GENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUK SİSTEMİ ÜZERİNE

Transkript

1 ÖZEL EGE LİSESİ GENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUK SİSTEMİ ÜZERİNE HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Berk KORKUT DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem GÜNEL İZMİR 2013

2 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI GİRİŞ YÖNTEM 3 4. ÖN BİLGİLER BİR NOKTANIN GENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUĞU GENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY SÜREKLİLİK... 7 SONUÇLAR 9 TEŞEKKÜR 9 KAYNAKLAR. 10 2

3 1. PROJENİN AMACI Bu projenin amacı, genelleştirilmiş fuzzy topolojik uzaylarda bir noktanın genelleştirilmiş fuzzy komşulunu tanımlayarak, bu tanım yardımı ile yeni bir genelleştirilmiş fuzzy süreklilik kavramı ortaya atmak ve bu yeni süreklilik türü ile genelleştirilmiş fuzzy süreklilik arasındaki ilişkileri belirlemektir. 2. GİRİŞ Fuzzy küme kavramı ilk kez (Zadeh, 1965) de ortaya atılmıştır. Zadeh, I [0,1], bir küme ve : [0,1] olmak üzere den 0,1 kapalı aralığına giden her bir fonksiyonuna üzerinde bir fuzzy küme adını vermiştir. Buna göre, her x için [0,1] değerini de x noktasının aitlik derecesi olarak ifade etmiştir. Böylece, klasik kümeler teorisinde bir noktanın bir kümeye ait olma durumu, nokta kümeye ait ise 0, ait değilse 1 değerini aldığı ikili mantıktan çıkıp [0,1] kapalı aralığındaki sonsuz değerden birini alarak derecelendirilmiştir. 0 ve 1 sabit fonksiyonlarını içeren, sonlu arakesite ve keyfi birleşime kapalı, boştan farklı bir kümesi üzerindeki fuzzy kümelerin ailesi (Chang, 1968) de fuzzy topolojik uzay olarak tanımlanmış ve bu ailelerin temel özellikleri incelenmiştir. (Chetty, 2008) de ise, daha genel bir tanım yapılarak, keyfi birleşime kapalı ve 0 sabit fonksiyonunu içeren fuzzy kümelerin ailesi üzerinde genelleştirilmiş fuzzy topolojik uzay olarak adlandırmıştır. Fuzzy topolojik uzaylarda bir fonksiyonun değer kümesi üzerinde kurulu olan fuzzy topolojik uzayın her bir elemanının bu fonksiyon altındaki ters görüntüsünün tanım kümesi üzerinde kurulu olan fuzzy topolojiye ait olma durumu fuzzy süreklilik olarak adlandırılır (Azad, 1981). Bu çalışmada ise genelleştirilmiş fuzzy topolojik uzaylar üzerinde süreklilik kurulmuştur. Bunun için, bir noktanın genelleştirilmiş fuzzy komşuluğu tanımı yapılıp bu kavram üzerinde süreklilik durumu incelenmiştir. 3. YÖNTEM Bu proje boyunca doğrudan ispat yöntemi kullanılmıştır. 4. ÖN BİLGİLER Bu çalışma boyunca, kullanılacak olan tanım ve notasyonlar aşağıdaki gibidir (Chang,1968) : bir küme ve [0,1], I olsun. I olmak üzere I f f : [0,1] fonksiyon 1. Her x için ise bu durum, 2. Her x için ise bu durum, ve 3

4 3. En az bir x için ise bu durum, 4. Her x için 1 ( x ) 1 biçiminde tanımlanan fonksiyon1, 5. Her x için 0 ( x ) 0 biçiminde tanımlanan fonksiyon 0 ile gösterilecektir. 6. Her x için ( ) min, fonksiyonuna ve fonksiyonlarının arakesiti denir. 7. Her x biçiminde tanımlanan için ( ) max, fonksiyonuna ve fonksiyonlarının birleşimi denir. biçiminde tanımlanan 8. Daha genel olarak, üzerinde alınan fuzzy kümelerinin bir : i i J ailesi için birleşim ve kesişim işlemleri sırasıyla i ve i biçiminde gösterilir ve sırasıyla her x için ( ) x sup : i J ve ( ) x inf : i Jile tanımlıdır. i i i i 9. f : Y bir fonksiyon olmak üzere Y I ise f 1 ( ) ( f ) f 1 ( ) I dir ve her x için biçiminde tanımlıdır. 10. f : Y biçiminde tanımlıdır. Y bir fonksiyon olmak üzere I ise f( ) I dir ve her yy için f( )( y) 1 1 sup ( z) : z f ( y), f ( y) 1 0, f ( y) 11. bir küme, a ve (0,1) olsun. Bu durumda,, x a a 0, x a biçiminde tanımlanan a fuzzy kümesine üzerinde fuzzy nokta adı verilir. ÖNERME 4.1 (Chang,1968) f : Y bir fonksiyon,, 1, 2 Y I ve, 1, 2 I olsun. Bu durumda, dir. a) b) c) 1 f( f ( )), f 1 ( f( )), f ( ) f ( ), f( ) f( ) d)

5 TANIM 4.2 (Chang,1968) bir küme ve T, ailesi olsun: üzerindeki fuzzy kümelerin aşağıdaki koşulları sağlayan bir T1) 0,1 T, T2), T ( ) T, T3) : : i i J T i J T. Bu durumda ( T, ) ikilisine fuzzy topolojik uzay adı verilir. i TANIM 4.3 (Chetty, 2008) bir küme ve T, ailesi olsun: üzerindeki fuzzy kümelerin aşağıdaki koşulları sağlayan bir GT1) 0,1 T, GT2) : : i i J T i J T i Bu durumda ( T, ) ikilisine genelleştirilmiş fuzzy topolojik uzay adı verilir. 5. BİR NOKTANIN GENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUĞU Bu çalışma boyunca ( I ) ile TANIM 5.1 bir küme ve (0,1) I olsun. in kuvvet kümesi belirtilecektir. : ( I ) x olmak üzere x, için biçiminde tanımlanan fonksiyonuna x noktasının genelleştirilmiş fuzzy komşuluğu diyelim. üzerindeki bütün genelleştirilmiş fuzzy komşuluklarının ailesini de ( ) ile gösterelim. ÖRNEK 5.2 a, b, =0.1 olsun. ( a) 0.2, ( a) 0.5, (a)=0.6, olmak üzere ( b) 0.3, ( b) 0.2, (b)=0.3, : ( I ) a ( a) b ( b), 5

6 biçiminde tanımlanan fonksiyonu için ( ) dir. YARDIMCI TEOREM 5.3 ailesi ( ) olsun. O halde, I x( : ) üzerinde bir genelleştirilmiş fuzzy topolojik uzaydır. İSPAT 1. Öncelikle 0 olduğunu gösterelim: x için ( 0 : 0 ) önermesi doğru olduğundan 0 Yanlış 2. Şimdi ve i ailesinin keyfi birleşime kapalı olduğunu gösterelim: dir. ii olsun. Bu durumda, en az bir i I için i 0 dır. i 0 olduğundan en az bir açıktır. TEOREM 5.4 için i i elde edilir. O halde 0 i0 olduğu, üzerinde bir genelleştirilmiş fuzzy topolojik uzay olsun. Bu durumda, olacak şekilde bir ( ) vardır. İSPAT (0,1) için : ( I ) x olmak üzere : ve biçiminde tanımlanan fonksiyonu için ( ) olduğu açıktır. Şimdi olduğunu görelim: ve olsun. O halde, dir. Diğer taraftan, olduğundan dır. UYARI 5.5 Aşağıdaki örnekte gösterildiği gibi durumu her zaman söz konusu değildir: 6

7 ÖRNEK 5.6,, ( ) 0.2, ( ) 0.3 ve ( ) olsun. 0,1, a b a b a ( a) 0.05, (b)=0.1 biçiminde tanımlanan I fonksiyonu için önermesi doğru olduğundan : dir. Diğer taraftan, dir. için UYARI Bir genelleştirilmiş fuzzy topolojik uzayından yukarıdaki şekilde türetilen yı ( ) ile gösterelim. Bu durumda, ( ) olduğu açıktır. 2. (0,1) ve her x için 0 olduğundan 0 ( ) dir. 3. Aşağıdaki örnekte gösterildiği gibi bir genelleştirilmiş fuzzy topolojik uzayı için ( ) olabilir. ÖRNEK 5.8,, =0.9 olsun. ( a) 0.5, ( a) 0.1 ve 0,,, a b genelleştirilmiş fuzzy topolojik uzayı için ( )( a) dur. 6. GENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY SÜREKLİLİK TANIM 6.1 ( b) 0.2, ( b) 0.8 (, ) ve (, ) bir fonksiyon olsun. Her için f denir. birer genelleştirilmiş fuzzy topolojik uzaylar ve 1 ( ) oluyorsa f fonksiyonuna f : (, ) (, ) ( ) süreklidir TANIM 6.2, birer küme, (0,1) ve fonksiyon olsun. Her x noktası ve noktası varsa f fonksiyonuna ve ( ), ( ) f : bir ( f) için f ( ) olacak biçimde en az bir ( ) süreklidir denir. TEOREM 6.3 f : fonksiyonu sürekli ise ( ) süreklidir. ( ) 7

8 İSPAT olsun ve x alalım. Diğer taraftan, ( ) olduğundan en az bir f 1 ( ) olsun. Bu durumda ( f) dir. ( f) için dür. f fonksiyonu sürekli olduğundan en az bir için f( ) dür. Buradan, en az bir olduğundan 1 1 için f ( f ( )) f ( ) fonksiyonu ( ) süreklidir. f 1 ( ) bulunur. O halde, UYARI 6.4 Aşağıdaki örnekte gösterildiği gibi Teorem 6.3 ün tersi doğru değildir. ÖRNEK 6.5 a, b, =0.6 ve ( a) 0.8, ( a) 1, ( a) 1 olsun. Bu durumda, her x için f x biçiminde tanımlanan f : birim dönüşüm ( ) sürekli iken ( ) sürekli değildir: ( b) 0.9, ( b) 1, ( b),1 1. Öncelikle f fonksiyonunun ( ) sürekli olmadığını gösterelim: ( f ( b)) için f ( ) olacak şekilde hiç bir () b yoktur. Dolayısıyla, f fonksiyonu ( ) sürekli değildir. 2. Şimdi, f fonksiyonunun ( ) sürekli olduğunu gösterelim: I x(0.6 ) : olarak tanımlı olduğuna göre üç durum söz konusudur: I. 0.6 ( a) ise 1 ( a) olduğundan 1 olmalıdır. II. 0.6 ( b) ise ve ( b) olduğundan 0.8 ( a) ve 0.9 ( b) olmalıdır. O halde I. koşuldan 1 dir. III. 0.6 ( b) ise 1 ( b) olduğundan 1 olmalıdır. Diğer durumlardaki bir I için olduğu açıktır. O halde, dir. Benzer şekilde, 1 0 ( ) 0.6, 0 ( ) 0.6 I a b 8

9 I x(0.6 ) : I a b = 1 0 ( ) 0.6, 0 ( ) 0.6 olduğu görülebilir. Dolayısıyla, dir. f fonksiyonu birim fonksiyonu olduğundan ( ) süreklidir. TEOREM 6.6 Bir genelleştirilmiş fuzzy topolojik uzayı için ( ) sürekli ise f fonksiyonu ( ) süreklidir. ( ) olsun. f fonksiyonu İSPAT x ve Hipotezden f 1 ( ) olsun. ( f) ve dir. ( f ) ( )( f ) elde edilir. en 1 1 ( f ) f ( )(x) ve f ( ) olduğundan az bir için 1 1 f ( ) dür. O halde, en az bir için f ( ) f ( f ( )) elde edilir. Dolayısıyla, f fonksiyonu ( ) süreklidir. SONUÇLAR 1. ( ) olsun. I x( : ) ailesi üzerinde bir genelleştirilmiş fuzzy topolojik uzaydır. 2., üzerinde bir genelleştirilmiş fuzzy topolojik uzay olsun. Bu durumda, olacak şekilde bir ( ) vardır. 3. f : fonksiyonu sürekli ise ( ) süreklidir. ( ) 4. Bir genelleştirilmiş fuzzy topolojik uzayı için fonksiyonu ( ) sürekli ise f fonksiyonu ( ) süreklidir. ( ) olsun. f TEŞEKKÜR Benden desteklerini hiçbir zaman esirgemeyen sevgili aileme ve bu çalışma boyunca danışmanlığımı üstlenerek bilgi ve desteklerini sunan Özel Ege Lisesi Bilim Kurulu Eş Başkanı Dr. Gizem GÜNEL e sonsuz teşekkürlerimi sunarım. 9

10 KAYNAKLAR Azad, K. K., 1981, On fuzzy semicontinuity, fuzzy almost continuity and fuzzy weakly continuity, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 82, Chang, C. L., 1968, Fuzzy topological spaces, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 24, Chetty, G. P., 2008, Generalized fuzzy topology, Italian J. Pure Appl. Math., 24, 91- Zadeh, L. A., 1965, Fuzzy sets, Information and Control, 8,