Geometri bilgisi zayıf olanlara, Sorularda görme problemi yaşayanlara, Geometri öğrenmeye yeni karar verenler için...

Transkript

1 Geometri bilgisi zayıf olanlara, larda görme problemi yaşayanlara, Geometri öğrenmeye yeni karar verenler için... ANTRENMANLARLA GEOMETRİ Birinci Kitap Halil İbrahim KÜÇÜKKAYA Aziz YILDIRIM Ahmet KARAKOÇ

2 Bu kitabın tamamı veya bir kısmının, yazarının önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi veya herhangi bir kayıt sistemi ile çoğaltılması, yayımlanması ve depolanması yasaktır. Buna uymayanlar kitabın hazırlanmasındaki mali külfeti ve tüm cezai müeyyideleri kabullenmiş ve kul hakkına girmiş olurlar. ISBN: ANTRENMAN YAYINCILIK Sertifika No : Antrenmanlarla GEOMETRİ şipariş için Tel: (0505) (0530) e mail: antrenmanlarmatematik@gmail.com Temmuz 2016 İstanbul Baskı Cilt Neşe Matbaacılık Sertifika No : 22861

3 Başlarken, Birazdan yeni bir geometri yolculuğuna başlayacaksınız. Bu yolculukta size lâzım olacak olan en önemli şeyler; kararlılık, sabır ve öğrenme isteği. Bunlara sahipseniz yola çıkabilirsiniz. Değilseniz... Üzgünüm!.. Size şunu rahatlıkla söyleyebilirim ki; Bu kitabı bitirdikten sonra soruya baktığınızda çözümü siz de rahatlıkla görebileceksiniz. (Sınavda gelebilecek olanlarını tabii ki. Yoksa acayip baba sorular var geo.da) Daha önce geometri öğrenmeye kalkıp kalkmadığınızı bilmiyorum. Ama şunu diyebilirim ki daha önceki geometri öğrenme girişimlerinizin sonuçsuz kalmış olması bu dersi yapamayacağınız anlamına gelmiyor kesinlikle. Eğer, nun çözümüne nereden başlıyacağınızı bilmi yorsanız, Bütün formülleri biliyor ama soruları yine de çözemiyorsanız, larda ne zaman yardımcı çizgi çizmeniz gerektiğini bilmiyorsanız, Hatta bu dersi asla yapamam diye düşünüyorsanız bile artık bunlar sizin için sıkıntı olmayacak. Ve bütün bunlar geride kalacak.yeter ki ilk adımı doğru atın. Geometri çalışırken ilk adım Açı Bilgisi, Üçgen ve elemanlarını çok iyi tanımak olmalı. Eğer bunları sorunsuz hallederseniz gerisi o kadar kolay gelecek ki size... Neyse... Artık siz de geometriyi öğrenme zamanınızın geldiğine inanıyorsanız buyurun. Bu arada şunu da aklınızdan çıkarmayın.bu derse gerektiği gibi çalışıp da yapamayan öğrenci yok. Yeter ki ortalama bir zekâya sahip olun.buna da sahip olduğunuza göre... Yalnııız... Sabırsız olduğu için başaramayan çok. Yeter ki sabırla çalışmaya devam edin. Kesinlikle başaracaksınız. Ve işte şimdi bunun zamanı Halil İbrahim KÜÇÜKKAYA Halil İbrahim KÜÇÜKKAYA

4 DAYAMIŞLAR MATEMATİĞU AYİPTUR YAW! Trabzonlu Temel in sevgili torunu Eda ya verilen ödev ile başı derttedir İstanbul a göç eden arkadaşı Niyazi ye başına gelenleri yazar. Niyazicuğum. Hani benum kücuk torun var ya. Geçen akşam, geturdi odevini önume koydi. Bi yandan da ağlay. Zaten dertlerini hep bağa açar. Dedi ki; - Habunlari anliyamadum. Yarin oğretmen beni dövecek. Dedum ki; Ağlama uşağum. Bunun içun oğretmen uşak dövmez. Şimdi oni çözeruk. Ama ne mumkün Niyazi kardaşum.: Bi trenlan bi otobus ayni istasyondan kalkmişlar. Tren otobustan üçte bir daha hızli gidiy. Otobus iki yerde onbeşer dakka istirahat vermiş. Tiren da bi yerde durmiş, 20 dakka su almiş. Otobus saatte 60 kilometre gidiymiş. Tiren 5 saat sonra gideceği yere varmiş. Otobus ise ne vakit sonra oriye varacakmiş. Oğraştum yapamadum. Uşak da bi yandan ağlay. Derken bobasi geldi. O da oğraşti çözemedi. Dedum oğa ki; damat senun taniduğun tahsilli bi otobos şofori var ise oğa soralum. Belki o bilebilur. Yahutta sabah olsun da be uşaği şoforler cemiyetine götureyum. Onlar arasında belki tirenlan yariş etmiş bi şofor vardur da bize nasihat verur. Ha! Bu arada biz bi yandan da uşağa tireni tarif ediyruk. Tiren görmemiş ki Ne anasi görmiş, ne bobasi. Ben da bi tek askerlukde Erzurum dan Sivas a gittiydum. Neysa kardaşum, o gece çok kizdum. Diyeceksun ki niye? La Uşak daha incir ağacinlan duti ayiramay; mezgiti gösteriyrum, hamsi diy, yumurtanun fabrikada yapilduğuni sanay. Biz gelduk araba yariştiriyruk. Ula, oriye otobos saatinde gitsa ne olur, geç gitsa ne olur? Gurbetten yolci mi bekliysun? Eğer varacaği saat onemliysa, edersun yazihaniye bi telefon, derler sağa otobosun ineceğu zamani. Habu kadarluk mesele içun sabiyi subyani niye telef edersunuz? La Uşaklarda şarki yok, türki yok, oyun yok; DAYAMİŞLAR MATEMATİĞU. AYİPTUR YAW!...

5 Birinci Kitapta Neler Var? 1. Açı Bilgisi Üçgende Açılar Dik Üçgen İkizkenar Üçgen Eşkenar Üçgen Üçgende Alan Üçgende Açıortay Üçgende Kenarortay Üçgende Benzerlik Üçgende Açı - Kenar Bağıntıları

6 Matematikte zekâdan önce sabır gelir. Cahit Arf

7 En uzun yolculuklara bile küçük bir adımla başlanır. 1. bölüm Açı Bilgisi

8 Yapabileceğini düşünen yapabilir, yapamayacağını düşünen yapamaz. Bu değişmez ve tartışılmaz bir kuraldır. Pablo Picasso En yükseğe erişmek isterseniz, en aşağıdan başlayın. S.Pyrus

9 1. Bölüm Açı Bilgisi 1. Antrenman AÇI BİLGİSİ 1. = Açıortay Muhabbeti J AéBC ile DéBC açılarının açıortayları arasındaki açı kaç derecedir? A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40 Adı üstünde. Açıyı ortalayan, yani açının ortasından çizilen şey. Mesela üstteki şekilde [BD, açıortaydır. AéBC açısını iki eşit parçaya bölüyor. 2 ye bölme probleminiz yoksa sıkıntı yaşamazsınız bunda J Bir de açı ölçüleri aynı ise soruda bu açılar aynı şekilde gösteriliyor. Mesela üstte dir. 2. D C A B AéBD ile DéBC açılarının açıortayları arasındaki açı kaç derecedir? A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80 AéBC ile CéBD açılarının açıortayları arasındaki açı kaç derecedir? Bunu ben çözeyim. 40 lik ve 50 lik açıları ikiye bölecek şekilde ortalarından bir çizgi (yani açıortaylarını) çizin. Gerisi kolay. 3. A C İstenen KéBL dir. 100 B 30 D O da = 45 dir AéBC ile DéBC açılarının açıortayları arasındaki açı kaç derecedir? A) 45 B) 50 C) 55 D) 60 E) 65 9

10 1. Antrenman 1. Bölüm Açı Bilgisi 4. AéBC ile CéBD açılarının açıortayları arasındaki açı kaç derecedir? A) 60 B) 70 C) 80 D) 90 E) 100 AéBD ile CéBD açılarının açıortayları arasındaki açı kaç derecedir? Aklınızda olsun. yerine kullanılır. A C Yani 90 yazılmaz. Şekli görünce anlamanız lazım. J B D m(aébd)= = 120 olur. 5. Kırmızı ile çizdiğim çizgi AéBD 120 yi ikiye böler. nin açıortayıdır yani CéBD nin açıortayı ise yeşil ile çizdiğimdir ve 40 yi ikiye böler. AéBD ile DéBC açılarının açıortayları arasındaki açı kaç derecedir? A) 45 B) 80 C) 55 D) 60 E) 65 Açıortaylar arasındakı açı ise kırmızı ve yeşil çizgiler arasındaki açıdır.yani = 40 olur. Aslında işiniz çok kolay. Yeter ki hangi açının açıortayını çizmeniz gerekiyor ona dikkat edin, sonrada çizdiğiniz açıortaylar arasındaki açıyı toplayın 6. A D 7. D C 20 B C A B AéBD ile DéBC açılarının açıortayları arasındaki açı kaç derecedir? A) 35 B) 40 C) 50 D) 55 E) 65 AéBC ile AéBD açılarının açıortayları arasındaki açı kaç derecedir? A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30 1-E 2-D 3-E 4-D 5-C 6-E 7-B 10

11 1. Bölüm Açı Bilgisi 2. Antrenman 1. = AéBD ile AéBC açılarının açıortayları arasındaki açı kaç derecedir? A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50 Yukarıdaki şekilde a + b = 180 dir. Yani, düz çizgi 180 dir. İki, üç veya dört parçaya ayrılması bir şey değiştirmez. Parçaların toplamı 180 olur yine. Var mı bi problem? 2. A B C D AéBC ile AéBD açılarının açıortayları arasındaki açı kaç derecedir? A) 60 B) 50 C) 40 D) 30 E) 20 A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) AéBD ile AéBC açılarının açıortayları arasındaki açı kaç derecedir? A) 25 B) 30 C) 35 D) 40 E) 45 A) 130 B) 120 C) 110 D) 100 E) 90 11

12 2. Antrenman 1. Bölüm Açı Bilgisi 6. m(kébd) =? A) 70 B) 80 C) 85 D) 90 E) 100 Çözüm : K F E 30 a b b a A B C D 7. A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80 Şekildeki gibi ilk önce eşit olan açıları aynı harflerle adlandıralım. AéBC bir doğru oluşturduğundan; 2a + 2b + 30 = 180 buradan da a + b = 75 olur. Size sorulan açı ise m(kébd) = a + b + 30 idi. a + b = 75 burada yerine yazılırsa m(kébd) = a + b + 30 = = 105 bulunur. Geometride hangi konu olursa olsun eğer açı soruluyorsa ve eşit açılar verilmişse mutlaka eşit açılar harflendirilir.sonra o açıların toplamı bazen 90,bazende 360 olur.gerisi işlem. 8. F E D 65 y 30 A B C + y =? 9. m(débf) =? A) 90 B) 85 C) 75 D) 70 E) 65 A) 120 B) 110 C) 100 D) 90 E) 80 1-B 2-E 3-A 4-B 5-C 6-D 7-B 8-B 9-D 12

13 1. Bölüm Açı Bilgisi 3. Antrenman m(fébd) =? m(fébd) =? A) 90 B) 85 C) 80 D) 85 E) 70 A) 65 B) 60 C) 55 D) 50 E) m(kébe) =? m(kébd) =? A) 90 B) 80 C) 70 D) 60 E) 50 A) 70 B) 80 C) 90 D) 100 E) m(kébd) = m(kébe) =? A) 65 B) 60 C) 55 D) 50 E) 45 A) 50 B) 55 C) 60 D) 65 E) 70 13

14 3. Antrenman 1. Bölüm Açı Bilgisi = 9. Yukarıdaki şekilde a + b = 90 dir. İsterseniz ölçebilirsiniz de. Hep 90 çıkar. J A) 50 B) 45 C) 40 D) 35 E) m(fébd) =? A) 30 B) 40 C) 45 D) 50 E) b b a a A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60 Yine klasik hareketimizi yaparak şekildeki gibi eşit açıları harflendirelim. B nin solu olduğuna göre sağı da olur. Yani 90 dir. 2a + 2b = 90 a + b = 45 olur. lan açı ise m(fébd) = a + b = 45 bulunur. 1-A 2-E 3-D 4-A 5-B 6-D 7-E 8-C 9-A 14

15 1. Bölüm Açı Bilgisi 4. Antrenman = 1. Yukarıdaki şekilde, a = 360 dir. m(kébd) =? A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 60 Yukarıdaki açıların toplamı 360 dir. Yani, a + b + c + d = 360 dir. 2. m(aébe) =? m(aéoc) =? A) 35 B) 40 C) 45 D) 50 E) 55 b b a a 3. m(fébd) =? A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50 Eşit olan açıları şekildeki gibi harflendirelim.tam açıdan dolayı O noktasının etrafındaki açıların toplamı 360 olduğundan 2a + 2b + 50 = 360 buradan a + b = 155 olur. Bizden de m(aéoc) = a + b soruluyor m(aéoc) = a + b = 155 bulunur. 15

16 4. Antrenman 1. Bölüm Açı Bilgisi 4. m(béod) = 75 m(aéof) =? Saatteki açı sorularında şunu bilin yeter. Yelkovan bir tam tur attığında 360 dönmüş olur. Akrep ise 1 saat ilerler. Yani, 360 yi 12 ye bölersek 30 dönmüş olur. Sonuç olarak akrep her zaman yelkovanın döndüğü açının onikide biri kadar döner. Tabii hangisi akrep hangisi yelkovan bilmiyorsanız üzgünüm. L A) 110 B) 120 C) 130 D) 140 E) Saat 12:30 da akrep ile yelkovan arasındaki açı kaç derecedir? m(déoc) =? A) 70 B) 80 C) 90 D) 100 E) Şöyle düşünelim. Saat 12:00 da akrep ile yelkovan üst üste. Okların renginden takip edin beni.yelkovan 12 den başlayarak 6 nın tam üstüne geldi. Yani, döndü.akrep ise yelkovanın her zaman --- si kadar 12 döndüğünden 180 = 15 akrep in döndüğü açı olur. 12 Aralarındaki açı ise 180 _ 15 = 165 olur y =? A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80 Unutmayın. Saat sorularında çözüme şu şekilde başlarsanız daha rahat edersiniz. Meselâ saat 4:40 da akrep ile yelkovan arasındaki açı soruluyorsa siz olaya saat 4:00 dan başlayın. Yukarıda yaptığım gibi. 1-E 2-E 3-D 4-C 5-B 6-C 16

17 1. Bölüm Açı Bilgisi 5. Antrenman 1. = Tümler açı, Bütünler açı muhabbeti J Bu muhabbet bayılacağınız türden değil. Ama çok da sıkıcı değil.j İçinde birazcık denklem kurma filan olabilir. O kadar. Ölçüleri toplamı 90 olan açılara tümler açı denir. Saat 4:40 da akrep ile yelkovan arasındaki açı kaç derecedir? A) 130 B) 120 C) 110 D) 100 E) 90 Yukarıdaki şekilde + y = 90 dir. Bunu daha önce söyledim. 45 nin tümleyeni = 45 dir. 20 nin tümleyeni = 70 dir. 60 nin tümleyeni = 30 dir. 2. in tümleyeni 90 tir. Genel olarak şunu bilin yeter. in tümleri veya tümleyeni 90 dir nin tümleri kaç derecedir? A) 55 B) 65 C) 75 D) 85 E) 95 Saat 9:30 da akrep ile yelkovan arasındaki açı kaç derecedir? A) 100 B) 105 C) 110 D) 120 E) Tümleri 60 olan açı kaç derecedir? A) 30 B) 45 C) 60 D) 120 E) Saat 14:50 da akrep ile yelkovan arasındaki açı kaç derecedir? A) 125 B) 135 C) 130 D) 145 E) Bir a açısının tümleri nedir? A) 90 B) 90 α C) α 90 D) 2α E) 3α 17

18 5. Antrenman 1. Bölüm Açı Bilgisi Ölçüleri toplamı 50 olan iki açının tümleyenleri toplamı kaç derecedir? yu dikkatli okursanız iki açıdan bahsediliyor. Bu iki açıdan biri diğeri y olsun diyelim. Bu iki açının toplamı + y = 50 olarak verilmiş. lan ise bu iki açının tümleyenleri toplamı. açısını 90 tamamlayan açı (tümleyeni) 90 _ y açısını 90 tamamlayan açı (tümleyeni) 90 _ y dir. Bize de 90 _ + 90 _ y soruluyor. 180 y = 180 _ ( + y) { + y = 50 idi.} = 180 _ 50 = 130 bulunur. Tümler ve bütünler sorularında geometri kısmı çok basit. Ama işlem olayı biraz sizi zorlayabilir. Gerçi denklem kurma ve çözme probleminiz yoksa bu bile kolay aslında. 7. Ölçüleri farkı 40 olan tümler iki açının küçük olanı kaç derecedir? A) 45 B) 40 C) 35 D) 30 E) 25 2 Ölçüleri oranı --- olan tümler iki açının ölçüleri 7 farkı kaç derecedir? da söylenen iki açının biri diğeri y olsun. Bu 2 açıların oranı = olarak verilmiş. Bir de bu açılara y 7 tümler denilmiş yani + y = 90 dir. --- = ise = 2k, y = 7k olarak yazılır. y 7 {Buda nerden çıktı demeyin bu hareketleri matematikte zaten öğrenmiştiniz.} + y = 90 den 2k + 7k = 90 9k = 90 k = 10 bulunur. k = 10 yerine yazılırsa = 2k = 2.10 = 20 ve y = 7k = 7.10 = 70 olur. farkları _ y = 70 _ 20 = 50 bulunur. 10. Ölçüleri oranı olan tümler iki açıdan büyük olanı kaç derecedir? A) 50 B) 55 C) 60 D) 65 E) Ölçüleri toplamı 70 olan iki açının tümleyenleri toplamı kaç derecedir? A) 100 B) 105 C) 110 D) 125 E) Ölçüleri oranı olan tümler iki açının tümleyenleri oranı 4 kaçtır? A) B) C) D) E) Tümler iki açının ölçüleri farkı 50 olduğuna göre bu açılardan büyük olanı kaç derecedir? A) 80 B) 85 C) 70 D) 65 E) Toplamları 60 olan iki açının tümleyenleri oranı ise büyük olanı kaç derecedir? 2 A) 50 B) 45 C) 40 D) 35 E) 30 1-D 2-B 3-D 4-C 5-A 6-B 7-E 8-C 9-C 10-A 11-D 12-A 18

19 1. Bölüm Açı Bilgisi 6. Antrenman = Bütünler açı ne demektir? Biri diğerinin 2 katından 15 fazla olan tümler iki açıdan büyük olanı kaç derecedir? Ölçüleri toplamı 180 dan açılara bütünler açı denir. Tümler iki açıdan biri diğeri y ise bunların toplamı 90 dir. Yani, + y = 90 dir. Bu açılardan biri () diğerinin (y) 2 katından 15 fazla ise bu ifadeyi = 2y + 15 şeklinde denklem haline getirebiliriz. Gerisi işlem. Yapalım. + y = 90 eşitliğinde = 2y + 15 yerine yazılırsa 2y y = 90 den 3y = 75 ve y = 25 bulunur. Daha sonra + y = 90 eşitliğinde y = 25 yerine yazılırsa + 25 = 90 den = 65 çıkar. Büyük olanı da zaten. Yukarıdaki şekilde + y =180 dir. Hatırlayacaksınız. Daha önce bahsetmiştik zaten. 40 nin bütünleyeni = nin bütünleyeni = nin bütünleyeni = 60 dir. in bütünleyeni 180 tir. Genel olarak açı belli değilse açıyı olarak alın ve bütünleyenini de 180 olarak yazın. Bütünler iki açı demişse ve açı maçı yoksa soruda birine diğerine 180 diyerek öyle çözmeye başlayın. Gerisi gelir. 1. Tümler iki açıdan biri diğerinin 3 katına eşit ise küçük açı kaç derecedir? A) 15 B) 22,5 C) 30 D) 45 E) nin bütünleri kaç derecedir? A) 60 B) 80 C) 90 D) 100 E) Tümler iki açıdan biri diğerinin 3 katından 30 eksik ise bu açılardan küçük olanı kaç derecedir? A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) Bütünleri 135 olan açı kaç derecedir? A) 45 B) 55 C) 105 D) 125 E) Biri diğerinin 3 katından 18 fazla olan tümler iki açıdan büyük olanı kaç derecedir? A) 72 B) 68 C) 60 D) 56 E) Bir α açısının bütünleri nedir? A) 90 + α B) 90 α C) α D) 180 α E) α 90 19

20 6. Antrenman 1. Bölüm Açı Bilgisi Ölçüleri toplamı 110 olan iki açının bütünleyenleri toplamı kaç derecedir? İki açının biri diğeri y olsun. + y = 110 olduğu soruda verilmiş zaten. Bu iki açının bütünleyenleri ise in bütünleyeni 180 _ y nin bütünleyeni 180 _ y dir.bütünleyenleri toplamı ise 180 _ _ y = 360 _ ( + y) = 360 _ 110 = 250 bulunur. da da zaten istenen de bu idi. Ölçüleri oranı olan bütünler iki açının ölçüleri 11 farkı kaç derecedir? Her zamanki klasik hareketi yapın. Açılardan biri diğeri y olsun diyelim. Bu iki açı bütünler olduğundan + y = 180 dir. Bunda problem yok di mi? Oranları da --- y = verilmiş. Buradan = 7k, y = 11k diyebilirsiniz. Sonrası kolay. + y = 180 den 7k + 11k = 180 Buradan da 18k = 180 ve k = 10 bulunur. = 7k = 7.10 = 70 ve y = 11k = = 110 _ y = 110 _ 70 = 40 bulunur. 7. Ölçüleri farkı 80 olan bütünler iki açıdan büyük olanı kaç derecedir? A) 110 B)120 C) 130 D) 140 E) Ölçüleri oranı olan bütünler iki açıdan küçük 5 olanı kaç derecedir? A) 50 B) 60 C) 65 D) 70 E) Bütünler iki açının ölçüleri farkı 50 ise küçük olanı kaç derecedir? A) 70 B) 65 C) 60 D) 55 E) Ölçüleri oranı olan bütünler iki açının ölçüleri 13 farkı kaç derecedir? A) 50 B) 70 C) 80 D) 90 E) B 2-D 3-A 4-E 5-A 6-D 7-C 8-B 9-E 10-C 20

21 1. Bölüm Açı Bilgisi 7. Antrenman Bütünler iki açıdan birinin ölçüsü diğerinin ölçüsünün 2 katından 30 fazla ise bu açılardan küçük olanı kaç derecedir? nin bütünleri ile tümleri arasındaki fark kaç derecedir? A) 90 B) 75 C) 60 D) 45 E) 30 İki açının biri diğeri y olsun. Bu açılar bütünler oldularından + y = 180 dir. Ve biri () diğerinin (y) 2 katından 30 fazla imiş. Bu ifadeyi = 2y + 30 şeklinde yazabilirsiniz. Buradaki = 2y + 30 alıp yukarıdaki + y = 180 eşitliğinde yerine yazalım. 2y y = 180 den 3y = 150 ve y = 50 olur. + y = 180 eşitliğinden y = 50 yerine yazılınca da + 50 = 180 den = 130 bulunur nin tümleri ile bütünleri oranı kaçtır? A) B) C) D) E) Birinin ölçüsü diğerinin ölçüsünün 5 katına eşit olan bütünler iki açıdan büyük olanı kaç derecedir? A) 155 B) 150 C) 145 D) 135 E) Bütünler iki açıdan birinin ölçüsü diğerinin ölçüsünün 3 katından 20 eksik ise bu açılardan büyük olanı kaç derecedir? A) 110 B) 120 C) 130 D) 140 E) Bir açının tümleri ile bütünleri toplamı 210 olduğuna göre, bu açı kaç derecedir? A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) nin tümleri ile bütünleri toplamı kaç derecedir? A) 150 B) 180 C) 200 D) 210 E) Ölçüleri toplamı 130 olan iki açıdan birinin tümleri ile diğerinin bütünleri toplamı kaç derecedir? A) 100 B) 110 C) 120 D) 130 E)

22 7. Antrenman 1. Bölüm Açı Bilgisi 8. Bir açının tümleri ile bütünleri oranı ise bu açı 3 kaç derecedir? A) 35 B) 45 C) 55 D) 65 E) 75 Aslında şunu bilirseniz aşağıdaki soruları daha kolay çözersiniz. Bir açının bütünleri ile tümleri farkı 90 dir. Bu her daim 90 dir ve siz yanlış çözseniz de değişmez. 12. Bir açının bütünleri ile tümleri arasındaki fark kaç derecedir? A) 60 B) 70 C) 80 D) 85 E) Ölçüleri oranı --- olan tümler iki açının bütünleyenleri oranı 7 kaçtır? A) B) C) D) E) Tümlerinin bütünlerine oranı --- olan açı kaç derecedir? 5 A) 22 B) 24 C) 26 D) 28 E) Bir açının bütünleri, tümlerinin ölçüsünün 2 katından 50 fazla ise bu açı kaç derecedir? A) 50 B) 55 C) 60 D) 65 E) Bir açının tümlerinin bütünlerine oranı --- ise bu 13 açının ölçüsü kaç derecedir? A) 30 B) 40 C) 50 D) 60 E) Bir açının bütünleyeninin ölçüsü tümleyeninin ölçüsünün 4 katına eşit ise bu açı kaç derecedir? A) 45 B) 50 C) 55 D) 60 E) Bir açının bütünlerinin tümlerine oranı ise bu açının ölçüsü kaç derecedir? A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30 1-B 2-C 3-D 4-A 5-C 6-C 7-E 8-B 9-A 10-A 11-D 12-E 13-E 14-C 15-A 22

23 1. Bölüm Açı Bilgisi 8. Antrenman = Paralel iki doğruyu kesen doğrunun oluşturduğu açılar. 3. Çok basit. Ama önemli. Onun için bu konuda pratikleşirseniz fena olmaz. d 1 // d 2 y =? d 1 // d 2 A) 45 B) 55 C) 65 D) 75 E) 85 Aynı yöne bakan açılar yöndeş açılardır. Bu açılar birbirine eşittir. Yani, = a ve y = b dir d 1 // d 2 d 1 // d 2 A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50 A) 30 B) 40 C) 80 D) 140 E) d 1 // d 2 d 1 // d 2 + y =? A) 30 B) 60 C) 90 D) 120 E) 150 A) 35 B) 40 C) 45 D) 60 E) 70 23

24 8. Antrenman 1. Bölüm Açı Bilgisi 6. A B K d 1 // d 2 F C E D L A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60 Biliyorum. Şekildeki harfler soruda yok. Ama daha iyi anlatayım diye ben yazdım. da d 1 ile d 2 paralel verilmiş. Dolayısıyla m(aébc) ile m(fécb) açıları aynı yöne baktığından yöndeş açılardır. Ve dolayısıyla da m(aébc) = m(fécb) = 130 olur. Ayrıca d 2 ile d 3 te paralel olduğundan m(eédl) ile 7. m(fécd) açıları da yöndeştir. Dolayısıyla m(eédl) = m(fécd) = 120 dir. Şunu da görünce iş bitiyor. d 1 // d 2 C noktasının etrafındaki açıların toplamı 360 olduğundan a = a = 360 a = 110 bulunur. A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) d 1 // d 2 d 1 // d 2 // d A) 70 B) 80 C) 90 D) 100 E) B 2-E 3-D 4-A 5-E 6-A 7-D 8-A 24

25 1. Bölüm Açı Bilgisi 9. Antrenman = Birbirini kesen iki doğrunun oluşturduğu açılar. Şunu bilin yeter J 3. Makasın kolları arasındaki açılar karşılıklı olarak birbirine eşittir. A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80 Yukarıdaki makasta = y ve a = b dir A) 20 B) 25 C) 40 D) 45 E) 60 A) 20 B) 30 C) 35 D) 40 E) A) 65 B) 75 C) 105 D) 115 E) 165 A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30 25

26 9. Antrenman 1. Bölüm Açı Bilgisi 6. d 1 // d 2 A) 20 B) 30 C) 35 D) 40 E) 45 A D B C 7. E F K L Kolaylık olsun diye yine harfleri yazalım. da d 1 // d 2 olduğundan yöndeş açıların eşitliğinden m(débc) = m(défk) = 3 _ 10 olur. A) 30 B) 50 C) 60 D) 65 E) 75 Ayrıca m(eéfl) ile m(défk) açıları ters açılar olduğundan m(eéfl) = m(défk) olur. Buradan da = 3 _ 10 eşitliğinden = 40 bulunur d 1 // d 2 + y =? 3+35 A) 45 B) 55 C) 65 D) 75 E) 90 A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50 1-C 2-D 3-D 4-B 5-E 6-A 7-C 8-C 9-C 26

27 1. Bölüm Açı Bilgisi 10. Antrenman = Bildiğiniz bir şey. Ama birer kez daha görün. J 3. d 1 // d 2 d 1 // d 2 A) 10 B) 20 C) 40 D) 60 E) 80 Yukarıdaki farklı Z şekillerinin kolları arasındaki açılar birbirine eşittir d 1 // d 2 d 1 // d 2 A) 20 B) 40 C) 60 D) 70 E) 80 A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) d 1 // d 2 d 1 // d 2 A) 70 B) 100 C) 110 D) 140 E) 150 A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 35 27

28 10. Antrenman 1. Bölüm Açı Bilgisi 6. d 1 // d 2 a A) 45 B) 50 C) 55 D) 60 E) 65 a da d 3 // d 4 olduğundan turuncu renkteki açılar AZİZ in Z sinden dolayı (yani, iç-ters açılardan) birbirine eşittir. Tabi Z biraz yamuk ama onu da görün artık. d 1 // d 2 olduğundan kırmızı yaylarla gösterdiğim açı 7. larda biribirine eşittir. Buradan da a + = a + 30 den = 30 bulunur. d 1 // d 2 y 8. d 1 // d 2 A) 120 B) 110 C) 100 D) 105 E) 95 d 3 // d 4 A) 30 B) 40 C) 45 D) 50 E) d 1 // d 2 d 3 // d 4 d 1 // d 2 d 3 // d 4 A) 50 B) 40 C) 30 D) 20 E) 10 1-B 2-C 3-B 4-C 5-C 6-E 7-B 8-D 9-B 28

29 1. Bölüm Açı Bilgisi 11. Antrenman d 1 // d 2 d 3 // d 4 d 1 // d 2 d 3 // d 4 A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25 A) 20 B) 25 C) 30 D) 40 E) d 1 // d 2 d 3 // d 4 d 1 // d 2 d 3 // d 4 A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40 A) 20 B) 30 C) 40 D) 45 E) d 1 // d 2 d 3 // d 4 α =? d 1 // d 2 d 3 // d 4 y =? A) 25 B) 30 C) 40 D) 45 E) 50 A) 55 B) 50 C) 45 D) 40 E) 35 29

30 11. Antrenman 1. Bölüm Açı Bilgisi = Paralel iki doğru arasında kalan ve birbirine bakan açıların toplamı 180 dir. 9. d 1 // d 2 d 1 // d 2 A) 45 B) 50 C) 55 D) 60 E) 65 Yukarıdaki şekilde + y = 180 ve a + b = 180 dir. Açı sorularında paralel iki doğruyu kesen başka bi doğru varsa büyük bi olasılıkla buna ihtiyacınız olabilir d 1 // d 2 d 1 // d 2 A) 100 B) 120 C) 140 D) 150 E) 160 A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) d 1 // d 2 d 1 // d 2 a + b =? A) 60 B) 50 C) 40 D) 30 E) 20 A) 165 B) 180 C) 195 D) 205 E) D 2-A 3-E 4-D 5-C 6-A 7-C 8-B 9-E 10-A 11-D 30

31 1. Bölüm Açı Bilgisi 12. Antrenman 2. d 1 // d 2 // d 3 d 1 // d 2 // d 3 // d 4 y A) 130 B) 120 C) 110 D) 105 E) 100 a aa 3. Eşit açılara a diyelim. d 1 // d 4 olduğundan a = 180 dir. Bu eşitlikten a = 20 çıkar. d 2 // d 4 olduğundan yeşil yaylardaki açılardan hareketle + 2a = 180 dir. Buradan = 180 ve = 140 çıkar. d 2 // d 4 olduğundan turuncu yaylardaki açılardan hareket ederseniz de y + a = 180 dir. Bu eşitlikten de y + 20 = 180 ve y = 160 çıkar. Bize sorulan ise y _ farkıydı. Bu da y _ = 160 _ 140 = 20 dir. 100 d 1 // d 2 // d 3 A) 110 B) 120 C) 130 D) 140 E) d 1 // d 2 // d 3 // d 4 + y =? d 1 // d 2 20 A) 120 B) 140 C) 150 D) 160 E) 170 A) 230 B) 245 C) 250 D) 265 E)

32 12. Antrenman 1. Bölüm Açı Bilgisi = Sivri Uç Muhabbeti J 6. Sivri uç görünce sivri uçlardan paralel çizmek lazım. d 1 // d 2 A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80 d 1 // d 2 Bu tip sorular uç noktalardan paralel çizilerek çözülür. da C noktası bizim uç noktamız. Buradan d 1 ve d 2 ye paralel olacak şekilde d 3 doğrusu çizelim. 7. d 1 // d 2 A) 10 B) 20 C) 25 D) 30 E) 35 Paralel doğrular arasında kalan açılar toplamı 180 olduğundan, m(bécf) = 60 ve m(déck) = 70 olur. Artık 60 + a + 70 = 180 den a = 50 bulursunuz d 1 // d 2 d 1 // d 2 A) 90 B) 95 C) 100 D) 110 E) 120 A) 45 B) 55 C) 70 D) 80 E) 85 1-D 2-B 3-D 4-C 5-C 6-D 7-B 8-C 32

33 1. Bölüm Açı Bilgisi 13. Antrenman d 1 // d 2 d 1 // d 2 A) 100 B) 105 C) 110 D) 115 E) 120 A) 100 B) 110 C) 120 D) 130 E) d 1 // d 2 d 1 // d 2 A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60 A) 100 B) 105 C) 110 D) 120 E) d 1 // d 2 d 1 // d 2 A) 110 B) 120 C) 130 D) 140 E) 150 A) 110 B) 115 C) 125 D) 130 E)

34 13. Antrenman 1. Bölüm Açı Bilgisi 60 d 1 // d 2 // d d 1 // d 2 F C E d 3 A B K A L F A 115 B D K d 4 D C E 4 Sivri uçlar iki tane de olsa değişen bişey olmaz. Siz de ikisinden paralel çizersiniz olur biter. İki sivri uç olduğundan üstteki sivri uçtan d 3, alttaki sivri uçtan da d 4 paralellerini turuncu renkte çizdim. d 1 // d 3 olduğundan kırmızı açıların toplamı 180 dir. Buradan m(bécf) = 65 olduğunu görün. Turuncu çizgilerle oluşan Z den dolayı m(fécd) = m(cédk) olur. Buradan da = 45 + m(eédk) eşitliğinden m(eédk) = 80 bulunur. Ayrıca d 2 // d 4 olduğundan turuncu açıların toplamı 180 olacağından a + 80 = 180 den a = 100 bulunur. Alttaki sivri uçtan d 4 paralelini çizelim. d 1 // d 4 olduğundan turuncu açıların toplamı 180 olacaktır. Buradan m(décb) = 80 olduğunu görün. Ayrıca d 3 // d 4 olduğundan kırmızı açıların toplamı da 180 olacağından m(aéce) = 40 yi de bulun. Eşit olan açıları ile harflendirelim. A-B-C-E noktalarından oluşan Z den dolayı, 100 = dir. Bu eşitlikten = 30 bulunur. d 2 // d 4 olduğundan a = 180 bu eşitlikte = 30 yerine yazılırsa a = 110 olarak bulunur. 7. d 1 // d 2 8. d 1 A α B C 150 D 100 F E H d 2 d 3 d 1 // d 2 // d 3 A) 15 B) 25 C) 30 D) 35 E) 45 A) 100 B) 110 C) 120 D) 130 E) A 2-D 3-E 4-D 5-C 6-D 7-D 8-D 34

35 1. Bölüm Açı Bilgisi 14. Antrenman = M muhabbeti J 3. d 1 // d 2 Her türlü M harfi için: A) 55 B) 60 C) 65 D) 70 E) 80 d 1 // d 2 Sağa bakan açıların toplamı sola bakan açıların top lamına eşittir. Yani, b = a + c dir. (Tabi sağınızı solunuzu karıştırırsanız bu bile sıkıntı olabilir. ) 4. d 1 // d 2 1. d 1 // d 2 A) 60 B) 65 C) 70 D) 80 E) 90 A) 65 B) 70 C) 75 D) 80 E) d 1 // d 2 d 1 // d 2 A) 50 B) 60 C) 70 D) 80 E) 90 A) 70 B) 60 C) 55 D) 50 E) 45 35

36 14. Antrenman 1. Bölüm Açı Bilgisi d 1 // d 2 d 1 // d A) 50 B) 55 C) 60 D) 65 E) 70 A B C E 30 D F Tabii ki M her zaman hazır verilmeyecek. Bazen M yi sizin oluşturmanız gerekir. 6. ya baktığınız zaman d 2 yarım kalmış. Onu sola doğru şekildeki gibi uzatın ve 150 nin yanına yani m(eédc) = 30 olduğunu yazın. Şimdi M çok daha kolay gözüküyor di mi? Artık sola bakan açıların toplamıyla sağa bakan açıların toplamının eşit olduğunu yazar ve buradan da = a dan a = 65 bulursunuz d 1 // d 2 A C F Hatırlayın. H a a b b G E Eş açılara aynı harfi yazıp soruyu öyle çözüyorduk. Şekildeki gibi açıları harflendirelim yine. ya dikkatli bakarsanız şekilde iki tane yan duran M var. A-E-F-G-C noktalarından oluşan M den hareketle a + b = 40 bulunur. A-E-H-G-C noktalarından oluşan M den hareketle de 2a + 2b = a olur. Bu eşitlikte yukarıda bulduğumuz a + b = 40 yerine yazarsanız a = 2.(a + b) = 2.40 = 80 bulunur. B D A) 135 B) 140 C) 145 D) 150 E) 160 Bırakın iki M yi bazen soruda üç M bile olabilir. Diğer antrenmanın başındaki sorulara bakarsanız göreceksiniz. 1-D 2-C 3-D 4-C 5-B 6-A 7-E 36

37 1. Bölüm Açı Bilgisi 15. Antrenman 1. d 1 // d 2 = Abartılı veya sağ-sol muhabbeti J A) 25 B) 35 C) 45 D) 55 E) 60 d 1 // d 2 Bu tip sorularda yukarıdan başlayarak açılar bir sağa, bir sola bakarak inmişse, sağa bakanların toplamı sola bakanların toplamına eşittir. Yani, a + c + e = b + d dir. 2. d 1 // d 2 4. A) 40 B) 45 C) 50 D) 55 E) 60 d 1 // d 2 A) 50 B) 45 C) 40 D) 35 E) d 1 // d 2 y d 1 // d 2 A) 15 B) 20 C) 25 D) 35 E) 45 A) 50 B) 55 C) 60 D) 65 E) 70 37

38 15. Antrenman 1. Bölüm Açı Bilgisi d 1 // d 2 d 1 // d 2 + y = 25 A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30 A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30 d 1 // d 2 7. d 1 // d 2 a b = A) 50 B) 55 C) 60 D) 65 E) d 1 // d 2 yu yazan amcalar bazen yukarıdaki d 1 doğrusunda olduğu gibi doğruyu yarım bırakıp sizin uzatmanızı isteyebilirler. Problem değil. Uzatırız. Şekildeki gibi (kolay görün diye turuncu ile çizdim.) sola doğru uzattıp, 130 nin yanına da hemen 50 yazalım. Şimdi yukarıdan başlayarak okları takip ederek bir sağ bir sol yapıp sağa bakan açıların toplamını, sola bakan açıların toplamına eşitleyelim = 80 + a den a = 70 bulunur. Ha! Ama hocam 130 de sağa bakıyor. diyenlere minik bir notum var aşağıda. A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30 Yalnız bu tip sorularda peşpeşe olan açılar iki sağa ya da iki sola bakmaması lâzım. Eğer ikisi sağa bakıyorsa sıralamayı bozmayacak şekilde birinin sol tarafını almanız lâzım.j 1-C 2-D 3-E 4-A 5-B 6-C 7-D 8-A 9-B 38

39 1. Bölüm Açı Bilgisi 16. Antrenman 1. = Kalem ucu muhabbeti J d 1 // d 2 harfinin her türlü şekli için, içeride kalan açıların toplamı 360 dir. A) 40 B) 45 C) 50 D) 55 E) 60 d 1 // d 2 Yukarıdaki şekilde a + b + c = 360 dir. 2. d 1 // d 2 4. d 1 // d 2 A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25 A) 55 B) 60 C) 75 D) 80 E) d 1 // d 2 d 1 // d 2 A) 55 B) 50 C) 45 D) 40 E) 35 A) 100 B) 110 C) 120 D) 130 E)

40 16. Antrenman 1. Bölüm Açı Bilgisi 6. d 1 // d 2 d 1 // d 2 A) 110 B) 120 C) 130 D) 140 E) 150 A E a a B F H 7. d 1 // d 2 A) 110 B) 120 C) 130 D) 140 E) 150 b b C G D Çözmeye başlarken ilk önce o klasik hareketi yapın ve eşit açıları aynı harfle harflendirin. Çözümdeki kırmızı çizgilere dikkat ederseniz sola bakan bir M göreceksiniz. Görmeyen var mı? Bu M deki sağ - sol muhabbetinden a + b = 120 olur. Bir de A-E-H-G-C noktalarından oluşan sivri ucu H olan kalem ucu olayı var. Bunu da görün. Gördüyseniz eğer 2a + 2b + a = 360 olduğunu da yazmış olmanız lâzım. Bu eşitlikte a + b = 120 yi yerine yazarsanız 2.(a + b) + a = 360 den a = 360 ve buradan da a = 120 çıkar d 1 // d 2 d 1 // d 2 A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30 A) 110 B) 115 C) 120 D) 130 E) E 2-B 3-C 4-D 5-C 6-A 7-B 8-A 9-E 40

41 İmkanın sınırını görmek için imkansızı denemek lazım. Fatih Sultan Mehmet 2. bölüm Üçgende Açı

42 Çocuklara ne düşünecekleri değil,nasıl düşünecekleri öğretilmelidir. Margaret Uçurtmalar rüzgar gücü ile değil, o güce karşı koydukları için yükselirler. W. Churchille

43 2. Bölüm Üçgende Açı 1. Antrenman ÜÇGENDE AÇILAR 3. = Üçgende Açı Olayı J A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80 Üçgende açılarla ilgili bilmeniz gereken en önemli bilgi, iç açılar toplamının 180 olduğudur. Bu değişmez.j Üçgeni nasıl çizerseniz çizin.j Bir üçgenin iç açıları toplamı a + b + c = 180 dir a=? A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50 A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50 A) 50 B) 40 C) 30 D) 20 E) 10 43

44 1. Antrenman 2. Bölüm Üçgende Açı 6. d 1 // d 2 A) 40 B) 55 C) 60 D) 65 E) Unutmayın! Paralellik varsa ve açı soruluyorsa Z olmadan olmaz. y = 20 A) 40 B) 45 C) 50 D) 55 E) 60 A BC üçgeninin iç açılarından, m(béca) = 180 m(béca) = 60 (şekildeki kırmızı açı) Turuncu çizgilerden oluşan ters Z yi gördünüz mü? Görülmeyecek gibi de değil hani. Z den m(céad) = 60 olur. Son darbeyi de A DC üçgeninin iç açılarını toplayarak indirin a = 180 a = 50 bulunur d 1 // d 2 y = 60 A) 75 B) 60 C) 55 D) 40 E) 45 A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50 1-C 2-A 3-D 4-C 5-B 6-A 7-E 8-A 9-A 44

45 2. Bölüm Üçgende Açı 2. Antrenman 2. A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) Kenarları kırmızı çizgilerle çizilmiş olan A BD dik üçgeninin iç açıları toplamından, m(aébd) = 180 m(aébd) = 25 olur. Kenarları turuncu çizgilerle çizilmiş olan B EC dik üçgeninin iç açıları toplamından, A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) a + 20 = 180 a = 45 yi bulun.. Gördüğünüz her üçgenin iç açılarını toplayıp 180 ye eşitlerseniz bu tip sorular mutlaka çıkar. Aşağıdaki soruları da siz halledin A) 30 B) 40 C) 50 D) 60 E) 70 A) 50 B) 55 C) 60 D) 65 E) 70 45

46 2. Antrenman 2. Bölüm Üçgende Açı A) 80 B) 70 C) 60 D) 50 E) 40 A) 100 B) 105 C) 110 D) 115 E) A) 150 B) 140 C) 130 D) 120 E) 110 y y Bu soru tipi karşınıza çok çıkar. Önemli bir soru. ÖSYM deki amcaların sevdiği soru türlerinden biri. Yine her zamanki gibi eşit olan açıları aynı harflerle harflendirin. İlk önce kırmızı üçgenin iç açıları toplamından hareketle + y = 180 buradan + y = 70 yi bulun. Sonra da büyük üçgenin iç açıları toplamından hareket ederek 2 + 2y + a = 180 yi görün. Bu eşitlikte + y = 70 yerine yazarsanız 2.( + y) + a = 180 den a = 180 ve a = 40 olarak bulun. 8. m(eéac) =? A) 110 B) 100 C) 90 D) 80 E) 70 1-E 2-B 3-A 4-C 5-A 6-D 7-C 8-C 46

47 2. Bölüm Üçgende Açı 3. Antrenman 1. = Üçgende açılarla ilgili bilmeniz gereken ikinci şey şu: A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50 Dış açılar toplamı her zaman 360 dir. Gerçi biliyorum ki ben ne kadar anlatsam da her soruda ameleliği çok bile olsa iç açılarını yazıp çözen tipler hep çıkacak. Neyse işte... Üçgenin dış açıları toplamı 2. + y + z = 360 dir. 4. A) 60 B) 70 C) 75 D) 80 E) 85 A) 160 B) 150 C) 140 D) 130 E) A) 130 B) 125 C) 120 D) 115 E) 110 A) 80 B) 85 C) 90 D) 95 E)

48 3. Antrenman 2. Bölüm Üçgende Açı A) 70 B) 65 C) 60 D) 55 E) 50 Dik üçgenin iç açıları toplamından hareketle m(aébc) = 180 ve buradan m(aébc) = 60 bulunur. Şu 60 nin dış açısına da 120 yazın bi. Şimdi de kırmızı renkli üçgenin dış açılarını toplayarak = = 240 den = 10 yi bulun. 7. Aslında hiç dış açıya girmeden kırmızı üçgenin iç açıları toplamından da bulunabilirdi. Bunun için ama tek tek iç açıları bulup sonra da toplamak lâzım. Biraz uzun gibi. Yine de siz bilirsiniz. 8. a + b =? A) 40 B) 35 C) 30 D) 25 E) 20 A) 180 B) 190 C) 200 D) 210 E) y =? A) 270 B) 260 C) 250 D) 240 E) C 2-D 3-B 4-E 5-E 6-A 7-A 8-D 9-C 48

49 2. Bölüm Üçgende Açı 4. Antrenman = Üçgende açılarla ilgili bilmezin gereken üçüncü şey şu: 3. Gerçi ispatı çok kolay. Ama yine de böyle bilin siz. Daha faydalı.j Bir üçgende iki iç açının toplamı diğer açının dış açısına eşittir. Meselâ, yukarıdaki üçgende A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25 = b + c, y = a + c, z = a + b dir A) 125 B) 130 C) 135 D) 140 E) 150 A) 100 B) 105 C) 110 D) 115 E) y =? A) 90 B) 80 C) 70 D) 60 E) 50 A) 60 B) 70 C) 80 D) 90 E)

50 4. Antrenman 2. Bölüm Üçgende Açı 6. A) 125 B) 120 C) 115 D) 110 E) A) 75 B) 80 C) 85 D) 90 E) 95 Bir kırmızı bir de mavi üçgenden C açısının dış açısını, yani turuncu renkteki açıyı, İki iç açının toplamı bir dış açıya eşittir. olayından hareketle yazın bakalım = a = a (her iki taraftaki leri atın.) 115 = 55 + a buradan a = 60 bulunur. Var mı bi problem? A) 125 B) 130 C) 135 D) 140 E) 145 A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25 1-C 2-B 3-C 4-D 5-B 6-E 7-D 8-C 9-D 50

51 2. Bölüm Üçgende Açı 5. Antrenman 1. =Roket yada Yumruk Yemiş Üçgen kuralı A) 50 B) 40 C) 30 D) 20 E) 10 Bu dörtgen roket - bumerang yada yumruk yemiş üçgen olarak aklınızda kalsın. İçerideki açıların toplamı dıştaki açıyı verir. Yani t = + y + z dir A) 55 B) 50 C) 45 D) 40 E) 35 A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) A) 70 B) 65 C) 60 D) 55 E) 50 A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25 51

52 5. Antrenman 2. Bölüm Üçgende Açı A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) Şeklin içindeki roketi görmek zor. Ama görürseniz çözüm çok daha kolay. Şekle bakarsanız kırmızı çizgilerle size roketi gösterdim. Size sadece içteki açıları toplayıp 110 ye eşitlemek kalıyor.tabii ki A ve D açılarının iç açılarını da bulmanız lâzım. Şekildeki gibi 30 ve 40 olan açıları 180 den çıkararak yazdım. Şimdi de içteki açıların toplamını dıştaki açıya eşitleyin. a = 110 buradan = 40 bulunur. 8. A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30 A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25 1-D 2-A 3-B 4-C 5-D 6-E 7-D 8-E 9-B 52

53 2. Bölüm Üçgende Açı 6. Antrenman y =? A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25 A) 200 B) 220 C) 230 D) 235 E) A) 110 B) 120 C) 130 D) 140 E) 150 a a b b 4. Burada da iki tane roket var. Artık söylemeye gerek yok di mi? Zaten soruyu görür görmez eşit olan açıları harflendirmişsinizdir. Taralı rokette a + b + 80 = 100 dir. Buradan a + b = 20 çıkar. Şimdi de içi taralı olmayan alttaki roketten hareketle a + b = a olduğunu görün ve üstte bulduğunuz a + b = 20 yi yerine yazarak = a dan a = 120 olarak bulun A) 90 B) 95 C) 100 D) 105 E)

54 6. Antrenman 2. Bölüm Üçgende Açı = İki iç açıortay arasındaki açı Sizin de çıkarabileceğiniz bir sonuç. Ama hazırcılar için ben hazır vereyim.j 5. A) 115 B) 125 C) 130 D) 135 E) 140 Üçgende iki iç açıortay arasında kalan açı A W o a = 90 + dir yol: Eğer formül kullanıyorsanız hemen A W o o o 80 o a = 90 + = 90 + = 130 yi hemen 2 2 bulabilirsiniz. A) 100 B) 105 C) 110 D) 115 E) yol: Ama bence şu daha güzel.j Açıları harflendirin. Ama eşit açılara aynı harfleri verin tabii ki. J 7. ABC üçgeninin iç açıları toplamından y + 80 = 180 den + y = 50 yi bulun. Sonra da BDC üçgeninin iç açılarını toplamından. + y + a = 180 eşitliğinde + y = 50 yi zaten biliyorsunuz. Buradan 50 + a = 180 den a = 130 yi bulursunuz artık. A) 120 B) 152 C) 130 D) 135 E) D 2-D 3-C 4-B 5-B 6-C 7-D 54

55 2. Bölüm Üçgende Açı 7. Antrenman A) 30 B) 40 C) 50 D) 60 E) 70 A) 130 B) 115 C) 85 D) 65 E) A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60 A) 10 B) 18 C) 20 D) 30 E) A) 100 B) 110 C) 120 D) 130 E) 140 A) 50 B) 45 C) 40 D) 36 E) 30 55

56 7. Antrenman 2. Bölüm Üçgende Açı Üçgende iki iç açının toplamı neye eşitti? J Bu soru onunla ilgili de. J = Bu da iki dış açıortay arasındaki açı, 7. - ȳ =? A) B) --- C) 1 D) 2 E) Sevmediğinizi biliyorum.onun için ispata girmiycem. A W o İki dış açıortay arasında kalan açı a = 90 dir A) 20 B) 24 C) 28 D) 36 E) yol: Direkt formülden giderseniz. A W o o o 40 a = 90 = 90 = o çıkar. 2. yol: Eşit açıları aynı harfle harflendirip çözün. 9. A) 60 B) 70 C) 75 D) 80 E) 90 Aklınızda olsun. Dış açıortaylar arasındaki açıyı bulurken önce dış açılar toplanarak çözüme başlanır. ABC üçgeninin dış açılarının toplamı 360 idi. Yani, y = y = 110 önce bunu bulun. Artık BCD üçgeninde de iç açılar toplamından + y + a = 180 olduğunu yazar ve a = 180 den a = 70 yi bulursunuz. 1-B 2-A 3-C 4-D 5-E 6-A 7-B 8-D 9-D 56

57 2. Bölüm Üçgende Açı 8. Antrenman A) 55 B) 65 C) 70 D) 75 E) 80 A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) A) 35 B) 40 C) 45 D) 50 E) 55 A) 50 B) 60 C) 70 D) 80 E) A) 30 B) 40 C) 50 D) 60 E) 70 A) 80 B) 70 C) 60 D) 50 E) 40 57

58 8. Antrenman 2. Bölüm Üçgende Açı 7. A) 25 B) 30 C) 35 D) 45 E) A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60 Formül kullanmadan çok pratik çözümü var ama onu dörtgenleri görünce çözeceğiz şimdilik formülden gidelim hemde öğrenmiş oluruz. Kırmızı çizgiler iç açıortaylar olduğundan arada kalan açı 130 = ëa den m(ëa) = 80 bulunur. 2 Turuncu çizgiler dış açıortaylar olduğundan arada kalan açı a = ëa 2 den a = a = 50 bulunur A) 75 B) 65 C) 60 D) 55 E) 45 A) 125 B ) 130 C) 135 D) 140 E) B 2-C 3-D 4-D 5-E 6-A 7-D 8-D 9-B 10-E 58

59 2. Bölüm Üçgende Açı 9. Antrenman = 1. İspata gerek yok. J Zaten sizin de ispatla işiniz yok. J Bir iç açıortay ile bir dış açıortay arasında kalan açı A) 50 B) 40 C) 35 D) 25 E) 15 ëa a = dir. 2. Çözüm 1. yol: Eğer formül kullanırsanız çok kolay. a = ëa a = = 20 bulunur. 2. yol: Eşit açıları aynı harfi verip çözerseniz. A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) ABC üçgeninin iki iç açısının toplamı bir dış açıya eşit idi. İlk bunu kullanın = 2y den y = 20 yi bulun. Sonra da BDC üçgeninde de iki iç açının toplamı bir dış açıya eşit olduğunu kullanın ve + a = y den a = y = 20 bulun. A) 30 B) 25 C) 20 D) 15 E) 10 59

60 9. Antrenman 2. Bölüm Üçgende Açı A) 25 B) 30 C) 35 D) 40 E) 45 A) 45 B) 40 C) 35 D) 30 E) 25 Bu soruda daha hoş bir çözüm de var. Ama görmek lazım. Zorlayın bakalım A) 90 B) 80 C) 70 D) 60 E) 50 A) 115 B) 120 C) 125 D) 130 E) y =? A) 30 B) 40 C) 50 D) 60 E) 70 A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50 1-D 2-D 3-D 4-A 5-B 6-B 7-C 8-C 9-A 60

61 2. Bölüm Üçgende Açı 10. Antrenman = Size üçgenin iç açıortaylarıyla ilgili önemli bi şey daha diyeyim. 60 Bir üçgende iç açıortaylar aynı noktada kesişir. Bunun için soruya baktığınızda iki açıortay verilmiş ve üçüncüsü yoksa hemen siz de üçüncü açıortayı çizin ve aynı noktada kesiştirin. Emin olun işinize yarar. İç açıortayların kesim noktasına, yani üstteki şekilde O noktasına iç teğet çemberin merkezi denir. Anlayacağınız üçgen içinde iç teğet çemberin merkezi diye verilen nokta iç açıortayların kesişme noktasıdır. Bunu da bilmek lâzım. İtiraf edeyim. Zor bir soru. Aslında zor olan şey şu: Siyah çizgiyi dışarı doğru uzatmak ve ëb açısındaki dış açıortayı görmek. ëb açısı zaten 120 verilmiş. Dış açıya 60 kalıyor. Turuncu çizgilere bakarsanız. Bir iç açıortay bir de dış açıortay D noktasında kesişmiş. Özellik gereği + 45 = 2. 2 tir. Buradan da = 15 bulunur y =? A) 50 B) 60 C) 70 D) 80 E) 90 Bir üçgende iç açıortaylar aynı noktada keşisir. B ve C den çizilenlerin açıortay olduğu verilmiş. O zaman A dan gelen de kesinlikle açıortaydır. Dolayısıyla m(ëa) = 2 tir. Üçgenin iç açıları toplamından = 180 den = 45 bulunur. 61

62 10. Antrenman 2. Bölüm Üçgende Açı A) 40 B) 35 C) 30 D) 25 E) 20 O, iç teğet çemberin merkezi ise A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) A) 55 B) 50 C) 45 D) 40 E) 35 O, iç teğet çemberin merkezi ise a + b =? A) 55 B) 60 C) 65 D) 70 E) O, iç teğet çemberin merkezi ise A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25 A) 130 B) 125 C) 120 D) 115 E) D 2-A 3-E 4-B 5-C 6-D 7-A 62

63 2. Bölüm Üçgende Açı 11. Antrenman = İKİZKENAR ÜÇGEN 3. İki kenarı eşit olan üçgene ikizkenar üçgen deniyor. A) 48 B) 54 C) 68 D) 72 E) 84 Eşit iki kenarın birleştiği yerde oluşan açıya tepe açısı denir. Eşit kenarların diğer kenarlarla birleştiği yerde oluşan açılar taban açılarıdır ve bunlar birbirine eşittir. Yani, m(ëb) = m(ëc) dir. Dolayısıyla ikizkenar üçgende bilmeniz gereken ilk şey taban açıları ve iki kenarın eşit olduğudur. İlk sorular bunlarla ilgili ve basit dolayısıyla A) 75 B) 65 C) 60 D) 55 E) 50 A) 80 B) 70 C) 75 D) 65 E) A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50 A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50 63

64 11. Antrenman 2. Bölüm Üçgende Açı A) 10 B) 15 C) 20 D) 30 E) 40 A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) AC = BC A) 32 B) 36 C) 48 D) 54 E) 62 A) 45 B) 50 C) 55 D) 60 E) d 1 // d A) 50 B) 40 C) 30 D) 20 E) 10 A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 30 1-C 2-D 3-D 4-B 5-B 6-B 7-A 8-A 9-E 10-D 11-C 64

65 2. Bölüm Üçgende Açı 12. Antrenman AC = BC A) 75 B) 60 C) 45 D) 22,5 E) 20 A) 10 B) 16 B) 20 C) 24 D) AB = AC 35 A) 18 B) 36 C) 48 D) 54 E) AC = BC Taralı üçgen ikizkenar olduğundan taban açıları olan m(déac) = m(déca) = 35 olur. Şekildeki kırmızı açılar. Taralı üçgende iki iç açının toplamı bir dış açıya eşit olduğundan m(aédb) = = 70 dir. Ayrıca A BD üçgeni de ikizkenar olduğundan m(aédb) = m(aébd) = 70 olur. Ve son olarak da A BD üçgenin iç açıları toplamından hareketle a = 180 den a = 40 bulunur. A) 100 B) 105 C) 110 D) 115 E) 120 Karıştırmayın! Eşit kenarların birleştiği açı tepe açısıdır. Diğerleri taban açılardır. Onlar da birbirine eşittir. Adları çok önemli değil ama eşit olan açıları doğru yazmak lâzım. 65

66 12. Antrenman 2. Bölüm Üçgende Açı m(bëac) =? AB = AC A) 90 B) 100 C) 110 D) 120 E) 130 A) 20 B) 25 C) 30 D) 36 E) AC = BC A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50 A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) A) 24 B) 36 C) 48 D) 54 E) 60 A) 10 B) 18 C) 20 D) 30 E) 36 1-C 2-B 3-B 4-B 5-A 6-B 7-C 8-A 9-D 10-D 66

67 2. Bölüm Üçgende Açı 13. Antrenman 1. A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60 Çözüm 2. Bu soru ikizkenar üçgende taban ve tepe açılarını bulup çözeceğiniz bir soru. Ve kolay. İlk önce BFE ikizkenar üçgen olduğundan m(béef) = 75 ve m(ëb) = 30 yi bulun. Aynı şekilde DEC de ikizkenar üçgen olduğundan m(déec) = 80 ve m(ëc) = 20 yi bulun. Gerisi daha kolay. Bulduğunuz değerleri üçgende yerine yazın ve şimdi de en büyük üçgeni düşünün. + y + z =? A) 90 B) 80 C) 72 D) 70 E) 60 Yani, ABC üçgeninin iç açılarını toplayın. Ve a = 180 den a = 130 yi bulun A) 15 B) 25 C) 35 D) 45 E) 55 A) 100 B) 110 C) 120 D) 130 E)

68 13. Antrenman 2. Bölüm Üçgende Açı A) 60 B) 65 C) 70 D) 75 E) 80 A) 55 B) 60 C) 65 D) 70 E) A) 75 B) 70 C) 65 D) 60 E) 55 A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) A) 50 B) 60 C) 70 D) 80 E) 90 A) 110 B) 120 C) 130 D) 140 E) E 2-A 3-C 4-B 5-A 6-C 7-C 8-D 9-B 10-A 68

69 2. Bölüm Üçgende Açı 14. Antrenman 1. y b A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60 a a b AÿBD ikizkenar üçgen olduğundan kırmızı açılar (a) ve AéDE ikizkenar üçgen olduğundan turuncu açılar (b) birbirine eşittir. ëa açısının iki açısından birine diğerine y diyelim ki daha kolay anlaşılsın. Bir de + y = 80 verildiğini unutmayın. AÿBD nin iç açılarından 2a + =180 AÿDE nin iç açılarından 2b + y =180 bu eşitlikler taraf tarafa toplanırsa ve + y = 80 de yerine yazılırsa 2a + + 2b + y = 360 den 2a + 2b + 80 = 360 buradan da a + b = 140 bulunur. 2. m(bëac) =? 3. a + b + a = 180 olduğundan a + b = 140 yerine yazılırsa a = 40 bulunur. A) 100 B) 105 C) 110 D) 115 E) 120 A) 25 B) 35 C) 40 D) 45 E) A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50 69

70 14. Antrenman 2. Bölüm Üçgende Açı 5. Şunda da iki tane ikizkenar üçgen var. Gördünüz mü? 8. AB = AC ED = EC A)10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30 A) 80 B) 70 C) 60 D) 50 E) AB = AC = BD A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50 A) 20 B) 30 C) 40 D) 44 E) AB = AC ED = BD 10. AB = AC A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50 A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40 1-B 2-B 3-B 4-B 5-E 6-D 7-C 8-E 9-C 10-D 70

71 2. Bölüm Üçgende Açı 15. Antrenman = İkizkenar üçgende tepe açısından karşısındaki kenara inilen yükseklik hem kenarortay hem de açıortaydır. Biz buna Y.A.K. diyoruz. (Yani,Yükseklik, Açıortay, Kenarortay ın ilk harfleri.) 2. A) 75 B) 65 C) 60 D) 55 E) 45 Y.A.K. karşımıza üç farklı şekilde çıkar. Y.A.K. dan ikisi var ise üçüncüsü de vardır ve üçgen ikizkenar üçgendir. 3. Bu YAK olayında amcalar ikisini verirler genelde. Böyle durumlarda üçgenin ikizkenar üçgen olduğunu anlayın ve YAK üçlüsünden verilmeyeni görün. A) 75 B) 70 C) 65 D) 60 E) A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30 A) 90 B) 80 C) 70 D) 60 E) 50 71

72 15. Antrenman 2. Bölüm Üçgende Açı 6. A) 40 B) 35 C) 30 D) 25 E) 15 AÿBD üçgenine dikkat ederseniz açıortay yükseklik olmuş. Yani, bizim Y.A.K. olayının A.K. sı verildiğinden bu üçgen ikizkenar üçgendir. Hatta BE yüksekliktir. AB = BD ve m(béda) = m(béad) = a olur. AÿDC üçgeninde iki iç açının toplamı bir dış açıya eşit olduğundan. a = = 50 bulunur. Y.A.K. olayı geometri hayatınızda çok önemli hem açılarda hemde uzunluk sorularında karşınıza çok gelecek şimdiden söyliyeyimde ilerde sıkıntı olmasın. 7. A) 60 B) 70 C) 80 D) 90 E) A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25 A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60 1-C 2-B 3-A 4-A 5-C 6-A 7-D 8-C 72

73 2. Bölüm Üçgende Açı 16. Antrenman 1. A) 22,5 B) 25 C) 30 D) 36 E) 45 2α 2α 60 α 2. Bakın size ne diycem. Bazen soruda hiç alakası olmayan iki eşitlik verirler. Bu tip sorularda bir yerlerde mutlaka ikizkenar üçgen vardır. Ama arayıp bulmanız lâzım. Gerçi bu biraz tecrübe işi. Ama olsun. Sizde de yavaş yavaş oluyor zaten. 3. A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 35 y = 15 ya dikkatli bakarsanız yükseklik kenarortay olmuş. Ama üçgen tam üçgen olamamış gibi. Çünkü dik gelinen nokta ikizkenar üçgenin tepe noktası olmalıydı. Eğer BD yi çizerseniz BÿDC üçgenindeki Y.A.K. olayında ëd tepe açısı, BD = DC ve m(débc) = m(décb) = a olur. Kenarların eşitliklerini şekilde gösterince saçma olan eşitlikler anlamlı hale geliyor. Yani, AB = BD = DC oluyor. Buradan da AÿBD ikizkenar üçgen olduğundan m(béac) = m(aédb) = 2a dır. m(aébc) = 60 olduğundan m(aébd) = 60 a yazabilirsiniz. Son darbeyi AéBD nin iç açılarını toplayarak vurun. 2a + 2a + 60 a = 180 den a = 40 çıkar. Çok şık bir soru bence. Devamındaki soruların bazılarında çizmeniz gereken parçalar verilmiş bazılarında ise verilmemiş. Aynı mantıkla siz çizeceksiniz. Ona göre. Hadi bakalım. A) 10 B) 15 C) 18 D) 25 E) 30 73

74 16. Antrenman 2. Bölüm Üçgende Açı 4. Aklınızda olsun. Yükseklik bir doğru parçasını iki eşit parçaya bölmüşse orada bir ikizkenar üçgen vardır. Ama çizip eksik üçgeni tamamlamanız lazım. Mesela alttaki soruda kesikli çizgi normalde verilmez. Sizin çizmeniz lazım. Ve çizdikten sonra eşitlikleri de bi zahmet gösterin. İşe yarayacak, göreceksiniz. A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) A) 40 B) 50 C) 55 D) 60 E) A) 70 B) 65 C) 60 D) 55 E) 50 A) 90 B) 80 C) 70 D) 60 E) A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30 A) 75 B) 70 C) 65 D) 60 E) 55 1-E 2-D 3-B 4-B 5-C 6-C 7-B 8-B 9-A 74

75 2. Bölüm Üçgende Açı 17. Antrenman 1. A) 30 B) 40 C) 45 D) 50 E) Y.K. verildiğinden AB = AD, AF açıortay ve AÿBD ikizkenar üçgen olur. Asıl siz alt taraf bakın bence. F den çizilen yükseklik kenarortaymış. Demek ki DF yi çizince BÿDF ikizkenar üçgen ve dolayısıyla da BF = DF = DC olacak. BÿDF ikizkenar üçgeninden m(débf) = m(bédf) = 25 İki iç bir dış olayından m(défc) = 50 A) 35 B) 45 C) 55 D) 60 E) 75 DF = DC olduğundan m(défc) = m(décf) = 50 BÿDC üçgeninde iki iç bir dıştan m(aédb) = = 75 olur. AÿED üçgeninin iç açılar toplamından a + 75 = 90 den a = 15 bulunur. İtiraf ediyorum. Zor soru A) 10 B) 15 C) 20 D) 30 E) 40 A) 18 B) 24 C) 36 D) 42 E) 54 75

76 17. Antrenman 2. Bölüm Üçgende Açı = MUHTEŞEM ÜÇLÜ 5. Bir dik üçgende hipotenüsü ikiye bölen kenarortay (kenarı ortadan ikiye ayıran doğru) ayırdığı parçalardan birine eşittir. A) 150 B) 140 C) 130 D) 120 E) 110 Muhteşem üçlü karşınıza dört farklı şekilde gelebilir. Genellikle üç eşitlikten ikisini soruda verir diğerini vermezler. O da size kalmıştır. Bu durumda bi zahmet üçüncü eşitliği de şekilde siz gösterin. 6. Ya da, Üç eşitlik verilir ama 90 verilmez. O zaman da 90 yi şekilde sizin göstermeniz gerekir. A) 55 B) 60 C) 65 D) 70 E) 80 Meselâ şekilde m(aébc) = 90 dir. Görmek lâzım. Dikten kenarortay gelirse muhteşem üçlü, Yükseklik kenarortay ise ikizkenar üçgen, Bu ikisi sürekli karıştırılır. Dikkat edin. Muhteşem üçlü olması için 90 den kenarortay gelmesi gerekir. 7. A) 30 B) 25 C) 20 D) 15 E) 10 1-D 2-E 3-E 4-E 5-C 6-D 7-A 76