Parametrik Yer Eğrileri

Transkript

1 Parametrik Yer Eğrileri Haldun Gürmen Özgür Cemal Özerdem Yakın Doğu Üniversitesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü Alernatif akım devrelerinde parametrik empedans veya admitanslara sık rastlanır. Bunun neticesinde devrenin değişik kollarındaki akımlar değiştiği gibi düğüm noktaları arasındaki potansiyel farkları da değişir. Bu potansiyel farkları ve akımların, parametrenin değişik değerleri için hesaplanması uzun zaman alır. Yer eğrileri kullanılmak sartı ile bu hesap sonuçlarına erişmek için harcanan vakit çoğu zaman bir kaç saniyeye iner.parametrik devrelerde aranan akım veya gerilim en genel halde: K& a + e + jb jf + ( c + + ( g + jd jh kompleks sayı ifadesi şekline sokulabilir. Ekte gösterildiği üzere K & fazörünün ucunun yer eğrisi, merkez koordinatları x o y o ve yarı çapı bg+ cf ah de ( fg eh ce+ df ag bh ( fg ch Bir daireyi çizmek için: 1- Merkezinin ve bir noktasının veya, - Merkezinin ve yarı-çapının veya, 3- Üç noktasının bilinmesi kafidir. İleride görüleceği üzere diyagramın ölçeklenmesi bakımından s noktasının bilinmesi gerekli olduğundan yukarıdaki (3 çözüm şekline uyularak σ 0, σ 1, σ noktalarını tayin ederek daireyi çizmek yolu tercih edilmelidir. Bu şekilde çizilen dairenin doğruluk derecesini ( çözümü uygulayarak kontrol etmekte fayda vardır. Basit bir örnek olarak şekil 1 de görülen devreyi alırsak I akımının parametrik ifadesi I 10 Ω şekil 1 Örnek devre σ + j0 I 100 σ (10 + j0 + j 0Ω σ10 + j00 j00 σ (1 + j + j0 a10, b0, c0, d00, e1, f, g0, h0 r x + y + o o olan bir dairedir. ad bc fg eh x o y o (

2 R R 0 Merkez koordinatları ve yarı çap bilindiğine göre bu daire şekil de görüldüğü gibi çizilebilir. 10 suretle daire üzerinde σ nın herhangi bir değerine ait bir noktayı daire üzerindeki σ noktasına birleştirilip ölçekleme hattı ile kesiştirilirse kesişme noktası, ölçekleme hattı üzerinde σ nın o değerine tekabül eden noktayı verir. Ölçekleme hattı üzerinde σ nın dağılımı doğrusaldır. Bu nedenle ölçekleme birimi ölçekleme doğrusu üzerinde σ 0 a tekabül eden nokta ile ikinci σ ya tekabül eden arasındaki mesafe σ ile bölünürse ölçekleme hattı üzerinde σ nın birim değerine tekabül eden uzunluk bulunur ve ölçekleme hattı ölçeklenir. Parametrik ifadenin σ nın herhangi bir değerine tekabül eden değerini bulmak için σ noktasını ölçekleme hattı üzerindeki σ noktasına birleştiren hattın daireyi direyi kestiği nokta aradığınız fazörü verir. şekil örnek devreden elde edilen yer eğrisi Ancak bu yer eğrisini σ ya göre ölçeklemek için σ 0, σ 1, σ veya σ nın uygun bir değerine tekabül eden noktaların daire üzerinde işaretlenmesi gerekir. Ölçekleme geometride bir doğrunun kendi üzerinde olmayan bir kutba nazaran bulunan tersinin bir daire olması hususuna dayanır. Buna göre, ölçekleme doğrusunun daireye σ noktasında alınan teğete paralel herhangi uygun bir doğrudur. Uygundan amaç, yer eğrisinin çizildiği kağıdın boyutları ve hedef alınan presizyondur. Daire üzerindeki σ noktası ayni zamanda ölçekleme kutbudur. Bu kutuptan daire üzerindeki σ 0 noktasından geçen bir hat çizilir bu hattın ölçekleme doğrusunun kestiği nokta σ 0 a tekabül eden noktadır. Aynı Yer eğrilerini kullanmak sureti ile akla gelen her soruya derkhal cevap alınabilir örnek olarak aşağıdaki soruları alabiliriz: 1- σ nın verilen bir değeri için parametrik fazörün modülü ve faz açısı ne kadardır? - Faz açısı 30º lan fazörün modülü ne kadardır? 3-Modülü verilen bir değerde olan fazörün faz açısı ne kadardır? 4-Modülü verilen bir fazör mümkünmüdür? ve akla gelebilecek diğer sorular. 8

3 EK:1 s a jb c jd K & ( + + ( + x+ jy e+ jf + ( g + jh a+ jb + ( c+ jd x e+ jf + x ( g+ jh + jy e+ jf + jy ( g+ jh sa+ c x se+ xg+ y sf + yh a xe + yf xg c yh s yg c xh a xe + yf j( sb + d sxf + xh ++ yse + yg j xh + yg d s b xf ye ( yg c xh( b xf ye ( a xe+ yf ( xh + yg d x ( eh gf + y ( eh gf + x( ch de + gb + cf + y( ag + df + ce bh cb ad ( ch de + gb + cf ( ag + df + ce bh cb ad x + y + x + y ( eh gf ( eh gf ( eh gf x xx + x + y yy + y x xx + y yy + R ( x + y ( x x + ( y y R 0 0 R 0 ( ch de + gb + cf ( ag + df + ce bh cb ad x + y + x + y x y ( eh gf ( eh gf ( eh gf 0 0 cb ad x0 + y0 + R eh gf 9

4 EK: Çemberin yarıçapını hesapayan MATLAB Programı a10; b0; c0; d00; e1; f; g0; h0; y(c*e+d*f-a*g-b*h/*(f*g-e*h; x(b*g+c*f-a*h-d*e/*(f*g-e*h; rsqrt((x.^+(y.^-(0*x+(0*y+00 ve çemberin koordinatlarını hesaplyan MATLAB Programı for x0:.0001:1 for y0:-.0001:1 if 10sqrt((x.*x+(y.*y+(-0*x+(0*y+00 sx ry end end 10