farklı A kümesi oluşturulabilir. Cevap : E Cevap : D

9 Ayça, ortadaki sandalyelerden birine oturursa x A x x Ayça'nın yanındaki koltuğa ve karşısındaki koltuğa Büşra oturamaz. Büşra için seçenek kalır. Diğer 4 kişi de 4! şeklinde sıralanır... 4! farklı oturma şekli A x Ayça Büşra Diğerleri Ayça, kenardaki sandalyelerden birine oturursa.denemede başarısız olacak Geriye kart kaldı..denemede başarısız olacak Geriye kart kaldı..denemede başarılı olacak Çarpalım. 4 buluruz. 4 4 x Ayça'nın yanındaki koltuğa ve karşısındaki koltuğa Büşra oturamaz. Büşra için seçenek kalır. Diğer 4 kişi de 4! şeklinde sıralanır ! farklı oturma şekli Ayça Büşra Diğerleri Cevap : A Toplarsak, buluruz. Cevap : B f x fonksiyonunda sadeleştirmeleri yapalım. f x x 4x 4 x 6x 9 x x 6 x x x x x x dir. Buna göre, x x lim x lim x x x 0 0 buluruz. Cevap : B

10 Fonksiyon parçalarının sınır değerlerine bakalım. x ve x için 5x 4 fonksiyonu geçerli dir. x noktasında sürekli ise, x için de aynı değer bulunmalıdır. x için a x fonksiyonu geçerli. a a olursa x noktasında sürek - lilik sağlanır. x 5 ve x 5 için 5x 4 fonksiyonu geçerli dir. x 5 noktasında sürekli ise, x 5 için de aynı değer bulunmalıdır. x 5 için x a fonksiyonu geçerli. 5 a 5 a a veya 5 a 9 5 a a 8 dir. a yi seçersek, hem hem de 5 te süreklilik sağlanır. Ancak fonksiyon noktada süreksiz miş. Bu sebeple a 8 olmalıdır. O halde, f 7 f tir. f x g x kx eşitliğinde türev alalım. f' x x.g x kx x yazalım. f'.g ( ) k.( ) f'.g k Soruda bu değerler verilmiş.. k 4 k 6 k k buluruz. Cevap : A Cevap : C

11 gof ' x 0 bileşke fonksiyonun türevini açalım. f' x.g' f(x) 0 x x 4 '.g' f(x) 0 x.g' f(x) 0 x 0 x dir. Veya, g' f(x) 0 f(x) olmalı Soruda verilmiş. x x 4 x x 6 0 x x 0 x veya x tür. Kökler çarpımı, tür. Cevap : C Bir doğrunun türevi eğimini verir. Yani, doğru ne kadar eğimli ise o kadar türevi büyük çıkacaktır. Sağa yatık doğrularda eğim pozitif, sola yatık doğrularda eğim negatif çıkar. Ancak, Şekil 'de türevlerin mutlak değerleri çizilmiş. O yüzden doğruların sola ya da sağa yatık olmalarıyla ilgilenmeyeceğiz. En eğimli doğru, kırmızı doğru olduğu için f(x) kırmızı doğrudur. En az eğimli doğru, kahverengi doğru olduğu için h(x) kahverengi doğrudur. Şimdi y eksenini kestikleri noktalara göre sıralayalım. h 0 f 0 g 0 Cevap : D

12 f a 4 a dır. g b. b dir. m 4 a Teğet doğrusu,4 a noktasından geçiyor. Teğet doğrusu,b noktasından geçiyor. İki nokta arasındaki eğimden, doğrunun eğimini bulalım. y y 4 a b b dir. x x Teğet noktasında fonksiyonların türevi de eğimi verir. m f' g'() dir. m x a bx x x m 4 a b dir. O halde, m 4 a b 4 a b dir. Burdan başlayalım. 4 a b 4 a a b dir. 4 a b ise 4 a a 4 a a dir. a.b. 4 buluruz. Cevap : B x y doğrusu x 4 için y çıkar. D bölgesini oluşturan üçgenin alanı 4. 4 br dir. 4 0 f(x)dx f(x)'in altında kalan alandır. A D 8 A D 8 A 4 A 4 br dir. x y doğrusu x 6 için y çıkar. D, C, B bölgelerini içine alan üçgenin alanı, 6. 9 br dir B 9 B br dir. f(x)dx f(x)'in altında kalan alandır. C D C B 9 ise Boyalı bölg eler A B 4 6 br buluruz. Cevap : D

13 4 8 8 f(u)du 8 8 f(x)dx 8 u x dönüşümü yapalım. du dx, x için u, x için u 8 olur. du f(u) 8 f(u)du 56 dır. O halde, Mavi bölg e C bölg esi 56 dır. A C 56 A C 54 tür. A C bölgesi aslında bir dikdörtgendir. Bu dikdörtgenin alanı 54'e eşit olmalıdır c c 9 buluruz. Cevap : B

14 A A Büyük üçgenin alanı. dir. A A ise A A A A tür. x ile arasındaki küçük üçgenin alanı dir. S A dir. 4 S dır. Aynı zamanda, S a x.dx tir. 0 a x a 5 tir. 6 a 6 a 0 Cevap : D Not : x ekseninin altında kalan alanların integrali negatif çıkar f' x dx A B C dir. f' x dx...c dir. f 6 f 0 6 c f 6 5 c f 6 8 c dir. 0 c ise 8 f 6 dir. Buna uygun tek değer 0, dir. Cevap : C

15 a ise a dir. 6 4 Yani a açısı 45 derece ile 90 derece arasındadır. tan45 olup, 90'a doğru sürekli artmaktadır. Kosinüs ve sinüs maksimum olabildiği için, tana değeri garanti en büyük değerdir. sin45 ve cos 45 eşit olup, 90'a doğru sinüs artarken, kosinüs azalmaktadır. Bu sebeple sıralama, cosa sina tana yani, y x z dir. Cevap : C secx tanx sinx 4 sinx sinx sinx cos x 4 sinx sinx sin x cos x dir. cos x 4 sinx sinx sinx sinx sin x 4 sinx sinx sinx 4 4sinx sinx sinx sinx cosecx sinx 4 Cevap : E

16 BC k diyelim. Buna göre, dik üçgenin kenarlarını trigonometrik olarak ifade edelim. DC BDC üçgeninde, sinx k DC k.sinx tir. BD cos x k BD k.cos x tir. k.sinx.k.cos x k sinx.cos x ABDC dir. ABC üçgeninde, tanx k k AC tir. AC tanx k k k AABC tanx tir. Buna göre, tanx Sarı Bölge A ABC A BDC A ABC dir. Mavi Bölge A BDC A BDC k tanx k sinx.cos x k cosx sinx k sinx. cosx sin x cos x cos x sin x sin x sinx Cevap : D sin x cot x tir. Not : y y m x x 0, noktasından geçen ve eğimi m olan doğru, y mx tir. I.denklem 0, 0 noktasından geçen ve eğimi m olan doğru, y mx tir. II.denklem, 0 noktasından geçen ve eğimi m olan doğru, y m x tir. III.denklem Bu üç doğru da bir noktada kesişiyorsa, ortak bir çözümleri var dır. I. denkleme göre, y mx dir. II. denkleme göre, y mx tir. Eşitleyelim. mx mx mx tir. O halde y dir. Bunları III.denklemde kullanalım. y m x y mx m m m m buluruz. Cevap : B

17 Yamuğun kısa tabanına k, uzun tabanına u diyelim. 6 u k 6 u k olur. 6 u k / 6 u k 6 u k 4u k 6 u u 6 dır. 6 uk k 4 tür. 6 Çerçevenin içindeki dikdörtgenin kısa kenarı, u k cm dir. Uzun kenar ise, u k cm dir. Alan cm dir. Şekildeki gibi üçgenler oluşturalım. Beşgenin aynı kenarında bulunan üçgenlerin alanları eşittir. Çünkü kenar orta noktalarından ayrılmış - lardır. Sarı üçgenin alanı A ise, hemen yanında kırmızı üçgenin alanı da A dır. Kırmızı bölge toplamda 5 br ise, hemen yanındaki üçgenin alanı 5 A br dir. Bunun yanındaki mavi üçgenin alanı da 5 A br dir. Mavi bölg e toplamda 7 br ise, hemen yanın- daki üçgenin alanı A br dir. B nin hemen yanındaki pembe üçgenin alanı B dir. Pembe bölge toplamda 4 br ise, hemen yanındaki üçgenin alanı 4 B br dir. Bunun yanındaki yeşil üçgenin alanı da 4 B br dir. Yeşil bölg e toplamda 8 br ise, hemen yanındaki üçgenin alanı 4 B br dir. Cevap : A A ile 4 B birbirine eşit olmalıdır. A 4 B A B buluruz. Cevap : C

18 x y 4 doğrusu çemberin merkezinden geçmek - tedir. Çünkü iki eş parçaya ayırmıştır. Çember, x eksenine teğet ise çemberin merkezinin ordinatı y dir. Apsisi hesaplayalım. x r 4 x 4 r dir. M 4 r, r oldu. y eksenini kesen noktalar arası mesafe 4 birim ise, merkezden buraya dikme indirdiğimizde eş par - çaya ayrılır. Burada oluşan dik üçgende pisagor yaparsak, 4 r r 4 6 8r r r 5 0 8r r dir. 5 Çevre r. 5 buluruz. Cevap : B Soruda verilen bilgileri kullanarak, yukarıdaki şekli çizebiliriz. ABC dik üçgeninin kenarları r, r, 5 r şeklindedir. Pisagor teoremini uygulayalım. r r 5 r 4 8r 4r 5 4r 9 r 4r r tür. 4r 5 0r 4r Üçgenin içindeki daire alanları toplamı açı olarak 80 derecelik daire dilimine denktir. Yani, dairenin alanından yarım dairenin alanını çıkararak sorunun cevabını bulacağız,5 daire. Bir dairenin alanı r. tür. 5,5. 7,5 buluruz. Cevap : E

19 Koniyi oluşturmak için 70 derecelik dilimi kullanılıyor. Yarıçapı da 8 birim verilmiş. Bu yarıçap, koninin ana doğrusunu oluşturacaktır. r 60 r formülünü kullanabiliriz. 4r 4 r 6 dır. daire P a, b 90 saat yönüne ters x ekseni boyunca y ekseni boyunca P( b, a) olur. P( b, a) P( b, a) olur. P( b, a) P( b, a ) olur. P( b, a) P a, b ise, b a a b dir. a b b a dır. 4 b b dir. ab a dir. O halde, a.b. dir. Pisagor yapalım. h 6 8 h 6 64 h 8 h 8 7 buluruz. Cevap : C Cevap : C