İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER"

Transkript

1 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden kaç tanesinin ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduğunu bulunuz. I. x x 7 = 0 II. 1 5 x 7x = 0 III. 4x 1 5 = 0 IV. 3y + y 5 = 0 V. x 3 = 0 VI. x 3 4x + 5x = 0 Verilen bir denklemin ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olabilmesi için bilinmeyen ifadenin üs kısmındaki en büyük sayının olması gerekir. Buna göre, I.. derece bir bilinmeyenli denklem II.. derece bir bilinmeyenli denklem III.. derece bir bilinmeyenli denklem IV.. derece bir bilinmeyenli denklem V. 1. derece bir bilinmeyenli denklem VI. 3. derece bir bilinmeyenli denklem Cevap: 4 3x m 5 4x 8 = 0 denkleminin ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olması için m'nin değerini bulunuz. x'in üs kısmındaki en büyük sayının olması gerekir. Buna göre, m 5 = ise m = 7 dir. Cevap: 7 (m ) x 3 + x n 4 3x 1 = 0 denkleminin ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olması için m ve n değerlerini bulunuz. x'in üs kısmındaki en büyük sayının olması gerekir. Buna göre, x 3 lü terim olmamalıdır. O halde m = 0 ve n 4 = olmalıdır. m = n = 6 Cevap: m = n = 6 a) (m 5)x 3x 6 = 0 denkleminin ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olması için m hangi değeri alamaz, bulunuz. b) (m 3)x m 7 + 5x = 0 denkleminin ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olması için m hangi değeri alamaz, bulunuz. a) x 'li terimin katsayısı sıfır olmamalıdır. m 5 ¹ 0 ise m ¹ 5 b) m 3 ¹ 0 ve m 7 = olmalıdır. m ¹ 3 ve m = 9 m = 3 veya m = 3 O halde, m = 3 tür. Cevap: 5 4 Cevap: m = 3

2 soru 1 soru 5 Aşağıdakilerden hangisi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem değildir? (m + )x 3 x 5 n + 3x = 0 denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduğuna göre, m. n çarpımı kaçtır? A) x 5x 13 = 0 A) 8 B) 6 C) 4 D) E) 1 B) 3x 5 x = 0 C) 3x 1 = 0 D) x + 5x 1 = 0 E) x 3 3x + 4x = 0 soru soru 6 Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) 3x = 0 birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir. (m + 5)x 3 + 3x n 4x 1 = 0 denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır? B) 10x 4x 7 = 0 ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir. C) y 3 5y + 4y = 0 üçüncü dereceden bir bilinmeyenli denklemdir. D) x + x 3 1 = 0 ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir. E) m 4m 6 = 0 ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir. soru 3 5x m 6 + 7x = 0 denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduğuna göre, m kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 soru 4 3x m 14 4x 3 = 0 denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduğuna göre, m'nin alabileceği değerler çarpımı kaçtır? A) 5 B) 16 C) 9 D) 4 E) 1 5KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 soru 7 (m 7)x 4x 11 = 0 denklemi ikinci dereceden bir denklem olduğuna göre, m hangi değeri alamaz? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 soru 8 (m 5)x m 3 + x 1 = 0 denklemi ikinci dereceden bir denklem olduğuna göre, m kaçtır? A) 5 B) 4 C) 1 D) 4 E) 5 1 E D 3 E 4 B 5 B 6 A 7 C 8 E

3 İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerin Çözümü Çarpanlara ayırma yöntemiyle kümesi bulunur. x 5x 14 = 0 denkleminin kümesini bulunuz. x 5x 14 = (x 7)(x + ) x 7 x + x 5x 14 = (x 7). (x + ) = 0 x 7 = 0 veya x + = 0 x = 7 veya x = Çözüm kümesi: Ç.K = {, 7} Cevap: {, 7} x 3x = 0 denkleminin kümesini bulunuz. x 3x = (x + 1)(x ) x +1 x x 3x = (x + 1). (x ) = 0 ise x + 1 = 0 veya x = 0 x = 1 veya x = Çözüm kümesi: Ç.K = { 1, } Cevap: { 1, } 4x 5= 0 denkleminin kümesini bulunuz. a b = (a b)(a + b) olduğunu hatırlayınız. 4x 5 = (x 5)(x + 5) 4x 5 = (x 5)(x + 5) = 0 ise x 5 = 0 veya x + 5 = 0 x = 5 veya x = 5 Çözüm kümesi: Ç.K = { 5, 5 } Cevap: { 5, 5 } x = 7x denkleminin kümesini bulunuz. x = 7x ise x 7x = 0 dır. x 7x ifadesini çarpanlara ayırmak için ortak çarpan x parantezine alınır. x 7x = x(x 7) = 0 ise x = 0 veya x 7 = 0 x = 7 Çözüm kümesi: Ç.K = {0, 7 } Cevap: {0, 7 } 6

4 soru 1 x 8x 9 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? soru 5 16x 9 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 1} B) {9} C) { 1,9} D) { 9,1} E) { 9} A) { 4 3, 4 3 } B) { 3 4, 3 4 } C) { 3 4 } D) {3 4 } E) { 3, 3 } soru x x 30 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? soru 6 50 x = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 6,5} B) { 6} C) { 5} D) {6} E) { 5,6} A) {ñ5} B) { 5} C) {5} D) { ñ5,ñ5} E) { 5,5} soru 3 3x 5x = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 1, } B) {} 3 C) { 1 3 } D) { 1 3, } soru 4 5x + 11x + = 0 E) {, 1 3 } denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {, 1 5 } B) { 5, 1} C) { } D) { 1 5 } E) { 1 5, } 7KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 x 3x = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {0} B) {3} C) {0,3} D) { 3,0} E) { 3} soru 8 4x = 5x denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 5 4, 0} B) {0, 4 5 } C) { 5 4 } D) {0, 5 4 } E) {0} 1 C E 3 D 4 A 5 B 6 E 7 C 8 D

5 x = 0 denkleminin kümesini bulunuz. x = x. x x = x. x = 0 ise x = 0 veya x = 0 (Eşit iki kök olduğuna dikkat ediniz.) Çözüm kümesi: Ç.K = {0} Cevap: {0} (3x 4) = 0 denkleminin kümesini bulunuz. (3x 4) = (3x 4)(3x 4) (3x 4) = (3x 4)(3x 4) = 0 3x 4 = 0 ise x = 4 3 Çözüm kümesi: Ç.K = { 4 3 } Cevap: { 4 3 } x + 6x + 9 = 0 denkleminin kümesini bulunuz. x + 6x + 9 = (x + 3). (x + 3) = (x + 3) x +3 x +3 x + 6x + 9 = (x + 3) = 0 x + 3 = 0 ise x = 3 Çözüm kümesi: Ç.K = { 3} Cevap: { 3} 4x 1x + 9 = 0 denkleminin kümesini bulunuz. 4x 1x + 9 = (x 3). (x 3) = (x 3) x 3 x 3 4x 1x + 9 = (x 3) = 0 x 3 = 0 ise x = 3 Çözüm kümesi: Ç.K = { 3 } Cevap: { 3 } 8

6 soru 1 9x = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? soru 5 x 8x + 16 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 3} B) {3} C) { 1 } D) {0} E) Æ 3 A) { 4, 4} B) { 4} C) {4} D) {, 6} E) {8} soru 4x + x 6 = (3 x) denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? soru 6 x(x + 10) = 5 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 1 } B) {1 } C) { } D) {} E) {0} A) { 5, 5} B) { 5} C) {5} D) { 5, 1} E) {5} soru 3 ( x + 5) = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 5 } B) { 5 } C) {0} D) { 5 } E) { 5 } soru 4 (3x + 7) = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 7 3 } B) { 3 7 } C) {0} D) { 3 7 } E) { 7 3 } 9KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 9x + 6x + 1 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 1 3, 1 3 } B) { 1 3 } C) { 1 3 } D) { 1 3, 3} E) { 1 3, 3} soru 8 16x 4x + 9 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 3 4, 3 4 } B) { 4 3 } C) { 3 4 } D) {3 4 } E) { 4 3 } 1 D E 3 E 4 A 5 C 6 B 7 B 8 D

7 x + 9 = 0 denkleminin reel sayılardaki kümesini bulunuz. x + 9 = 0 ise x = 9 olur. Hiçbir reel sayının karesi 9'a eşit olamayacağı için kümesi boş kümedir. Ç.K = Æ Cevap: Æ x + 8 = 0 denkleminin reel sayılardaki kümesini bulunuz. x + 8 = 0 ise x = 8 x = 4 Hiçbir reel sayının karesi 4'e eşit olamayacağı için kümesi boş kümedir. Ç.K = Æ Cevap: Æ x(x 5) = 5( x ) denkleminin reel sayılardaki kümesini bulunuz. x(x 5) = 5( x ) x 5x = 5x 10 x = 10 Hiçbir reel sayının karesi 10'a eşit olamayacağı için kümesi boş kümedir. Ç.K = Æ Cevap: Æ (x + 1)(x + ) = 3x 14 denkleminin reel sayılardaki kümesini bulunuz. (x + 1)(x + ) = 3x 14 x + x + x + = 3x 14 x + 3x + = 3x 14 x = 16 Hiçbir reel sayının karesi 16'ya eşit olamayacağı için kümesi boş kümedir. Ç.K = Æ 10 Cevap: Æ

8 soru 1 soru 5 x + 1 = 0 denkleminin reel sayılardaki kümesi aşağıdakilerden hangisidir? x(x + 3) = 3(x 3)denkleminin reel sayılardaki kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 3} B) {3} C) Æ D) { 3,3} E) { 9} A) { 1, 1} B) { 1} C) {1} D) Æ E) {0} soru soru 6 x 4 = 0 denkleminin reel sayılardaki kümesi aşağıdakilerden hangisidir? x( x + 6) = 6(x + 6)denkleminin reel sayılardaki kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) Æ B) { 6} C) { 3} D) {6} E) { 6,6} A) {, } B) { } C) { 1} D) {} E) Æ soru 3 3x + 7 = 0 denkleminin reel sayılardaki kümesi aşağıdakilerden hangisidir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 (x )(x + 4) = x 9 denkleminin reel sayılardaki kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) Æ B) { 3,3} C) { 3} D) {3} E) { 9} A) { 1} B) {1} C) { 1,1} D) {0,1} E) Æ soru 4 soru 8 x 50 = 0 denkleminin reel sayılardaki kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 5} B) Æ C) {5} D) { 5,5} E) {0,5} ( x + 3)(x 1) = 4x + 1 denkleminin reel sayılardaki kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {,} B) { } C) {} D) Æ E) {0,} 1 D E 3 A 4 B 5 C 6 A 7 E 8 D 11

9 Bir denklemin kümesinin her bir elemanına denklemin kökü denir. Yani kök denklemi sağlayan değer demektir. Aşağıdaki denklemlerin köklerini bulunuz. a) (x 3) = 5 b) (x )(x + 3) = x 4 a) (x 3) = 5 ise x 3 = 5 veya x 3 = 5 dir. x = 4 x = 1 Köklerden biri = 4 iken diğeri x = 1 dir. b) (x )(x + 3) = x 4 = (x ) ise (x )(x + 3) (x ) = 0 (x )(x + 3 ) = 0 (x )(x + 1) = 0 x = 0 veya x + 1 = 0 x = x = 1 Köklerden biri = iken diğeri x = 1 dir. Cevap: 1 veya 4 Cevap: 1 veya 3x (m + 3)x + m = 0 denkleminin köklerinden biri olduğuna göre, m'nin değerini bulunuz. x (m )x + m 1 = 0 denkleminin köklerinden biri 3 olduğuna göre, diğer kökü bulunuz. Denklemde x gördüğümüz her yere yazarız. 3. (m + 3). + m = 0 1 m 6 + m = 0 4 m = 0 m = 4 Denklemde x gördüğümüz her yere 3 yazarız. 3 (m ). 3 + m 1 = 0 9 3m m 1 = 0 14 m = 0 m = 14 Denklem: x (14 )x = 0 x 1x + 7 = 0 Cevap: 4 x 3 x 9 Diğer kök: x 9 = 0, x = 9 x x 10 = 0 18 denkleminin köklerinden biri a olduğuna göre, a a 4 ifadesinin eşitini bulunuz. Denklemde x gördüğümüz her yere a yazarız. a a 10 = 0 ise a a = 10 dur. O halde, = = = 3 a a tür. 10 Cevap: 9 Cevap: 3 1

10 soru 1 (7 x) = 9 denkleminin kökleri ve x dir. hangisidir? x 1 + x aşağıdakilerden soru 5 x + (m 5)x m + 1 = 0 denkleminin köklerinden biri 1 olduğuna göre, diğer kök kaçtır? A) 7 B)5 C) 7 D) 9 E) 49 A) 3 B) C) 1 D) E) 3 soru (x 3)(x + 5) = x + 5 denkleminin köklerinden küçük olanı kaçtır? soru 6 x (m + 3)x m 5 = 0 denkleminin köklerinden biri ( 1) olduğuna göre, diğer kök kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 3 E) 4 A) 5 B) 5 C) 5 D) 5 E) 0 soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 4x + mx 7= 0 denkleminin köklerinden biri 1 olduğuna göre, m kaçtır? x 3x 7 = 0 denkleminin köklerinden biri m olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 10 m 3m A) 10 B) 1 C) 14 D) 16 E) 18 A) B) 1 C) 1 D) E) 5 soru 4 soru 8 x + (m + )x + 18 = 0 denkleminin köklerinden biri ( ) olduğuna göre, m kaçtır? x 5x 1 = 0 denkleminin köklerinden biri k olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 9 4k 10k + 1 A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 A) 3 B) 1 C) 1 D) 3 E) 9 1 D A 3 B 4 E 5 B 6 C 7 D 8 D 13

11 İkinci Dereceden Denklemlerin Genel Çözümü İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin köklerini çarpanlara ayırma yöntemiyle bulabileceğimizi öğrendik. Fakat her zaman çarpanlarına ayırmak kolay olmayabilir. Bu durumda ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin kökleri aşağıdaki işlemler yardımıyla bulunur. ax + bx + c = 0 1) Diskriminant (D) bulunur. D (Delta) diye okunur. D = b 4ac ) Kökler b + b x 1 = ve x = formülleriyle bulunur. a a x 5x 1 = 0 denkleminin diskriminantını bulunuz. x 5x 1 = 0 a b c a = b = 5 c = 1 Diskriminant: D = b 4ac = ( 5) 4.. ( 1) D = = 33 Cevap: 33 x 1x + 36 = 0 denkleminin diskriminantını bulunuz. 1x 1x + 36 = 0 a b c a = 1 b = 1 c = 36 Diskriminant: D = b 4ac = ( 1) D = = 0 Cevap: 0 x + 5x 7 = 0 denkleminin diskriminantını bulunuz. 3x 4x + m 3 = 0 denkleminin diskriminantı 4 olduğuna göre, m'nin değerini bulunuz. 14 1x + 5x 7 = 0 a b c a = 1 b = 5 c = 7 Diskriminant: D = b 4ac = 5 4. ( 1). ( 7) D = 5 8 = 3 3x 4x + m 3 = 0 a b c a = 3 b = 4 c = m 3 D = b 4ac = ( 4) 4. 3 (m 3) = (m 3) = m + 36 = 4 48 = 1 m 4 = m Cevap: 3 Cevap: 4

12 soru 1 soru 5 3x 7x 4 = 0 denkleminin diskriminantı kaçtır? 5x + 4x 6 = 0 denkleminin diskriminantı kaçtır? A) 1 B) 48 C) 49 D) 87 E) 97 A) 104 B) 94 C) 84 D) 104 E) 136 soru soru 6 x 5x + 6 = 0 denkleminin diskriminantı kaçtır? 4x x + 3 = 0 denkleminin diskriminantı kaçtır? A) 1 B) 9 C) 16 D) 4 E) 49 A) 49 B) 48 C) 47 D) 47 E) 48 soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 x + 6x 9 = 0 denkleminin diskriminantı kaçtır? x + 6x m + 1 = 0 denkleminin diskriminantı 76 olduğuna göre, m kaçtır? A) 3 B) 8 C) 0 D) 8 E) 3 A) 5 B) 4 C) 3 D) 4 E) 5 soru 4 soru 8 4x + 0x + 5 = 0 denkleminin diskriminantı kaçtır? x + 8x m = 0 denkleminin diskriminantı ( 4) olduğuna göre, m kaçtır? A) 0 B) 50 C) 100 D) 00 E) 300 A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 0 1 E A 3 C 4 A 5 A 6 C 7 B 8 D 15

13 ax + bx + c = 0 denkleminin kökleri b + b x 1 = ve x = dır. a a x 8x + 4 = 0 denkleminin köklerini bulunuz. 1) Diskriminant bulunur. 1x 8x + 4 = 0 ise a = 1 b = 8 a b c c = 4 D = b 4ac = ( 8) = = 48 ) Kökler b + ( 8) x1 = = = = 4+ 3 a.1 b ( 8) x = = = = 4 3 a.1 Cevap: {4 ñ3, 4 + ñ3} x + 6x = 0 denkleminin köklerini bulunuz. 1) Diskriminant bulunur. 1x + 6x = 0 ise a = 1 b = 6 a b c c = D = b 4ac = 6 4. ( 1). ( ) = 36 8 = 8 ) Kökler b x1 = = = = 3 7 a ( 1) b x = = = = 3+ 7 a ( 1) Cevap: {3 ñ7, 3 + ñ7} Çarpanlara ayırma yöntemiyle çözebildiğimiz ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri de genel yöntemle çözebiliriz. 3x + 7x = 0 denkleminin köklerini bulunuz. 1) Diskriminant bulunur. 3x + 7x = 0 ise a = 3 b = 7 a b c c = D = b 4ac = 7 4. ( 3). ( ) = 49 4 = 5 ) Kökler b x1 = = = = = a ( 3) b x = = = = = a Çarpanlara ayırma yöntemiyle de çözelim. 3x + 7x = ( 3x + 1). (x ) = 0 ise 3x + 1 = 0 veya x = 0 x = 1 3 x = Cevap: { 1 3, } 16

14 soru 1 x 4x = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? soru 5 x 4x 16 = 0 denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir? A) { ñ6, + ñ6} B) { ñ, + ñ} C) {ñ6, ñ6 + } D) {ñ, ñ + } E) { ñ3, + ñ3} A) +ñ5 B) +ñ5 C) +ñ5 D) ñ5 E) 1+ñ5 soru x x 3 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? soru 6 x 6x + 1 = 0 denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir? A) {1 ñ7, 1 + ñ7} B) {ñ7 1, ñ7 + 1} A) B) C), D), C) D) soru 3 x x 1 = 0 E) { ñ7, + ñ7} KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 5x 9x = 0 E) 3 11 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? denkleminin kökleri ve x dir. x kaçtır? { + } { + } A) 1 3, 1 3 B) 3 1, 3 1 A) 11 5 B) 9 5 C) 8 5 D) 7 5 E) C), D), E), soru 4 soru 8 x + 6x + 6 = 0 denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir? 4x 3x 1 = 0 x1 denkleminin kökleri ve x dir. x hangisi olabilir? oranı aşağıdakilerden A) 3 ñ3 B) 3+ñ3 C) ò15 3 D) 3 ò15 E) 3 ò15 A) 16 B) 8 C) 4 D) 1 4 E) 4 1 A C 3 E 4 D 5 B 6 E 7 A 8 C 17

15 x x = 0 denkleminin köklerini bulunuz. 1) Diskriminant bulunur. 1x 1x = 0 ise a = 1 b = 1 a b c c = 1 4 D = b 4ac = ( 1) = 1 1 = 0 ) Kökler b + ( 1) x1 = = = = a.1 b ( 1) x = = = = a.1 = x = 1 (Eşit iki kök) Cevap: { 1 } 4x + 4x + 1 = 0 denkleminin köklerini bulunuz. 1) Diskriminant bulunur. 4x + 4x + 1= 0 ise a = 4 b = 4 a b c c = 1 D = b 4ac = = = 0 ) Kökler b x1 = = = = a.4 8 b x = = = = a.4 8 = x = 1 (Eşit iki kök) Cevap: { 1 } 3x + 4x 6 = 0 denkleminin köklerini bulunuz. 1) Diskriminant bulunur. 3x + 4x 6= 0 ise a = 3 b = 4 a b c c = 6 D = b 4ac = 4 4. ( 3). ( 6) = 16 7 D = 56 ) Kökleri bulmak için ñd nin reel sayı olması gerekir. ó 56 reel sayı olmadığı için reel kök yoktur. Cevap: Æ 18

16 soru 1 soru 5 x 3x = 0 5x 10x + 1 = 0 denkleminin kökü kaçtır? denkleminin kökü kaçtır? A) B) 3 C) 1 D) 3 E) A) 5 B) 1 5 C) 1 5 D) 1 E) 5 soru soru 6 x + x = 0 denkleminin kökü kaçtır? x + 5x 8 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 B) 1 C) 1 D) 1 E) A) B), C), D), 4 4 soru 3 x + 5x 5 4 = 0 denkleminin kökü kaçtır? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI E), 4 4 soru 7 x x + 6 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) 5 B) 5 C) 5 D) 1 E) 5 { } { } A) 1 7, 1+ 7 B) 1 7, 1+ 7 { } { } C) 1 5, 1+ 5 D) 1 5, 1+ 5 E) soru 4 soru 8 9x + 1x + 4 = 0 denkleminin kökü kaçtır? x + 4x 6 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 B) 3 C) 9 D) 3 E) 3 { } { } A), + B), + { } C) D) 10, 10 { } E) 10, D C 3 E 4 B 5 C 6 A 7 E 8 C 19

17 Köklerin Varlığının İncelenmesi İkinci dereceden bir bilinmeyenli ax + bx + c = 0 denkleminin 1) İki farklı reel kökü olması için D = b 4ac > 0 olmalıdır. ) Eşit iki reel kökünün olması için D = b 4ac = 0 olmalıdır. (Çakışık iki kök, çift katlı kök, tam kare ifadeleri eşit iki kök demektir.) 3) Reel kökünün olmaması için D = b 4ac < 0 olmalıdır. x 6x m + 3 = 0 denkleminin iki farklı reel kökü vardır. m'nin hangi aralıkta olduğunu bulunuz. D = b 4ac >0 olmalıdır. ( 6) ( m + 3) > ( m + 3) > m 1 > 0 4m > 4 ise m > 6 x (m 6)x + 16 = 0 denkleminin eşit iki kökü vardır. m'nin alabileceği değerleri bulunuz. D = b 4ac = 0 olmalıdır. ( m + 6) = 0 ( m + 6) = 64 ise m + 6 = 8 veya m + 6 = 8 m = m = 14 Cevap: ( 6, ) Cevap: {, 14} x 8x + m + = 0 denkleminin reel kökü yoktur. m'nin hangi aralıkta olduğunu bulunuz. D = b 4ac < 0 olmalıdır. ( 8) 4. ( ). (m + ) < (m + ) < m + 16 < 0 8 m < 80 ise m < 10 Cevap: (, 10) mx mx + m = 0 ikinci dereceden denklemi için aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi doğrudur, bulunuz. I. m > 0 ise iki farklı reel kök vardır. II. m = 0 ise eşit iki kök vardır. III. m < 0 ise reel kök yoktur. IV. m = 5 için kümesi elemanlıdır. V. m = için kümesi boş kümedir. Köklerin varlığını incelemek için D = b 4ac yi bulalım. D = ( m) 4m(m ) D = 4m 4m + 8m D = 8m I. 8m > 0 ve m > 0 olduğu için iki farklı reel kök vardır. II. 8m = 0 ve m = 0 fakat m = 0 için denklem = 0 olduğundan reel kök yoktur. III. 8m < 0 ve m < 0 olduğu için reel kök yoktur. IV. m > 0 için iki farklı reel kök var. m = 5 > 0 olduğu için kümesi elemanlıdır. V. m < 0 için reel kök yoktur. < 0 olduğu için kümesi boş kümedir. 0 Cevap: 4

18 soru 1 soru 5 x + x m + 5 = 0 denkleminin iki farklı reel kökü olduğuna göre, m hangi aralıkta olmalıdır? 4x 4x + m + 4 = 0 denkleminin reel kökünün olmaması için m hangi aralıkta olmalıdır? A) m<4 B) m<5 C) m>5 D) m 4 E) m>4 A) m< 3 B) m<0 C) m> 3 D) m>0 E) m>3 soru x + 3x + m + 1 = 0 denkleminin iki farklı reel kökü olduğuna göre, m hangi aralıkta olmalıdır? soru 6 1 x x m + 3 = 0 denkleminin reel kökünün olmaması için m hangi aralıkta olmalıdır? A) m < 9 4 B) m > 11 4 A) m<0 B) m<1 C) m<4 D) m>1 E) m>0 C) m > 3 D) m > 13 4 E) m > 4 soru 3 x + (m 3)x + 5 = 0 denkleminin eşit iki kökü olması için m'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 0 B) 3 C) 6 D) 7 E) 1 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 m 0 olmak üzere mx (m 1)x + m 1 = 0 denklemi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) Reel kökü yoktur. B) Eşit iki kök vardır. C) m = 3 için kümesi 1 elemanlıdır. D) İki farklı reel kökü vardır. E) m > 0 için iki farklı reel kökü vardır. soru 4 soru 8 x + (m 1)x = 0 denkleminin çift katlı kök (eşit iki kök) olması için m'nin alabileceği değerler çarpımı kaçtır? x x + m + 1 = 0 denklemi için aşağıdakilerden hangisi veya hangileri doğrudur? I. m < 0 için reel kök yoktur. A) 15 B) 10 C) 5 D) 10 E) 15 II. m > 0 için iki farklı reel kök vardır. III. m = 0 için eşit iki kök vardır. A) I, II ve III B) I ve III C) II ve III D) I ve II E) Yalnız III 1 E D 3 C 4 A 5 C 6 B 7 D 8 E 1

19 (m + )x + 4x = 0 ikinci derece denkleminin iki farklı reel kökünün olması için m'nin alabileceği birbirinden farklı en küçük iki tamsayı değerinin toplamını bulunuz. D = b 4ac > 0 olmalıdır. 4 4(m + ). ( ) > m + 16 > 0 ise 8m > 3 ve m > 4 tür. x nin katsayısı 0 olmamalıdır. O halde m + 0, m dir. m > 4 ve m ise m'nin alabileceği en küçük iki tamsayı değeri m = 3 ve m = 1 dir. O halde, m'nin alabileceği değerler toplamı ( 3) + ( 1) = 4 Cevap: ( 4) x + (m 4)x 9 = 0 denkleminin çakışık iki kökünün olması için m'nin alabileceği değerleri bulunuz. Çakışık iki kök eşit iki kök demektir. Dolayısıyla D = b 4ac = 0 olmalıdır. (m 4) 4. ( 1). ( 9) = 0 (m 4) 36 = 0 (m 4) = 36 m 4 = 6 veya m 4 = 6 m = 10 m = Cevap: {, 10} 3x + x m + = 0 denkleminin reel kökünün olmaması için m'nin alacağı en küçük tamsayı değerini bulunuz. D = b 4ac < 0 olmalıdır. 4. ( 3). ( m + ) < ( m + ) < 0 4 1m + 4 < 0 8 < 1m 8 1 < m ve 7 < m olduğuna göre, m'nin alacağı en küçük 3 tamsayı değeri 3'tür. Cevap: 3 3x + 6x + m 4 = 0 denkleminin reel kökü vardır. m'nin hangi aralıkta olduğunu bulunuz. İkinci dereceden bir denklemin reel kökünün olması için iki farklı reel kökü (D > 0) veya eşit iki reel kökü (D = 0) olmalıdır. O halde, D = b 4ac 0 dır ( 3). (m 4) (m 4) m m 1 ise m 1 Cevap: [1, )

20 soru x + x m + 1 = 0 soru 5 1 x + 4x + m = 0 denkleminin iki farklı reel kökünün olması için m'nin alacağı en küçük tamsayı değeri kaçtır? denkleminin reel kökünün olmaması için m'nin alacağı en büyük tamsayı değeri kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) E) 1 A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 soru soru 6 m 3 olmak üzere, x x + m 4 = 0 (m + 3)x 6x + 3 = 0 denkleminin iki farklı reel kökünün olması için m'nin alabileceği birbirinden farklı en büyük üç tamsayının toplamı kaçtır? A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 soru 3 x + (m 5)x = 0 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI denkleminin kümesi boş küme olduğuna göre, m aşağıdaki değerlerden hangisi olamaz? A) 3 soru 7 x 8x + m + 4 = 0 B) 11 C) 1 D) 10 E) 9 denkleminin çakışık iki kökünün (eşit iki kök) olması için m'nin alabileceği değerler çarpımı kaçtır? denkleminin reel kökünün olması için m hangi aralıkta olmalıdır? A) 6 B) 4 C) 6 D) 8 E) 1 A) m 1 B) m<1 C) m 1 D) m>1 E) m 16 soru 4 soru 8 x (m + 3)x + m + m = 0 x + ñx + m = 0 denkleminin tam kare (eşit iki kökünün) olması için m kaçtır? denkleminin reel kökünün olması için m aşağıdaki değerler- A) 3 B) 9 4 C) D) 7 4 E) 9 den hangisi olamaz? A) 5 B) C) 3 D) 1 E) 1 1 D D 3 C 4 B 5 C 6 E 7 A 8 A 3

21 Kök ve Katsayıları Arasındaki Bağıntılar ax + bx + c = 0 denkleminin kökleri ve x olsun. Kökler Toplamı: + x = b a Kökler Çarpımı:. x = c a Kökler Farkı: x = ñd a bağıntılarıyla bulunur. x 3x 7 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. Aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz. x 3x 7 = 0 ise a =, b = 3 ve c = 7 dir. a) + x = b a = 3 = 3 a) + x b). x c) x b). x = c a = 7 = 7 ( 3) 4..( 7) 65 c) x1 x = = = a 3x (m + 3)x + = 0 denkleminin kökler toplamı olduğuna göre, m'nin değerini bulunuz. (m 1)x + 4x + m = 0 denkleminin kökler çarpımı 1 olduğuna göre, m'nin değerini 3 bulunuz. 3x (m + 3)x + = 0 ise a = 3, b = m 3 Kökler toplamı: b a = m 3 3 m 3 = ise m 3 = 6 3 m = 9 = m 3 3 (m 1)x + 4x + m = 0 ise a = m 1, c = m Kökler çarpımı: c a = m m 1 Cevap: 9 m m 1 = 1 3 ise 3m = m 1 m = 1 Cevap: 1 x + 4x + m + = 0 denkleminin kökleri ve x dir. + x =. x olduğuna göre, m'nin değerini bulunuz. x + 4x + m + = 0 ise a = 1, b = 4 ve c = m + dir. + x = b a = 4 1 = 4. x = c a = m + 1 = m + + x = x 4 = (m + ) 4 = m = m 4 Cevap: 4

22 soru 1 soru 5 3x 6x 5 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. + x +. x ifadesinin değeri kaçtır? (3m )x + x m + 1 = 0 1 denkleminin kökler çarpımı 4 olduğuna göre, m kaçtır? A) 11 3 B) 1 3 C) 1 3 D) 5 3 E) 11 3 A) B) 1 C) 0 D)1 E) soru soru 6 x 6x + m + = 0 denkleminin kökleri ve x dir. x = 4 olduğuna göre, m kaçtır? x + 5x m + 3 = 0 denkleminin kökler çarpımı ( 5) olduğuna göre, m kaçtır? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 A) 13 B) 7 C) 7 D)13 E) 16 soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 mx (m + 3)x 1 = 0 denkleminin kökler toplamı 3 olduğuna göre, m kaçtır? A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 x (m + 3)x + 3m 7 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. + x =. x olduğuna göre, m kaçtır? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 soru 4 soru 8 x + (m )x + 5 = 0 denkleminin eşit iki kökü vardır. m'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? x (m + 3)x 8 = 0 denkleminin kökleri ve x dir.. x = 4 + 4x olduğuna göre, m kaçtır? A) 4 B) C) 0 D) E) 4 A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 1 C C 3 B 4 A 5 E 6 D 7 E 8 D 5

23 x 5x = 0 denkleminin kökleri ve x dir ifadesinin değerini bulunuz. x x 1 x 5x = 0 ise a = 1, b = 5 ve c = dir. b 5 x1+ x = = = 5 a 1 c x 1. x = = = olduğuna göre, a x1+ x = = = dir. x x x.x 1 (x ) ( x ) 1 1 Cevap: 5 3x x 4 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. x 1. x + x. x ifadesinin değerini bulunuz. 1 3x x 4 = 0 ise a = 3, b = ve c = 4 dür. b c 4 x1+ x = = = ve x 1. x = = için a 3 3 a x 1.x + x.x1 = x1x (x1+ x ) =. = dur Cevap: 8 9 x x 6 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. ( 3).(x 3) ifadesinin değerini bulunuz. x x 6 = 0 ise a = 1, + x = b a = 1 =. x = c a = 6 1 = 6 b = ve c = 6 dır. ( 3)(x 3) = 4 x 6 6x + 9 = 4 x 6( + x )+ 9 = 4.( 6) = = 7 Cevap: 7 x 6x + m + 3 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. ò + òx = ò10 olduğuna göre, m'nin değerini bulunuz. x 6x + m + 3 = 0 ise a = 1, b = 6 ve c = m x = b a = 6 1 = 6. x = c a = m+3 1 = m + 3 ò + òx = ò10 (Her iki tarafın karesini alalım) (ò + òx ) = ò10 x + x. x + x = x + x + x. x = m + 3 = 10 m + 3 = 4 m + 3 = m 3 ise m=1 dir. + = 6 Cevap: 1

24 soru 1 soru 5 x 6x 3 = 0 denkleminin kökleri ve x olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? x x 1 x 4x = 0 denkleminin kökleri ve x dir. (x + 3) + x ( + 3) ifadesinin değeri kaçtır? A) 3 B) C) 1 D) E) 3 A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 1 soru soru 6 x + (m 5)x m + 6 = 0 denkleminin kökleri ve x dir = olduğuna göre, m kaçtır? x x 1 x + 6x + 4 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. (3 + )(3x + ) ifadesinin değeri kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 A) 4 B) 0 C) 1 D) 8 E) 4 soru 3 4x + 5x + 3 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. x 1. x + x. x 1 ifadesinin değeri kaçtır? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 x 9x + m = 0 denkleminin kökleri ve x dir. ò + òx = ò13 olduğuna göre, m kaçtır? A) B) 3 5 C) 15 8 D) 15 8 E) A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 soru 4 soru 8 x x 10 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. > x olduğuna göre, x. x kaçtır? x. x 1 1 ifadesinin değeri x 8x + 4 = 0 denkleminin kökleri ve x olduğuna göre, ò + òx ifadesinin değeri kaçtır? A) 0ò11 B) 10ò11 C) ò11 D) 10ò11 E) 0ò11 A) 3ñ B) ñ3 C) 3 D) ñ E) ñ3 1 B D 3 A 4 A 5 C 6 E 7 D 8 B 7

25 x 6x + m + 7 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. 3 x = olduğuna göre, m'nin değerini bulunuz. x 6x + m + 7 = 0 ise a = 1, b = 6 dır. + x = b a = 6 = 6 olduğuna göre, 1 + x = 6 Yok etme metodu ile 3 x = kökleri buluruz. + 4 = 8 ise = denklemin kökü olduğundan denklemi sağlar. x 6x + m + 7 = 0 denkleminde x yerine yazalım m + 7 = 0 ise m 1 = 0 ve m = 1 dir. Cevap: 1 x (m + 3)x 16 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. x = x olduğuna göre, m'nin değerini bulunuz. 1 Uyarı x (m + 3)x 16 = 0 ise a = 1,. x = c a = 16 = 16 olduğuna göre, 1 c = 16 dır. x x = x. x = x = 16 ise x = 8 ve x = dir x = denklemin kökü olduğundan denklemi sağlar. x (m + 3)x 16 = 0 denkleminde x yerine ( ) yazalım. ( ) (m + 3). ( ) 16 = m = 0 ise m 6 = 0 ve m = 3 dür. Cevap: 3 x + x = (x + x ) x x ve x + x = (x + x ) 3x x (x + x ) x 8x 4 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. x + x ifadesinin değerini bulunuz. 1 x 8x 4 = 0 ise a = 1, + x = b a = 8 1 = 8 ve b = 8 ve c = 4 dür.. x = c a = 4 1 = 4 olduğuna göre, x + x = ( + x ) x 1 = 8. ( 4) = = 7 dir. Cevap: 7 x + 6x = 0 denkleminin kökleri ve x dir. 3 3 x + x olduğuna göre, m'nin değerini bulunuz. 1 x + 6x = 0 ise a = 1, b = 6, c = dir. + x = b a = 6 1 = 6. x = c a = = olduğuna göre, x + x = (x + x ) 3x x (x + x ) = = = 180 dir. Cevap: 180

26 soru 1 x 4x + m 1 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. 4 x = 1 olduğuna göre, m kaçtır? soru 5 x 6x 1 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. x + x ifadesinin değeri kaçtır? 1 A) 16 B) 15 C) 14 D) 13 E) 1 A) 30 B) 3 C) 34 D) 36 E) 38 soru x + x + m 6 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. 3 x = 6 olduğuna göre, m kaçtır? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 soru 6 x 4x 6 = 0 denkleminin kökleri ve x dir ifadesinin değeri kaçtır? x x 1 A) 7 9 B) 3 C) 5 9 D) 4 9 E) 1 9 soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 x + (5m+3)x 8 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. x = x olduğuna göre, m kaçtır? 1 x x 4 = 0 denkleminin kökleri ve x dir.. ( x ) + x. (x + 4 ) ifadesinin değeri kaçtır? A) B) 1 C) 1 5 D) 1 E) A) 1 B) C) 4 D) 9 E) 16 soru 4 soru 8 x + mx + 7 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. = 3x olduğuna göre, m aşağıdakilerden hangisi olabilir? x + x 4 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. x + x ifadesinin değeri kaçtır? A) 13 B) 11 C) 11 D) 1 E) 13 A) 3 B) 6 C) 9 D) 1 E) 15 1 B C 3 B 4 D 5 E 6 A 7 C 8 A 9

27 x + (m 5)x + n = 0 denkleminin bir kökü 3, x (m )x + k = 0 denkleminin bir kökü 7 dir. Bu iki denklemin diğer kökleri eşit olduğuna göre, m'nin değerini bulunuz. Eşit kök olsun. x + (m 5)x + n = 0 denkleminin kökleri 3 ve dir. 3 + = m + 5 (Kökler toplamı) x (m )x + k = 0 denkleminin kökleri 7 ve dir. 7 + = m (Kökler toplamı) 3 + = m + 5 'i yok edelim. 7 + = m 10 = 3m + 7 m = 1 Cevap: 1 m 1 olmak üzere, x + (m + 3)x + 4m = 0 x (m 1)x 4 = 0 denkleminin birer kökü eşit olduğuna göre, m'nin değerini bulunuz. x mx + n 6 = 0 denkleminin kökleri x (m + )x + n = 0 denkleminin köklerinin 'şer katına eşittir. m ve n değerlerini bulunuz. Eşit kök olsun. Denklemlerde x yerine yazalım. x 1 + (m + 3)x1+ 4m = 0 x x 1 (m 1) 4 = 0 1 li terimi yok edelim. (m m 1) + 4m + 4 = 0 (m + ) = 4m 4 (m + ) = (m + ) = dir. ( ) eşit kök olduğu için denklemleri sağlar. x + (m + 3)x + 4m = 0 denkleminde x yerine ( ) yazalım. ( ) + (m + 3). ( ) + 4m = 0 4 m 6 + 4m = 0 ise m = 0 ve m = 1 dir. Cevap: 1 x (m + )x + n = 0 denkleminin kökleri ve x ise x mx + n 6 = 0 denkleminin kökleri ve x olur. x (m + )x + n = 0 denkleminin Kökler toplamı: + x = m + ve Kökler çarpımı: x = n dir. x mx + n 6 = denkleminin Kökler toplamı: + x = m ve Kökler çarpımı:. x = 4 x = n 6 dır. + x = m ise ( + x ) = m (m + ) = m ve m = 4 4. x = n 6 ise 4n = n 6 3n = 6 ve n = Cevap: m = 4 n = 30

28 soru 1 soru 5 x + mx + n = 0 denkleminin bir kökü 5, x kx + b = 0 denkleminin bir kökü ( 3) dür. Bu iki denklemin diğer kökleri eşit olduğuna göre, m + k toplamı kaçtır? A) 8 B) 5 C) D) 6 E) 8 m olmak üzere, x + mx + = 0 x x m = 0 denklemlerinin birer kökü eşit olduğuna göre, m kaçtır? A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 soru soru 6 x + mx + n = 0 denkleminin bir kökü 3, x 3kx + b = 0 denkleminin bir kökü ( 1) dir. Bu iki denklemin diğer kökleri eşit olduğuna göre, 6k + m toplamı kaçtır? m 3 olmak üzere, x + mx m = 0 x + 3x + m 1 = 0 denklemlerinin birer kökü eşit olduğuna göre, m kaçtır? A) 8 B) 4 C) D) E) 4 soru 3 x + mx + n = 0 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI A) 8 B) 4 C) 4 D) 8 E) 10 soru 7 x + (m )x + n = 0 denkleminin kökleri denkleminin bir kökü, x + kx + b = 0 x (m 4)x + k = 0 denkleminin köklerinin 'şer katına eşittir. m kaçtır? denkleminin bir kökü 4 dür. Bu iki denklemin diğer kökleri eşit olduğuna göre, n+b n b kaçtır? A) 4 B) 10 3 C) 3 D) 8 3 E) A) 3 B) C) 1 D) 1 E) 3 soru 4 soru 8 x + (m )x + n = 0 denkleminin bir kökü 4, x + ( m + 1)x + k = 0 x + mx + 8n = 0 denkleminin kökleri x + kx + n + 1 = 0 denkleminin köklerinin 3'er katına eşittir. n kaçtır? denkleminin bir kökü ( ) dir. Bu iki denklemin diğer kökleri eşit olduğuna göre, m kaçtır? A) 11 B) 1 C) D) 1 E) 11 A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 1 A A 3 E 4 C 5 B 6 D 7 B 8 A 31

29 Simetrik İki Kök ax + bx + c = 0 denkleminin kökleri ve x olsun. ve x 'nin simetrik iki kök olması için = x şartını sağlamalı dolayısıyla, + x = b a = 0 ve. x = c a < 0 olmalıdır. Aşağıdaki denklemlerde simetrik iki kök olup olmadığını inceleyiniz. a) x 9 = 0 b) x + 16 = 0 c) x + x 14 = 0 ve x simetrik iki kök ise + x = b a = 0 ve x. x = c 1 a < 0 olmalıdır. a) + x = 0 ve. x = 9 < 0 olduğu için simetrik iki kökü vardır. b) + x = 0 fakat. x = 16 > 0 olduğu için simetrik iki kökü yoktur. c). x = 14 < 0 fakat + x = 0 olduğu için simetrik iki kökü yoktur. x (m + 6)x + m = 0 denkleminin simetrik iki kökünün olması için m'nin değerini bulunuz. + x = 0 ve. x < 0 olmalıdır. m 6 m = 0 ve < 0 m + 6 = 0 ve m < 0 m = 6 ve m < dir. O halde m = 6 dır. Cevap: 6 x (m 5)x + n = 0 denkleminin simetrik iki kökünün olması için m ve n değerlerini bulunuz. Simetrik iki kök için + x = 0 ve. x < 0 olmalıdır. m+5 1 = 0 ve n 1 > 0 m 5 = 0 ve n > 0 m = 5 ve n > dir. Cevap: m = 5 ve n > x + (m 9)x + m = 0 denkleminin simetrik iki kökünün olması için m'nin değerini bulunuz. + x = 0 ve. x < 0 olmalıdır. m +9 1 = 0 ve m 1 < 0 m = 9 ve m < 0 3 m = 3 veya m = 3 ve m < 0 dır. O halde m = 3 olmalıdır. Cevap: 3

30 soru 1 soru 5 ax + bx + c = 0 denkleminin simetrik iki kökünün olması için aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur? x (m 4m 14)x 9 = 0 denkleminin simetrik iki kökünün olması için m'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) b = 0 A) 14 B) 4 C) 0 D) 4 E) 14 B) c a < 0 C) b = 0 ve c a > 0 D) b = 0 ve c = 0 E) b = 0 ve c a < 0 soru soru 6 Aşağıdaki denklemlerin hangisinde simetrik iki kök vardır? 3x + (m 5)x + m 7 = 0 A) x + 1 = 0 B) x 4 = 0 C) x + x 6 = 0 D) x + 18 = 0 E) x = 0 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI denkleminin simetrik iki kökü olduğuna göre, m kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) soru 3 soru 7 x + (m 4)x + n 6 = 0 denkleminin simetrik iki kökünün olması için m + n toplamının alacağı en büyük tam sayı değeri kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 x (m 16)x + m = 0 denkleminin simetrik iki kökü olduğuna göre, m kaçtır? A) 4 B) C) 1 D) E) 4 soru 4 soru 8 x (m 4)x 6 = 0 denkleminin simetrik iki kökünün olması için m'nin alabileceği değerler çarpımı kaçtır? A) 4 B) C) 1 D) E) 4 x (m m 3)x m = 0 denkleminin simetrik iki kökü olduğuna göre, m kaçtır? A) 3 B) 1 C) 1 D) 3 E) 4 1 E D 3 C 4 A 5 D 6 B 7 A 8 D 33

31 Kökleri Verilen ikinci Derece Denklemi Yazma Kökleri verilen ikinci derece denklemi yazmak için x (Kökler toplamı)x + Kökler çarpımı = 0 bağıntısı kullanılır. Aşağıda kökleri verilen ikinci dereceden denklemleri yazınız. a) = 5 ve x = 3 b) = 1 ve x = 1 3 c) = 3 ñ ve x = 3 + ñ a) Kökler toplamı: ( 5) + ( 3) = 8 Kökler çarpımı: ( 5). ( 3) = +15 x (Kökler toplamı)x + Kökler çarpımı = 0 bağıntısından Denklem: x + 8x + 15 = 0 Cevap: x + 8x + 15 = 0 1 b) Kökler toplamı: = 5 6 Kökler çarpımı: = 1 6 x (Kökler toplamı)x + Kökler çarpımı = 0 bağıntısından Denklem: x 5 6 x = 6x 5x + 1 = 0 c) Kökler toplamı: 3 ñ ñ = 6 Cevap: 6x 5x + 1 = 0 Kökler çarpımı: (3 ñ). (3 + ñ) = 3 (ñ) = 7 x (Kökler toplamı)x + Kökler çarpımı = 0 bağıntısından Denklem: x 6x + 7 = 0 Cevap: x 6x + 7 = 0 x 6x + = 0 denkleminin kökleri ve x dir. Kökleri ikinci derece denklemi yazınız. 1 ve 1 x olan x 6x + = 0 denkleminde + x = b a = 6 ve x. x = c 1 a = dir. İstenilen denklemin kökleri Kökler toplamı: 1 ve 1 1 x + x 6 x x x.x 1 x 1 + = = = 1 1 (x ) (x ) 1 3 Kökler çarpımı: = = x x x.x 1 1 x (Kökler toplamı)x + Kökler çarpımı = 0 bağıntısından Denklem: x 3x + 1 = x 6x + 1 = 0 Cevap: x 6x + 1 = 0 x 4x 6 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. Kökleri ( 3) ve (x 3) olan ikinci derece denklemi yazınız. x 4x 6 = 0 denkleminde + x = b a = 4 ve x. x = c 1 = 6 dır. a 34 İstenilen denklemin kökleri ( 3) ve (x 3) Kökler toplamı: ( 3) + (x 3) = ( + x ) 6 =. 4 6 = Kökler çarpımı: ( 3). (x 3) = 4. x 6 6x + 9 = 4.( 6) = 39 x (Kökler toplamı)x + Kökler çarpımı = 0 bağıntısından Denklem: x x 39 = 0 Cevap: x x 39 = 0

32 soru 1 soru 5 Kökleri ( 7) ve 5 olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) x + x + 35 = 0 B) x x + 35 = 0 C) x x 35 = 0 D) x + x 35 = 0 E) x 35x = 0 x + 5x 3 = 0 denkleminin köklerinin çarpmaya göre terslerini kök kabul eden ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) 3x 5x + 1 = 0 B) x 5x 3 = 0 C) 3x + 5x + 1 = 0 D) 3x + 5x 1 = 0 E) 3x 5x 1 = 0 soru soru 6 Kökleri 1 3 ve 1 olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden 4 hangisidir? x 7x + = 0 denkleminin kökleri ve x dir. Kökleri ve x olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) 1x x 1 = 0 B) 1x + x + 1 = 0 C) 1x x + 1 = 0 D) 1x + 1x 1 = 0 E) 1x + x 1 = 0 A) x 14x + 8 = 0 B) x 14x + = 0 C) x 14x + 4 = 0 D) x + 14x + 8 = 0 E) x 14x + 16 = 0 soru 3 Kökleri (ñ5 3) ve (ñ5 + 3) olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) x ñ5x + 4 = 0 B) x ñ5x 4 = 0 C) x + ñ5x 4 = 0 D) x + 6x 4 = 0 E) x 6x 4 = 0 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 x 6x + 4 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. Kökleri (3 +1) ve (3x +1) olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) x + 16x 53 = 0 B) x 16x 53 = 0 C) x + 16x + 53 = 0 D) x 16x + 53 = 0 E) x + 16x 19 = 0 soru 4 soru 8 x + 8x + = 0 denkleminin kökleri ve x dir. Kökleri 1 ve dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? 1 x olan ikinci x 4x 3 = 0 denkleminin kökleri ve x dir. Kökleri (4 3) ve (4x 3) olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) x 8x + 1 = 0 B) x + 8x 1 = 0 C) x + 8x + 1 = 0 D) x 8x 1 = 0 E) x + 4x + 1 = 0 A) x x + 39 = 0 B) x + x 39 = 0 C) x + x + 39 = 0 D) x x 39 = 0 E) x x 37 = 0 1 D A 3 B 4 C 5 E 6 A 7 A 8 D 35

33 Rasyonel katsayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin bir kökü m + ñn ise diğeri m ñn dir. Aşağıda rasyonel katsayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin bir kökü verilmiştir. Diğer kökünü bulunuz. Köklü sayının önündeki sayının işareti değiştirilerek diğer kökü buluruz. a) 3 ñ5 b) + ñ3 c) ñ7 1 d) ñ + 3 a) 3 + ñ5 b) ñ3 c) ñ7 1 d) ñ + 3 Köklerinden biri 3 ñ7 olan rasyonel katsayılı ikinci dereceden denklemi yazınız. = 3 ñ7 ise x = 3 + ñ7 dir. Kökler toplamı: (3 ñ7) + (3 + ñ7) = 6 Kökler çarpımı: (3 ñ7). (3 + ñ7) = 3 (ñ7) = x (Kökler toplamı)x + Kökler çarpımı = 0 bağıntısından Denklem: x 6x + = 0 Cevap: x 6x + = 0 Köklerinden biri ñ3 + 4 olan rasyonel katsayılı ikinci dereceden denklemi yazınız. = ñ3 + 4 ise x = ñ3 + 4 dür. Kökler toplamı: (ñ3 + 4) + ( ñ3 + 4 ) = 8 Kökler çarpımı: (4 + ñ3). (4 ñ3) = 4 (ñ3) = 13 x (Kökler toplamı)x + Kökler çarpımı = 0 bağıntısından Denklem: x 8x + 13 = 0 Cevap: x 8x + 13 = 0 Rasyonel katsayılı x +bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri 3 ñ olduğuna göre b + c toplamını bulunuz. = 3 ñ ise x = 3 + ñ dir. Kökler toplamı: + x = b (3 ñ) + (3 + ñ) = b 6 = b 1 = b Kökler çarpımı:. x = c (3 ñ). (3 + ñ) = c 3 (ñ) = c 9 8 = c O halde, b + c = 1 + = 10 = c 36 Cevap: 10

34 soru 1 soru 5 Rasyonel katsayılı ikinci dereceden bir denklemin köklerinden biri (5 + ñ6 ) olduğuna göre, diğeri kaçtır? Köklerinden biri (ñ7 ) olan rasyonel katsayılı ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) 5 + ñ6 B) ñ5 6 C) 5 ñ6 D) 5 + ñ6 E) 5 ñ6 A) x 4x 3 = 0 B) x + 4x 3 = 0 C) x + 4x 7 = 0 D) x + 4x 6 = 0 E) x + 4x 1 = 0 soru soru 6 Rasyonel katsayılı ikinci dereceden bir denklem için aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? Köklerinden biri ( ñ3 + 1) olan rasyonel katsayılı ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? I. = 3 + ñ ise x = 3 ñ A) x + x 11 = 0 B) x + x + 11 = 0 II. = 1 ñ3 ise x = 1 + ñ3 C) x x 13 = 0 D) x x + 13 = 0 III. = ñ5 ise x = ñ5 E) x x 11 = 0 IV. = ñ7 + 3 ise x = ñ7 3 V. = ñ6 ise x = + ñ6 A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 Köklerinden biri (1 ñ ) olan rasyonel katsayılı ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? Rasyonel katsayılı 3x + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri ( + ñ ) olduğuna göre, b c kaçtır? A) x x 1 = 0 B) x x = 0 A) 18 B) 1 C) 6 D) 6 E) 18 C) x + x 1 = 0 D) x + x = 0 E) x x + 1 = 0 soru 4 soru 8 Köklerinden biri (3 ñ5 ) olan rasyonel katsayılı ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? Rasyonel katsayılı x + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri (1 ñ5 ) olduğuna göre, b + c toplamı kaçtır? A) x 6x + 11 = 0 B) x + 6x 11 = 0 A) 6 B) C) 4 D) 6 E) 18 C) x 6x 11 = 0 D) x 6x + 4 = 0 E) x 6x 17 = 0 1 E D 3 A 4 C 5 B 6 E 7 A 8 D 37

35 Polinomların Çarpımı Şeklindeki Denklemlerin Çözümü P(x) ve Q(x) iki polinom olsun. P(x). Q(x) = 0 ise P(x) = 0 veya Q(x) = 0 dır. (x ).(x + 5) = 0 denkleminin kümesini bulunuz. (x ).(x + 5) = 0 ise x = 0 veya x + 5 = 0 x = x = 5 Ç.K = { 5, } Cevap: { 5, } (x + 3).(x + x 15) = 0 x + x 15 = (x + 5).(x 3) denkleminin kümesini bulunuz. x +5 x 3 (x + 3).(x + x 15) = (x + 3).(x + 5).(x 3) = 0 x + 3 = 0 veya x + 5 = 0 veya x 3 = 0 x = 3 x = 5 x = 3 Ç.K = { 5, 3, 3} Cevap: { 5, 3, 3} (x + 5).(x + 3x 10) = 0 denklemini sağlayan farklı x değerlerinin toplamını bulunuz. (x + 5) = (x + 5).(x + 5) x + 3x 10 = (x + 5).(x ) x +5 x (x + 5).(x + 3x 10) = (x + 5).(x + 5).(x + 5).(x ) = 0 x + 5 = 0 veya x = 0 x = 5 x = x değerlerinin toplamı 5 + = 3 Cevap: 3 (x 4).(x + 1) = 5x 0 denkleminin kümesini bulunuz. Eşitliğin bir tarafını 0 yapmak için ifadeleri aynı tarafa toplarız. (x 4).(x + 1) = 5x 0 = 5(x 4) (x 4).(x + 1) 5(x 4) = 0 (x 4).(x + 1 5) = 0 (x 4).(x 4 ) = 0 (x 4).(x ).(x + ) = 0 x 4 = 0 veya x = 0 veya x + = 0 x = 4 x = x = Ç.K = {,, 4} 38 Cevap: {,, 4}

36 soru 1 soru 5 (x 4). (x + 3) = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? (x + 3). (x + 4x + 3) = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {4} B) { 3} C) { 3,4} D) { 4,3} E) { 4} A) { 3, 1, 3} B) { 3} C) { 1} D) { 3, 1} E) { 3, 3} soru soru 6 (x 5). (x + 4) = 0 denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır? ( x + 5). (x 6x + 5) = 0 denklemini sağlayan farklı x değerlerinin toplamı kaçtır? A) 0 B) 10 C) 5 D) 10 E) 0 A) 1 B) 5 C) 6 D) 10 E) 11 soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 ( x ). (x + 7x + 6) = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? (x 4). (x + 1) = 3x 1 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 6,, 1} B) {, 1, 6} C) { 6,, 1} D) {, 1} E) { 6, 1} A) { 4, 1} B) {1, 7} C) {1} D) {4} E) {1, 4} soru 4 soru 8 (x 4). (x + 3) = 0 denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır? (x ). (x + 3) = 5x 10 denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır? A) 1 B) 6 C) 4 D) 6 E) 1 A) 16 B) 8 C) 4 D) E) 1 1 C B 3 A 4 E 5 D 6 C 7 E 8 C 39

37 Polinomların Bölümü Şeklindeki Denklemlerin Çözümü P(x) ve Q(x) iki polinom olsun. P(x) = 0 ise P(x) = 0 ve Q(x) 0 dır. Q(x) 3x+6 x 3 = 0 denkleminin kümesini bulunuz. 3x + 6 = 0 ve x 3 0 olmalıdır. 3x = 6 x 3 x = O halde x = dir. Ç.K = { } Cevap: { } + x 1 x 6x 5 = 0 denkleminin kümesini bulunuz. x 6x + 5 = 0 ve x 1 0 olmalıdır. x 6x + 5 = (x 5).(x 1) = 0 ise x = 5 veya x = 1 dir. x 1 0 ise x 1 dir. x = 5 veya x = 1 ve x 1 ise x = 5 dir. O halde, Ç.K = {5} Cevap: {5} + x 5x + 6 (x 4x 3)(x ) = 0 denkleminin kümesini bulunuz. x 4x + 3 =0 veya x = 0 ve x 5x olmalıdır. x 4x + 3 = (x 1)(x 3) = 0 ise x = 1 veya x = 3 dür. x = 0 ise x = dir. x 5x + 6 (x )(x 3) 0 ise x veya x 3 dür. x = 1 veya x = 3 veya x = ve x, x 3 ise x = 1 dir. O halde, Ç.K = {1} Cevap: {1} x 3x = x x denkleminin kümesini bulunuz. Eşitliğin bir tarafını 0 yapmak için ifadeleri aynı tarafa toplarız. x 3x x 3x = x x ise x x = 0 x 3x + = 0 x x 3x + =0 ve x 0 x 3x + = (x )(x 1) = 0 ise x = veya x = 1 dir. x 0 ise x dir. x = veya x = 1 ve x ise x = 1 dir. O halde Ç.K = {1} Cevap: {1} 40

38 soru 1 x 5 x+ = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? soru x x 1 (x 5x 4).(x 3) = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {, 5} B) { 5} C) {5} D) { 5, } E) {, 5} A) { 3, 1} B) {1} C) { 3, 4} D) { 4, 1, 3} E) { 3, 1, 4} soru soru 6 3x+m x 4 = 0 (x x ).(x + 5) denkleminin kökü {, 4} kümesinin elemanı olduğuna göre, m kaçtır? A) 6 B) 3 C) 1 D) 3 E) 6 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 5} B) { 5,, 1} C) {, 5} D) { 5, 1, } E) { 5, } soru 3 8 x x 7x 8 = 0 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 x x + 3 = x + 1 x + 1 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 1} B) {1} C) { 1, 8} D) {1, 8} E) { 1, 1, 8} A) { 3} B) { 1, 3} C) {3} D) {1, 3} E) {, 3} soru 4 soru 8 + = x 1 x 3 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? x 4x 3 = x + x + denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 1, 1 } B) { 1 } C) { 1, 1} D) {1 } A) {1} B) {1, 3} C) {3} D) { 1, 3} E) {, 1, 3} E) { 1, 1 } 1 C D 3 A 4 D 5 B 6 E 7 C 8 B 41

39 1 5 x 14 x = 0 denkleminin kümesini bulunuz = 0 ise 1 x x ( x )() x (1) x x 54 = 0 dır. x 5x 14 = 0 ve x 0 olmalıdır. x 7 x + x 0 x 5x 14 = (x 7).(x + ) = 0 ise x = 7 veya x = dir. x = 7 veya x = ve x 0 ise x = 7 veya x = dir. O halde Ç.K = {, 7} Cevap: {, 7} x x 1 + x + 3 x + 1 = 0 x x = 0 x 1 x + 1 (x + 1) (x 1) denklemini sağlayan x değerlerinin toplamını bulunuz. x(x + 1) + (x 1)(x + 3) x + x + x + 3x x 3 = ( x 1)( x + 1) ( x 1)( x + 1) x + 3x 3 = 0 ( x 1)( x + 1) x + 3x 3 = 0 ve x 1 0, x x 1 x 1 x'lerin toplamı = b a = 3 Cevap: 3 x + 1 x 3 = 1 x denkleminin kümesini bulunuz. 4 x + 1 x 3 = 1 x ise x = 9 ve x 3 0 olmalıdır. x 9 = 0 x 3 x 9 = (x 3).(x + 3) = 0 ise x = 3 veya x = 3 tür. x = 3 veya x = 3 ve x 3 ise x = 3 tür. Ç.K = { 3} Cevap: { 3}

40 soru 1 1 a 4 a = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? soru x + = + 16 x + 4 x + 4 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 4,, 6} B) {6} C) { 4} D) { 6, 4} E) { 4, 6} A) { 4, 4} B) {4} C) {3, 4} D) { 4,, 4} E) { 3, 4} soru 3 x 1 x = 0 x soru 6 5 x + = mx x + denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? denkleminin kümesi tek elemanlı olduğuna göre, m kaçtır? A) { 1, 1 3 } B) { 1 3 } A) B) 3 C) 4 D) 6 E) 8 C) {1} D) { 1 3, 1} soru 3 E) {1, 1 3 } KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 x x x 5 x + = 0 x x x + 1 = x + 8 x + 1 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 B) C) 1 D) E) 4 A) { 1, 3} B) { 3, 1} C) {3} D) {, 3} E) {, 3} soru 4 x + 3 x + x + 4 x 1 = 0 soru 8 x x x + = x 1 x + denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır? denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) 11 B) 5 C) 9 D) 4 E) 7 A) {, 3} B) { 3, } C) {, 3} D) {3} E) {1, 3} 1 E D 3 B 4 A 5 B 6 C 7 C 8 D 43

41 Değişken Değiştirme Yöntemi Verilen denklemlerde, benzer ifadeler yardımcı bilinmeyenle tekrar düzenlenip ikinci dereceden denkleme dönüştürülebilir. Bu yönteme değişken değiştirme yöntemi denir. İkinci dereceden denkleme dönüşen denklem çözülerek verilen denklemin kümesi bulunur. x 4 10x + 9 = 0 denkleminin kümesini bulunuz. x 4 = (x ) dir. x = t dönüşümü yaparsak x = (x ) = t olur. Buna göre x = 0 denklemi t 10t + 9 = 0 denklemine dönüşür. t 10t + 9 = (t 9).(t 1) = 0 ise t = 9 veya t = 1 x = 9 veya x = 1 x = 3, x = 3 x = 1, x = 1 O halde Ç.K = { 3, 1, 1, 3 } Cevap: { 3, 1, 1, 3 } x 6 + 7x 3 8 = 0 denkleminin kümesini bulunuz. x 8 15x 4 16 = 0 denkleminin kümesini bulunuz. x 3x 1 + = 0 denkleminin kümesini bulunuz. x 6 = (x 3 ) dir. x 3 = t dönüşümü yaparsak x 6 = (x 3 ) = t olur. Buna göre x 6 + 7x 3 8 = 0 denklemi t + 7t 8 = 0 denklemine dönüşür. t + 7t 8 = (t + 8).(t 1) = 0 ise t = 8 veya t = 1 x 3 = 8 x 3 = 1 x = x = 1 O halde Ç.K = {, 1} Cevap: {, 1} x 8 = (x 4 ) dir. x 4 = t dönüşümü yaparsak x 8 = (x 4 ) = t olur. Buna göre x 8 15x 4 16 = 0 denklemi t 15t 16 = 0 denklemine dönüşür. t 15t 16 = (t 16).(t + 1) = 0 ise t = 16 veya t = 1 x 4 = 16 x 4 = 1 eşitliğini sağlayan x =, x = reel sayı yoktur. O halde, Ç.K = {, } Cevap: {, } x = (x 1 ) dir. x 1 = t dönüşümü yaparsak x = (x 1 ) = t olur. Buna göre x 3x 1 + = 0 denklemi t 3t + = 0 denklemine dönüşür. t 3t + = (t )(t 1) = 0 ise t = veya t = 1 x 1 = x 1 = 1 x = 1 x = 1 O halde, Ç.K = { 1, 1} Cevap: { 1, 1} 44

42 soru 1 soru 5 x 4 5x + 4 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? x 8 17x = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {1, 4} B) {1, } C) {, } D) { 1, 1} E) {, 1, 1, } A) {, 1, 1, } B) {1, 16} C) {, } D) { 1, 1} E) {1, } soru soru 6 x 4 3x 4 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? x 8 + x 4 3 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 1, 4} B) {} C) {, } D) { 1, 1} E) {, 1, 1, } A) { 1, 1} B) { 3, 1} 4 4 C) {1} D) { 3, 3} E) 4 4 { 3, 1, 1, 3} soru 3 x 6 6x 3 7 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 x x 1 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 1, 7} B) { 1} C) {3} D) { 1, 3} E) { 3, 1} A) { 1, } B) { 1, 1 } C) { 1, 1} D) {, 1} E) { 1, 1} soru 4 soru 8 x 6 9x = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? x 4 x 8 = 0 denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır? A) {1, 8} B) {1, } C) { 1, } D) {, 1} E) {, 1} A) 4 B) C) 1 D) 1 E) E C 3 D 4 B 5 A 6 A 7 B 8 E 45

43 4 X 6. X + 8 = 0 denkleminin kümesini bulunuz. 3 X 6. 3 X = 1 denkleminin kümesini bulunuz. 4 X = ( ) X = x = ( x ) x = t dönüşümü yaparsak 4 x = ( x ) = t olur. Buna göre 4 x 6. x + 8 = 0 denklemi t 6t + 8 = 0 denklemine dönüşür. t 6t + 8 = (t 4).(t ) = 0 ise t = 4 veya t = x = 4 x = x = x = 1 O halde Ç.K = {1, } Cevap: {1, } 1 3 X = 3 ve x 3x = t dönüşümü yaparsak 3 X = 1 3 = 1 x t olur. Buna göre 3 X 6. 3 X = 1 denklemi t 6 = 1 denklemine dönüşür. t t 1 6 t = 1 1 ise t 6 = t (t) (1) t t t 6 = 0 ise (t 3)(t + ) = 0 t = 3 veya t = 3 X = 3 3 X = eşitliğini sağlayan x = 1 reel sayı yoktur. O halde Ç.K = {1} Cevap: {1} (x + 3) 8. (x + 3) + 15 = 0 denkleminin kümesini bulunuz. x + 3 = t dönüşümü yaparsak (x + 3) = t olur. Buna göre (x + 3) 8(x + 3) + 15 = 0 denklemi t 8t + 15 = 0 denklemine dönüşür. t 8t + 15 = (t 3). (t 5) = 0 ise t = 3 veya t = 5 x + 3 = 3 x + 3 = 5 x = 0 x = 1 O halde Ç.K = {0, 1} Cevap: {0, 1} x 6x 8 0 x + = x denkleminin kümesini bulunuz. x x = t dönüşümü yaparsak x 6x x = t olur. x 6x Buna göre, 8 0 x + = x denklemi t 6t + 8 = 0 denklemine dönüşür. t 6t + 8 = (t 4)(t ) = 0 ise x t = 4 veya x t = x = 4 x = x = 4x 8 x = x 4 x = 8 x = 4 3 O halde Ç.K = { 8 3, 4} Cevap: { 8 3, 4} 46

44 soru 1 4 x 9. x + 8 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? soru 5 (x 5) 4(x 5) + 3 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {1, 8} B) {1, 3} C) {0, 3} D) {3} E) {0, 8} A) {1, 3} B) {3, 4} C) {3} D) {1, 4} E) {1, 3, 4} soru 9 x 6. 3 x 7 = 0 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? soru 6 (3x ) 3(3x ) 10 = 0 denkleminin kökler toplamı kaçtır? A) {} B) { 1, } C) {1, } D) {1} E) { 3, 9} soru 3 5 x x = denklemini sağlayan x değeri için óx+3 kaçtır? A) ñ3 B) C) ñ5 D) ñ6 E) ñ KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI A) 4 B) 10 3 soru 7 x + 1 x = 0 x 3 x 3 C) 3 D) 7 3 denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {, 3} B) {5} C) {7} D) {5, 7} E) {, 3, 5, 7} E) soru 4 3. x+ x = 1 denklemini sağlayan x değeri x + mx 6 = 0 denkleminin bir köküdür. m kaçtır? soru 8 3x 1 3x = 0 x + x + denkleminin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) 6 B) 4 C) 3 D) E) 1 A) {3, 4} B) {0, 9} C) { 9} D) {0, 9} E) Æ 1 C A 3 B 4 E 5 B 6 D 7 D 8 C 47

45 (x x) 8. (x x) + 1 = 0 denkleminin kümesini bulunuz. x x = t dönüşümü yaparsak (x x) = t olur. Buna göre (x x) 8(x x) + 1 = 0 denklemi t 8t + 1 = 0 denklemine dönüşür. t 8t + 1 = (t 6). (t ) = 0 ise t = 6 veya t = x x = 6 x x = x x 6 = 0 x x = 0 (x 3). (x + ) = 0 (x ). (x + 1) = 0 x = 3, x = x =, x = 1 O halde Ç.K = {, 1,, 3} Cevap: {, 1,, 3} 15 x x x x = denkleminin kümesini bulunuz. x x = t dönüşümü yapalım. 15 Buna göre x x = denklemi x x t 15 = denklemine dönüşür. t t 1 15 = ise t 15 = t t (t) (1) (t) t + t 15 = (t 3).(t + 5) = 0 (t 3). ( t + 5) = 0 ise t = 3 veya t = 5 t = 3 için x x = 3 ve x x 3 = 0 dır. (x 3)(x +1) = 0 ise x = 3 veya x = 1 t = 5 için x x = 5 ve x x + 5 = 0 dır. D = b 4ac D = ( ) = 16 < 0 D < 0 reel kök yok O halde Ç.K = { 1, 3} Cevap: { 1, 3} x 3x = 3x + 1 x denkleminin kümesini bulunuz. x 3x+1 = t dönüşümü yaparsak 3x+1 x 1 = 1 t Buna göre, x 3x+1 + 3x+1 x 1 = denklemi olur. t + 1 t = denklemine dönüşür. t = ise t + 1 = t t 1 (t) (1) (t) t t + 1 = 0 t t + 1 = (t 1) = 0 ise t = 1 x 3x+1 = 1 x = 3x + 1 x = 3 O halde Ç.K = { 3 } Cevap: { 3 } 48

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1 TAM KARELER 1. Bir 1000 basamaklı sayıda bir tanesi dışında tüm basamaklar 5 tir. Bu sayının hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız. (2L44) Çözüm: Son rakam 5 ise, bir önceki 2 olmak zorunda.

Detaylı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı matematik SORU BANKASI Süleyman ERTEKİN LYS KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ KONU ÖZETLERİ Öğrenci Kitaplığı SORU BANKASI matematik LYS EDAM Öğrenci Kitaplığı 18 EDAM ın yazılı izni olmaksızın,

Detaylı

6. 3x2-8x - 3 = O denkleminin negatif kökü asagidakilerden. 7. mx2 - (2m2 + i) x + 2m = O denkleminin köklerinden

6. 3x2-8x - 3 = O denkleminin negatif kökü asagidakilerden. 7. mx2 - (2m2 + i) x + 2m = O denkleminin köklerinden ikinci Dereceden Denklemler, tçözüm Kümesi, Köklerin Varligi. (m - 9) x + x - 6 = o denkleminin ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olmasi için, m degeri asagidakilerden hangisi olamaz? A) - B) -

Detaylı

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir.

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir. Biz, Sizin İçin Farklı Düşünüyor Farklı Üretiyor Farklı Uyguluyoruz Biz, Sizin İçin Farklıyız Sizi de Farklı Görmek İstiyoruz Soru Bankası matematik konularını yeni öğrenen öğrenciler için TMOZ öğretmenlerince

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

Mutlak Değer. Isınma Hareketleri. a) 2. c) lñ5 ñ4l = ñ5 2 + d) lñ5 ñ9l = (ñ5 3) = ñ e) l 2al = ( 2a) = 2a. f) l3al = 3a. a) 2.lxl. lxl 3.

Mutlak Değer. Isınma Hareketleri. a) 2. c) lñ5 ñ4l = ñ5 2 + d) lñ5 ñ9l = (ñ5 3) = ñ e) l 2al = ( 2a) = 2a. f) l3al = 3a. a) 2.lxl. lxl 3. Isınma Hareketleri 1 Aşağıda verilenleri inceleyiniz. I. 5 0 5 >> l 5l = l5l II. Mutlak değer büyüklük olduğu için " " olmaz. Yani lxl 0 III. Mutlak değer içerisindeki ifade dışarıya alınırken kendi işareti

Detaylı

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Amacı: Metalik Oranların elde edildiği ikinci dereceden denklemin diskriminantını ele alarak karmaşık sayılarla uygulama yapmak ve elde

Detaylı

a = b ifadesine kareköklü ifade denir.

a = b ifadesine kareköklü ifade denir. KAREKÖKLÜ SAYILAR Rasyonel sayılar kümesi sayı ekseninde sık olmasına rağmen sayı eksenini tam dolduramamaktadır;çünkü sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel olmayan sayılar da vardır. Karesi

Detaylı

Mehmet ŞAHİN. www.mehmetsahinkitaplari.org

Mehmet ŞAHİN. www.mehmetsahinkitaplari.org 0. Sınıf M AT E M AT İ K Mehmet ŞAHİN www.mehmetsahinkitaplari.org M.E.B Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı nın 0..009 tarih ve 4 sayılı kararı ve 00-0 öğretim yılından itibaren uygulanacak programa göre

Detaylı

Doğrusal Denklem Sistemlerini Cebirsel Yöntemlerle Çözme. 2 tişört + 1 çift çorap = 16 lira 1 tişört + 2 çift çorap = 14 lira

Doğrusal Denklem Sistemlerini Cebirsel Yöntemlerle Çözme. 2 tişört + 1 çift çorap = 16 lira 1 tişört + 2 çift çorap = 14 lira 2 tişört + 1 çift çorap = 16 lira 1 tişört + 2 çift çorap = 14 lira 1 16 soruluk bir testte 5 ve 10 puanlık sorular bulunmaktadır. Soruların tamamı doğru cevaplandığında 100 puan alındığına göre testte

Detaylı

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ DERSHANELERÝ Konu Ders Adý Bölüm Sýnav DAF No. MATEMATÝK - II II. DERECEDEN DENKLEMLER - I MF TM LYS 05 Ders anlatým föyleri öðrenci tarafýndan dersten sonra

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

BİNOM AÇILIMI. Binom Açılımı. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. ö æ ö æ ö,,

BİNOM AÇILIMI. Binom Açılımı. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. ö æ ö æ ö,, BİNOM AÇILIMI Binom Açılımı n doğal sayı olmak üzere, (x+y) n ifadesinin açılımını pascal üçgeni yardımıyla öğrenmiştik. Pascal üçgenindeki katsayılar; (x+y) n ifadesi 1. Sütun: (x+y) n açılımındaki katsayılar

Detaylı

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

MUTLAK DEĞER Test -1

MUTLAK DEĞER Test -1 MUTLAK DEĞER Test -. < x < olduğuna göre, x x ifadesinin eşiti aşağıdakilerden 7 B) 7 x C) x 7 D) x 7 E) 7 x 5. y < 0 < x olduğuna göre, y x x y x y ifadesinin eşiti aşağıdakilerden xy B) xy C) xy D) xy

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER YILLAR 00 00 00 00 00 00 007 008 009 00 ÖSS-YGS - - - - - - - - BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER a,b R ve a 0 olmak üzere ab=0 şeklindeki denklemlere Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme. Eğitimde

MATEMATİK SORU BANKASI GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme. Eğitimde KPSS Genel Yetenek Genel Kültür MATEMATİK Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme KPSS 2016 Pegem Akademi Sınav Komisyonu; 2015 KPSS ye Pegem Yayınları ile hazırlanan adayların, 100'ün üzerinde soruyu kolaylıkla

Detaylı

Başlayanlara AKTİF MATEMATİK

Başlayanlara AKTİF MATEMATİK KPSS - YGS - DGS - ALES Adayları için ve 9. sınıfa destek 0 dan Başlayanlara AKTİF MATEMATİK MEHMET KOÇ ÖNSÖZ Matematikten korkuyorum, şimdiye kadar hiç matematik çözemedim, matematik korkulu rüyam! bu

Detaylı

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler

Detaylı

2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır?

2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır? MATE 106 SOSYAL BİLİMLER İÇİN TEMEL ANALİZ Ad-Soyad No Uygun cevabı bulunuz. 1)A = πr2 formülü r yarıçaplı çemberin A alanını vermektedir. Bir masa örtüsü A alanına sahipse, yarıçapını A'nın bir fonksiyonu

Detaylı

ÜSLÜ SAYILAR. AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama

ÜSLÜ SAYILAR. AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama KURAL: Bir sayının belli bir sayıda yan yana çarpımının kolay yoldan gösterimine üslü sayılar denir. Örneğin 5 sayısının

Detaylı

MUTLAK DEĞER. Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z. Örnek...7 : x=1 5, y= 5 2, ise x+y y x x =? Örnek...1 : =? Örnek...8 : Örnek...2 : =?

MUTLAK DEĞER. Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z. Örnek...7 : x=1 5, y= 5 2, ise x+y y x x =? Örnek...1 : =? Örnek...8 : Örnek...2 : =? TANIM MUTLAK DEĞER Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z ise x y x z z y =? Bir x reel sayısına karşılık gelen noktanın sayı doğrusunda 0 (sıf ır) a olan uzaklığına x sayısının mutlak değeri denir ve x şeklinde

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Đşlem ĐŞLEM A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona ikili işlem denir. Örneğin toplama, çıkarma, çarpma birer işlemdir. Đşlemler

Detaylı

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :.

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. SAYILAR BASAMAK KAVRAMI İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. Üç basamaklı rakamları farklı en küçük sayı :. SORU 5 MATEMATİK KAF03 TEMEL KAVRAM 01 Üç basamaklı birbirinden

Detaylı

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4.

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4. POLİNOMLAR I MATEMATİK. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? I. ( ) P = + II. ( ) P = + III. ( ) + + P = + 6. ( ) ( ) ( ) P = a b a + b sabit polinom olduğuna göre ( ) ( ) ( ) P a +P b +P 0 toplamı kaçtır?

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI. MATEMATİK YARIŞMASI 0. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 5. sayısının virgülden sonra 9 99 999 5. basamağındaki rakam kaçtır? A) 0 B) C) 3 D) E) 8!.!.3!...4! 4. A= aşağıdaki hangi

Detaylı

Soru Konu Doğru Yanlış Boş

Soru Konu Doğru Yanlış Boş YGS - MATEMATİK DENEME- A Soru Konu Doğru Yanlış Boş Mutlak Değerin Sayıya Eşitliği % % Sayılar Akıl Yürütme % % Okek Dikdörtgen Birleştirme % % Kesirlerin Okeki % % Obeb Problemleri % % Obeb Denklemi

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr

ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr ASAL SAYILAR ve kendisinden aşka pozitif öleni olmayan den üyük doğal sayılara asal sayı denir.,, 5, 7,,, 7, 9, sayıları irer asal sayıdır. En küçük asal sayı dir. den aşka çift asal sayı yoktur. den aşka

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR Test -1

TEMEL KAVRAMLAR Test -1 TEMEL KAVRAMLAR Test -1 1. 6 ( ) 4 A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 5. 4 [1 ( 3). ( 8)] A) 4 B) C) 0 D) E) 4. 48: 8 5 A) 1 B) 6 C) 8 D) 1 E) 16 6. 4 7 36:9 18 : 3 A) 1 B) 8 C) D) 4 E) 8 3. (4: 3 + 1):4 A) 3 B) 5

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

Bu ders materyali 06.09.2015 23:17:19 tarihinde matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır. Unutmayın bilgi paylaştıkça değerlidir.

Bu ders materyali 06.09.2015 23:17:19 tarihinde matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır. Unutmayın bilgi paylaştıkça değerlidir. -- Bu ders materyali 06.09.05 :7:9 tarihinde matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından UYGULAMA-00 Cevap: x- -x- x- =0 denklemini sağlayan x değeri kaçtır? UYGULAMA-00 Cevap: x x x 5 + = + denklemini

Detaylı

: Matematik. : 9. Sınıf. : Sayılar. : (6) Ders Saati

: Matematik. : 9. Sınıf. : Sayılar. : (6) Ders Saati MATEMATİK DERS PLÂNI Dersin adı Sınıf Öğrenme Alanı : Matematik : 9. Sınıf : Sayılar Başlangıç Tarihi :.. /../. Alt Öğrenme Alanı : Mutlak Değer Önerilen Süre : (6) Ders Saati Öğrenci Kazanımları /Hedef

Detaylı

SAYILAR ( ) MATEMATİK KAF01 RAKAM VE DOĞAL SAYI KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. Sayıları ifade etmeye yarayan

SAYILAR ( ) MATEMATİK KAF01 RAKAM VE DOĞAL SAYI KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. Sayıları ifade etmeye yarayan SAYILAR RAKAM VE DOĞAL SAYI KAVRAMI MATEMATİK KAF01 TEMEL KAVRAM 01 Sayıları ifade etmeye yarayan { 0,1,, 3, i i i,9} kümesindeki semollere onluk sayma düzeninde rakam denir. N =... kümesinin elemanlarına

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

Dikkat: Bir eleman, her iki kümede de olsa bile sadece bir kez yazılır.

Dikkat: Bir eleman, her iki kümede de olsa bile sadece bir kez yazılır. KÜMELER Kümelerin birleşimi (A B ): Kümelerin bütün elemanlarından oluşur. Kümelerin kesişimi (A B): Kümelerin ortak elemanlarından oluşur. Kümelerin Farkı (A \ B ) veya (A - B ): Birinci kümede olup ikinci

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a İKİNCİ DERECEDEN FNKSİYNLARIN GRAFİKLERİ a,b,c,z R ve a 0 olmak üzere, F : R R f() = a + b + c şeklinde tanımlanan fonksionlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksionlar denir. Bu tür fonksionların grafikleri

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR

2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR 2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR KONULAR 1. RASYONEL SAYILAR 2. Kesir Çeşitleri 3. Kesirlerin Sadeleştirilmesi 4. Rasyonel Sayılarda Sıralama 5. Rasyonel Sayılarda İşlemler 6. ÜSLÜ İFADE 7. Üssün

Detaylı

1. BÖLÜM: PERMÜTASYON (SIRALAMA) BÖLÜM: KOMBİNASYON (SEÇME) A. SEÇME (KOMBİNASYON) B. KOMBİNASYON GEOMETRİ İLİŞKİSİ

1. BÖLÜM: PERMÜTASYON (SIRALAMA) BÖLÜM: KOMBİNASYON (SEÇME) A. SEÇME (KOMBİNASYON) B. KOMBİNASYON GEOMETRİ İLİŞKİSİ İçindekiler 1. BÖLÜM: PERMÜTASYON (SIRALAMA)... 10 A. SAYMA KURALLARI... 10 B. FAKTÖRİYEL... 14 C. n ELEMANLI BİR KÜMENİN r Lİ PERMÜTASYONLARI (Dizilişleri)... 17 Ölçme ve Değerlendirme...20 Kazanım Değerlendirme

Detaylı

Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz!

Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Artık matematikten korkmuyorum. Artık matematiği çok seviyorum. Artık az yazarak çok soru çözüyorum. Artık matematikten sıkılmıyorum.

Detaylı

Örnek...1 : mx+3y+12=0 ve 2x 5y+3=0 doğruları para - lelse m kaçtır?

Örnek...1 : mx+3y+12=0 ve 2x 5y+3=0 doğruları para - lelse m kaçtır? İKİ DOĞRUNUN BİRBİRİNE GÖRE DURUMU DURUM 1 PARALEL DOĞRULAR ve doğruları paralel doğrular ise eğimleri eşittir. Yani / / m 1 =m 2 Ayr ıca : a 1 x+b 1 y+c 1 =0 =0} / / a 1 a 2 = b 1 c 1 c 2 Örnek...1 :

Detaylı

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 İçindekiler 1. ÜNİTE Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8 Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18 Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 Bölüm 4 :- Çarpanlar ve Katlar, Bölünebilme... 40 Bölüm 5 : Asal Sayılar, Ortak Bölenler,

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

( ) FAKTÖRĐYEL YILLAR /LYS. Örnek( 4.)

( ) FAKTÖRĐYEL YILLAR /LYS. Örnek( 4.) YILLAR 00 003 004 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - 0/ - / /LYS FAKTÖRĐYEL Örnek( 4) 3)!! ) )! 4 )!? den n e kadar olan sayıların çarpımına n! denir n! 34(n-)n 0!!! 3! 3 6 4! 34 4 5!3450 Örnek(

Detaylı

KARTEZYEN ÇARPIM VE BAĞINTI

KARTEZYEN ÇARPIM VE BAĞINTI KRTEZYEN ÇRPIM VE BĞINTI 3. Bölüm TEST -2 1. β={(x,y):2x+y=8,x,y N} şeklinde tanımlı β bağıntısı kaç elemanlıdır? ) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 6. R'de bağıntısı yansıyan ise a.b kaçtır? ) 18 B) 9 C) 2 D) 18

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

ÝKÝNCÝ DERECEDEN DENKLEMLER TEST / 1

ÝKÝNCÝ DERECEDEN DENKLEMLER TEST / 1 ÝKÝNCÝ DERECEDEN DENKLEMLER TEST / 1 1. Aþaðýdakilerden hangisi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir? 5. (3x 5).(x+1)=0 denkleminin köklerinin toplamý kaçtýr? A) x+y= B) x +y = C) x.y= D) x +x=

Detaylı

ÇARPANLAR VE KATLAR I sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hâli aşağıdakilerden A) B) C) D)

ÇARPANLAR VE KATLAR I sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hâli aşağıdakilerden A) B) C) D) 8. Sınıf MATEMATİK ÇARPANLAR VE KATLAR I. Aşağıdakilerden hangisi 6 nın çarpanlarından biridir? A) 3 B) 6 C) 8 D) TEST. 360 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hâli aşağıdakilerden hangisidir? A) 3. 3.

Detaylı

ÖN SÖZ. Değerli Adaylar,

ÖN SÖZ. Değerli Adaylar, ÖN SÖZ eğerli daylar, Okul ve meslek yaşamının en önemli sınavlarından birine, Kamu Personeli Seçme Sınavı(KPSS) na hazırlanmaktasınız ve buradaki başarınız gelecekteki iş yaşamınızı ciddi şekilde etkileyecek.

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK

ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK YGS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI CEVAP ANAHTARI RASYONEL SAYILAR ONDALIK SAYILAR ÖRNEKLER (Sayfa -) 6 ) ) ) 6) ; ; ) 0) ) ; 8 ) ) ) 0 ) 6 0 0 8) 0 ) 0) 6 ) 8 ) 8 8) ) ; 6

Detaylı

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın.08.0 ta rih ve sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 0-0 Öğ re tim Yı lın dan iti ba ren uy gu lana cak olan prog ra ma gö re

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

Mobil Test Sonuç Sistemi. Nasıl Kullanılır?

Mobil Test Sonuç Sistemi. Nasıl Kullanılır? Mobil Test Sonuç Sistemi Nasıl Kullanılır? Takdim Sevgili Öğrenciler ve Değerli Öğretmenler, Eğitimin temeli okullarda atılır. İyi bir okul eğitiminden geçmemiş birinin hayatta başarılı olması beklenemez.

Detaylı

ÜNİTE: TAM SAYILAR KONU: Tam Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi

ÜNİTE: TAM SAYILAR KONU: Tam Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi ÜNE: AM AYIAR N: am ayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE RAR VE ÇÖZÜMER 1. [(+17) (+25)] + [( 12) (+21)] işleminin sonucu A) 41 B) 25 C) 25 D) 41 Çıkarma işlemi yapılırken çıkanın işareti değişir ve eksilen

Detaylı

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol:

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol: EBOB - EKOK En Büyük Ortak Bölen (Ebob) İki veya daha fazla pozitif tamsayıyı aynı anda bölen pozitif tamsayıların en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve kısaca Ebob ile gösterilir. Örneğin,

Detaylı

BİRİNCİ BÖLÜM SAYILAR

BİRİNCİ BÖLÜM SAYILAR İÇİNDEKİLER BİRİNCİ BÖLÜM SAYILAR 1.1 Tamsayılarda İşlemler... 2 1.1.1 Tek, Çift ve Ardışık Tamsayılar... 5 1.2 Rasyonel Sayılar... 6 1.2.1 Kesirlerin Birbirine Çevrilmesi... 7 1.2.2 Kesirlerin Genişletilmesi

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI

Detaylı

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem

Detaylı

ORTAÖĞRETİM MATEMATİK 10. SINIF DERS KİTABI YAZARLAR KOMİSYON

ORTAÖĞRETİM MATEMATİK 10. SINIF DERS KİTABI YAZARLAR KOMİSYON ORTAÖĞRETİM MATEMATİK 0. SINIF DERS KİTAI YAZARLAR KOMİSYON DEVLET KİTAPLARI İKİNCİ ASKI..., 0 MİLLİ EĞİTİM AKANLIĞI YAYINLARI...: 5659 DERS KİTAPLARI DİZİSİ...: 54.?.Y.000.470 Her hakkı saklıdır ve Milli

Detaylı

TEMEL MATEMATİĞE GİRİŞ - Matematik Kültürü - 5

TEMEL MATEMATİĞE GİRİŞ - Matematik Kültürü - 5 1 14 ve 1 sayılarına tam bölünebilen üç basamaklı kaç farklı doğal sayı vardır? x = 14.a = 1b x= ekok(14, 1 ).k, (k pozitif tamsayı) x = 4.k x in üç basamaklı değerleri istendiğinden k =, 4, 5, 6, 7,,

Detaylı

Sıfırdan farklı a, b, c tam sayıları için aşağıdaki özellikler sağlanır.

Sıfırdan farklı a, b, c tam sayıları için aşağıdaki özellikler sağlanır. SAYILAR TEORİSİ 1 Bölünebilme Bölme Algoritması: Her a ve b 0 tam sayıları için a = qb + r ve 0 r < b olacak şekilde q ve r tam sayıları tek türlü belirlenebilir. r sayısı a nın b ile bölümünden elde edilen

Detaylı

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ DERSHANELERÝ Konu Ders Adý Bölüm Sýnav DAF No MATEMATÝK - II POLÝNOMLAR - IV MF TM LYS1 04 Ders anlatým föyleri öðrenci tarafýndan dersten sonra tekrar çalýþýlmalýdýr

Detaylı

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır. MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı

Detaylı

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI Ortak kıl YGS MTEMTİK ENEME SINVI 1 01511-1 Ortak kıl dem ÇİL li an GÜLLÜ yhan YNĞLIŞ arbaros GÜR arış EMİR eniz KRĞ Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN Hatice MNKN Kemal YIN Köksal YİĞİT Muhammet YVUZ Oral YHN

Detaylı

matematik kpss soru yeni konularla yeni sorularla yeni sınav sistemine göre hazırlanmıştır sayısal akıl yürütme mantıksal akıl yürütme

matematik kpss soru yeni konularla yeni sorularla yeni sınav sistemine göre hazırlanmıştır sayısal akıl yürütme mantıksal akıl yürütme kpss 04 akıcı ayrıntılı güncel konu anlatımları örnekler yorumlar uyarılar pratik bilgiler ösym tarzında özgün sorular ve açıklamaları matematik sayısal akıl yürütme mantıksal akıl yürütme 0 kpss de 85

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Nisan 1994. Matematik Soruları ve Çözümleri = 43. olduğuna göre a kaçtır?

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Nisan 1994. Matematik Soruları ve Çözümleri = 43. olduğuna göre a kaçtır? Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Nisan 1994 Matematik Soruları ve Çözümleri 4.10 +.10 1. 4 10 4 işleminin sonucu kaçtır? A) 0,4 B) 4, C) 4 D) 40 E) 400 Çözüm 1 4.10 +.10 4 10 4 4.10 +.10 10 1+ 1 = 4 4 (40+

Detaylı

Temel Matematik Testi - 8

Temel Matematik Testi - 8 Test kodunu sitemizde kullanarak sonucunuzu öğrenebilir, soruların video çözümlerini izleyebilirsiniz. Test Kodu: D008. u testte 40 soru vardır.. Tavsiye edilen süre 40 dakikadır. Temel Matematik Testi

Detaylı

2004 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI

2004 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI 4 II MATEMATİK YARIŞMASI I AŞAMA SORULARI 4? 4 4 A B denkleminde A ve B birbirinden farklı pozitif tam sayılar olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? 5 A) B) C) - D) E) - 8 4 x x

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Asal Çarpan, OBEB - OKEK

Asal Çarpan, OBEB - OKEK Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. 15 in doğal sayı çarpanları II. 1 nin tam sayı bölenleri a) 1,, 3, 4, 6, 1 1,, 3, 4, 6, 1 b) 1, 3, 5, 15 III. 140 ın asal çarpanlara ayrılışı c) 140

Detaylı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı 1.8.Reel Sayılar Kümesinin Tamlık Özelliği Rasyonel sayılar kümesi ile rasyonel olmayan sayıların kümesi olan irrasyonel sayılar kümesinin birleşimine reel sayılar kümesi denir ve IR ile gösterilir. Buna

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal I / 18 Kasım 2007. Matematik Soruları ve Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal I / 18 Kasım 2007. Matematik Soruları ve Çözümleri Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Sonbahar / Sayısal I / 18 Kasım 2007 Matematik Soruları ve Çözümleri 1. Bir sayının 0,02 ile çarpılmasıyla elde edilen sonuç, aynı sayının aşağıdakilerden

Detaylı

;] u Y hb* p(a/ > V aaa!a!a!a!!!!!a! BASIN KİTAPÇIĞI

;] u Y hb* p(a/ > V aaa!a!a!a!!!!!a! BASIN KİTAPÇIĞI BASIN KİTAPÇIĞI 00000000 AÇIKLAMA 1. Bu kitapç kta Lisans Yerle tirme S nav -1 Matematik Testi bulunmaktad r. 2. Bu test için verilen toplam cevaplama süresi 75 dakikadır. 3. Bu kitapç ktaki testlerde

Detaylı

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda verilen d 1 ve d aykırı doğrularının ikisine birden dik olan doğruya ortak dikme doğrusu denir... olmak üzere bu iki doğru denkleminde değilse

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 BU SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 LYS 1 MATEMATİK TESTİ SORULARINI İÇERMEKTEDİR.

MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 BU SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 LYS 1 MATEMATİK TESTİ SORULARINI İÇERMEKTEDİR. Ö S Y M T.C. YÜKSEKÖĞRETİM KURULU ÖĞRENCİ SEÇME VE YERLEŞTİRME MERKEZİ LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 9 HAZİRAN 00 BU SORU KİTAPÇIĞI 9 HAZİRAN 00 LYS MATEMATİK

Detaylı

ELEMANLARI DENK KÜMELER OLAN VE HER FARKLI İKİ ELEMANININ SİMETRİK FARKINI İÇEREN KÜMELERİN ELEMAN SAYILARININ EN BÜYÜK DEĞERİ

ELEMANLARI DENK KÜMELER OLAN VE HER FARKLI İKİ ELEMANININ SİMETRİK FARKINI İÇEREN KÜMELERİN ELEMAN SAYILARININ EN BÜYÜK DEĞERİ ÖZEL EGE LİSESİ ELEMANLARI DENK KÜMELER OLAN VE HER FARKLI İKİ ELEMANININ SİMETRİK FARKINI İÇEREN KÜMELERİN ELEMAN SAYILARININ EN BÜYÜK DEĞERİ HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: ATAHAN ÖZDEMİR DANIŞMAN ÖĞRETMEN: DEFNE

Detaylı

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Geçen ders RP 2 de tekil olmayan her koniğin bir dönüşümün ardından tek bir koniğe dönüştüğü sonucuna vardık; o da {[x : y : z x 2 + y 2 z 2 = 0]} idi. Bu derste bu

Detaylı

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 08

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 08 LİSNS YRLŞTİRM SINVI- MTMTİK-GMTRİ SINVI MTMTİK TSTİ SRU KİTPÇIĞI 08 U SRU KİTPÇIĞI LYS- MTMTİK TSTİ SRULRINI İÇRMKTİR. . u testte 0 soru vardýr. MTMTİK TSTİ. evaplarýnýzý, cevap kâðýdýnın Matematik Testi

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini

Detaylı

SAYILAR TEORİSİ - PROBLEMLER

SAYILAR TEORİSİ - PROBLEMLER SAYILAR TEORİSİ - PROBLEMLER 1. (p + 1) q sayısının hangi p ve q asal sayıları için bir tam kare olduğunu 2. n+2n+n+... +9n toplamının bütün basamakları aynı rakamdan oluşan bir sayıya eşit olmasını sağlayan

Detaylı

d) x TABAN ARĐTMETĐĞĐ

d) x TABAN ARĐTMETĐĞĐ YILLAR 00 00 00 00 00 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 1 - - - - - - - TABAN ARĐTMETĐĞĐ Genel olarak 10 luk sayı sistemini kullanırız fakat başka sayı sistemlerine de ihtiyaç duyarız Örneğin bilgisayarın

Detaylı

1-A. Adı Soyadı. Okulu. Sınıfı LYS-1 MATEMATİK TESTİ. Bu Testte; Toplam 50 Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 75 dakikadır.

1-A. Adı Soyadı. Okulu. Sınıfı LYS-1 MATEMATİK TESTİ. Bu Testte; Toplam 50 Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 75 dakikadır. -A Adı Soadı kulu Sınıfı LYS- MATEMATİK TESTİ Bu Testte; Toplam Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 7 dakikadır. Süre bitiminde Matematik Testi sınav kitapçığınızı gözetmeninize verip Geometri Testi

Detaylı

DÖRDÜNCÜ BÖLÜM. 4.1. Aritmetik işlemler

DÖRDÜNCÜ BÖLÜM. 4.1. Aritmetik işlemler DÖRDÜNCÜ BÖLÜM 4.1. Aritmetik işlemler Bu bölümde öğrencilerin lisede bildikleri aritmetik işlemleri hatırlatacağız. Bütün öğrencilerin en azından tamsayıların toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini

Detaylı

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir.

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir. Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri Düzlemin noktalarını, düzlemin noktalarına eşleyen bire bir ve örten bir fonksiyona düzlemin bir dönüşümü denir. Öteleme: a =(a 1,a ) ve u =(u 1,u ) olmak

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 19 HAZİRAN 2016 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı