11. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ

Transkript

1 SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ TOLGA YAVAN Matematik Öğretmeni

2 1.ÜNİTE: KARMAŞIK SAYILAR x 2 +3=0 gibi denklemlerin gerçek sayılarda çözümü olmadığından bu denklemlerin boş kümeden farklı çözüm kümeleri için yeni bir sayı kümesine ihtiyaç vardır. Negatif sayıların karekökleri söz konusu olduğunda karşılaşılan ortak çarpanına sanal sayı birimi denir. Matematikçi Euler (Öyler), bu sanal sayı birimini i ile göstermiştir. Yapısı göz önüne alındığında, olduğu görülür. a>0 olmak üzere, olarak ifade edilir. Negatif sayıların kareköklerine sanal sayılar denir. k N için; { şeklindedir. a, b R ve sanal sayı birimi olmak üzere a+bi biçimindeki sayılara karmaşık sayılar denir. Bu sayıların oluşturduğu kümeye karmaşık (kompleks) sayılar kümesi adı verilir ve C ile gösterilir. Başka bir deyişle, C={z z=a+bi, a, b R, } kümesi karmaşık sayılar kümesi olarak adlandırılır. Bu kümesinin elemanları standart biçimde z=a+bi olarak gösterilir. Bu sayılara karmaşık sayılar denir. a R sayısına z nin gerçek kısmı Re(z), b R sayısına da z nin sanal kısmı Im(z) denir. Re(z)=a ve Im(z)=b biçiminde gösterilir. KARMAŞIK SAYILARIN EŞİTLİĞİ a, b, c, d R, z 1 = a + bi ve z 2 = c + d i olmak üzere, z 1 = z 2 a = c ve b = d dir. KARMAŞIK DÜZLEM Gerçek ve sanal eksenlerin başlangıç noktasında dik kesişmeleri ile oluşan sisteme karmaşık sayılar düzlemi ya da kısaca karmaşık düzlem adı verilir. a, b R olmak üzere, z=a+bi karmaşık sayısı karmaşık düzlemde, BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ VE MODÜLÜ a, b R olmak üzere, a+bi ve a-bi karmaşık sayılarına birbirinin eşleniği denir. Bir karmaşık sayı ile eşleniğinin karşılık geldiği noktalar gerçek eksene göre simetriktir. Herhangi bir z karmaşık sayısının eşleniği ile gösterilir. z = a + bi karmaşık sayısının eşleniği karmaşık sayısıdır. Karmaşık düzlemde bir z karmaşık sayısına karşılık gelen noktanın başlangıç noktasına olan uzaklığına bu karmaşık sayının modülü denir ve z biçiminde gösterilir. a, b R ve z = a + b i olmak üzere z karmaşık sayısının modülü karmaşık düzlemde, z = a+bi = dır. Bir z karmaşık sayısının modülü ile eşleniği olan karmaşık sayısının modülü birbirine eşittir. z = dür. KARMAŞIK SAYILARDA TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMLERİ Karmaşık sayılar toplanırken veya çıkarılırken gerçek kısımlar kendi aralarında ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır veya çıkarılır. Karmaşık düzlemde ardışık üç köşesi z 1, 0 + 0i ve z 2 karmaşık sayıları olan paralelkenarın dördüncü köşesi z 1 + z 2 karmaşık sayısı; z 1, 0 + 0i ve z 2 karmaşık sayıları olan paralelkenarın dördüncü köşesi z 1 z 2 karmaşık sayısıdır. biçiminde gösterilir. 1

3 TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ z 1, z 2, z 3 C için, 1. (z 1 + z 2 ) C olduğundan toplama işleminin kapalılık özelliği vardır. 2. z 1 + z 2 = z 2 + z 1 olduğundan toplama işleminin değişme özelliği vardır. 3. (z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 ) olduğundan toplama işleminin birleşme özelliği vardır. 4. z i = i + z 1 = z 1 olduğundan (0+0i) toplama işleminin etkisiz elemanıdır. 5. z 1 + ( z 1 ) = ( z 1 ) + z 1 = i olduğundan z 1 =a+bi karmaşık sayısının toplama işlemine göre tersi z 1 = a bi dir. KARMAŞIK SAYILARDA ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMLERİ a, b, c, d R ve z 1 = a + b i, z 2 = c + d i karmaşık sayıları için, z 1.z 2 = (ac bd) + (ad + bc)i dir. işleminde pay ve payda z 2 nin eşleniği ile çarpılarak payda gerçek sayıya dönüştürülür. Payda elde edilen karmaşık sayının gerçek ve sanal kısmı, paydadaki gerçek sayıya bölünür. ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ z, z 1, z 2, z 3 karmaşık sayıları için, 1. z 1.z 2 C olduğundan karmaşık sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır. 2. z.1 = 1.z = z olduğundan 1 sayısı karmaşık sayılar kümesinde çarpma işlemine göre etkisiz elemandır. 3. olduğundan karmaşık sayılar kümesinde çarpma işlemine göre sıfır hariç her karmaşık sayının tersi vardır. z karmaşık sayısının çarpma işlemine göre tersi z -1 ile gösterilir. biçiminde yazılır. 4. z 1.z 2 = z 2.z 1 olduğundan karmaşık sayılar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vardır (z 1.z 2 ).z 3 = z 1.(z 2.z 3 ) olduğundan karmaşık sayılar kümesinde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır. 6. z 1.(z 2 + z 3 ) = z 1.z 2 + z 1.z 3 olduğundan karmaşık sayılar kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır. EŞLENİK VE MODÜL ÖZELLİKLERİ z, z 1, z 2 karmaşık sayıları için, 1. ( ) ) 5. ( ) ( ) dır. z 1, z 2 karmaşık sayıları için, 1. z 1.z 2 = z 1. z i) dir. KARMAŞIK SAYILARDA İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER a, b, c R, a 0 olmak üzere ax 2 + bx + c=0 biçimindeki ikinci dereceden gerçek katsayılı bir denklemin köklerinden biri m + ni ise diğeri m ni dir. (m, n R) İKİ KARMAŞIK SAYI ARASINDAKİ UZAKLIK z 1, z 2 C, z 1 = a + b i, z 2 = c + d i olmak üzere, z 1 ile z 2 karmaşık sayıları arasındaki uzaklık, bu sayıların farkının modülüne eşittir. Buna göre z 1 ile z 2 arasındaki uzaklık z 1 - z 2 ile gösterilir. Karmaşık düzlemde z 0 karmaşık sayısından r birim uzaklıkta bulunan z karmaşık sayıları z z o = r eşitliğini sağlar ve merkezi z 0, yarıçapı r olan çemberi belirtir. Çemberi oluşturan z karmaşık sayılarının kümesi { z: z z o = r, z C } biçiminde gösterilir. z = x + y i, z 0 = a + b i ve r R + olmak üzere; 1. z z 0 gösterimi z sayısının z 0 sayısına uzaklığını belirtir. 2. z z 0 = r eşitliği merkezi (a, b) ve yarıçapı r birim olan bir çemberi belirtir.

4 3. z z 0 < r eşitsizliği merkezi (a, b) ve yarıçapı r birim olan çemberin iç bölgesini belirtir. 4. z z 0 r eşitsizliği merkezi (a, b) ve yarıçapı r birim olan daire belirtir. 5. z z 0 > r eşitsizliği merkezi (a, b) ve yarıçapı r birim olan çemberin dış bölgesini belirtir. 6. z z 0 r eşitsizliği merkezi (a, b) ve yarıçapı r birim olan çemberin kendisi ve dış bölgesini belirtir. 7. z z 1 = z z 2 koşuluna uyan z karmaşık sayılarının kümesi, z 1 ve z 2 sayılarına eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesidir. Bu ise z 1 ve z 2 yi birleştiren doğru parçasının orta dikmesidir. 8. z z 1 + z z 2 =k koşuluna uyan z karmaşık sayılarının kümesi, z 1 ve z 2 sayılarına uzaklıkları toplamı sabit olan noktaların kümesidir. Bu ise odakları z 1 ve z 2 olan elipsdir. 9. z z 1 z z 2 =k koşuluna uyan z karmaşık sayılarının kümesi, z 1 ve z 2 sayılarına uzaklıkları toplamı sabit olan noktaların kümesidir. Bu ise odakları z 1 ve z 2 olan hiperboldür. 10. z z 1 =k. z z 2, (k 1) koşuluna uyan z karmaşık sayılarının kümesi, z 1 ve z 2 sayılarına uzaklıkları oranı sabit olan noktaların kümesidir. Bu noktalar bir çember üzerindedir. (Apolyanus Çemberi) KARMAŞIK SAYILARIN KUTUPSAL BİÇİMİ Yatay eksene kutupsal eksen diyelim ve bu eksen üzerinde bir başlangıç noktası (merkez noktası) alalım. Bir B noktasının başlangıç noktasına olan uzaklığı r, kutupsal eksen ile yaptığı pozitif yönlü açının ölçüsü θ olmak üzere oluşturulan (r, θ) ikilisine B noktasının kutupsal koordinatları denir ve B(r, θ) biçiminde ifade edilir. Kartezyen koordinatları (x, y) olan A noktası kutupsal koordinatlarla (r, θ) olarak ifade edildiğinde, x = r.cos θ, y = r.sin θ ve olur. Genel olarak z = x + i y biçiminde gösterilen karmaşık sayı kutupsal koordinatları (r, θ) alınarak, z = x + i y = r.cos θ + i.r.sin θ = r.(cos θ + i.sin θ) biçiminde yazılır. Bu gösterime z nin kutupsal biçimi denir ve z=rcisθ şeklinde de gösterilir. Kutupsal biçimdeki z = r.cis (θ + k.360 o ), (k Z) karmaşık sayıları da z = r.cis θ ile temsil edilir. Kutupsal biçimde yazılan z = r cis θ karmaşık sayısında θ ya z nin argümenti adı verilir. 0 θ < 360 o (0 θ < 2π) ise θ ya z nin esas argümenti denir. Arg(z) = θ biçiminde gösterilir. z 0 = a + bi karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü A(a, b) olmak üzere, arg(z z 0 ) = θ koşulunu sağlayan z karmaşık sayılarının görüntüsü AK yarı doğrusudur. KUTUPSAL BİÇİMDE VERİLEN KARMAŞIK SAYILARDA TOPLAMA, ÇIKARMA, ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMLERİ Kutupsal biçimde verilen karmaşık sayıların toplamı veya farkı; standart biçiminde yazılabilenler standart biçimde yazılarak, modülleri eşit olanlar ise trigonometrideki toplam ve fark formüllerinden faydalanılarak bulunur. z 1 = r 1.cis α ve z 2 = r 2.cis β olmak üzere, z 1.z 2 =r 1.r 2.cis (α + β) dir. Arg (z 1 ) = α, Arg (z 2 ) = β ve Arg (z 1.z 2 ) = α + β olduğundan, Arg (z 1.z 2 ) = Arg (z 1 ) + Arg (z 2 ) olur. z 1 = r 1.cis α ve z 2 = r 2.cis β olmak üzere, dır. Arg (z 1 ) = α, Arg (z 2 ) = β ve olduğundan olur. 3

5 Bir Karmaşık Sayının Orijin Etrafında Pozitif Yönde α Açısı Kadar Döndürülmesi z = r.cis θ sayısının orjin etrafında α kadar dönmesiyle oluşan z 1 sayısını z 1 =z.cisα formülüyle buluruz. O halde bir karmaşık sayı cisα ile çarpılınca bu sayının eşlendiği noktanın orijin etrafında α kadar döndürülmesiyle varılan noktaya eşlenen karmaşık sayı elde edilmektedir. KARMAŞIK SAYININ KUVVETLERİ z = r.cis α ve n N + olmak üzere, z karmaşık sayının n kuvveti, z n = r n.cis (n.α) = r n.[cos (n.α) + i.sin (n.α)] dir. Bu kural De Moivre Kuralı olarak adlandırılır. Arg(z)=α için Arg(z n )=n.α olduğundan Arg(z n )=n.α olduğundan Arg (z n ) = n.arg z dir. KARMAŞIK SAYININ KÖKLERİ z = r cis θ olmak üzere z karmaşık sayısının karekökleri, ve dir. Karmaşık düzlemde bu kareköklere karşılık gelen noktalar, yarıçapı ve merkezi orijinde bulunan çember üzerinde bulunur ve orijine göre simetriktir. w 1 = w 0 Genel olarak, z = r.cis θ karmaşık sayısının n. dereceden kökleri, (k Z) bağıntısında k yerine 0, 1, 2,..., (n 1) değeri verilerek bulunur. Bu köklerin karmaşık düzlemdeki görüntüleri bir düzgün n genin köşeleridir ve yarıçaplı merkezil çember üzerinde bulunurlar. 2. ÜNİTE: ÜSTEL FONKSİYON a R + { 1 } olmak üzere f: R R +, f(x) = a x biçiminde tanımlanan fonksiyonlara üstel fonksiyon denir. A R olmak üzere f: A R fonksiyonunda, x 1, x 2 A için, x 1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 ) oluyorsa f artan, x 1 < x 2 f(x 1 ) > f(x 2 ) oluyorsa f azalan, x 1 < x 2 f(x 1 ) = f(x 2 ) oluyorsa f sabit fonksiyondur. Buna göre, a R + { 1 } olmak üzere f: R R +, f(x) = a x üstel fonksiyonu a > 1 için artan, 0 < a < 1 için azalan fonksiyondur. a R + { 1 } olmak üzere f: R R +, f(x) = a x üstel fonksiyonu bire bir ve örtendir. LOGARİTMA FONKSİYONU Bir üstel fonksiyonun ters fonksiyonuna logaritma fonksiyonu denir. f: R + R, a R + { 1 } olmak üzere f(x) = biçiminde gösterilir. ifadesi x in a tabanındaki logaritması şeklinde okunur. O hâlde, y = a x x = dir. Uyarı: z=a+bi sayısının karekökleri w 0,1 olsun. 1. b>0 ise ( ) 2. b<0 ise ( ) dir. z = r.cis θ olmak üzere z karmaşık sayısının küp kökleri, dir. Karmaşık düzlemde bu küp köklere karşılık gelen noktalar, bir eşkenar üçgenin köşeleridir ve yarıçaplı merkezil çember üzerinde bulunur. Yukarıdaki şema incelendiğinde, üstel fonksiyonun verilen belli bir tabana üs koyma işlemi, logaritma fonksiyonunun ise verilen belli bir tabana göre üs indirme işlemi olduğu söylenebilir. eşitliğini, y eşittir a tabanına göre logaritma x biçiminde okuruz. Bu eşitlikte, x sayısının pozitif gerçek sayı 4

6 a sayısının 1 den farklı bir pozitif gerçek sayı y sayısının bir gerçek sayı olduğuna dikkat ediniz. a R + { 1 } olmak üzere f: R + R, f(x) = logaritma fonksiyonu, a > 1 için artan fonksiyon, 0 < a < 1 için azalan fonksiyondur. ÜSTEL FONKSİYON VE LOGARİTMA FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ Bir f(x) fonksiyonu ile bu fonksiyonun tersi olan f 1 (x) fonksiyonlarının grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir. Buna göre, f(x) = a x fonksiyonu ile f 1 (x) = fonksiyonlarının grafikleri y = x doğrusuna göre simetrik olur. UYARI: 1) c > 0 olmak üzere, y = f(x) + c fonksiyonunun grafiği; y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin y ekseni üzerinde c kadar kaydırılmışıdır. 2) c > 0 olmak üzere, y = f(x c) fonksiyonunun grafiği; y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin x ekseni üzerinde c kadar kaydırılmışıdır. LOGARİTMA FONKSİYONUNUN EN GENİŞ TANIM KÜMESİNİ BULMA f(x) = fonksiyonunda a R + { 1 } ve x R + olduğundan bu fonksiyonun en geniş tanım kümesini bulurken, a > 0, x > 0 ve a 1 koşullarını birlikte sağlayan aralıklar bulunur. ONLUK LOGARİTMA FONKSİYONU VE DOĞAL LOGARİTMA FONKSİYONU Yıllar önce İsveçli matematikçi Leonard Euler (Leonard Öyler), benzer çalışmaları yaparak ifadesinin 2, irrasyonel sayısına yaklaştığını görmüş ve bu sayıya e sayısı adını vermiştir. Bir logaritma cetvelinin hazırlanmasında, taban olarak 1 den farklı pozitif bir gerçek sayı seçilmelidir. John Napier (Con Nepiyı), logaritma cetvellerini ilk olarak Euler tarafından kullanılan e sayısına göre hazırlamıştır. ifadesi matematikçiler tarafından ln a ile gösterilir. Tabanı e olan logaritma fonksiyonuna doğal logaritma fonksiyonu denir. Bu fonksiyon f: R + R, f(x) = veya f(x) = ln x biçiminde gösterilir. John Napier (Con Nepiyı), e sembolüne göre logaritma cetvellerini tamamladıktan sonra zor bir sistem ortaya koyduğunu fark etmiştir. Daha sonraki yıllarda, 10 tabanlı yeni bir logaritma sisteminin hesaplama işlerinde daha büyük kolaylık sağlayabileceğini düşünür. Fakat bu yeni sisteme ait düşündüğü temel esasları bizzat ortaya koyamadan ölür. Napier in bu çalışmaları Henry Briggs (Henri Birigs) tarafından 1617 yılında tamamlanır. Henry Briggs 10 tabanına göre bir logaritma cetveli hazırlayarak 1 den 1000 e kadar olan sayıların 14 ondalıklı logaritma değerlerini gösterir. Tabanı 10 olan logaritma fonksiyonuna onluk logaritma fonksiyonu denir. Bu fonksiyon, 5

7 f: R + R, f(x) = veya f(x) = log x biçiminde gösterilir. LOGARİTMA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ a R + { 1 }, n R ve x, y R + için, 1) ve 2) 3) 4) dir. TABAN DEĞİŞTİRME a, c R + { 1 } ve b R + olmak üzere, dönüşümüne taban değiştirme kuralı denir. Böylece değişik tabanlı logaritmik değerleri, istediğimiz bir tabanda logaritma biçiminde yazabiliriz. ÖZELLİKLER 1) a, b R + { 1 } olmak üzere, dır. 2) a R + { 1 }, b R + ve m, n R olmak üzere, dir. 3) a, b, c,... p, k R + { 1 } olmak üzere, dır. 4) a R + { 1 }, b R + olmak üzere, dir. 5) a, b, c R + { 1 } olmak üzere, dir. Bir Gerçek Sayının Logaritmasının Hangi İki Ardışık Tam Sayı Arasında Olduğunu Bulma 1) 1 den büyük bir sayının onluk logaritması pozitiftir. 2) 0 ile 1 arasındaki bir sayının onluk logaritması negatiftir. 3) 1 den büyük bir sayının onluk logaritmasının tam kısmı, sayının tam kısmının 1 eksiğine eşittir. 4) 0 ile 1 arasındaki bir sayının onluk logaritması, ondalık yazılışta, sıfırdan farklı ilk rakamın solundaki sıfır sayısının 1 eksiğinin negatif işaretlisidir. Sonuçlar: 1) 1 den büyük bir sayının tam kısmının kaç basamaklı olduğunu bulmak için sayının 6 logaritması alınır ve çıkan sayının tam kısmına 1 eklenir. 2) 0 ile 1 arasındaki bir sayının onluk gösterimindeki sıfırdan farklı ilk rakamının solunda kaç sıfır olduğunu bulmak için sayının logaritması alınır ve çıkan sayının mutlak değerinin tam kısmına 1 eklenir. ÜSTEL DENKLEMLER 2 x = 4, 3 x 9 x + 2 = 0, e x e 2x = 0, 4 x 2 x 12 = 0 biçimindeki denklemler üstel denklemlerdir. Bu tür denklemler genellikle değişken dönüştürülüp 2. dereceden denklem elde edilerek çözülür. LOGARİTMALI DENKLEMLER Verilen logaritmalı denklemler 1) biçiminde ise f(x) = a b olacağından f(x) = a b denklemi çözülür. 2) denkleminin çözümü için, f(x) > 0 ve g(x) > 0 şartıyla f(x) = g(x) denklemi çözülür. ÜSLÜ EŞİTSİZLİKLER a f(x) > a g(x) eşitsizliği çözülürken 1) a > 1 ise f(x) > g(x) eşitsizliği çözülür. 2) 0 < a < 1 ise f(x) < g(x) eşitsizliği çözülür. LOGARİTMALI EŞİTSİZLİKLER < b eşitsizliği çözülürken 1) a > 1 ise, 2) 0 < a < 1 ise, } sistemi çözülür. } sistemi çözülür. 3. ÜNİTE: PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, OLASILIK VE İSTATİSTİK SAYMA YÖNTEMLERİ Bire Bir Eşleme Yoluyla Sayma: Sayılmak istenen nesneleri sayma sayıları kümesinin elemanları ile sıralı ve bire bir eşleyerek yapılan işleme, bire bir eşleme yoluyla sayma yöntemi denir. Örneğin; bir sınıftaki öğrenci sayısını veya bir kitaptaki yaprakların sayısını bu yolla bulabiliriz. Toplama Yoluyla Sayma: Ayrık iki kümenin birleşiminin eleman sayısını toplama işlemi yaparak bulmaya, toplama yoluyla sayma yöntemi adı verilir.

8 A ve B ayrık ve sonlu iki küme olmak üzere, A ve B kümelerinin toplam kaç elemanı olduğunu, s(a B) = s(a) + s(b), (A B = Ø ) şeklinde toplama yaparak buluruz. Örneğin; bir sınıfta 12 kız, 15 erkek öğrenci varsa, toplam kaç öğrenci olduğunu bulmak için öğrencilerin hepsini saymaya gerek yoktur. Kısaca, sınıfta = 27 öğrenci vardır diyebiliriz. Çarpma Yoluyla Sayma: Ayrık iki kümenin kesişiminin eleman sayısını çarpma işlemi yaparak bulmaya, çarpma yoluyla sayma yöntemi adı verilir. Örneğin; bir okulda 10 sınıf ve her sınıfta 30 öğrenci varsa, bu okulda = 300 öğrenci vardır. Saymanın Temel İlkesi Bir olaylar dizisinde birinci olay n 1 değişik biçimde, bunu izleyen ikinci olay n 2 değişik biçimde ve bu şekilde işleme devam edildiğinde r. olay n r farklı biçimde oluşuyorsa, olayın tamamı n 1.n n r çarpımı kadar değişik biçimde oluşur. Örneğin, 3 farklı gömleği, 2 farklı kravatı olan bir kişi, bir gömlek ve bir kravatı 3.2 = 6 farklı biçimde giyebilir. FAKTÖRİYEL n N + olmak üzere, 1 den n ye kadar olan tüm doğal sayıların çarpımına n faktöriyel denir ve n! biçiminde gösterilir. n! = n 0! = 1 ve 1! = 1 olarak kabul edilir. 2! = 1.2 = 2 3! = = 6 4! = = 24 5! = = n! = (n 1)!.n n! = (n 2)!.(n 1).n PERMÜTASYON (SIRALAMA) A sonlu bir küme olmak üzere, A dan A ya tanımlanan bire bir ve örten her fonksiyona, A nın bir permütasyon fonksiyonu ya da kısaca permütasyonu denir. Permütasyonların Sayısı n, r N + ve r n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin birbirinden farklı r tane elemanından oluşmuş sıralı r lilerin her birine n nin r li permütasyonu denir. n elemanlı bir kümenin r li permütasyonlarının sayısı, olur. r = n ise n elemanlı bir kümenin permütasyonlarının sayısı, P(n, n) = n! olacaktır. DAİRESEL (DÖNEL) PERMÜTASYON Sonlu bir kümenin elemanlarının bir daire üzerinde birbirlerine göre farklı dizilişlerinin her birine bu elemanların bir dönel (dairesel) permütasyonu denir. Sonlu n elemanın farklı dairesel permütasyonlarının sayısı (n 1)! tanedir. TEKRARLI PERMÜTASYON n elemanlı bir kümenin; n 1 tanesi aynı tür, n 2 tanesi aynı tür,..., n r tanesi aynı tür ve n 1 + n n r = n ise bu n tane elemanın permütasyonlarının sayısı P(n; n 1, n 2,..., n r ) = kadardır. KOMBİNASYON (SEÇME) r, n N ve r n olmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li kombinasyonu denir ve n elemanlı bir kümenin r li kombinasyonlarının sayısı Özellikler: biçiminde ifade edilir. UYARI: Kombinasyonda sıranın önemi yoktur. n elemanın r li seçimleri söz konusudur. Permütasyonda ise sıralı diziliş vardır. Örnek: Aynı renk boncuklar özdeş olmak üzere 3 kırmızı 5 beyaz boncuk, kırmızı boncuklardan 7

9 herhangi ikisi yan yana olmamak şartıyla bir sıra üzerinde kaç değişik biçimde dizilir. Çözüm: Beyaz boncukları birer aralıklarla koyulur. Aralık sayısı = 6 aralıktan üçü seçilir ve o aralıklara kırmızıları koyulur. C(6,3)=20 BİNOM AÇILIMI n pozitif tam sayı olmak üzere, (x + y) n ifadesinin açılımına binom açılımı denir. (x + y) n = x n + x n-1 y + x n-2 y xy n-1 + y n açılımı; x in azalan, y nin artan kuvvetlerine göre yapılmıştır. y nin yerine y yazılırsa (x y) n ifadesinin açılımı elde edilir. Her terimdeki dereceler toplamı n dir. n + 1 tane terim vardır. Kat sayılar toplamı x = y = 1 alınarak bulunur. Baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin kat sayıları eşittir. (x + y) 2n açılımında, ortadaki terim x n y n dir. UYARI: (ax + by + cz) n ifadesinin açılımında x p.y q.z t li terimin kat sayısı dir. OLASILIK Bir madeni paranın ya da tavla zarının atılması, kura ile sınıftan bir öğrenci seçilmesi gibi işlemlerden her birine matematiksel deney denir. Deneyin sonuçlarına ise deneyin çıktıları adı verilir. Örneğin; Düzgün bir zemine bir madeni paranın atılması bir deneydir. Yazı gelmesi ve tura gelmesi ise bu deneyin çıktılarıdır. Bir deneyden elde edilebilecek tüm çıktıların kümesine örneklem uzay, örneklem uzayın her bir elemanına örneklem nokta denir. Örneklem uzayın her alt kümesine olay denir. Örneklem uzayın alt kümelerinden boş kümeye imkansız olay, E örneklem uzayına kesin olay denir. Bir örneklem uzayında, iki olayın kesişimi boş küme ise bu iki olaya ayrık olaylar denir. x n-r y n terimine genel terim denir. Genel terim; baştan (r +1). terim, sondan (n r + 1). terimdir. Pascal Üçgeni OLASILIK FONKSİYONU E örnek uzayının tüm alt kümelerinin oluşturduğu küme (kuvvet kümesi) K olsun. P : K [0, 1] fonksiyonu aşağıdaki aksiyomları sağlarsa P fonksiyonuna olasılık fonksiyonu, P(A) görüntüsüne de A olayının olasılığı denir. 1) A E 0 P(A) 1 2) P(E) = 1 3) A, B E ve A B = Ø ise P(A B) = P(A) + P(B) Teorem: A, B E ve P bir olasılık fonksiyonu ise a) P(Ø) = 0 b) A B ise P(A) P(B) c) A' = E A ise P(E) = P(A) + P(A') = 1 d) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) dir. 8

10 Eş Olumlu Örnek Uzay E = {a 1, a 2,..., a n } bir sonlu örnek uzay olsun. P(a 1 ) = P(a 2 ) =... = P(a n ) ise E örnek uzayına eş olumlu örnek uzay adı verilir. Eş olumlu bir uzayda, aksi belirtilmedikçe, olasılık fonksiyonu dır. KOŞULLU OLASILIK E örnek uzay ve A ile B herhangi iki olay olsun. B olayının gerçekleşmiş olması halinde A olayının gerçekleşmesi olasılığına A olayının B ye bağlı koşullu olasılığı denir ve P(A / B) biçiminde gösterilir. dir. E eş olumlu örnek uzay ise, dir. A nın B koşullu olasılığı hesaplanırken B kümesi örnek uzay olarak düşünülüp hesap yapılabilir. Koşullu olasılıktan elde edilen P(A B) = P(A / B).P(B) eşitliğine olasılıkta çarpma kuralı denir. BAĞIMSIZ OLAYLAR İki olaydan birinin gerçekleşmesi veya gerçekleşmemesi diğerinin gerçekleşme olasılığını değiştirmiyorsa bu iki olaya bağımsız olaylar denir. P(A B) = P(A).P(B) Eğer iki olay bağımsız değilse bu olaylara bağımlı olaylar denir. A ve B olaylarının meydana gelme olasılığı P(A B) demektir. A veya B olaylarının meydana gelme olasılığı P(A B) demektir. SONSUZ ÖRNEK UZAYI E örnek uzayı sonsuz çoklukta örnek noktalardan (uzunluk, alan, hacim, ağırlık, açı ölçüsü,...) oluşuyorsa bu örnek uzaya sonsuz örnek uzay denir. A olayı da E örnek uzayında bir olay ise bu A olayının olasılığı, A nın ölçüsü olur. İSTATİSTİK İstatistik; örnek verilerden hareket ederek popülasyon (ana kitle yığın) hakkında yorumlama, genelleme ve tahmin yapma bilimidir. 20. yüzyıldan itibaren istatistik; muhasebe, yönetim, finansman ve pazarlama gibi pek çok uygulama alanı bulmuştur. Trafik kazaları, evlenme, boşanma, doğum, ölüm, kâr, zarar gibi konular istatistiğin ilgilendiği konulardır. İstatistikte incelenen olayın özellik ya da özelliklerinin aldığı değerler rakamlarla ifade edilebilmelidir. Bir olaylar kümesindeki tek bir olay, tüm olaylar kümesini temsil edebiliyorsa bu tür olaylar istatistiğin ilgi alanına girmez. (Suyun 100 C de kaynaması gibi, aynı yerde aynı koşullarda yapılan her deneyin sonucu aynı olur.) Ölçülmeye veya sayılmaya elverişli tüm canlı ve cansız varlıklar ve olaylara; okul, insan, bina, araba, doğum, ölüm, evlenme, kâr zarar gibi kavramlara istatistiki birim denir. Sevinç, korku, rüya, renk ve koku gibi soyut kavramlar sayılamadıkları ve ölçülemedikleri için istatistik için birim olamazlar. Birimlerin sahip olduğu özelliklere değişken, değişkenlerin aldığı değerlere de şık denir. Belirlenen amaçlar için gözlenecek olan birimlerin ölçülmesi, sayılması ve aldıkları değerlerin belirlenmesi ve kaydedilmesine veri derleme denir. Elde edilen bu verilerin istatistiksel yöntemlerle değerlendirildikten sonra uygun araçlar kullanarak sunumunun yapılması istatistiğin amacıdır. İstatistik; Yeni bilgilere ulaşmak ve bunları geliştirmek için yapılan araştırmalardan elde edilen verileri düzenlemek, Problem çözümleri için çalışma teknikleri oluşturmak, Değişkenlerin ürünleri ve üretim süreçlerini nasıl etkileyeceğini tahmin etmek, Yapılan gözlem ve deneylerden elde edilen sonuçları, doğru yorumlamak ve anlaşılır bir biçimde sunmak, Sonuçların güvenilirliğini test etmek gibi birçok amaç için çoğu bilim dalına yardımcı olmaktadır. İstatistiksel çalışmalar yapılırken, Grafikler Frekans Tabloları Merkezi Eğilim Ölçüleri Merkezi Yayılma (Dağılım) Ölçüleri (Değişkenlik Ölçüleri) 9

11 gibi yöntemlerden yararlanılır. İstatistiksel verileri sözel ifadelerle açıklayarak, frekans tabloları yaparak ve grafik gösterimler kullanarak daha anlamlı ve kolay anlaşılabilir hale getirebiliriz. Verileri ise iki ana grup altında toplayabiliriz. Ortanca (Medyan): Veriler küçükten büyüğe doğru sıralandığında veri sayısı tek ise tam ortada kalan değer ortancadır. Eğer veri sayısı çift ise tam ortadaki iki sayı toplanır ve ikiye bölünür, çıkan sonuç ondalık da olsa ortancadır. Açıklık (Aralık): Veri grubundaki en büyük değerden en küçük değer çıkarılarak bulunur. Alt çeyrek: Veri grubunda veriler küçükten büyüğe doğru sıralandığında en küçük değer ile ortanca değerin tam ortasındaki değer alt çeyrek olur. Şayet ortada iki değer varsa bu değerlerin aritmetik ortalaması alt çeyrek olarak alınır. Üst çeyrek: Veri grubunda veriler küçükten büyüğe doğru sıralandığında en büyük değer ile ortanca değerin tam ortasındaki değer üst çeyrek olur. Şayet ortada iki değer varsa bu değerlerin aritmetik ortalaması üst çeyrek olarak alınır. Çeyrekler açıklığı: Üst çeyrek ile alt çeyrek arasındaki farka denir. Çeyrekler açıklığı iki grubu karşılaştırmada düzenli olup olmadığı, verilerin birbirine yakın olup olmadığı gibi konularda bizlere bilgi verir. Alt çeyrek ve üst çeyrek ise çeyreklerin hangi sayı etrafında olduğunu görmemizi ve dolayısıyla gruplar üzerinde daha basit değerlendirme yapmamızı sağlar. Örnek: 12, 11, 9, 7, 7, 13, 14, 8, 5 veri grubundaki medyan, açıklık, alt çeyrek, üst çeyrek ve çeyrekler açıklığını bulalım. Verileri küçükten büyüğe doğru sıralayalım. Medyan: Veri grubunun tam ortasındaki değer 9 dur. Açıklık: En büyük değer En küçük değer = 14 5 = 9 Alt çeyrek: En küçük değer ile medyanı parmaklarımızla kapattığımızda arada kalan üç değerin ortancası olur. Yani 7 dir. Üst çeyrek: Aynı yaklaşımla en büyük değer ile medyanın arasında kalan değerlerin ortancasıdır. Yani 12 dir. Çeyrekler açıklığı: Üst çeyrek Alt çeyrek = 12 7 = 5 GRAFİKLER Verilerin veya karşılaştırılması yapılacak değişkenlerin çizgi, tablo, nokta veya şekillerle ifade edilmesine grafik denir. Grafikler verilerin sunumuna görsellik katarak daha kolay yorumlanmasını sağlar. Veri türlerine ve istenen amaca göre çizilebilecek çeşitli grafik türleri vardır. Bunlar; 1) Çizgi grafiği 2) Sütun grafiği (Çubuk - Histogram) 3) Daire grafiği 4) Kutu grafiği 5) Serpilme grafiği başlıkları altında ifade edilebilir. 1) ÇİZGİ GRAFİĞİ Verilerin yatay ve dikey eksendeki değerleri işaretlenerek bulunan noktaların çizgilerle birleştirilmesi sonucunda elde edilen grafikler çizgi grafikleridir. Özellikle bir değişkenin zaman içerisindeki değişimini (artma, azalma) incelemek için kullanılan en uygun grafiktir. Örnek: Yanda bir hareketlinin belli zaman aralığında aldığı yolu gösteren tablo verilmiştir. Bu tablodan yararlanarak hareketlinin aldığı yolu zamana göre ifade eden çizgi grafik aşağıda çizilmiştir. 10

12 Zaman (dk) Yol (m) Hareketin toplam süresi 5 dakikadır. Hareket süresince alınan toplam yol 200 metredir. 1. dakikanın sonunda alınan yol 100 metredir. 2. ve 3. dakikalar arasında alınan yol = 25 metredir. 3. ve 4. dakikalar arasında yol alınmamıştır. Yani bu zaman diliminde hareketli durmuştur. Hareketlinin en yüksek hıza sahip olduğu aralık 0 1 dakika aralığıdır. Bu aralıktaki hızı V = 100 m/dk dır. En çok yol aldığı aralık 0 1 dakikalar arasıdır. Bu aralıkta 100 metre yol almıştır. 2. ve 3. dakikalar arasında aldığı yol, 4. ve 5. dakikalar arasında aldığı yola eşittir (25 m). Aynı süre içinde (1 dk) aldığı yollar eşit olduğundan bu aralıklarda hızları da eşittir. 2) SÜTUN GRAFİĞİ Bu grafik türünde toplanan bilgiler sütun şeklindeki grafiklerle gösterilir. Sütun grafiğinde iki eksen vardır. Yatay ve düşey eksende ölçülen değerlerin birbirine göre durumları sütunlarla (çubuklarla) belirtilir. Çiftli sütunlar halinde çizildiğinde farklı iki veri kümesinin karşılaştırılmasını da sağlarlar. İsimsel veriler için zorunlu bir sıralama koşulu yoktur. Süreksiz (aralıklı) veriler için çubuk grafiği, sürekli veriler için de histogram olarak çizilir. Histogramda sütunlar birbirine bitişik ve veriler sıralıdır. A) Çubuk Grafiği Bazı çubuk grafiklerinin çiziminde aşağıdaki yollar takip edilir. Veriler küçükten büyüğe doğru sıralanır. Grup genişliği (aralık) bulunur. Bu aralık en büyük veri ile en küçük verinin farkıdır. Verilerin kaç alt grupta toplanacağına karar verilir. Tespit edilen sayı grup genişliğine bölünerek alt grup genişliği bulunur. Bu sayı ondalık bir sayı ise yuvarlanarak tam sayı tespit edilir. Bazen işlemi kolaylaştırmak için alt grup sayısını bulduğumuz sayının yakınındaki başka sayı ile değiştirebiliriz. Çubuk grafiği çizerken değişkenleri y ekseninde, aldıkları değerleri de x ekseninde gösterebiliriz. Frekans Tablosu Gruplama sonucunda oluşan ve belirli bir özelliği temsil eden birey sayısına frekans denir. Frekans, bir özelliğin olayda kaç kez tekrarlandığını gösterir. 11

13 Yukarıda, bir sınıfta bulunan 23 öğrencinin matematik sınavına ilişkin puanların frekans tablosu verilmiştir. Bu tabloya göre, puanı aralığında olan 4 öğrencinin bulunduğu v.s. söylenebilir. Histrogram Alanı, ilgili sınıfın frekansına, tabanı da ilgili sınıfın aralığına eşit olan ve birbirine bitişik dikdörtgenlerden oluşan bir grafik çeşididir. Sürekli verileri göstermek için çizilirler. Tek bir değişkenin dağılımını göstermek için oldukça kullanışlı bir grafik sunumudur. Hindistan: Çin: Kenya: Sri Lanka: Endonezya: Türkiye: Her bir aralık üzerindeki dikdörtgenin alanı o sınıfın frekansını vermektedir. Herhangi bir sınıftaki verilerin tüm verilere oranı; sınıfı temsil eden dikdörtgenin alanının, tüm dikdörtgenlerin alanları toplamının oranına eşittir. DAİRE GRAFİĞİ Eldeki verilerin daire dilimleri biçiminde sunulmasıdır. Değişkenlerin bir bütün içerisindeki oranları, yüzde veya merkez açı ölçüleri gösterilerek hazırlanır. Her bir dilimin içine veya dilimin yakınındaki bir yere, o değişkenin adı ve yüzdelik dilimi yazılır. Eğer merkez açılar kullanılacaksa her bir değişkene düşen merkez açılar ve bunların toplamları 360 olacak şekilde daire dilimlere ayrılır. Bu grafik türüne pasta grafiği de denilmektedir. Kesikli veriler için uygundur. Örnek: Dünya çay üretiminde en büyük paya sahip 6 ülke ve üretim miktarları aşağıda tablo şeklinde verilmiştir. Bu tabloya karşılık gelen daire grafiğini oluşturalım. Öncelikle, her bir ülkenin üretiminin toplam üretimdeki payını bulalım. 12 Şimdi de tabloya karşılık gelen daire grafiğini merkez açılar kullanarak gösterelim. Her ülkeye düşen daire diliminin oluşturduğu merkez açılarının ölçüleri basit bir orantı ile bulunabilir. Türkiye için; 2385 lik üretime 360 karşılık geliyorsa 135 lik üretime x karşılık gelir 2385.x = x 21 olur. Yukarıdaki orantıya benzer orantılar kurarak diğer ülkelere karşılık gelen merkez açılarını da bulabiliriz. Böylece aşağıdaki grafiği elde ederiz. 4) KUTU GRAFİĞİ Bir değişkenin sıklık dağılımını göstermek için kullanılan kutu grafikleri, dağılımın şekli, merkezi eğilimi ve değişkenlerin yayılım düzeyini göstermesi açısından kullanışlıdır. Kutu grafiği, veri için çeyreklere dayalı grafiksel gösterimlerdir. Kutu grafiğinin çizimi için, en küçük değer (alt uç değer) alt çeyrek (Q1), ortanca, üst çeyrek (Q3) ve en büyük değer (üst uç değer) bulunur. Kutu gösteriminde; Kutunun uç noktaları Q 1 ve Q 3 tedir.

14 Kutunun uzunluğu Q 3 Q 1 dir. Bu fark, verilerin ortadaki yarısının yayılma ölçüsüdür. Ortanca, kutunun içinde çizgi ile işaretlenir. Kutu dışındaki iki çizgi, alt uç değer ve üst uç değere kadar uzatılır. Kutu grafiğinde, dağılımın merkezi, verilerin yayılma genişliği ve uç değerleri kolaylıkla görülür. Örnek: Bir sınıftaki öğrencilerin bir dakikalık zaman dilimi içerisinde nabızlarını saymaları istenmiştir. Ölçüm sonuçları cinsiyet değişkenine göre aşağıdaki tabloya aktarılmıştır. En Düşük Değer Alt Çeyrek Ortanca Üst Çeyrek En Büyük Değer Erkek Kız Bu tabloya karşılık gelen kutu grafiği aşağıdaki gibidir. Bu grafik üzerinden kızlarla erkeklerin nabız sayılarını, farklı açılardan (ortanca, en büyük ve en küçük değerler, çeyrekler) karşılaştırabiliriz. 5) SERPİLME GRAFİĞİ İki değişkenin bir arada incelenmesi için çizilen grafiklerdir. Değişkenlerden birinin değerleri yatay, diğer değişkenin değerleri de düşey eksende gösterilir. Örnek: Aşağıda 5 öğrencinin matematik ve fizik derslerinden aldıkları notlar sırasıyla verilmiştir. Matematik Notu : 30, 40, 50, 65, 75 Fizik Notu : 20, 40, 45, 70, 80 Bu verilere ait grafiği oluşturalım. Noktaların dağılımına bakarak, matematik notu yüksek olan öğrencilerin fizik notu da yüksektir sonucunu çıkarabiliriz. Başka bir deyişle, notlar arasında doğru orantı vardır diyebiliriz. Grafik Türünün Seçimi ve Avantajları 1) Çizgi Grafiği Bir değişkenin zaman içerisindeki değişimini incelemek için en uygun grafik türüdür. Birden çok sürekli veri grubunun kıyaslanması kolaylıkla görülebilir. 2) Sütun Grafiği a) Çubuk Grafiği Görselliği kuvvetlidir. 2 veya 3 veri grubu kolaylıkla kıyaslanabilir. Her bir kesikli veri ayrı sütunda gösterildiği için incelenmesi kolaydır ve verinin gerçek değeri kolaylıkla görülebilir. b) Histogram Gruplanmış (sınıflandırılmış) sürekli verilerin gösterimi için iyi bir görselliğe sahiptir. Her bir kategoriye düşen frekans sayıları kolaylıkla görülebilir. 3) Daire Grafiği Bir değişkenin bir bütün içerisindeki oranını belirlemek için en uygun grafik türüdür. Göze hoş gelen bir sunumu vardır. Her bir kategorinin toplam içindeki payı çok rahat anlaşılır. 4) Kutu Grafiği Verilerin genişliğini, yığılımını öğrenmek için en uygun grafik türüdür. Uç değerleri ve sapan değerleri görmek çok kolaydır. Veri sayısı çok olduğunda bile kolaylıkla gösterilebilir. Dağılımın şekli, merkezi eğilim ve yayılım ölçüleri hakkındaki bilgileri çok rahat sunar. 13

15 5) Serpilme Grafiği İki değişken arasındaki ilişkiyi göstermek için en uygun grafik türüdür. Veriler arasındaki ilişkiyi (doğru orantılı, ters orantılı, ilişki yok gibi) açıklamak için çok uygundur. Verilerin gerçek değerleri göz önündedir. MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Gözlenen verilerin düzenlenerek, tablolarla, grafiklerle sunulması çoğu durumda yeterli olmaz. Genel durumu yansıtacak bir takım ölçülere gereksinim vardır. Bu ölçüler merkezi eğilim ölçüleri olup en çok kullanılanları; ortalama (aritmetik ortalama), ortanca (medyan), mod (tepe değeri) olmak üzere üç grupta toplanabilir. Ayrıca geometrik ortalama ve harmonik ortalama da merkezi eğilim ölçüleridir. ORTALAMA Merkezi eğilim ölçülerinin en sık kullanılanıdır. Aritmetik ortalamayı ifade eder. Eldeki veriler toplamının veri sayısına bölümüdür. ile gösterilir. Veri değerleri x 1, x 2,..., x n olan n tane veri için, dir. Ağırlıklı Ortalama: Aritmetik ortalamada, her bir veri değerinin öneminin eşit olduğu varsayılmaktadır. Fakat bazı değerlerin önemi diğerlerinden farklı olabilir. Bu durumlarda ağırlıklı ortalama kullanılır. MEDYAN (ORTANCA) Bir sayı dizisinin medyanını bulmak için, sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanır. Dizinin terim sayısı tek ise ortadaki terim medyandır. Dizinin terim sayısı çift ise ortadaki iki terimin aritmetik ortalaması medyandır. Başka bir deyişle, n terimli bir sayı dizisinde n tek ise medyan : n çift ise medyan : dir. MOD (Tepe Değeri) Bir veri grubundaki en çok (en sık) tekrarlanan değere mod (tepe değeri) denir. Tekrar sayıları frekans olarak adlandırılır. 14 Bir veri grubunda birden fazla tekrar eden değer yoksa, bu veri grubunun modu yoktur. Bir veri grubunda aynı sayıda tekrar eden birden fazla değer varsa, mod değeri de birden fazla olabilir. Fakat, tüm değerler eşit sayıda tekrar ediyorsa mod yoktur. Not: Ortalama, mod ve ortanca değerler birbirine yakın olduğunda dağılım düzgündür veya veriler homojen dağılmıştır diyebiliriz. Geometrik Ortalama: x 1, x 2,... x n gibi n tane verinin geometrik ortalaması dir. Gözlem sonuçlarının her biri bir önceki gözlem sonuçlarına bağlı olarak değişiyorsa bu değişimin hızını belirtmek için geometrik ortalama daha sağlıklı sonuçlar verir. Harmonik Ortalama: x 1, x 2,... x n gibi n tane verinin harmonik ortalaması dir. Harmonik ortalama sık kullanılmayan bir ortalama eşitidir. Genellikle ekonomik olaylarda 1 birim ile alınabilen ortalama miktara veya bir ürünün bir biriminin üretimi için harcanan ortalama gideri hesaplarken kullanılır. Ayrıca ortalama hız hesabında da kullanılır. MERKEZİ YAYILMA (DAĞILIM) ÖLÇÜLERİ Merkezi eğilim ölçüleri, birimlerin kendi aralarında nasıl bir dağılım (yayılım) gösterdiklerini ifade etmede yetersiz kalırlar. Örneğin; x, y ve z verilerinin ortalamaları eşit ( = = =24) olduğu halde verilerin dağılımları oldukça farklıdır. Bu nedenle verilerin ortalamaya göre veya kendi aralarında nasıl bir dağılım gösterdiklerini incelemek için merkezi dağılım ölçüleri kullanılır. Bunlar, Açıklık Çeyrekler açıklığı Varyans (değişim) Standart Sapma olarak ifade edilirler.

16 AÇIKLIK (Aralık Ranj) Bir veri kümesinde bulunan en büyük ve en küçük değer arasındaki farktır ve genellikle R ile gösterilir. R = En Büyük Değer En Küçük Değer ÇEYREKLER AÇIKLIĞI (Q) Bir veri grubundaki terimler küçükten büyüğe doğru sıralandığında ilk terime alt uç, son terime üst uç, bunların ortasındaki terime de ortanca denir. Ortancadan küçük terimlerin ortancasına alt çeyrek (Q 1 ) denir. Ortancadan büyük terimlerin ortancasına üst çeyrek (Q 3 ) denir. Bir başka ifade ile veri kümesinin ilk % 50 lik kısmının ortancasına Q 1, sonraki % 50 lik kısmının ortancasıda Q 3 denir. Çeyrekler açıklığı = Üst çeyrek Alt çeyrek Q = Q 3 Q 1 VARYANS Gözlemlenen değerlerin (verilerin) ortalama etrafında nasıl yayıldıklarının (dağıldıklarının) ölçüsüne varyans denir. Belli karakterleri ortak olan birimlerin oluşturduğu topluluğa popülasyon (kitle - yığın) denir. (Hayvan popülasyonu, bitki popülasyonu, öğrenci popülasyonu gibi) μ(mü) : Yığın aritmetik ortalaması N : Yığını oluşturan birimlerin sayısı σ2 : Yığın varyansı olmak üzere, dir. ( ) Popülasyonda üzerinde çalışılan obje veya bireyleri teker teker incelemek; zaman, maliyet, işçilik veya yasalar açısından çoğu zaman mümkün değildir. Bundan dolayı, popülasyonun tümünün üzerinde çalışılması yerine ondan belli yöntemlerle alınan örnekler üzerinde çalışılır. (x bar) : Örnek aritmetik ortalaması n : Örneği oluşturan birimlerin sayısı s 2 : Örnek varyansı olmak üzere, ( ) dir. n ve σ 2 popülasyonun özelliklerini tanımlayan parametrelerdir. İstatistikler, parametrelerin birer tahmini değerleridir. Yani;, n nün, s 2 ise σ 2 nin tahmini değerleridir. İstatistik bilimi, örnek verilerden hareket ederek popülasyon (ana kitle yığın) hakkında yorumlama ve genelleme yapar. Verilerin ortalama etrafında daha uzak (geniş) bir dağılım göstermeleri durumunda varyans büyük, ortalamaya daha yakın değerler alması durumunda varyans küçük olur. Varyansın küçük olması daha homojen ve birbirine yakın bir veri grubu olduğunu gösterir. Başka bir deyişle küçük varyans daha istikrarlı bir durum, büyük varyans ise daha riskli bir durum olduğunun göstergesi olarak yorumlanabilir. STANDART SAPMA Varyansın karekök değerine standart sapma denir. En yaygın merkezi yayılım ölçüsüdür. Varyansa benzer şekilde verilerin ortalama etrafında nasıl bir yayılma gösterdiğinin ölçüsüdür. Düşük standart sapma değeri, bir araya toplanmış ve ortalamaya daha yakın verilerin çok olduğunun ölçüsüdür. STANDART PUANLAR Standart puan gözlenen puanların ortalamadan olan farklarını standart sapma cinsinden belirtilmesidir. Standart puanlar, yapılan ölçümlerden elde edilen puanların aritmetik ortalamasının sıfır (0), standart sapmasının bir (1) kabul edildiği puanlardır. z puanı z puanı bir verinin ortalamadan kaç standart sapma kadar uzakta olduğunu gösterir ve 15

17 formülü ile hesaplanır. Herhangi bir kişinin almış olduğu puanı z puanına dönüştürerek, verilen bir puanın standart sapmaya göre ortalamanın ne kadar altında veya üstünde kaldığı belirlenebilir. z puanının ( ) veya sıfır (0) çıkması mümkündür. T puanı z puanı nasıl ki verilen puanları ortalaması 0, standart sapması 1 olan puanlara dönüşüyorsa, T puanı da verilen puanları ortalaması 50, standart sapması 10 olan puanlara dönüştürür. z puanlarından T puanlarına geçiş T = z formülü ile elde edilir. KORELASYON İki değişken arasında ilişki olup olmadığını, varsa bu ilişkinin derecesini gösteren kat sayıya korelasyon kat sayısı denir. Korelasyon kat sayısı [ 1, 1] aralığında değerler alır. Korelasyon kat sayısı sıfıra eşit ise değişkenler arasında bir ilişkiden söz edilemez. Korelasyon kat sayısının 1 e yaklaşması, değişkenler arasında olumlu ve kuvvetli bir ilişkinin bulunduğunu; 1 e yaklaşması, değişkenler arasında olumsuz ve kuvvetli bir ilişkinin bulunduğunu gösterir. 4. ÜNİTE: TÜMEVARIM VE DİZİLER TÜMEVARIM Genellemenin ispatında tümevarım yöntemi kullanılır. Bu yöntem, varsayım kümenin tüm elemanları için geçerli olduğunun ortaya konmasına dayanır. Tümevarım yönteminde de bir küme ile bu kümedeki bir P(n) açık önermesi birlikte düşünülür. Domino taşlarında olduğu gibi kümenin birinci elemanının P(n) önermesini sağladığını, aynı şekilde ikinci elemanın da önermeyi sağladığı gösterilir. Bu düşünce kümenin n. elemanı için P(n) önermesinin doğru olacağı varsayımını gerektirir. (n + 1). elemanın da doğru olduğunun gösterilmesine tümevarım yöntemiyle ispat denir. Böylece kümenin her elemanının önermeyi doğruladığı sonucuna ulaşılır. TOPLAM SEMBOLÜ ( ) Bağıntısı belli olan örüntülerin elemanları toplamını kısaca ifade etmek için (Sigma) sembolü kullanılır. a 1 + a 2 + a a n toplamı kısaca, biçiminde gösterilir. Bu ifade k = 1 den n ye kadar a k sayılarının toplamı diye okunur. n: üst sınır (n Z) k : indis ya da değişken m : alt sınır (m Z) (n m) dir. TOPLAM FORMÜLLERİ Tüme varımda ispatını yaptığımız bazı önemli toplam formülleri aşağıda verilmiştir. Bu formülleri ezberlemek bize, toplam sembolü ile ifade edilen değeri kolayca hesaplamamızı sağlayacaktır. n N + için, 1) n = 2) n = = (n + 1) 3) (2n 1) = = n 2 4) n 2 = 5) n 3 = ( ) 6) 1 + r + r r n 1 = ; (r 1) 7) Toplam Sembolünün Kullanımı İle İlgili Özellikler ) ) ( ) ) ( ) ) 16

18 ) ÇARPIM SEMBOLÜ ( ) Bir örüntünün elemanları çarpımını kısaca ifade etmek için (pi) sembolü kullanılır. a 1.a 2.a a n çarpımı kısaca, biçiminde gösterilir. Bu ifade, k = 1 den n ye kadar a k sayılarının çarpımı diye okunur. n: üst sınır (n Z), k: indis ya da değişken (n Z), m: alt sınır (m Z), (n m) dir. ÇARPIM SEMBOLÜNÜN ÖZELLİKLERİ ) ( ) ) ) ( ) ) DİZİLER Tanım kümesi sayma sayıları olan her fonksiyona dizi denir. f: N + R tanımlı bir fonksiyon f(n) = a n ile gösterilir. Burada an ye (a n ) dizisinin n. terimi ya da genel terimi denir. (a n ) = (a 1, a 2, a 3,..., a n,...) yazılışında dizinin; birinci terimi: f(1) = a 1, ikinci terimi: f(2) = a 2, üçüncü terimi: f(3) = a 3,, n. terimi: f(n) = a n dir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılır. Örneğin; f: N + R, f(n) = a n reel sayı dizisi, f: N + N +, f(n) = an sayma sayı dizisidir. Aksi belirtilmedikçe dizi sözünden reel (gerçel) sayı dizisi anlaşılır. Diziler genel terimleri ile belirlenir. Genel terimi verilmeden yazılan sayı grupları dizi belirtmez. (a n ) yazılışı a n dizisini ifade ederken, a n yazılışı dizinin genel terimini ifade etmektedir. Örneğin; f(n) = 2n 1 dizisi (a n ) = (2n 1) şeklinde yazılabildiği gibi, (a n ) = (1, 3, 5,..., 2n 1,...) şeklinde de açık olarak yazılabilir. Bu dizinin genel terimi a n = 2n 1 şeklinde yazılır. Burada, dizi yazarken parantez kullanıldığına, genel terim yazarken ise parantez kullanılmadığına dikkat ediniz. Fibonacci Sayıları 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,... biçiminde artan sayılara Fibonacci Sayıları denir. Bir terim kendinden önceki iki terimin toplamına eşittir. Bu dizinin ileri elemanlarında, bir sonraki elemanın bir öncekine oranı altın oran adı verilen ve yaklaşık 1,618 değerine eşit bir sayıyı verir. Altın orana uygun ölçülerdeki nesneler ve canlılar daha estetik ve daha güzel görünür. ) ) ) ( ) ( ) Fibonacci dizisinin göründüğü ve kullanıldığı bazı yerler: 1) Ayçiçeği: Ayçiçeğinin merkezinden dışarıya doğru sağdan sola ve soldan sağa doğru taneler sayıldığında çıkan sayılar Fibonacci dizisinin ardışık terimleridir. 17

19 2) Papatya Çiçeği: Papatya çiçeğinde de ayçiçeğinde olduğu gibi bir Fibonacci dizisi mevcuttur. 3) Çam Kozalağı: Çam kozalağındaki taneler kozalağın altındaki sabit bir noktadan kozalağın tepesindeki başka bir sabit noktaya doğru spiraller (eğriler) oluşturarak çıkarlar. İşte bu taneler soldan sağa ve sağdan sola sayıldığında çıkan sayılar, Fibonacci dizisinin ardışık terimleridir. 4) Tütün Bitkisi: Tütün bitkisinin yapraklarının dizilişinde bir Fibonacci dizisi söz konusudur; yani yaprakların diziliminde bu dizi mevcuttur. Bundan dolayı tütün bitkisi Güneş ten en iyi şekilde güneş ışığı ve havadan en iyi şekilde karbondioksit alarak fotosentezi mükemmel bir şekilde gerçekleştirir. 5) Ömer Hayyam veya Pascal veya Binom Üçgeni: Ömer Hayyam üçgenindeki tüm katsayılar veya terimler yazılıp çapraz toplamları alındığında Fibonacci dizisi ortaya çıkar. SONLU DİZİ k Z + ve A k = {1, 2, 3,..., k} Z + olmak üzere, tanım kümesi A k olan her fonksiyona sonlu dizi denir. Örneğin; A 6 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} olmak üzere, A n : A 6 R, (a n ) = (2n) dizisi sonludur. Üstelik, (a n ) = (2, 4, 6, 8, 10, 12) olup (an) dizisinin 6 terimi vardır. Sonlu dizi olduğu belirtilmediği sürece her dizinin sonsuz dizi olduğu anlaşılır. SABİT DİZİ Bütün terimleri birbirine eşit olan dizilere sabit dizi denir. (a n ) bir sabit dizi ise, a 1 = a 2 = a 3 =... = a n = c, (c R) dir. Örneğin; (a n ) = (5) dizisi bir sabit dizidir. Çünkü (a n ) = (5, 5, 5,..., 5,...) olup dizinin bütün elemanları 5 e eşittir. UYARI: sabit dizi ise dir. DİZİLERİN EŞİTLİĞİ n N + için a n = b n oluyorsa, (a n ) ve (b n ) dizilerine eşit diziler denir ve (a n ) = (b n ) şeklinde gösterilir. DİZİLERDE İŞLEMLER (a n ) ve (b n ) herhangi iki dizi ve c R olmak üzere, 1) (a n ) + (b n ) = (a n + b n ) 2) (a n ) (b n ) = (a n b n ) 3) (a n ).(b n ) = (a n.b n ) 4) ( n N + için b n 0) 5) c.(a n ) = (c.a n ) şeklinde dizilerin genel terimleri arasında yapılan dört işleme, dizilerde dört işlem denir. MONOTON DİZİLER Bir (a n ) dizisinde her terim bir sonrakinden hep küçük kalıyorsa, bu dizilere monoton artan dizi denir. (an) monoton artan dizi ise, a 1 < a 2 < a 3 <... < a n < a n+1 <... olur. Bir (a n ) dizisinde her terim bir sonrakinden hep büyük kalıyorsa, bu dizilere monoton azalan dizi denir. (an) monoton azalan dizi ise, a 1 > a 2 > a 3 >... > a n > a n+1 >... olur. (a n ) bir dizi olsun. n N + için ; 1) a n+1 a n > 0 veya a n+1 > a n (a n ) artan dizidir. 2) a n+1 a n < 0 veya a n+1 < a n (a n ) azalan dizidir. 3) a n+1 a n 0 veya a n+1 a n (a n ) azalmayan dizidir. 4) a n+1 a n 0 veya a n+1 a n (a n ) artmayan dizidir. 5) a n+1 a n = 0 veya a n+1 = a n (a n ) sabit dizidir. şartlarından birini sağlayan diziye monoton dizi denir. Bir (an) dizisinin monotonluğunu incelerken a n+1 a n farkının işaretine bakılır. UYARI: şeklindeki dizilerde monotonluk durumu aşağıdaki gibi de incelenebilir. 18

20 1) Paydanın kökü; ise dizi monotondur. 2) a.d b.c > 0 ise, dizi monoton artandır. 3) a.d b.c < 0 ise, dizi monoton azalandır. 4) a.d b.c = 0 ise, dizi sabit dizidir. 5) Paydanın ise dizi monoton değildir. ALT DİZİ Bir (a n ) dizisi verildiğinde, (k n ) monoton artan bir sayma sayı dizisi olmak üzere elde edilen dizisine (a n ) dizisinin bir alt dizisi denir ve (a n ) şeklinde gösterilir. Burada (k n ) monoton artan bir dizi ve n N + için k n N + olmalıdır. ARİTMETİK DİZİLER Ardışık terimleri arasındaki farkı sabit olan dizilere aritmetik dizi denir. GEOMETRİK DİZİLER Ardışık terimleri arasındaki oranı sabit olan dizilere geometik dizi denir. (a n ) geometrik dizisinde ortak çarpan r olmak üzere, 1) r > 1 ise (a n ) monoton artan, 2) 0 < r < 1 ise (a n ) monoton azalan, 3) r = 1 ise (a n ) sabit bir geometrik dizidir. n, a, b, k, p N + olmak üzere; ARİTMETİK DİZİ GEOMETRİK DİZİ Ortak fark veya çarpan r = a n+1 a n Genel terim a n = a 1 + (n 1).r a n = a 1.r n 1 a k (1< k< n ) için genel a n = a k + (n k).r a n = a k.r n - k terim Eşit uzaklıktaki iki terim (n > p) a ile b sayıları arasına k tane sayı yerleştirilirse ortak fark veya çarpan Dizide baştan ve sondan eşit uzaklıkta bulunan a 1 +a n = a 2 +a n 1 =... =a k +a n (k+1) a 1. a n = a 2. a n 1 =... = a k. a n (k+1) terimlerin toplamı veya çarpımı İki terim verildiğinde dizinin ortak farkı veya çarpanı İlk n terim toplamı veya ( ) çarpımı UYARI: (a n ) = (x, y, z) dizisinin hem aritmetik hem de geometrik dizi olması için x = y = z olmalıdır. 5. ÜNİTE: MATRİS, DETERMİNANT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ MATRİS m, n N + için i = 1, 2, 3,... m ve j = 1, 2, 3,..., n olmak üzere, a ij reel sayılarından oluşan 19

21 [ ] tablosuna m x n biçiminde bir matris denir. m satırlı ve n sütunlu bir A matrisi A mxn veya A = [a ij ] mxn biçiminde gösterilir. a ij elemanı, matrisin i. satır ve j. sütunun kesim noktasındaki elemanıdır. MATRİS ÇEŞİTLERİ Kare Matris Satır sayısı sütun sayısına eşit olan matrislere kare matris denir. nxn türündeki [a ij ] nxn matrisi n. sıradan (n. basamaktan) kare matristir. matrisi bir kare matristir. a 11, a 22,..., a nn elemanlarının oluşturduğu köşegene 1. köşegen veya asal köşegen denir. a n1, a (n 1)2,..., a 1n elemanlarının oluşturduğu köşegene 2. köşegen veya yedek köşegen denir. Sıfır Matris Bütün elemanları sıfır olan matrislere sıfır matris denir. matrisleri birer sıfır matristir. Birim Matris Asal köşegenindeki elemanları 1, diğer elemanları 0 olan kare matrislere birim matris denir. Birim matrisleri I sembolü ile göstereceğiz. matrisleri birer birim matristir. Alt Üçgen Matris Asal köşegenin üstünde kalan bütün elemanları sıfır olan kare matrislere alt üçgen matris denir. matrisleri, alt üçgen matrislerdir. 20 Üst Üçgen Matris Asal köşegenin altında kalan bütün elemanları sıfır olan kare matrislere üst üçgen matris denir. matrisleri, üst üçgen matrislerdir. İKİ MATRİSİN EŞİTLİĞİ m x n türündeki A ve B matrislerinde i, j için a ij = b ij ise A = [a ij ] mxn, B = [b ij ] mxn matrisine eşittir denir ve A = B biçiminde gösterilir. MATRİSLERDE TOPLAMA İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A = [a ij ] mxn, B = [b ij ] mxn matrisleri verilsin. A + B = [a ij ] mxn + [b ij ] mxn = [a ij + b ij ] mxn matrisine, A matrisi ile B matrisinin toplamı denir. ÖZELLİKLER A = [a ij ] mxn, B = [b ij ] mxn, C = [c ij ] mxn ve 0 = [0 ij ] mxn matrisleri verilsin. 1) A + B = B + A (Değişme özelliği) 2) (A + B) + C = A + (B + C) (Birleşme özelliği) 3) A + 0 = 0 + A = A (Birim eleman özelliği) 4) A + ( A) = ( A) + A = 0 (Ters eleman özelliği) özellikleri vardır. Matrislerde toplama işlemine göre sıfır matrisine etkisiz eleman, ( A) matrisine A matrisinin tersi denir. BİR MATRİSİN BİR GERÇEK SAYI İLE ÇARPIMI k R olmak üzere, A = [a ij ] mxn matrisi için, k.a = k. [a ij ] mxn = [k. a ij ] mxn dir. ÖZELLİKLER k, p R olmak üzere, A = [a ij ] mxn, B = [b ij ] mxn matrisleri için, 1) k.(a + B) = k.a + k.b 2) (k + p).a = k.a + p.a 3) (k.p).a = k.(p.a) özellikleri vardır. MATRİSLERDE ÇARPMA İŞLEMİ A = [a ij ] mxn, B = [b ij ] nxp matrislerinin çarpımından elde edilen A.B = C, C = [c ij ] mxp matrisinin c ij elemanının, A matrisinin i. satırı ile B matrisinin j.

22 sütununun karşılıklı elemanlarının çarpımlarının toplamından oluşmaktadır. A, B ve C aşağıdaki işlemler için tanımlı olacak türde matrisler ve I birim matris, 0 sıfır matris olsun. 1) A.(B.C) = (A.B).C 2) A.(B + C) = A.B + A.C 3) (A + B).C = A.C + B.C 4) A.I = I.A = A 5) A.0 = 0.A = 0 özellikleri vardır. KARE MATRİSİN KUVVETLERİ m, n Z +, A bir kare matris ve I birim matris olmak üzere, A 0 = I, A 1 = A, A 2 = A.A,..., A n = A n 1.A (A m ) n = A m.n, I n = I dır. 2 x 2 türündeki bazı özel matrislerin büyük kuvvetleri ile ilgili aşağıdaki sonuçlar elde edilebilir. 1) [ ] ise [ ] 2) [ ] ise [ ] 3) [ ] ise [ ] 4) [ ] veya [ ] ise [ ] 5) [ ] ise [ ] 2x2 TÜRÜNDEN BİR MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ [ ] kare matrisinin çarpma işlemine göre tersi [ ] dir. Buna göre A matrisinin çarpma işlemine göre tersinin olabilmesi için a.d b.c 0 olmalıdır. İzlenecek Yol: 1) A matrisinin 1. köşegenindeki elemanların yer değiştirilir. 2) A matrisinin 2. köşegenindeki elemanların işaretlilerinin tersi yazılır. 3) Bulunan yeni matris A matrisinin 1. köşegenindeki elemanların çarpımı ile 2. köşegenindeki elemanların çarpımının farkına bölünür. A ve B kare matrisler olmak üzere, A ve B matrislerinin çarpma işlemine göre tersleri var ise (A 1 ) 1 = A ve (A.B) 1 = B 1.A 1 dir. BİR MATRİSİN DEVRİĞİ (TRANSPOZU) A = [a ij ] mxn matrisinin, satırlarını sütun ve sütunlarını satır olarak yazmakla bulunan [a ij ] mxn matrisine, A matrisinin devriği (transpozu) denir ve A T veya A d biçimlerinden biriyle gösterilir. ÖZELLİKLER k R olmak üzere, A ve B aşağıdaki işlemler tanımlı olacak türde matrisler olsun. 1) (A T ) T = A 2) (A + B) T = A T + B T 3) (k.a) T = k.a T 4) (A.B) T = B T.A T 5) (AT) 1 = (A 1 ) T dir. BAZI ÖZEL MATRİSLER Simetrik Matris Bir A = [a ij ] mxn matrisinde A = A T ise yani a ij = a ji ise A matrisine simetrik matris denir. Anti-Simetrik Matris Bir A reel matrisi için A T = A ise A matrisine anti-simetrik matris denir. İnvolutif Matris Bir A reel matrisi için A = A 1 ise A matrisine involutif matris denir. Ortogonal Matris Bir A reel matrisi için A 1 = A T ise A matrisine ortogonaldir denir. DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ a 11, a 12,..., a 1n, b 1 R olmak üzere a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 denklemine doğrusal denklem denir. Doğrusal denklemlerden oluşan a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m ifadesine doğrusal denklem sistemi denir. Sistemin çözümü, sistemdeki her denklemi sağlayan (x 1, x 2,..., x n ) sıralı n lisidir. Doğrusal denklem sisteminin çözümünü temel satır işlemleri yaparak buluruz. Bu işlemler, 21

23 Sistemde iki denklemin yerlerinin değiştirilmesi Sistemde bir denklemin sıfırdan farklı bir gerçek sayı ile çarpılması Sistemde bir denklemin sıfırdan farklı bir katının bir başka denkleme eklenmesidir. GAUSS YOK ETME YÖNTEMİ Matris gösterimi, A.x = B olan bir doğrusal denklem sistemi çözülürken temel satır işlemleri uygulanarak A matrisi üst üçgen matrisine dönüştürülür. [ ] [ ] [ ]. [ ] [ ] [ ] GAUSS - JORDAN YOK ETME YÖNTEMİ Matris gösterimi, A.x = B olan bir doğrusal denklem sistemi çözülürken temel satır işlemleri uygulanarak A matrisi, 1. köşegenindeki elemanları 1, diğer elemanları 0 olacak biçime getirilir. [ ] [ ] [ ] [ ] A = a 11.a 22 a 21.a 12 MİNÖR VE EŞ ÇARPAN (KOFAKTÖR) A, nxn türünde bir matris olmak üzere, a ij nin bulunduğu satır ve sütunun silinmesiyle elde edilen (n 1) x (n 1) türündeki M ij matrisinin determinantına a ij elemanının minörü denir. A ij = ( 1) i+j M ij sayısına da a ij nin eş çarpanı (kofaktörü) denir. a 23 elemanının minörü = 5 2 = 3 tür. a 23 elemanının eş çarpanı A 23 = ( 1) = 1.3 = 3 tür. Bir Determinantın Herhangi Bir Satıra Veya Sütuna Göre Açılımı A = a ij determinantının i. satıra göre açılımı SARRUS KURALI 3x3 türündeki bir determinantın ilk iki satırı determinantın altına veya ilk iki sütunu determinantın sağ tarafına yeniden yazılarak aşağıdaki biçimde açılır.. [ ] [ ] [ ] Bir A Matrisinin Tersini [A I ], Genişletilmiş Matrisi Üzerinden Temel Satır veya Sütun İşlemleri Uygulayarak Bulma A = [a ij ] nxn kare matrisinin tersini bulmak için A matrisinin genişletilmiş [A I ] matrisi yazılır. Temel satır veya sütun işlemleri uygulanarak [I A 1 ] bulunur. DETERMİNANTLAR A bir kare matris olmak üzere, A nın determinantı deta veya A biçiminde gösterilir ve aşağıdaki şekilde tanımlanır. A = [a 11 ] 1x1 A = a A(x 1, y 1 ) ve B(x 2, y 2 ) noktalarından geçen doğru denklemi determinantı ile bulunur. Köşe koordinatları A(x 1, y 1 ), B(x 2, y 2 ) ve C(x 3, y 3 ) olan ABC üçgenin alanı hesaplanır.

24 DETERMİNANTIN ÖZELLİKLERİ 1) Bir determinantın bir satırındaki (veya bir sütunundaki) terimlerin tümü sıfır ise determinantın değeri sıfırdır. matrisin devriğine A matrisinin ek matrisi denir ve Ek(A) biçiminde gösterilir. 2) Bir determinantın iki satırındaki (veya iki sütunundaki) terimler orantılı ise determinantın değeri sıfırdır. Determinantın 3. satırındaki terimlerin 2. satırdaki terimlerin 2 katına eşit olduğuna dikkat ediniz. 3) Bir determinantın iki satırındaki (veya iki sütunundaki)terimler yer değiştirirse determinant işaret değiştirir. 4) Bir determinantın herhangi bir satır veya sütunundaki tüm elemanlar k R ile çarpılırsa determinant k ile çarpılmış olur. 5) Bir determinantın bir satırındaki (veya sütunundaki) elemanlar k R ile çarpılıp başka bir satır veya sütuna eklenirse determinantın değeri değişmez. 6) A T = A 7) A.B = A. B 8) A n = A n 9) nxn türünden A matrisi için k R olmak üzere k.a = k n A dır. 2x2 türünde bir matrisin ek matrisi bulunurken, verilen matriste birinci köşegendeki elemanların yeri, ikinci köşegendeki elemanların işareti değiştirilir. [ ] Ek (A) = [ ] dir. Bir Matrisin Tersinin Ek Matris Yardımıyla Bulunması A kare matrisinde A 0 olmak üzere, dır. Doğrusal Denklem Sisteminin Ters Matris Yardımıyla Çözümü Matris gösterimi A.X = B olan doğrusal denklem sistemlerini X = A 1 B biçiminde göstererek çözebiliriz. a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 denklem sisteminde CRAMER KURALI,, olmak üzere,,, dır. A 0 ise sistemin tek çözümü vardır. A = A x = A y = A z = 0 ise sistemin çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır. A = 0 iken A x, A y, A z den en az biri sıfırdan farklı ise sistemin çözüm kümesi Ø dir. EK (ADJOİNT) MATRİS Bir A kare matrisinin her elemanının yerine o elemanın kofaktörünün yazılmasıyla oluşan 23