ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES"

Transkript

1 ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES 1. G R fi. ÇEMBER N DENKLEM 3. MERKEZLER R J NDE, EKSENLER ÜZER NDE V E YA EKSENLERE T E E T LAN ÇEMBERLER N DENKLEM 4. ÇEMBER N GENEL DENKLEM 5. VER LEN ÜÇ NKTADAN GEÇEN ÇEMBER N DENKLEM 6. B R D RU LE B R ÇEMBER N B RB R NE GÖRE DURUMLARI 7. K ÇEMBER N B RB R NE GÖRE DURUMU 8. TE ET VE NRMAL N DENKLEMLER I. B i r ç e m b e re, üzerindeki bir noktadan çizilen te et ve normalin denklemi II. Bir çembere, d fl ndaki bir noktadan çizilen te et denklemi 9. B R ÇEMBER N B R NKTAYA GÖRE KUVVET 10. K ÇEMBER N KUVVETE K S E N 11. ÜÇ ÇEMBER N KUVVET MERKEZ 1. ÇEMBER N PARAMETR K DENKLEM 13. ÇEMBER N DÜZLEMDE AYIRDI I BÖLGELER ÇEfi TL ÖRNEKLER ÖZET ALIfiTIRMALAR DE ERLEND RME TEST III

2 BU BÖLÜMÜN AMAÇLARI * Çember denklemini ve bu denklemin özeliklerini tan abilecek, * Analitik düzlemde bir çemberin belirlenmesi için, gerekli flartlar aç klaabilecek ve çemberin denklemini tan abilecek, * Merkezinin koordinatlar ile ar çap uzunlu u verilen bir çemberin denklemini azabilecek, * Merkezi orijinde olan ve ar çap uzunlu u verilen çemberin denklemini (merkezil çember denklemi) azabilecek, * Merkezleri orijinde, eksenler üzerinde vea eksenlere te et olan çemberlerin denklemlerini örneklerle aç klaabilecek, * Genel denklemi verilen bir çemberin merkezinin kordinatlar n ve ar çap uzunlu unu bulabilecek, * Çember üzerinde üç noktas verilen çemberin denklemini azabilecek ve bunlar n ar çap uzunlu u ile merkezinin koordinatlar n bulabilecek, * Verilen bir do ru ile bir çemberin birbirine göre durumlar n inceleerek de me noktalar n bulabilecek, * Verilen iki çemberin birbirine göre durumlar n inceleebilecek, * Bir çembere, üzerindeki bir noktadan çizilen te et ve normalin denklemini azabilecek, * Bir çembere d fl ndaki bir noktadan çizilen te et denklemlerini azabilecek, * Bir çemberin bir noktaa göre kuvvetini bulabilecek, * ki çemberin kuvvet ekseni denklemini azabilecek, * Üç çemberin kuvvet merkezini bulabilecek, * Çemberin parametrik denklemlerini azabilecek. * Çemberin düzlemde a rd bölgeleri tesbit edebileceksiniz. 48

3 NASIL ÇALIfiMALIYIZ? ANAL T K GEMETR 1 * Çemberin analitik incelenmesini daha ii anlaabilmesi için daha önce matematik dersinde okudu unuz çember ve daire konusundaki tan mlar, temel kavramlar ve problemleri tekrar inceleiniz. * fllenen konula, sorulan soru aras nda ba nt kurarak çözülmüfl örneklerden fadalanarak, hangi bilginin kullan labilece ini tespit ediniz. * Konula ilgili çok sa da örnek ve al flt rma çözünüz. * Ünitedeki örnek ve al flt rmalar çözünüz. Analitik düzlemde verilenleri çizerek çal fl n z. * Geçmifl konular tekrar ediniz. * Ünitenin sonundaki al flt rma ve de erlendirme testini çözünüz, de erlendirme testini cevap anahtar ile karfl laflt r n z. 49

4 ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES 1. G R fi Analitik düzlemde an özelikteki noktalar birlefltirilirse, bazen bir do ru, bazen de bir e ri medana getirir. Her do runun bir denklemi oldu u gibi, her e rininde bir denklemi vard r. E rilerin denklemi ikinci dereceden a da daha çok dereceden olabilir. Verilen bir e rinin üzerindeki her noktan n koordinatlar taraf ndan sa lanan ba nt a, e rinin denklemi denir. Çember denklemi ve e göre ikinci dereceden bir denklemdir. Bu bölümde çember denklemini ve çemberin analitik incelenmesini görece iz.. ÇEMBER N DENKLEM Düzlemde sabit bir noktaa eflit uzakl kta bulunan noktalar n kümesine (geometrik erine) çember denir. Verilen sabit noktaa çemberin merkezi, eflit uzakl a da, çemberin ar çap denir. Analitik düzlemde merkezi M a, b ve ar çap uzunlu u MP = r olan çemberin denklemini bulal m. (fiekil3.1) ( ki nokta aras ndaki uzakl k t a n m n d a n ) M(a,b) P(,) MP = - a + - b MP = - a + - b - a + - b = r elde edilir. Bu ba nt çemberin denklemidir. fiekil 3.1 Aalitik düzlemde bir çemberin bilinmesi için, merkezinin koordinatlar n n ve ar çap uzunlu unun bilinmesi gerekir. Denklemi - a + - b = r olan ve bu eflitli ini sa laan her P, noktas, merkezi M a, b ve ar çap uzunlu u r olan çemberin üzerindedir. Karfl t olarak,çember üzerinde verilen her P (, ) noktas - a + - b = r çember denklemini sa lar. 50

5 ÖRNEK 1 Merkezinin koordinatlar M(, 3) ve ar çap uzunlu u r = 5 birim olan çemberin denklemini azal m. Ar ca P (1, 5) noktas n n bu çemberin üzerinde oldu unu gösterelim. ÇÖZÜM 1 Genel olarak merkezi M(a, b) noktas ve ar çap uzunlu u r birim olan çemberin denklemi, - a + - b = r dir. Buna göre; Merkezi M(, 3) noktas ve ar çap uzunlu u r = 5 birim olan çemberin denklemi = 5 olur. P (1, 5) noktas verilen çemberin üzerinde olabilmesi için, P(1, 5) noktas n n koordinatlar bu, çemberin denklemini sa lamas gerekir = 5 denkleminde = 1 v = denkleminde = - 31 ve = 5 = 5 az l rsa = 5 denkleminde denkleminde 1 - = + 15 ve - ve 3 = 5 az l rsa, az l rsa, -1 + = = = 5 5 = 5 eflitli i elde edilir = 5 5 = 5 elde edilir. Buna göre eflitli i P (1, elde 5) noktas n n edilir. koordinatlar n n, çemberin denklemini sa l or. 5 = 5 eflitli i elde edilir. hâlde, P noktas çember üzerindedir. 3. MERKEZ R J NDE, EKSENLER ÜZER NDE VEYA EKSENLERE TE ET LAN ÇEMBER N DENKLEM I. Merkezi orijinde olan (merkezcil) çemberin denklemi Merkezi orijinde, [koordinat eksenlerinin kesiflti i nokta (0, 0 )] ve ar çap uzunlu u r birim olan çemberin denklemini azal m. Çemberin genel denklemi olan, - a + - b = r denkleminden = r bulunur. Buradan + = r denklemi elde edilir. fiekil 3. Bu denkleme ar çap uzunlu u r olan merkezcil çemberin denklemi denir. Merkezcil çemberin denklemi + = r dir. (fiekil 3.) 51

6 ÖRNEK : Yar çap uzunlu u r = 5 birim ve merkezi orijinde olan çemberin denklemini azal m. ÇÖZÜM : M 0, 0 ve r = 5 birim oldu undan, - a + - b = r denkleminden, = 5 ; + = 5 olur. II. Merkezi ekseni üzerinde olan çemberin denklemi Çemberin merkezi ekseni üzerinde oldu undan, a 0 ve b = 0 d r. Yani çemberin merkezi M (a, 0) olur. Yar çap uzunlu u r birim ise çemberin denklemi, - a + = r olur. (fiekil 3.3) ÖRNEK 3: Merkezi ekseni üzerinde 4 noktas nda bulunan ve ar çap uzunlu u r = 3 birim olan çemberin denklemini azal m. M(a,o) Ç Ö Z Ü M 3: Çemberin merkezi ekseni üzerinde a = 4 ve b = 0 oldu undan M (4, 0) d r. r = 3 birim ise çemberin denklemi, = 9 olur. fiekil 3.3 III. Merkezi ekseni üzerinde olan çemberin denklemi Çemberin merkezi ekseni üzerinde oldu undan, a = 0 ve b 0 d r. Çemberin merkezi M(0, b) olur. Bu çemberin ar çap u z u n l u u r birim ise çemberin denklemi, + - b = r olur. (fiekil 3.4) Ö R N E K 4: Merkezi ekseni üzerinde noktas nda bulunan ve ar çap uzunlu u 6 birim olan çemberin denklemini azal m. ÇÖZÜM 4 : Çemberin merkezi ekseni üzerinde oldu undan M(0, ) dir. r = 6 birim ise çemberin denklemi, + - = 36 olur. { M(o,b) fiekil 3.4 5

7 IV. eksenine te et olan çemberin denklemi Çember eksenine te et oldu undan b = r dir. Çemberin merkezi M (a, r ) ve ar çap uzunlu u r birim oldu undan çemberin denklemi - a + - r = r olur. (fiekil 3.5) M(a,r) Ö R N E K 5: Çemberin merkezi M (-3, ) ve eksenine te et olan çemberin denklemini azal m. ÇÖZÜM 5: Çemberin merkezi M(-3, ) ve eksenine te et oldu undan b = r = birimdir. Buna göre çember denklemi, fiekil a + - b = r ifadesinden, = 4 olur. V. eksenine te et olan çemberin denklemi Çember eksenine te et oldu undan a = r dir. Çemberin merkezi M (r, b ) ve ar çap uzunlu u r birim oldu undan çemberin denklemi - r + - b = r olur. (fiekil 3.6) M(r,b) ÖRNEK 6: Çemberin merkezi M(3, 1) ve eksenine te et olan çemberin denklemini azal m. ÇÖZÜM 6 : Çemberin merkezi M(3, 1) ve eksenine te et oldu undan a = r = 3 b i r i m d i r. fiekil 3.6 Buna göre çember denklemi, - a + - b = r ifadesinden = 9 olur. 53

8 VI. Her iki eksene te et olan çemberin denklemi Eksenlere I. ve III. bölgede te et olan çemberlerin merkezi, = denklemile verilen I. aç orta do rusu üzerindedir. Eksenlere II. ve IV. bölgede te et olan çemberlerin merkezleri de = - olan, II. aç orta do rusu üzerinde bulunur. (fiekil 3.7) M 1 merkezli çemberde; M 1 (r, r) ve ar çap uzunlu u r birim oldu undan çemberin denklemi: - r + - r = r olur. M r M 1 r M 3 M 4 fiekil 3.7 M merkezli çemberde; M (-r, r) ve ar çap uzunlu u r birim oldu undan çemberin denklemi : + r + - r = r olur. M 3 merkezli çemberde; M 3 (-r, - r) ve ar çap uzunlu u r birim oldu undan çemberin denklemi: + r + + r = r olur. M 4 merkezli çemberde; M 4 (r, - r) ve ar çap uzunlu u r birim oldu undan çemberin denklemi: - r + + r = r olur. ÖRNEK 7: Merkezi = 0 do rusu üzerinde bulunan ve her iki eksene I. bölgede te et olan çemberin denklemini azal m. ÇÖZÜM 7: Çember her iki eksene te et ve I. bölgede oldu u için çemberin merkezi M(r, r) dir. (fiekil. 8) Çemberin merkezi - = 0 olan do ru üzerinde oldu undan, koordinatlar bu denklemi sa lar. r - r = 4, r = 4 birim olur. Buna göre çember denklemi: M - b = r ifadesinden 54 - a + - b = r ifadesinden = 16 olur = 16 olur. fiekil 3.8

9 4. ÇEMBER N GENEL DENKLEM Merkezi M(a, b) ve ar çap uzunlu u r birim olan çemberin denklemi, - a + - b = r fleklindedir. Parantezler aç l r ve gerekli düzenlemeler ap l rsa; + - a - b +a + b - r = 0 elde edilir. -a= D, -b= E ve a + b - r = F al narak, + + D + E + F = 0 çemberin genel denklemi bulunur. Bu denklemden, çemberin merkezinin koordinatlar : D = a ise a= - D ; E = -b ise b = - E ve M - D, - E olur. F = a +b - r ; F = - D + - E - r ise F = D + E - r dir. 4 4 Buradan ar çap uzunlu u; r = D + E - F ise, r = D +E - 4F birim olur. Verilen + + D +E + F = 0 çember denkleminde, D + E - 4F ifadesine çemberin diskriminantı denir. a. 4F ise, çember denklemi reel çemberi gösterir. a. - 4F ise, çember Bu çemberin merkezi denklemi, - reel çemberi gösterir. a. D + E - 4F > 0 ise, çember noktas ve ar çap uzunlu u, Bu çemberin merkezi - denklemi D +E, - reel çemberi gösterir. noktas ve ar çap uzunlu u, Bu çemberin merkezi M - D 4F birimdir. r D +E, - E noktas ve ar çap uzunlu u, - 4F birimdir. r = 1 b. D +E - 4F birimdir. - 4F ise, çember denklemi bir nokta gösterir. b. D + E - 4F = 0 ise, çember denklemi Bu nokta çemberin merkezi olup - bir, - nokta gösterir. dir. Bu nokta çemberin merkezi olup M - D c., - E dir. - 4F ise, çember denklemi sanal bir çemberi gösterir. c. D Böle + E bir - 4F < 0 ise, çember denklemi sanal bir çemberi gösterir. çember, koordinat düzleminde çizilemez. Böle bir çember, koordinat düzleminde çizilemez. A + B + C + D + E + F = 0 biçiminde verilen denklemler hem, hem de e göre ikinci dereceden bir denklemdir. Bu denklemin bir çember denklemi olabilmesi için; A= C 0, B = 0 ve D +E - 4F > 0 olmal d r. Verilen + + D + E + F = 0 çember denkleminde; a. F < 0 ise denklem bir çember belirtir. b. D = 0 ise çemberin merkezi ekseni üzerindedir. c. E = 0 ise çemberin merkezi ekseni üzerindedir. d. D = 0 ve E = 0 ise, çemberin merkezi orijindedir. 55

10 ÖRNEK 8: = 0 olan çemberin merkezinin koordinatlar n ve ar çap n n uzunlu unu bulal m. ÇÖZÜM 8: Çember denkleminde, D = -8, E = 6 ve F = 15 tir. Buna göre, Çemberin Çemberin merkezi merkezi : a = - D ise, -8 tür. ise, tür. ise, a = - -8 = 4 tür. b = - E ise, b = - 6 = - 3 tür. halde, halde, M 4, - 3 olur. olur. Çemberin Çemberin ar çap n n uzunlu u: ar çap n n uzunlu u: r = 1 D 4F ise, = D + E - 4F ise, r = = r = birim olur = 10 birim olur. ÖRNEK 9 Afla daki denklemlerden hangisinin analitik düzlemde bir çember belirtti ini bulal m. a = 0 b = 0 c = 0 d = 0 e = 0 ÇÖZÜM 9 a = 0 denklemi, analitik düzlemde bir çember belirtmez. Çünkü bu denklemde li terim vard r. b = 0 denklemi, analitik düzlemde bir çember belirtmez. Çünkü bu denklemde ve nin katsa lar farkl d r. c = 0 denklemi, analitik düzlemde bir çember belirtmez. Çünkü, D + E - 4F = = = 0 oldu undan bu bir noktad r = 0 Bu bir noktad r. Bu noktan n koordinatlar : b= - D = - 4 = - olup M 1, - dir. a = - D = - - = 1 dir. b = - E = - 4 = - dir. M 1, - olur. d = 0 denklemi, analitik düzlemde bir çember belirtmez. 56 Çünkü, D + E - 4F = = = - 6 < 0 d r.

11 e = 0 denklemi, analitik düzlemde bir çember belirtir. Bu çemberin merkezi, a = - D = - = -1 ve b= - E - -6 = 3 tür. halde, M -1, 3 olur. Yar çap uzunlu u : r = 1 D +E -4F ifadesinden r = r= = = 10 = 5 birim olur. 5. VER LEN ÜÇ NKTADAN GEÇEN ÇEMBER N DENKLEM Çemberin geçti i üç nokta A( 1, 1 ), B(, ) ve C( 3, 3 ) olsun. Bu üç noktadan geçen bir çember denklemini azabiliriz. Çemberin genel denklemi + + D + E + F = 0 oldu undan ve A( 1, 1 ) noktas çember üzerinde oldu undan, D 1 + E 1 + F = 0 (I.) B, noktas çember üzerinde oldu undan + + D + E + F = 0 (II.) C 3, 3 noktas çember üzerinde oldu undan D 3 + E 3 + F = 0 (III.) çember denklemi bulunur. I., II. ve III. denklem sisteminden D, E ve F bilinmeenleri bulunarak çember denklemi bulunur. Bu denkleme, köflelerinin koordinatlar A 1, 1, B, ve C 3, 3 olan üçgenin çevrel çemberinin denklemi denir. ÖRNEK 10 A(0, -4), denklemini bulal m. B(0, 4) ve C(4, 0) noktalar ndan geçen çemberin ÇÖZÜM 10 Çemberin genel denklemi + + D + E + F = 0 d r. Çemberin genel denklemi + + D + E + F = 0 dir. A(0, - 4) noktas için, D 0 + E -4 + F = E + F = 0-4E + F + 16 = 0 d r. (I.) -4E + F 16 = 0 dir. (I.) B (0, 4) noktas için, D 0 + E 4 + F = E + F = 0 4E + F + 16 = 0 d r. II. 57

12 C(4, 0) noktas için, D 4 + E 0 + F = D F = 0 4D + F + 16 = 0 d r. III. I. ve II. denklemlerinin çözümünden; I. ve III. denklemlerinin çözümünden; + -4E -4Ee + -4Ee F + F Ee F 16 = + = F = = 0 4E 4E + + 4E F F F 16 4E = + = F = = 0 F F + + F 3 3 = + = 03 F 0 = + 03 = 0 F F = = - F = olur. - olur. 16 F = olur olur. -4E + F + 16 = 0 +4D + F + 16 = 0-4E - 4D = 0 E = -D olur. Bu de erler (I. ) denklemde ugulan rsa -4E = 0-4E = 0 oldu undan E = 0 d r ve D = 0 olur. halde, çemberin denklemi = 0 olur. 6. B R D RU LE B R ÇEMBER N B RB R NE GÖRE DURUMLARI Düzlemde bir çember ile bir do ru verildi inde üç durum vard r. Analitik düzlemde bir d do rusu ile merkezi M(a, b) ve ar çap uzunlu u r birim olan bir çember alal m. Çember merkezinin d do rusuna dik olarak uzakl l olsun. Bu üç durumu gösterelim. d d d M(a,b) M(a,b) M(a,b) B H H A H l > r Do ru çemberi kesmez l = r Do ru çembere te ettir l < r Do ru çemberi farkl iki noktada keser fiekil 3.9 fiekil 3.10 fiekil 3.11 Analitik düzlemde denklemi = m + n olan do ru ile denklemi + = r olan çemberin kesim noktalar n bulal m. 58 Denklemi = m + n olan do ru ile denklemi + = r olan çemberin kesim noktalar n bulmak için bu denklemlerin + m + nortak - r çözümü = 0 denklemini ap l r. çözersek, + m + n - r = 0 denklemini çözersek, + m + n - r = 0 denklemini çözersek, + m + mn + n - r = 0 m + n - r = 0 denklemini çözersek, + m + mn + n - r = 0 + m + mn + n - r = m +mn + n - r = 0 + m + mn n m +mn + n - r = m +mn + n - r = 0 Bu denklemin köklerini bulursak, 1 + m +mn + n - r = 0 Bu denklemin köklerini bulursak, Bu denklemin köklerini bulursak, Bu denklemin köklerini bulursak,

13 Δ = b - ac = m n m Δ = r m n olur. n - r denklemini sadelefltirirsek 1, = -mn ± 1 + m r - n 1 + m ve 1, = n + 1+m r - n 1 + m bulunur. A 1, 1 ve B, noktalar do ru ile çemberin kesim noktalar d r. r m n = 0 ifadesine, de me flart denir. a. r m n < 0 ise, do ru çemberi kesmez. (fiekil 3. 9) b. r m n > 0 ise, do ru çemberi keser ve iki kesim noktas vard r. (fiekil 3.11) c. r m n = 0 ise, do ru çembere te ettir. (fiekil 3.10) + = r çemberine, = m + n do rusu te et ise bu te etin de me noktas ; H 0, 0 olsun Δ = 0 oldu undan, 0 = -mn d r. 1 + m 0 = n 1 + m dir. Ar ca ; r 1 + m - n = 0 oldu undan, 1+ m = n r Buradan ; 0 = -mn n r = -rm n d r. 0 = n n r halde, de me noktas H - r m n, r n olur. = r n dir. dir. ÖRNEK 11: = + 3 do rusu ile = 0 çemberi verilior. Do ru ile çemberin kesim noktalar n bulal m. ÇÖZÜM 11: Verilen do ru ile çemberin kesim noktalar n bulmak için, bu denklemlerin ortak çözümü ap l r = = 0 Bu denklemi sadelefltirirsek 1 = ; 1 = ; 1 = -1 dir = 0 vea = 0 olur. Bu denklemi çözersek, Δ = b -4ac = = 5-16 = 9 1, = -5 ± = = - 4 ve = = - = -5 ± = -5-3 = -8 = = -5 ± 3 oldu undan, 1 = -5-3 = -8 = - 4 tür. ve = = - = - = dir. dir. Bu de erler do ru denkleminde ugulan rsa, = + 3 ; = ; = dir. halde, do ru ile çemberin kesim noktalar A -4, -1 ve B -1, olur. 59

14 7. K ÇEMBER N B RB R NE GÖRE DURUMLARI Denklemleri; + + D 1 + E 1 + F 1 = 0 ve + + D + E + F = 0 olan çemberlerin birbirine göre durumlar n incelerken, bu çember denklemlerinin oluflturdu u denklem sisteminin çözümü ap l r. + + D 1 + E 1 + F 1 = D + E + F = 0 D 1 - D + E 1 - E + F 1 - F = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemlerden a da çekilerek çember denklemlerinin birinde erine az l rsa, ikinci dereceden bir denklem medana gelir. Bu denklemi çözerken, önce denklemin diskriminant n n de eri bulunur. Buna göre; a. Δ < 0 ise, çemberler kesiflmezler. rtak noktalar oktur. b. Δ = 0 ise, çemberler birbirine te ettir. c. Δ > 0 ise, çemberler A ve B gibi farkl iki noktada kesiflir. A ve B noktalar verilen iki çemberin kesim noktalar olsun. A ve B noktalar ndan geçen baflka çemberler de vard r. Bütün bu çemberler, bir çember demeti oluflturur. Bu çemberlerin denklemleri k R olmak üzere, + + D 1 + E 1 + F 1 + k + + D + E + F = 0 d r. ÖRNEK 1 + = 4 ve = 0 çemberlerinin kesim noktalar n n koordinatlar n bulal m. ÇÖZÜM 1 Verilen çember denklemlerinin medana getirdi i denklem sisteminin çözümü ap l rsa, = 0 + = = ± = - ± = = ± ± ± = = 0 ± + 1 = 0 ± + ± ± 5 ± = 0 5 = = 4 = = = = 4 = - 1 = = = = = 0 = - 1 = 4 = dir. dir. = = - dir. = ± 15 dir. - 1 = 4 - = 1 4 = = = 15 4 dir. dir. = ± 15 = ± dir. 15 dir. halde verilen iki çemberin kesim noktalar : A - 1, - 15 halde verilen iki iki çemberin kesim noktalar : A : A - 1-1, - 15 ve B - 1, 15, - 15 ve B - 1, 15 olur. 60 ve B - 1, 15

15 8. TE ET VE NRMAL N DENKLEMLER Bir do ru ve bir çember verildi inde, do ru ile çemberin bir tek ortak noktalar varsa bu do rua, çemberin te eti ve ortak noktaa da te etin de me noktas denir. Bir te ete de me noktas nda dik olan do rua da çemberin bu noktadaki normali d e n i r. I. Bir ç e m b e re üzerindeki bir noktadan çizilen te et ve normalin denklemi a. Merkezinin koordinatlar M(a, b) ve çember üzerindeki P ( 1, 1 ) noktas ndan çizilen te et ve normalin denklemini azal m. (fiekil 3.1) Normalin denklemi (fiekil 3.1) deki çembere üzerindeki P( 1, 1 ) noktas ndan çizilen te etin e imi m T ve normalin e imi de m N olsun. α M(a,b) P( 1, 1 ) Normalin e imi: m N = tan α = 1 - b 1 - a d r. Normalin denklemi P( 1, 1 ) noktas ndan geçti inden Normal do rusunun denklemi Te etin denklemi Te et de me noktas nda normale dik oldu undan te etin e imi, Bu denklem çemberin ar çap n n uzunlu u kullan larak, ( 1 - a) ( - a) + ( 1 - b) ( - b) = r fleklinde de az labilir. fiekil = 1 - b 1 - a b a = 0 d r. - 1 olur. m T = - 1 a m T = b dir. a Te et do rusu P 1, - b dir. Te et do rusu P 1, 1 noktas ndan geçti inden, - 1 = a - 1 vea a b = 0 fleklinde az labilir. 1 - b ÖRNEK 13: Merkezinin koordinatlar M (1, ) olan çemberin üzerindeki P(0, 4) noktas ndan çizilen te et ve normalin denklemini azal m. ÇÖZÜM 13: Te etin denklemi; ( - 1 ) ( 1 - a) + (- 1 ) ( 1 - b) = 0 oldu undan ( - 0) (0-1) + ( - 4) (4 - ) = 0; = 0 vea = 0 olur. Normalin denklemi; ( - 1 ) ( 1 - b) - ( - 1 ) ( 1 - a) = 0 oldu undan ( - 0) (4 - ) - ( - 4) (0-1) = 0 dan; = 0 olur. 61

16 b. Çember denklemi + + D + E + F = 0 fleklinde ise çember üzerindeki P ( 1, 1 ) noktas ndan çizilen te et ve normalin denklemini azal m. Denklemi + + D + E + F = 0 olan çemberin merkezinin koordinatlar M a, b ise, a= - D ve b= - E dir. Yar çap uzunlu u da r = 1 D +E - 4F dir. a. fl kk ndaki denklemlerde gerekli ifllemler ap ld nda, Te et denklemi : D E F = 0 olur. Normalin denklemi : 1 + D + E E + D = 0 olur. ÖRNEK 14: Denklemi = 0 olan çember ile bu çember üzerinde P(3, 4) noktas verilior. Bu çemberin P(3, 4) noktas ndaki te etin ve normalin denklemini azal m. ÇÖZÜM 14: Denklemi = 0 olan çember ile çember üzerindeki nokta P(3, 4) oldu undan, Te etin denklemi : D 1+ + E F = 0 ifadesinden, =0? = = = 0 olur = 0 olur. Normalin denklemi : 1 + D Normalin + E denklemi - Normalin 1 + E : denklemi + = 0 ifadesinden, 1 + D : + E - 1 E +D = 0 ifadesind 1 + D + E E Normalin denklemi : +D = 1 + D + E E = = = = = = = 0-1 = = = = = 0 - olur = 1 0 = = 0 olur = 0 olur. c. Çember denklemi + = r fleklinde olsun. + = r çemberine üzerindeki P ( 1, 1 ) noktas ndan çizilen te etin denklemi = r dir. = = r çemberine üzerindeki P ( 1, 1 ) noktas ndan çizilen normalin denklemi : 1-1 = 0 olur.

17 ÖRNEK 15: Denklemi + = 5 olan çembere üzerindeki P(3,4) noktas ndan çizilen te etin ve normalin denklemini azal m. ÇÖZÜM 15: Denklemi + = r olan çemberin üzerindeki P( 1, 1 ) noktas ndaki te etin denklemi: = r oldu undan, = 5 olur. Normalin denklemi : 1-1 = 0 oldu undan 3-4 = 0 olur. II. Bir çembere d fl ndaki bir noktadan çizilen te et denklemleri a. Ç e m b e r d e n k l e m i - a + - b = r ve d fl ndaki nokta P 1, 1 olsun. Te et denklemleri te et denklemini sa lad ndan = m + n fleklindedir. (fiekil 3.13) P 1, 1 noktas 1 = m 1 + n ve n = 1 - m 1 olur. (I.) Çemberin merkezi olan M(a, b) noktas n n te ete olan uzakl r birim ise, r = ma- b + n vea ma- b + n = r 1 + m (II.) fleklinde az l r. 1+m (I.) ile (II.) denklemleri ortak çözülürse, ma- b m 1 = 1+m r denklemi bulunur. Bir bilinmeenli bu ikinci derece denklemi çözülürse m 1 ve m d e e r l e r i bulunur. Bu de er (1) de erine konursa n 1 ve n de erleri bulunur. A M(a,b) B P( 1, 1 ) Bölece te et denklemleri; t 1 : = m 1 + n 1 ve t : = m + n fleklinde olur. fiekil 3.13 ÖRNEK = 4 çemberi ve bu çember d fl nda P -1, 3 noktas verilior. P noktas ndan geçen bu çembere te et olan do rular n denklemlerini azal m. ÇÖZÜM 16: fiekil 3.14 te, P noktas ndan çembere çizilen te et denklemleri = m + n dir. P(-1, 3) oldu undan, 3 = - m + n ise, n = m + 3 (I) Çemberin Merkezi M (3, 3) noktas n n, bu te etlere olan uzakl ar çapa eflit olaca ndan, = 3 m n ise, m = 3m n dir. 1 + m 63

18 Bu eflitlikte (I ) deki ba nt erine konursa, 3m m = = 3m 3m - - 4m m m 4m = = 4m 4m m 1m 4m - = = 16m 16m 1m 1m - 3m = = m3m = = 00 m = = ise P(-1,3) A M(3,3) m = ± 1 3 = ± 3 3 m = - 3 ve m = olur. Buradan ; dür. tür. t 1 B n = m+3 eflitli inden. n 1 = = ve n = tür. fiekil 3.14 Te et denklemlerini azarsak t 1 : = ve t : = tür. b. Çember denklemi; + +D + E + F = 0 ve d fl ndaki bir nokta P( 1, 1 ) olsun. P ( 1, 1 ) noktas ndan geçen e imi m ve çembere te et olan do runun denklemi - 1 = m ( - 1 ) dir. = m - m olur. Bu da + + D + E + F = 0 çemberinde ortak çözüm ap larak vea den biri ok edilir. Do ru çembere te et oldu undan denklemin diskriminant s f r olmal d r. Burada elde edilecek m 1 ve m ard m la n 1 ve n bulunur. Bölece çembere te et olan çember d fl ndaki P( 1, 1 ) noktas ndan geçen te etlerinin denklemleri az lm fl olur. ÖRNEK 17: = 0 çemberine d fl ndaki P (0, 6) noktas ndan çizilen te etlerinin denklemlerini azal m. ÇÖZÜM 17: P(0, 6) noktas ndan geçen e imi m olan do runun denklemi - 1 = m ( - 1 ) den - 6 = m ( - 0) ise = m + 6 d r = 0 denkleminde erine konulursa 64

19 + (m + 6) - 4-4(m + 6) - 1 = 0 + m + 1m m = 0 m m = 0 Δ = b - ac ifadesinden Δ = 4m m ; Δ = 0 oldu undan, P(0,6) A t 1 16m - 16m m = 0 d r. sadelefltirirsek, 5m - 16m - 7 = 0 olur. Bu denklemi çözersek, Δ = = 99 B M(,) m 1,m = buradan 5 m 1 = ve m = olur. fiekil 3.15 P(0, 6) noktas ndan geçen verilen çembere te et olan te etlerinin denklemleri: t 1 : - 6 = t : - 6 = ( - 0) ise, = olur. 5 ( - 0) ise, = olur. (fiekil 3.15) 5 c. Çember denklemi + = r v e d fl n d a k i nokta P( 1, 1 ) olsun. P noktas ndan çizilen te etlerinin d e n k l e mlerini örnekle aç klaal m. ÖRNEK 18: + = 9 çemberine d fl ndaki P(0, 5) noktas ndan çizilen te et denklemlerini azal m. (fiekil 3. 16) ÇÖZÜM 18: E imi m olan ve P(0, 5) n o k t a s n d a n geçen do runun denklemi : - 5 = m ( - 0) ; = m + 5 tir. Bu do ru ile + = 9 çemberin kesiflme noktalar n bulal m. P(0,5) A fiekil 3.16 B t + m + 5 = 9 ise, + m + 10 m = 0 olur. m m + 16 = 0 denklemini çözelim: Δ = 5m - 16 m + 1 Δ = 5m - 16m m - 16 = 0 m = 16 9 m 1 = den 65 m 1 = ve m = 4 3 olur.

20 m 1, = ± 4 3 ten, m 1 = ve m = 4 3 olur. m nin bu de erleri = m + 5 denkleminde az l rsa, P (0, 5) noktas ndan geçen çembere çizilen te etlerinin denklemleri; t 1 : = ve t : = olur. 9. B R ÇEMBER N B R NKTAYA GÖRE KUVVET Merkezi M(a, b) ar çap uzunlu u r olan bir çember düzleminde, K (1, 1) noktas verilsin. K noktas ndan geçen herhangi bir kirifl çemberi A ve B gibi iki noktada kesiorsa, KA. KB de erine K noktas n n ç e m b e re göre kuvveti d e n i r. Bu kuvvet p = KA. KB fleklinde az l r. (fiekil 3. 17) KM = d dersek, KA = d - r ve KB = d + r dir. p = (d - r) (d + r) = d - r olur. ki nokta aras ndaki uzakl k ba nt s ndan KM = ( 1 - a) + ( 1 - b) = d dir. d de eri p = d - r ba nt s nda erine az l rsa, p = ( 1 - a) + ( 1 - b) - r olur. Bu da bir çemberin bir noktaa göre kuvvetidir. K( 1, 1 ) + + D + E + F = 0 fleklinde ver ilen bir ç e m b e r denkleminde K( 1, 1 ) noktas n n koor dinatlar er ler ine az l r sa C A r d D M(a,b) T fiekil 3.17 r B p = D 1 + E 1 + F de erine K noktas n n çembere göre kuvveti denir. 66 B i r çember in bir noktaa göre kuvetinin özelikler i a. Kuvvet pozitif (p > 0 ) ise nokta çemberin d fl bölgesindedir. b. Kuvvet s f r (p = 0 ) ise nokta çemberin üzerindedir. c. Kuvvet negatif (p < 0 ) ise nokta çemberin iç bölgesindedir. d. Kuvvet -r ( p = - r ) ise nokta çemberin merkezindedir. e. K noktas ndan geçen kesenler de iflse de kuvvet de iflmez.

21 ÖRNEK 19: = 0 denklemile verilen çemberin K( 1, ) noktas na göre kuvvetini bulal m. K noktas çemberin hangi bölgesindedir? ÇÖZÜM 19: Ve r i l e n çemberin K noktas na göre kuvveti, p = (1) + () + 4(1) + () - 4 = = 9 olur. p = 9 > 0 oldu undan K noktas çemberin d fl ndad r. 10. K ÇEMBER N KUVVET E K S E N ki çembere göre eflit kuvvetteki noktalardan oluflan do rua iki çemberin kuvvet ekseni d e n i r. Kuvvet ekseni bir do rudur iki çember denklemi verildi inde, kuvvet eksenini bulmak için çember denklemindeki v e li terimler ok edilir. ki çember in kuvvet eksenine ait özelikler a. Merkezleri, birbirinin d fl bölgelerinde ve kesiflmeen iki çemberin kuvvet ekseni, çemberlerin merkezlerini birlefltiren do rua dik bir do rudur. b. Çemberin kesiflmesi halinde kuvvet ekseni, kesim noktalar n birletiren d o r u d u r. c. Çemberlerin d fltan te et vea içten te et olmalar halinde kuvvet ekseni, çemberlerin de me noktas ndaki ortak te ettir. ÖRNEK 0: = 0 ve = 0 olan çemberlerin kuvvet ekseninin denklemini bulal m. ÇÖZÜM 0: Çember denklemlerini alt alta azarak taraf tarafa ç karal m: = ± + 3 ± 5 = = 0 denklemi, kuvvet ekseninin denklemidir. 11. ÜÇ ÇEMBER N KUVVET E K S E N Üç çembere göre eflit kuvvette olan noktaa, bu çemberlerin kuvvet merkezi denir. a. Üç çemberin merkezleri do rusal de ilse bu üç çemberin kuvvet merkezi, çemberlerin ikifler ikifler kuvvet eksenlerinin kesim noktas d r. b. Üç çemberin merkezleri do rusal ise bu üç çemberin kuvvet merkezi okt u r. 67

22 ÖRNEK 1: + = 16, = 0, = 0 çemberlerinin kuvvet merkezini bulal m. ÇÖZÜM = = ± = = 0 10 = 40 = 4 tür. + + ± 8 ± = = 0 8-8(4) -3 = 0 8 = = 64 = 8 dir. halde, üç çemberin kuvvet merkezi K (8, 4) olur. 1. ÇEMBER N PARAMETR K DENKLEM Bir çemberin noktalar na ait koordinatlar bir parametrenin fonksionu olarak ifade eden denkleme, o çemberin par ametr ik denklemi d e n i r. Bir çemberin t parametresine ba l olan denklemi; = f (t), = g (t) fonksionlar ile ifade edilir. a. Çember in mer kezi or ijinde ise Çemberin denklemi; M (0, 0) oldu undan, + = r d i r. Çember üzerinde hareketli bir nokta P(, ) olsun. 0 t π o l m a k üzere (t: parametre) (fiekil 3.18) PH dik üçgeninde, r t H P(, ) cos t = H P = r sin t = PH P = r ise, = r cos t ise, = r sin t olur. 68 = r cos t = r sin t } fiekil 3.18 sistemine, mer kezil çember in par ametrik denklemi d e n i r. Burada; r pozitif sabit bir reel sa, t de iflken bir reel sa d r. ve nin ba l olduklar t de iflkeni parametredir. Merkezil çember = {(r cost, r sint ) : r R +, t R} olur.

23 ÖRNEK : Yar çap birim olan merkezil çemberin parametrik denklemini a z a l m. ÇÖZÜM : Merkezil çemberin parametrik denklemi, = r cos t = r sin t } 0 t π fleklinde oldu undan; = cos t = sin t } 0 t π olur. b. Çember in Mer kezi M (a, b) noktas nda ise, Çemberin merkezi M(a, b) ve ar çap uzunlu u r birim oldu undan çemberin denklemi ( - a) + (- b ) = r dir. D r. sint C b M(a,b) r t H t prametre olmak üzere; = A + AB = a + MH = a + r cos t r. cost a A B = C + CD = b + PH = b + r sin t dir. (fiekil 3.19) Çmberin parametrik denklemi = a + r cos t } 0 t π fleklinde az l r. = b + r sin t fiekil 3.19 ÖRNEK 3: Merkezi M (, 3) ve ar çap 4 birim olan çemberin parametrik denklemini azal m. ÇÖZÜM 3: Burada; a =, b = 3 ve r = 4 tür. Çemberin parametrik denklemi, = a + r cos t = b + r sin t } 0 t π denklem sisteminden, = +4 cos t = 3+ 4 sin t } 0 t π olur. 69

24 13. ÇEMBER N DÜZLEMDE AYIRDI I BÖLGELER Bir çember bulundu u düzlemi üç bölgee a r r. I. Mer kezinin koor dinatlar M (a, b) ve ar çap uzunlu u r olan çember in düzlemde a r d bölgeler a. - a + - b < r ise, bu eflitli i sa laan noktalar kümesi çemberin iç bölgesini, b. - a + - b > r ise, bu eflitli i sa laan noktalar kümesi çemberin d fl bölgesini, c. - a + - b = r ise, bu eflitli i sa laan noktalar kümesi de çember üzerindeki noktalar belirtir. ÖRNEK 4 ( + 1) + ( - 3 ) 4 eflitsizli inin çözüm kümesini analitik düzlemde gösterelim. ÇÖZÜM eflitsizli i merkezinin koordinatlar M -1, 3 ve ar çap uzunlu u r = birim olan çember ile iç bölgesini belirtir. (fiekil 3. 0) M(-1,3) fiekil 3.0 II. Denklemi: + +D + E + F = 0 olan bir çemberde, P ( 1, 1 ) noktas verilsin. a D 1 + E 1 + F = 0 ise, P 1, 1 noktas çemberin üzerindedir. b D 1 + E 1 + F < 0 ise, P 1, 1 noktas çemberin iç bölgesindedir. c D 1 + E 1 + F > 0 ise, P 1, 1 noktas çemberin d fl bölgesindedir. ÖRNEK 5: = 0 çemberinde P (, 1) noktas verilior. Bu noktan n çemberin hangi bölgesinde oldu unu bulal m. ÇÖZÜM 5: = 0 çemberinde, P, 1 noktas = = < 0 oldu undan P, 1 noktas çemberin iç bölgesindedir.

25 ÖRNEK 1 ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER + (a - 1 ) - 4a (a + 3) = 0 denklemin bir çember belirtmesi için a kaçt r? Bu çemberin merkezinin koordinatlar n ve ar çap uzunlu unu bulal m. Çemberi analitik düzlemde çizelim. ÇÖZÜM 1 Verilen denklemin bir çember belirtmesi için ve nin katsa lar eflit o l m a l d r. 1 = a - 1 ise a = dir. Çember denklemi, = 0 olur. Merkezin koordinatlar : a = - D = - -8 = 4 ; b = - E = - 4 = - olup M 4, - dir. Çemberin ar çap uzunlu u: r = 1 D + E - 4F ; r = = = r = 1 10 = 5 birimdir. Çember analitik düzlemde, (fiekil 3.1) de çizilmifltir. 4 - M(4,-) ÖRNEK fiekil 3.1 a. Merkezi bafllang ç noktas nda olan ve A(3, 4) noktas ndan geçen çemberin denklemini, b. Merkezi (-1, 1) noktas nda olan ve A(3, 4) noktas ndan geçen çemberin denklemini azal m. 71

26 ÇÖZÜM a : Çemberin merkezi (0, 0) ve bir nokta A(3, 4) oldu undan ar çap uzunlu u; AH dik üçgeninde pisagor teoremine göre, (fiekil 3. ) 4 A(3,4) 4 r = A = H + AH 3 H r = = 5 ise, r = 5 birimdir. halde çemberin denklemi + = 5 olur. fiekil 3. b. Çemberin merkezi M(-1, 1) ve çemberin üzerindeki bir nokta A(3, 4) oldu undan ar çap uzunlu u; r = MA = = r = 5 = 5 birimdir. halde, çemberin denklemi = 5 olur. ÖRNEK 3 Merkezinin koordinatlar, = 0 ve = 0 do rular n n kesim noktas nda olan ve = 0 do rus una te et olan çemberin denklemi bulal m. ÇÖZÜM = = 0 + ± 3 ± 3 = = = = 0 = - dir. Çemberin merkezi M ( - 3, -) olur. = - 3 tür. M noktas n n =0 do rusuna uzakl çemberin ar çap na eflit o l d u u n d a n, r = = = = 3 birimdir. 7 halde, çemberin denklemi, = 9 olur.

27 ÖRNEK 4 Merkezi = - 3 do rusu üzerinde bulunan ve koordinat eksenlerine te et olan çemberlerin denklemlerini azal m. ÇÖZÜM 4 Çemberin merkezi = - 3 do rusu üzerinde ve çember koordinat eksenlerine te et oldu undan, çemberin merkezi = vea = - do rular üzerinde de olacakt r. (fiekil 3. 3) = - 3 = = - 3 = 3 ve = 3 tür. v e a = - 3 = - } } Denklem sisteminin çözümünden, M 1 (3, 3) olur. Denklem sisteminin çözümünden, halde; iki tane çember denklemi vard r. M M 1 fiekil = = 3 = 1 ve = -1 dir. M (1, - 1) olur. I. çember ; = 9 olur. II. çember = 1 olur. ÖRNEK 5 Çemberin merkezi = + 3 do rusu üzerinde bulunan, A(3, 1) ve B(, ) noktalar ndan geçen çemberin denklemini azal m. B(,) H ÇÖZÜM 5 M A(3,1) Çemberin merkezi; [AB] k i r i fl i ni n o r t a dikmesi ile, = do rusunun kesim noktas d r. (fiekil 3.4) [AB] kirflinin orta noktas, H ( 0, 0 ) olsun 0 = + 3 halde, H 5, 3 = 5 dir. 0 = + 1 olur. = 3 dir. fiekil

28 AB kiriflinin e imi m AB = = 1-1 = - 1 dir. AB kirifline dik olan do runun e imi de m = 1 olur. Bu do ru H noktas ndan geçti inden denklemi; - 3 = 1-5, = den = - 1 olur = - 1 = - 1 den = 4 = - 1 = dir. = 1 dir. halde, çembarin merkezi M (, 1 ) olur. Çemberin ar çap n n uzunlu u, çember merkezinin çember üzerinde bulunan herhangi bir noktaa uzakl na eflit olaca ndan r = MB = = = 1 birimdir. halde, istenilen çemberin denklemi: = 1 olur. ÖRNEK 6: Denklemi, = 0 ve = 0 olan do rulara te et olan çemberin ar çap uzunlu unu bulal m. ÇÖZÜM 6: Verilen = 0 do rusunun e imi = 0 do rusunun e imi m = 6 9 = 3 dir. m 1 = 3 dir = 0 m 1 = m oldu undan bu do rular paraleldir. Paralel do rular aras ndaki uzakl k çemberin çap n n uzunlu una eflit olaca ndan, r = c 1 - c a + b = = Çemberin ar çap ; r = = birim olur. birimdir. Ö R N E K 7: D e n k l e m i, = 0 olan = 16 olan çemberin içinde kalan kiriflinin uzunlu unu bulal m. ÇÖZÜM 7: Verilen çemberin merkezi, M(1, 1) ve ar çap uzunlu u r = 4 birimdir. Çemberin merkezinin do rua olan uzakl ; A H M(1,1) B 74 MH = = 10 5 = birimdir. fiekil =0

29 MH < r oldu undan = 0 do rusu çemberi A ve B gibi iki noktada keser. (fiekil 3.5) de MHB dik üçgeninde pisagor teoremine göre; HB = MB - MH dir. HB = 16-4 = 1 ise, HB = 3 birimdir. Bir çemberde merkezden kirifle inilen dikme kirifli ortalaaca ndan AB = HB = 3 = 4 3 birim olur. ÖRNEK 8: Analitik düzlemde; = 4 cost, = 4 sint eflitli ini sa laan P(, ) noktalar n n kümesini belirtelim. ÇÖZÜM 8: = 4 cos t ise, = 16 cos t = 4 sin t ise, = 16 sin t elde edilir. Bu eflitlikler taraf tarafa toplan rsa + = 16 (cos t + sin t ) elde edilir. cos t + sin t = 1 oldu undan + = 16 olur. Bu denklem merkezi orijinde ve ar çap uzunlu u 4 birim olan bir çember belirtir. Ö R N E K 9: Denklemi ( - 3 ) + ( - 1 ) = 6 olan çember ile bu çember üzerinde P(c, ) noktas verilior. a. P(c, ) noktas n n koordinatlar n bulal m. (c < 0 olacak) b. Çemberin P noktas ndaki te etinin denklemini azal m. c. Çemberin P noktas ndaki normalinin denklemini azal m. ÇÖZÜM 9: a. Çember üzerinde verilen P(c, ) noktas n n koordinatlar, çember denklemini sa laaca ndan, c = 6 c - 3 = 6-1 den, c - 3 = 5 ise, c - 3 = + 5 tir. c 1-3 = - 5 ise, c 1 = = - vea c - 3 = 5 ise, c = = 8 dir. c < 0 oldu undan c=- ve P (-, ) olur. b. Çemberin P -, noktas ndaki te etinin denklemi: a b = = = 0 denklemi sadelefltirirsek, = 0 olur. c. Çemberin P -, noktas ndaki normalin denklemi: b a = = = = = = = = = 0 olur. 75

30 ÖRNEK 10 Denklemleri = 0 ve = r olan çemberler verilior. Bu çemberler birbirine d fltan te et oldu una göre r kaç olmal d r? ÇÖZÜM = 0 çember denkleminde; a = - D ise, a 1 = - 6 = - 3 tür. b= - E ise, b 1 = - 8 = - 4 tür. halde, merkezin koordinatlar ; M 1-3, -4 olur. Çemberin ar çap uzunlu u : r 1 = 1 D + E -4F ; r 1 = = 1 36 = 6 = 3 birimdir = r çember denkleminde, a = - D ise, a = - - = 1 dir. b= - E ise, b = - = - 1 dir. halde merkezinin koordinatlar M 1, - 1 olur. kinci çemberin ar çap uzunlu u r birim ise, bu çemberler birbirine d fltan te et oldu undan, r 1 + r = M 1 M olmas gerekir. Buna göre, 3 + r = r = ; r = 5-3 = birim olur. 76

31 Ö Z E T ANAL T K GEMETR 1 Düzlemde sabit bir noktaa eflit uzakl kta bulunan noktalar n kümesine çember denir. Analitik düzlemde bir çemberin bilinmesi için merkezinin koordinatlar ve ar çap uzunlu unun bilinmesi gerekir. dir. Merkezi M(a, b) ve ar çap uzunlu u r olan çemberin denklemi ( - a) + ( - b) = r + + D + E + F = 0 denklemine çemberin genel denklemi denir. Verilen bu denklemden çemberin merkezinin koordinatlar n ve ar çap uzunlu unu bulabiliriz. a = D ; b = - E oldu undan merkezinin koordinatlar M - D, - E dir. Yar çap n n uzunlu u, r = 1 D + E - 4F birimdir. B i r Do r u ile Bir Çember in Bir bir ine Gör e Dur umlar Analitik düzlemde denklemi = m + n olan do ru ile denklemi + = r olan çember verilsin. a. r (m + 1) - n < 0 ise, do ru çemberi kesmez. b. r (m + 1) - n > 0 ise, do ru çemberi iki noktada keser. c. r (m + 1) - n = 0 ise, do ru çembere te ettir. Te et ve Normal Denklemleri Bir do ru ile bir çemberin bir ortak noktas varsa bu do rua çemberin te eti denir. Çember denklemi ( - a) + (- b) = r ve bu çember üzerindeki P( 1, 1 ) noktas nda çizilen te etin denklemi; ( - 1 ) ( 1 - a) + ( - 1 ) ( 1 - b) = 0 d r. Bir te ete de me noktas nda dik olan do rua nor mali d e n i r. çemberin bu noktadaki ( - a) + (- b) = r olan çembere üzerindeki P( 1, 1 ) noktas nda çizilen normalin denklemi; ( - 1 ) ( 1 - b) - ( - 1 ) ( 1 - a) = 0 77

32 Bir Noktan n Bir Çembere Göre Kuvveti Bir çember düzleminde K( 1, 1 ) noktas verilsin. K noktas ndan geçen herhangi bir kirifl çemberi A ve B gibi iki noktada kesiorsa KA. KB de erine K noktas n n çembere göre kuvveti denir. K( 1, 1 ) noktas n n denklemi ( - a) + (- b) = r olan çembere göre kuvveti p = ( 1 - a ) + ( 1 - b) - r dir. ki çemberin kuvvet ekseni: ki çembere göre, eflit kuvvetteki noktalar n medana getirdi i do rua iki çemberin kuvvet ekseni denir. Kuvvet ekseni bir do rudur. Üç çemberin kuvvet merkezi: Üç çembere göre eflit kuvvette olan noktaa, bu çemberlerin kuvvet merkezi denir. Üç çemberin kuvvet merkezi çemberlerin ikifler ikifler kuvvet eksenlerinin kesim noktas d r. Çemberin parametrik denklemi: Bir çemberin noktalar na ait koordinatlar bir parametrenin fonksionu olarak ifade eden denkleme, o çemberin parametrik denklemi denir. + = r olan merkezcil çemberin parametrik denklemi = r cos t, = r sin t 0 t π fleklinde az l r. Merkezil çember = {(r cost, r sint ) : r R +, t R } olur. Çemberlerin Düzlemde A rd Bölgeler: Çember bulundu u düzlemi üç bölgee a r r. a. ( - a) + (- b) < r ise, çemberin iç bölgesini, b. ( - a) + (- b) > r ise, çemberin d fl bölgesini, c. ( - a) + (- b) = r ise, çember üzerindeki noktalar belirtir. 78

33 ANAL T K GEMETR 1 ALIfiTIRMALAR 1. Denklemleri, = - ve = 6 do rular na te et olan çemberin merkezi M(a, a) d r. Bu çemberin denklemini az n z (k - ) - k + 3k - 3 = 0 denklemi bir çember belirtti ine göre, bu çemberin merkezinin koordinatlar n ve ar çap uzunlu unu bulunuz. 3. Denklemi, = 0 olan çemberi ile orijin aras ndaki en büük ve en küçük uzakl bulunuz. 4. Denklemi, = 0 olan çember üzerindeki P(6, ) noktas ndan çizilen te et ve normalin denklemlerini az n z. 5. Denklemi, + = 9 olan çembere, d fl ndaki P(-4, 1) noktas ndan çizilen te etlerinin denklemlerini az n z. 6. A(1, ) ve B(0, 1) noktalar ndan geçen ve merkezi = + 5 do rusu üzerinde bulunan çemberin denklemini az n z. 7. P(-, 1) noktas n n =0 çember denklemlerine göre kuvvetini bulunuz. 8. Denklemleri, = 0 ve = 0 olan çemberlerin kuvvet eksenlerinin denklemini bulunuz = 0 ve = 0 çember denklemleri verilior. P(1, ) noktas n n kuvvet eksenine olan uzakl kaç birimdir? = 4 çemberi ile - + = 0 do rusu verilior. Do ru ile çemberin kesim noktalar ndan medana gelen kiriflin uzunlu u kaç birimdir? 11. = 5 cos t ve = 5 sin t eflitli ini sa laan P(, ) noktalar n n kümesini belirtiniz. 1. Denklemleri, = 0 olan çember ile P(4, k) noktas verilior. P noktas n n çemberin iç bölgesinde olmas için k hangi reel de erleri almal d r? 13. A(0, 0), B (-6, 0) ve C(0, 8) noktalar ndan geçen çemberin denklemini az n z. 79

34 14. A(0, 0) ve B(4, ) noktas ndan geçen ve merkezi = - +1 do rusu üzerinde olan çemberin denklemini az n z. 15. A(1, 4) ve B(5, 0) noktalar verilior AB do ru parças n çap kabul eden çemberin denklemini az n z. 16. Denklemleri, = 0 ve = 0 olan çemberlerin kuvvet eksenini bulunuz. 17. Denklemleri, + = 0, = 0 ve = 0 olan çemberlerin kuvvet merkezini bulunuz. 18. Denklemleri, + = 5, = 0 ve = 0 olan çemberlerin kuvvet merkezini bulunuz. 19. Yar çap 6 birim olan merkezil çemberin parametrik denklemini az n z. 0. Merkezinin koordinatlar M(-3, ) ve ar çap uzunlu u 5 birim olan çemberin parametrik denklemini az n z. 1. D e n k l e m i, = 0 olan çemberin parametrik denklemini az n z.. A(1, ) ve B(-3, -1) noktalar na uzakl klar n n kareleri toplam 5 olan noktalar n geometrik erini bulunuz. 3. Denklemi, = 0 olan çember ile dik kesiflen ve merkezinin koordinatlar M(-4, 3) olan çemberin ar çap uzunlu u kaç birimdir? 4. Denklemi, = 0 olan çember ile merkezinin koordinatlar M(-4, 7) ve ar çap uzunlu u m birim olan çember verilior. a. Çemberler aras ndaki en k sa uzakl k 3 birim olmas için m kaç olmal d r? b. Bu çemberler birbirine d fltan te et ise m kaçt r? 5. D e n k l e m i, = 0 olan çemberin eksenini kesti i noktalar A ve B ise, AB kaç birimdir? 80

35 . DE ERLEND RME TEST III ANAL T K GEMETR 1 1. Denklemi = 0 olan çemberin merkezinin koordinatlar afla dakilerden hangisidir? A) (-6, 8) B) (-3, 4) C) (8, -6) D) (4, -3). Merkezi M(-3, ) olan ve eksenine te et olan çemberin denklemi afla dakilerden hangisidir? A) = 0 B) = 0 C) = 0 D) = 0 3. Koordinat eksenlerine A(4, 0) ve B(0, 4) noktalar nda te et olan çemberin denklemi afla dakilerden hangisidir? A) + = 16 B) = 0 C) = 0 D) = 0 4. Merkezi (, 4) olan ve = 0 do ru denklemine te et olan çemberin denklemi, afla dakilerden hangisidir? A) = 0 B) = 0 C) = 0 D) = 0 5. Merkezi (3,) olan ve P (1,4) noktas ndan geçen çemberin denklemi, afla dakilerden hangisidir? A) = 0 B) = 0 C) = 0 D) = 0 6. Merkezi = do rusu üzerinde bulunan ve = - 1 ve = 5 do rular na te et olan çemberin denklemi, afla dakilerden hangisidir? A) (- 4) + (- ) = 6 B) (+ 1) + (- 5) = 36 C) (- ) + (- 4) = 9 D) ( + 4) + (+ ) = 18 81

36 (m - 6) - m - m + m - 3 = 0 denklemi bir çember belirtti ine göre, bu çemberin ar çap uzunlu u kaç birimdir? A) 1 B) C) 3 D) 4 8. Denklemi (- ) + ( + 1) = 5 olan çember; denklemi = 3 olan do ruu A ve B noktalar nda kesti ine göre, AB uzunlu u kaç birimdir? A) 1 B) C) 3 D) 4 9. Denklemi + = 13 olan çembere, üzerindeki P(3, ) noktas ndan çizilen te etin denklemi afla dakilerden hangisidir? A) = 0 B) = 0 C) - 3 = 0 D) 3 - = Denklemi + = 5 olan çembere, üzerindeki P(1, ) noktas ndan çizilen normalin denklemi afla dakilerden hangisidir? A) = 0 B) = C) = 0 D) = 11. Denklemi + = 9 olan çember, denklemi = + n olan do rusuna te et ise, n nin pozitif de eri afla dakilerden hangisidir? A) 3 B) C) 3 D) Denklemi + = 0 olan çemberin d fl ndaki P(, 6) noktas ndan çembere çizilen te etlerden birinin denklemi afla dakilerden hangisidir? A) = 0 B) = 0 C) = 0 D) = Denklemi ( + ) + ( - 3) = 9 olan çember verilior. Bu çember üzerindeki P(3, 1) noktas ndan çizilen te etin denklemi, afla dakilerden hangisidir? 8 A) = 0 B) = 0 C) = 0 D) = 0

37 14. Denklemleri + = 9 ve ( - 1) + ( + ) = 16 olan çemberlerinin kuvvet ekseni afla dakilerden hangisidir? A) = 0 B) = 0 C) = 0 D) + + = Denklemleri + = = 0 ve = 0 çemberler verilior. Bu çemberler için afla daki durumlardan hangisi do rudur? A) D fltan te ettirler. B) çten te ettirler. C) Birbirlerinin d fl ndad rlar. D) Birbirini iki noktada keserler. 16. Denklemi m - 5 = 0 olan çember, = +1 do rusuna te et ise, m kaçt r? A) 1 B) 1 C) 3 D) 17. Denklemi = 0 olan çemberin eksenini kesti i noktalar aras ndaki kiriflin uzunlu u kaç birimdir? A) 1 B) 4 C) 5 D) Denklemi + =5 olan çemberin, 6 birim uzunlu undaki kirifllerinin orta noktalar n n kümesi, afla daki denklemlerin hangisi ile ifade edilebilir? A) + = 9 B) + = 1 C) + = 16 D) + = Çemberin d fl ndaki A(1, 4) noktas ndan, denklemi = 0 olan çembere çizilen te et parças n n uzunlu u kaç birimdir? A) B) 4 C) 6 D) 8 0. Denklemi = 0 olan do runun, denklemi ( + 1) + ( - 1) = 16 olan çemberi kesen kiriflin uzunlu u kaç birimdir? A) B) 3 C) 4 D)

38 1. Ç = {(, ) = cos t, = sin t, t R} kümesi afla daki çember denklemlerden hangisini gösterir? A) ( + 3) + ( - 1) = 4 B) ( - 1) + ( + 3) = 1 C) ( - 3) + ( + 1) = 16 D) ( - 4) + ( - 4) = 0. Denklemi + = 9 ve = 0 olan çemberlere göre kuvvetleri an olan nokta P(a, 4) ise, a kaçt r? A) 1 B) C) 3 D) 4 3. P(5, 6) noktas n n denklemi + =r olan çembere göre kuvveti 1 ise bu çemberin ar çap n n uzunlu u kaç birimdir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 4. P(a, a) noktas n n denklemi = 0 olan çemberin, iç bölgesinde olmas için a hangi aral kta bulunmal d r? A) - 1 < a < 1 B) 1 < a < C) a < -1 D) a > 1 5. Merkezi = - 3 do rusu üzerinde bulunan ve eksenlere te et olan çemberin denklemi afla dakilerden hangisidir? A) = 0 B) + = 9 C) = 0 D) = 0 84

ege yayıncılık Parabolün Tan m ve Tepe Noktas TEST : 49 1. Afla daki fonksiyonlardan hangisinin grafi i bir parabol belirtir?

ege yayıncılık Parabolün Tan m ve Tepe Noktas TEST : 49 1. Afla daki fonksiyonlardan hangisinin grafi i bir parabol belirtir? Parabolün Tan m ve Tepe Noktas TEST : 9. Afla daki fonksionlardan hangisinin grafi i bir parabol belirtir? 5. Afla daki fonksionlardan hangisi A(,) noktas ndan geçer? A) f() = B) f() = f() = + f() =. f()

Detaylı

MATEMAT K TEST. 3. a ve b reel say lar olmak üzere, 3 a = 4 ve 3 2a b 3 = 8 oldu una göre,

MATEMAT K TEST. 3. a ve b reel say lar olmak üzere, 3 a = 4 ve 3 2a b 3 = 8 oldu una göre, MTMT K TST KKT! + u testte 80 soru vard r. + u test için ar lan cevaplama süresi 5 dakikad r. + evaplar n z, cevap ka d n n Matematik Testi için ar lan k sma iflaretleiniz.. a, b, c pozitif reel sa lard

Detaylı

ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES

ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES ANAL T K GEOMETR ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES 1. ANAL T K UZAY. ANAL T K UZAY D A D K KOORD NAT EKSENLER VE ANAL T K UZAY I. Analitik uzayda koordinat sistemi II. Analitik

Detaylı

GEOMETR 7 ÜN TE V KÜRE

GEOMETR 7 ÜN TE V KÜRE ÜN TE V KÜRE 1. KÜRE a. Tan m b. Bir Kürenin Belirli Olmas c. Bir Küre ile Bir Düzlemin Ara Kesiti 2. KÜREN N ALANI 3. KÜREN N HACM 4. KÜREDE ÖZEL PARÇALAR a. Küre Kufla I. Tan m II. Küre Kufla n n Alan

Detaylı

f : R + R, f(x) = log a 0 < a < 1 için f(x) = log a a. f : ;, 4m R, f(x) = log2 x b. f : R + R, f(x) = log 1, f(2) = 2 2

f : R + R, f(x) = log a 0 < a < 1 için f(x) = log a a. f : ;, 4m R, f(x) = log2 x b. f : R + R, f(x) = log 1, f(2) = 2 2 Fonksionlar f : R R, f() = a Fonksionunun Grafi i f : R R, f() = log a Fonksionunun Grafi i a > için f() = a üstel fonksionunun grafi i andaki gibidir. = a a > için f() = log a fonksionunun grafi i andaki

Detaylı

ANALİTİK GEOMETRİ KARMA / TEST-1

ANALİTİK GEOMETRİ KARMA / TEST-1 NLİTİK GEMETRİ KRM / TEST-. (, ) noktasından geçen ve + = 0 doğrusuna paralel olan doğrunun eksenini kestiği noktanın ordinatı ) ) 7 ) 9 ). = (k 6) + b k = k doğrularının ekseni üzerinde dik kesişmeleri

Detaylı

ÜN TE II UZAYDA DO RULARIN VE DÜZLEMLER N D KL

ÜN TE II UZAYDA DO RULARIN VE DÜZLEMLER N D KL ÜN TE II UZAYDA DO RULARIN VE DÜZLEMLER N D KL 1. DO RULARIN D KL 2. B R DO RUNUN B R DÜZLEME D KL a. Tan m b. Düzlemde Bir Do ru Parças n n Orta Dikme Do rusu c. Bir Do runun Bir Düzleme Dikli ine Ait

Detaylı

GEOMETR 7 ÜN TE III S L ND R

GEOMETR 7 ÜN TE III S L ND R ÜN TE III S L ND R 1. S L ND R K YÜZEY VE TANIMLAR 2. S L ND R a. Tan m b. Silindirin Özelikleri 3. DA RESEL S L ND R N ALANI a. Dik Dairesel Silindirin Alan I. Dik Dairesel Silindirin Yanal Alan II. Dik

Detaylı

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü nün

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü nün Matematik ünas, 003 Güz o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas /. ölüm o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü nün üniversitenin ö retim üelerinin de katk - lar la düzenledi i liseleraras

Detaylı

F Z K A IRLIK MERKEZ ÖRNEK 1 : ÇÖZÜM 1: Bir cisim serbestçe dönebilece i bir noktadan as l rsa, düfley do rultu daima a rl k merkezinden

F Z K A IRLIK MERKEZ ÖRNEK 1 : ÇÖZÜM 1: Bir cisim serbestçe dönebilece i bir noktadan as l rsa, düfley do rultu daima a rl k merkezinden F Z A IRI EREZ ÖRNE 1 : I m II 2m ütleleri m, 2m olan eflit bölmeli, düzgün ve türdefl I ve II levhalar flekildeki gibi birbirine tutturularak noktas ndan bir iple as l yor. Bu levhalar afla dakilerden

Detaylı

GEOMETR 7 ÜN TE IV KON

GEOMETR 7 ÜN TE IV KON ÜN TE IV KON 1. KON K YÜZEY VE TANIMLAR 2. KON a. Tan m b. Dik Dairesel Koni I. Tan mlar II. Dik Dairesel Koninin Özelikleri III. Dönel Koni c. E ik Dairesel Koni 3. D K DA RESEL KON N N ALANI 4. DA RESEL

Detaylı

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği

Detaylı

Yukar daki kare ve dikdörtgene göre eflitlikleri tan mlay n z. AB =... =... =... =...

Yukar daki kare ve dikdörtgene göre eflitlikleri tan mlay n z. AB =... =... =... =... Üçgen, Kare ve ikdörtgen MTEMT K KRE VE KÖRTGEN Kare ve ikdörtgenin Özellikleri F E Kare ve dikdörtgenin her kenar uzunlu u birer do ru parças d r. Kare ve dikdörtgenin kenar, köfle ve aç say lar eflittir.

Detaylı

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir

Detaylı

TEMEL MATEMAT K TEST

TEMEL MATEMAT K TEST TEMEL MTEMT K TEST KKT! + u bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + u bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MTEMT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 1. 1 3 1 3 1 2 1 2. 5 + 7 iflleminin sonucu

Detaylı

TEMEL MATEMAT K TEST

TEMEL MATEMAT K TEST TEMEL MATEMAT K TEST KKAT! + Bu bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + Bu bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MATEMAT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 2 4. 4. 0,5 2. iflleminin sonucu

Detaylı

4 ab sayısı 26 ile tam bölünebildiğine göre, kalanı 0 dır.

4 ab sayısı 26 ile tam bölünebildiğine göre, kalanı 0 dır. BÖLME, BÖLÜNEBİLME A. Bölme İşlemi A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, Bölünen A 75, bölen B 9, bölüm C 8 ve kalan K tür. Yukarıdaki bölme işlemine göre, 1. 9 yani, K B dir. işlemine bölme denir.

Detaylı

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a İKİNCİ DERECEDEN FNKSİYNLARIN GRAFİKLERİ a,b,c,z R ve a 0 olmak üzere, F : R R f() = a + b + c şeklinde tanımlanan fonksionlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksionlar denir. Bu tür fonksionların grafikleri

Detaylı

ÇÖZÜM [KB] çizilirse, SORU. Boyutlar 9 cm ve 12 cm olan dikdörtgenin bir düzlem üzerindeki izdüflümü bir do ru parças ise, [KC] [CB] ve

ÇÖZÜM [KB] çizilirse, SORU. Boyutlar 9 cm ve 12 cm olan dikdörtgenin bir düzlem üzerindeki izdüflümü bir do ru parças ise, [KC] [CB] ve GMTR erginin bu sa s na Uza Geometri ve o runun nalitik ncelemesi konular na çözümlü sorular er almakta r. u konua, ÖSS e ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik ollar, sorular m

Detaylı

YGS Soru Bankas MATEMAT K Temel Kavramlar

YGS Soru Bankas MATEMAT K Temel Kavramlar 9. 7 = 3.3.3, 07 = 3.3.3 007 = 3.3.3, 0007 = 3.3.3,... Yukar daki örüntüye göre, afla daki say lar n hangisi 81'in kat d r? A) 00 007 B) 0 000 007 C) 000 000 007 D) 00 000 000 007 13. Ard fl k 5 pozitif

Detaylı

ÖLÜM 3 DENGE, İR KUVVETİN MOMENTİ 3.1 ir Kuvvetin Momenti elirli bir doğrultu ve şiddete sahip bir kuvvetin, bir cisim üzerine etkisi, kuvvetin etki çizgisine bağlıdır. Şekil.3.1 de F 1 kuvveti cismi sağa

Detaylı

6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN

6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN SAYLAR Do al Say lar Parças ve fl n 6. SNF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YLLK PLAN Süre/ KAZANMLAR Ders AÇKLAMALAR 1. Do al say larla ifllemler yapmay gerektiren problemleri çözer ve kurar. Do al say

Detaylı

GEOMETR 7 ÜN TE II P RAM T

GEOMETR 7 ÜN TE II P RAM T ÜN TE II P RAM T 1. P RAM TLER N TANIMI. DÜZGÜN P RAM T a. Tan m b. Düzgün Piramidin Özelikleri. P RAM D N ALANI a. Düzgün Olmayan Piramidin Alan b. Düzgün Piramidin Alan 4. P RAM D N HACM 5. DÜZGÜN DÖRTYÜZLÜ

Detaylı

6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN

6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN GEOMETR Geometrik Cisimler Uzunluklar Ölçme 6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN 1. Prizmalar n temel elemanlar n belirler. Tabanlar n n karfl l kl köflelerini birlefltiren ayr tlar tabanlara

Detaylı

Olasılık ve İstatistik Dersinin Öğretiminde Deney ve Simülasyon

Olasılık ve İstatistik Dersinin Öğretiminde Deney ve Simülasyon Olasılık ve İstatistik Dersinin Öğretiminde Deney ve Simülasyon Levent ÖZBEK Fikri ÖZTÜRK Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi İstatistik Bölümü Sistem Modelleme ve Simülasyon Laboratuvarı 61 Tandoğan/Ankara

Detaylı

Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr

Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr apak onusu: oncelet Teoremleri oni. Uzayda birbirini 0 < < 90 derecede kesen iki de iflik a ve do rusu alal m. Do rulardan birini di erinin etraf nda, diyelim a y nin etraf nda oluflturduklar aç s n bozmadan

Detaylı

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: KUVVET ve HAREKET 3. Konu TORK, AÇISAL MOMENTUM ve DENGE ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: KUVVET ve HAREKET 3. Konu TORK, AÇISAL MOMENTUM ve DENGE ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ 11. SINIF ONU ANAIMI 2. ÜNİE: UVVE ve HAREE 3. onu OR, AÇISA MOMENUM ve DENGE EİNİ ve ES ÇÖZÜMERİ 2 2. Ünite 3. onu ork, Aç sal Momentum ve Denge A n n Yan tlar 1. Çubuk dengede oldu una göre noktas na

Detaylı

Homoteti (Homothety) DÖNÜfiÜMLERLE GEOMETR. Düzlemde M sabit bir nokta ve k bir reel say olmak

Homoteti (Homothety) DÖNÜfiÜMLERLE GEOMETR. Düzlemde M sabit bir nokta ve k bir reel say olmak ÖNÜfiÜLRL GTR ¾ Homoteti (Homothet) üzlemde sabit bir nokta ve k bir reel sa olmak üzere; P = + k.(p ) ÖRNK üzlemde (5, 6) noktas n n (, 7) merkezli ve k = oranl homoteti ini bulal m. eflitli ini sa laan

Detaylı

MATEMAT K 6 ÜN TE III

MATEMAT K 6 ÜN TE III ÜN TE III A. KES RLER 1. Kesirleri Karfl laflt rma ve Say Do rusunda Gösterme 2. Denk Kesirlerden Yararlanma 3. Kesirlerle Toplama ve Ç karma fllemi 4. Kesirlerle Çarpma fllemi 5. Kesirlerle Bölme fllemi

Detaylı

BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM

BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM ÖZEL EGE LİSESİ BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Sıla Avar DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem Günel İZMİR 2012 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI.. 3 2. GİRİŞ... 3 3. YÖNTEM. 3 4. ÖN BİLGİLER... 3 5.

Detaylı

Kavram Dersaneleri 8 SAYILAR - I ÖRNEK 23: ÖRNEK 24: a, 5 ve 6 say taban n göstermek üzere, (123) + (1a2) = (2b2) eflitli inde. b kaçt r?

Kavram Dersaneleri 8 SAYILAR - I ÖRNEK 23: ÖRNEK 24: a, 5 ve 6 say taban n göstermek üzere, (123) + (1a2) = (2b2) eflitli inde. b kaçt r? ÖRNEK 3: x y y Bölme ifllemine göre x en az kaçt r? A) 6 B) 9 C) D) 4 E) 4 ÖRNEK 4: a, ve 6 say taban n göstermek üzere, (3) + (a) = (b) eflitli inde a 6 b kaçt r? A) 0 B) C) D) 3 E) 4 ÇÖZÜM 4: ÇÖZÜM 3

Detaylı

ÜN TE IV. DÜZLEMDE VEKTÖRLER

ÜN TE IV. DÜZLEMDE VEKTÖRLER ÜN TE IV. DÜZLEMDE VEKTÖRLER 1. YÖNLÜ DO RU PRÇSI I. Yönlü Do ru Parças n n Tan m I I. Yönlü Do ru Parças n n Uzunlu u III. Yönlü Do ru Parças n n Tafl y c s IV. S f r Yönlü Do ru Parças V. Paralel Yönlü

Detaylı

4. ÜNİTE GEOMETRİK ÇİZİMLER

4. ÜNİTE GEOMETRİK ÇİZİMLER 4. ÜNİTE GEOMETRİK ÇİZİMLER KONULAR 1. Geometrik Terimler Doğrular Açılar ve Çeşitleri Üçgenler Dörtgenler Daire Elemanları Geometrik Şekiller 2. Dikmelerin Çizimi Bir Doğruya Üzerindeki Bir Noktadan Dikme

Detaylı

Sevdi im Birkaç Soru

Sevdi im Birkaç Soru Sevdi im Birkaç Soru M atematikte öyle sorular vard r ki, yan t bulmak önce çok zor gibi gelebilir, sonradan -saatler, günler, aylar, hatta kimi zaman y llar sonra- yan t n çok basit oldu u anlafl l r.

Detaylı

ÜN TE II ÜÇGENLERDE BENZERL K

ÜN TE II ÜÇGENLERDE BENZERL K ÜN TE II ÜÇGENLERDE BENZERL K 1. ÜÇGENLERDE BENZERL N TANIMI. ORANTININ ÖZEL KLER 3. ÜÇGENLERDE BENZERL K TEOREMLER * K.A.K. Benzerlik Teoremi * A.A.A. Benzerlik Teoremi * Verilen Bir Do ru Parças n stenen

Detaylı

TEMEL MATEMAT K TEST

TEMEL MATEMAT K TEST TML MTMT K TST KKT! + u bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + u bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TML MTMT K TST " bölümüne iflaretleyiniz.. + : flleminin sonucu kaçt r? 4. ört do al say afla

Detaylı

1.BÖLÜM ÇÖZÜM SORU. A= {a, b, {a, b}, {c}} kümesi veriliyor. Afla dakilerden kaç tanesi do rudur? I. a A II. {a, b} A III. {c} A IV. {b} A. V.

1.BÖLÜM ÇÖZÜM SORU. A= {a, b, {a, b}, {c}} kümesi veriliyor. Afla dakilerden kaç tanesi do rudur? I. a A II. {a, b} A III. {c} A IV. {b} A. V. 1.ÖLÜM MTMT K Derginin bu say s nda Kümeler konusunda çözümlü sorular yer almaktad r. u konuda, ÖSS de ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik yollar, sorular m z n çözümü içinde

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 22 Nisan 2007. Matematik Soruları ve Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 22 Nisan 2007. Matematik Soruları ve Çözümleri Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal II / Nisan 007 Matematik Soruları ve Çözümleri 1. 3,15 sayısının aşağıdaki sayılardan hangisiyle çarpımının sonucu bir tam

Detaylı

İ.T.Ü. Makina Fakültesi Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 4 BÖLÜM IV. Düzlem Kafesler. En çok kullanılan köprü kafesleri. En çok kullanılan çatı kafesleri

İ.T.Ü. Makina Fakültesi Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 4 BÖLÜM IV. Düzlem Kafesler. En çok kullanılan köprü kafesleri. En çok kullanılan çatı kafesleri İ.T.Ü. Makina akültesi ÖLÜM IV üzlem Kafesler En çok kullanılan köprü kafesleri En çok kullanılan çatı kafesleri İ.T.Ü. Makina akültesi Mühendislik olalarında genel olarak birden çok katı cisim birbirine

Detaylı

TG 12 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK

TG 12 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

1.BÖLÜM SORU SORU. (x 1) (x 3) = A + B. x 3 ise, d(p(x)) ve d(q(x)) polinomlar n derecelerini göstermek. A. B çarp m kaçt r?

1.BÖLÜM SORU SORU. (x 1) (x 3) = A + B. x 3 ise, d(p(x)) ve d(q(x)) polinomlar n derecelerini göstermek. A. B çarp m kaçt r? 1.BÖLÜM MATEMAT K Derginin bu say s nda Polinomlar konusunda çözümlü sorular yer almaktad r. Bu konuda, ÖSS de ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik yollar, sorular m z n çözümü

Detaylı

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU f :R R, =f ( fonksionuna düzlemde A karşılık gelen f( +h eğri anda ki =f( P gibi olsun. f( Eğrinin P(,f( noktasındaki teğetlerini +h araştıralım. Bunun için P(,f( noktasının sağıda

Detaylı

PARABOL. Merkezil parabol. 2px. 2py F 0, 2 F,0. Şekil I. Şekil II. p Odağı F 2. Odağı F 0, Doğrultmanı x. Doğrultmanı y

PARABOL. Merkezil parabol. 2px. 2py F 0, 2 F,0. Şekil I. Şekil II. p Odağı F 2. Odağı F 0, Doğrultmanı x. Doğrultmanı y ARABL Tanım: Düzlemde verilen sabit bir noktası ile bir d doğrusuna uzaklıkları eşit olan noktaların geometrik erine arabol denir. Sabit noktaa arabolün odağı; doğrua ise doğrultmanı denir. Merkezil arabol

Detaylı

2. KUVVETLERİN VEKTÖREL TOPLANMASI. Hazırlayan Arş. Grv. A. E. IRMAK

2. KUVVETLERİN VEKTÖREL TOPLANMASI. Hazırlayan Arş. Grv. A. E. IRMAK 2. KUVVETLERİN VEKTÖREL TOPLANMASI AMAÇ Hazırlaan Arş. Grv. A. E. IRMAK Eş zamanlı kuvvetler etkisinde dengede bulunan bir cismin incelenmesi, analitik ve vektörel metotları kullanarak denge problemlerinin

Detaylı

Makine Elemanları II Prof. Dr. Akgün ALSARAN. Helisel Dişli Çarklar-Flipped Classroom DİŞLİ ÇARKLAR

Makine Elemanları II Prof. Dr. Akgün ALSARAN. Helisel Dişli Çarklar-Flipped Classroom DİŞLİ ÇARKLAR Makine Elemanları II Prof. Dr. Akgün ALSARAN Helisel Dişli Çarklar-Flipped Classroom DİŞLİ ÇARKLAR İçerik Giriş Helisel dişli geometrisi Kavrama oranı Helisel dişli boyutları Helisel dişlilerin mukavemet

Detaylı

Harita Projeksiyonları

Harita Projeksiyonları Harita Projeksiyonları Bölüm 4: Konik Projeksiyonlar Doç.Dr. İ. Öztuğ BİLDİRİCİ Koni en genel projeksiyon yüzeyidir. Koninin yüksekliği sıfır alınırsa düzlem, sonsuz alınırsa silindir elde edilir. Genel

Detaylı

Y ll k Plan MATEMAT K 8. SINIF Ö RETMEN KILAVUZ K TABI

Y ll k Plan MATEMAT K 8. SINIF Ö RETMEN KILAVUZ K TABI ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLAN MATEMAT K 8. SINIF Ö RETMEN KILAVUZ K TABI 9 SINIF : 8 LEND R LM fi Y I L L I K P L A N ÖRÜNTÜ VE SÜSLEMELER. Do ru, çokgen ve çember modellerinden örüntüler infla eder, çizer

Detaylı

OPERATÖRLER BÖLÜM 4. 4.1 Giriş. 4.2. Aritmetik Operatörler

OPERATÖRLER BÖLÜM 4. 4.1 Giriş. 4.2. Aritmetik Operatörler BÖLÜM 4. OPERATÖRLER 4.1 Giriş Turbo Pascal programlama dilinde de diğer programlama dillerinde olduğu gibi operatörler, yapılan işlem türüne göre aritmetik, mantıksal ve karşılaştırma operatörleri olmak

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "A" OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL-2 TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL-2 TESTİ ALES İlkbahar 007 SAY DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "A" OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL- TESTİ Sınavın bu testinden alacağınız standart puan, Sayısal Ağırlıklı

Detaylı

2013-2014 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI TED KDZ EREĞLİ KOLEJİ ORTAOKULU MATEMATİK 8.SINIF ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANDIR.

2013-2014 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI TED KDZ EREĞLİ KOLEJİ ORTAOKULU MATEMATİK 8.SINIF ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANDIR. EYLÜL 2013-201 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI TED KDZ EREĞLİ KOLEJİ ORTAOKULU MATEMATİK 8.SINIF ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANDIR. 9-13 Örüntü ve Süslemeler Dönüşüm Geometrisi 1. Doğru, çokgen ve çember modellerinden

Detaylı

1. O(0,0) merkezli, 3 birim yarıçaplı. 2. x 2 +y 2 =16 denklemi ile verilen. 3. O(0,0) merkezli ve A(3,4)

1. O(0,0) merkezli, 3 birim yarıçaplı. 2. x 2 +y 2 =16 denklemi ile verilen. 3. O(0,0) merkezli ve A(3,4) HAZİNE-1 Düzlemde sabit M(a,b) noktasından eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri, M merkezli R yarıçaplı çemberdir. HAZİNE-2 O(0,0) merkezli, R yarıçaplı çemberin denklemi; x 2 +y 2 =R 2 dir.

Detaylı

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012 Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi e Ku ru lu Baş kan lı ğı nın.8. ta rih ve sa ı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve - Öğ re tim Yı lın dan iti ba ren u gu lana cak olan prog ra ma gö re ha zır

Detaylı

50 ELEKTR K VE ELEKTRON K

50 ELEKTR K VE ELEKTRON K 50 EETR E EETRO ODSTÖRER ODE SORU DE SORURI ÇÖZÜER. ε. ba nt - s na göre, ε azal nan konan- satörün s as azal r. I. yarg o ruur. + onansatör üretece ba l iken, levhalar aras naki potansiyel fark e iflmez.

Detaylı

TEST Levhan n a rl G olsun. G a rl n n O F 1 TORK (KUVVET MOMENT ) - DENGE

TEST Levhan n a rl G olsun. G a rl n n O F 1 TORK (KUVVET MOMENT ) - DENGE R (UVVE MME ) - DEE ES -... evhalar dengede oldu una göre, desteklerin oldu u noktalara göre moment al n rsa,...... oldu u görülür. CEVA B d d d d. ucuna göre moment cambaz den ye giderken momenti azald

Detaylı

( KARMAŞIK SAYI MODÜL VE ÖZELLİKLERİ İKİ KARMAŞIK SAYI ARASI UZAKLIK DÜZLEMDE BELİRTTİĞİ BÖLGELER ) 1) z = z = i.z = z =... 2) z 1.

( KARMAŞIK SAYI MODÜL VE ÖZELLİKLERİ İKİ KARMAŞIK SAYI ARASI UZAKLIK DÜZLEMDE BELİRTTİĞİ BÖLGELER ) 1) z = z = i.z = z =... 2) z 1. BİR KARMAŞIK SAYININ MUTLAK DEĞERI (MODÜLÜ) Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın (A noktasının), başlangıç noktasına uzaklığına bu sayının mutlak değeri (modülü) denir ve z şeklinde

Detaylı

F Z K BASINÇ. Kavram Dersaneleri 42

F Z K BASINÇ. Kavram Dersaneleri 42 F Z BASINÇ ÖRNE : ÇÖZÜ : Özdefl iki tu lan n I, II, III konumlar ndayken yere uygulad klar toplam bas nç kuvvetleri, iki tu lan n a rl klar toplamlar na eflittir. Bu nedenle F = F = F olur. yer I II III

Detaylı

Örnek...6 : Yandaki bölme işleminde A ve n birer doğal sayıdır. A nın alabileceği en küçük ve en bü yük değerleri bulunu z.

Örnek...6 : Yandaki bölme işleminde A ve n birer doğal sayıdır. A nın alabileceği en küçük ve en bü yük değerleri bulunu z. MODÜLER ARİTMETİK ( BÖLME BÖLÜNEBİLME KURALLARI ÖKLİT ALGORİTMASI DEĞERLENDİRME ) BÖLME İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A, B, C, K doğal sayılar ve B olmak üzere, BÖLÜNEN A B C BÖLEN BÖLÜM Örnek...5 : A, B, C birbirinden

Detaylı

TEST - 1 KATI BASINCI. I. yarg do rudur. II. yarg yanl flt r. Buna göre, fiekil-i de K ve L cisimlerinin yere yapt klar bas nçlar eflit oldu una göre,

TEST - 1 KATI BASINCI. I. yarg do rudur. II. yarg yanl flt r. Buna göre, fiekil-i de K ve L cisimlerinin yere yapt klar bas nçlar eflit oldu una göre, TI BSINCI TEST - 1 1 1 π dir π Bun göre, 4 > 1 CEV B de ve cisimlerinin e ypt klr s nçlr eflit oldu un göre, SX S Z + 4 8 S Y I II III CEV B Tu llr n X, Y ve Z noktlr n ypt s nç, X S Y S Z S dir Bun göre,

Detaylı

Çokgenler. Dörtgenler. Çember. Simetri. Örüntü ve Süslemeler. Düzlem. Geometrik Cisimler

Çokgenler. Dörtgenler. Çember. Simetri. Örüntü ve Süslemeler. Düzlem. Geometrik Cisimler MTEMT K Çokgenler örtgenler Çember Simetri Örüntü ve Süslemeler üzlem Geometrik isimler Temel Kaynak 5 Çokgenler ÇOKGENLER E F En az üç do ru parças n n, birer uçlar ortak olacak flekilde ard fl k olarak

Detaylı

AÖĞRENCİLERİN DİKKATİNE!

AÖĞRENCİLERİN DİKKATİNE! KİTPÇIK TÜRÜ T.C. MİLLÎ EĞİTİM BKNLIĞI ÖLÇME, DEĞERLENDİRME VE SINV HİZMETLERİ GENEL MÜDÜRLÜĞÜ 8. SINIF MTEMTİK 016 8. SINIF. DÖNEM MTEMTİK DERSİ MERKEZÎ ORTK SINVI 7 NİSN 016 Saat: 10.10 dı ve Soyadı

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. P(x) x 2 x 3 polinomunda. 2b a ifade- x lü terimin. olduğuna göre, katsayısı kaçtır? değeri kaçtır? ifadesinin değeri kaçtır? 4.

2014 LYS MATEMATİK. P(x) x 2 x 3 polinomunda. 2b a ifade- x lü terimin. olduğuna göre, katsayısı kaçtır? değeri kaçtır? ifadesinin değeri kaçtır? 4. 04 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsayısı kaçtır? 4 lü terimin. ifadesinin değeri kaçtır? 4. yy y 4y y olduğuna göre, + y toplamının değeri kaçtır?

Detaylı

Ölçme Bilgisi Ders Notları

Ölçme Bilgisi Ders Notları 1. ÖLÇÜ BİRİMLERİ Ölçme Bilgisi: Sınırlı büyüklükteki yeryüzü parçalarının ölçülmesi, haritasının yapılması ve projelerdeki bilgilerin araziye uygulanması yöntemleri ile bu amaçlarla kullanılacak araç

Detaylı

ÇEMBERÝN ANALÝTÝÐÝ - I

ÇEMBERÝN ANALÝTÝÐÝ - I YGS-LYS GEOMETRÝ Konu Anlatýmý ÇEMBERÝN ANALÝTÝÐÝ - I 1. Çember Denklemi: Analitik düzlemde merkezi M(a, b) ve yarýçapý r birim olan çemberin denklemi, (x - a) 2 + (y - b) 2 = r 2 (x - a) 2 + y 2 = r 2

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 14 Haziran 2009. Matematik I Soruları ve Çözümleri E) 6 ). 6 5 = 25 6 =

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 14 Haziran 2009. Matematik I Soruları ve Çözümleri E) 6 ). 6 5 = 25 6 = Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 4 Haziran 009 Matematik I Soruları ve Çözümleri. ( ).( + ) işleminin sonucu kaçtır? A) 6 B) 6 C) D) 6 E) 6 Çözüm ( ).( + ) 0 ( ).( ) + ( 4 9 ). 6 36 6 36. 6 6. 0, 0,0 0,0 işleminin

Detaylı

Oyunlar mdan s k lan okurlardan -e er varsa- özür dilerim.

Oyunlar mdan s k lan okurlardan -e er varsa- özür dilerim. Barbut Oyunlar mdan s k lan okurlardan -e er varsa- özür dilerim. Ne yapal m ki ben oyun oynamay çok severim. Birinci Oyun. ki oyuncu s rayla zar at yorlar. fiefl (6) atan ilk oyuncu oyunu kazan yor. Ve

Detaylı

LYS MATEMATİK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ

LYS MATEMATİK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ Ders Adı.ınıf Mezun LY MATEMATİK KONU ANLATIM FAİKÜLÜ TÜREV KAF 0 Konu Bir doğrunun eğimi dik koordinat sisteminde X ekseni ile aptığı pozitif önlü açının tanjantıdır. Örneğin, şekilde verilen d doğrusunun

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR İÇİNDEKİLER HEDEFLER GRAFİK ÇİZİMİ. Simetri ve Asimtot Bir Fonksiyonun Grafiği

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR İÇİNDEKİLER HEDEFLER GRAFİK ÇİZİMİ. Simetri ve Asimtot Bir Fonksiyonun Grafiği HEDEFLER İÇİNDEKİLER GRAFİK ÇİZİMİ Simetri ve Asimtot Bir Fonksionun Grafiği MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR Bu ünitei çalıştıktan sonra; Fonksionun simetrik olup olmadığını belirleebilecek, Fonksionun

Detaylı

fleklinde okuruz. Pay paydas ndan büyük veya eflit olan kesirlere bileflik kesirler denir.

fleklinde okuruz. Pay paydas ndan büyük veya eflit olan kesirlere bileflik kesirler denir. Kesirler MATEMAT K KES RLER pay kesir çizgisi payda kesri tane tir. Bu kesri beflte iki ya da iki bölü befl fleklinde okuruz. kesrinde, bütünün ayr ld parça say s n gösterir. Yani paydad r. ise al nan

Detaylı

TEKNİK RESİM. Ders Notları: Mehmet Çevik Dokuz Eylül Üniversitesi. Görünüşler - 1

TEKNİK RESİM. Ders Notları: Mehmet Çevik Dokuz Eylül Üniversitesi. Görünüşler - 1 TEKNİK RESİM 2010 Ders Notları: Mehmet Çevik Dokuz Eylül Üniversitesi 2/25 Görünüşler Birinci İzdüşüm Metodu Üçüncüİzdüşüm Metodu İzdüşüm Sembolü Görünüşlerin Çizilmesi Görünüş Çıkarma Kuralları Tek Görünüşle

Detaylı

CO RAFYA. DÜNYA NIN fiekl N N VE HAREKETLER N N SONUÇLARI ÖRNEK 1 :

CO RAFYA. DÜNYA NIN fiekl N N VE HAREKETLER N N SONUÇLARI ÖRNEK 1 : CO RAFYA DÜNYA NIN fiekl N N VE HAREKETLER N N SONUÇLARI ÖRNEK 1 : K rk nc paralel üzerindeki bir noktan n hangi yar mkürede yer ald afla dakilerin hangisine bak larak saptanamaz? A) Gece-gündüz süresinin

Detaylı

ÜNİTE 5 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI

ÜNİTE 5 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI ÜNİTE 5 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI 1 Rassal Değişken Bir deney ya da gözlemin şansa bağlı sonucu bir değişkenin aldığı değer olarak düşünülürse, olasılık ve istatistikte böyle bir

Detaylı

K MYA GAZLAR. ÖRNEK 2: Kapal bir cam kapta eflit mol say s nda SO ve NO gaz kar fl m vard r. Bu kar fl mda, sabit s - cakl kta,

K MYA GAZLAR. ÖRNEK 2: Kapal bir cam kapta eflit mol say s nda SO ve NO gaz kar fl m vard r. Bu kar fl mda, sabit s - cakl kta, K MYA GAZLAR ÖRNEK 1 : deal davran fltaki X H ve YO gazlar ndan oluflan bir kar fl m, 4,8 mol H ve 1,8 mol O atomu 4 8 içermektedir. Bu kar fl m n, 0 C ve 1 atm deki yo unlu u,0 g/l oldu una göre, kütlesi

Detaylı

Mak-204. Üretim Yöntemleri II. Vida ve Genel Özellikleri Kılavuz Çekme Pafta Çekme Rayba Çekme

Mak-204. Üretim Yöntemleri II. Vida ve Genel Özellikleri Kılavuz Çekme Pafta Çekme Rayba Çekme Mak-204 Üretim Yöntemleri II Vida ve Genel Özellikleri Kılavuz Çekme Pafta Çekme Rayba Çekme Kubilay ASLANTAŞ Afyon Kocatepe Üniversitesi Teknik Eğitim Fakültesi Makine Eğt. Bölümü Üretim Yöntemleri 1

Detaylı

T.C. TURGUT ÖZAL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

T.C. TURGUT ÖZAL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ T.C. TURGUT ÖZAL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ 3 NOKTA EĞME DENEY FÖYÜ (TEK EKSENLİ EĞİLME DENEYİ) ÖĞRETİM ÜYESİ YRD.DOÇ.DR. AHMET TEMÜGAN DERS ASİSTANI ARŞ.GÖR. FATİH KAYA

Detaylı

Topolojik Uzay. Kapak Konusu: Topoloji

Topolojik Uzay. Kapak Konusu: Topoloji Kapak Konusu: Topoloji Topolojik Uzay Geçen yaz da nin, ad na aç k dedi imiz baz altkümelerini tan mlad k ve bir fonksiyonun süreklili ini tamamen aç k kümeler yard m yla (hiç ve kullanmadan) ifade ettik.

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması www.mustafaagci.com.tr, 11 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, agcimustafa@ahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması B ir doğru kaç noktasıla bellidi? İki, değil mi Çünkü tek bir noktadan geçen istediğimiz kadar

Detaylı

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir

Detaylı

4. HAFTA OLASILIK VE STAT ST K. Olas Durumlar Belirleme. n aç klar ve hesaplar. 2. Permütasyon ve kombinasyon. aras ndaki fark aç klar.

4. HAFTA OLASILIK VE STAT ST K. Olas Durumlar Belirleme. n aç klar ve hesaplar. 2. Permütasyon ve kombinasyon. aras ndaki fark aç klar. 259 E K İ M L Ü L Y E Y 2. HFT 1. HFT 5. HFT. HFT 3. HFT HFT 2 ST LNI OLSILIK VE STT ST K OLSILIK VE STT ST K OLSILIK VE STT ST K SYILR SYILR... LKÖ RET M OKULU MTEMT K...8... SINIF ÜN TELEND R LM fi YILLIK

Detaylı

Geometride iki nokta aras ndaki en k sa yolu

Geometride iki nokta aras ndaki en k sa yolu Küreselleflen Geometri 2. stanbul - New York Uçuflu Tosun Terio lu* tosun@sabanciuniv.edu.tr Matematik Dünas, 2004 K fl Geometride iki nokta aras ndaki en k sa olu veren e riler jeodeik ad verilen e riler

Detaylı

GAZLAR ÖRNEK 16: ÖRNEK 17: X (g) Y (g) Z (g)

GAZLAR ÖRNEK 16: ÖRNEK 17: X (g) Y (g) Z (g) ÖRNEK 16: ÖRNEK 17: X (g) Y (g) Z (g) Sürtünmesiz piston H (g) He Yukar daki üç özdefl elastik balon ayn koflullarda bulunmaktad r. Balonlar n hacimleri eflit oldu una göre;. Gazlar n özkütleleri. Gazlar

Detaylı

Konu 4 Tüketici Davranışları Teorisi

Konu 4 Tüketici Davranışları Teorisi Konu 4 Tüketici Davranışları Teorisi Hadi Yektaş Zirve Üniversitesi İşletme Yüksek Lisans Programı Güz 2012 1 / 93 Hadi Yektaş Tüketici Davranışları Teorisi İçerik 1 2 Kayıtsızlık Eğrisi Analizi Tüketici

Detaylı

MATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER

MATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER ÜN TE II KÜMELER 1. TANIM 2. KÜMELER N GÖSTER M a) Liste yöntemi ile gösterimi b) Venn flemas ile gösterimi c) Ortak özelik yöntemi ile gösterimi 3. KÜMELER N KARfiILAfiTIRILMASI a) Kümenin elaman say

Detaylı

CO RAFYA KONUM. ÖRNEK 2 : Afla daki haritada, Rize ile Bingöl il merkezlerinin yak n ndan geçen boylam gösterilmifltir.

CO RAFYA KONUM. ÖRNEK 2 : Afla daki haritada, Rize ile Bingöl il merkezlerinin yak n ndan geçen boylam gösterilmifltir. CO RAFYA KONUM ÖRNEK 1 : Aralar nda 1 lik fark bulunan iki paralel aras ndaki uzakl k de iflmezken, aralar nda 1 lik fark, bulunan iki meridyen aras ndaki uzakl k Ekvator dan kutuplara gidildikçe azalmaktad

Detaylı

Fizik ve Ölçme. Fizik deneysel gözlemler ve nicel ölçümlere dayanır

Fizik ve Ölçme. Fizik deneysel gözlemler ve nicel ölçümlere dayanır Fizik ve Ölçme Fizik deneysel gözlemler ve nicel ölçümlere dayanır Fizik kanunları temel büyüklükler(nicelikler) cinsinden ifade edilir. Mekanikte üç temel büyüklük vardır; bunlar uzunluk(l), zaman(t)

Detaylı

SU DALGALARI. 6. I ve II engelleri aras ndaki aç 60 dir. I. KL do rusal dalga I ve II engellerinde flekildeki gibi yans r.

SU DALGALARI. 6. I ve II engelleri aras ndaki aç 60 dir. I. KL do rusal dalga I ve II engellerinde flekildeki gibi yans r. SU DAGAAR MDE SRU DE SRUARN ÇÖZÜMER 4 70 70 40 40 70 do rusal dalga ve engellerinde flekildeki gibi yans r do rusal dalgan n k sm engelinden, k sm ise engelinden flekildeki gibi yans r do rusal dalga ve

Detaylı

TEST Lambalar özdefl oldu- 6. K ve L anahtarlar LAMBALAR. ε ε ε. K anahtar aç k iken lambalar n uçlar aras ndaki gerilimler:

TEST Lambalar özdefl oldu- 6. K ve L anahtarlar LAMBALAR. ε ε ε. K anahtar aç k iken lambalar n uçlar aras ndaki gerilimler: AAA ES -. 4. anahtar aç k iken lambalar n uçlar aras ndaki gerilimler: anahtar kapal iken lambalar n uçlar aras ndaki gerilimler: 0 Sö ner Artar De fl i mez I II aln z anahtar kapat l rsa ve lambalar söner.

Detaylı

1. Yukar daki çubuk makarna afla dakilerden hangisinin modelidir? Yukar daki rakamlardan kaç tanesinde dikey do ru modeli vard r?

1. Yukar daki çubuk makarna afla dakilerden hangisinin modelidir? Yukar daki rakamlardan kaç tanesinde dikey do ru modeli vard r? Ad : Soyad : S n f : Nu. : Okulu : 1. Yukar daki çubuk makarna afla dakilerden hangisinin modelidir? Do ru Düzlem Nokta 5. MATEMAT K TEST 19 Ifl n Do ru Do ru parças 2. Afla daki hangi do runun çizgi modeli

Detaylı

7. f(x) = 2sinx cos2x fonksiyonunun. π x 3 2 A) y = 9. f(x) = 1 2 x2 3x + 4 eğrisinin hangi noktadaki teğetinin D) ( 10 3, 4 9 ) E) ( 2 3, 56

7. f(x) = 2sinx cos2x fonksiyonunun. π x 3 2 A) y = 9. f(x) = 1 2 x2 3x + 4 eğrisinin hangi noktadaki teğetinin D) ( 10 3, 4 9 ) E) ( 2 3, 56 , 006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir@ahoo.com.tr Türev TEST I 7. f() = sin cos fonksionunun. f()= sin( + )cos( ) için f'() nin eşiti nedir? A) B) C) 0 D) E) için erel minimum değeri nedir? A) B)

Detaylı

sözel geometri soruları

sözel geometri soruları YAYINLARI sözel geometri soruları LYS Konu Testi: 01 1. Bir üçgenin bir iç aç s n n ölçüsü di er iki iç aç s n n ölçüleri toplam na eflittir. Bu üçgen için afla dakilerden hangisi kesinlikle do rudur?

Detaylı

BĐSĐKLET FREN SĐSTEMĐNDE KABLO BAĞLANTI AÇISININ MEKANĐK VERĐME ETKĐSĐNĐN ĐNCELENMESĐ

BĐSĐKLET FREN SĐSTEMĐNDE KABLO BAĞLANTI AÇISININ MEKANĐK VERĐME ETKĐSĐNĐN ĐNCELENMESĐ tasarım BĐSĐKLET FREN SĐSTEMĐNDE KABLO BAĞLANTI AÇISININ MEKANĐK VERĐME ETKĐSĐNĐN ĐNCELENMESĐ Nihat GEMALMAYAN Y. Doç. Dr., Gazi Üniversitesi, Makina Mühendisliği Bölümü Hüseyin ĐNCEÇAM Gazi Üniversitesi,

Detaylı

Ç NDEK LER. Bölüm 4: Üslü Say lar...44 Üslü fadeler...44 Al t rmalar...47 Test Sorular...49

Ç NDEK LER. Bölüm 4: Üslü Say lar...44 Üslü fadeler...44 Al t rmalar...47 Test Sorular...49 Ç NDEK LER Bölüm1: Say Sistemleri...1 Say Sistemi...2 Desimal (Onluk) Say Sistemi...2 Say Basamaklar ve Taban...4 Binary ( kilik) Say Sistemi...4 Oktal (Sekizlik) Say Sistemi...7 Heksadesimal (Onalt l

Detaylı

DERS 1. ki De i kenli Do rusal Denklem Sistemleri ve Matrisler

DERS 1. ki De i kenli Do rusal Denklem Sistemleri ve Matrisler DERS ki De i kenli Do rusal Denklem Sistemleri ve Matrisler.. Do rusal Denklem Sistemleri. Günlük a amda a a dakine benzer pek çok problemle kar la r z. Problem. Manavdan al veri eden bir mü teri, kg armut

Detaylı

Elektrik ve Manyetizma

Elektrik ve Manyetizma 9 Elektrik ve anyetizma ODE SOU DE SOUI ÇÖÜE. letkenin kesitinden geçen yük miktar, q n.e 5.0 9.,6.0-9 8 C olur. Bu durumda oluflan ak m, I q 8 ` t 8 olur.. S kesitinden saniyede geçen yük miktar, ( )

Detaylı

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLAIM FÖYÜ DERSHANELERÝ Konu Ders Adý Bölüm Sýnav DAF No. MAEMAÝK - II PARABL - II MF M LYS1 10 Ders anlatým föleri öðrenci tarafýndan dersten sonra tekrar çalýþýlmalýdýr.

Detaylı

TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI.

TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI. TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI Birinci Bölüm Soru Kitapçığı Türü DENEME-7 Bu sınav iki bölümden

Detaylı

2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir?

2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir? MC www.matematikclub.com, 006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir3@ahoo.com.tr. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler- TEST I A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 1. 1/ = 0 denkleminin köklerinin toplamı aşağıdakilerden

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

FOTOGRAMETRİK DEĞERLENDİRME - ÇİFT FOT. DEĞ. Analog ve Analitik Stereodeğerlendirme. Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ

FOTOGRAMETRİK DEĞERLENDİRME - ÇİFT FOT. DEĞ. Analog ve Analitik Stereodeğerlendirme. Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ FOTOGRAMETRİ II FOTOGRAMETRİK DEĞERLENDİRME - ÇİFT FOT. DEĞ. Analog ve Analitik Stereodeğerlendirme BEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ GEOMATİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JDF336 FOTOGRAMETRİ II DERSi NOTLARI http://geomatik.beun.edu.tr/marangoz/

Detaylı

Çözüm: Örnek: 3. BÖLÜM TEST - 1. 4x 3 +3y 2 2x 4y=9 eğrisinin (1, 1) noktasındaki teğetinin denklemi nedir?

Çözüm: Örnek: 3. BÖLÜM TEST - 1. 4x 3 +3y 2 2x 4y=9 eğrisinin (1, 1) noktasındaki teğetinin denklemi nedir? . BÖLÜM TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU TEST TEST - 4 + 4=9 eğrisinin (, ) noktasındaki teğetinin denklemi nedir?. f()=( ). ( 5) fonksionun =4 noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır? A) 4 B) C) D) E) 6. fonksionun.

Detaylı

6. x ve y birer tam sayıdır. 7. a, b, c doğal sayılar olmak üzere, 8. a, b, c doğal sayılar olmak üzere, 9. x, y ve z birer tam sayı olmak üzere,

6. x ve y birer tam sayıdır. 7. a, b, c doğal sayılar olmak üzere, 8. a, b, c doğal sayılar olmak üzere, 9. x, y ve z birer tam sayı olmak üzere, İ l a s gün e ş & i l a s g ü n e ş İ l a s gün e ş & i l a s g ü n e ş İ l a s gün e ş & i l a s g ü n e ş İ l a s gün e ş & i l a s g ü n e ş İ l a s gün e ş & i l a s g ü n e ş İ l a s gün e ş & i l

Detaylı