Dağılımın parametreleri λ ve ζ, sırasıyla, lnx in ortalama değerini ve standart sapmasını belirtir; λ=e(lnx) ve ζ=[var(lnx)] 1/2.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Dağılımın parametreleri λ ve ζ, sırasıyla, lnx in ortalama değerini ve standart sapmasını belirtir; λ=e(lnx) ve ζ=[var(lnx)] 1/2."

Transkript

1 Bölüm 5 Logaritmik Normal Dağılım / Lognormal Dağılım Bir X rasgele değişkenine ilişkin lnx olasılık dağılımı normal ise, X in olasılık dağılımı logaritmik normal dağılım ya da kısaca lognormal dağılım terimiyle adlandırılır. Bu durum için olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyledir; f (x) 1 1 ln x exp x Dağılımın parametreleri λ ve ζ, sırasıyla, lnx in ortalama değerini ve standart sapmasını belirtir; λ=e(lnx) ve ζ=[var(lnx)] 1/. Normal dağılım ile bir logaritmik dönüşümü içeren- ilişkisi nedeniyle bir lognormal değişkene ilişkin olasılıklar, standart normal olasılıklar tablosu kullanılarak belirlenebilir. p (a ln b X b) Z ln a Z Lognormal değişkene ilişkin olasılıkların hesaplanması kolaydır. Ayrıca lognormal değişken daima pozitif değerler alır. Lognormal dağılımın kaykılması da her zaman pozitiftir. Bu nedenle uygulamada karşılaşılan pozitif değerler alması kesin- malzeme mukavemetleri, metallerin yorulma ömrü, tasarımların tamamlanma süreleri, yağmur şiddetleri ve hava trafiği hacmi gibi pek çok sayıda rasgele değişken için lognormal dağılım model alınabilir. Yukarıdaki bağıntıdan görüleceği gibi olasılık, λ ve ζ parametrelerinin fonksiyonudur. Bu parametreler ile X değişkeninin ortalama değeri m ve standart sapması arasındaki ilişkileri belirten bağıntılar aşağıdaki şekilde türetilebilir; λ=lnm ζ / ζ =ln(1+ / m ) = ln(1+v ) Varyasyon katsayısı V=/m, çok büyük değilse (V0.30), ln(1+ / m ) / m alınabilir. Bu gibi durumlarda; ζ / m = V 5-1 BAÜ Müh-Mim Fak. İstatistik Dersi Dr. Banu Yağcı

2 Örnek; Beton çeliği üreten bir kuruluş, ürettiği nominal çapı 6 mm olan çelik toplumuna ilişkin çap (X) ortalamasını m=7mm ve standart sapmasını = 0.5 mm bulmuştur. Çap dağılımı lognormal olduğuna göre; (a) çapın 6 mm den küçük bulunması olasılığının ve (b) çelik toplumunun % 10 unun hangi çap değerinin altında kaldığının belirlenmesi istenmektedir. ζ =ln(1+(0.5) / (7) ) = , ζ=0.071 λ = ln7 0.5( ) = ln (a) P(X 6) PZ P(Z.13) ln x (b) PZ Standart normal dağılım tablosundan; 0.10 değeri yaklaşık olarak P(Z-1.8) olasılığına karşılık gelmektedir. Dolayısıyla; ln x ln x x mm Bernouilli denemeleri ya da binom deneyleri ve binom dağılım; Kimi zaman mühendisleri, özellikle tasarım mühendislerini ilgilendiren sorunlar, tekrarlanan denemelerden oluşan bir dizideki potansiyel bir olayın ortaya çıkması ya da çıkmaması durumlarının göz önüne alınmasını gerektirir. Bir başka anlatımla tekrarlanan denemelerden oluşan bir deneyde, denemelerden her birinin yalnızca başarılı yada başarısız terimiyle nitelendirebileceğimiz iki sonucu olabilir. Örnekse, bir iş bandından gelen makine parçalarının ya da tüketim mallarının test edilmesi olgusunu ele alalım. Her yoklama ya da deneme ilgilenilen parçanın ya da malın kusurlu ya da kusursuz olduğunu belirler. Kimi zaman da iki sonuçtan birini başarılı, ötekini başarısız kabul edebileceğimiz durumlar bulunabilir. Örnekse, bir oyun kağıdı destesinden art arda beş kart çekilsin ve her deneme, seçilen kartın kırmızı yada siyah olmasına göre başarılı ya da başarısız olarak nitelendirilsin. Bir sonraki seçim yapılmadan önce çekilen her kart desteye katılır ve kartlar karıştırılırsa, iki deneyin özellikleri aynı, tekrarlanan denemeler istatistiksel bağımsız olur ve başarı olasılığı denemeden denemeye değişmez. Yukarıda belirtilen türden deneylere Bernouilli denemeleri ya da binom deneyleri denilir. Kart çekme deneyinde, yeni seçmelerden önce kartların -5 karttan oluşan- desteye katılmaması halinde, tekrarlanan denemelerdeki başarı olasılıkları değişir, sabit kalmaz. Daha açık anlatımla bu olguda, ilk çekişte kartın kırmızı gelmesi ihtimali 1/ olur. Fakat ikinci çekişte, ilk çekilen kartın rengine bağlı koşullu olasılığın değeri 6/51 ya da 5/51 olur. Böyle bir deney ise Bernouilli denemesi ya da binom deneyi sayılamaz. 5- BAÜ Müh-Mim Fak. İstatistik Dersi Dr. Banu Yağcı

3 Bernouilli denemeleri ya da binom deneyleri şu kabuller temel alınarak gerçekleştirilir; Deney n sayıda tekrarlanan denemeden oluşur. Her denemenin yalnızca iki olabilir sonucu vardır: bir olayın ortaya çıkması ya da çıkmaması. Başka bir anlatımla her deneme başarılı ya da başarısız terimiyle nitelendirilebilecek bir sonuçla sona erer. Her denemede olayın ortaya çıkma olasılığı sabittir. Başka bir anlatımla p ile gösterilen başarı olasılığı denemeden denemeye değişmez. Tekrarlanan denemeler istatistiksel yönden birbirinden bağımsızdır. Binom dağılımı; Bir üretim sürecinden rasgele 3 parçanın seçilmesi, yoklanması ve kusurlu ya da kusursuz olarak sınıflandırılmasıyla ilgili bir binom deneyini ele alalım. Kusursuz (Z) parçaya başarı, kusurlu (K) parçaya başarısız diyelim. Başarıların sayısını belirten X rasgele değişkeni sıfırdan üçe kadar olan tamsayıları değer alır. Olabilir 8 sonuç ve X in bu sonuçlara ilişkin değerleri aşağıda verilmiştir. Sonuç x KKK 0 KZK 1 KKZ 1 ZKK 1 KZZ ZKZ ZZK ZZZ 3 Parçalar, %75 i kusursuz kabul edilen bir üretim sürecinden, bağımsız seçilirse, örnekse; P(ZKZ) = P(Z).P(K).P(Z) = (3/4).(1/4).(3/4) = 9/64 bulunur. Olabilir öteki sonuçların olasılıkları da benzer yolla bulunabilir. X in böylece elde edilen olasılık dağılımı aşağıda verilmiştir. x p(x) 1/64 9/64 7/64 7/64 Bir binom deneyinin n denemesindeki başarıların sayısını belirten X e binom rasgele değişkeni denir. Bir X binom değişkeninin olasılık dağılımı da binom dağılımı terimiyle adlandırılır. Binom dağılımının değerleri deneme sayısına ve ilgili denemenin başarı olasılığına bağlı olduğu için b(x;n,p) notasyonu ile belirtilebilir. Mesela yukarıdaki örnek için kusursuz parçaların sayısına göre P(X=) = b[; 3, (3/4)] = 7/64 olur. 5-3 BAÜ Müh-Mim Fak. İstatistik Dersi Dr. Banu Yağcı

4 Yukarıdaki betimleme genelleştirilir ve b(x;n, p) için bir bağıntı geliştirilir ise; Bu bağlamda, bir binom deneme p olasılıklı bir başarı ve q=1-p olasılıklı bir başarısızlıkla sonuçlanıyorsa, n bağımsız denemedeki başarıları gösteren X binom rasgele değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu ya da kısaca olasılık dağılımı şöyle olur. P(X n x x nx x) b(x;n, p) p (1 p) x=0,1,,3,.,n Bir başka anlatımla, bir olayın her denemede ortaya çıkması olasılığı p ve çıkmaması olasılığı 1-p ise, bir Bernouilli denemesine ilişkin n deneme arasından tam olarak x ortaya çıkışın olasılığı yukarıdaki bağıntı ile belirlenir. Bağıntıdaki n ve p dağılımın parametreleridir. Yukarıdaki, kusursuz parça sayısı olasılık dağılımı ile ilgili örnekte n=3 ve p=3/4 parametre değerleri için kusursuz parçaların sayısını belirten X in olasılık dağılımı şöyle belirlenebilir; 3 x 3x P(X x) b[x;3,(3/ 4)] (3/ 4) (1/ 4) x 3 Örnekse; P(X ) b[;3,(3/ 4)] (3/ 4) (1/ 4) 7 / 64 Binom dağılımının ortalama değeri ve varyansı şöyledir; E(X) = m = np, Var(X) = = npq Örnek; Belirli bir darbe denemesinde, bir malzemenin darbeye dayanma olasılığının 3/4 olduğu belirlenmiştir. Son dört malzemeden ikisinin darbe denemesine dayanabilme olasılığı ne olur? Denemelerin bağımsız olduğunu kabul edelim. Dört denemenin her biri için p=3/4 olur. 4 4! 3 Öyleyse, P(X ) b[;4,(3/ 4)] (3/ 4) (1/ 4) 7 / 18 4!! 4 Örnek; Bir karayolu yapımında beş greyderin kullanılması tasarlanmaktadır. Bu ekipmanın çalışma ömrü (T, saat) lognormal dağılımlı olup ortalama ömür 1500 saat ve varyasyon katsayısı %30 dur. Kullanılacak bu beş makine arasından iki tanesinin 900 saat çalışma süresinden önce işlevini yapamama olasılığı ne olur? f(t) lognormal m=1500 saat V=0.30 Çalışma ömrü, saat Çalışır durumda olma ömrü, saat Şekil a t Makine no Şekil b 5-4 BAÜ Müh-Mim Fak. İstatistik Dersi Dr. Banu Yağcı

5 Her greyder 900 saat çalışma süresinden sonra işlevini yapma ya da yapamama durumunda olabilir. Bu zaman dilimi içinde işlev yapamama olasılığı şöyle belirlenebilir; ζ 0.30, λ= ln1500 (1/)(0.3) = 7.7 O halde, bir makinenin 900 saatlik süre içinde işlevini yapamama olasılığı; P= P(T900) = P[Z (ln )/0.30] = P(Z-1.56) = (Şekil a) Beş makinenin fiili çalışma ömürleri Şekil b deki gibi gösterilebilir. Bu, şekilde betimlendiği gibi, örnekse 1 ve 4 numaralı makinelere ilişkin çalışma ömürlerinin 900 saatten az olması demektir. Şu halde, beş makine arasından herhangi ikisinin 900 saatlik zaman dilimi içinde işlevini yapamama olasılığı; 5 P(X ) b[;5,0.0594] (0.0594) (0.9406) 3 5!!3! (0.9406) Diğer yandan; p+q=1 olduğu için b(x;n,p) 1 dağılımının geçerli olma koşuludur. n x0 olur. Bu da herhangi bir olasılık Çoğu zaman da, P(X<r) ya da P(a Xb) değerlerinin belirlenmesi sorunuyla ilgileniriz. Bu gibi sorunların çözümünü kolaylaştırmak için B(r; n,p) = b (x;n,p) binom toplamını veren tablolar düzenlenmiştir. Aşağıdaki binom tablosu örnek büyüklükleri n=5, 10,15 ve 0 alınmış ve p değerleri 0.10 ile 0.90 arasında değiştirilmiştir. Tablonun kullanılışı aşağıdaki örnekte gösterilmiştir. Örnek ; Bir elektronik cihazın az rastlanan bir arızasının onarılma olasılığı 0.40 dır. 15 cihazın bu arızayı yapacağı biliniyorsa; (a) en az 10 cihazın, (b) 3 ila 8 cihazın (c) tam beş cihazın onarılma olasılığı ne olur? Onarılabilen cihaz sayısı X olsun r x0 (a) P (X 10) 1 P(X 10) 1 9 x0 b(x;15,0.4) (b) P (3 X 8) b(x;15,0.4) b(x;15,0.4) 8 x3 x0 x0 (c) P (X 5) b(x;15,0.4) b(x;15,0.4) 5 x0 4 x0 b(x;15,0.4) b(x;15,0.4) BAÜ Müh-Mim Fak. İstatistik Dersi Dr. Banu Yağcı

6 5-6 BAÜ Müh-Mim Fak. İstatistik Dersi Dr. Banu Yağcı

7 Poisson deneyleri ve Poisson dağılımı Mühendisleri ilgilendiren fıziksel problemlerin çoğu, olayların herhangi bir anda ve/veya uzayın (mekân) herhangi bir noktasında olabilir ortaya çıkışlarını içerir. Örnekse, kaynakli bir yapısal sistemde yorulma çatlakları, sürekli bir kaynak boyunca herhangi bir yerde oluşabilir; sismik yönden faâl bir bölgenin herhangi bir yerinde, herhangi bir zamanda deprem olabilir; belirli bir karayolundaki trafik kazaları, herhangi bir zamanda ortaya çıkabilir. Bu tür zaman-uzay problemlerinin çözümünde Bernouilli deneyleri model alınabilir. Bu amaçla "zaman" küçük aralıklara bölünür, ya da "uzay" küçük bölümlere -bölgelere ayrılır. İlgilenilen olayın herbir aralıkta ya da bölgede ortaya çıktığı ya da çıkmadığı; başka bir anlatımla, başarı ya da başarısızlık terimleriyle nitelendirebileceğimiz iki olabilirlikten birinin gerçekleştiği kabul edilir, ve böylece bir deney oluşturulur. Ne var ki, herhangi bir anda ya da uzayın herhangi bir noktasında ortaya çıkabilen ilgilendiğimiz olayın, belirli bir zaman diliminde ya da belirli bir uzay bölümünde birden fazla gözükmesi de muhtemeldir. Bu gibi olgularda, ilgilenilen olaym ortaya çıkışları (başarılı görünüşler) için Poisson deneylerinin ya da Poisson sürecinin model alınması daha elverişli olur. Poisson deneyleri: Bu bağlamda, belirli bir zaman aralığı ya da belirli bir bölge içindeki başarılı görünüşlerin sayısıyla ilgili olan, ve bir X, rasgele değişkeninin sayısal değerlerinin elde edilmesini sağlayan deneylere Poisson deneyleri ya da Poisson süreci denir; t, zaman aralığı ya da bölge büyüklüğüdür. Belirli zaman aralığı herhangi bir uzunlukta olabilir; bir dakika, bir gün, bir ay, ya da bir yıl gibi. X, rasgele değişkeni, örnekse; yağmur ve kar yüzünden bir yıl içinde bir şantiyede çalışılamayan günlerin sayısını, ya da bir iş yerinde bir saat içinde edilen telefonların sayısını gösterebilir. Belirli bir bölge de bir doğru parçası, bir alan, bir hacim, ya da bir malzeme bölümü olabilir. Bu durum için X, rasgele değişkeni; belirli bir arazi parçasındaki belirli türden hayvanların sayısını, belirli bir kültürdeki bakterilerin sayısını, ya da her sayfadaki daktilo hatalarının sayısını gösterebilir. Poisson deneyleri şu temel kabullere göre gerçekleştirilir: 1. Bir olay herhangi bir zamanda ya da uzayın herhangi bir noktasında oluşabilir.. Belirli bir zaman aralığında ya da belirli bir uzay bölümünde gözüken başarıların sayısı, sözkonusu aralıkla ya da bölgeyle örtüşmeyen herhangi bir aralıkta ya da bölgede gözüken başarılardan bağımsızdır. 3. Çok kısa bir zaman aralığı süresince ya da küçük bir bölgede bir tek başarının gözükmesi olasılığı, aralığın uzunluğuyla ya da bölgenin büyüklüğüyle orantılıdır; sözkonusu aralığın ya da bölgenin dışında kalan başarıların sayısından bağımsızdır. Başka bir anlatımla, anılan aralık uzunluğıı ya da bölge büyüklüğü t ile gösterilirse, bir olayın t içinde ortaya çıkma olasılığı v t ile belirlenebilir. Burada, v olayın sabit kabul edilebilecek ortaya çıkış ortalama hızı dır. 4. Birden fazla başarının böyle küçük bir zaman aralığında gözükmesi ya da böyle bir küçük bir bölgeye isabet etmesi ihmal edilebilir. 5-7 BAÜ Müh-Mim Fak. İstatistik Dersi Dr. Banu Yağcı

8 Bir Poisson deneyinde, t zaman aralığı ya da bölge büyüklüğü içindeki ortaya çıkışların sayısını gösteren X t e Poisson rasgele değişkeni, ve değişkenin olasılık dağılımı Poisson dağılımı terimleriyle adlandırılır. Poisson dağılımının değerleri, öngörülen zaman aralığında ya da belirli bölge içinde gözüken başarıların ortalama sayısına, E(X t )= vt, bağlı olduğu için dağılım p(x; vt) simgesiyle gösterilebilir. Poisson dağılımını veren bağıntı, yukarıda belirtilen kabuller esas alınarak türetilmiştir; Öngörülen bir zaman aralığında ya da belirli bir bölge içinde gözüken başarıların sayısını gösteren X t Poisson rasgele değişkeninin olasılık dağılımı şöyledir; P(X t (vt) x! x vt x) p(x; vt) e x=0,1,,3, v, ortaya çıkış ortalama hızı; olayın, birim zaman aralığında yada birim bölge içinde ortalama ortaya çıkma sayısı vt; öngörülen zaman aralığında ya da belirli bir bölgede gözüken başarıların ortalama sayısı Poisson dağılımının hem ortalama değeri hem de varyansı vt ye eşittir. E(X)=vt, Var(X)=vt vt nin 0.1 den 18 e dek kimi değerleri için poisson olasılık toplamları aşağıdaki tabloda görülmektedir. Örnek; Bir laboratuar deneyinde, bir sayıcıdan bir milisaniye içinde geçen radyo aktif parçacıkların ortalama sayısı 4 tür. Belirli bir milisaniyede 6 parçanın sayıcıya girme olasılığı ne olur? X=6 ve vt=4 için aşağıdaki tablo kullanılırsa; P(X t 6 5 6) p(6;4) p(x;4) p(x;4) x0 x0 Örnek; Bir liman kentine her gün ortalama 10 petrol tankeri gelmekte ve limanda hareket serbestliği sağlanabilmesi için tanker sayısının günde 15 i aşmaması istenmektedir. Belirli bir günde tankerlerin geriye çevrilme olasılığı ne olur? Her gün gelen tanker sayısı X olsun. Aşağıdaki poisson tablosu kullanılırsa; P (Xt 15) 1 P(Xt 15) 1 p(x;10) x0 5-8 BAÜ Müh-Mim Fak. İstatistik Dersi Dr. Banu Yağcı

9 5-9 BAÜ Müh-Mim Fak. İstatistik Dersi Dr. Banu Yağcı

10 Bernouilli denemeleri - Poisson süreci n, p 0 ve np sabit olan bir binom dağılımının limiti Poisson dağılımı olur; b(x;n,p) p(x; vt) Bu nedenle n büyük ve p sıfıra yakınsa, m=vt=np olan poisson dağılımı, yaklaşık binom olasılıklarının belirlenmesinde kullanılabilir. Örnek Cam eşyanın üretildiği belirli bir üretim sürecinde ortaya çıkan kusurlar ya da hava kabarcıkları, kimi zaman parçanın satılmasına engel olabilir. Üretilen her 1000 parçadan ortalama bir tanesinde bir ya da birden fazla hava kabarcığı bulunduğunu bildiğimizi varsayalım ve 8000 parçadan oluşan rastgele bir örnekteki kabarcıklı parça sayısının 7 den az olması ihtimalini belirleyelim BAÜ Müh-Mim Fak. İstatistik Dersi Dr. Banu Yağcı

11 Aslında deney, n= 8000 ve p= olan bir binom deneyidir. Ne var ki, p sıfıra çok yakındır ve n oldukça büyüktür. Bu bakımdan sorunun yaklaşık çözümü m=(8000).(0.001)=8 alınarak Poisson dağılımıyla yapılabilir. Şu halde, hava kabarcıklı parçaların sayısı X ile gösterilirse; 6 6 P (X 7) b(x;8000,0.001) p(x;8) (Poisson tablosundan) 0 0 Üssel dağılım Önce de belirtildiği gibi mühendislikle ve bilimle ilgili olasılıksal sorunların çoğu normal dağılım kullanılarak çözülebilir. Ama buna karşın, değişik tip yoğunluk fonksiyonlarının model alınmasını gerektiren çok sayıda olgu da vardır. Bunlardan biri, üssel dağılımdır. Üssel dağılımın Poisson süreciyle ilişkisi vardır. İlişki şöyle açıklanabilir: İlgilenilen olay bir Poisson sürecinde ortaya çıkıyorsa, olayın ilk ortaya çıkışına dek geçen T 1 zamanı üssel dağılımlı olur. T 1 >t, t zamanı içinde olayın gözükmemesi demek olduğundan Poisson bağıntısına göre P(T 1 > t) = P(X t = 0) = e -vt ; T 1 bir Poisson sürecinde ilk ortaya çıkış zamanı. Ayrıca, bir Poisson sürecinde bir olayın örtüşmeyen zaman aralıkları içinde ortaya çıkışları istatistiksel bağımsız olduğu için T 1, aynı zamanda, tekrarlanma zamanı ya da olayın iki ardışık gözüküşü arasında geçen zaman olur. vt T 1 rasgele değişkeni olasılık fonksiyonu; (t) P(T t) 1 e FT 1 Örnek Geçmişle ilgili kayıtlara göre bir kentte son 15 yıllık zaman dilimi içerisinde VI ya da daha fazla şiddette 16 deprem oluşmuştur. Kentin bulunduğu yörede oluşan yüksek-şiddette depremlerin bir Poisson süreci izlediğini kabul edelim ve bu tür depremlerin gelecekteki iki yıl içerisinde ortaya çıkması olasılığını belirleyelim. Her yıl için depremin ortaya çıkış ortalama hızı v=16 /15 = 0.18 dir. Dolayısıyla P(T 1 )=1-e -0.18() = 0.6 olur. Gelecekteki 10 yıl içinde anılan şiddette depremin oluşmaması olasılığı da; P(T 1 > 10) = e -0.18(10) = 0.78 bulunur. 1 Çeşitli zaman dilimleri için P(T 1 t)=1-e t bağıntısı ile belirlenen Olasılıklar yandaki şekilde gösterilmiştir BAÜ Müh-Mim Fak. İstatistik Dersi Dr. Banu Yağcı

Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları

Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları 1 Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir.

Detaylı

Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir,

Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir, 14. Binom ve Poisson olasılık dağılımları Faktöriyeller ve kombinasyonlar Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, n! denir ve n! = 1.2.3...(n-2).(n-l).n biçiminde gösterilir.

Detaylı

KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI. Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı

KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI. Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı 1 Bernoulli Dağılımı Bir şans değişkeninin bernoulli dağılımı göstermesi için ilgilenilen süreçte bernoulli

Detaylı

Simülasyonda İstatiksel Modeller

Simülasyonda İstatiksel Modeller Simülasyonda İstatiksel Modeller Amaç Model-geliştirici dünyaya deterministik değil olasıksal olarak bakar. İstatiksel modeller değişimleri iyi tanımlayabilir. İlgilenilen olayın örneklenmesi ile uygun

Detaylı

Dr. Mehmet AKSARAYLI

Dr. Mehmet AKSARAYLI Dr. Mehmet AKSARAYLI Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir. Şans Değişkenleri KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Kesikli

Detaylı

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Olasılığa ilişkin olayların çoğunluğunda, deneme sonuçlarının bir veya birkaç yönden incelenmesi

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Örnekleme Planlar ve Dağılımları Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım İncelenen olayın ait olduğu anakütlenin bütünüyle dikkate alınması zaman, para, ekipman ve bunun gibi nedenlerden dolayı

Detaylı

Başarı olasılığı olan bir Bernoulli denemesinin aynı şartlar altında (bağımsız olarak) n kez tekrarlanması ile oluşan deneye binom deneyi denir.

Başarı olasılığı olan bir Bernoulli denemesinin aynı şartlar altında (bağımsız olarak) n kez tekrarlanması ile oluşan deneye binom deneyi denir. 3.5. Bazı Kesikli Dağılımlar 3.5.1. Bernoulli Dağılımı Bir deneyde başarı ve başarısızlık diye nitelendirilen iki sonuçla ilgilenildiğinde bu deneye (iki sonuçlu) Bernoulli deneyi ya da Bernoulli denemesi

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ÖRNEK: GEOMETRİK DAĞILIM

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ÖRNEK: GEOMETRİK DAĞILIM ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ KESİKLİ DAĞILIMLAR-2 DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL 2015 GEOMETRİK DAĞILIM Bir Bernoulli deneyi ilk olumlu sonuç elde edilmesine kadar tekrarlansın. X: ilk olumlu sonucun

Detaylı

Rastgele Değişkenlerin Dağılımları. Mühendislikte İstatistik Yöntemler

Rastgele Değişkenlerin Dağılımları. Mühendislikte İstatistik Yöntemler Rastgele Değişkenlerin Dağılımları Mühendislikte İstatistik Yöntemler Ayrık Rastgele Değişkenler ve Olasılık Dağılımları Yapılan çalışmalarda elde edilen verilerin dağılışı ve dağılış fonksiyonu her seferinde

Detaylı

İSTATİSTİK DERS NOTLARI

İSTATİSTİK DERS NOTLARI Balıkesir Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü umutokkan@balikesir.edu.tr İSTATİSTİK DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Umut OKKAN Hidrolik Anabilim Dalı Balıkesir Üniversitesi Balıkesir Üniversitesi İnşaat

Detaylı

1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz...

1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz... 1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz... CABİR VURAL BAHAR 2006 Açıklamalar

Detaylı

Simülasyonda İstatiksel Modeller. Banks, Carson, Nelson & Nicol Discrete-Event System Simulation

Simülasyonda İstatiksel Modeller. Banks, Carson, Nelson & Nicol Discrete-Event System Simulation Simülasyonda İstatiksel Modeller Banks, Carson, Nelson & Nicol Discrete-Event System Simulation Amaç Model-geliştirici dünyaya deterministik değil olasıksal olarak bakar. İstatiksel modeller değişimleri

Detaylı

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER Sürekli Rassal Değişkenler Sürekli Rassal Değişken: Değerleriölçümyadatartımla elde edilen, bir başka anlatımla sayımla elde edilemeyen, değişkene sürekli rassal değişken denir.

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BEKLENEN DEĞER. X beklenen değeri B[X] ile gösterilir. B[X] = İST 213 OLASILIK DERSİ BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLER

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BEKLENEN DEĞER. X beklenen değeri B[X] ile gösterilir. B[X] = İST 213 OLASILIK DERSİ BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLER ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLER DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL 2015 X beklenen değeri B[X] ile gösterilir. B[X] = BEKLENEN DEĞER Belli bir malzeme taşınan kolilerin ağırlıkları

Detaylı

SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım

SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ Üstel Dağılım Normal Dağılım 1 Üstel Dağılım Meydana gelen iki olay arasındaki geçen süre veya bir başka ifadeyle ilgilenilen olayın ilk defa ortaya çıkması için geçen sürenin

Detaylı

SÜREKSİZ(DISCRETE) OLASILIK DAĞILIMLARI

SÜREKSİZ(DISCRETE) OLASILIK DAĞILIMLARI SÜREKSİZ(DISCRETE) OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç.Dr. İrfan Yolcubal Kocaeli Üni. Jeoloji Müh. Random Değişken: Nümerik olarak ifade edilen bir deneyin sonuçları Süreksiz(Discrete) Random Değişken: Randomdeğişken

Detaylı

Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları

Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları KAVRAMLAR Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları Deney: belirli koşullar altında tekrarlanabilen ve her tekrarda farklı sonuçlar elde edilebilen işlemdir. Örneklem uzayı: bir denemenin tüm olası

Detaylı

Tesadüfi Değişken. w ( )

Tesadüfi Değişken. w ( ) 1 Tesadüfi Değişken Tesadüfi değişkenler gibi büyük harflerle veya gibi yunan harfleri ile bunların aldığı değerler de gibi küçük harflerle gösterilir. Tesadüfi değişkenler kesikli veya sürekli olmak üzere

Detaylı

Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler

Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler BÖLÜM 7 TAHMİNLER Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU 1 Tahmin (kestirim veya öngörü): Mevcut bilgi ve deneylere dayanarak olayın bütünü hakkında bir yargıya varmaktır.

Detaylı

KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM

KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM Eğer X kesikli rassal değişkeninin alabileceği değerler (,,..., ) eşit olasılığa sahip ise, kesikli düzgün dağılım söz konusudur. p(x) =, X=,,..., şeklinde gösterilir. Bir kutuda

Detaylı

WEIBULL DAĞILIMI WEIBULL DAĞILIMI ANADOLU ÜNİVERSİTESİ

WEIBULL DAĞILIMI WEIBULL DAĞILIMI ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ SÜREKLİ DAĞILIMLAR-2 DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL 2015 WEIBULL DAĞILIMI Weibull dağılımı, pek çok farklı sistemlerin bozulana kadar geçen süreleri ile ilgilenir. Dağılımın

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık -II Prof. Dr. İrfan KAYMAZ İki Ortalama Farkının Güven Aralığı Anakütle Varyansı Biliniyorsa İki ortalama arasındaki farkın dağılımına ilişkin Z değişkeni: Güven aralığı ifadesinde

Detaylı

4) Seyrek rastlanılan bir hastalık için belli bir zaman araalığında bu hastalığa yakalananların sayısının gözlenmesi,

4) Seyrek rastlanılan bir hastalık için belli bir zaman araalığında bu hastalığa yakalananların sayısının gözlenmesi, POĐSSON DAĞILIMI Poisson Dağılımı sürekli oramlarda (zaman, alan, hacim, ) kesikli sonuçlar veren ve aşağıda a),b),c) şıklarında belirilen özelliklere sahip deneylerin modellenmesinde kullanılan bir dağılım

Detaylı

rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, 3.6. Bazı Sürekli Dağılımlar 3.6.1 Normal Dağılım Normal dağılım hem uygulamalı hem de teorik istatistikte kullanılan oldukça önemli bir dağılımdır. Normal dağılımın istatistikte önemli bir yerinin olmasının

Detaylı

Rastlantı Değişkenleri

Rastlantı Değişkenleri Rastlantı Değişkenleri Olasılık Kütle Fonk. Example: A shipment of 8 similar microcomputers to a retail outlet contains 3 that are defective. If a school makes a random purchase of 2 of these computers,

Detaylı

0.04.03 Standart Hata İstatistikte hesaplanan her istatistik değerin mutlaka hatası da hesaplanmalıdır. Çünkü hesaplanan istatistikler, tahmini bir değer olduğu için mutlaka hataları da vardır. Standart

Detaylı

Olasılık teorisi, matematiğin belirsizlik taşıyan olaylarla ilgilenen bir dalıdır. Bu bilim dalı rasgele değişkenleri inceler.

Olasılık teorisi, matematiğin belirsizlik taşıyan olaylarla ilgilenen bir dalıdır. Bu bilim dalı rasgele değişkenleri inceler. Bölüm 2 OLASILIK TEORİSİ Olasılık teorisi, matematiğin belirsizlik taşıyan olaylarla ilgilenen bir dalıdır. Bu bilim dalı rasgele değişkenleri inceler. Rasgele değişken, gelecekteki bir gözlemde alacağı

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık KORELASYON ve REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Bir değişkenin değerinin diğer değişkendeki veya değişkenlerdeki değişimlere bağlı olarak nasıl etkilendiğinin istatistiksel

Detaylı

GAZİ ÜNİVERSİTESİ, İ.İ.B.F, İSTATİSTİK VE OLASILIĞA GİRİŞ I, UYGULAMA SORULARI. Prof. Dr. Nezir KÖSE

GAZİ ÜNİVERSİTESİ, İ.İ.B.F, İSTATİSTİK VE OLASILIĞA GİRİŞ I, UYGULAMA SORULARI. Prof. Dr. Nezir KÖSE GAZİ ÜNİVERSİTESİ, İ.İ.B.F, İSTATİSTİK VE OLASILIĞA GİRİŞ I, UYGULAMA SORULARI Prof. Dr. Nezir KÖSE 30.12.2013 S-1) Ankara ilinde satın alınan televizyonların %40 ı A-firması tarafından üretilmektedir.

Detaylı

İçindekiler. Ön Söz... xiii

İçindekiler. Ön Söz... xiii İçindekiler Ön Söz.................................................... xiii Bölüm 1 İstatistiğe Giriş....................................... 1 1.1 Giriş......................................................1

Detaylı

SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI

SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI Sürekli verilerin göstermiş olduğu dağılışa sürekli olasılık dağılışı denir. Sürekli olasılık dağılışlarının fonksiyonlarına yoğunluk fonksiyonu denilmekte ve bu dağılışlarla

Detaylı

Tablo (2): Atıştırma Sayısı ve Günlük Sınav Sayısı Atıştırma Sınav Sayısı (X) 0 0.07 0.09 0.06 0.01

Tablo (2): Atıştırma Sayısı ve Günlük Sınav Sayısı Atıştırma Sınav Sayısı (X) 0 0.07 0.09 0.06 0.01 Ortak Varyans ve İstatistiksel Bağımsızlık Bir rassal değişken çifti istatistiksel olarak bağımsız ise aralarındaki ortak varyansın değeri 0 dır. Ancak ortak varyans değerinin 0 olması, iki rassal değişkenin

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 8: Prof. Dr. Tanım Hipotez, bir veya daha fazla anakütle hakkında ileri sürülen, ancak doğruluğu önceden bilinmeyen iddialardır. Ortaya atılan iddiaların, örnekten elde edilen

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

MAT 208 İSTATİSTİK ve OLASILIK II ALIŞTIRMALAR-1

MAT 208 İSTATİSTİK ve OLASILIK II ALIŞTIRMALAR-1 MAT 208 İSTATİSTİK ve OLASILIK II ALIŞTIRMALAR-1 şeklinde tanımlanan dağılımın a) Ortalama ve varyans değerlerini bulunuz b) Moment yaratma fonksiyonunu bularak a-şıkkını tekrar çözünüz. Bir tezgahta üretilen

Detaylı

Parametrik Olmayan İstatistik. Prof. Dr. Cenk ÖZLER

Parametrik Olmayan İstatistik. Prof. Dr. Cenk ÖZLER Parametrik Olmayan İstatistik Prof. Dr. Cenk ÖZLER Not: Beklenen Frekansı 5 in altında olan gruplar varsa, bu gruplar bir önceki veya bir sonraki grupla birleştirilir. Hipotezler χ 2 Dağılışa Uyum Testi

Detaylı

Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler

Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler BÖLÜM 9 VARYANS ANALİZİ Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU 1 Varyans analizi niçin yapılır? İkiden fazla veri grubunun ortalamalarının karşılaştırılması t veya Z testi

Detaylı

19.11.2013 EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Sürekli Dağılımlar (2) Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar.

19.11.2013 EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Sürekli Dağılımlar (2) Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar. 9..03 EME 305 SİSTEM SİMÜLASYONU Simulasyonda İstatistiksel Modeller-II Ders 5 Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar Sürekli Düzgün (Uniform) Dağılım Normal Dağılım Üstel (Exponential)

Detaylı

OLASILIK. P(A) = şeklinde ifade edilir.

OLASILIK. P(A) = şeklinde ifade edilir. OLASILIK Olasılık belirli bir olayın olabilirliğinin sayısal ölçüsüdür. Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. 17 yy. da şans oyunlarıyla birlikte kullanılmaya

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

2016 YILI AKTÜERLİK SINAVLARI: İSTATİSTİK OLASILIK

2016 YILI AKTÜERLİK SINAVLARI: İSTATİSTİK OLASILIK Soru 1 X rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu x x, x> f ( x) = 0, dy. 1 werilmiş ve Y = rassal değişkeni tanımlamış ise, Y değişkenin 0< 1 X 1 y için olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 5: Rastgele Değişkenlerin Dağılımları II Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Sık Kullanılan Dağılımlar Frekans tablolarına dayalı histogram ve frekans poligonları, verilerin dağılımı hakkında

Detaylı

PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER

PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER Prof. Dr. Ali ŞEN 1 Tek Örneklem İşaret Testi İşaret Testi parametrik olmayan prosedürler içinde en eski olanıdır. Analiz yapılırken serideki verileri artı ve

Detaylı

Hatalar Bilgisi ve İstatistik Ders Kodu: Kredi: 3 / ECTS: 5

Hatalar Bilgisi ve İstatistik Ders Kodu: Kredi: 3 / ECTS: 5 Ders Kodu: 0010070021 Kredi: 3 / ECTS: 5 Yrd. Doç. Dr. Serkan DOĞANALP Necmettin Erbakan Üniversitesi Harita Mühendisliği Bölümü Konya 07.01.2015 1 Giriş 2 Giriş Matematiksel istatistiğin konusu yığın

Detaylı

SAB 101 OLASILIK DERS NOTLARI. Prof.Dr. Fatih TANK. SAB 101 Olasılık. F.Tank. 1. Geometirk Dağılım. 2. Negatif Binom Dağılımı

SAB 101 OLASILIK DERS NOTLARI. Prof.Dr. Fatih TANK. SAB 101 Olasılık. F.Tank. 1. Geometirk Dağılım. 2. Negatif Binom Dağılımı SAB 101 OLASILIK DERS NOTLARI Prof.Dr. Fatih TANK Ankara Üniversitesi Uygulamalı Bilimler Fakültesi Sigortacılık ve Aktüerya Bilimleri Bölümü Prof.Dr. Fatih TANK - Olasılık Ders Notları- Sayfa : 1/7 Haftalık

Detaylı

BÖLÜM 12 STUDENT T DAĞILIMI

BÖLÜM 12 STUDENT T DAĞILIMI 1 BÖLÜM 12 STUDENT T DAĞILIMI 'Student t dağılımı' ya da kısaca 't dağılımı'; normal dağılım ve Z dağılımının da içerisinde bulunduğu 'sürekli olasılık dağılımları' ailesinde yer alan dağılımlardan bir

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1 Araştırma sonuçlarının açıklanmasında frekans tablosu

Detaylı

Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ

Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ YTÜ-İktisat İstatistik II Merkezi Limit Teoremi 1 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ CENTRAL LIMIT THEOREM X 1,X 2,...,X n herbirinin ortalaması µ ve varyansı σ 2 olan ve aynı dağılıma uyan n tane bağımsız r.d. olsun.

Detaylı

İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME. Örneklem istatistiklerinden hareketle ana kütle parametreleri hakkında genelleme yapmaya istatistiksel tahminleme denir.

İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME. Örneklem istatistiklerinden hareketle ana kütle parametreleri hakkında genelleme yapmaya istatistiksel tahminleme denir. İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME Örneklem istatistiklerinden hareketle ana kütle parametreleri hakkında genelleme yapmaya istatistiksel tahminleme denir. 1 ŞEKİL: Evren uzay-örneklem uzay İstatistiksel tahmin

Detaylı

3/6/2013. Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları

3/6/2013. Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları Kesikli Düzgün (uniform) Dağılım Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Çok Terimli Dağılım Geometrik Dağılım Negatif Binom Dağılımı Hipergeometrik Dağılım Poisson Dağılımı

Detaylı

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

10. Bir ana kütle oranının tahmininde α = 0,05 ise kullanılan Z değeri nedir? A) 1,64 B) 1,84 C) 1,96 D) 2,28 E) 3,08

10. Bir ana kütle oranının tahmininde α = 0,05 ise kullanılan Z değeri nedir? A) 1,64 B) 1,84 C) 1,96 D) 2,28 E) 3,08 1. Tanımlanan ana kütleden rassal seçilen örneklemlerden hesaplanan istatistikler yardımı ile ilgili ana kütle parametrelerinin değerini araştırma sürecine ne ad verilir? A) İstatistiksel hata B) İstatistiksel

Detaylı

İÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37

İÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37 İÇİNDEKİLER BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1 İstatistik 1 Yığın ve Örnek; Tümevarımcı ve Betimleyici İstatistik 1 Değişkenler: Kesikli ve Sürekli 1 Verilerin Yuvarlanması Bilimsel Gösterim Anlamlı Rakamlar

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Rastgele Değişkenlerin Dağılımları I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Ders konusu Bu derste; Rastgele değişkenlerin tanımı ve sınıflandırılması Olasılık kütle fonksiyonu Olasılık yoğunluk

Detaylı

İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ÖĞRENCİLERİNİN BAŞARI NOTLARININ DEĞERLENDİRİLMESİ. Tamer Yılmaz, Barış Yılmaz, Halim Sezici 1 ÖZET

İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ÖĞRENCİLERİNİN BAŞARI NOTLARININ DEĞERLENDİRİLMESİ. Tamer Yılmaz, Barış Yılmaz, Halim Sezici 1 ÖZET İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ÖĞRENCİLERİNİN BAŞARI NOTLARININ DEĞERLENDİRİLMESİ Tamer Yılmaz, Barış Yılmaz, Halim Sezici 1 ÖZET Bu çalışmada, Celal Bayar Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü öğrencilerinin

Detaylı

2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI Tanım

2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI Tanım 2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI 2.1. Tanım Regresyon analizi, bir değişkenin başka bir veya daha fazla değişkene olan bağımlılığını inceler. Amaç, bağımlı değişkenin kitle ortalamasını, açıklayıcı

Detaylı

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2 Bir Olayın Olasılığı P(A) = n(a) n(s) = A nın eleman sayısı S nin eleman sayısı Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? Çözüm: S

Detaylı

ÖABT Olasılık - İstatistik KONU TESTİ Saymanın Temel Kuralları

ÖABT Olasılık - İstatistik KONU TESTİ Saymanın Temel Kuralları ÖABT Olasılık - İstatistik KONU TESTİ Saymanın Temel Kuralları. 9 + = 6. A dan B ye 5 farklı şekilde gidebilir. B den C ye 3 farklı şekilde gidebilir. 5.3 = 5. 4.5 = 0 7. 5.3.3.5 5 3. kişi için iki durum

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM317 Mühendislik İstatistiği İSTATİSTİKSEL TAHMİN Prof. Dr. Nihal ERGİNEL

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM317 Mühendislik İstatistiği İSTATİSTİKSEL TAHMİN Prof. Dr. Nihal ERGİNEL ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ENM317 Mühendislik İstatistiği İSTATİSTİKSEL TAHMİN Prof. Dr. Nihal ERGİNEL İSTATİSTİKSEL TAHMİN Örnekten anakütle parametrelerinin tahmin edilmesidir. İki tür tahminleme yöntemi vardır:

Detaylı

3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI

3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI ÖNSÖZ İÇİNDEKİLER III Bölüm 1 İSTATİSTİK ve SAYISAL BİLGİ 11 1.1 İstatistik ve Önemi 12 1.2 İstatistikte Temel Kavramlar 14 1.3 İstatistiğin Amacı 15 1.4 Veri Türleri 15 1.5 Veri Ölçüm Düzeyleri 16 1.6

Detaylı

Gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal. değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma

Gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal. değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma 2 13.1 Normal Dağılımın Standartlaştırılması Gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma değerleriyle normal

Detaylı

BÖLÜM 5 İKİ VEYA DAHA YÜKSEK BOYUTLU RASGELE DEĞİŞKENLER İki Boyutlu Rasgele Değişkenler

BÖLÜM 5 İKİ VEYA DAHA YÜKSEK BOYUTLU RASGELE DEĞİŞKENLER İki Boyutlu Rasgele Değişkenler BÖLÜM 5 İKİ VEYA DAHA YÜKSEK BOYUTLU RASGELE DEĞİŞKENLER 5.. İk Boyutlu Rasgele Değşkenler Br deney yapıldığında, aynı deneyle lgl brçok rasgele değşkenn aynı andak durumunu düşünmek gerekeblr. Böyle durumlarda

Detaylı

SİMÜLASYON ÇEŞİTLERİ HAZIRLAYAN: ÖZLEM AYDIN

SİMÜLASYON ÇEŞİTLERİ HAZIRLAYAN: ÖZLEM AYDIN SİMÜLASYON ÇEŞİTLERİ HAZIRLAYAN: ÖZLEM AYDIN SİMÜLASYON ÇEŞİTLERİ Günümüz simülasyonları gerçek sistem davranışlarını, zamanın bir fonksiyonu olduğu düşüncesine dayanan Monte Carlo yöntemine dayanır. 1.

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

ARALIK TAHMİNİ (INTERVAL ESTIMATION):

ARALIK TAHMİNİ (INTERVAL ESTIMATION): YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmini I 1 ARALIK TAHMİNİ INTERVAL ESTIMATION): Nokta tahmininde ilgilenilen anakütle parametresine ilişkin örneklem bilgisinden hareketle tek bir sayı üretilir. Bir nokta

Detaylı

altında ilerde ele alınacaktır.

altında ilerde ele alınacaktır. YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmin Yöntemleri 1 NOKTA TAHMİN YÖNTEMLERİ Şimdiye kadar verilmiş tahmin edicilerin sonlu örneklem ve asimptotik özelliklerini inceledik. Acaba bilinmeyen anakütle parametrelerini

Detaylı

Bekleme Hattı Teorisi

Bekleme Hattı Teorisi Bekleme Hattı Teorisi Sürekli Parametreli Markov Zincirleri Tanım 1. * +, durum uzayı * +olan sürekli parametreli bir süreç olsun. Aşağıdaki özellik geçerli olduğunda bu sürece sürekli parametreli Markov

Detaylı

RASGELE SÜREÇLER İ.Ü. ELEKTRİK ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ İLETİŞİM LABORATUVARI ARALIK, 2007

RASGELE SÜREÇLER İ.Ü. ELEKTRİK ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ İLETİŞİM LABORATUVARI ARALIK, 2007 RASGELE SÜREÇLER İ.Ü. ELEKTRİK ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ İLETİŞİM LABORATUVARI ARALIK, 007 1 Tekdüze Dağılım Bir X rasgele değişkenin, a ve b arasında tekdüze dağılımlı olabilmesi için olasılık yoğunluk

Detaylı

Bölüm 13. ÖZEL OLASILIK DAĞILIMLARI

Bölüm 13. ÖZEL OLASILIK DAĞILIMLARI SAKARYA UNIVERSITESI Bölüm 13. ÖZEL OLASILIK DAĞILIMLARI Prof. Dr. Mustafa AKAL 1 İÇİNDEKİLER 1. BERNOULLİ DAĞILIMI 2. BİNOM DAĞILIMI 3. POİSSON DAĞILIMI 4. PASCAL DAĞILIMI 5. GEOMETRİK DAĞILIM 6. HİPERGEOMETRİK

Detaylı

İSTATİSTİK DERS NOTLARI

İSTATİSTİK DERS NOTLARI Balıkesir Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü umutokkan@balikesir.edu.tr İSTATİSTİK DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Umut OKKAN Hidrolik Anabilim Dalı Balıkesir Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü Bölüm

Detaylı

RASSAL SAYI ÜRETİLMESİ

RASSAL SAYI ÜRETİLMESİ Dr. Mehmet AKSARAYLI Ekonometri Böl. Simülasyon Ders Notları Rassal Sayı Üretilmesi RASSAL SAYI ÜRETİLMESİ Simülasyon analizinde kullanılacak az sayıda rassal sayı üretimi için ilkel yöntemler kullanılabilir.

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

Tanımlayıcı İstatistikler. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN Tanımlayıcı İstatistikler Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 Tanımlayıcı İstatistikler Yer Gösteren Ölçüler Yaygınlık Ölçüleri Merkezi Eğilim Ölçüleri Konum Ölçüleri 2 3 Aritmetik Ortalama Aritmetik ortalama,

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Neşet Demirci, Balıkesir Üniversitesi NEF Fizik Eğitimi. Parametrik Olmayan Testler. Ki-kare (Chi-Square) Testi

Yrd. Doç. Dr. Neşet Demirci, Balıkesir Üniversitesi NEF Fizik Eğitimi. Parametrik Olmayan Testler. Ki-kare (Chi-Square) Testi Parametrik Olmayan Testler Ki-kare (Chi-Square) Testi Ki-kare (Chi-Square) Testi En iyi Uygunluk (Goodness of Fit) Ki-kare Dağılımı Bir çok önemli istatistik testi ki kare diye bilinen ihtimal dağılımı

Detaylı

Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Testler

Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Testler Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Testler İÇERİK o Giriş ovaryansı Bilinen Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Hipotez Testler P-değerleri: II. Çeşit hata ve Örnekleme Büyüklüğü Seçimi Örnekleme Büyüklüğü

Detaylı

Hipotez Testleri. Mühendislikte İstatistik Yöntemler

Hipotez Testleri. Mühendislikte İstatistik Yöntemler Hipotez Testleri Mühendislikte İstatistik Yöntemler Hipotez Testleri Parametrik Testler ( z ve t testleri) Parametrik Olmayan Testler (χ 2 Testi) Hipotez Testleri Ana Kütle β( µ, σ ) Örnek Kütle b ( µ

Detaylı

NORMAL DAĞILIM. 2., anakütle sayısı ile Poisson dağılımına uyan rassal bir değişkense ve 'a gidiyorsa,

NORMAL DAĞILIM. 2., anakütle sayısı ile Poisson dağılımına uyan rassal bir değişkense ve 'a gidiyorsa, NORMAL DAĞILIM TEORİK 1., ortalaması, standart sapması olan bir normal dağılıma uyan rassal bir değişkense, bir sabitken nin beklem üreten fonksiyonunu bulun. 2., anakütle sayısı ile Poisson dağılımına

Detaylı

RISK ANALIZI SINAVI WEB EKİM Kasko sigortasından çekilen beş hasarlı bir rassal örneklem aşağıdaki gibi verilmektedir:

RISK ANALIZI SINAVI WEB EKİM Kasko sigortasından çekilen beş hasarlı bir rassal örneklem aşağıdaki gibi verilmektedir: RISK ANALIZI SINAVI WEB EKİM 2017 SORU 1: Kasko sigortasından çekilen beş hasarlı bir rassal örneklem aşağıdaki gibi verilmektedir: 115 240 325 570 750 Hasarların α = 1 ve λ parametreli Gamma(α, λ) dağılıma

Detaylı

Yapılan alan araştırması sonucunda aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. ( ) ( ) ( ) ( )

Yapılan alan araştırması sonucunda aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. ( ) ( ) ( ) ( ) İKİ DEĞİŞKENLİ OLASILIK Rassal bir deneme yapılmakta ve farklı iki olay ile ilgilenilmektedir. A 1, A 2,,A i olayları bağdaşmaz ve bütünü kapsayıcıdır. B 1, B 2,,B j olayları bağdaşmaz ve bütünü kapsayıcıdır.

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM 317 MÜHENDİSLİK İSTATİSTİĞİ PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER Prof. Dr. Nihal ERGİNEL

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM 317 MÜHENDİSLİK İSTATİSTİĞİ PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER Prof. Dr. Nihal ERGİNEL ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ENM 317 MÜHENDİSLİK İSTATİSTİĞİ PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER Prof. Dr. Nihal ERGİNEL PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER Daha önce incelediğimiz testler, normal dağılmış ana kütleden örneklerin

Detaylı

Rassal Değişken Üretimi

Rassal Değişken Üretimi Rassal Değişken Üretimi Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI GİRİŞ Yaşadığımız ya da karşılaştığımız olayların sonuçları farlılık göstermektedir. Sonuçları farklılık gösteren bu olaylar, tesadüfü olaylar olarak adlandırılır.

Detaylı

8.Hafta. Değişkenlik Ölçüleri. Öğr.Gör.Muhsin ÇELİK. Uygun değişkenlik ölçüsünü hesaplayıp yorumlayabilecek,

8.Hafta. Değişkenlik Ölçüleri. Öğr.Gör.Muhsin ÇELİK. Uygun değişkenlik ölçüsünü hesaplayıp yorumlayabilecek, İSTATİSTİK 8.Hafta Değişkenlik Ölçüleri Hedefler Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Uygun değişkenlik ölçüsünü hesaplayıp yorumlayabilecek, Serilerin birbirlerine değişkenliklerini yorumlayabileceksiniz. 2

Detaylı

HİPOTEZ TESTLERİ ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. Hipotez Testleri ENM317 Mühendislik İstatistiği Doç. Dr. Nihal ERGİNEL 2014

HİPOTEZ TESTLERİ ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. Hipotez Testleri ENM317 Mühendislik İstatistiği Doç. Dr. Nihal ERGİNEL 2014 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ Hipotez Testleri ENM317 Mühendislik İstatistiği Doç. Dr. Nihal ERGİNEL 2014 HİPOTEZ TESTLERİ Pek çok problemde bazı parametrelere bağlı bir ifadeyi kabul yada red etmek için karar

Detaylı

Sürekli Rastsal Değişkenler

Sürekli Rastsal Değişkenler Sürekli Rastsal Değişkenler Normal Dağılım: Giriş Normal Dağılım: Tamamen ortalaması ve standart sapması ile tanımlanan bir rastsal değişken, X, için oluşturulan sürekli olasılık dağılımına normal dağılım

Detaylı

UYGULAMALI MATEMATİK KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

UYGULAMALI MATEMATİK KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT UYGULAMALI MATEMATİK KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT UYGULAMALI MATEMATİK KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması

Detaylı

UYGULAMALI MATEMATİK ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

UYGULAMALI MATEMATİK ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT UYGULAMALI MATEMATİK ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT UYGULAMALI MATEMATİK ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik,

Detaylı

BİLİŞİM TEKNOLOJİLERİ İÇİN İŞLETME İSTATİSTİĞİ

BİLİŞİM TEKNOLOJİLERİ İÇİN İŞLETME İSTATİSTİĞİ SAKARYA ÜNİVERSİTESİ BİLİŞİM TEKNOLOJİLERİ İÇİN İŞLETME İSTATİSTİĞİ Hafta 7 Yrd. Doç. Dr. Halil İbrahim CEBECİ Bu ders içeriğinin basım, yayım ve satış hakları Sakarya Üniversitesi ne aittir. "Uzaktan

Detaylı

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

ISTATISTIK VE OLASILIK SINAVI EKİM 2016 WEB SORULARI

ISTATISTIK VE OLASILIK SINAVI EKİM 2016 WEB SORULARI SORU- 1 : ISTATISTIK VE OLASILIK SINAVI EKİM 2016 WEB SORULARI X ve Y birbirinden bağımsız iki rasgele değişken olmak üzere, sırasıyla aşağıdaki moment çıkaran fonksiyonlarına sahiptir: 2 2 M () t = e,

Detaylı

VERİ KÜMELERİNİ BETİMLEME

VERİ KÜMELERİNİ BETİMLEME BETİMLEYİCİ İSTATİSTİK VERİ KÜMELERİNİ BETİMLEME Bir amaç için derlenen verilerin tamamının olduğu, veri kümesindeki birimlerin sayısal değerlerinden faydalanarak açık ve net bir şekilde ilgilenilen özellik

Detaylı

İSTATİSTİK EXCEL UYGULAMA

İSTATİSTİK EXCEL UYGULAMA İSTATİSTİK EXCEL UYGULAMA EXCEL UYGULAMA Bu bölümde Excel ile ilgili temel bilgiler sunulacak ve daha sonra İstatistiksel Uygulamalar hakkında bilgi verilecektir. İşlenecek Konular: Merkezi eğilim Ölçüleri

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

OLASILIK OLASILIK. Bireysel belirsizlik ve uzun dönemdeki düzenlilik deneysel bilimlerde de sık sık ortaya çıkar

OLASILIK OLASILIK. Bireysel belirsizlik ve uzun dönemdeki düzenlilik deneysel bilimlerde de sık sık ortaya çıkar OLASILIK OLASILIK İstatistiğin temel araçlarından biri olasılıktır 17. yy daşans oyunları ile başlamıştır Her bir denemenin çıktısı belirsizdir Fakat uzun dönemde çıktı kestirimlenebilir Bireysel belirsizlik

Detaylı

Mühendislikte İstatistik Yöntemler

Mühendislikte İstatistik Yöntemler .0.0 Mühendislikte İstatistik Yöntemler İstatistik Parametreler Tarih Qma.3.98 4..98 0.3.983 45 7..984 37.3.985 48 0.4.986 67.4.987 5 0.3.988 45.5.989 34.3.990 59.4.99 3 4 34 5 37 6 45 7 45 8 48 9 5 0

Detaylı

OLASILIK (Probability)

OLASILIK (Probability) OLASILIK (Probability) Olasılık, bir olayın meydana gelme, ortaya çıkma şansını ifade eder ve P ile gösterilir. E i ile gösterilen bir basit olayın olasılığı P (E i ), A bileşik olayının olasılığıysa P

Detaylı

12. Hafta Ders Notları GENEL TEKRAR

12. Hafta Ders Notları GENEL TEKRAR 12. Hafta Ders Notları GENEL TEKRAR A Veri Türleri Anakütle bir bütünü temsil ederken; örneklem, bir bütünün sadece bir kısmını temsil etmektedir. Anakütledeki gözlem sayısı N ile temsil edilirken; örneklemdeki

Detaylı

PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER

PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER Prof. Dr. Ali ŞEN 1 ANAKÜTLE Anakütle kavramı insan, yer ve şeyler toplulugunu ifade etmek için kullanır. İlgi alanına gore, araştırmacı hangi topluluk üzerinde

Detaylı

RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME MAYIS 2015

RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME MAYIS 2015 RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME MAYIS 2015 SORU 2: Motosiklet sigortası pazarlamak isteyen bir şirket, motosiklet kaza istatistiklerine bakarak, poliçe başına yılda ortalama 0,095 kaza olacağını tahmin

Detaylı