İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER"

Transkript

1 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden kaç tanesinin ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduğunu bulunuz. I. x x 7 = 0 II. 1 5 x 7x = 0 III. 4x 1 5 = 0 IV. 3y + y 5 = 0 V. x 3 = 0 VI. x 3 4x + 5x = 0 Verilen bir denklemin ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olabilmesi için bilinmeyen ifadenin üs kısmındaki en büyük sayının olması gerekir. Buna göre, I.. derece bir bilinmeyenli denklem II.. derece bir bilinmeyenli denklem III.. derece bir bilinmeyenli denklem IV.. derece bir bilinmeyenli denklem V. 1. derece bir bilinmeyenli denklem VI. 3. derece bir bilinmeyenli denklem Cevap: 4 3x m 5 4x 8 = 0 denkleminin ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olması için m'nin değerini bulunuz. x'in üs kısmındaki en büyük sayının olması gerekir. Buna göre, m 5 = ise m = 7 dir. Cevap: 7 (m ) x 3 + x n 4 3x 1 = 0 denkleminin ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olması için m ve n değerlerini bulunuz. x'in üs kısmındaki en büyük sayının olması gerekir. Buna göre, x 3 lü terim olmamalıdır. O halde m = 0 ve n 4 = olmalıdır. m = n = 6 Cevap: m = n = 6 a) (m 5)x 3x 6 = 0 denkleminin ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olması için m hangi değeri alamaz, bulunuz. b) (m 3)x m 7 + 5x = 0 denkleminin ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olması için m hangi değeri alamaz, bulunuz. a) x 'li terimin katsayısı sıfır olmamalıdır. m 5 ¹ 0 ise m ¹ 5 b) m 3 ¹ 0 ve m 7 = olmalıdır. m ¹ 3 ve m = 9 m = 3 veya m = 3 O halde, m = 3 tür. Cevap: 5 4 Cevap: m = 3

2 soru 1 soru 5 Aşağıdakilerden hangisi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem değildir? (m + )x 3 x 5 n + 3x = 0 denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduğuna göre, m. n çarpımı kaçtır? A) x 5x 13 = 0 A) 8 B) 6 C) 4 D) E) 1 B) 3x 5 x = 0 C) 3x 1 = 0 D) x + 5x 1 = 0 E) x 3 3x + 4x = 0 soru soru 6 Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) 3x = 0 birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir. (m + 5)x 3 + 3x n 4x 1 = 0 denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır? B) 10x 4x 7 = 0 ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir. C) y 3 5y + 4y = 0 üçüncü dereceden bir bilinmeyenli denklemdir. D) x + x 3 1 = 0 ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir. E) m 4m 6 = 0 ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir. soru 3 5x m 6 + 7x = 0 denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduğuna göre, m kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 soru 4 3x m 14 4x 3 = 0 denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduğuna göre, m'nin alabileceği değerler çarpımı kaçtır? A) 5 B) 16 C) 9 D) 4 E) 1 5KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 soru 7 (m 7)x 4x 11 = 0 denklemi ikinci dereceden bir denklem olduğuna göre, m hangi değeri alamaz? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 soru 8 (m 5)x m 3 + x 1 = 0 denklemi ikinci dereceden bir denklem olduğuna göre, m kaçtır? A) 5 B) 4 C) 1 D) 4 E) 5 1 E D 3 E 4 B 5 B 6 A 7 C 8 E

3 İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerin Çözümü Çarpanlara ayırma yöntemiyle kümesi bulunur. x 5x 14 = 0 denkleminin kümesini bulunuz. x 5x 14 = (x 7)(x + ) x 7 x + x 5x 14 = (x 7). (x + ) = 0 x 7 = 0 veya x + = 0 x = 7 veya x = Çözüm kümesi: Ç.K = {, 7} Cevap: {, 7} x 3x = 0 denkleminin kümesini bulunuz. x 3x = (x + 1)(x ) x +1 x x 3x = (x + 1). (x ) = 0 ise x + 1 = 0 veya x = 0 x = 1 veya x = Çözüm kümesi: Ç.K = { 1, } Cevap: { 1, } 4x 5= 0 denkleminin kümesini bulunuz. a b = (a b)(a + b) olduğunu hatırlayınız. 4x 5 = (x 5)(x + 5) 4x 5 = (x 5)(x + 5) = 0 ise x 5 = 0 veya x + 5 = 0 x = 5 veya x = 5 Çözüm kümesi: Ç.K = { 5, 5 } Cevap: { 5, 5 } x = 7x denkleminin kümesini bulunuz. x = 7x ise x 7x = 0 dır. x 7x ifadesini çarpanlara ayırmak için ortak çarpan x parantezine alınır. x 7x = x(x 7) = 0 ise x = 0 veya x 7 = 0 x = 7 Çözüm kümesi: Ç.K = {0, 7 } Cevap: {0, 7 } 6

4 soru 1 x 8x 9 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? soru 5 16x 9 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 1} B) {9} C) { 1,9} D) { 9,1} E) { 9} A) { 4 3, 4 3 } B) { 3 4, 3 4 } C) { 3 4 } D) {3 4 } E) { 3, 3 } soru x x 30 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? soru 6 50 x = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 6,5} B) { 6} C) { 5} D) {6} E) { 5,6} A) {ñ5} B) { 5} C) {5} D) { ñ5,ñ5} E) { 5,5} soru 3 3x 5x = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 1, } B) {} 3 C) { 1 3 } D) { 1 3, } soru 4 5x + 11x + = 0 E) {, 1 3 } denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {, 1 5 } B) { 5, 1} C) { } D) { 1 5 } E) { 1 5, } 7KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 x 3x = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {0} B) {3} C) {0,3} D) { 3,0} E) { 3} soru 8 4x = 5x denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 5 4, 0} B) {0, 4 5 } C) { 5 4 } D) {0, 5 4 } E) {0} 1 C E 3 D 4 A 5 B 6 E 7 C 8 D

5 x = 0 denkleminin kümesini bulunuz. x = x. x x = x. x = 0 ise x = 0 veya x = 0 (Eşit iki kök olduğuna dikkat ediniz.) Çözüm kümesi: Ç.K = {0} Cevap: {0} (3x 4) = 0 denkleminin kümesini bulunuz. (3x 4) = (3x 4)(3x 4) (3x 4) = (3x 4)(3x 4) = 0 3x 4 = 0 ise x = 4 3 Çözüm kümesi: Ç.K = { 4 3 } Cevap: { 4 3 } x + 6x + 9 = 0 denkleminin kümesini bulunuz. x + 6x + 9 = (x + 3). (x + 3) = (x + 3) x +3 x +3 x + 6x + 9 = (x + 3) = 0 x + 3 = 0 ise x = 3 Çözüm kümesi: Ç.K = { 3} Cevap: { 3} 4x 1x + 9 = 0 denkleminin kümesini bulunuz. 4x 1x + 9 = (x 3). (x 3) = (x 3) x 3 x 3 4x 1x + 9 = (x 3) = 0 x 3 = 0 ise x = 3 Çözüm kümesi: Ç.K = { 3 } Cevap: { 3 } 8

6 soru 1 9x = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? soru 5 x 8x + 16 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 3} B) {3} C) { 1 } D) {0} E) Æ 3 A) { 4, 4} B) { 4} C) {4} D) {, 6} E) {8} soru 4x + x 6 = (3 x) denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? soru 6 x(x + 10) = 5 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 1 } B) {1 } C) { } D) {} E) {0} A) { 5, 5} B) { 5} C) {5} D) { 5, 1} E) {5} soru 3 ( x + 5) = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 5 } B) { 5 } C) {0} D) { 5 } E) { 5 } soru 4 (3x + 7) = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 7 3 } B) { 3 7 } C) {0} D) { 3 7 } E) { 7 3 } 9KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 9x + 6x + 1 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 1 3, 1 3 } B) { 1 3 } C) { 1 3 } D) { 1 3, 3} E) { 1 3, 3} soru 8 16x 4x + 9 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 3 4, 3 4 } B) { 4 3 } C) { 3 4 } D) {3 4 } E) { 4 3 } 1 D E 3 E 4 A 5 C 6 B 7 B 8 D

7 x + 9 = 0 denkleminin reel sayılardaki kümesini bulunuz. x + 9 = 0 ise x = 9 olur. Hiçbir reel sayının karesi 9'a eşit olamayacağı için kümesi boş kümedir. Ç.K = Æ Cevap: Æ x + 8 = 0 denkleminin reel sayılardaki kümesini bulunuz. x + 8 = 0 ise x = 8 x = 4 Hiçbir reel sayının karesi 4'e eşit olamayacağı için kümesi boş kümedir. Ç.K = Æ Cevap: Æ x(x 5) = 5( x ) denkleminin reel sayılardaki kümesini bulunuz. x(x 5) = 5( x ) x 5x = 5x 10 x = 10 Hiçbir reel sayının karesi 10'a eşit olamayacağı için kümesi boş kümedir. Ç.K = Æ Cevap: Æ (x + 1)(x + ) = 3x 14 denkleminin reel sayılardaki kümesini bulunuz. (x + 1)(x + ) = 3x 14 x + x + x + = 3x 14 x + 3x + = 3x 14 x = 16 Hiçbir reel sayının karesi 16'ya eşit olamayacağı için kümesi boş kümedir. Ç.K = Æ 10 Cevap: Æ

8 soru 1 soru 5 x + 1 = 0 denkleminin reel sayılardaki kümesi aşağıdakilerden hangisidir? x(x + 3) = 3(x 3)denkleminin reel sayılardaki kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 3} B) {3} C) Æ D) { 3,3} E) { 9} A) { 1, 1} B) { 1} C) {1} D) Æ E) {0} soru soru 6 x 4 = 0 denkleminin reel sayılardaki kümesi aşağıdakilerden hangisidir? x( x + 6) = 6(x + 6)denkleminin reel sayılardaki kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) Æ B) { 6} C) { 3} D) {6} E) { 6,6} A) {, } B) { } C) { 1} D) {} E) Æ soru 3 3x + 7 = 0 denkleminin reel sayılardaki kümesi aşağıdakilerden hangisidir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 (x )(x + 4) = x 9 denkleminin reel sayılardaki kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) Æ B) { 3,3} C) { 3} D) {3} E) { 9} A) { 1} B) {1} C) { 1,1} D) {0,1} E) Æ soru 4 soru 8 x 50 = 0 denkleminin reel sayılardaki kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 5} B) Æ C) {5} D) { 5,5} E) {0,5} ( x + 3)(x 1) = 4x + 1 denkleminin reel sayılardaki kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {,} B) { } C) {} D) Æ E) {0,} 1 D E 3 A 4 B 5 C 6 A 7 E 8 D 11

9 Bir denklemin kümesinin her bir elemanına denklemin kökü denir. Yani kök denklemi sağlayan değer demektir. Aşağıdaki denklemlerin köklerini bulunuz. a) (x 3) = 5 b) (x )(x + 3) = x 4 a) (x 3) = 5 ise x 3 = 5 veya x 3 = 5 dir. x = 4 x = 1 Köklerden biri = 4 iken diğeri x = 1 dir. b) (x )(x + 3) = x 4 = (x ) ise (x )(x + 3) (x ) = 0 (x )(x + 3 ) = 0 (x )(x + 1) = 0 x = 0 veya x + 1 = 0 x = x = 1 Köklerden biri = iken diğeri x = 1 dir. Cevap: 1 veya 4 Cevap: 1 veya 3x (m + 3)x + m = 0 denkleminin köklerinden biri olduğuna göre, m'nin değerini bulunuz. x (m )x + m 1 = 0 denkleminin köklerinden biri 3 olduğuna göre, diğer kökü bulunuz. Denklemde x gördüğümüz her yere yazarız. 3. (m + 3). + m = 0 1 m 6 + m = 0 4 m = 0 m = 4 Denklemde x gördüğümüz her yere 3 yazarız. 3 (m ). 3 + m 1 = 0 9 3m m 1 = 0 14 m = 0 m = 14 Denklem: x (14 )x = 0 x 1x + 7 = 0 Cevap: 4 x 3 x 9 Diğer kök: x 9 = 0, x = 9 x x 10 = 0 18 denkleminin köklerinden biri a olduğuna göre, a a 4 ifadesinin eşitini bulunuz. Denklemde x gördüğümüz her yere a yazarız. a a 10 = 0 ise a a = 10 dur. O halde, = = = 3 a a tür. 10 Cevap: 9 Cevap: 3 1

10 soru 1 (7 x) = 9 denkleminin kökleri ve x dir. hangisidir? x 1 + x aşağıdakilerden soru 5 x + (m 5)x m + 1 = 0 denkleminin köklerinden biri 1 olduğuna göre, diğer kök kaçtır? A) 7 B)5 C) 7 D) 9 E) 49 A) 3 B) C) 1 D) E) 3 soru (x 3)(x + 5) = x + 5 denkleminin köklerinden küçük olanı kaçtır? soru 6 x (m + 3)x m 5 = 0 denkleminin köklerinden biri ( 1) olduğuna göre, diğer kök kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 3 E) 4 A) 5 B) 5 C) 5 D) 5 E) 0 soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 4x + mx 7= 0 denkleminin köklerinden biri 1 olduğuna göre, m kaçtır? x 3x 7 = 0 denkleminin köklerinden biri m olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 10 m 3m A) 10 B) 1 C) 14 D) 16 E) 18 A) B) 1 C) 1 D) E) 5 soru 4 soru 8 x + (m + )x + 18 = 0 denkleminin köklerinden biri ( ) olduğuna göre, m kaçtır? x 5x 1 = 0 denkleminin köklerinden biri k olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 9 4k 10k + 1 A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 A) 3 B) 1 C) 1 D) 3 E) 9 1 D A 3 B 4 E 5 B 6 C 7 D 8 D 13

11 İkinci Dereceden Denklemlerin Genel Çözümü İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin köklerini çarpanlara ayırma yöntemiyle bulabileceğimizi öğrendik. Fakat her zaman çarpanlarına ayırmak kolay olmayabilir. Bu durumda ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin kökleri aşağıdaki işlemler yardımıyla bulunur. ax + bx + c = 0 1) Diskriminant (D) bulunur. D (Delta) diye okunur. D = b 4ac ) Kökler b + b x 1 = ve x = formülleriyle bulunur. a a x 5x 1 = 0 denkleminin diskriminantını bulunuz. x 5x 1 = 0 a b c a = b = 5 c = 1 Diskriminant: D = b 4ac = ( 5) 4.. ( 1) D = = 33 Cevap: 33 x 1x + 36 = 0 denkleminin diskriminantını bulunuz. 1x 1x + 36 = 0 a b c a = 1 b = 1 c = 36 Diskriminant: D = b 4ac = ( 1) D = = 0 Cevap: 0 x + 5x 7 = 0 denkleminin diskriminantını bulunuz. 3x 4x + m 3 = 0 denkleminin diskriminantı 4 olduğuna göre, m'nin değerini bulunuz. 14 1x + 5x 7 = 0 a b c a = 1 b = 5 c = 7 Diskriminant: D = b 4ac = 5 4. ( 1). ( 7) D = 5 8 = 3 3x 4x + m 3 = 0 a b c a = 3 b = 4 c = m 3 D = b 4ac = ( 4) 4. 3 (m 3) = (m 3) = m + 36 = 4 48 = 1 m 4 = m Cevap: 3 Cevap: 4

12 soru 1 soru 5 3x 7x 4 = 0 denkleminin diskriminantı kaçtır? 5x + 4x 6 = 0 denkleminin diskriminantı kaçtır? A) 1 B) 48 C) 49 D) 87 E) 97 A) 104 B) 94 C) 84 D) 104 E) 136 soru soru 6 x 5x + 6 = 0 denkleminin diskriminantı kaçtır? 4x x + 3 = 0 denkleminin diskriminantı kaçtır? A) 1 B) 9 C) 16 D) 4 E) 49 A) 49 B) 48 C) 47 D) 47 E) 48 soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 x + 6x 9 = 0 denkleminin diskriminantı kaçtır? x + 6x m + 1 = 0 denkleminin diskriminantı 76 olduğuna göre, m kaçtır? A) 3 B) 8 C) 0 D) 8 E) 3 A) 5 B) 4 C) 3 D) 4 E) 5 soru 4 soru 8 4x + 0x + 5 = 0 denkleminin diskriminantı kaçtır? x + 8x m = 0 denkleminin diskriminantı ( 4) olduğuna göre, m kaçtır? A) 0 B) 50 C) 100 D) 00 E) 300 A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 0 1 E A 3 C 4 A 5 A 6 C 7 B 8 D 15

13 ax + bx + c = 0 denkleminin kökleri b + b x 1 = ve x = dır. a a x 8x + 4 = 0 denkleminin köklerini bulunuz. 1) Diskriminant bulunur. 1x 8x + 4 = 0 ise a = 1 b = 8 a b c c = 4 D = b 4ac = ( 8) = = 48 ) Kökler b + ( 8) x1 = = = = 4+ 3 a.1 b ( 8) x = = = = 4 3 a.1 Cevap: {4 ñ3, 4 + ñ3} x + 6x = 0 denkleminin köklerini bulunuz. 1) Diskriminant bulunur. 1x + 6x = 0 ise a = 1 b = 6 a b c c = D = b 4ac = 6 4. ( 1). ( ) = 36 8 = 8 ) Kökler b x1 = = = = 3 7 a ( 1) b x = = = = 3+ 7 a ( 1) Cevap: {3 ñ7, 3 + ñ7} Çarpanlara ayırma yöntemiyle çözebildiğimiz ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri de genel yöntemle çözebiliriz. 3x + 7x = 0 denkleminin köklerini bulunuz. 1) Diskriminant bulunur. 3x + 7x = 0 ise a = 3 b = 7 a b c c = D = b 4ac = 7 4. ( 3). ( ) = 49 4 = 5 ) Kökler b x1 = = = = = a ( 3) b x = = = = = a Çarpanlara ayırma yöntemiyle de çözelim. 3x + 7x = ( 3x + 1). (x ) = 0 ise 3x + 1 = 0 veya x = 0 x = 1 3 x = Cevap: { 1 3, } 16

14 soru 1 x 4x = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? soru 5 x 4x 16 = 0 denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir? A) { ñ6, + ñ6} B) { ñ, + ñ} C) {ñ6, ñ6 + } D) {ñ, ñ + } E) { ñ3, + ñ3} A) +ñ5 B) +ñ5 C) +ñ5 D) ñ5 E) 1+ñ5 soru x x 3 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? soru 6 x 6x + 1 = 0 denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir? A) {1 ñ7, 1 + ñ7} B) {ñ7 1, ñ7 + 1} A) B) C), D), C) D) soru 3 x x 1 = 0 E) { ñ7, + ñ7} KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 5x 9x = 0 E) 3 11 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? denkleminin kökleri ve x dir. x kaçtır? { + } { + } A) 1 3, 1 3 B) 3 1, 3 1 A) 11 5 B) 9 5 C) 8 5 D) 7 5 E) C), D), E), soru 4 soru 8 x + 6x + 6 = 0 denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir? 4x 3x 1 = 0 x1 denkleminin kökleri ve x dir. x hangisi olabilir? oranı aşağıdakilerden A) 3 ñ3 B) 3+ñ3 C) ò15 3 D) 3 ò15 E) 3 ò15 A) 16 B) 8 C) 4 D) 1 4 E) 4 1 A C 3 E 4 D 5 B 6 E 7 A 8 C 17

15 x x = 0 denkleminin köklerini bulunuz. 1) Diskriminant bulunur. 1x 1x = 0 ise a = 1 b = 1 a b c c = 1 4 D = b 4ac = ( 1) = 1 1 = 0 ) Kökler b + ( 1) x1 = = = = a.1 b ( 1) x = = = = a.1 = x = 1 (Eşit iki kök) Cevap: { 1 } 4x + 4x + 1 = 0 denkleminin köklerini bulunuz. 1) Diskriminant bulunur. 4x + 4x + 1= 0 ise a = 4 b = 4 a b c c = 1 D = b 4ac = = = 0 ) Kökler b x1 = = = = a.4 8 b x = = = = a.4 8 = x = 1 (Eşit iki kök) Cevap: { 1 } 3x + 4x 6 = 0 denkleminin köklerini bulunuz. 1) Diskriminant bulunur. 3x + 4x 6= 0 ise a = 3 b = 4 a b c c = 6 D = b 4ac = 4 4. ( 3). ( 6) = 16 7 D = 56 ) Kökleri bulmak için ñd nin reel sayı olması gerekir. ó 56 reel sayı olmadığı için reel kök yoktur. Cevap: Æ 18

16 soru 1 soru 5 x 3x = 0 5x 10x + 1 = 0 denkleminin kökü kaçtır? denkleminin kökü kaçtır? A) B) 3 C) 1 D) 3 E) A) 5 B) 1 5 C) 1 5 D) 1 E) 5 soru soru 6 x + x = 0 denkleminin kökü kaçtır? x + 5x 8 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 B) 1 C) 1 D) 1 E) A) B), C), D), 4 4 soru 3 x + 5x 5 4 = 0 denkleminin kökü kaçtır? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI E), 4 4 soru 7 x x + 6 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) 5 B) 5 C) 5 D) 1 E) 5 { } { } A) 1 7, 1+ 7 B) 1 7, 1+ 7 { } { } C) 1 5, 1+ 5 D) 1 5, 1+ 5 E) soru 4 soru 8 9x + 1x + 4 = 0 denkleminin kökü kaçtır? x + 4x 6 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 B) 3 C) 9 D) 3 E) 3 { } { } A), + B), + { } C) D) 10, 10 { } E) 10, D C 3 E 4 B 5 C 6 A 7 E 8 C 19

17 Köklerin Varlığının İncelenmesi İkinci dereceden bir bilinmeyenli ax + bx + c = 0 denkleminin 1) İki farklı reel kökü olması için D = b 4ac > 0 olmalıdır. ) Eşit iki reel kökünün olması için D = b 4ac = 0 olmalıdır. (Çakışık iki kök, çift katlı kök, tam kare ifadeleri eşit iki kök demektir.) 3) Reel kökünün olmaması için D = b 4ac < 0 olmalıdır. x 6x m + 3 = 0 denkleminin iki farklı reel kökü vardır. m'nin hangi aralıkta olduğunu bulunuz. D = b 4ac >0 olmalıdır. ( 6) ( m + 3) > ( m + 3) > m 1 > 0 4m > 4 ise m > 6 x (m 6)x + 16 = 0 denkleminin eşit iki kökü vardır. m'nin alabileceği değerleri bulunuz. D = b 4ac = 0 olmalıdır. ( m + 6) = 0 ( m + 6) = 64 ise m + 6 = 8 veya m + 6 = 8 m = m = 14 Cevap: ( 6, ) Cevap: {, 14} x 8x + m + = 0 denkleminin reel kökü yoktur. m'nin hangi aralıkta olduğunu bulunuz. D = b 4ac < 0 olmalıdır. ( 8) 4. ( ). (m + ) < (m + ) < m + 16 < 0 8 m < 80 ise m < 10 Cevap: (, 10) mx mx + m = 0 ikinci dereceden denklemi için aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi doğrudur, bulunuz. I. m > 0 ise iki farklı reel kök vardır. II. m = 0 ise eşit iki kök vardır. III. m < 0 ise reel kök yoktur. IV. m = 5 için kümesi elemanlıdır. V. m = için kümesi boş kümedir. Köklerin varlığını incelemek için D = b 4ac yi bulalım. D = ( m) 4m(m ) D = 4m 4m + 8m D = 8m I. 8m > 0 ve m > 0 olduğu için iki farklı reel kök vardır. II. 8m = 0 ve m = 0 fakat m = 0 için denklem = 0 olduğundan reel kök yoktur. III. 8m < 0 ve m < 0 olduğu için reel kök yoktur. IV. m > 0 için iki farklı reel kök var. m = 5 > 0 olduğu için kümesi elemanlıdır. V. m < 0 için reel kök yoktur. < 0 olduğu için kümesi boş kümedir. 0 Cevap: 4

18 soru 1 soru 5 x + x m + 5 = 0 denkleminin iki farklı reel kökü olduğuna göre, m hangi aralıkta olmalıdır? 4x 4x + m + 4 = 0 denkleminin reel kökünün olmaması için m hangi aralıkta olmalıdır? A) m<4 B) m<5 C) m>5 D) m 4 E) m>4 A) m< 3 B) m<0 C) m> 3 D) m>0 E) m>3 soru x + 3x + m + 1 = 0 denkleminin iki farklı reel kökü olduğuna göre, m hangi aralıkta olmalıdır? soru 6 1 x x m + 3 = 0 denkleminin reel kökünün olmaması için m hangi aralıkta olmalıdır? A) m < 9 4 B) m > 11 4 A) m<0 B) m<1 C) m<4 D) m>1 E) m>0 C) m > 3 D) m > 13 4 E) m > 4 soru 3 x + (m 3)x + 5 = 0 denkleminin eşit iki kökü olması için m'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 0 B) 3 C) 6 D) 7 E) 1 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 m 0 olmak üzere mx (m 1)x + m 1 = 0 denklemi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) Reel kökü yoktur. B) Eşit iki kök vardır. C) m = 3 için kümesi 1 elemanlıdır. D) İki farklı reel kökü vardır. E) m > 0 için iki farklı reel kökü vardır. soru 4 soru 8 x + (m 1)x = 0 denkleminin çift katlı kök (eşit iki kök) olması için m'nin alabileceği değerler çarpımı kaçtır? x x + m + 1 = 0 denklemi için aşağıdakilerden hangisi veya hangileri doğrudur? I. m < 0 için reel kök yoktur. A) 15 B) 10 C) 5 D) 10 E) 15 II. m > 0 için iki farklı reel kök vardır. III. m = 0 için eşit iki kök vardır. A) I, II ve III B) I ve III C) II ve III D) I ve II E) Yalnız III 1 E D 3 C 4 A 5 C 6 B 7 D 8 E 1

19 (m + )x + 4x = 0 ikinci derece denkleminin iki farklı reel kökünün olması için m'nin alabileceği birbirinden farklı en küçük iki tamsayı değerinin toplamını bulunuz. D = b 4ac > 0 olmalıdır. 4 4(m + ). ( ) > m + 16 > 0 ise 8m > 3 ve m > 4 tür. x nin katsayısı 0 olmamalıdır. O halde m + 0, m dir. m > 4 ve m ise m'nin alabileceği en küçük iki tamsayı değeri m = 3 ve m = 1 dir. O halde, m'nin alabileceği değerler toplamı ( 3) + ( 1) = 4 Cevap: ( 4) x + (m 4)x 9 = 0 denkleminin çakışık iki kökünün olması için m'nin alabileceği değerleri bulunuz. Çakışık iki kök eşit iki kök demektir. Dolayısıyla D = b 4ac = 0 olmalıdır. (m 4) 4. ( 1). ( 9) = 0 (m 4) 36 = 0 (m 4) = 36 m 4 = 6 veya m 4 = 6 m = 10 m = Cevap: {, 10} 3x + x m + = 0 denkleminin reel kökünün olmaması için m'nin alacağı en küçük tamsayı değerini bulunuz. D = b 4ac < 0 olmalıdır. 4. ( 3). ( m + ) < ( m + ) < 0 4 1m + 4 < 0 8 < 1m 8 1 < m ve 7 < m olduğuna göre, m'nin alacağı en küçük 3 tamsayı değeri 3'tür. Cevap: 3 3x + 6x + m 4 = 0 denkleminin reel kökü vardır. m'nin hangi aralıkta olduğunu bulunuz. İkinci dereceden bir denklemin reel kökünün olması için iki farklı reel kökü (D > 0) veya eşit iki reel kökü (D = 0) olmalıdır. O halde, D = b 4ac 0 dır ( 3). (m 4) (m 4) m m 1 ise m 1 Cevap: [1, )

20 soru x + x m + 1 = 0 soru 5 1 x + 4x + m = 0 denkleminin iki farklı reel kökünün olması için m'nin alacağı en küçük tamsayı değeri kaçtır? denkleminin reel kökünün olmaması için m'nin alacağı en büyük tamsayı değeri kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) E) 1 A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 soru soru 6 m 3 olmak üzere, x x + m 4 = 0 (m + 3)x 6x + 3 = 0 denkleminin iki farklı reel kökünün olması için m'nin alabileceği birbirinden farklı en büyük üç tamsayının toplamı kaçtır? A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 soru 3 x + (m 5)x = 0 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI denkleminin kümesi boş küme olduğuna göre, m aşağıdaki değerlerden hangisi olamaz? A) 3 soru 7 x 8x + m + 4 = 0 B) 11 C) 1 D) 10 E) 9 denkleminin çakışık iki kökünün (eşit iki kök) olması için m'nin alabileceği değerler çarpımı kaçtır? denkleminin reel kökünün olması için m hangi aralıkta olmalıdır? A) 6 B) 4 C) 6 D) 8 E) 1 A) m 1 B) m<1 C) m 1 D) m>1 E) m 16 soru 4 soru 8 x (m + 3)x + m + m = 0 x + ñx + m = 0 denkleminin tam kare (eşit iki kökünün) olması için m kaçtır? denkleminin reel kökünün olması için m aşağıdaki değerler- A) 3 B) 9 4 C) D) 7 4 E) 9 den hangisi olamaz? A) 5 B) C) 3 D) 1 E) 1 1 D D 3 C 4 B 5 C 6 E 7 A 8 A 3

21 Kök ve Katsayıları Arasındaki Bağıntılar ax + bx + c = 0 denkleminin kökleri ve x olsun. Kökler Toplamı: + x = b a Kökler Çarpımı:. x = c a Kökler Farkı: x = ñd a bağıntılarıyla bulunur. x 3x 7 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. Aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz. x 3x 7 = 0 ise a =, b = 3 ve c = 7 dir. a) + x = b a = 3 = 3 a) + x b). x c) x b). x = c a = 7 = 7 ( 3) 4..( 7) 65 c) x1 x = = = a 3x (m + 3)x + = 0 denkleminin kökler toplamı olduğuna göre, m'nin değerini bulunuz. (m 1)x + 4x + m = 0 denkleminin kökler çarpımı 1 olduğuna göre, m'nin değerini 3 bulunuz. 3x (m + 3)x + = 0 ise a = 3, b = m 3 Kökler toplamı: b a = m 3 3 m 3 = ise m 3 = 6 3 m = 9 = m 3 3 (m 1)x + 4x + m = 0 ise a = m 1, c = m Kökler çarpımı: c a = m m 1 Cevap: 9 m m 1 = 1 3 ise 3m = m 1 m = 1 Cevap: 1 x + 4x + m + = 0 denkleminin kökleri ve x dir. + x =. x olduğuna göre, m'nin değerini bulunuz. x + 4x + m + = 0 ise a = 1, b = 4 ve c = m + dir. + x = b a = 4 1 = 4. x = c a = m + 1 = m + + x = x 4 = (m + ) 4 = m = m 4 Cevap: 4

22 soru 1 soru 5 3x 6x 5 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. + x +. x ifadesinin değeri kaçtır? (3m )x + x m + 1 = 0 1 denkleminin kökler çarpımı 4 olduğuna göre, m kaçtır? A) 11 3 B) 1 3 C) 1 3 D) 5 3 E) 11 3 A) B) 1 C) 0 D)1 E) soru soru 6 x 6x + m + = 0 denkleminin kökleri ve x dir. x = 4 olduğuna göre, m kaçtır? x + 5x m + 3 = 0 denkleminin kökler çarpımı ( 5) olduğuna göre, m kaçtır? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 A) 13 B) 7 C) 7 D)13 E) 16 soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 mx (m + 3)x 1 = 0 denkleminin kökler toplamı 3 olduğuna göre, m kaçtır? A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 x (m + 3)x + 3m 7 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. + x =. x olduğuna göre, m kaçtır? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 soru 4 soru 8 x + (m )x + 5 = 0 denkleminin eşit iki kökü vardır. m'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? x (m + 3)x 8 = 0 denkleminin kökleri ve x dir.. x = 4 + 4x olduğuna göre, m kaçtır? A) 4 B) C) 0 D) E) 4 A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 1 C C 3 B 4 A 5 E 6 D 7 E 8 D 5

23 x 5x = 0 denkleminin kökleri ve x dir ifadesinin değerini bulunuz. x x 1 x 5x = 0 ise a = 1, b = 5 ve c = dir. b 5 x1+ x = = = 5 a 1 c x 1. x = = = olduğuna göre, a x1+ x = = = dir. x x x.x 1 (x ) ( x ) 1 1 Cevap: 5 3x x 4 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. x 1. x + x. x ifadesinin değerini bulunuz. 1 3x x 4 = 0 ise a = 3, b = ve c = 4 dür. b c 4 x1+ x = = = ve x 1. x = = için a 3 3 a x 1.x + x.x1 = x1x (x1+ x ) =. = dur Cevap: 8 9 x x 6 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. ( 3).(x 3) ifadesinin değerini bulunuz. x x 6 = 0 ise a = 1, + x = b a = 1 =. x = c a = 6 1 = 6 b = ve c = 6 dır. ( 3)(x 3) = 4 x 6 6x + 9 = 4 x 6( + x )+ 9 = 4.( 6) = = 7 Cevap: 7 x 6x + m + 3 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. ò + òx = ò10 olduğuna göre, m'nin değerini bulunuz. x 6x + m + 3 = 0 ise a = 1, b = 6 ve c = m x = b a = 6 1 = 6. x = c a = m+3 1 = m + 3 ò + òx = ò10 (Her iki tarafın karesini alalım) (ò + òx ) = ò10 x + x. x + x = x + x + x. x = m + 3 = 10 m + 3 = 4 m + 3 = m 3 ise m=1 dir. + = 6 Cevap: 1

24 soru 1 soru 5 x 6x 3 = 0 denkleminin kökleri ve x olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? x x 1 x 4x = 0 denkleminin kökleri ve x dir. (x + 3) + x ( + 3) ifadesinin değeri kaçtır? A) 3 B) C) 1 D) E) 3 A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 1 soru soru 6 x + (m 5)x m + 6 = 0 denkleminin kökleri ve x dir = olduğuna göre, m kaçtır? x x 1 x + 6x + 4 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. (3 + )(3x + ) ifadesinin değeri kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 A) 4 B) 0 C) 1 D) 8 E) 4 soru 3 4x + 5x + 3 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. x 1. x + x. x 1 ifadesinin değeri kaçtır? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 x 9x + m = 0 denkleminin kökleri ve x dir. ò + òx = ò13 olduğuna göre, m kaçtır? A) B) 3 5 C) 15 8 D) 15 8 E) A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 soru 4 soru 8 x x 10 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. > x olduğuna göre, x. x kaçtır? x. x 1 1 ifadesinin değeri x 8x + 4 = 0 denkleminin kökleri ve x olduğuna göre, ò + òx ifadesinin değeri kaçtır? A) 0ò11 B) 10ò11 C) ò11 D) 10ò11 E) 0ò11 A) 3ñ B) ñ3 C) 3 D) ñ E) ñ3 1 B D 3 A 4 A 5 C 6 E 7 D 8 B 7

25 x 6x + m + 7 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. 3 x = olduğuna göre, m'nin değerini bulunuz. x 6x + m + 7 = 0 ise a = 1, b = 6 dır. + x = b a = 6 = 6 olduğuna göre, 1 + x = 6 Yok etme metodu ile 3 x = kökleri buluruz. + 4 = 8 ise = denklemin kökü olduğundan denklemi sağlar. x 6x + m + 7 = 0 denkleminde x yerine yazalım m + 7 = 0 ise m 1 = 0 ve m = 1 dir. Cevap: 1 x (m + 3)x 16 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. x = x olduğuna göre, m'nin değerini bulunuz. 1 Uyarı x (m + 3)x 16 = 0 ise a = 1,. x = c a = 16 = 16 olduğuna göre, 1 c = 16 dır. x x = x. x = x = 16 ise x = 8 ve x = dir x = denklemin kökü olduğundan denklemi sağlar. x (m + 3)x 16 = 0 denkleminde x yerine ( ) yazalım. ( ) (m + 3). ( ) 16 = m = 0 ise m 6 = 0 ve m = 3 dür. Cevap: 3 x + x = (x + x ) x x ve x + x = (x + x ) 3x x (x + x ) x 8x 4 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. x + x ifadesinin değerini bulunuz. 1 x 8x 4 = 0 ise a = 1, + x = b a = 8 1 = 8 ve b = 8 ve c = 4 dür.. x = c a = 4 1 = 4 olduğuna göre, x + x = ( + x ) x 1 = 8. ( 4) = = 7 dir. Cevap: 7 x + 6x = 0 denkleminin kökleri ve x dir. 3 3 x + x olduğuna göre, m'nin değerini bulunuz. 1 x + 6x = 0 ise a = 1, b = 6, c = dir. + x = b a = 6 1 = 6. x = c a = = olduğuna göre, x + x = (x + x ) 3x x (x + x ) = = = 180 dir. Cevap: 180

26 soru 1 x 4x + m 1 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. 4 x = 1 olduğuna göre, m kaçtır? soru 5 x 6x 1 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. x + x ifadesinin değeri kaçtır? 1 A) 16 B) 15 C) 14 D) 13 E) 1 A) 30 B) 3 C) 34 D) 36 E) 38 soru x + x + m 6 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. 3 x = 6 olduğuna göre, m kaçtır? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 soru 6 x 4x 6 = 0 denkleminin kökleri ve x dir ifadesinin değeri kaçtır? x x 1 A) 7 9 B) 3 C) 5 9 D) 4 9 E) 1 9 soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 x + (5m+3)x 8 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. x = x olduğuna göre, m kaçtır? 1 x x 4 = 0 denkleminin kökleri ve x dir.. ( x ) + x. (x + 4 ) ifadesinin değeri kaçtır? A) B) 1 C) 1 5 D) 1 E) A) 1 B) C) 4 D) 9 E) 16 soru 4 soru 8 x + mx + 7 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. = 3x olduğuna göre, m aşağıdakilerden hangisi olabilir? x + x 4 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. x + x ifadesinin değeri kaçtır? A) 13 B) 11 C) 11 D) 1 E) 13 A) 3 B) 6 C) 9 D) 1 E) 15 1 B C 3 B 4 D 5 E 6 A 7 C 8 A 9

27 x + (m 5)x + n = 0 denkleminin bir kökü 3, x (m )x + k = 0 denkleminin bir kökü 7 dir. Bu iki denklemin diğer kökleri eşit olduğuna göre, m'nin değerini bulunuz. Eşit kök olsun. x + (m 5)x + n = 0 denkleminin kökleri 3 ve dir. 3 + = m + 5 (Kökler toplamı) x (m )x + k = 0 denkleminin kökleri 7 ve dir. 7 + = m (Kökler toplamı) 3 + = m + 5 'i yok edelim. 7 + = m 10 = 3m + 7 m = 1 Cevap: 1 m 1 olmak üzere, x + (m + 3)x + 4m = 0 x (m 1)x 4 = 0 denkleminin birer kökü eşit olduğuna göre, m'nin değerini bulunuz. x mx + n 6 = 0 denkleminin kökleri x (m + )x + n = 0 denkleminin köklerinin 'şer katına eşittir. m ve n değerlerini bulunuz. Eşit kök olsun. Denklemlerde x yerine yazalım. x 1 + (m + 3)x1+ 4m = 0 x x 1 (m 1) 4 = 0 1 li terimi yok edelim. (m m 1) + 4m + 4 = 0 (m + ) = 4m 4 (m + ) = (m + ) = dir. ( ) eşit kök olduğu için denklemleri sağlar. x + (m + 3)x + 4m = 0 denkleminde x yerine ( ) yazalım. ( ) + (m + 3). ( ) + 4m = 0 4 m 6 + 4m = 0 ise m = 0 ve m = 1 dir. Cevap: 1 x (m + )x + n = 0 denkleminin kökleri ve x ise x mx + n 6 = 0 denkleminin kökleri ve x olur. x (m + )x + n = 0 denkleminin Kökler toplamı: + x = m + ve Kökler çarpımı: x = n dir. x mx + n 6 = denkleminin Kökler toplamı: + x = m ve Kökler çarpımı:. x = 4 x = n 6 dır. + x = m ise ( + x ) = m (m + ) = m ve m = 4 4. x = n 6 ise 4n = n 6 3n = 6 ve n = Cevap: m = 4 n = 30

28 soru 1 soru 5 x + mx + n = 0 denkleminin bir kökü 5, x kx + b = 0 denkleminin bir kökü ( 3) dür. Bu iki denklemin diğer kökleri eşit olduğuna göre, m + k toplamı kaçtır? A) 8 B) 5 C) D) 6 E) 8 m olmak üzere, x + mx + = 0 x x m = 0 denklemlerinin birer kökü eşit olduğuna göre, m kaçtır? A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 soru soru 6 x + mx + n = 0 denkleminin bir kökü 3, x 3kx + b = 0 denkleminin bir kökü ( 1) dir. Bu iki denklemin diğer kökleri eşit olduğuna göre, 6k + m toplamı kaçtır? m 3 olmak üzere, x + mx m = 0 x + 3x + m 1 = 0 denklemlerinin birer kökü eşit olduğuna göre, m kaçtır? A) 8 B) 4 C) D) E) 4 soru 3 x + mx + n = 0 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI A) 8 B) 4 C) 4 D) 8 E) 10 soru 7 x + (m )x + n = 0 denkleminin kökleri denkleminin bir kökü, x + kx + b = 0 x (m 4)x + k = 0 denkleminin köklerinin 'şer katına eşittir. m kaçtır? denkleminin bir kökü 4 dür. Bu iki denklemin diğer kökleri eşit olduğuna göre, n+b n b kaçtır? A) 4 B) 10 3 C) 3 D) 8 3 E) A) 3 B) C) 1 D) 1 E) 3 soru 4 soru 8 x + (m )x + n = 0 denkleminin bir kökü 4, x + ( m + 1)x + k = 0 x + mx + 8n = 0 denkleminin kökleri x + kx + n + 1 = 0 denkleminin köklerinin 3'er katına eşittir. n kaçtır? denkleminin bir kökü ( ) dir. Bu iki denklemin diğer kökleri eşit olduğuna göre, m kaçtır? A) 11 B) 1 C) D) 1 E) 11 A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 1 A A 3 E 4 C 5 B 6 D 7 B 8 A 31

29 Simetrik İki Kök ax + bx + c = 0 denkleminin kökleri ve x olsun. ve x 'nin simetrik iki kök olması için = x şartını sağlamalı dolayısıyla, + x = b a = 0 ve. x = c a < 0 olmalıdır. Aşağıdaki denklemlerde simetrik iki kök olup olmadığını inceleyiniz. a) x 9 = 0 b) x + 16 = 0 c) x + x 14 = 0 ve x simetrik iki kök ise + x = b a = 0 ve x. x = c 1 a < 0 olmalıdır. a) + x = 0 ve. x = 9 < 0 olduğu için simetrik iki kökü vardır. b) + x = 0 fakat. x = 16 > 0 olduğu için simetrik iki kökü yoktur. c). x = 14 < 0 fakat + x = 0 olduğu için simetrik iki kökü yoktur. x (m + 6)x + m = 0 denkleminin simetrik iki kökünün olması için m'nin değerini bulunuz. + x = 0 ve. x < 0 olmalıdır. m 6 m = 0 ve < 0 m + 6 = 0 ve m < 0 m = 6 ve m < dir. O halde m = 6 dır. Cevap: 6 x (m 5)x + n = 0 denkleminin simetrik iki kökünün olması için m ve n değerlerini bulunuz. Simetrik iki kök için + x = 0 ve. x < 0 olmalıdır. m+5 1 = 0 ve n 1 > 0 m 5 = 0 ve n > 0 m = 5 ve n > dir. Cevap: m = 5 ve n > x + (m 9)x + m = 0 denkleminin simetrik iki kökünün olması için m'nin değerini bulunuz. + x = 0 ve. x < 0 olmalıdır. m +9 1 = 0 ve m 1 < 0 m = 9 ve m < 0 3 m = 3 veya m = 3 ve m < 0 dır. O halde m = 3 olmalıdır. Cevap: 3

30 soru 1 soru 5 ax + bx + c = 0 denkleminin simetrik iki kökünün olması için aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur? x (m 4m 14)x 9 = 0 denkleminin simetrik iki kökünün olması için m'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) b = 0 A) 14 B) 4 C) 0 D) 4 E) 14 B) c a < 0 C) b = 0 ve c a > 0 D) b = 0 ve c = 0 E) b = 0 ve c a < 0 soru soru 6 Aşağıdaki denklemlerin hangisinde simetrik iki kök vardır? 3x + (m 5)x + m 7 = 0 A) x + 1 = 0 B) x 4 = 0 C) x + x 6 = 0 D) x + 18 = 0 E) x = 0 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI denkleminin simetrik iki kökü olduğuna göre, m kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) soru 3 soru 7 x + (m 4)x + n 6 = 0 denkleminin simetrik iki kökünün olması için m + n toplamının alacağı en büyük tam sayı değeri kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 x (m 16)x + m = 0 denkleminin simetrik iki kökü olduğuna göre, m kaçtır? A) 4 B) C) 1 D) E) 4 soru 4 soru 8 x (m 4)x 6 = 0 denkleminin simetrik iki kökünün olması için m'nin alabileceği değerler çarpımı kaçtır? A) 4 B) C) 1 D) E) 4 x (m m 3)x m = 0 denkleminin simetrik iki kökü olduğuna göre, m kaçtır? A) 3 B) 1 C) 1 D) 3 E) 4 1 E D 3 C 4 A 5 D 6 B 7 A 8 D 33

31 Kökleri Verilen ikinci Derece Denklemi Yazma Kökleri verilen ikinci derece denklemi yazmak için x (Kökler toplamı)x + Kökler çarpımı = 0 bağıntısı kullanılır. Aşağıda kökleri verilen ikinci dereceden denklemleri yazınız. a) = 5 ve x = 3 b) = 1 ve x = 1 3 c) = 3 ñ ve x = 3 + ñ a) Kökler toplamı: ( 5) + ( 3) = 8 Kökler çarpımı: ( 5). ( 3) = +15 x (Kökler toplamı)x + Kökler çarpımı = 0 bağıntısından Denklem: x + 8x + 15 = 0 Cevap: x + 8x + 15 = 0 1 b) Kökler toplamı: = 5 6 Kökler çarpımı: = 1 6 x (Kökler toplamı)x + Kökler çarpımı = 0 bağıntısından Denklem: x 5 6 x = 6x 5x + 1 = 0 c) Kökler toplamı: 3 ñ ñ = 6 Cevap: 6x 5x + 1 = 0 Kökler çarpımı: (3 ñ). (3 + ñ) = 3 (ñ) = 7 x (Kökler toplamı)x + Kökler çarpımı = 0 bağıntısından Denklem: x 6x + 7 = 0 Cevap: x 6x + 7 = 0 x 6x + = 0 denkleminin kökleri ve x dir. Kökleri ikinci derece denklemi yazınız. 1 ve 1 x olan x 6x + = 0 denkleminde + x = b a = 6 ve x. x = c 1 a = dir. İstenilen denklemin kökleri Kökler toplamı: 1 ve 1 1 x + x 6 x x x.x 1 x 1 + = = = 1 1 (x ) (x ) 1 3 Kökler çarpımı: = = x x x.x 1 1 x (Kökler toplamı)x + Kökler çarpımı = 0 bağıntısından Denklem: x 3x + 1 = x 6x + 1 = 0 Cevap: x 6x + 1 = 0 x 4x 6 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. Kökleri ( 3) ve (x 3) olan ikinci derece denklemi yazınız. x 4x 6 = 0 denkleminde + x = b a = 4 ve x. x = c 1 = 6 dır. a 34 İstenilen denklemin kökleri ( 3) ve (x 3) Kökler toplamı: ( 3) + (x 3) = ( + x ) 6 =. 4 6 = Kökler çarpımı: ( 3). (x 3) = 4. x 6 6x + 9 = 4.( 6) = 39 x (Kökler toplamı)x + Kökler çarpımı = 0 bağıntısından Denklem: x x 39 = 0 Cevap: x x 39 = 0

32 soru 1 soru 5 Kökleri ( 7) ve 5 olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) x + x + 35 = 0 B) x x + 35 = 0 C) x x 35 = 0 D) x + x 35 = 0 E) x 35x = 0 x + 5x 3 = 0 denkleminin köklerinin çarpmaya göre terslerini kök kabul eden ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) 3x 5x + 1 = 0 B) x 5x 3 = 0 C) 3x + 5x + 1 = 0 D) 3x + 5x 1 = 0 E) 3x 5x 1 = 0 soru soru 6 Kökleri 1 3 ve 1 olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden 4 hangisidir? x 7x + = 0 denkleminin kökleri ve x dir. Kökleri ve x olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) 1x x 1 = 0 B) 1x + x + 1 = 0 C) 1x x + 1 = 0 D) 1x + 1x 1 = 0 E) 1x + x 1 = 0 A) x 14x + 8 = 0 B) x 14x + = 0 C) x 14x + 4 = 0 D) x + 14x + 8 = 0 E) x 14x + 16 = 0 soru 3 Kökleri (ñ5 3) ve (ñ5 + 3) olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) x ñ5x + 4 = 0 B) x ñ5x 4 = 0 C) x + ñ5x 4 = 0 D) x + 6x 4 = 0 E) x 6x 4 = 0 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 x 6x + 4 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. Kökleri (3 +1) ve (3x +1) olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) x + 16x 53 = 0 B) x 16x 53 = 0 C) x + 16x + 53 = 0 D) x 16x + 53 = 0 E) x + 16x 19 = 0 soru 4 soru 8 x + 8x + = 0 denkleminin kökleri ve x dir. Kökleri 1 ve dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? 1 x olan ikinci x 4x 3 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. Kökleri (4 3) ve (4x 3) olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) x 8x + 1 = 0 B) x + 8x 1 = 0 C) x + 8x + 1 = 0 D) x 8x 1 = 0 E) x + 4x + 1 = 0 A) x x + 39 = 0 B) x + x 39 = 0 C) x + x + 39 = 0 D) x x 39 = 0 E) x x 37 = 0 1 D A 3 B 4 C 5 E 6 A 7 A 8 D 35

33 Rasyonel katsayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin bir kökü m + ñn ise diğeri m ñn dir. Aşağıda rasyonel katsayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin bir kökü verilmiştir. Diğer kökünü bulunuz. Köklü sayının önündeki sayının işareti değiştirilerek diğer kökü buluruz. a) 3 ñ5 b) + ñ3 c) ñ7 1 d) ñ + 3 a) 3 + ñ5 b) ñ3 c) ñ7 1 d) ñ + 3 Köklerinden biri 3 ñ7 olan rasyonel katsayılı ikinci dereceden denklemi yazınız. = 3 ñ7 ise x = 3 + ñ7 dir. Kökler toplamı: (3 ñ7) + (3 + ñ7) = 6 Kökler çarpımı: (3 ñ7). (3 + ñ7) = 3 (ñ7) = x (Kökler toplamı)x + Kökler çarpımı = 0 bağıntısından Denklem: x 6x + = 0 Cevap: x 6x + = 0 Köklerinden biri ñ3 + 4 olan rasyonel katsayılı ikinci dereceden denklemi yazınız. = ñ3 + 4 ise x = ñ3 + 4 dür. Kökler toplamı: (ñ3 + 4) + ( ñ3 + 4 ) = 8 Kökler çarpımı: (4 + ñ3). (4 ñ3) = 4 (ñ3) = 13 x (Kökler toplamı)x + Kökler çarpımı = 0 bağıntısından Denklem: x 8x + 13 = 0 Cevap: x 8x + 13 = 0 Rasyonel katsayılı x +bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri 3 ñ olduğuna göre b + c toplamını bulunuz. = 3 ñ ise x = 3 + ñ dir. Kökler toplamı: + x = b (3 ñ) + (3 + ñ) = b 6 = b 1 = b Kökler çarpımı:. x = c (3 ñ). (3 + ñ) = c 3 (ñ) = c 9 8 = c O halde, b + c = 1 + = 10 = c 36 Cevap: 10

34 soru 1 soru 5 Rasyonel katsayılı ikinci dereceden bir denklemin köklerinden biri (5 + ñ6 ) olduğuna göre, diğeri kaçtır? Köklerinden biri (ñ7 ) olan rasyonel katsayılı ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) 5 + ñ6 B) ñ5 6 C) 5 ñ6 D) 5 + ñ6 E) 5 ñ6 A) x 4x 3 = 0 B) x + 4x 3 = 0 C) x + 4x 7 = 0 D) x + 4x 6 = 0 E) x + 4x 1 = 0 soru soru 6 Rasyonel katsayılı ikinci dereceden bir denklem için aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? Köklerinden biri ( ñ3 + 1) olan rasyonel katsayılı ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? I. = 3 + ñ ise x = 3 ñ A) x + x 11 = 0 B) x + x + 11 = 0 II. = 1 ñ3 ise x = 1 + ñ3 C) x x 13 = 0 D) x x + 13 = 0 III. = ñ5 ise x = ñ5 E) x x 11 = 0 IV. = ñ7 + 3 ise x = ñ7 3 V. = ñ6 ise x = + ñ6 A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 Köklerinden biri (1 ñ ) olan rasyonel katsayılı ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? Rasyonel katsayılı 3x + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri ( + ñ ) olduğuna göre, b c kaçtır? A) x x 1 = 0 B) x x = 0 A) 18 B) 1 C) 6 D) 6 E) 18 C) x + x 1 = 0 D) x + x = 0 E) x x + 1 = 0 soru 4 soru 8 Köklerinden biri (3 ñ5 ) olan rasyonel katsayılı ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? Rasyonel katsayılı x + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri (1 ñ5 ) olduğuna göre, b + c toplamı kaçtır? A) x 6x + 11 = 0 B) x + 6x 11 = 0 A) 6 B) C) 4 D) 6 E) 18 C) x 6x 11 = 0 D) x 6x + 4 = 0 E) x 6x 17 = 0 1 E D 3 A 4 C 5 B 6 E 7 A 8 D 37

35 Polinomların Çarpımı Şeklindeki Denklemlerin Çözümü P(x) ve Q(x) iki polinom olsun. P(x). Q(x) = 0 ise P(x) = 0 veya Q(x) = 0 dır. (x ).(x + 5) = 0 denkleminin kümesini bulunuz. (x ).(x + 5) = 0 ise x = 0 veya x + 5 = 0 x = x = 5 Ç.K = { 5, } Cevap: { 5, } (x + 3).(x + x 15) = 0 x + x 15 = (x + 5).(x 3) denkleminin kümesini bulunuz. x +5 x 3 (x + 3).(x + x 15) = (x + 3).(x + 5).(x 3) = 0 x + 3 = 0 veya x + 5 = 0 veya x 3 = 0 x = 3 x = 5 x = 3 Ç.K = { 5, 3, 3} Cevap: { 5, 3, 3} (x + 5).(x + 3x 10) = 0 denklemini sağlayan farklı x değerlerinin toplamını bulunuz. (x + 5) = (x + 5).(x + 5) x + 3x 10 = (x + 5).(x ) x +5 x (x + 5).(x + 3x 10) = (x + 5).(x + 5).(x + 5).(x ) = 0 x + 5 = 0 veya x = 0 x = 5 x = x değerlerinin toplamı 5 + = 3 Cevap: 3 (x 4).(x + 1) = 5x 0 denkleminin kümesini bulunuz. Eşitliğin bir tarafını 0 yapmak için ifadeleri aynı tarafa toplarız. (x 4).(x + 1) = 5x 0 = 5(x 4) (x 4).(x + 1) 5(x 4) = 0 (x 4).(x + 1 5) = 0 (x 4).(x 4 ) = 0 (x 4).(x ).(x + ) = 0 x 4 = 0 veya x = 0 veya x + = 0 x = 4 x = x = Ç.K = {,, 4} 38 Cevap: {,, 4}

36 soru 1 soru 5 (x 4). (x + 3) = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? (x + 3). (x + 4x + 3) = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {4} B) { 3} C) { 3,4} D) { 4,3} E) { 4} A) { 3, 1, 3} B) { 3} C) { 1} D) { 3, 1} E) { 3, 3} soru soru 6 (x 5). (x + 4) = 0 denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır? ( x + 5). (x 6x + 5) = 0 denklemini sağlayan farklı x değerlerinin toplamı kaçtır? A) 0 B) 10 C) 5 D) 10 E) 0 A) 1 B) 5 C) 6 D) 10 E) 11 soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 ( x ). (x + 7x + 6) = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? (x 4). (x + 1) = 3x 1 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 6,, 1} B) {, 1, 6} C) { 6,, 1} D) {, 1} E) { 6, 1} A) { 4, 1} B) {1, 7} C) {1} D) {4} E) {1, 4} soru 4 soru 8 (x 4). (x + 3) = 0 denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır? (x ). (x + 3) = 5x 10 denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır? A) 1 B) 6 C) 4 D) 6 E) 1 A) 16 B) 8 C) 4 D) E) 1 1 C B 3 A 4 E 5 D 6 C 7 E 8 C 39

37 Polinomların Bölümü Şeklindeki Denklemlerin Çözümü P(x) ve Q(x) iki polinom olsun. P(x) = 0 ise P(x) = 0 ve Q(x) 0 dır. Q(x) 3x+6 x 3 = 0 denkleminin kümesini bulunuz. 3x + 6 = 0 ve x 3 0 olmalıdır. 3x = 6 x 3 x = O halde x = dir. Ç.K = { } Cevap: { } + x 1 x 6x 5 = 0 denkleminin kümesini bulunuz. x 6x + 5 = 0 ve x 1 0 olmalıdır. x 6x + 5 = (x 5).(x 1) = 0 ise x = 5 veya x = 1 dir. x 1 0 ise x 1 dir. x = 5 veya x = 1 ve x 1 ise x = 5 dir. O halde, Ç.K = {5} Cevap: {5} + x 5x + 6 (x 4x 3)(x ) = 0 denkleminin kümesini bulunuz. x 4x + 3 =0 veya x = 0 ve x 5x olmalıdır. x 4x + 3 = (x 1)(x 3) = 0 ise x = 1 veya x = 3 dür. x = 0 ise x = dir. x 5x + 6 (x )(x 3) 0 ise x veya x 3 dür. x = 1 veya x = 3 veya x = ve x, x 3 ise x = 1 dir. O halde, Ç.K = {1} Cevap: {1} x 3x = x x denkleminin kümesini bulunuz. Eşitliğin bir tarafını 0 yapmak için ifadeleri aynı tarafa toplarız. x 3x x 3x = x x ise x x = 0 x 3x + = 0 x x 3x + =0 ve x 0 x 3x + = (x )(x 1) = 0 ise x = veya x = 1 dir. x 0 ise x dir. x = veya x = 1 ve x ise x = 1 dir. O halde Ç.K = {1} Cevap: {1} 40

38 soru 1 x 5 x+ = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? soru x x 1 (x 5x 4).(x 3) = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {, 5} B) { 5} C) {5} D) { 5, } E) {, 5} A) { 3, 1} B) {1} C) { 3, 4} D) { 4, 1, 3} E) { 3, 1, 4} soru soru 6 3x+m x 4 = 0 (x x ).(x + 5) denkleminin kökü {, 4} kümesinin elemanı olduğuna göre, m kaçtır? A) 6 B) 3 C) 1 D) 3 E) 6 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 5} B) { 5,, 1} C) {, 5} D) { 5, 1, } E) { 5, } soru 3 8 x x 7x 8 = 0 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 x x + 3 = x + 1 x + 1 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 1} B) {1} C) { 1, 8} D) {1, 8} E) { 1, 1, 8} A) { 3} B) { 1, 3} C) {3} D) {1, 3} E) {, 3} soru 4 soru 8 + = x 1 x 3 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? x 4x 3 = x + x + denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 1, 1 } B) { 1 } C) { 1, 1} D) {1 } A) {1} B) {1, 3} C) {3} D) { 1, 3} E) {, 1, 3} E) { 1, 1 } 1 C D 3 A 4 D 5 B 6 E 7 C 8 B 41

39 1 5 x 14 x = 0 denkleminin kümesini bulunuz = 0 ise 1 x x ( x )() x (1) x x 54 = 0 dır. x 5x 14 = 0 ve x 0 olmalıdır. x 7 x + x 0 x 5x 14 = (x 7).(x + ) = 0 ise x = 7 veya x = dir. x = 7 veya x = ve x 0 ise x = 7 veya x = dir. O halde Ç.K = {, 7} Cevap: {, 7} x x 1 + x + 3 x + 1 = 0 x x = 0 x 1 x + 1 (x + 1) (x 1) denklemini sağlayan x değerlerinin toplamını bulunuz. x(x + 1) + (x 1)(x + 3) x + x + x + 3x x 3 = ( x 1)( x + 1) ( x 1)( x + 1) x + 3x 3 = 0 ( x 1)( x + 1) x + 3x 3 = 0 ve x 1 0, x x 1 x 1 x'lerin toplamı = b a = 3 Cevap: 3 x + 1 x 3 = 1 x denkleminin kümesini bulunuz. 4 x + 1 x 3 = 1 x ise x = 9 ve x 3 0 olmalıdır. x 9 = 0 x 3 x 9 = (x 3).(x + 3) = 0 ise x = 3 veya x = 3 tür. x = 3 veya x = 3 ve x 3 ise x = 3 tür. Ç.K = { 3} Cevap: { 3}

40 soru 1 1 a 4 a = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? soru x + = + 16 x + 4 x + 4 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 4,, 6} B) {6} C) { 4} D) { 6, 4} E) { 4, 6} A) { 4, 4} B) {4} C) {3, 4} D) { 4,, 4} E) { 3, 4} soru 3 x 1 x = 0 x soru 6 5 x + = mx x + denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? denkleminin kümesi tek elemanlı olduğuna göre, m kaçtır? A) { 1, 1 3 } B) { 1 3 } A) B) 3 C) 4 D) 6 E) 8 C) {1} D) { 1 3, 1} soru 3 E) {1, 1 3 } KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 x x x 5 x + = 0 x x x + 1 = x + 8 x + 1 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 B) C) 1 D) E) 4 A) { 1, 3} B) { 3, 1} C) {3} D) {, 3} E) {, 3} soru 4 x + 3 x + x + 4 x 1 = 0 soru 8 x x x + = x 1 x + denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır? denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) 11 B) 5 C) 9 D) 4 E) 7 A) {, 3} B) { 3, } C) {, 3} D) {3} E) {1, 3} 1 E D 3 B 4 A 5 B 6 C 7 C 8 D 43

41 Değişken Değiştirme Yöntemi Verilen denklemlerde, benzer ifadeler yardımcı bilinmeyenle tekrar düzenlenip ikinci dereceden denkleme dönüştürülebilir. Bu yönteme değişken değiştirme yöntemi denir. İkinci dereceden denkleme dönüşen denklem çözülerek verilen denklemin kümesi bulunur. x 4 10x + 9 = 0 denkleminin kümesini bulunuz. x 4 = (x ) dir. x = t dönüşümü yaparsak x = (x ) = t olur. Buna göre x = 0 denklemi t 10t + 9 = 0 denklemine dönüşür. t 10t + 9 = (t 9).(t 1) = 0 ise t = 9 veya t = 1 x = 9 veya x = 1 x = 3, x = 3 x = 1, x = 1 O halde Ç.K = { 3, 1, 1, 3 } Cevap: { 3, 1, 1, 3 } x 6 + 7x 3 8 = 0 denkleminin kümesini bulunuz. x 8 15x 4 16 = 0 denkleminin kümesini bulunuz. x 3x 1 + = 0 denkleminin kümesini bulunuz. x 6 = (x 3 ) dir. x 3 = t dönüşümü yaparsak x 6 = (x 3 ) = t olur. Buna göre x 6 + 7x 3 8 = 0 denklemi t + 7t 8 = 0 denklemine dönüşür. t + 7t 8 = (t + 8).(t 1) = 0 ise t = 8 veya t = 1 x 3 = 8 x 3 = 1 x = x = 1 O halde Ç.K = {, 1} Cevap: {, 1} x 8 = (x 4 ) dir. x 4 = t dönüşümü yaparsak x 8 = (x 4 ) = t olur. Buna göre x 8 15x 4 16 = 0 denklemi t 15t 16 = 0 denklemine dönüşür. t 15t 16 = (t 16).(t + 1) = 0 ise t = 16 veya t = 1 x 4 = 16 x 4 = 1 eşitliğini sağlayan x =, x = reel sayı yoktur. O halde, Ç.K = {, } Cevap: {, } x = (x 1 ) dir. x 1 = t dönüşümü yaparsak x = (x 1 ) = t olur. Buna göre x 3x 1 + = 0 denklemi t 3t + = 0 denklemine dönüşür. t 3t + = (t )(t 1) = 0 ise t = veya t = 1 x 1 = x 1 = 1 x = 1 x = 1 O halde, Ç.K = { 1, 1} Cevap: { 1, 1} 44

42 soru 1 soru 5 x 4 5x + 4 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? x 8 17x = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {1, 4} B) {1, } C) {, } D) { 1, 1} E) {, 1, 1, } A) {, 1, 1, } B) {1, 16} C) {, } D) { 1, 1} E) {1, } soru soru 6 x 4 3x 4 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? x 8 + x 4 3 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 1, 4} B) {} C) {, } D) { 1, 1} E) {, 1, 1, } A) { 1, 1} B) { 3, 1} 4 4 C) {1} D) { 3, 3} E) 4 4 { 3, 1, 1, 3} soru 3 x 6 6x 3 7 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 x x 1 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 1, 7} B) { 1} C) {3} D) { 1, 3} E) { 3, 1} A) { 1, } B) { 1, 1 } C) { 1, 1} D) {, 1} E) { 1, 1} soru 4 soru 8 x 6 9x = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? x 4 x 8 = 0 denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır? A) {1, 8} B) {1, } C) { 1, } D) {, 1} E) {, 1} A) 4 B) C) 1 D) 1 E) E C 3 D 4 B 5 A 6 A 7 B 8 E 45

43 4 X 6. X + 8 = 0 denkleminin kümesini bulunuz. 3 X 6. 3 X = 1 denkleminin kümesini bulunuz. 4 X = ( ) X = x = ( x ) x = t dönüşümü yaparsak 4 x = ( x ) = t olur. Buna göre 4 x 6. x + 8 = 0 denklemi t 6t + 8 = 0 denklemine dönüşür. t 6t + 8 = (t 4).(t ) = 0 ise t = 4 veya t = x = 4 x = x = x = 1 O halde Ç.K = {1, } Cevap: {1, } 1 3 X = 3 ve x 3x = t dönüşümü yaparsak 3 X = 1 3 = 1 x t olur. Buna göre 3 X 6. 3 X = 1 denklemi t 6 = 1 denklemine dönüşür. t t 1 6 t = 1 1 ise t 6 = t (t) (1) t t t 6 = 0 ise (t 3)(t + ) = 0 t = 3 veya t = 3 X = 3 3 X = eşitliğini sağlayan x = 1 reel sayı yoktur. O halde Ç.K = {1} Cevap: {1} (x + 3) 8. (x + 3) + 15 = 0 denkleminin kümesini bulunuz. x + 3 = t dönüşümü yaparsak (x + 3) = t olur. Buna göre (x + 3) 8(x + 3) + 15 = 0 denklemi t 8t + 15 = 0 denklemine dönüşür. t 8t + 15 = (t 3). (t 5) = 0 ise t = 3 veya t = 5 x + 3 = 3 x + 3 = 5 x = 0 x = 1 O halde Ç.K = {0, 1} Cevap: {0, 1} x 6x 8 0 x + = x denkleminin kümesini bulunuz. x x = t dönüşümü yaparsak x 6x x = t olur. x 6x Buna göre, 8 0 x + = x denklemi t 6t + 8 = 0 denklemine dönüşür. t 6t + 8 = (t 4)(t ) = 0 ise x t = 4 veya x t = x = 4 x = x = 4x 8 x = x 4 x = 8 x = 4 3 O halde Ç.K = { 8 3, 4} Cevap: { 8 3, 4} 46

44 soru 1 4 x 9. x + 8 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? soru 5 (x 5) 4(x 5) + 3 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {1, 8} B) {1, 3} C) {0, 3} D) {3} E) {0, 8} A) {1, 3} B) {3, 4} C) {3} D) {1, 4} E) {1, 3, 4} soru 9 x 6. 3 x 7 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? soru 6 (3x ) 3(3x ) 10 = 0 denkleminin kökler toplamı kaçtır? A) {} B) { 1, } C) {1, } D) {1} E) { 3, 9} soru 3 5 x x = denklemini sağlayan x değeri için óx+3 kaçtır? A) ñ3 B) C) ñ5 D) ñ6 E) ñ KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI A) 4 B) 10 3 soru 7 x + 1 x = 0 x 3 x 3 C) 3 D) 7 3 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {, 3} B) {5} C) {7} D) {5, 7} E) {, 3, 5, 7} E) soru 4 3. x+ x = 1 denklemini sağlayan x değeri x + mx 6 = 0 denkleminin bir köküdür. m kaçtır? soru 8 3x 1 3x = 0 x + x + denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) 6 B) 4 C) 3 D) E) 1 A) {3, 4} B) {0, 9} C) { 9} D) {0, 9} E) Æ 1 C A 3 B 4 E 5 B 6 D 7 D 8 C 47

45 (x x) 8. (x x) + 1 = 0 denkleminin kümesini bulunuz. x x = t dönüşümü yaparsak (x x) = t olur. Buna göre (x x) 8(x x) + 1 = 0 denklemi t 8t + 1 = 0 denklemine dönüşür. t 8t + 1 = (t 6). (t ) = 0 ise t = 6 veya t = x x = 6 x x = x x 6 = 0 x x = 0 (x 3). (x + ) = 0 (x ). (x + 1) = 0 x = 3, x = x =, x = 1 O halde Ç.K = {, 1,, 3} Cevap: {, 1,, 3} 15 x x x x = denkleminin kümesini bulunuz. x x = t dönüşümü yapalım. 15 Buna göre x x = denklemi x x t 15 = denklemine dönüşür. t t 1 15 = ise t 15 = t t (t) (1) (t) t + t 15 = (t 3).(t + 5) = 0 (t 3). ( t + 5) = 0 ise t = 3 veya t = 5 t = 3 için x x = 3 ve x x 3 = 0 dır. (x 3)(x +1) = 0 ise x = 3 veya x = 1 t = 5 için x x = 5 ve x x + 5 = 0 dır. D = b 4ac D = ( ) = 16 < 0 D < 0 reel kök yok O halde Ç.K = { 1, 3} Cevap: { 1, 3} x 3x = 3x + 1 x denkleminin kümesini bulunuz. x 3x+1 = t dönüşümü yaparsak 3x+1 x 1 = 1 t Buna göre, x 3x+1 + 3x+1 x 1 = denklemi olur. t + 1 t = denklemine dönüşür. t = ise t + 1 = t t 1 (t) (1) (t) t t + 1 = 0 t t + 1 = (t 1) = 0 ise t = 1 x 3x+1 = 1 x = 3x + 1 x = 3 O halde Ç.K = { 3 } Cevap: { 3 } 48

II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -1

II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -1 II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -. 5 {, 5} {, 5} { 5, } {, 5} {, 5} 5. 5 {,, } {,, } {,, } {,, } {,, }.. 5 7 7 5 5,, 5 5, 5 5, 5 5, 6. 7. 5 95 { 5,, } {,, 5} { 5,, 9} {,, 5} { 9,, 5} 6 66 {, } {,, } {,,

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER,, olmak üzere 2. ÜNİTE. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER ve FONKSİYONLAR

İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER,, olmak üzere 2. ÜNİTE. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER ve FONKSİYONLAR - 1-2 ÜNİTE İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER ve FONKSİYONLAR ÖĞRENME ALANI CEBİR İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER,, olmak üzere Şeklindeki açık önermelere, ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

Yeşilköy Anadolu Lisesi

Yeşilköy Anadolu Lisesi Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi

Detaylı

Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14.

Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14. 1. Ünite: Polinomlar Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Polinomlarda Bölme, Bölüm ve Kalan Bulma 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Detaylı

PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 10.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI

PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 10.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 0-0 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 0.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI EYLÜL EKİM. Gerçek katsayılı ve tek değişkenli polinomu kavram olarak örneklerle açıklar, polinomun derecesini,

Detaylı

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1 TAM KARELER 1. Bir 1000 basamaklı sayıda bir tanesi dışında tüm basamaklar 5 tir. Bu sayının hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız. (2L44) Çözüm: Son rakam 5 ise, bir önceki 2 olmak zorunda.

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı matematik SORU BANKASI Süleyman ERTEKİN LYS KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ KONU ÖZETLERİ Öğrenci Kitaplığı SORU BANKASI matematik LYS EDAM Öğrenci Kitaplığı 18 EDAM ın yazılı izni olmaksızın,

Detaylı

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir. Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: POLİNOMLAR ALIŞTIRMALAR Bu başlık altında her bölüm kazanımlara ayrılmış, kazanımlar tek tek çözümlü temel alıştırmalar ve sorular ile taranmıştır. Özellikle bu kısmın sınıf

Detaylı

2. Dereceden Denklemler

2. Dereceden Denklemler . Dereceden Denklemler Yazım hataları olabilir. Tam olarak tashih edilmemiştir. Hataları osmanekiz000@gmail.com mail adresine bildirilseniz makbule geçer.. a + b + 5c = c(a + b) ise a b =? C: 9. ( 4) (

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri

Lineer Denklem Sistemleri Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 10. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI

TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 10. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI 9 Eylül- Eylül 0-07 TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 0. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI Veri, Sayma ve Sayma. Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. Sıralama

Detaylı

6. 3x2-8x - 3 = O denkleminin negatif kökü asagidakilerden. 7. mx2 - (2m2 + i) x + 2m = O denkleminin köklerinden

6. 3x2-8x - 3 = O denkleminin negatif kökü asagidakilerden. 7. mx2 - (2m2 + i) x + 2m = O denkleminin köklerinden ikinci Dereceden Denklemler, tçözüm Kümesi, Köklerin Varligi. (m - 9) x + x - 6 = o denkleminin ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olmasi için, m degeri asagidakilerden hangisi olamaz? A) - B) -

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir.

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir. Biz, Sizin İçin Farklı Düşünüyor Farklı Üretiyor Farklı Uyguluyoruz Biz, Sizin İçin Farklıyız Sizi de Farklı Görmek İstiyoruz Soru Bankası matematik konularını yeni öğrenen öğrenciler için TMOZ öğretmenlerince

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU MATEMATİK Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU Mesleki Matematik 1 TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Sayıları yazmak için kullandığımız işaretlere rakam denir. Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Detaylı

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir.

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir. TABAN ARĠTMETĠĞĠ Kullandığımız 10 luk sayma sisteminde sayılar {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin elemanları (Rakam) kullanılarak yazılır. En büyük elemanı 9 olan, 10 elemanlı bir kümedir. Onluk sistemde;

Detaylı

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği

Detaylı

Mutlak Değer. Isınma Hareketleri. a) 2. c) lñ5 ñ4l = ñ5 2 + d) lñ5 ñ9l = (ñ5 3) = ñ e) l 2al = ( 2a) = 2a. f) l3al = 3a. a) 2.lxl. lxl 3.

Mutlak Değer. Isınma Hareketleri. a) 2. c) lñ5 ñ4l = ñ5 2 + d) lñ5 ñ9l = (ñ5 3) = ñ e) l 2al = ( 2a) = 2a. f) l3al = 3a. a) 2.lxl. lxl 3. Isınma Hareketleri 1 Aşağıda verilenleri inceleyiniz. I. 5 0 5 >> l 5l = l5l II. Mutlak değer büyüklük olduğu için " " olmaz. Yani lxl 0 III. Mutlak değer içerisindeki ifade dışarıya alınırken kendi işareti

Detaylı

POL NOMLAR. Polinomlar

POL NOMLAR. Polinomlar POL NOMLAR ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN T POL NOMLAR Polinomlar 1. Kazan m: Gerçek kat say l ve tek de i kenli polinom kavram n örneklerle aç klar, polinomun derecesini, ba kat say s n, sabit

Detaylı

Özdeşlikler, Denklemler ve Eşitsizlikler

Özdeşlikler, Denklemler ve Eşitsizlikler Özdeşlikler, Denklemler ve Eşitsizlikler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; temel özdeşlikleri ve binom açılımını, birinci ve ikinci dereceden denklem çözümlerini

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

Önce parantez içindeki işlemler yapılır. 150:(6+3.8)-5 = 150:(6+24)-5 = 150:30-5 = 5-5 = 0 ( A ) :5-3 = = 11 ( C )

Önce parantez içindeki işlemler yapılır. 150:(6+3.8)-5 = 150:(6+24)-5 = 150:30-5 = 5-5 = 0 ( A ) :5-3 = = 11 ( C ) Önce ÇARPMA ve Bölme, sonra Toplama ve Çıkarma. 3.4+10:5-3 = 12+2-3 = 11 ( C ) Önce parantez içindeki işlemler yapılır. 150:(6+3.8)-5 = 150:(6+24)-5 = 150:30-5 = 5-5 = 0 ( A ) 72:24+64:16 = 3+4 = 7 ( B

Detaylı

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi 2 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 4 Mustafa Özdemir MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK 4 (336 sayfa) ANALİZ CEBİR 1 TANITIM DÖKÜMANI (Kitabın içeriği hakkında bir bilgi verilmesi amacıyla bu döküman

Detaylı

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Amacı: Metalik Oranların elde edildiği ikinci dereceden denklemin diskriminantını ele alarak karmaşık sayılarla uygulama yapmak ve elde

Detaylı

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur? 07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin

Detaylı

Doğrusal Denklem Sistemlerini Cebirsel Yöntemlerle Çözme. 2 tişört + 1 çift çorap = 16 lira 1 tişört + 2 çift çorap = 14 lira

Doğrusal Denklem Sistemlerini Cebirsel Yöntemlerle Çözme. 2 tişört + 1 çift çorap = 16 lira 1 tişört + 2 çift çorap = 14 lira 2 tişört + 1 çift çorap = 16 lira 1 tişört + 2 çift çorap = 14 lira 1 16 soruluk bir testte 5 ve 10 puanlık sorular bulunmaktadır. Soruların tamamı doğru cevaplandığında 100 puan alındığına göre testte

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

a = b ifadesine kareköklü ifade denir.

a = b ifadesine kareköklü ifade denir. KAREKÖKLÜ SAYILAR Rasyonel sayılar kümesi sayı ekseninde sık olmasına rağmen sayı eksenini tam dolduramamaktadır;çünkü sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel olmayan sayılar da vardır. Karesi

Detaylı

Mehmet ŞAHİN. www.mehmetsahinkitaplari.org

Mehmet ŞAHİN. www.mehmetsahinkitaplari.org 0. Sınıf M AT E M AT İ K Mehmet ŞAHİN www.mehmetsahinkitaplari.org M.E.B Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı nın 0..009 tarih ve 4 sayılı kararı ve 00-0 öğretim yılından itibaren uygulanacak programa göre

Detaylı

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ DERSHANELERÝ Konu Ders Adý Bölüm Sýnav DAF No. MATEMATÝK - II II. DERECEDEN DENKLEMLER - I MF TM LYS 05 Ders anlatým föyleri öðrenci tarafýndan dersten sonra

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde ezberbozan serisi MATEMATİK GEOMETRİ KPSS 2017 SORU BANKASI eğitimde tamamı çözümlü 30. Kerem Köker Kenan Osmanoğlu Levent Şahin Uğur Özçelik Ahmet Tümer Yılmaz Ceylan KOMİSYON KPSS EZBERBOZAN MATEMATİK

Detaylı

BİNOM AÇILIMI. Binom Açılımı. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. ö æ ö æ ö,,

BİNOM AÇILIMI. Binom Açılımı. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. ö æ ö æ ö,, BİNOM AÇILIMI Binom Açılımı n doğal sayı olmak üzere, (x+y) n ifadesinin açılımını pascal üçgeni yardımıyla öğrenmiştik. Pascal üçgenindeki katsayılar; (x+y) n ifadesi 1. Sütun: (x+y) n açılımındaki katsayılar

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

Değişken Katsayılı Adi Diferensiyel Denklemler Katsayıları bağımsız(x) değişkene bağlı diferensiyel denklemlerdir. Genel ifadesi şöyledir.

Değişken Katsayılı Adi Diferensiyel Denklemler Katsayıları bağımsız(x) değişkene bağlı diferensiyel denklemlerdir. Genel ifadesi şöyledir. 3. Yüksek Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Geçmiş konularda şu ana kadar ele alınan 1.mertebe-1.dereceden adi diferensiyel denklemler ancak 1.mertebe seviyesindeki belirli problemleri ifade edebilmektedir.

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13 TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y): x ile y nin farkı n ile tam bölünür} = {(x,y): n x-y, n N + } bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. (x,y) ise x y (mod

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 8. SINIF. Üslü Sayılar - = T olduğuna göre T kaçtır? A) - B) - C) D) 7 TEST.. 0 - işleminin sonucu kaç basamaklı bir sayıdır? A) B) C) 6 D) 7. n =- 7 için n ifadesinin değeri kaçtır? A) - 8 B) - C) 8 D)

Detaylı

Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik

Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik 1. Ünite: Geometriden Olasılığa 1. Bölüm: Yansıyan ve Dönen Şekiller, Fraktallar Yansıma, Öteleme, Dönme Fraktallar 2. Bölüm: Üslü Sayılar Tam

Detaylı

AKADEMİK PERSONEL VE LİSANSÜSTÜ EĞİTİMİ GİRİŞ SINAVI (ALES)

AKADEMİK PERSONEL VE LİSANSÜSTÜ EĞİTİMİ GİRİŞ SINAVI (ALES) 00000000001 AKADEMİK PERSONEL VE LİSANSÜSTÜ EĞİTİMİ GİRİŞ SINAVI (ALES) plam cevaplama süresi 150 akikadır. (,5 saat) SAYISAL BÖLÜM SAYISAL - 1 TESTİ Sınavın bu bölümünden alacağınız standart puan, Sayısal

Detaylı

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10.

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10. MAT-1 EK SORULAR-2 1. 6. A)7 B)8 C)15.D)56 E)64 Olduğuna göre x.a)1 B)2 C)3 D)4 E)6 7. 2. Birbirinden farklı x ve y gerçek A)5.B)6 C)7 D)8 E)9 sayıları için; x 2 +2009y=y 2 +2009x eşitliği sağlandığına

Detaylı

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Gruplar...3 Alt Gruplar...9 Simetrik Gruplar...13 Devirli Alt Gruplar...23 Sol ve Sağ Yan Kümeler (Kosetler)...32 Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 Grup Homomorfizmaları...41

Detaylı

MUTLAK DEĞER Test -1

MUTLAK DEĞER Test -1 MUTLAK DEĞER Test -. < x < olduğuna göre, x x ifadesinin eşiti aşağıdakilerden 7 B) 7 x C) x 7 D) x 7 E) 7 x 5. y < 0 < x olduğuna göre, y x x y x y ifadesinin eşiti aşağıdakilerden xy B) xy C) xy D) xy

Detaylı

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel

Detaylı

MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz.

MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz. MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA A S A L Ç A R P A N L A R A A Y I R M A T a n ı m : Bir tam sayıyı, asal sayıların çarpımı olarak yazmaya, asal çarpanlarına ayırma denir. 0 sayısını asal çarpanlarına

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 KÜMELER 11 1.1. Küme 12 1.2. Kümelerin Gösterimi 13 1.3. Boş Küme 13 1.4. Denk Küme 13 1.5. Eşit Kümeler 13 1.6. Alt Küme 13 1.7. Alt Küme Sayısı 14 1.8. Öz Alt Küme 16 1.9.

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER YILLAR 00 00 00 00 00 00 007 008 009 00 ÖSS-YGS - - - - - - - - BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER a,b R ve a 0 olmak üzere ab=0 şeklindeki denklemlere Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler

Detaylı

ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1

ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 1. ve y aralarında asal iki doğal sayıdır. 7 y 11 olduğuna göre, y farkı 5. 364 sayısının en büyük asal böleni A) 3 B) 7 C) 11 D) 13 E) 17 A) B) 3 C) 4

Detaylı

POLİNOMLAR. Polinomlar. Konu Kavrama Çalışması

POLİNOMLAR. Polinomlar. Konu Kavrama Çalışması POLİNOMLAR Polinomlar f: A B biçiminde tanımlanmış f(x) fonksiyonunda, A kümesi tanım kümesi ve B kümesi değer kümesidir. Fonksiyonlarda, fonksiyonu tanımsız yapan değerler tanım kümesinde yer alamaz.

Detaylı

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin Rankı A m n matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan alt kare matrislerinin boyutlarının en büyüğüne A matrisinin rankı denir. rank(a)

Detaylı

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir. ANALĐTĐK GEOMETRĐ 1. Analitik Düzlem Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da

Detaylı

Halit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN

Halit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYIN KURULU Hazırlayanlar Halit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM Kurumsal Yayınlar Birimi Dizgi & Grafik Mustafa Burak SANK

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

DENKLEM SİSTEMLERİ. ifadesinde a sayısı bilinmeyenin katsayısı ve b ise sabit sayıdır.

DENKLEM SİSTEMLERİ. ifadesinde a sayısı bilinmeyenin katsayısı ve b ise sabit sayıdır. DENKLEM SİSTEMLERİ 1) BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER: a,bϵ R ve olmak üzere; şeklindeki denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu tür denklemlerde sadece bir bilinmeyen

Detaylı

12-A. Sayılar - 1 TEST

12-A. Sayılar - 1 TEST -A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç

Detaylı

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 4. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 4. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 4. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Çarpanlara Ayırma 5 52 Polinomlar 53 100 İkinci Dereceden Denklemler 101 120 Karmaşık Sayılar

Detaylı

2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir?

2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir? MC www.matematikclub.com, 006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir3@ahoo.com.tr. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler- TEST I A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 1. 1/ = 0 denkleminin köklerinin toplamı aşağıdakilerden

Detaylı

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Matematiğe Giriş... Temel Kavramlar... Bölme - Bölünebilme Kuralları... 85 EBOB - EKOK... Rasyonel Sayılar... Basit Eşitsizlikler... 65 Mutlak

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme. Eğitimde

MATEMATİK SORU BANKASI GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme. Eğitimde KPSS Genel Yetenek Genel Kültür MATEMATİK Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme KPSS 2016 Pegem Akademi Sınav Komisyonu; 2015 KPSS ye Pegem Yayınları ile hazırlanan adayların, 100'ün üzerinde soruyu kolaylıkla

Detaylı

LYS MATEMATÝK II. Polinomlar. II. Dereceden Denklemler

LYS MATEMATÝK II. Polinomlar. II. Dereceden Denklemler LYS MATEMATÝK II Soru Çözüm Dersi Kitapçığı 1 (MF - TM) Polinomlar II. Dereceden Denklemler Bu yayýnýn her hakký saklýdýr. Tüm haklarý bry Birey Eðitim Yayýncýlýk Pazarlama Ltd. Þti. e aittir. Kýsmen de

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

( a, b ) BAĞINTI, FONSİYON, İŞLEM SIRALI İKİLİ :

( a, b ) BAĞINTI, FONSİYON, İŞLEM SIRALI İKİLİ : BAĞINTI, FONSİYON, İŞLEM SIRALI İKİLİ : a ve b elemanlarının belirttiği ( a, b ) şeklindeki ikiliye sıralı ikili denir. Sıralı ikili denilmesindeki sebep bileşenlerin yeri değiştiğinde ikilinin değişmesindendir.

Detaylı

ÖRNEK LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI - 1 GEOMETRİ TESTİ. Ad Soyad : T.C. Kimlik No:

ÖRNEK LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI - 1 GEOMETRİ TESTİ. Ad Soyad : T.C. Kimlik No: LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI - GEOMETRİ TESTİ ÖRNEK Ad Soyad : T.C. Kimlik No: Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının Metin Yayınları nın yazılı

Detaylı

Başlayanlara AKTİF MATEMATİK

Başlayanlara AKTİF MATEMATİK KPSS - YGS - DGS - ALES Adayları için ve 9. sınıfa destek 0 dan Başlayanlara AKTİF MATEMATİK MEHMET KOÇ ÖNSÖZ Matematikten korkuyorum, şimdiye kadar hiç matematik çözemedim, matematik korkulu rüyam! bu

Detaylı

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Đşlem ĐŞLEM A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona ikili işlem denir. Örneğin toplama, çıkarma, çarpma birer işlemdir. Đşlemler

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler

Detaylı

ÜSLÜ SAYILAR. AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama

ÜSLÜ SAYILAR. AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama KURAL: Bir sayının belli bir sayıda yan yana çarpımının kolay yoldan gösterimine üslü sayılar denir. Örneğin 5 sayısının

Detaylı

2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır?

2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır? MATE 106 SOSYAL BİLİMLER İÇİN TEMEL ANALİZ Ad-Soyad No Uygun cevabı bulunuz. 1)A = πr2 formülü r yarıçaplı çemberin A alanını vermektedir. Bir masa örtüsü A alanına sahipse, yarıçapını A'nın bir fonksiyonu

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

Ders 9: Bézout teoremi

Ders 9: Bézout teoremi Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak

Detaylı

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4.

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4. POLİNOMLAR I MATEMATİK. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? I. ( ) P = + II. ( ) P = + III. ( ) + + P = + 6. ( ) ( ) ( ) P = a b a + b sabit polinom olduğuna göre ( ) ( ) ( ) P a +P b +P 0 toplamı kaçtır?

Detaylı

MUTLAK DEĞER. Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z. Örnek...7 : x=1 5, y= 5 2, ise x+y y x x =? Örnek...1 : =? Örnek...8 : Örnek...2 : =?

MUTLAK DEĞER. Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z. Örnek...7 : x=1 5, y= 5 2, ise x+y y x x =? Örnek...1 : =? Örnek...8 : Örnek...2 : =? TANIM MUTLAK DEĞER Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z ise x y x z z y =? Bir x reel sayısına karşılık gelen noktanın sayı doğrusunda 0 (sıf ır) a olan uzaklığına x sayısının mutlak değeri denir ve x şeklinde

Detaylı

1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon

1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon İçindekiler Cebir 1. Fonksiyonlar....... 1.1 Fonksiyonların Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi...... 1.1.1 Fonksiyon.. 1.1. Görüntü Kümesi... 1.1.3 Eşit Fonksiyonlar. 1.1.4 Fonksiyonun Gösterimi. 1.1.4.1 Liste

Detaylı

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :.

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. SAYILAR BASAMAK KAVRAMI İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. Üç basamaklı rakamları farklı en küçük sayı :. SORU 5 MATEMATİK KAF03 TEMEL KAVRAM 01 Üç basamaklı birbirinden

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

çemberi ile O Çemberlerin birbirine göre durumlarını inceleyelim. İlk durumda alalım. olduğu takdirde O2K1

çemberi ile O Çemberlerin birbirine göre durumlarını inceleyelim. İlk durumda alalım. olduğu takdirde O2K1 . merkezli R yarıçaplı Ç çemberi ile merkezli R yarıçaplı ve noktasından geçen Ç çemberi veriliyor. Ç üzerinde, T Ç K T Ç, ve K K T K olacak şekilde bir T noktası alınıyor. Buna göre, uzunluklarından birinin

Detaylı

ÖSYM nin Sorduğu Tüm Sorular DGS. Tamamı Çözümlü ÇIKMIŞ SORULAR. Temmuz Dahil

ÖSYM nin Sorduğu Tüm Sorular DGS. Tamamı Çözümlü ÇIKMIŞ SORULAR. Temmuz Dahil ÖSYM nin Sorduğu Tüm Sorular DGS Tamamı Çözümlü ÇIKMIŞ SORULAR 00 00 005 006 007 008 009 00 0 Temmuz Dahil Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ ÇIKMIŞ SORULAR ISBN 978-975-879-06- Kitapta yer alan bölümlerin tüm

Detaylı

DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ

DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ Koordinatlar DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ Bilindiği gibi, düzlemdeki her bir noktaya bir (a,b) sıralı ikilisi, her bir (a,b) sıralı ikilisine bir nokta karşılık gelir. Eğer bir A noktasına karşılık gelen

Detaylı

SAYILAR ( ) MATEMATİK KAF01 RAKAM VE DOĞAL SAYI KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. Sayıları ifade etmeye yarayan

SAYILAR ( ) MATEMATİK KAF01 RAKAM VE DOĞAL SAYI KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. Sayıları ifade etmeye yarayan SAYILAR RAKAM VE DOĞAL SAYI KAVRAMI MATEMATİK KAF01 TEMEL KAVRAM 01 Sayıları ifade etmeye yarayan { 0,1,, 3, i i i,9} kümesindeki semollere onluk sayma düzeninde rakam denir. N =... kümesinin elemanlarına

Detaylı

ŞAH VE MAT. Satrancın ilk kez M.S. 570 yıllarında Hindistan'da oynandığını biliyoruz. Bunu nerden biliyoruz?

ŞAH VE MAT. Satrancın ilk kez M.S. 570 yıllarında Hindistan'da oynandığını biliyoruz. Bunu nerden biliyoruz? ŞAH VE MAT Satrancın ilk kez M.S. 570 yıllarında Hindistan'da oynandığını biliyoruz. Bunu nerden biliyoruz? O tarihlerde yazılmış olan pek çok evrakta satranç oyunundan söz ediliyor. Daha önce Çin'de de

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

1. O(0,0) merkezli, 3 birim yarıçaplı. 2. x 2 +y 2 =16 denklemi ile verilen. 3. O(0,0) merkezli ve A(3,4)

1. O(0,0) merkezli, 3 birim yarıçaplı. 2. x 2 +y 2 =16 denklemi ile verilen. 3. O(0,0) merkezli ve A(3,4) HAZİNE-1 Düzlemde sabit M(a,b) noktasından eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri, M merkezli R yarıçaplı çemberdir. HAZİNE-2 O(0,0) merkezli, R yarıçaplı çemberin denklemi; x 2 +y 2 =R 2 dir.

Detaylı

Dikkat: Bir eleman, her iki kümede de olsa bile sadece bir kez yazılır.

Dikkat: Bir eleman, her iki kümede de olsa bile sadece bir kez yazılır. KÜMELER Kümelerin birleşimi (A B ): Kümelerin bütün elemanlarından oluşur. Kümelerin kesişimi (A B): Kümelerin ortak elemanlarından oluşur. Kümelerin Farkı (A \ B ) veya (A - B ): Birinci kümede olup ikinci

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI. MATEMATİK YARIŞMASI 0. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 5. sayısının virgülden sonra 9 99 999 5. basamağındaki rakam kaçtır? A) 0 B) C) 3 D) E) 8!.!.3!...4! 4. A= aşağıdaki hangi

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

Soru Konu Doğru Yanlış Boş

Soru Konu Doğru Yanlış Boş YGS - MATEMATİK DENEME- A Soru Konu Doğru Yanlış Boş Mutlak Değerin Sayıya Eşitliği % % Sayılar Akıl Yürütme % % Okek Dikdörtgen Birleştirme % % Kesirlerin Okeki % % Obeb Problemleri % % Obeb Denklemi

Detaylı