4) Seyrek rastlanılan bir hastalık için belli bir zaman araalığında bu hastalığa yakalananların sayısının gözlenmesi,

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "4) Seyrek rastlanılan bir hastalık için belli bir zaman araalığında bu hastalığa yakalananların sayısının gözlenmesi,"

Selim Gökçe
7 yıl önce
İzleme sayısı:

1 POĐSSON DAĞILIMI Poisson Dağılımı sürekli oramlarda (zaman, alan, hacim, ) kesikli sonuçlar veren ve aşağıda a),b),c) şıklarında belirilen özelliklere sahip deneylerin modellenmesinde kullanılan bir dağılım Örneğin : 1) Belli bir zaman aralığında bir yoldan geçen arabaların sayısının gözlenmesi, 2) Belli bir zaman aralığında bir radyoakif maddenin ışınladığı parçacık sayısının gözlenmesi, 3) Belli bir zaman arlığında bir mağazaya gelen müşerilerin sayısının gözlenmesi, 4) Seyrek raslanılan bir hasalık için belli bir zaman araalığında bu hasalığa yakalananların sayısının gözlenmesi, 5) Belli bir bölgeye düşen gök cisimlerinin sayısının gözlenmesi, 6) Belli bir bölgede bulunan yaban hayvanlarının sayısının gözlenmesi, durumlarında Poisson Dağılımı kullanılabilir. Poisson bir maemaikçi ismi olup puason olarak elâfuz edilir. Poisson Dağılımı ile ilgili açıklamaları oramın zaman olması halinde yapalım. (,] zaman aralığında meydana gelen sonuçların (bir olayın gerçekleşme) sayısı X olsun. Sonuçları oraya çıkaran deney ile ilgili aşağıdaki özellikler geçerli olsun : a) Küçük uzunluklu bir zaman aralığında bir başarı elde eme olasılığı ile oranılı b) Küçük uzunluklu bir zaman aralığında iki veya daha çok başarı elde eme olasılığı yaklaşık olarak sıfır c) uzunluklu ayrık aralıklar için elde edilen sonuçlar bağımsız birer Bernoulli Denemesidir. (,] zaman aralığında meydana gelen sonuç sayısı X, kesikli bir rasgele değişken olmak üzere, X in aldığı değerler =,1,2, X in olasılık fonksiyonunu bulmaya çalışalım. (,] aralığını yeerince küçük uzunluklu, n = ane al aralığı parçalayalım. Belli bir parçada veya 1 ane sonuç oraya çıkabilir diyebiliriz. zaman aralığında bir sonuç çıkması veya çıkmaması bir Bernoulli Denemesi olup, sonucun oraya çıkması olasılığı ile oranılı Bu olasılık, c bir sabi p= c olsun. (,] aralığında n ane uzunluklu ayrık aralık bulunmaka ve bu aralıklarda bağımsız sonuçlar veren p= c olasılıklı Bernoulli Denemeleri gerçekleşmekedir. O zaman (,] aralığında elde edilen sonuçların sayısı b( n =, p = c ) Binom Dağılımına sahip olacakır. için

2 n =, np = c = c = λ b( n =, p = c ) Binom Dağılımındaki olasılıkların limileri Poisson Dağılımındaki olasılıkları verecekir. Başka bir ifade ile, (,] zaman aralığında meydana gelen sonuç sayısı olan ve Poisson dağılımına sahip olan X rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu, / n ( ) ( ) lim ( ) (1 ) λ λ f = P X = = c c lim ( ) (1 ) = n n n n n! λ λ λ = lim n! ( n )! n n n ( ) n λ n n 1...( n ( 1)) λ λ = lim 1. 1! n n n n e =, =,1,2,3,...! n( n 1 )( n 2)...( n ( 1)) n n = n n n n n λ n 1 1 n 1 n λ n n λ e λ λ n X Poisson Dağılımına sahip bir rasgele değişken olduğunda, ve e f ( ) =, =,1,2,3,...! λ λ X M ( ) E( e ) e f ( ) X = = = = e e.! λ λ = e λ = ( λe )! = e λ λ e e ( e 1) e λ =, R

3 dm ( ) X λ ( e 1) E( X ) = = λe e = λ d = = d M ( ) E( X ) e e e e X λ ( e 1) λ ( e 1) 2 = = λ + 2 ( λ ) = λ + λ d = = ( ) Var( X ) = E( X ) EX = λ + λ λ = λ Poisson Dağılımının parameresi olan λ ( λ (, )) sayısı aynı zamanda dağılımın beklenen değeri (oralaması) ve varyansı λ parameresinin bazı değerleri için Poisson dağılımının olasılık fonksiyonunun grafikleri aşağıdaki gibidir. λ = λ = λ =

4 λ = λ = λ = λ =

5 Örnek 1 Bir hasanenin acil servisine 1 dakikalık bir zaman aralığında oralama 3 hasa gelmekedir. Bu zaman aralığında, a) hasa gelmemesi olasılığı nedir? b) bir hasa gelmesi olasılığı nedir? c) en az 5 hasa gelmesi olasılığı nedir? 1 dakikalık bir zaman aralığında gelen hasa sayısı X in λ = 3 olan Poisson Dağılımına sahip olduğu düşünülebilir. X in olasılık fonksiyonu, 3 e 3 f ( ) =, =,1,2,...! 3 a) P( X = ) = e = e 3 3 b) P( X = 1) = = 3e = ! c) P( X 5) = 1 P( X < 5) = 1 f () f (1) f (2) f (3) f (4) >> =:4 ; 1-sum(poisspdf(,3)) ans = e 3 e 3 e 3 e 3 e 3 = 1! 1! 2! 3! 4! = Örnek 2 Bir kenin içinde bir ayda oralama 3, bir günde oralama 1 rafik kazası olmaka Belli bir gün için meydana gelen kaza sayısının, a) 1 b) 1 dan az c) 1 dan çok olması olasılığı nedir? X bir günde meydana gelen kaza sayısı olsun. X in λ = 1 olan Poisson Dağılımına sahip olduğu düşünülebilir. X in olasılık fonksiyonu, a) b) 1 e 1 f ( ) =, =,1,2,...! P( X 1) >> =:9 ; 1-sum(poisspdf(,1)) ans =.5427 c) 1 = = e = >> =:1 ; 1-sum(poisspdf(,1)) ans = e 1 P( X < 1) = P( X 9) = =.5427! = 1 1 e 1 P( X > 1) = P( X 11) = 1 P( X 1) = 1 =.41696! =

6 Örnek 3 Bir dakilografın yazdığı bir sayfalık bir yazıda haalı karaker sayısı (X) λ =.5 oralama ile Poisson dağılımına sahipir. Bu kişinin yazdığı bir sayfalık bir yazıda, a) hiç haa olmaması b) 1 haa olması c) haa sayısının 5 den çok olması olasılığı nedir? X in olasılık fonksiyonu, a) b) c) P( X ).5 e.5 f ( ) =, =,1,2,...!.5 = = e = e.5 P( X < 1) = = ! 4.5 e.5 P( X > 5) = 1 P( X 4) = 1 =.17212! = >> =:4 ;1-sum(poisspdf(,.5)) ans = Örnek 4 Belli bir ürünün kusurlu olması olasılığı.1 dir. Üreilen 2 ade ürün içinde kusurlu olanların sayısının 5 den çok olması olasılığı nedir? X rasgele değişkeni 2 ane ürün içinde kusurlu olanların sayısı olsun. Bir ürünün kusurlu olup olmaması diğerlerinden bağımsız ise X rasgele değişkeni Binom Dağılımına 1 sahip olur. X b( n= 2, p= ) P( X> 5) = 1 P( X 4) = 1 = 1 1 = >>=:4 ; 1-sum(binopdf(,2,.1)) ans = n, p, np λ olduğunda, b( n, p ) Binom Dağılımındaki olasılıklar Poisson Dağılımındaki olasılıklara yakınsar (Ödev). O zaman, büyük n ve küçük p için b( n, p ) Binom Dağlımı ile ilgili olasılık hesaplamaları yaklaşık olarak λ= np olan Poisson Dağılımında yapılabilir. Buna göre, yukarıdaki olasılık hesabı için 1 λ= np= 2 = e 2 P( X> 5) = 1 P( X 4) = 1 = =! >>=:4 ; 1-sum(poisspdf(,2)) ans =.52653

Benzer belgeler

EME Sistem Simülasyonu. Giriş. Olasılık Dağılımı. Rassal Degiskenler

EME Sistem Simülasyonu. Giriş. Olasılık Dağılımı. Rassal Degiskenler EME 3105 1 Giriş Sistem Simülasyonu Önümüzdeki hafta simulasyon girdilerinin modellenmesinde kullanılan kesikli ve sürekli Simulasyonda İstatistiksel Modeller-I Ders 4 dağılımlar hatırlatılacaktır. Rassal