AKT201 Matematiksel İstatistik I Yrd. Doç. Dr. Könül Bayramoğlu Kavlak

Transkript

1 AKT20 Matematiksel İstatistik I Güz Dönemi AKT20 MATEMATİKSEL İSTATİSTİK I ÖDEV 6 Son Teslim Tarihi: 29 Aralık 207 Cuma, Saat: 5:00 (Ödevlerinizi Arş. Gör. Ezgi NEVRUZ a elden teslim ediniz.) (SORU KÖKLERİNİ YAZMAYINIZ, SADECE ÇÖZÜMLERİ YAZINIZ!) KESİKLİ RASLANTI DEĞİŞKENLERİ & KESİKLİ DAĞILIMLAR. X aşağıdaki olasılık fonksiyonuna sahip kesikli bir r.d. olsun. Buna göre; 0. ; x = ; x = ; x = 0.5 p X (x) = 0.3 ; x = ; x = { a. X in tanım aralığı olan R X i yazınız. b. P(X 0.5) olasılığını bulunuz. c. P(0.25 < X < 0.75) olasılığını bulunuz. d. P(X = 0.2 X < 0.6) olasılığını bulunuz. 2. X aşağıdaki olasılık fonksiyonuna sahip kesikli bir r.d. olsun. ; k = 2 4 ; k = 8 p X (k) = 8 ; k = 0 4 ; k = 4 ; k = 2 { Y r.d. Y = (X + ) 2 olarak tanımlansın. Buna göre; a. Y in tanım aralığı olan R Y yi yazınız. b. Y r.d.nin olasılık fonksiyonunu bulunuz ve olasılık fonksiyonu özelliklerini sağlayıp sağlamadığını gösteriniz. / 8

2 AKT20 Matematiksel İstatistik I Güz Dönemi 3. X~Binom(n, p) ve Y~Binom(m, p) olmak üzere X ve Y r.d. bağımsız iki r.d. olsun. Z r.d. Z = X + Y olarak tanımlandığına göre Z r.d.nin olasılık fonksiyonunu ve dağılımını; a. Olasılık yasalarından faydalanarak bulunuz. b. Moment çıkaran fonksiyonları (MÇF) kullanarak bulunuz. 4. Bir trafik sigortası portföyünde, hafta içi bir günde mesai başlangıcı ve bitişi saatlerinde gerçekleşen ve sigorta şirketine bildirilen trafik kazası hasarı sayısı dakika başına ortalama 0.2 ile Poisson dağılımına uygun bulunmuştur. Buna göre; a. Sigorta şirketinin 5 dakikalık zaman aralığında hiçbir hasar bildirimi almaması olasılığı kaçtır? b. Sigorta şirketinin 0 dakikalık zaman aralığında 3 ten fazla hasar bildirimi alması olasılığı kaçtır? SÜREKLİ RASLANTI DEĞİŞKENLERİ & SÜREKLİ DAĞILIMLAR 5. X aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip sürekli bir r.d. olsun. f X (x) = 2 e x ; tüm x R Eğer Y r.d. Y = X 2 olarak tanımlanmışsa, Y r.d.nin kümülatif dağılım fonksiyonunu (cdf) bulunuz. 6. X aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip sürekli bir r.d. olsun. f X (x) = { 4x3 ; 0 < x Buna göre, P (X 2 X > ) olasılığını bulunuz X aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip sürekli bir r.d. olsun. f X (x) = { x2 (2x ) ; 0 < x Eğer Y r.d. Y = olarak tanımlanmışsa, Y r.d.nin varyansı Var(Y) yi bulunuz. X 2 / 8

3 AKT20 Matematiksel İstatistik I Güz Dönemi 8. Bir ders sorumlusunun ofis saatinde soru sormak için gelen öğrenci sayısı, birim zamanda λ öğrenci olacak şekilde Poisson dağılımına uygun bulunmuştur. Yani, Y r.d. t zaman aralığında ofise gelen öğrenci sayısı olarak tanımlanırsa, Y~Poisson(λt) olur. Ofis saatinin t = 0 zamanında başladığı düşünülsün. X r.d. ilk öğrencinin geldiği zaman olarak tanımlanıyorsa X~Üstel(λ) olduğunu gösteriniz. İpucu: P(X > t) = P{[0, t] aralığında hiçbir öğrencinin gelmemesi} 9. U~Uniform(0,) ve X = ln( U) olarak tanımlandığına göre X~Üstel() olduğunu gösteriniz. KOŞULLU & BİLEŞİK DAĞILIMLAR 0. X ve Y r.d. aşağıdaki tabloda verilen bileşik olasılık fonksiyonuna sahip iki kesikli r.d. olsun. Y = 2 Y = 4 Y = 5 Buna göre; X = 2 X = 2 6 X = a. P(X 2, Y 4) olasılığını bulunuz. b. X ve Y r.d.nin marjinal olasılık fonksiyonlarını bulunuz. c. P(Y = 2 X = ) olasılığını bulunuz. d. X ve Y r.d. bağımsız mıdır? Gösteriniz. 3 / 8

4 AKT20 Matematiksel İstatistik I Güz Dönemi. X ve Y r.d. aşağıdaki bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip sürekli r.d. olsun. Buna göre, cx + ; x, y 0, x + y f X,Y (x, y) = { a. (X, Y) nin tanım aralığı olan R XY yi x y düzleminde grafik yardımıyla gösteriniz. b. c sabitini bulunuz. c. X ve Y r.d.nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonları f X (x) ve f Y (y) yi bulunuz. d. P(Y < 2X 2 ) olasılığını bulunuz. (İpucu: Bu olasılığı bulabilmek için, integral bölgesi tanım aralığı da dikkate alınarak yeniden belirlenmeli ve bu bölge üzerinden f X,Y (x, y) nin integrali alınmalıdır.) 2. X ve Y r.d. aşağıdaki bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip sürekli r.d. olsun. Buna göre, f X,Y (x, y) = { 6e (2x+3y) ; x, y 0 a. X ve Y r.d. bağımsız mıdır? Gösteriniz. b. E(Y X > 2) koşullu beklenen değerini bulunuz. (İpucu: Burada X ve Y r.d.nin bağımsız olup olmaması durumuna dikkat ediniz!!!) c. P(X > Y) olasılığını bulunuz. (İpucu: Bu olasılığı bulabilmek için, integral bölgesi tanım aralığı da dikkate alınarak yeniden belirlenmeli ve bu bölge üzerinden f X,Y (x, y) nin integrali alınmalıdır.) 4 / 8

5 AKT20 Matematiksel İstatistik I Güz Dönemi 3. X ve Y r.d. aşağıdaki bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip sürekli r.d. olsun. Buna göre, 6xy ; 0 x, 0 y f X,Y (x, y) = { x a. (X, Y) nin tanım aralığı olan R XY yi x y düzleminde grafik yardımıyla gösteriniz. b. X ve Y r.d.nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonları f X (x) ve f Y (y) yi bulunuz. c. X ve Y r.d. bağımsız mıdır? Gösteriniz. d. Y = y verilmişken X in koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonu f X Y (x y) yi bulunuz. e. 0 y için E(X Y = y) koşullu beklenen değerini bulunuz. f. 0 y için Var(X Y = y) koşullu varyansını bulunuz. 4. X ve Y r.d. aşağıdaki bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip sürekli r.d. olsun. x + y ; 0 x, 0 y f X,Y (x, y) = { Buna göre, E(XY 2 ) beklenen değerini bulunuz. 5. X ve Y r.d. standart normal dağılıma sahip ve bağımsız r.d. olsun. Ayrıca, Z = 2X Y { W = X + Y tanımlansın. Buna göre, f Z,W (z, w) bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu elde ediniz. 6. X ve X 2 sürekli r.d.nin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir: f X,X 2 (x, x 2 ) = { 6x x 2 2 ; 0 < x <, 0 < x 2 < Eğer Y r.d. Y = X X 2 olarak tanımlanmışsa, Y r.d.nin olasılık yoğunluk fonksiyonu g Y (y) yi elde ediniz. 5 / 8

6 SIRA İSTATİSTİKLERİ AKT20 Matematiksel İstatistik I Güz Dönemi 7. X, X 2, X 3 aşağıda olasılık yoğunluk fonksiyonu verilen bir kitleden çekilen 3 birimlik rasgele örneklem olsun: 2x ; 0 < x < f X (x) = { a. min{x, X 2, X 3 } ün dağılımın medyanını aşması olasılığını bulunuz. (ipucu: Dağılımın medyanı m olmak üzere, medyanı bulmak için F X (m) = eşitliğinden 2 faydalanılır.) b. X () X (2) X (3) sıra istatistikleri olmak üzere; X (2) ve X (3) arasındaki korelasyon katsayısını bulunuz. LİMİT TEOREMLERİ &LİMİT DAĞILIMLARI 8. Bir çalıştaya 64 misafir davetlidir ve öğle yemeğinde sandviç verilecektir. Bir misafirin 4, 2 ve 4 olasılıklarıyla sırasıyla 0, veya 2 sandviç yiyebileceği düşünülmektedir. Her bir misafirin yiyeceği sandviç sayısının diğer misafirlerden bağımsız olduğu varsayılmaktadır. Bu durumda, sandviç eksikliği yaşanmaması konusunda 95 % emin olmak için kaç sandviç hazırlanması gerekmektedir? (İpucu: i. misafirin yiyeceği sandviç sayısı X i olmak üzere P(Y = i= X i y) 0.95 i sağlayan y değeri araştırılmaktadır. n = olduğu için örneklem yeterince büyüktür.) X, X 2,, X n bağımsız ve aynı dağılımlı (i.i.d) r.d. dizisidir. X i r.d.nin dağılımı; olasılık yoğunluk fonksiyonu f Xi (x) = λe λx ; x > 0 biçiminde ifade edilen Üstel(λ = ) olsun. Örneklem ortalaması X ele alındığında, P(0.9 X.) 0.95 olması için n nin kaç olması gerektiğini merkezi limit teoremi yardımıyla bulunuz. 6 / 8

7 AKT20 Matematiksel İstatistik I Güz Dönemi 20. α = 8 ve θ = 6 parametreleri ile gamma dağılımına sahip X r.d.nin oyf aşağıdaki gibidir: f X (x) = Γ(α)θ α x α e x/θ a. P ( X 6 0) olasılığının minimum değerini Chebyshev Teoremi ile bulunuz. 3 b. P ( X 6 0) olasılığını Merkezi Limit Teoremi ni kullanarak bulunuz X, X 2, X 3, aşağıdaki dağılım fonsiyonuna sahip r.d. dizisi olsun. F Xn (x) = { ( nx n ) ; x > 0 X n nin dağılımda Üstel() e yakınsadığını gösteriniz. 22. X n ~Uniform(0, ) olsun. Herhangi bir r için X r n n 0 yani X, X 2, X 3, dizisinin r. momentte 0 a yakınsadığını gösteriniz. 23. X n ~Üstel(n) yani f Xn (x) = ne nx ; x > 0 olsun. X n p 0 yani X, X 2, X 3, dizisinin olasılıkta 0 a yakınsadığını gösteriniz. ÖRNEKLEM DAĞILIMLARI 24. X ~Normal(2,4), X 2 ~Normal(0,) ve X 3 ~Normal(,9) olan birbirinden bağımsız normal dağılımlı r.d. olsun. Bu göre; a. 5 serbestlik derecesine sahip ki-kare dağılımlı (χ 5 2 ) bir istatistik bulunuz. b. 3 ve 4 serbestlik derecesine sahip F dağılımlı (F 3,4 ) bir istatistik bulunuz. c. 6 serbestlik derecesine sahip t dağılımlı (t 6 ) bir istatistik bulunuz. (NOT: İstatistikleri elde ederken üç r.d.nin tamamını kullanınız!) 7 / 8

8 AKT20 Matematiksel İstatistik I Güz Dönemi 25. Bağımsız X, X 2,, X n raslantı değişkenleri göz önüne alınsın. X i ; i =,2,, n raslantı değişkenleri ν i ; i =,2,, n serbestlik dereceleriyle ki-kare dağılımına sahip olsun. n n Y = i= X i raslantı değişkeninin ν = i= ν i serbestlik derecesiyle ki-kare dağılımına sahip olduğunu MÇF yardımıyla tanıtlayınız. İYİ ÇALIŞMALAR 8 / 8