Birbirleriyle Etkileşim Halinde Bulunan Maddelerin Bir Düzleme Yerleştirilmesi için Bir Algoritma

Transkript

1 Akademik Bilişim - XII. Akademik Bilişim Konferansı Bildirileri - Şubat Muğla Üniversitesi Birbirleriyle Etkileşim Halinde Bulunan Maddelerin Bir Düzleme Yerleştirilmesi için Bir Algoritma Pınar Dündar, Görkem Tokatlı, Moharram Challenger,, Tufan Turacı Ege Üniversitesi, Matematik Bölümü, Uygulamalı Matematik, İzmir Ege Üniversitesi, Uluslararası Bilgisayar Enstitüsü, İzmir Islamic Azad University, habestar Branch, Iran Ege Üniversitesi, Matematik Bölümü, Bilgisayar Bilimleri, İzmir pinar.dundar@ege.edu.tr, gtokatli@gmail.com, challenger@engineer.com, tufanturaci@gmail.com Özet: Matematik ve Bilgisayar Bilimlerinde graf teori önemli bir yere sahiptir. Birçok problem graf veri modeli ile modellenebilir. Graf teorinin önemli problemleri arasında bağımsız küme problemi, örtü sayısı problemi, atama problemi vardır. Biz bu çalışmamızda birbiriyle etkileşim halinde olan maddelerin bir depoya yerleştirilmesi problemini ele aldık. Öncelikle bu problemi bir graf veri modeli ile modelledik. Bir grafın tüm maksimal bağımsız kümelerini ve bağımsızlık sayısını bulan Paull-Unger algoritmasını da kullanarak yeni bir algoritma geliştirdik. Bu algoritmanın implementasyonu sonucunda, değişik depolama kombinasyonlarının klasik bir deneme yanılma yöntemine göre daha hızlı bir şekilde elde edilebildiğini gözlemledik. Anahtar özcükler: Graf Teori, Bağımsız Küme Problemi, Depolama Problemi, ezgisel Algoritmalar. A Heuristic Algorithm For Placing Chemically Reacting Materials On a Platform Abstract: Graph theory is a key subject for both mathematics and computer science. It is used for modelling many problems such as maximal independent set, minimum covering and matching. In our study, we have worked on placing materials that may react with each other on a -D warehouse. We have modelled the problem using graph theory. Then, we have developed a new heuristic algorithm, using Paull-Unger method that finds Maximal Independent ets. After implementing the algorithm, we have observed that we can obtain different solutions faster than a simple brute force method. Keywords: Graph Theory, Independent et Problem, torage Problem, Heuristic Algorithms..Giriş Günümüzde birbirleriyle etkileşim halinde bulunan maddelerin bir düzleme uygun bir biçimde yerleştirilmesi önemli bir problemdir. Bu problem çözülürken problem öncelikle graf veri modeliyle modellenir. Problemimiz, maddeler bir grafın tepelerine, bu maddelerin birbirleriyle etkileşim halinde olup olmadığı ise grafın ayrıtlarına karşılık gelecek şekilde bir çok graf ile modellenebilir. Bir G = (V(G), E(G)) grafı, boş olmayan nesnelerin oluşturduğu bir V(G) tepeler kümesi ve E(G) ile gösterilen sıralı olmayan tepe çiftlerinin birleştirilmesiyle oluşan ayrıtlar kümesinden oluşur. Eğer bir G grafında u ve v tepeleri arasında bir e ayrıtı varsa bu iki maddenin birbiriyle etkileşim halinde olduğu gösterir. Temel Graf Tanımları Bu bölümde çalışmamızda kullandığımız bazı graf tanımlarını vereceğiz.

2 Birbirleriyle Etkileşim Halinde Bulunan Maddelerin Bir Düzleme Yerleştirilmesi için Bir Algoritma Pınar Dündar, Görkem Tokatlı, Moharram Challenger,Tufan Turacı Tanım.: Birleştirilmiş Graf, Herhangi bir G grafında istenilen bir tepeden bir başka tepeye gidilebiliyorsa (bir tepeden diğer tepeye daima ulaşılabiliyorsa) bu grafa birleştirilmiş graf denir [,6]. Tanım.: Bağımsız Küme, V(G), bir G grafının tepeler kümesinin herhangi bir alt kümesi olsun. kümesindeki tepeleri ikişerli aldığımızda bu tepeler, G grafında bir ayrıta sahip değilse bu kümeye bağımsız küme denir [,6]. Tanım..: Maksimal Bağımsız Küme, Bir bağımsız kümeyi içeren başka hiçbir bağımsız küme yoksa bu kümeye maksimal bağımsız küme denir [,,]. Tanım.: Bağımsızlık ayısı, Bir G grafı birden fazla maksimal bağımsız kümeye sahip olabilir. Bu kümeler içinde en çok elemana sahip olan kümenin eleman sayısına G grafının bağımsızlık sayısı (indepence number) denir ve b (G) ile gösterilir [,6]. Örnek.: Şekil. deki 6 tepeli çevre grafda a tepesini içeren bağımsız ve maksimal bağımsız kümelerini bulalım. = { a,c,e } Bağımsız kümedir. Şimdi bu kümelerinin maksimal bağımsız küme olup olmadığını araştıralım. kümesinde sadece a tepesi vardır. a tepesini içeren,,, bağımsız kümeleri vardır. Bu yüzden kümesi maksimal bağımsız bir küme değildir. kümesi a ve c tepelerini içerir. a ve c tepelerini içeren başka bir bağımsız küme olan kümesi vardır. Bu yüzden kümesi maksi- mal bağımsız bir küme değildir. kümesi a ve e tepelerini içerir. a ve e tepelerini içeren başka bir bağımsız küme olan kümesi vardır. Bu yüzden kümesi de maksimal bağımsız bir küme değildir. = { a } Şekil. Bağımsız kümedir. kümesi a ve d tepelerini içerir. a ve d tepelerini içeren başka bir bağımsız küme yoktur ki = { a,c } Bağımsız kümedir. = { a, e } Bağımsız kümedir. = { a,d } Bağımsız kümedir. 6 bu da bize kümesinin maksimal bir bağımsız küme olduğunu gösterir. kümesi a, c ve e teperinden oluşur. kümesini içeren başka bir bağımsız küme yoktur. Bu yüzden kümesi de maksimal bağımsız

3 Akademik Bilişim - XII. Akademik Bilişim Konferansı Bildirileri - Şubat Muğla Üniversitesi bir kümedir. = { a } Bağımsız kümedir fakat maksi- a ij =, v v i, v v i j j E( G) ise, E( G) ise, mal bağımsız küme değildir. = { a,c } Bağımsız kümedir fakat maksimal bağımsız küme değildir. = { a,e } Bağımsız kümedir fakat maksimal bağımsız küme değildir = { a,d } Bağımsız kümedir aynı zamanda maksimal bağımsız kümedir. = { a,c,e } Bağımsız kümedir aynı zamanda maksimal bağımsız kümedir. Aşağıdaki sonuçlar kolaylıkla görülebilir. Her maksimal bağımsız küme bir bağımsız kümedir. Her bağımsız küme bir maksimal bağımsız küme değildir. Bir G grafında birden fazla maksimal bağımsız küme olabilir. Tanım.: Bitişiklik Matrisi, p tepeli bir G = (V(G), E(G)) grafının bitişiklik matrisi A(G) ile gösterilir. Bu matris p x p tipinde olup, grafın tepeleri matrisin satırlarını ve sütunlarını oluşturur. Bir A(G) matrisinin elemanları, şeklinde tanımlanır []. Örnek.: Şekil. deki 6 tepeli çevre grafın bitişiklik matrisini yazalım. a b c A( C6 ) = d e f a b c d e f Giriş bölümünde yerleştirme probleminin nasıl graf ile modelleneceği ve gerekli graf tanımları belirtilmiştir.. Bölümde, çalışmayla bağlantılı olan Paull-Unger algoritması ve yerleştirme probleminin tam tanımı yer almaktadır.. Bölümde yeni algoritmanın detayları ve. Bölümde algoritmanın analizi ve karşılaştırmalar mevcuttur.. Bölümde ise sonuç ve algoritmayı geliştirebilecek fikirler bulunmaktadır.. Paull-Unger Algoritması Paull-unger algoritması bir graftaki tüm maksimal bağımsız kümeleri ve bağımsızlık sayısını bulur. Tanım.: [] ={σ,σ, σ n } alfabesi ile i i i k x = s s... s gibi kelimeleri oluşturabiliriz. (ε,uzunluğu sıfır olan bir kelimedir). * gösterilimi verilen alfabesinden üretilen bütün kelimelerin kümesinin bir yığınıdır. * ={x: x, alfabesinin bir kelimesidir } 7

4 Birbirleriyle Etkileşim Halinde Bulunan Maddelerin Bir Düzleme Yerleştirilmesi için Bir Algoritma Pınar Dündar, Görkem Tokatlı, Moharram Challenger,Tufan Turacı tepesi olarak adlandırılır. Bu aynı zamanda Σ * kümesindeki null kelimesidir. Şimdi bu yığını ilişkilendiren bir ikili işlem tanımlayacağız. Bu işlem genellikle kelimelerin birleşimi(bitişikliği) olarak adlandırılır. x yukarıda verildiği gibi ve j j j l y = s s... s olsun. Birinci kelimeyi yazdıktan sonra ikinci kelimenin sembollerini yan yana dizeriz x.y = s s... s i i s s... s i k j j jl görüldüğü gibi her x kelimesi için x.ε=ε.x=x öyleyse * = ( *,.,ε) bir monoid e dönüştüğü görülür çünkü bitişiklik işleminin birleşmeli olduğu açıktır. * yi alfabesinden elde edilen free monoid olarak adlandırırız. Örnek.: Eğer ={,} ise, * ={,,,,,,,, } şeklindedir. * deki bitişiklik işleminin bazıları aşağıdaki gibi gösterilebilir.. =. =.ε = Şekil. V, B * ın sonlu bir alt kümesi olmak üzere T = (V, E) şeklinde sonsuz (digraf) bir ikili ağaçtır, (i) xσ V => x ε V (σ B) (ii) x ε y <=> bazı σ B için y = xσ (i). madde bize her bir tepeden köke birleşmiş bir yol olduğunu garanti eder. (ii). madde ise daha önce söylendiği gibi ayrıt bağıntısıdır. Aynı zamanda ağacın uçlarındaki düğümlere (tepelere) ait olan kümeleri gösteren alt küme aşağıdaki şekilde tanımlanır.. Algoritma x y <=> y = xσ (σ Σ) ayrıt bağıntısı aracılığı ile birleştirilmiş bir sonsuz (digraf) G=(Σ *, E) grafının tepeler kümesi olarak, G grafının tepelerinin alfabesinden üretilen bütün kelimelerin kümesini Σ * ile gösterelim. []. Şekil. de B={,} ikili alfabesinden oluşturulan B * için sonsuz bir yönlendirilmiş ağaç graf gösterilmiştir. Şekil. de görüldüğü gibi yönlendirilmiş dallar olarak gösterilen ayrıtları soldan sağa doğru etiketleriz, grafın bütününde B * ı temsil eden bu sıralamayı gerçekten incelemek istiyorsak bu gerekli olacaktır. Bu yönlendirilmiş ağaç grafta ilk tepe grafın kök 8 L= L(T) ={x V:bütün σ B için xσ V } V Örnek.: Şekil. de b ir ikili ağaç gösterilmektedir. İkili ağacın tanımındaki (i). madde aşağıdaki şekilde örneklendirilmiştir. V => V => V => V => ε V Graftaki her bir tepenin gösterdiği x kelimesinin (x Σ * ) önce gelenlerinin grafta daha önceden var olduğu (i). madde tarafından garanti edilir. Örneğin, Şekil. deki graf tepesi =. şeklinde oluşturulmuş olup bu te-

5 penin önce geleni dır ve bu grafta daha önceden grafın tepesi olarak vardır. Bu özel T ağacı aşağıdaki düğümler (tepeler) kümesine sahiptir. Şekil. L = L(T) = {,,,, } T = (V,E) ikili ağacı algoritmik işlemler içerisinde kullanılabilir. adece V B * daki sonlu sayıdaki tepeler kullanılmalıdır. Bu yüzden algoritmada T için en uygun veri tipi dizi veri yapısıdır T: array B * of A Burada A, tepeler etiketlenirken kullanılan cebirdir. B * sonsuz bir küme olduğu için algoritmanın çalıştırılması sırasında bu tepelerin hepsini etiketlendirmek imkânsızdır. adece V B * bir sonlu alt kümesi etiketlendirilecektir. Tepelerin etiketlendirildiği yukarıdan aşağıya doğru sıradan dolayı V alt kümesinin (i) durumu sağladığını söyleriz. Yani işlem sonlandığı zaman etiketlendirilmiş bir ikili ağaç elde ederiz. Akademik Bilişim - XII. Akademik Bilişim Konferansı Bildirileri - Şubat Muğla Üniversitesi 9 Etiketlendirilmiş ikili ağaçlar, bir G grafının tüm maksimal bağımsız kümelerinin bulunmasında ve aynı zamanda β bağımsızlık sayısının hesaplanmasında kullanılır. Bu hesaplamalar ilk M.C.Paull ve.h.unger tarafından yapılmıştır. Onların oluşturduğu çözümü aşağıdaki algoritma ile gösterebiliriz []. T: array B * of P (V) β, i, j, n: positive integer E: array n + n + of B L, M: subset of B * v: array B of V x: element of B * σ: element of B * begin T ; T[ε] V; L {ε}; for j to n do for i j + to n do if E[i, j] = then begin M {x L: {v i, v j } T[x]}; L L M; v[] v i ; v[] v j ; for x M do for σ B do begin T[xσ] T[x] {v[σ]}; if ((T[xσ] T[y]) for all y L then L L {xσ} end; end; β End. max { T[x] } x L Bu algoritma herhangi bir G grafı için β bağımsızlık sayısını belirler ve aynı zamanda bütün maksimal bağımsız kümelerin listesini verir. Bunlardan daha büyük bir bağımsız küme içerilmez Örnek.: Bir askeri malzeme deposunda bazı malzemelerin yan yana bulunması durumunda kimyasal tepki verdikleri bilinmektedir. Şekil. deki grafta malzemeler birer tepe, kimyasal tepkiye giren malzemeler ise birer ayrıtla ifade edilmiştir.

6 Birbirleriyle Etkileşim Halinde Bulunan Maddelerin Bir Düzleme Yerleştirilmesi için Bir Algoritma Pınar Dündar, Görkem Tokatlı, Moharram Challenger,Tufan Turacı Problemi çözmek için, hangi yerleştirmelerin iyi çözüm sayılabileceğini belirtecek tanımlamalar koymak gerekmektedir. Buna göre adet madde ve, olacak minimum t tam sayısı için, bu adet maddenin lik kare matrise sığacak her yerleştirme çözümünü iyi çözüm olarak adlandıralım. Algoritmamızı, bu yerleştirmeleri daha iyi yoldan yapacak şekilde geliştirebiliriz. Şekil. Yukarıdaki grafta, a ve b malzemeleri arasında bir etkileşim vardır, fakat a ve d malzemeleri arasında bir etkileşim yoktur, bunun anlamı ise a ve d maddelerinin yan yana gelebileceğidir. Buradaki problem, bu malzemeleri hiçbir problem olmaksızın bir depoya yerleştirebileceğimiz bir plan hazırlayabilir miyiz? Şekil.(a) ve Şekil.(b) deki problemimizin çözümü için uygun olan çözümlerdir. Şekil. Fakat Şekil. deki çözümler alan maliyeti açısından kötüdür. Bizim geliştirmiş olduğumuz algoritma bu malzemeleri bir düzleme çok daha uygun bir biçimde yerleştirmektedir.. Geliştirdiğimiz Algoritma Birçok graf teori probleminde olduğu gibi bu problemde de direkt en iyi sonucu verecek bir metod kurulması mümkün değildir. Bu nedenle bu tip problemlere en basit yöntemle, deneme yanılma(brute force []) algoritmaları ile çözüm aranır. Biz bu probleme sezgisel(heuristic []) bir yaklaşım getirerek, iyi sayılabilecek çözümlerin en az birine en kısa zamanda ulaşmayı hedefleyen bir metod ortaya koyduk.. Klasik bir Deneme Yanılma Yaklaşımı Bu probleme yapılacak en basit yaklaşım, kare matrise maddeleri tek tek rastgele koyarak, etkileşim olduğu zaman geri dönerek değiştirme yoluyla tüm kombinasyonları denemektir. Maddelerin köşeye karesel olarak yerleştirilmesi için yapılabilecek bir deneme sırası Şekil. deki gibi olabilir. Buradaki sıraya göre çakışma oluşmadıkça maddeler rastgele yerleştirilir. Eklenen son madde çakışmaya sebep oluyorsa, yerine başka bir madde denenir. Denenen maddelerin hiçbiri uygun değilse, bir önceki madde de kaldırılır ve başka madde denenir. Bu şekilde olası tüm kombinasyonun denenmesi büyük değerleri için çok zordur. Bu nedenle, denemeler esnasında iyi bir sonuca daha erken rastlamayı sağlayabilecek bir metod gerekmektedir.

7 Akademik Bilişim - XII. Akademik Bilişim Konferansı Bildirileri - Şubat Muğla Üniversitesi Şekil. Köşeye yerleştirme için olası bir deneme yanılma sırası. ezgisel(heuristic) Yaklaşımımız Yaklaşımımızın ana fikri, deneme yanılma aşamasında olabilecek hatalı seçimleri en erken zamanda yaparak, geriye dönüş miktarını en aza indirmektir. Bu nedenle, Paull-Unger algoritmasını kullanarak maksimal bağımsız kümeleri buluruz. Daha sonra, bu kümelerdeki elemanları, kümelerde tekrar edilme sayılarına göre küçükten büyüğe doğru dizeriz. Bu sayede, yerleştirmesi en problemli olandan en kolay olana göre sıralanmış bir madde listesi elde ederiz. onrasında en zor maddeden başlayacak şekilde, Şekil. deki sıraya göre sol üst köşeye yerleştirmeye başlarız. Buradaki sıralamanın mantığı, yine olası bir uyuşmazlığı en erken zamanda farkederek daha az zaman kaybıyla denemeye devam etmektir. Örneğin, Şekil. de 9. eklemeden sonraki duruma bakalım. onraki yapacağımız eklemeler,., 6., 7., 8., ve 9. ekleme ile uyuşmama ve geri dönüş riski taşımaktadır. Geri dönüş durumu varsa bunu en erken zamanda yapmak için en küçük olan ten başlayarak sırasıyla eklemelerin karşıları kapatılır Şekil. Köşeye yerleştirme için kullandığımız deneme sırası İlgili algoritmanın yinelemeli(recursive) yapıdaki ana fonksiyonu Şekil. deki gibidir. Find(Loc L, int field[t][t], list PUList[N]) { i:= While i<n DO if (IsNodeUsed(PUList, i) = false) Then node := PUList[i]; if(kontrol(l, node, field) = true ) Then field[l.x][l.y] := node etused(pulist, i) Find(NextLoc(L, field), field, PUList) end if etfree(pulist, i) end if i=i+; end while } Şekil. Geliştirdiğimiz Algoritmanın Ana Adımları Hızlanmayı sağlayan Paull Unger sıralaması fonksiyona hazır olarak gelir. IsNodeUsed fonksiyonu, bakılan maddenin önceden kullanılıp kullanılmadığını kontrol eder. NextLoc fonksiyonu, sonraki lokasyonu bahsettiğimiz sıralamaya göre belirler. etused ve etfree fonksiyonları, Paull Unger sırasındaki elemanları kullanıp kullanmamış olduğumuzu işaretler. Kontrol fonksiyonu, eklenecek maddenin etkileşim yaratıp yaratmadığını kontrol eder. N : Madde sayısı. T : Kare matrisin kenar sayısı. L : Düzlemde Doldurulacak lokasyon. PUList : Paull Unger sıralamasındaki maddeler. Bu yöntemin C++ üzerinde implementasyonu sonucunda, Paull-Unger sıralaması ve bahsedilen lokasyon sıralamalarında yerleştirme yapan programımızın, rastgele sıra ve yerlere yerleştirme yapan başka programa göre çok daha az adımda sonuçlara ulaştığını gözlemledik.. Algoritmanin Analizi Bahsettiğimiz problemin en kötü durumunu N! olarak belirtebiliriz. İlk maddeyi depoya N

8 Birbirleriyle Etkileşim Halinde Bulunan Maddelerin Bir Düzleme Yerleştirilmesi için Bir Algoritma Pınar Dündar, Görkem Tokatlı, Moharram Challenger,Tufan Turacı Rastgele sıralamalı deneme sonuç eğrisinin her zaman diğer iki durumun arasında yer aldığını testlerde gözlemledik. farklı şekilde koyabiliriz. onraki maddeleri N, N ve devam eden farklı seçeneklerde yerleştirebiliriz. Bu durumda sonucumuzu en kötü N! adımda buluruz, fakat gerçekçi graflarda gerçekleşen her çakışma durumunda durum uzayımız ciddi şekilde azalacağı için adım sayısı çok daha az olacaktır. Yeni algoritmamız bütün durum uzayını tarar ve kurallara uygun olan tüm sonuçları bulur. Problemde ilk yanıtı bulmak yeterli olacağı için bizim algoritmamız da ilk problemi en kısa zamanda bulacak şekilde optimize edilmiştir. Kullanılan Paull-Unger sıralama yapısının ve düzleme yerleştirme sırasının etkisiyle, durum uzayında sonuç bulunmasına en müsait bölgelerin en önce taranması sağlanır. Problemli maddelerin en başta denenerek elenmesi, o maddelerin tüm kombinasyonlarını en baştan kesecek ve durum uzayı ağacının sonuca uzak dallarını eleyerek sonuca yöneltecektir. Bu iyileştirmeler, ilk sonucun bulunma süresini N! e nazaran oldukça azaltacaktır. İyileştirmelerin sonucu için Şekil. ye bakınız. Paull-Unger sıralama düzeninin sonuç bulma süresine etkisini görmek amacıyla testler gerçekleştirdik. Şekil. de farklı madde sıralamalarına göre gerçekleştirdiğimiz testlerin sonuç bulma adım sayıları verilmiştir. Buna göre, Paull-Unger sıralamasına göre az tekrarlanan maddeden çok tekrarlanan maddeye(kötüden iyiye) doğru yapacağımız sıralama, tam ters sıralamaya ve rastgele sıralamaya göre çok daha az adımda sonuç verecektir. Şekil. de elde ettiğimiz karşılaştırmalı sonuçların grafiksel gösterimi mevcuttur. Grafikten görüldüğü üzere yeni algoritmamız lineer e yakınsayan bir zaman eğrisi gösterirken, diğer iki durum üstel bir görünüm sergilemektedir. İyiden Kötüye Rastgele Kötüden İyiye Şekil. Farklı deneme sıraları için sonuç bulma adım sayıları En kötü durum Rastgele Yeni Algoritma Şekil. Yeni Algoritmamızın adım bazlı çözüm bulma süreleri karşılaştırması. onuç ve İleri Çalışmalar Çalışmamız neticesinde, tanımını yaptığımız yerleştirme problemini graf modeli üzerinden ele alarak hızlı biçimde çözen pratik bir algoritma elde ettik. Çözüme uzak yolları eleyerek hız kazanan algoritmamızın hızlı olmasının temeli, maddelerin Paull-Unger sırasıyla yerleştirilmesi ve boş yerlerin özel bir sıraya göre doldurulmasıdır. adece Paull-Unger sırasının

9 Akademik Bilişim - XII. Akademik Bilişim Konferansı Bildirileri - Şubat Muğla Üniversitesi hıza katkısının oldukça yüksek olduğu Şekil. de görülmektedir. Çalışmamızın ileri optimizasyonları için iki tane iyileştirme planımız mevcuttur. Algoritmamızda çakışma durumlarında bir adım geri dönüş sonrasında işleme devam edilmektedir. Çakışmalarda bunun yerine, çakışmaya neden olan diğer maddeye kadar olan tüm maddeleri kaldırarak, farklı maddelerle işleme devam etmek daha iyi sonuçlar verebilir. Mevcut algoritmada problemin kısıtlandırılmış olması sebebiyle sonuç uzayımız sınırlıdır. Bu durum, bazı özel graflarda sonuçların geç bulunması veya hiç bulunamaması durumlarına yol açabilir. Algoritmamızı boşluk koymayı da dahil edecek şekilde yeniden yapılandırmanın sonuç uzayını arttırarak bu durumun önlenmesini sağlayabileceğini düşünüyoruz. [] Chartrand G., Lesniak L., Graphs & Digraphs, Greg Hubit Bookworks, (986). [] Christofides,N.,Graph Theory an Algorithmic Approach,Academic Pres,London,(986). [] Coreman T., Leiserson C., Rivest R., tein C., Introduction to Algorithms,. rd Edition, The MIT Press, 9. [] Prather Ronald E., Discrete Mathematical tructures for Computer cience, Houghton Mifflin Company, (976). [6] West D.B., Introduction to Graph Theory, Prentice Hall, NJ, (). 6. Kaynaklar [] Blidia M., Chellali M., Favaron O., Meddah N., Maximal k- independent sets in graphs. Discuss. Math. Graph Theory 8 (8),no.,-6.