İletim Hattının Giriş Empedans Hesabı

Transkript

1 İletim Hattının Giriş Empedans Hesabı 1 İletim Hattının Giriş Empedans Hesabı Amaç, ZL ük empedansı ile sonlandırılmış bir iletim hattının kanaktan görünen eşdeğer empedansını bulmaktır. Bunun için devre teorisi öntemleri kullanılabilir. Bir uniform iletim hattı, boutları ve elektriksel özellikleri iletim önüne dik düzlem içinde değişmeen, başka bir deişle, sonsuz küçük uzunluktaki özdeş birim uzunluktaki hücrelerin kaskat bağlanmış hali olarak tanımlanabilen bir dağılmış devredir. Bir iletim hattını gerçekleştirmek için kullanılan iletkenler belirli bir seri dirence ve indüktansa sahiptir. İlave olarak, iletkenler arasında bir paralel kapasitans ve hatta iletkenler arasındaki dielektrik ortam mükemmel değilse, bir paralel kondüktans mevcuttur. Bölece bir iletim hattını dağılmış devre elemanları eşdeğeri ile şekil deki gibi göstermek mümkündür (genel kaıplı hat modeli). 2 1

2 İletim Hattının Giriş Empedans Hesabı (a) Voltage and current definitions. (b) Lumpedelement equivalent circuit. 3 İletim Hattının Giriş Empedans Hesabı R İletim hattının birim uzunluğundaki direnç (Ω/m) L İletim hattının birim uzunluğundaki indüktansı (H/m) C İletim hattının birim uzunluğundaki kapasitansı (F/m) G İletim hattının birim uzunluğundaki kondüktansı (S/m) belirtmektedir. Her bir birim uzunluktaki hücrenin sonsuz küçük uzunluğu dz olmak üzere, dağılmış devrenin her bir hücresi, değeri Rdz, Ldz, Cdz ve Gdz olan empedans elemanlarına sahip olacaktır. Eğer akım ve gerilim vasıtasıla dağılmış devrenin bir elemanter hücresinin diferansiel davranışını belirleebilirsek, iletim hattının tamamını tanımlaan genel bir diferansiel denklem bulabiliriz. Uzunluğu bounca hat uniform olduğundan bunu apmak mümkündür. Bölece, apmamız gereken bütün iş, dağılmış devrenin bir tek birim uzunluktaki elemanter hücresinde gerilim ve akımın nasıl değiştiğini bilmektir. Kaıpsız ve 4 kaıplı iletim hatlarının analizi arı arı apılacaktır. Kolalık açısından kaıpsız hat analizi ile işleme başlaacağız. 2

3 Kaıpsız İletim Hatları Pek çok durumda, iletim hattındaki rezistif etkileri ihmal etmek (R=0, G=0) mümkündür. Böle bir aklaşımda, sadece reaktif elemanlar mevcut olacağından ısı (omik) kabı olmaacaktır. Kaıpsız iletim hattının birim hücresinin eşdeğer devresi şekil de gösterilmiştir. 5 Kaıpsız İletim Hatları Şekil.2.10 daki devree göre, seri indüktans birim uzunluktaki hücrenin girişinden çıkışına gerilim değişimini belirler. Bu durumda devre denklemi, Kirchoffun gerilim kanunu ile; Birinci dereceden diferansiel denklem 6 3

4 Kaıpsız İletim Hatları Paralel kapasitörden geçen akım birim uzunluktaki hücrenin girişinden çıkışına akımdaki değişimi belirler. Şekil.2.11 deki devre için denklem, Bölece, uniform iletim hattındaki akım ve gerilimi tanımlaan bir çift kuple birinci mertebeden diferansiel denklem, 7 Kaıpsız İletim Hatları Telgrafçılar Denklemi Z düzleminde bu denklemleri türevi tekrar alınırsa; 8 4

5 Kaıpsız İletim Hatları Bu denklemler matematiksel olarak, dalga denklemleridir ve birbirinden bağımsız olarak çözülebilirler. Gerilim denklemi için genel çözüm, Burada dalganın aılma sabiti, Faz sabiti β arıca, Burada λ = v p /f iletim hattının iletkenlerini kuşatan dielektrik ortamdaki dalga boudur ve dielektrik ortamdaki dalganın faz hızı, 9 Kaıpsız İletim Hatları İletim hattındaki akım dağılımı, gerilim için elde edilen sonucun türevlenmesile, türevi aşınırsa Bu eşitlikten de, kaıpsız iletim hattının karakteristik empedansı 10 5

6 Kaıplı İletim Hatları Şekil.2.12 de gösterilen birim uzunluktaki iletim hattının eşdeğer devresi kullanılarak, uniform kaıplı iletim hattı için çözüm çok basit bir prosedür ile bulunabilir. 11 Kaıplı İletim Hatları Şekil.2.13 de verilen alt devree göre, seri empedans birim uzunluktaki hattın girişinden çıkışına gerilim değişimini belirler. Ugun devre denklemi, şeklinde azılabilir. Bu denklemden gerilim için birinci mertebeden diferansiel denklem, 12 6

7 Kaıplı İletim Hatları Şekilde verilen alt devree göre, paralel empedans birim uzunlukta ki hattın girişinden çıkışına akım değişimini belirler. Ugun devre denklemi, 13 Kaıplı İletim Hatları Kaıplı iletim hatları için Telgrafçılar Denklemi Daha önce apıldığı gibi, bu denklemler z e göre türetilerek kuplajsız denklem takımı, Bu denklemler, kaıplı iletim hatları için kuplajsızikinci mertebeden diferansiel denklemlerdir ve ine dalga denklemleridir. 14 7

8 Kaıplı İletim Hatları Gerilim denklemi için genel çözüm, Burada dalganın aılma sabiti kompleks bir büüklüktür. Yaılma sabiti γ nın α : reel bileşeni rezistif kaıplar nedenile işaretin zaıflamasını temsil eder. β : İmajiner bileşen, kaıpsız durumda olduğu gibi, işaretin aılma özelliklerini tanımlar. 15 Kaıplı İletim Hatları Burada kaıplı iletim hattının karakteristik empedansı, Karakteristik empedans kompleks!! Karakteristik Empedans hat uzunluğundan bağımsızdır.!!! Ancak iletkenlerin apıldığı metale, iletkenleri kuşatan dielektrik ortama ve hat kesitinin geometrisine bağımlıdır. Diğer taraftan, karakteristik empedansı bir eşdeğer devrede iletim hattı erine toplu empedansla orumlamamaa dikkat edilmelidir. 16 8

9 Sonuç olarak; V(z) ve I(z), ikinci mertebeden diferansiel dalga denklemlerinin çözümleri olduğundan, sırala, pozitif ve negatif önde ürüen kararlı voltaj dalgalarının genliklerini ifade eden V + ve V bilinmeenlerinin belirlenmesi gerekir. Bu bilinmeenleri belirlemek için, iletim hattına bağlı kanak ve ükün etkisini dikkate alarak, iki sınır şartına ihtiaç vardır. 17 İletim Hatları Sınır şartlarını ugulamadan önce, sıfır referans noktasının kanak erine ük konumunda olmasını sağlamak için, uza koordinat sisteminin referans noktasını kadırmak ugun olacaktır (bkz. Şekil.2.15). İletim hattı bounca ükten kanağa doğru giderken artış olması için, koordinatın pozitif önünü de değiştirmek gerekir. Bölece, ükün konumunu sıfır referans noktası olarak kabul ederek, eni koordinat değişkenini d = z olarak alabiliriz. 18 9

10 İletim Hatları Buna göre, hat bounca voltaj ve akım için eni denklemler, şeklinde azılabilir. Yük üzerinde, d=0 olacağından, her iki durumda da, Yük empedansı ZL verilmiş ise, ük sınır şartı; 19 İletim Hatları Bu eşitlikten de, (ansıma katsaısı ansıan dalga genliğinin gelen dalga genliğine oranı olarak tanımlandığından) voltaj ük ansıma katsaısı, Bu eşitlikleri iletim hattı denklemlerinde kullanacak olursak, 20 10

11 İletim Hatları Yükten d uzaklıkta, hattın herhangi bir noktasındaki ansıma katsaısı genelleştirilmiş ansıma katsaısı olarak tanımlanır; Kaıpsız Kaıplı Yansıma katsaı formülü ile hat denklemleri; 21 İletim Hatları Yandaki basit devre verilen hat empedansının ve genelleştirilmiş ansıma katsaısının önemini göstermek için eterlidir. İletim hattı empedansı; d konumunda hattı kestiğimizi düşünürsek, hattın ükle sonlandırılmış parçasının giriş empedansı, kesimden önce 0 noktadaki giriş empedansı ile anıdır. d konumunun sol tarafındaki hattın davranışı, kesim noktasına Z(d) eşdeğer empedansı erleştirilmesi durumunda, anıdır. Yeni ükün ansıma katsaısı Γ (d) e eşittir ve 22 11

12 İletim Hatları Eğer hattın toplam uzunluğu L ise, giriş empedansı hat empedansı formülünden, Giriş empedansı, bir ükle sonlandırılmış tüm hattı temsil eden bir eşdeğer empedanstır. 23 İletim Hatları Genelleştirilmiş ansıma katsaısının ugun ifadeleri kullanılarak, hat empedansı için değişik ifadeler türetilebilir: Kaıpsız Hat için: 24 12

13 Az Kaıplı İletim Hatları Genelde pratik çalışmalarda iletim hatları az kaıplı hatlar olarak kabul edilir. Az kaıplı hat için matematiksel olarak, seri elamanlar R << ωl durumunu, paralel elemanlar da G << ω C durumunu sağlamalıdır. Paralel elemanların oranı G / ωc dielektrik malzemeler için kaıp tanjantı olarak tanımlanır. Yaılma sabiti; 25 Az Kaıplı İletim Hatları Zaıflama aşağıdaki gibi ifade edilebilir: Bütün pratik durumlarda, az kaıplı iletim hattının karakteristik empedansı reel bir büüklüktür ve aklaşık olarak, kaıpsız hattın empedansı ile anıdır. Bu empedans, Dalga propagasonu ile ilgili faz hızı ise, 26 13

14 Az Kaıplı İletim Hatları Herhangi t zamanında, bir iletim hattı üzerindeki bir dalga bou mesafesindeki iki nokta arasında 2π lik faz farkı vardır. 2 Bu denklemlerde er alan çalışma frekansındaki dalga boudur. Serbest uzadaki dalga bou 0 ve bağıl dielektrik katsaısı r ise, 2 r 0 [ R / m] [ m] 0 r 27 ÖRNEK: Dielektrik malzemele dolu koaksiel iletim hattının birincil parametreleri 1 GHz de; L=250 nh.m 1, C=95 pf.m 1, R=1.6Ω.m 1 ve G=600 µs.m 1 ile verilior. A) Hatıınaz kaıplı bir hat olduğunu gösteriniz. B) 1 GHz de karakteristik empedansı, zaıflama ve faz sabitini hesaplaın. C) Faz sabitinden hattaki dalga bounu ve bağıl dielektrik katsaısını hesaplaın 28 14

15 CEVAP: A) Eğer R<< L ve G<< C ise hat 1 GHz de az kaıplıdır. R << L =1.6 << 2π x 10 9 x 250 x 10 9 = 1.6 << 1570 G << C =6 x 10 4 << 2π x 10 9 x 95 x =6 x 10 4 << Görüldüğü gibi bu hat az kaıplı hat özelliklerini sağlar. B) Karakteristik empedans; 1 / 2 1 / L 250x10 Z C 95 x10 Zaıflama sabiti; 51, 3 [ ] =0.031 neper.m 1 =0.27 [db/m] 1 1, x10 x51, 3 =0.031 neper.m 1 29 =0.27 [db/m] 2 51, 3 CEVAP: LC 2x10 30, 62 [ R / m] C) 1 GHz deki dalga bou; 9 250x , 205 [ m] 30, 62 x95 x10 Görüldüğü gibi serbest uzadaki dalga boundan 0.30 m daha kısadır. Sonuçta bağıl dielektrik katsaısı; 0, 30 r 0, , /

16 Yükle Sonlandırılmış İletim Hatları İletim hattındaki toplam gerilim ve akım denklemleri aşağıda verilmiştir. z z z z z z V e V e V V e V e I I e I e Z 0 İlerleen dalga, hattın kanağından hat sonundaki üke doğru iletimi temsil eder. Yükün hatta bağlı olduğu noktada ansıan dalga oluşabilir ve bu dalga kanağa doğru geri önde ilerlemee başlar. 31 Yükle Sonlandırılmış İletim Hatları Karakteristik empedansı Z 0 olan hatta Z ükünün bağlandığını varsaalım. Şekil deki gibi ükün bağlı olduğu nokta z=0 da kabul edilir. Yansıan ve ilerleen dalgalar gerilim ansıma katsaısı ile ilişkilendirilir. L uzunluğundaki hat için giriş düzlemindedir. Bu düzlemde toplam gerilimin akıma oranı giriş empedansını verir. Anı şekilde bu düzlemde ilerleen ve ansıan dalgaların oranı da ansıma katsaısını verir

17 Yükle Sonlandırılmış İletim Hatları (Özel Durumlar) Kısa devre sonlandırma; Z L = 0 Γ= 1 jz jz V( z) V 0 e e 2jV0 sin z, V0 jz jz V0 I( z) e e 2 cos z Z Z 0 0 Z jz tan l (2.45) in 0 33 (a) Voltage, (b) current, (c) impedance (R in = 0 or ) variation along a shortcircuited transmission line

18 Yükle Sonlandırılmış İletim Hatları (Özel Durumlar) Açık devre sonlandırma; Z L = Γ= 1 jz jz V( z) V 0 e e 2V0 cos z, V0 jz jz 2 jv0 I( z) e e sin z (2.46) Z Z 0 0 Z cot in jz0 l 35 (a) Voltage, (b) (b) current, (c) (c) impedance (R in = 0 or ) variation along an open-circuited transmission line

19 Yükle Sonlandırılmış İletim Hatları 37 Yansıma Katsaıları Z 0 karakteristik empedanslı bir iletim hattının her hangi noktasına Z empedansına sahip eleman bağlandığında bir süreksizlik oluşur. Süreksizliklerin olduğu bu noktalarda gerilim ve akım dalgalarında ansımalar olur. Yani, böle süreksizlik noktalarında toplam gerilim dalgası bir önde (genelde üke doğru) giden gerilim dalgası ile ansıan (genelde kanağa doğru) gerilim dalgasının toplamından oluşur. Yük empedansı; Z V I V V V V x Z

20 Yansıma Katsaıları z iletim hattı karakteristik empedansına normalize edilmiş empedans değeridir. Z 1 (V / V ) z Z 0 1 (V / V ) ükteki ansıma katsaısı; ada Z Z0 z 1 Z Z z 1 0 Hat üzerinde herhangi bir noktadaki ansıma katsaısı, örneğin noktasında, ansıan gerilimin ilerleen gerilime oranıdır. Genelde bu değer kompleks bir büüklüktür. V e g V e z z V e V e ada z g e 39 Yansıma Katsaıları Denklemden görüleceği üzere herhangi bir noktada süreksizliğe neden olan Z empedansı, hattın karakteristik empedansı Z 0 dan ne kadar farklı ise ansıma o kadar fazla olacaktır. Yansıma katsaısı için şu üç madde önemlidir: 1. Z = Z 0 ise (ani hatta herhangi bir süreksizlik ok ise) ansıma katsaısının değeri sıfır olur. O halde karakteristik empedans ile sonlandırılmış bir hatta verilen gücün tamamı üke aktarılmış olur. 2. Z =0 (ani kısa devre, KD) ise ansıma katsaısının değeri 1 olacaktır. Yani, sonu kendi kendine eklenen bir hatta verilen işaret zıt fazlı olarak kanağa doğru geri dönecektir. 3. Z (ani açık devre, AD) ise ansıma katsaısının değeri 1 olacaktır. Yani, sonu açık bırakılan bir hatta verilen işaret eş fazlı olarak kanağa doğru geri dönecektir

21 Gerilim Duran Dalga Oranı Hat üzerinde giden ve ansıan gerilim ve akım dalgalarının oluşması iletim hattında süreksizlik olması demektir. Bu iki öndeki dalga hareketi neticesinde girişim medana gelir ve giden ve ansıan gerilimler hat üzerinde belli erlerde gerilim maksimumları ve minimumlarını oluşturur. Bu şekildeki oluşuma duran dalgalar adı verilir. Gerilim duran dalga oranı (GDDO) iletim hattında duran dalganın maksimum gerilim değerinin minimum gerilime oranıdır. Maksimum gerilim = V Minimum gerilim = V V V 41 Gerilim Duran Dalga Oranı Gerilim Duran Dalga Oranı; S V V V V vea S

22 Gerilim Duran Dalga Oranı GDDO bağıntısı ile ilgili önemli noktalar şunlardır: Hat üzerinde süreksizlik oksa (ansıma katsaısı sıfır ise) GDDO=1 olur. Yani, S=1 demek kanaktan çekilen bütün gücün üke aktarılması ve hat üzerinde gerilim maksimum ve minimumlarının oluşmaması demektir. Hat sonunun AD a da KD (ani tam ansıma) olması durumunda GDDO sonsuz olur (s). Bu durumda gerilim minimumu sıfırda demektir. Hat üzerinde gerilim dalgalanması en üksektir. Yani, belli erlerde gerilim verilenin iki katına çıkabilir. GDDO bir ile sonsuz arasında pozitif tam saıdır. İletim hattındaki maksimum gerilim değerinde giriş empedansı; Z g =SZ

23 ÖRNEK: 75Ω karakteristik empedansı olan hat (68 j12) Ω luk ükle sonlandırılırsa; a) Yükteki gerilim ansıma katsaısını, b) Hat bounca GDDO u, c) İlk minimum gerilimin üke mesafesini, d) Minimum gerilim değerinin olduğu erdeki empedans değerini hesaplaın. ÇÖZÜM: a) Yükteki ansıma katsaısı; ( 68 j12 ) ( 68 j12 ) , ÖRNEK: (devam) b) GDDO S c) Kaıpsız iletim hattı bounca ilerleen ve ansıan dalgaların genlikleri sabit kalır. Minimum gerilimde ansıma katsaısı gerçel ve negatiftir. Eğer l minimum geriliminin ükten uzaklığı ise j2 e ( ) xe j2l

24 ÖRNEK: (devam) d) Minimum gerilim değerindeki empedans; 1 Z Z Z=61.7 [Ω] bulunur. 47 İletim Katsaısı Bir iletim hattına süreksizlik aratacak paralel bir eleman bağlanmış olsun. Süreksizlik noktasının her iki anında toplam gerilim birbirine eşittir. z=0 düzleminde, V + +V =V t +0 denklemi ükten süreksizliğe ansıma olmadığı durumda geçerlidir. İletim katsaısı, T= V t /V i ise T 1, paralel elemanın sol tarafındaki gerilim ansıma katsaısıdır

25 Giriş Empedansı Kaıpsız iletim hatlarında giriş empedansı Z g üç parametree bağlıdır. Bunlar; hattın karakteristik empedansı Z 0, hattın elektriksel uzunluğu l ve ük empedansı Z dir. Gerilim ansıma katsaısındaki değişim bilgisile giriş empedansı üç adımda kolaca hesaplanır: 1. Yükteki ansıma katsaısı, denklemini kullanarak ük empedansı cinsinden azılır. j2 1 g 1 e Z g Z0 Z0 j2 1 g 1 e 2. Girişteki ansıma katsaısı ükteki ansıma katsaısı cinsinden azılır j j ( Z Z0 )e Z g Z0 ( Z Z0 )e ( Z ( Z j 3. Giriş empedansı girişteki ansıma katsaısı cinsinden azılır. j Z0 )e Z )e 0 Z g Z 0 Z Z 0 cos( ) jz cos( ) jz 0 Sin( ) Sin( ) 49 Giriş Empedansı Yükle sonlandırılan hatlarda özel hat uzunlukları; Eğer l = λ/2, Z in = Z L. Eğer hat uzunluğu dalga bounun dörtte biri a da l = λ/4+ nλ/2 (n = 1,2,3 ), Giriş empedansı Z in = Z 02 /Z L. Çerek daga dönüştürücüsü 50 25

26 51 26