Week 9: Trees 1. TREE KAVRAMI 3. İKİLİ AĞAÇ DİZİLİMİ 4. İKİLİ ARAMA AĞACI 2. İKİLİ AĞAÇ VE SUNUMU > =

Transkript

1 Week 9: Trees 1. TREE KAVRAMI 2. İKİLİ AĞAÇ VE SUNUMU 3. İKİLİ AĞAÇ DİZİLİMİ 4. İKİLİ ARAMA AĞACI < 6 2 > =

2 1. TREES KAVRAMI Bir ağaç bir veya daha fazla düğümün (T) bir kümesidir : Spesifik olarak tasarlanmış root isimli bir düğümü vardır Geriye kalan düğümler her biri bir ağaç olan T1, T2,,Tn gibi birbirinden ayrık n adet düğümler kümesine ayrılır.

3 1. TREES KAVRAMI Example

4 1. TREES KAVRAMI Bir ağaç değildir Ağaç

5 1. TREES KAVRAMI: Biraz terminoloji Root (kök) Child (left,right) (evlat) Parent (ebeveyn) Leaf node (yaprak) Subtree (alt ağaç) Ancestor of a node (bir düğümün atası) Descendant of a node (bir düğümün soyundan)

6 1. TREES KAVRAMI Bir ağacın bir düğümünün derecesi Bir ağacın bir düğümünün derecesi, kökü bu düğüm olan alt ağaçların sayısıdır. Bir ağacın derecesi Bir ağacın derecesi ağacın düğümlerinin maksimum derecesi olarak tanımlanır. Bir düğümün seviyesi Kök düğüm 1 olmak üzere, kökten aşağı doğru 1 er artar.

7 2. İKİLİ AĞAÇ VE SUNUMU İKİLİ AĞAÇ Hiçbir düğümün derecesi ikiden fazla değildir. i. Seviye için maksimum düğüm sayısı 2 i 1 dir. Eğer ağacın derinliği k ise o zaman ağaçtaki bütün düğümlerin sayısı 2 k 1 = 2 k k olacaktır.

8 2. İKİLİ AĞAÇ VE SUNUMU İKİLİ AĞAÇ Tam dolu bir ikili ağaç 2 k 1 düğümü olan bir ikilidir. Eğer düğüm sayısı < 2 k 1 ise, o tam dolu bir ikili ağaç değildir.

9 N düğümü olan bir tam ağacın yüksekliği (h) nedir? h 2 1 = N h 2 = N + 1 h = log( N + 1) O(log N) N düğümlü bir ağacın maksimum yüksekliği N (bağlı liste gibi) N düğümlü bir ağacın minimum yüksekliği log(n+1)

10

11 2. İKİLİ AĞAÇ VE SUNUMU Tam ikili ağaç 3= = =2 4-1

12 2. İKİLİ AĞAÇ VE SUNUMU struct node { int data; node *left; node *right; };

13 Ağaç dizilimi Bir ağaçta belirli bir sırada veri yazdırmak için kullanılır. inorder (LDR ) Postorder (LRD ) preorder (DLR ) Pre-order dizilimi Kökteki veriyi yazdır Yinelemeli olarak sol alt ağaçtaki bütün verileri yazdır. Yinelemeli olarak sağ alt ağaçtaki bütün verileri yazdır.

14 Preorder, Postorder and Inorder Preorder dizilimi düğüm, sol, sağ Ön ek ifadesi ++a*bc*+*defg

15 Preorder, Postorder and Inorder Postorder dizilimi sol, sağ, düğüm Son ek ifadesi abc*+de*f+g*+ İçinde dizilimi sol, düğüm, sağ. Orta ek ifadesi a+b*c+d*e+f*g

16 Preorder, Postorder and Inorder

17 3. İKİLİ AĞAÇ DİZİLİMİ

18 3. İKİLİ AĞAÇ DİZİLİMİ Inorder = DBEAC Aynı sonucu veren birden çok ağaç olabilir.

19 4. İKİLİ ARAMA AĞACI Bir ikili arama ağacı İkili bir ağaçtır (boş olabilir) Her düğüm bir tanımlayıcı içermelidir. Sol alt ağaçtaki bir düğümün tanımlayıcısı kök düğümdeki tanımlayıcıdan daha küçüktür. Sağ alt ağaçtaki herhangi bir düğümün tanımlayıcısı kök düğümdeki tanımlayıcıdan büyüktür. Hem sol alt ağaç hem de sağ alt ağaç ikili bir arama ağacıdır.

20

21 4. İKİLİ ARAMA AĞACI İkili arama ağacı.

22 İkili arama ağaçları İkili arama ağacı İkili arama ağacı değil

23 İkili arama ağacı Aynı kümeyi sunan iki ikili arama ağacı : neden farklı?

24 Performans N elemanı olan bir sözlüğün h yüksekliğine sahip bir ikili ağaç ile sunulduğunu var sayalım. Kullanılan bellek uzayı O(n) find, insert ve remove metotları O(h) zamanda yapılır. h yüksekliği için worst case O(n) ve best case O(log n) olarak ölçülür.

25 4. İKİLİ ARAMA AĞACI Neden ikili arama ağacı kullanırız inorder dizilimi: sıralı liste arama daha hızlı gerçekleşir Fakat.. Ekleme, silme: yavaştır Önemli konu: Veritabanı sistemindeki Index mekanizması Index özelliğinin doğru şekli kullanarak sorun çözülür.

26 Arama Bir k değerini aramak için, kökten başlayarak aşağı doğru tararız. Bir sonraki düğümün ne olacağı karşılaştırma sonrasına bağlı olarak değişir. Eğer bir yaprağa ulaştığımız halde aranan eleman bulunamadıysa null döndürürüz. Örnek: find(4): TreeSearch(4,root) Algorithm TreeSearch(k, v) if (v ==NULL) return v if k < key(v) return TreeSearch(k, T.left(v)) else if k = key(v) return v else { k > key(v) } return TreeSearch(k, T.right(v)) 2 < > = 9

27 Ekleme inser(k, o) işlemini yerine getirmek için, biz önce anahtar değerini (k) ararız (TreeSearch kullanarak) Varsayalım ki son yaprağa vardığımız halde k hala bulunamadı Anahtar (k) değeri w düğümüne ekleriz ve ağacı bir düğüm genişletiriz. Örnek: insert 5 2 < > > w w 6 9 9

28 4. İKİLİ ARAMA AĞACI Yeni düğüm ekle

29

30 4. İKİLİ ARAMA AĞACI Yeni düğüm ekle void InsertNode(node* &root, node *newnode) { } if (root==null) root=newnode; else if ((root->data)>(newnode->data)) InsertNode(root->l,newnode); else if (root->data<newnode->data) InsertNode(root->r,newnode);

31 Insert node

32 Insert node

33 Insert Order